Kəsişmə nöqtəsinin tapılması. Təyyarədə düz xəttlə bağlı ən sadə problemlər. Xətlərin nisbi mövqeyi. Düz xətlər arasındakı bucaq

Koordinat metodundan istifadə etməklə bəzi həndəsi məsələləri həll edərkən xətlərin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapmaq lazımdır. Çox vaxt bir müstəvidə iki xəttin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını axtarmaq lazımdır, lakin bəzən kosmosda iki xəttin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını təyin etməyə ehtiyac var. Bu yazıda iki xəttin kəsişdiyi nöqtənin koordinatlarını tapmaqla məşğul olacağıq.

Səhifə naviqasiyası.

İki xəttin kəsişmə nöqtəsi tərifdir.

Əvvəlcə iki xəttin kəsişmə nöqtəsini təyin edək.

Müstəvidə xətlərin nisbi mövqeyi bölməsində göstərilir ki, müstəvidə iki xətt ya üst-üstə düşə bilər (və onların sonsuz çoxluğu var. ümumi nöqtələr), ya paralel olsun (ortaq nöqtələri olmayan iki xətt ilə), ya da bir ümumi nöqtəsi olan kəsişsin. Kosmosda iki xəttin nisbi mövqeyinin daha çox variantı var - onlar üst-üstə düşə bilər (sonsuz çoxlu ümumi nöqtələrə malikdir), paralel ola bilər (yəni eyni müstəvidə uzanır və kəsişmir), kəsişən ola bilər (yox). eyni müstəvidə uzanırlar) və onların bir ümumi nöqtəsi də ola bilər, yəni kəsişir. Beləliklə, həm müstəvidə, həm də fəzada bir ümumi nöqtəyə malik olan iki xətt kəsişən adlanır.

Kəsişən xətlərin tərifindən belə çıxır xətlərin kəsişmə nöqtəsinin müəyyən edilməsi: İki xəttin kəsişdiyi nöqtəyə bu xətlərin kəsişmə nöqtəsi deyilir. Başqa sözlə, kəsişən iki xəttin yeganə ortaq nöqtəsi bu xətlərin kəsişmə nöqtəsidir.

Aydınlıq üçün biz müstəvidə və fəzada iki düz xəttin kəsişmə nöqtəsinin qrafik təsvirini təqdim edirik.

Səhifənin yuxarısı

Müstəvidə iki xəttin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarının tapılması.

Məlum tənliklərdən istifadə edərək müstəvidə iki düz xəttin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapmazdan əvvəl köməkçi məsələni nəzərdən keçirək.

Oksi a Və b. Biz bunu düz güman edəcəyik a formasının düz xəttinin və düz xəttin ümumi tənliyinə uyğundur b- növü. Təyyarədə bir nöqtə olsun və biz nöqtənin olub olmadığını öyrənməliyik M 0 verilmiş xətlərin kəsişmə nöqtəsi.

Gəlin problemi həll edək.

Əgər M0 a Və b, onda tərifinə görə o da xəttə aiddir a və düz b, yəni onun koordinatları həm tənliyi, həm də tənliyi təmin etməlidir. Buna görə də nöqtənin koordinatlarını əvəz etməliyik M 0 verilmiş xətlərin tənliklərinə daxil edin və bunun nəticəsində iki düzgün bərabərliyin olub-olmadığına baxın. Əgər nöqtənin koordinatları M 0 hər iki tənliyi təmin edir və , onda xətlərin kəsişmə nöqtəsidir a Və b, əks halda M 0 .

Məsələdir M 0 koordinatları ilə (2, -3) xətlərin kəsişmə nöqtəsi 5x-2y-16=0 Və 2x-5y-19=0?

Əgər M 0 həqiqətən verilmiş xətlərin kəsişmə nöqtəsidir, onda onun koordinatları xətlərin tənliklərini ödəyir. Nöqtənin koordinatlarını əvəz etməklə bunu yoxlayaq M 0 verilmiş tənliklərə:

Beləliklə, iki həqiqi bərabərliyi əldə etdik M 0 (2, -3)- xətlərin kəsişmə nöqtəsi 5x-2y-16=0 Və 2x-5y-19=0.

Aydınlıq üçün düz xətləri göstərən və onların kəsişmə nöqtələrinin koordinatları görünən bir rəsm təqdim edirik.

bəli, dövr M 0 (2, -3) xətlərin kəsişmə nöqtəsidir 5x-2y-16=0 Və 2x-5y-19=0.

Xətlər kəsişirmi? 5x+3y-1=0 Və 7x-2y+11=0 nöqtədə M 0 (2, -3)?

Nöqtənin koordinatlarını əvəz edək M 0 düz xətlərin tənliklərinə daxil olduqda, bu hərəkət nöqtənin aid olub olmadığını yoxlayacaq M 0 eyni zamanda hər iki düz xətt:

İkinci tənlikdən bəri, nöqtənin koordinatlarını ona əvəz edərkən M 0 həqiqi bərabərliyə çevrilmədi, onda nöqtə M 0 xəttinə aid deyil 7x-2y+11=0. Bu faktdan belə nəticəyə gəlmək olar ki, mətləb M 0 verilmiş xətlərin kəsişmə nöqtəsi deyil.

Rəsm də aydın şəkildə göstərir ki, nöqtə M 0 xətlərin kəsişmə nöqtəsi deyil 5x+3y-1=0 Və 7x-2y+11=0. Aydındır ki, verilmiş xətlər koordinatları olan bir nöqtədə kəsişir (-1, 2) .

M 0 (2, -3) xətlərin kəsişmə nöqtəsi deyil 5x+3y-1=0 Və 7x-2y+11=0.

İndi biz müstəvidə verilmiş xətlərin tənliklərindən istifadə edərək iki xəttin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapmaq tapşırığına keçə bilərik.

Düzbucaqlı Dekart koordinat sistemi müstəvidə sabitlənsin Oksi və kəsişən iki xətt verilmişdir a Və b tənliklər və müvafiq olaraq. Verilmiş xətlərin kəsişmə nöqtəsini kimi işarə edək M 0 və aşağıdakı məsələni həll edin: iki xəttin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapın a Və b bu xətlərin məlum tənliklərinə görə və .

Nöqtə M0 kəsişən xətlərin hər birinə aiddir a Və b a-prior. Sonra xətlərin kəsişmə nöqtəsinin koordinatları a Və b həm tənliyi, həm də tənliyi təmin edin. Buna görə də iki xəttin kəsişmə nöqtəsinin koordinatları a Və b tənliklər sisteminin həllidir (xətti cəbri tənliklərin həlli sistemləri məqaləsinə baxın).

