4 ədədin ən kiçik ümumi çoxluğu. Ən böyük ortaq bölən və ən kiçik ortaq çoxluq. Onlayn kalkulyator

Ən kiçik ümumi çoxluğu necə tapmaq olar?

Ən kiçik ümumi çoxluğu tapdığımız iki ədədin hər birinin hər bir amilini tapmalı və sonra birinci və ikinci ədədlərdə üst-üstə düşən amilləri bir-birinə vurmalıyıq. Məhsulun nəticəsi tələb olunan çoxluq olacaqdır.

Məsələn, bizdə 3 və 5 rəqəmləri var və biz LCM-i (ən kiçik ümumi çoxluq) tapmalıyıq. Bizi çoxaltmaq lazımdır və üç və beş 1 2 3-dən başlayan bütün nömrələr üçün ... hər iki yerdə eyni rəqəmi görənə qədər və s.

Üçü çarpın və alın: 3, 6, 9, 12, 15

Beşə çarpın və alın: 5, 10, 15

Baş faktorlara ayırma üsulu bir neçə ədədin ən kiçik ümumi çoxluğunu (LCM) tapmaq üçün ən klassik üsuldur. Bu üsul aşağıdakı videoda aydın və sadə şəkildə nümayiş etdirilir:

Əlavə etmək, çoxaltmaq, bölmək, azaltmaq ortaq məxrəc və digər arifmetik əməliyyatlar çox maraqlı fəaliyyət, Mən xüsusilə bütün bir vərəqi tutan nümunələrə heyranam.

Beləliklə, iki ədədin bölündüyü ən kiçik ədəd olacaq iki ədədin ümumi qatını tapın. Qeyd etmək istərdim ki, axtardığınızı tapmaq üçün gələcəkdə düsturlara müraciət etmək lazım deyil, əgər beyninizdə saya bilirsinizsə (və bunu öyrətmək olar), onda rəqəmlərin özləri başınızda görünür və sonra fraksiyalar qoz kimi çatlayır.

Başlamaq üçün, öyrənək ki, iki ədədi bir-birinə vura bilərsiniz, sonra isə bu rəqəmi azaldıb növbə ilə bu iki ədədə bölmək olar ki, ən kiçik çoxluğu tapaq.

Məsələn, iki ədəd 15 və 6. Çoxalın və 90 alın. Bu, aydındır ki, daha böyük rəqəmdir. Üstəlik, 15 3-ə, 6 isə 3-ə bölünür, yəni biz də 90-ı 3-ə bölürük. 30-u alırıq. 30-a bölürük 15-ə bərabərdir 2. Və 30-a böl, 6-ya bərabərdir 5. 2 həddi olduğundan çevrilir. ədədlər üçün ən kiçik çoxluğun 15 və 6-nın 30 olacağını göstərir.

Daha böyük rəqəmlərlə bir az daha çətin olacaq. ancaq bölmə və ya vurma zamanı hansı ədədlərin sıfır qalıq verdiyini bilirsinizsə, o zaman, prinsipcə, böyük çətinliklər yoxdur.

NOC-u necə tapmaq olar

Budur, sizə ən az ümumi çoxluğu (LCM) tapmaq üçün iki yol verəcək bir video. Təklif olunan metodlardan birincisini istifadə edərək məşq etdikdən sonra ən az ümumi çoxluğun nə olduğunu daha yaxşı başa düşə bilərsiniz.

Ən kiçik ümumi çoxluğu tapmaq üçün başqa bir üsul təqdim edirəm. Buna aydın bir nümunə ilə baxaq.

Bir anda üç rəqəmin LCM-ni tapmalısınız: 16, 20 və 28.

Hər bir ədədi onun əsas amillərinin məhsulu kimi təqdim edirik:

Bütün əsas amillərin səlahiyyətlərini yazırıq:

16 = 224 = 2^24^1

20 = 225 = 2^25^1

28 = 227 = 2^27^1

Ən böyük gücə malik bütün əsas bölənləri (çoxalıcıları) seçirik, onları çoxaldırıq və LCM-ni tapırıq:

LCM = 2^24^15^17^1 = 4457 = 560.

LCM(16, 20, 28) = 560.

Beləliklə, hesablamanın nəticəsi 560 ədədi oldu. O, ən kiçik ümumi çoxluqdur, yəni üç ədədin hər birinə qalıqsız bölünür.