Beləliklə, müstəvidə ümumi tənliklərlə müəyyən edilmiş iki düz xəttin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapmaq üçün verilmiş düz xətlərin tənliklərindən ibarət sistemi həll etmək lazımdır.

Məsələnin həllinə baxaq.

Müstəvidə düzbucaqlı koordinat sistemində müəyyən edilmiş iki xəttin kəsişmə nöqtəsini tənliklərlə tapın. x-9y+14=0 Və 5x-2y-16=0.

Bizə xətlərin iki ümumi tənliyi verilmişdir, onlardan sistem quraq: . Yaranan tənliklər sisteminin həlli onun birinci tənliyini dəyişənə görə həll etməklə asanlıqla tapılır. x və bu ifadəni ikinci tənliklə əvəz edin:

Tənliklər sisteminin tapılmış həlli bizə iki xəttin kəsişmə nöqtəsinin istənilən koordinatlarını verir.

M 0 (4, 2)– xətlərin kəsişmə nöqtəsi x-9y+14=0 Və 5x-2y-16=0.

Beləliklə, müstəvidə ümumi tənliklərlə müəyyən edilən iki düz xəttin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapmaq iki naməlum dəyişəni olan iki xətti tənlik sisteminin həllinə gəlir. Bəs müstəvidəki xətlər ümumi tənliklərlə deyil, fərqli tipli tənliklərlə verilirsə (bax: müstəvidəki xəttin tənlik növlərinə baxın)? Bu hallarda, əvvəlcə xətlərin tənliklərini azalda bilərsiniz ümumi görünüş, və bundan sonra kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapın.

Verilmiş xətlərin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapmazdan əvvəl onların tənliklərini ümumi formaya salırıq. Xəttin parametrik tənliklərindən bu xəttin ümumi tənliyinə keçid belə görünür:

İndi düz xəttin kanonik tənliyi ilə lazımi hərəkətləri yerinə yetirək:

Beləliklə, xətlərin kəsişmə nöqtəsinin istənilən koordinatları formanın tənliklər sisteminin həllidir. Bunu həll etmək üçün Cramer metodundan istifadə edirik:

M 0 (-5, 1)

Müstəvidə iki xəttin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapmağın başqa bir yolu var. Xətlərdən biri formanın parametrik tənlikləri ilə, digəri isə fərqli tipli xətt tənliyi ilə verildikdə istifadə etmək rahatdır. Bu vəziyyətdə dəyişənlərin yerinə başqa bir tənlikdə x Və y və ifadələrini əvəz edə bilərsiniz, buradan verilmiş xətlərin kəsişmə nöqtəsinə uyğun olan qiyməti ala bilərsiniz. Bu halda xətlərin kəsişmə nöqtəsi koordinatlara malikdir.

Bu üsuldan istifadə edərək əvvəlki nümunədən xətlərin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapaq.

Xətlərin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını təyin edin və .

Düz xətt ifadəsini tənliyə əvəz edək:

Yaranan tənliyi həll etdikdən sonra əldə edirik. Bu dəyər xətlərin ümumi nöqtəsinə uyğundur və . Parametrik tənliklərə düz xətti əvəz etməklə kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını hesablayırıq:
.

M 0 (-5, 1).

Şəkili tamamlamaq üçün daha bir məqamı müzakirə etmək lazımdır.

Müstəvidə iki xəttin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapmazdan əvvəl verilmiş xətlərin həqiqətən kəsişdiyinə əmin olmaq faydalıdır. Əgər ilkin xətlərin üst-üstə düşdüyü və ya paralel olduğu ortaya çıxarsa, o zaman belə xətlərin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapmaqdan söhbət gedə bilməz.

Əlbəttə ki, belə bir yoxlama olmadan edə bilərsiniz, ancaq dərhal formanın tənliklər sistemini yaradın və həll edin. Əgər tənliklər sisteminin unikal həlli varsa, o zaman ilkin xətlərin kəsişdiyi nöqtənin koordinatlarını verir. Əgər tənliklər sisteminin həlli yoxdursa, onda ilkin xətlərin paralel olduğu qənaətinə gələ bilərik (çünki belə cüt həqiqi ədədlər yoxdur) x Və y, bu, verilmiş xəttin hər iki tənliyini eyni vaxtda təmin edəcək). Tənliklər sisteminə sonsuz sayda həll yollarının mövcudluğundan belə nəticə çıxır ki, ilkin düz xətlərin sonsuz çoxlu ortaq nöqtələri var, yəni üst-üstə düşür.

Bu vəziyyətlərə uyğun olan nümunələrə baxaq.

Xətlərin kəsişdiyini və kəsişdiyini öyrənin və kəsişirsə, kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapın.

Xətlərin verilmiş tənlikləri və tənliklərinə uyğundur. Bu tənliklərdən ibarət sistemi həll edək.

Aydındır ki, sistemin tənlikləri bir-biri ilə xətti şəkildə ifadə olunur (sistemin ikinci tənliyi birincidən onun hər iki hissəsinin 4 ), buna görə də tənliklər sisteminin sonsuz sayda həlli var. Beləliklə, tənliklər eyni xətti müəyyən edir və biz bu xətlərin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapmaqdan danışa bilmərik.

tənliklər və düzbucaqlı koordinat sistemində müəyyən edilir Oksi eyni düz xəttdir, ona görə də kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapmaqdan danışa bilmərik.

Xətlərin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapın və mümkünsə .

Problemin vəziyyəti xətlərin kəsişməməsinə imkan verir. Bu tənliklərdən sistem yaradaq. Onu həll etmək üçün Gauss metodunu tətbiq edək, çünki bu, tənliklər sisteminin uyğunluğunu və ya uyğunsuzluğunu müəyyən etməyə imkan verir və əgər uyğundursa, həllini tapın:

Gauss metodunun birbaşa keçidindən sonra sistemin son tənliyi yanlış bərabərliyə çevrildi, buna görə də tənliklər sisteminin həlli yoxdur. Buradan belə nəticəyə gəlmək olar ki, ilkin xətlər paraleldir və bu xətlərin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapmaqdan söhbət gedə bilməz.

İkinci həll.

Verilmiş xətlərin kəsişib-kəsişmədiyini öyrənək.