Ən kiçik ümumi çoxluq qalıq qoymadan bir neçə verilmiş ədədə bölünə bilən ədəddir. Belə bir rəqəmi hesablamaq üçün hər bir rəqəmi götürüb sadə amillərə parçalamaq lazımdır. Uyğun gələn nömrələr silinir. Hər kəsi bir-bir buraxır, onları növbə ilə öz aralarında çoxaldır və istədiyinizi əldə edin - ən az ümumi çoxluq.

NOC və ya ən az ümumi çoxluq, ən kiçikdir natural ədəd bu ədədlərin hər birinə qalıqsız bölünən iki və ya daha çox ədəd.

30 və 42-nin ən kiçik ortaq qatını tapmaq üçün bir nümunə.

İlk addım bu rəqəmləri əsas amillərə ayırmaqdır.

30 üçün 2 x 3 x 5 olur.

42 üçün bu, 2 x 3 x 7-dir. 2 və 3 30 rəqəminin genişlənməsində olduğundan, biz onların üstündən xətt çəkirik.

30 rəqəminin genişlənməsinə daxil olan amilləri yazırıq.Bu 2 x 3 x 5-dir.
İndi biz onları çatışmayan əmsala vurmalıyıq ki, bu da 42-ni genişləndirərkən əldə etdiyimiz 7-dir. 2 x 3 x 5 x 7 alırıq.
2 x 3 x 5 x 7-nin nəyə bərabər olduğunu tapırıq və 210 alırıq.

Nəticədə 30 və 42 rəqəmlərinin LCM-nin 210 olduğunu görürük.

Ən kiçik ümumi çoxluğu tapmaq üçün, bir neçə ardıcıllıqla yerinə yetirməlisiniz sadə hərəkətlər. Nümunə olaraq iki rəqəmdən istifadə edərək buna baxaq: 8 və 12

Hər iki ədədi sadə çarpanlara ayırırıq: 8=2*2*2 və 12=3*2*2
Rəqəmlərdən birinin eyni amillərini azaldırıq. Bizim vəziyyətimizdə 2 * 2 üst-üstə düşür, onları 12 rəqəmi üçün azaldaq, onda 12-də bir amil qalacaq: 3.
Bütün qalan amillərin hasilini tapın: 2*2*2*3=24

Yoxlayaraq, 24-ün həm 8, həm də 12-yə bölündüyünə əmin oluruq və bu, bu ədədlərin hər birinə bölünən ən kiçik natural ədəddir. Biz buradayıq ən kiçik ümumi çoxluğu tapdı.

Nümunə olaraq 6 və 8 rəqəmlərindən istifadə edərək izah etməyə çalışacağam.Ən az ümumi çoxluq bu ədədlərə bölünə bilən ədəddir (bizim vəziyyətimizdə 6 və 8) və qalıq olmayacaq.

Beləliklə, əvvəlcə 6-nı 1, 2, 3 və s. və 8-i 1, 2, 3 və s.-ə vurmağa başlayırıq.

Çoxluq verilmiş ədədə qalıqsız bölünən ədəddir. Ədədlər qrupunun ən kiçik ümumi çoxluğu (LCM) qrupdakı hər bir ədədə qalıq qoymadan bölünən ən kiçik ədəddir. Ən kiçik ümumi çoxluğu tapmaq üçün verilmiş ədədlərin sadə amillərini tapmaq lazımdır. LCM iki və ya daha çox ədəddən ibarət qruplara aid olan bir sıra digər üsullardan istifadə etməklə də hesablana bilər.

Addımlar

Çoxluqlar seriyası

Bu rəqəmlərə baxın. Burada təsvir edilən üsuldan hər biri 10-dan az olan iki ədəd verildikdə ən yaxşı şəkildə istifadə olunur. Əgər verilmişdirsə böyük rəqəmlər, başqa üsuldan istifadə edin.

Məsələn, 5 və 8-in ən kiçik ortaq qatını tapın. Bunlar kiçik ədədlərdir, ona görə də bu üsuldan istifadə edə bilərsiniz.