Normal vektor xətt, vektor isə xəttin normal vektorudur. Yoxlayaq ki, vektorların kollinearlığı şərti və : bərabərliyi doğrudur, çünki , ona görə də verilmiş düz xətlərin normal vektorları kollineardır. Sonra bu xətlər paralel və ya üst-üstə düşür. Beləliklə, orijinal xətlərin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapa bilmirik.

verilmiş xətlərin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapmaq mümkün deyil, çünki bu xətlər paraleldir.

Xətlərin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapın 2x-1=0 və , əgər onlar kəsişirsə.

Verilmiş xətlərin ümumi tənlikləri olan tənliklər sistemini tərtib edək: . Bu tənliklər sisteminin əsas matrisinin determinantı sıfırdan fərqlidir, buna görə də tənliklər sisteminin verilmiş xətlərin kəsişməsini göstərən unikal həlli var.

Xətlərin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapmaq üçün sistemi həll etməliyik:

Nəticə həlli bizə xətlərin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını, yəni xətlərin kəsişmə nöqtəsini verir. 2x-1=0 Və .

Səhifənin yuxarısı

Fəzada iki xəttin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarının tapılması.

Üçölçülü fəzada iki xəttin kəsişmə nöqtəsinin koordinatları oxşar şəkildə tapılır.

Qoy kəsişən xətlər olsun a Və b düzbucaqlı koordinat sistemində müəyyən edilir Oxyz kəsişən iki müstəvi, yəni düz xəttin tənlikləri a forma sistemi və düz xətti ilə müəyyən edilir b- . Qoy M 0– xətlərin kəsişmə nöqtəsi a Və b. Sonra işarə edin M 0 tərifinə görə də xəttə aiddir a və düz b, buna görə də onun koordinatları hər iki xəttin tənliklərini ödəyir. Beləliklə, xətlərin kəsişmə nöqtəsinin koordinatları a Və bşəklində xətti tənliklər sisteminin həllini təmsil edir. Burada bizə tənliklərin sayı naməlum dəyişənlərin sayı ilə üst-üstə düşməyən xətti tənliklər sistemlərinin həlli bölməsindən məlumat lazım olacaq.

Nümunələrin həlli yollarına baxaq.

və tənlikləri ilə fəzada müəyyən edilmiş iki xəttin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapın.

Verilmiş xətlərin tənliklərindən tənliklər sistemi quraq: . Bu sistemin həlli bizə fəzada xətlərin kəsişmə nöqtəsinin istənilən koordinatlarını verəcəkdir. Yazılı tənliklər sisteminin həllini tapaq.

Sistemin əsas matrisi formaya malikdir, genişləndirilmiş isə - .

Matrisin dərəcəsini təyin edək A və matris dərəcəsi T. Biz yetkinlik yaşına çatmayanların sərhədlənməsi metodundan istifadə edirik, lakin determinantların hesablanmasını ətraflı təsvir etməyəcəyik (lazım olduqda, matrisin determinantının hesablanması məqaləsinə baxın):

Beləliklə, əsas matrisin dərəcəsi genişləndirilmiş matrisin dərəcəsinə bərabərdir və üçə bərabərdir.

Beləliklə, tənliklər sisteminin unikal həlli var.

Determinantı əsas minor kimi qəbul edəcəyik, ona görə də sonuncu tənlik tənliklər sistemindən xaric edilməlidir, çünki o, əsas minorun formalaşmasında iştirak etmir. Belə ki,

Yaranan sistemin həllini tapmaq asandır:

Beləliklə, xətlərin kəsişmə nöqtəsi koordinatlara malikdir (1, -3, 0) .

(1, -3, 0) .

Qeyd etmək lazımdır ki, tənliklər sistemi yalnız və yalnız düz xətlər olduqda unikal həllə malikdir a Və b kəsişmək. Düzdürsə A Və b paralel və ya kəsişən, onda sonuncu tənliklər sisteminin həlli yoxdur, çünki bu halda xətlərin ümumi nöqtələri yoxdur. Düzdürsə a Və büst-üstə düşür, onda onların sonsuz sayda ümumi nöqtələri var, buna görə də göstərilən tənliklər sisteminin sonsuz sayda həlli var. Lakin bu hallarda xətlərin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapmaqdan danışa bilmərik, çünki xətlər kəsişmir.

Beləliklə, verilmiş xətlərin kəsişib-kəsişmədiyini əvvəlcədən bilməsək a Və b ya yox, onda formanın tənliklər sistemini yaratmaq və onu Qauss üsulu ilə həll etmək məqsədəuyğundur. Unikal bir həll əldə etsək, o zaman xətlərin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarına uyğun olacaq a Və b. Sistem uyğunsuz olduğu ortaya çıxarsa, o zaman birbaşa a Və b kəsişməyin. Əgər sistemin sonsuz sayda həlli varsa, onda düz xətlər a Və b uyğunlaşdırmaq.

Gauss metodundan istifadə etmədən edə bilərsiniz. Alternativ olaraq, bu sistemin əsas və genişləndirilmiş matrislərinin dərəcələrini hesablaya və əldə edilən məlumatlara və Kronecker-Capelli teoreminə əsaslanaraq, ya tək bir həllin varlığı, ya da çoxlu həllərin mövcudluğu və ya olmaması barədə nəticə çıxara bilərsiniz. həllər. Bu dad məsələsidir.

Xətlər kəsişirsə, kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını təyin edin.

Verilmiş tənliklərdən sistem yaradaq: . Onu matris şəklində Qauss metodundan istifadə edərək həll edək:

Aydın oldu ki, tənliklər sisteminin həlli yoxdur, ona görə də verilmiş xətlər kəsişmir və bu xətlərin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarının tapılmasından söhbət gedə bilməz.

verilmiş xətlərin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapa bilmirik, çünki bu xətlər kəsişmir.

Kesişən xətlər fəzadakı xəttin kanonik tənlikləri və ya fəzadakı xəttin parametrik tənlikləri ilə verildikdə, əvvəlcə onların tənliklərini kəsişən iki müstəvi şəklində almaq və yalnız bundan sonra kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapmaq lazımdır.

Düzbucaqlı koordinat sistemində kəsişən iki xətt müəyyən edilmişdir Oxyz tənliklər və . Bu xətlərin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapın.

İlkin düz xətləri iki kəsişən müstəvilərin tənlikləri ilə təyin edək:

Xətlərin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapmaq üçün tənliklər sistemini həll etmək qalır. Bu sistemin əsas matrisinin dərəcəsi genişləndirilmiş matrisin dərəcəsinə bərabərdir və üçə bərabərdir (bu faktı yoxlamağı tövsiyə edirik). Minor əsasını götürək, ona görə də sonuncu tənliyi sistemdən xaric edə bilərik. Yaranan sistemi hər hansı bir üsulla (məsələn, Kramer metodu) həll etdikdən sonra həlli əldə edirik. Beləliklə, xətlərin kəsişmə nöqtəsi koordinatlara malikdir (-2, 3, -5) .

İki xətt verilsin və onların kəsişmə nöqtəsini tapmaq lazımdır. Bu nöqtə verilmiş iki xəttin hər birinə aid olduğu üçün onun koordinatları həm birinci xəttin tənliyini, həm də ikinci xəttin tənliyini təmin etməlidir.

Beləliklə, iki xəttin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapmaq üçün tənliklər sistemini həll etmək lazımdır.

Nümunə 1. Xətlərin kəsişmə nöqtəsini tapın və

Həll. İstənilən kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tənliklər sistemini həll etməklə tapacağıq

M kəsişmə nöqtəsinin koordinatları var

Onun tənliyindən istifadə edərək düz xəttin necə qurulacağını göstərək. Düz xətt çəkmək üçün onun iki nöqtəsini bilmək kifayətdir. Bu nöqtələrin hər birini qurmaq üçün onun koordinatlarından biri üçün ixtiyari qiymət təyin edirik və sonra tənlikdən digər koordinat üçün uyğun qiyməti tapırıq.

Düz xəttin ümumi tənliyində cari koordinatlardakı hər iki əmsal sıfıra bərabər deyilsə, bu düz xətti qurmaq üçün onun koordinat oxları ilə kəsişmə nöqtələrini tapmaq daha yaxşıdır.

Misal 2. Düz xətt qurun.

Həll. Bu xəttin absis oxu ilə kəsişmə nöqtəsini tapırıq. Bunun üçün onların tənliklərini birlikdə həll edirik:

və alırıq. Beləliklə, bu xəttin absis oxu ilə kəsişməsinin M (3; 0) nöqtəsi tapılmışdır (şək. 40).

Sonra bu xəttin tənliyini və ordinat oxunun tənliyini birlikdə həll edin

xəttin ordinat oxu ilə kəsişmə nöqtəsini tapırıq. Nəhayət, onun iki M və nöqtəsindən düz xətt çəkirik

“Həndəsi alqoritmlər” seriyasından dərs

Salam əziz oxucu!

Həndəsi alqoritmlərlə tanışlığa davam edək. Keçən dərsdə iki nöqtənin koordinatlarından istifadə edərək düz xəttin tənliyini tapdıq. Formanın tənliyini əldə etdik:

Bu gün biz iki düz xəttin tənliklərindən istifadə edərək onların kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını (əgər varsa) tapacaq bir funksiya yazacağıq. Həqiqi ədədlərin bərabərliyini yoxlamaq üçün RealEq() xüsusi funksiyasından istifadə edəcəyik.

Təyyarədəki nöqtələr bir cüt real ədədlə təsvir olunur. Həqiqi tipdən istifadə edərkən, xüsusi funksiyalardan istifadə edərək müqayisə əməliyyatlarını həyata keçirmək daha yaxşıdır.

Səbəbi məlumdur: Paskal proqramlaşdırma sistemində Real tipdə sıra əlaqəsi yoxdur, ona görə də a və b həqiqi ədədlər olan a = b formalı qeydlərdən istifadə etməmək daha yaxşıdır.
Bu gün biz “=” (ciddi bərabər) əməliyyatını həyata keçirmək üçün RealEq() funksiyasını təqdim edəcəyik:

Funksiya RealEq(Const a, b:Real):Boolean; (ciddi bərabər) başlayın RealEq:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq}

Tapşırıq. İki düz xəttin tənlikləri verilmişdir: və . Onların kəsişmə nöqtəsini tapın.

Həll. Aydın həll xətti tənliklər sistemini həll etməkdir: Gəlin bu sistemi bir az fərqli şəkildə yenidən yazaq:
(1)

Aşağıdakı qeydi təqdim edək: , , . Burada D sistemin təyinedicisidir və müvafiq naməlum üçün əmsallar sütununun sərbəst şərtlər sütunu ilə əvəz edilməsi nəticəsində yaranan təyinedicilərdir. Əgər , onda (1) sistemi müəyyəndir, yəni onun unikal həlli var. Bu həlli aşağıdakı düsturlardan istifadə etməklə tapmaq olar: , adlanır Kramer düsturları. İkinci dərəcəli determinantın necə hesablandığını xatırlatdım. Determinant iki diaqonalı fərqləndirir: əsas və ikincil. Əsas diaqonal determinantın yuxarı sol küncündən aşağı sağ küncə doğru istiqamətə götürülən elementlərdən ibarətdir. Yan diaqonal - yuxarı sağdan aşağı sola. İkinci dərəcəli determinant əsas diaqonalın elementlərinin hasilindən ikinci dərəcəli diaqonalın elementlərinin hasilinə bərabərdir.

Kod bərabərliyi yoxlamaq üçün RealEq() funksiyasından istifadə edir. Həqiqi ədədlər üzrə hesablamalar _Eps=1e-7 dəqiqliyi ilə aparılır.

Proqram geom2; Const _Eps: Real=1e-7;(hesablama dəqiqliyi) var a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y,d,dx,dy:Real; Funksiya RealEq(Const a, b:Real):Boolean; (ciddi bərabər) başlayın RealEq:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq} Function LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2: real; var x,y:real):Boolean; {Определение координат точки пересечения двух линий. Значение функции равно true, если точка пересечения есть, и false, если прямые параллельны. } var d:real; begin d:=a1*b2-b1*a2; if Not(RealEq(d,0)) then begin LineToPoint:=True; dx:=-c1*b2+b1*c2; dy:=-a1*c2+c1*a2; x:=dx/d; y:=dy/d; end else LineToPoint:=False End;{LineToPoint} begin {main} writeln("Введите коэффициенты уравнений: a1,b1,c1,a2,b2,c2 "); readln(a1,b1,c1,a2,b2,c2); if LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y) then writeln(x:5:1,y:5:1) else writeln("Прямые параллельны."); end.

Xətlərin tənliklərini bilərək, onların kəsişmə nöqtələrinin koordinatlarını tapa biləcəyiniz bir proqram tərtib etdik.

Səhifə naviqasiyası.

İki xəttin kəsişmə nöqtəsi tərifdir.

Əvvəlcə iki xəttin kəsişmə nöqtəsini təyin edək.

Məsələnin həllinə baxaq.

Misal.

X-9y+14=0 və 5x-2y-16=0 tənlikləri ilə müstəvidə düzbucaqlı koordinat sistemində müəyyən edilmiş iki xəttin kəsişmə nöqtəsini tapın.