Çoxluq verilmiş ədədə qalıqsız bölünən ədəddir. Çoxluqları vurma cədvəlində tapmaq olar.
- Məsələn, 5-in qatları olan ədədlər: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.
Birinci ədədin qatları olan bir sıra ədədləri yazın.İki ədəd dəstini müqayisə etmək üçün bunu birinci ədədin qatlarının altında edin.
- Məsələn, 8-in qatları olan ədədlər: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 və 64-dür.
Hər iki çoxluq dəstində mövcud olan ən kiçik ədədi tapın.Ümumi ədədi tapmaq üçün çoxlu sayda uzun seriyalar yazmalı ola bilərsiniz. Hər iki çoxluq dəstində mövcud olan ən kiçik ədəd ən kiçik ümumi çoxluqdur.
- Misal üçün, ən kiçik rəqəm, 5 və 8-in qatları silsiləsində mövcud olan 40 rəqəmidir. Buna görə də 40 5 və 8-in ən kiçik ortaq qatıdır.
Baş faktorizasiya
1. Bu rəqəmlərə baxın. Burada təsvir edilən üsul hər biri 10-dan böyük olan iki ədəd verildikdə ən yaxşı şəkildə istifadə olunur. Daha kiçik ədədlər verilirsə, fərqli üsuldan istifadə edin.
  - Məsələn, 20 və 84 rəqəmlərinin ən kiçik ümumi qatını tapın. Rəqəmlərin hər biri 10-dan böyükdür, ona görə də bu üsuldan istifadə edə bilərsiniz.
2. Birinci ədədi əsas amillərə ayırın. Yəni elə sadə ədədlər tapmaq lazımdır ki, vurulduqda verilmiş ədəd alınsın. Əsas amilləri tapdıqdan sonra onları bərabərlik kimi yazın.
  - Misal üçün, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\ dəfə 10=20) Və 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\ dəfə (\mathbf (5) )=10). Beləliklə, 20 ədədinin əsas amilləri 2, 2 və 5 ədədləridir. Onları ifadə kimi yazın: .
3. İkinci ədədi əsas amillərə ayırın. Bunu ilk ədədi faktorlara ayırdığınız kimi edin, yəni elə sadə ədədlər tapın ki, vurulduqda verilmiş ədədi verəcək.
  - Misal üçün, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\dəfə 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\dəfə 6=42) Və 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\ dəfə (\mathbf (2) )=6). Beləliklə, 84 ədədinin əsas amilləri 2, 7, 3 və 2 ədədləridir. Onları ifadə kimi yazın: .
4. Hər iki ədəd üçün ümumi olan amilləri yazın.Çarpma əməliyyatı kimi amilləri yazın. Hər bir faktoru yazarkən, hər iki ifadədə onun üstündən xətt çəkin (ədədlərin əsas amillərə bölünməsini təsvir edən ifadələr).
  - Məsələn, hər iki ədədin ümumi əmsalı 2-dir, ona görə də yazın 2 × (\displaystyle 2\dəfə) və hər iki ifadədə 2-nin üstündən xətt çəkin.
  - Hər iki ədədin ortaq cəhəti 2-nin başqa əmsalıdır, ona görə də yazın 2 × 2 (\displaystyle 2\dəfə 2) və hər iki ifadədə ikinci 2-ni kəsin.
5. Qalan amilləri vurma əməliyyatına əlavə edin. Bunlar hər iki ifadədə üstündən xətt çəkilməyən amillər, yəni hər iki rəqəm üçün ortaq olmayan amillərdir.
  - Məsələn, ifadədə 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\dəfə 2\dəfə 5) Hər ikisi (2) ümumi amillər olduğu üçün üstündən xətt çəkilir. 5 amili üzərindən xətt çəkilməyib, ona görə vurma əməliyyatını belə yazın: 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\dəfə 2\dəfə 5)
  - İfadədə 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\dəfə 7\dəfə 3\dəfə 2) hər iki (2) də üstündən xətt çəkilir. 7 və 3-cü amillərin üstündən xətt çəkilmir, ona görə də vurma əməliyyatını belə yazın: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\ Displaystyle 2 \ dəfə 2 \ dəfə 5 \ 7 \ dəfə 3).
6. Ən kiçik ümumi çoxluğu hesablayın. Bunun üçün yazılı vurma əməliyyatında ədədləri çoxaltmaq lazımdır.
  - Misal üçün, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\dəfə 2\dəfə 5\dəfə 7\dəfə 3=420). Beləliklə, 20 və 84-ün ən kiçik ortaq qatı 420-dir.
Ümumi amillərin tapılması
1. Tik-tac-barmaq oyunu kimi bir şəbəkə çəkin. Belə bir şəbəkə digər iki paralel xətt ilə kəsişən (düz bucaq altında) iki paralel xəttdən ibarətdir. Bu sizə üç sıra və üç sütun verəcəkdir (tor # işarəsinə çox bənzəyir). Birinci sətirə və ikinci sütuna birinci nömrəni yazın. Birinci sətirə və üçüncü sütuna ikinci nömrəni yazın.
  - Məsələn, 18 və 30 ədədlərinin ən kiçik ortaq qatını tapın. Birinci sətirə və ikinci sütuna 18 rəqəmini, birinci sətirə və üçüncü sütuna 30 rəqəmini yazın.
2. Hər iki ədəd üçün ümumi bölücü tapın. Birinci sətirə və birinci sütuna yazın. Əsas amilləri axtarmaq daha yaxşıdır, lakin bu, tələb deyil.
  - Məsələn, 18 və 30 cüt ədəddir, ona görə də onların ümumi amili 2-dir. Beləliklə, birinci sətir və birinci sütuna 2 yazın.
3. Hər bir ədədi birinci bölənə bölün. Hər bir hissəni müvafiq nömrənin altına yazın. Hissə iki ədədin bölünməsinin nəticəsidir.
  - Misal üçün, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), buna görə də 18-dən aşağı 9 yazın.
  - 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), buna görə də 30-dan aşağı 15 yazın.
4. Hər iki hissə üçün ümumi bölücü tapın. Belə bölən yoxdursa, növbəti iki addımı keçin. Əks halda, ikinci sətirə və birinci sütuna bölücü yazın.
  - Məsələn, 9 və 15 3-ə bölünür, ona görə də ikinci sətirə və birinci sütuna 3 yazın.
5. Hər bir hissəni ikinci böləninə bölün. Hər bölmənin nəticəsini müvafiq hissənin altına yazın.
  - Misal üçün, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), buna görə də 9-un altında 3 yazın.
  - 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), buna görə də 15-dən aşağı 5 yazın.
6. Lazım gələrsə, şəbəkəyə əlavə hüceyrələr əlavə edin. Bölmələrin ümumi bölücü olana qədər təsvir olunan addımları təkrarlayın.
7. Şəbəkənin birinci sütununda və sonuncu sətirindəki nömrələri dairəyə çəkin. Sonra seçilmiş ədədləri vurma əməliyyatı kimi yazın.
  - Məsələn, 2 və 3 rəqəmləri birinci sütunda, 3 və 5 rəqəmləri isə sonuncu cərgədədir, ona görə də vurma əməliyyatını belə yazın: 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\ dəfə 3\ dəfə 3\ dəfə 5).
8. Ədədlərin vurulmasının nəticəsini tapın. Bu, verilmiş iki ədədin ən kiçik ortaq qatını hesablayacaqdır.
  - Misal üçün, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\ Displaystyle 2 \ dəfə 3 \ dəfə 3 \ dəfə 5 = 90). Beləliklə, 18 və 30-un ən kiçik ümumi çoxluğu 90-dır.
Evklid alqoritmi
1. Bölmə əməliyyatı ilə əlaqəli terminologiyanı xatırlayın. Dividend bölünən ədəddir. Bölən, bölünən ədəddir. Hissə iki ədədin bölünməsinin nəticəsidir. Qalan iki ədəd bölündükdə qalan ədəddir.
  - Məsələn, ifadədə 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) ost. 3:
    15 dividenddir
    6 böləndir
    2 nisbətdir
    3 qalıqdır.