Həll.

Bizə iki ümumi xət tənliyi verilir, gəlin onlardan bir sistem yaradaq: . Yaranan tənliklər sisteminin həlli onun birinci tənliyini x dəyişəninə görə həll etməklə və bu ifadəni ikinci tənliyə əvəz etməklə asanlıqla tapılır:

Tənliklər sisteminin tapılmış həlli bizə iki xəttin kəsişmə nöqtəsinin istənilən koordinatlarını verir.

Cavab:

M 0 (4, 2) x-9y+14=0 və 5x-2y-16=0 .

Beləliklə, müstəvidə ümumi tənliklərlə müəyyən edilən iki düz xəttin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapmaq iki naməlum dəyişəni olan iki xətti tənlik sisteminin həllinə gəlir. Bəs müstəvidəki xətlər ümumi tənliklərlə deyil, fərqli tipli tənliklərlə verilirsə (bax: müstəvidəki xəttin tənlik növlərinə baxın)? Bu hallarda siz əvvəlcə xətlərin tənliklərini ümumi formaya endirə bilərsiniz və yalnız bundan sonra kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapa bilərsiniz.

Misal.

Və .

Həll.

Verilmiş xətlərin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapmazdan əvvəl onların tənliklərini ümumi formaya salırıq. Parametrik düz xətt tənliklərindən keçid bu xəttin ümumi tənliyi aşağıdakı kimidir:

İndi düz xəttin kanonik tənliyi ilə lazımi hərəkətləri yerinə yetirək:

Beləliklə, xətlərin kəsişmə nöqtəsinin istənilən koordinatları formalı tənliklər sisteminin həllidir. . Bunu həll etmək üçün istifadə edirik:

Cavab:

M 0 (-5, 1)

Müstəvidə iki xəttin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapmağın başqa bir yolu var. Xətlərdən biri formanın parametrik tənlikləri ilə verildikdə istifadə etmək rahatdır , digəri isə fərqli tipli düz xəttin tənliyidir. Bu halda, başqa bir tənlikdə x və y dəyişənlərinin yerinə ifadələri əvəz edə bilərsiniz. Və , buradan verilmiş xətlərin kəsişmə nöqtəsinə uyğun olan qiyməti almaq mümkün olacaq. Bu halda xətlərin kəsişmə nöqtəsi koordinatlara malikdir.

Bu üsuldan istifadə edərək əvvəlki nümunədən xətlərin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapaq.

Misal.

Xətlərin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını təyin edin Və .

Həll.

Düz xətt ifadəsini tənliyə əvəz edək:

Yaranan tənliyi həll etdikdən sonra əldə edirik. Bu dəyər xətlərin ümumi nöqtəsinə uyğundur Və . Parametrik tənliklərə düz xətti əvəz etməklə kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını hesablayırıq:
.

Cavab:

M 0 (-5, 1) .

Şəkili tamamlamaq üçün daha bir məqamı müzakirə etmək lazımdır.

Əlbəttə ki, belə bir yoxlama olmadan edə bilərsiniz və dərhal formanın tənliklər sistemini yarada bilərsiniz və həll edin. Əgər tənliklər sisteminin unikal həlli varsa, o zaman ilkin xətlərin kəsişdiyi nöqtənin koordinatlarını verir. Əgər tənliklər sisteminin həlli yoxdursa, onda ilkin xətlərin paralel olduğu qənaətinə gələ bilərik (çünki verilmiş xəttin hər iki tənliyini eyni vaxtda təmin edəcək x və y cüt həqiqi ədədləri yoxdur). Tənliklər sisteminə sonsuz sayda həll yollarının mövcudluğundan belə nəticə çıxır ki, ilkin düz xətlərin sonsuz çoxlu ortaq nöqtələri var, yəni üst-üstə düşür.

Bu vəziyyətlərə uyğun olan nümunələrə baxaq.

Misal.

Xətlərin kəsişdiyini və kəsişdiyini öyrənin və kəsişirsə, kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapın.

Həll.

Xətlərin verilmiş tənlikləri tənliklərə uyğundur Və . Bu tənliklərdən ibarət sistemi həll edək .

Aydındır ki, sistemin tənlikləri bir-biri vasitəsilə xətti şəkildə ifadə olunur (sistemin ikinci tənliyi birincidən onun hər iki hissəsini 4-ə vurmaqla alınır), buna görə də tənliklər sisteminin sonsuz sayda həlli var. Beləliklə, tənliklər eyni xətti müəyyən edir və biz bu xətlərin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapmaqdan danışa bilmərik.

Cavab:

Tənliklər və düzbucaqlı Oxy koordinat sistemində eyni düz xətti müəyyən edir, buna görə də kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapmaq haqqında danışa bilmərik.

Misal.

Xətlərin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapın Və , Əgər mümkünsə.

Həll.

Problemin vəziyyəti xətlərin kəsişməməsinə imkan verir. Bu tənliklərdən sistem yaradaq. Bunu həll etmək üçün müraciət edək, çünki bu, tənliklər sisteminin uyğunluğunu və ya uyğunsuzluğunu müəyyən etməyə imkan verir və uyğundursa, həllini tapın:

İkinci həll.

Verilmiş xətlərin kəsişib-kəsişmədiyini öyrənək.

- normal xətt vektoru , və vektor normal xətt vektorudur . İcranı yoxlayaq Və : bərabərlik doğrudur, ona görə də verilmiş xətlərin normal vektorları kollineardır. Sonra bu xətlər paralel və ya üst-üstə düşür. Beləliklə, orijinal xətlərin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapa bilmirik.

Cavab:

Verilmiş xətlərin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapmaq mümkün deyil, çünki bu xətlər paraleldir.

Misal.

2x-1=0 və kəsişirsə, xətlərin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapın.

Həll.

Verilmiş düz xətlərin ümumi tənlikləri olan tənliklər sistemini tərtib edək: . Bu tənliklər sisteminin əsas matrisinin təyinedicisi sıfırdan fərqlidir , buna görə də tənliklər sistemi verilmiş xətlərin kəsişməsini göstərən unikal həllinə malikdir.

Xətlərin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapmaq üçün sistemi həll etməliyik:

Nəticə həlli bizə xətlərin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını verir, yəni 2x-1=0 və .

Cavab:

Fəzada iki xəttin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarının tapılması.

Üçölçülü fəzada iki xəttin kəsişmə nöqtəsinin koordinatları oxşar şəkildə tapılır.