Lakin bir çox natural ədədlər digər natural ədədlərə də bölünür.

Misal üçün:

12 rəqəmi 1-ə, 2-yə, 3-ə, 4-ə, 6-ya, 12-yə bölünür;

36 rəqəmi 1-ə, 2-yə, 3-ə, 4-ə, 6-ya, 12-yə, 18-ə, 36-ya bölünür.

Ədədin tam bölündüyü ədədlər (12 üçün bunlar 1, 2, 3, 4, 6 və 12) adlanır. ədədlərin bölənləri. Natural ədədin bölməsi a- verilmiş ədədi bölən natural ədəddir a izsiz. İkidən çox bölən olan natural ədədə deyilir kompozit.

Nəzərə alın ki, 12 və 36 rəqəmlərinin ümumi faktorları var. Bu ədədlər bunlardır: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Bu ədədlərin ən böyük böləni 12-dir. Bu iki ədədin ortaq bölməsi a Və b- bu verilmiş hər iki ədədin qalıqsız bölündüyü ədəddir a Və b.

Ümumi çoxluqlar bir neçə ədəd bu ədədlərin hər birinə bölünən ədəddir. Misal üçün, 9, 18 və 45 ədədlərinin 180-ə ortaq qatı var. Lakin 90 və 360 da onların ortaq qatlarıdır. Bütün ümumi çarpanlar arasında həmişə ən kiçiyi olur, bu halda 90-dır. Bu ədəd deyilir ən kiçikümumi çoxsaylı (CMM).

LCM həmişə təbii ədəddir ki, onun üçün təyin olunduğu ədədlərin ən böyüyündən böyük olmalıdır.

Ən kiçik ümumi çoxluq (LCM). Xüsusiyyətlər.

Kommutativlik:

Assosiativlik:

Xüsusilə, əgər və - ümumi ədədlər, Bu:

İkinin ən kiçik ümumi çoxluğu tam ədədlər m Və n bütün digər ümumi qatların bölənidir m Və n. Üstəlik, ümumi çoxluqlar dəsti m, n LCM-nin qatlarının çoxluğu ilə üst-üstə düşür( m, n).

üçün asimptotikanı bəzi ədədi-nəzəri funksiyalar baxımından ifadə etmək olar.

Belə ki, Çebışev funksiyası. Və:

Bu, Landau funksiyasının tərifindən və xassələrindən irəli gəlir g(n).

Sadə ədədlərin paylanması qanunundan nə gəlir.

Ən kiçik ümumi çoxluğun tapılması (LCM).

NOC( a, b) bir neçə yolla hesablana bilər:

1. Əgər məlumdursa ən böyük ortaq bölən, siz onun LOC ilə əlaqəsindən istifadə edə bilərsiniz:

2. Hər iki ədədin sadə amillərə kanonik parçalanması məlum olsun:

Harada p 1 ,...,p k- müxtəlif sadə ədədlər və d 1 ,...,d k Və e 1 ,...,e k— qeyri-mənfi tam ədədlər (müvafiq əsas genişlənmədə deyilsə, onlar sıfır ola bilər).

Sonra NOC ( a,b) düsturla hesablanır:

Başqa sözlə, LCM parçalanması bütün əsasları ehtiva edir çarpanları, nömrələrin ən azı bir genişləndirilməsinə daxildir a, b, və bu çarpanın iki göstəricisindən ən böyüyü alınır.

Misal:

Bir neçə ədədin ən kiçik ümumi çoxluğunun hesablanması iki ədədin LCM-nin bir neçə ardıcıl hesablamalarına endirilə bilər:

Qayda. Bir sıra nömrələrin LCM-ni tapmaq üçün sizə lazımdır:

- ədədləri sadə amillərə ayırmaq;

- ən böyük parçalanmanı (verilənlərin ən çoxunun amillərinin məhsulu) istədiyiniz məhsulun amillərinə köçürün və sonra birinci nömrədə görünməyən və ya orada görünən digər ədədlərin parçalanmasından amillər əlavə edin. daha az dəfə;

— əsas amillərin nəticəsi verilmiş ədədlərin LCM-i olacaqdır.

İstənilən iki və ya daha çox natural ədədin öz LCM-i var. Əgər ədədlər bir-birinin misli deyilsə və ya genişlənmədə eyni amillərə malik deyilsə, onda onların LCM-i bərabərdir. iş bu nömrələr.

28 ədədinin (2, 2, 7) əsas amilləri 3 amili (21 rəqəmi) ilə tamamlanır, nəticədə alınan məhsul (84) 21 və 28-ə bölünən ən kiçik ədəd olacaqdır.

Ən böyük 30 ədədinin əsas amilləri 25 ədədinin 5 əmsalı ilə tamamlanır, nəticədə alınan hasil 150 ən böyük 30 ədədindən böyükdür və bütün verilmiş ədədlərə qalıqsız bölünür. Bu, bütün verilmiş ədədlərin qatı olan mümkün olan ən kiçik məhsuldur (150, 250, 300...).

2,3,11,37 ədədləri sadə ədədlərdir, ona görə də onların LCM-i verilmiş ədədlərin hasilinə bərabərdir.

Qayda. Sadə ədədlərin LCM-ni hesablamaq üçün bütün bu ədədləri birlikdə vurmaq lazımdır.