Nümunələrin həlli yollarına baxaq.

Misal.

Tənliklərlə fəzada verilmiş iki xəttin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapın Və .

Həll.

Verilmiş xətlərin tənliklərindən tənliklər sistemi tərtib edək: . Bu sistemin həlli bizə fəzada xətlərin kəsişmə nöqtəsinin istənilən koordinatlarını verəcəkdir. Yazılı tənliklər sisteminin həllini tapaq.

Sistemin əsas matrisi formaya malikdir , və uzadılmış - .

müəyyən edək A və T matrisinin dərəcəsi. istifadə edirik

Oh-oh-oh-oh-oh... yaxşı, çətindi, sanki özünə bir cümlə oxuyurdu =) Ancaq istirahət sonradan kömək edəcək, xüsusən də bu gündən uyğun aksesuarları aldım. Ona görə də birinci bölməyə keçək, ümid edirəm ki, məqalənin sonuna kimi şən əhval-ruhiyyəni qoruyacağam.

İki düz xəttin nisbi mövqeyi

Bu, tamaşaçıların xorla oxuduğu zaman olur. İki düz xətt ola bilər:

1) uyğunluq;

2) paralel olsun: ;

3) və ya bir nöqtədə kəsişir: .

Dumilər üçün kömək : Riyazi kəsişmə işarəsini xatırlayın, çox tez-tez görünəcək. Qeyd, xəttin nöqtədəki xətt ilə kəsişdiyini bildirir.

İki xəttin nisbi mövqeyini necə təyin etmək olar?

Birinci halda başlayaq:

İki xətt yalnız və yalnız onların müvafiq əmsalları mütənasib olduqda üst-üstə düşür, yəni bərabərliklərin təmin olunduğu bir ədəd “lambda” var

Düz xətləri nəzərdən keçirək və müvafiq əmsallardan üç tənlik yaradaq: . Hər bir tənlikdən belə çıxır ki, bu xətlər üst-üstə düşür.

Həqiqətən, əgər tənliyin bütün əmsalları –1-ə (işarələri dəyişdirin) və tənliyin bütün əmsallarını vurun 2-yə kəsildikdə, eyni tənliyi alırsınız: .

İkinci hal, xətlər paralel olduqda:

Dəyişənlərin əmsalları mütənasib olduqda iki xətt paraleldir: , Amma.

Nümunə olaraq iki düz xətti nəzərdən keçirək. Dəyişənlər üçün müvafiq əmsalların mütənasibliyini yoxlayırıq:

Bununla belə, tamamilə aydındır.

Üçüncü hal, xətlər kəsişdikdə:

İki xətt yalnız və yalnız dəyişənlərin əmsalları mütənasib olmadıqda kəsişir, yəni “lambda”nın elə bir dəyəri YOXDUR ki, bərabərliklər təmin olunsun

Beləliklə, düz xətlər üçün bir sistem yaradacağıq:

Birinci tənlikdən belə çıxır ki, , ikinci tənlikdən isə: , deməkdir sistem uyğunsuzdur(həll yoxdur). Beləliklə, dəyişənlərin əmsalları mütənasib deyil.

Nəticə: xətlər kəsişir

Praktik problemlərdə siz indicə müzakirə olunan həll sxemindən istifadə edə bilərsiniz. Yeri gəlmişkən, bu, sinifdə baxdığımız vektorların kollinearlığını yoxlamaq alqoritmini çox xatırladır. Vektorların xətti (in) asılılığı anlayışı. Vektorların əsasları. Ancaq daha sivil bir qablaşdırma var:

Misal 1

Xətlərin nisbi mövqeyini tapın:

Həll düz xətlərin istiqamətləndirici vektorlarının öyrənilməsinə əsaslanaraq:

a) Tənliklərdən xətlərin istiqamət vektorlarını tapırıq: .

, bu o deməkdir ki, vektorlar kollinear deyil və xətlər kəsişir.

Hər halda, yol ayrıcında işarələri olan bir daş qoyacağam:

Qalanlar daşın üstündən tullanır və düz Ölümsüz Kaşçeyə doğru irəliləyirlər =)

b) Xətlərin istiqamət vektorlarını tapın:

Xətlər eyni istiqamət vektoruna malikdir, yəni ya paralel, ya da üst-üstə düşür. Burada determinantı saymağa ehtiyac yoxdur.

Aydındır ki, naməlumların əmsalları mütənasibdir və .

Bərabərliyin doğru olub olmadığını öyrənək:

Beləliklə,

c) Xətlərin istiqamət vektorlarını tapın:

Bu vektorların koordinatlarından ibarət determinantı hesablayaq:
, buna görə də istiqamət vektorları kollineardır. Xətlər ya paralel, ya da üst-üstə düşür.

“Lambda” mütənasiblik əmsalı birbaşa kollinear istiqamət vektorlarının nisbətindən asanlıqla görmək olar. Bununla belə, bunu tənliklərin öz əmsalları vasitəsilə də tapmaq olar: .

İndi bərabərliyin doğru olub olmadığını öyrənək. Hər iki pulsuz şərt sıfırdır, buna görə də:

Alınan dəyər bu tənliyi təmin edir (ümumiyyətlə istənilən ədəd onu təmin edir).

Beləliklə, xətlər üst-üstə düşür.

Cavab verin:

Çox tezliklə şifahi olaraq müzakirə olunan problemi bir neçə saniyə ərzində həll etməyi öyrənəcəksiniz (və ya artıq öyrənmisiniz). Bu baxımdan, müstəqil bir həll üçün bir şey təklif etməkdə heç bir məna görmürəm, həndəsi təmələ başqa bir vacib kərpic qoymaq daha yaxşıdır:

Verilmiş birinə paralel xətti necə qurmaq olar?

Bu ən sadə tapşırığı bilməməsinə görə Quldur Bülbül ağır cəzalandırır.

Misal 2

Düz xətt tənliklə verilir. Nöqtədən keçən paralel xəttin tənliyini yazın.

Həll: Naməlum xətti hərflə işarə edək. Şərt onun haqqında nə deyir? Düz xətt nöqtədən keçir. Əgər xətlər paraleldirsə, o zaman aydındır ki, “tse” düz xəttinin istiqamət vektoru “de” düz xəttini qurmaq üçün də uyğundur.

İstiqamət vektorunu tənlikdən çıxarırıq:

Cavab verin:

Nümunə həndəsə sadə görünür:

Analitik test aşağıdakı addımlardan ibarətdir:

1) Xətlərin eyni istiqamət vektoruna malik olmasını yoxlayırıq (xəttin tənliyi düzgün sadələşdirilməyibsə, vektorlar kollinear olacaq).

2) Nöqtənin yaranan tənliyə cavab verib-vermədiyini yoxlayın.

Əksər hallarda analitik test asanlıqla şifahi şəkildə həyata keçirilə bilər. İki bərabərliyə baxın və bir çoxunuz heç bir rəsm çəkmədən xətlərin paralelliyini tez müəyyən edəcəksiniz.

Bu gün müstəqil həllər üçün nümunələr yaradıcı olacaq. Çünki hələ də Baba Yaga ilə rəqabət aparmalı olacaqsınız və o, bilirsiniz ki, hər cür tapmacaları sevir.

Misal 3

Əgər xəttinə paralel nöqtədən keçən xətt üçün tənlik yazın

Bunu həll etməyin rasional və o qədər də rasional olmayan yolu var. Ən qısa yol dərsin sonundadır.

Paralel xətlərlə bir az işlədik və sonra onlara qayıdacağıq. Üst-üstə düşən xətlər az maraq doğurur, ona görə də məktəb kurikulumundan sizə çox tanış olan problemi nəzərdən keçirək:

İki xəttin kəsişmə nöqtəsini necə tapmaq olar?

Düzdürsə nöqtəsində kəsişir, onda onun koordinatları həll yoludur xətti tənliklər sistemləri

Xətlərin kəsişmə nöqtəsini necə tapmaq olar? Sistemi həll edin.

Buyurunuz iki naməlumlu iki xətti tənlik sisteminin həndəsi mənası- bunlar bir müstəvidə iki kəsişən (ən çox) xəttdir.

Misal 4

Xətlərin kəsişmə nöqtəsini tapın

Həll: Həll etməyin iki yolu var - qrafik və analitik.

Qrafik üsul sadəcə verilmiş xətləri çəkmək və kəsişmə nöqtəsini birbaşa rəsmdən tapmaqdır:

Məqsədimiz budur: . Yoxlamaq üçün onun koordinatlarını xəttin hər bir tənliyinə əvəz etməlisiniz, onlar həm oraya, həm də oraya uyğun olmalıdır. Başqa sözlə, bir nöqtənin koordinatları sistemin həllidir. Əslində, biz qrafik həll yoluna baxdıq xətti tənliklər sistemləri iki tənlik, iki naməlum.

Qrafik üsul, əlbəttə ki, pis deyil, lakin nəzərə çarpan çatışmazlıqlar var. Xeyr, məsələ yeddinci sinif şagirdlərinin bu cür qərar verməsində deyil, məsələ ondadır ki, düzgün və DƏQQİ rəsm yaratmaq üçün vaxt lazımdır. Bundan əlavə, bəzi düz xətləri qurmaq o qədər də asan deyil və kəsişmə nöqtəsi özü də otuzuncu səltənətdə notebook vərəqindən kənarda yerləşə bilər.

Buna görə də kəsişmə nöqtəsinin analitik üsulla axtarılması daha məqsədəuyğundur. Sistemi həll edək:

Sistemi həll etmək üçün tənliklərin müddət üzrə əlavə edilməsi üsulundan istifadə edilmişdir. Müvafiq bacarıqları inkişaf etdirmək üçün dərs alın Tənliklər sistemini necə həll etmək olar?

Cavab verin:

Yoxlama əhəmiyyətsizdir - kəsişmə nöqtəsinin koordinatları sistemin hər bir tənliyini təmin etməlidir.

Misal 5

Əgər xətlər kəsişirsə, onların kəsişmə nöqtəsini tapın.

Bu, özünüz həll etməyiniz üçün bir nümunədir. Tapşırığı bir neçə mərhələyə bölmək rahatdır. Vəziyyətin təhlili bunun zəruri olduğunu göstərir:
1) Düz xəttin tənliyini yazın.
2) Düz xəttin tənliyini yazın.
3) Xətlərin nisbi mövqeyini tapın.
4) Əgər xətlər kəsişirsə, onda kəsişmə nöqtəsini tapın.

Fəaliyyət alqoritminin işlənməsi bir çox həndəsi məsələlər üçün xarakterikdir və mən dəfələrlə buna diqqət yetirəcəyəm.

Tam həll və dərsin sonunda cavab:

Dərsin ikinci hissəsinə çatana qədər bir cüt ayaqqabı belə köhnəlməmişdi:

Perpendikulyar xətlər. Bir nöqtədən xəttə qədər olan məsafə.
Düz xətlər arasındakı bucaq

Tipik və çox vacib bir vəzifə ilə başlayaq. Birinci hissədə biz buna paralel düz bir xətt çəkməyi öyrəndik və indi toyuq ayaqları üzərindəki daxma 90 dərəcə dönəcək:

Verilmiş birinə perpendikulyar bir xətti necə qurmaq olar?

Misal 6

Düz xətt tənliklə verilir. Nöqtədən keçən xəttə perpendikulyar tənlik yazın.

Həll: Şərtlə məlumdur ki . Xəttin istiqamət vektorunu tapmaq yaxşı olardı. Xətlər perpendikulyar olduğundan hiylə sadədir:

Tənlikdən normal vektoru “çıxarırıq”: düz xəttin istiqamət vektoru olacaq.

Nöqtə və istiqamət vektorundan istifadə edərək düz xəttin tənliyini tərtib edək:

Cavab verin:

Həndəsi eskizi genişləndirək:

Hmmm... Narıncı göy, narıncı dəniz, narıncı dəvə.

Həllin analitik yoxlanışı:

1) Tənliklərdən istiqamət vektorlarını çıxarırıq və köməyi ilə vektorların skalyar hasili xətlərin doğrudan da perpendikulyar olduğu qənaətinə gəlirik: .

Yeri gəlmişkən, normal vektorlardan istifadə edə bilərsiniz, daha da asandır.

2) Nöqtənin yaranan tənliyə cavab verib-vermədiyini yoxlayın .

Test, yenə də şifahi olaraq həyata keçirmək asandır.

Misal 7

Tənlik məlumdursa, perpendikulyar xətlərin kəsişmə nöqtəsini tapın və dövr.

Bu, özünüz həll etməyiniz üçün bir nümunədir. Problemdə bir neçə hərəkət var, ona görə də həll nöqtəsini nöqtə-nöqtədə formalaşdırmaq rahatdır.