Başqa bir seçim:

Bir neçə ədədin ən kiçik ümumi çoxluğunu (LCM) tapmaq üçün sizə lazımdır:

1) hər bir ədədi onun əsas amillərinin məhsulu kimi təmsil edin, məsələn:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) bütün əsas amillərin səlahiyyətlərini yazın:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) bu ədədlərin hər birinin bütün sadə bölənlərini (vuruşlarını) yazın;

4) bu ədədlərin bütün genişlənmələrində olan onların hər birinin ən böyük dərəcəsini seçin;

5) bu səlahiyyətləri artırın.

Misal. Rəqəmlərin LCM-ni tapın: 168, 180 və 3024.

Həll. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

Bütün əsas bölənlərin ən böyük güclərini yazırıq və onları çarpırıq:

NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

İkinci nömrə: b=

Min ayırıcı Boşluq ayırıcı olmadan "´

Nəticə:

Ən böyük ümumi bölən gcd( a,b)=6

LCM-nin ən kiçik ümumi çoxluğu( a,b)=468

Qalıqsız a və b ədədlərinə bölünə bilən ən böyük natural ədəd deyilir ən böyük ortaq bölən Bu nömrələrin (GCD). gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) və ya hcf(a,b) ilə işarələnir.

Ən kiçik ümumi çoxluqİki a və b tam ədədinin LCM-i a və b-yə qalıqsız bölünən ən kiçik natural ədəddir. LCM(a,b) və ya lcm(a,b) ilə işarələnir.

a və b tam ədədləri deyilir qarşılıqlı əsas, əgər onların +1 və −1-dən başqa ümumi bölənləri yoxdursa.

Ən böyük ortaq bölən

İki müsbət ədəd verilsin a 1 və a 2 1). Bu ədədlərin ümumi bölənini tapmaq tələb olunur, yəni. belə bir nömrə tapın λ ədədləri bölən a 1 və a 2 eyni zamanda. Alqoritmi təsvir edək.

1) Bu məqalədə nömrə sözü tam ədəd kimi başa düşüləcəkdir.

Qoy a 1 ≥ a 2 və icazə verin

Harada m 1 , a 3 bəzi tam ədədlərdir, a 3 <a 2 (bölmənin qalığı a başına 1 a 2 az olmalıdır a 2).

Belə iddia edək λ bölür a 1 və a 2 sonra λ bölür m 1 a 2 və λ bölür a 1 −m 1 a 2 =a 3 (“Ədədlərin bölünmə qabiliyyəti. Bölünmə testi” məqaləsinin 2-ci ifadəsi). Buradan belə çıxır ki, hər ortaq bölən a 1 və a 2 ümumi böləndir a 2 və a 3. Əks halda da doğrudur λ ortaq bölən a 2 və a 3 sonra m 1 a 2 və a 1 =m 1 a 2 +a 3 də bölünür λ . Buna görə ortaq bölən a 2 və a 3 də ümumi böləndir a 1 və a 2. Çünki a 3 <a 2 ≤a 1, onda deyə bilərik ki, ədədlərin ortaq bölənini tapmaq məsələsinin həlli a 1 və a 2 ədədlərin ümumi bölənini tapmaq üçün daha sadə məsələyə endirildi a 2 və a 3 .

Əgər a 3 ≠0, onda biz bölmək olar a 2 haqqında a 3. Sonra

Harada m 1 və a 4 bəzi tam ədədlərdir, ( a Bölmədən 4 qalıq a 2 haqqında a 3 (a 4 <a 3)). Oxşar mülahizələrlə belə nəticəyə gəlirik ki, ədədlərin ortaq bölənləri a 3 və a 4 ədədlərin ümumi bölənləri ilə üst-üstə düşür a 2 və a 3 və həmçinin ümumi bölənlərlə a 1 və a 2. Çünki a 1 , a 2 , a 3 , a 4, ... daim azalan ədədlərdir və onların arasında sonlu sayda tam ədədlər olduğundan a 2 və 0, sonra bir addım n, bölmənin qalan hissəsi a n on a n+1 sıfıra bərabər olacaq ( a n+2 =0).

Hər ortaq bölən λ nömrələri a 1 və a 2 həm də ədədlərin bölənidir a 2 və a 3 , a 3 və a 4 , .... a n və a n+1 . Əksi də doğrudur, ədədlərin ümumi bölənləri a n və a n+1 həm də ədədlərin bölənləridir a n−1 və a n , .... , a 2 və a 3 , a 1 və a 2. Amma ədədlərin ortaq böləni a n və a n+1 ədəddir a n+1, çünki a n və a n+1-ə bölünür a n+1 (bunu unutmayın a n+2 =0). Beləliklə a n+1 həm də ədədlərin bölənidir a 1 və a 2 .