Maraqlı səyahətimiz davam edir:

Nöqtədən xəttə qədər olan məsafə

Qarşımızda düz bir çay zolağı var və vəzifəmiz ona ən qısa yolla çatmaqdır. Heç bir maneə yoxdur və ən optimal marşrut perpendikulyar boyunca hərəkət etmək olacaq. Yəni bir nöqtədən xəttə qədər olan məsafə perpendikulyar seqmentin uzunluğudur.

Həndəsədə məsafə ənənəvi olaraq yunan hərfi “rho” ilə işarələnir, məsələn: – “em” nöqtəsindən “de” düz xəttinə qədər olan məsafə.

Nöqtədən xəttə qədər olan məsafə düsturu ilə ifadə edilir

Misal 8

Bir nöqtədən xəttə qədər olan məsafəni tapın

Həll: yalnız rəqəmləri düsturda diqqətlə əvəz etmək və hesablamaları aparmaq lazımdır:

Cavab verin:

Gəlin rəsm çəkək:

Nöqtədən xəttə qədər tapılan məsafə tam olaraq qırmızı seqmentin uzunluğuna bərabərdir. Damalı kağızda 1 ədəd miqyasda bir rəsm çəksəniz. = 1 sm (2 hüceyrə), sonra məsafəni adi bir hökmdarla ölçmək olar.

Eyni rəsm əsasında başqa bir tapşırığı nəzərdən keçirək:

Tapşırıq düz xəttə nisbətən nöqtəyə simmetrik olan nöqtənin koordinatlarını tapmaqdır . Mən addımları özünüz yerinə yetirməyi təklif edirəm, lakin həll alqoritmini ara nəticələrlə təsvir edəcəyəm:

1) Xəttə perpendikulyar olan xətti tapın.

2) Xətlərin kəsişmə nöqtəsini tapın: .

Hər iki hərəkət bu dərsdə ətraflı müzakirə olunur.

3) Nöqtə seqmentin orta nöqtəsidir. Biz orta və uclardan birinin koordinatlarını bilirik. By seqmentin orta nöqtəsinin koordinatları üçün düsturlar Biz tapdıq .

Məsafənin də 2,2 vahid olduğunu yoxlamaq yaxşı olardı.

Burada hesablamalarda çətinliklər yarana bilər, lakin adi fraksiyaları hesablamağa imkan verən mikrokalkulyator qüllədə böyük köməklik göstərir. Mən sizə dəfələrlə məsləhət vermişəm və yenə də tövsiyə edəcəyəm.

İki paralel xətt arasındakı məsafəni necə tapmaq olar?

Misal 9

İki paralel xətt arasındakı məsafəni tapın

Bu, özünüz qərar verməyiniz üçün başqa bir nümunədir. Mən sizə bir az ipucu verəcəyəm: bunu həll etməyin sonsuz bir çox yolu var. Dərsin sonunda brifinq, amma özünüz üçün təxmin etməyə çalışmaq daha yaxşıdır, düşünürəm ki, ixtiranız yaxşı inkişaf etmişdir.

İki düz xətt arasındakı bucaq

Hər künc bir tıxacdır:

Həndəsədə iki düz xətt arasındakı bucaq DAHA KİÇİ bucaq kimi qəbul edilir və ondan avtomatik nəticə çıxarır ki, o, geniş ola bilməz. Şəkildə qırmızı qövslə göstərilən bucaq kəsişən xətlər arasındakı bucaq hesab edilmir. Və onun "yaşıl" qonşusu və ya əks yönümlü"moruq" küncü.

Əgər xətlər perpendikulyardırsa, onda 4 bucaqdan hər hansı birini aralarındakı bucaq kimi qəbul etmək olar.

Bucaqlar necə fərqlidir? Orientasiya. Birincisi, bucağın "sürüşdüyü" istiqamət əsaslıdır. İkincisi, mənfi yönümlü bucaq mənfi işarə ilə yazılır, məsələn, əgər .

Bunu sənə niyə dedim? Görünür, biz adi bucaq anlayışı ilə başa düşə bilərik. Fakt budur ki, bucaqları tapacağımız düsturlar asanlıqla mənfi nəticə ilə nəticələnə bilər və bu sizi təəccübləndirməməlidir. Mənfi işarəsi olan bir bucaq daha pis deyil və çox xüsusi bir həndəsi məna daşıyır. Rəsmdə mənfi bir bucaq üçün onun istiqamətini oxla (saat istiqamətində) göstərməyi unutmayın.

İki düz xətt arasındakı bucağı necə tapmaq olar?İki iş düsturu var:

Misal 10

Xətlər arasındakı bucağı tapın

Həll Və Birinci üsul

Ümumi formada tənliklərlə müəyyən edilmiş iki düz xətti nəzərdən keçirək:

Düzdürsə perpendikulyar deyil, Bu yönümlü Aralarındakı bucaq düsturla hesablana bilər:

Məxrəcə çox diqqət yetirək - bu dəqiqdir skalyar məhsul düz xətlərin yönləndirici vektorları:

Əgər , onda düsturun məxrəci sıfıra çevrilir və vektorlar ortoqonal, xətlər isə perpendikulyar olacaqdır. Məhz buna görə də düsturda düz xətlərin qeyri-perpendikulyarlığı ilə bağlı qeyd-şərt qoyulmuşdur.

Yuxarıda göstərilənlərə əsasən, həlli iki mərhələdə rəsmiləşdirmək rahatdır:

1) Xətlərin istiqamət vektorlarının skalyar hasilini hesablayaq:
, yəni xətlər perpendikulyar deyil.

2) Düsturdan istifadə edərək düz xətlər arasındakı bucağı tapın:

Tərs funksiyadan istifadə edərək bucağın özünü tapmaq asandır. Bu vəziyyətdə, arktangentin qəribəliyindən istifadə edirik (bax. Elementar funksiyaların qrafikləri və xassələri):

Cavab verin:

Cavabınızda biz dəqiq dəyəri, eləcə də kalkulyatordan istifadə etməklə hesablanmış təxmini dəyəri (tercihen həm dərəcə, həm də radyanla) göstəririk.

Yaxşı, mənfi, mənfi, böyük bir şey deyil. Budur həndəsi təsvir:

Təəccüblü deyil ki, bucağın mənfi yönlü olduğu ortaya çıxdı, çünki problemin ifadəsində birinci nömrə düz xəttdir və bucağın “açılması” məhz onunla başlamışdır.

Əgər həqiqətən müsbət bucaq əldə etmək istəyirsinizsə, xətləri dəyişdirməlisiniz, yəni ikinci tənlikdən əmsalları götürməlisiniz. , və birinci tənlikdən əmsalları götürün. Bir sözlə, birbaşa ilə başlamaq lazımdır .