Qeyd edək ki, nömrə a n+1 ədədlərin ən böyük bölənidir a n və a n+1 , ən böyük böləndən bəri a n+1 özüdür a n+1 . Əgər a n+1 tam ədədlərin hasili kimi göstərilə bilər, onda bu ədədlər də ədədlərin ümumi bölənləridir. a 1 və a 2. Nömrə a n+1 adlanır ən böyük ortaq bölən nömrələri a 1 və a 2 .

Nömrələri a 1 və a 2 müsbət və ya mənfi ədəd ola bilər. Rəqəmlərdən biri sıfıra bərabərdirsə, bu ədədlərin ən böyük ortaq böləni digər ədədin mütləq qiymətinə bərabər olacaqdır. Sıfır ədədlərin ən böyük ortaq bölməsi müəyyən edilməmişdir.

Yuxarıda göstərilən alqoritm adlanır Evklid alqoritmi iki tam ədədin ən böyük ortaq bölənini tapmaq.

İki ədədin ən böyük ortaq böləninin tapılması nümunəsi

İki ədəd 630 və 434-ün ən böyük ortaq bölənini tapın.

Addım 1. 630 rəqəmini 434-ə bölün. Qalan 196-dır.
Addım 2. 434 rəqəmini 196-ya bölün. Qalan 42-dir.
Addım 3. 196 rəqəmini 42-yə bölün. Qalan 28-dir.
Addım 4. 42 rəqəmini 28-ə bölün. Qalan 14-dür.
Addım 5. 28 rəqəmini 14-ə bölün. Qalan 0-dır.

5-ci addımda bölmənin qalığı 0-dır.Ona görə də 630 və 434 ədədlərinin ən böyük ortaq bölanı 14-dür.Qeyd edək ki, 2 və 7 ədədləri də 630 və 434 ədədlərinin bölənləridir.

Müqayisəli ədədlər

Tərif 1. Ədədlərin ən böyük ortaq bölməsi olsun a 1 və a 2 birə bərabərdir. Sonra bu nömrələr çağırılır ümumi ədədlər, ortaq bölən yoxdur.

Teorem 1. Əgər a 1 və a 2 misal ədəd, və λ bəzi ədəd, sonra ədədlərin hər hansı ümumi bölən λa 1 və a 2 də ədədlərin ümumi bölənidir λ Və a 2 .

Sübut. Ədədlərin ən böyük ortaq bölənini tapmaq üçün Evklid alqoritmini nəzərdən keçirək. a 1 və a 2 (yuxarıya bax).

Teorem şərtlərindən belə çıxır ki, ədədlərin ən böyük ortaq bölənidir a 1 və a 2 və buna görə də a n və a n+1 1-dir. Yəni a n+1 =1.

Gəlin bütün bu bərabərlikləri vuraq λ , Sonra

Ortaq bölən olsun a 1 λ Və a 2 bəli δ . Sonra δ çarpan kimi daxil edilir a 1 λ , m 1 a 2 λ və içində a 1 λ -m 1 a 2 λ =a 3 λ (bax: “Ədədlərin bölünməsi”, 2-ci bəyanat). Daha δ çarpan kimi daxil edilir a 2 λ Və m 2 a 3 λ , və deməli, bir amildir a 2 λ -m 2 a 3 λ =a 4 λ .

Bu cür mülahizə yürütsək, buna əminik δ çarpan kimi daxil edilir a n−1 λ Və m n−1 a n λ , və buna görə də a n−1 λ −m n−1 a n λ =a n+1 λ . Çünki a n+1 =1, onda δ çarpan kimi daxil edilir λ . Buna görə də nömrə δ ədədlərin ortaq bölənidir λ Və a 2 .

Teorem 1-in xüsusi hallarını nəzərdən keçirək.

Nəticə 1. Qoy a Və c Sadə ədədlər nisbətəndir b. Sonra onların məhsulu ac ilə bağlı sadə ədəddir b.

Həqiqətən. Teorem 1-dən ac Və b ilə eyni ümumi bölənlərə malikdir c Və b. Amma rəqəmlər c Və b nisbətən sadə, yəni. tək ortaq bölən var 1. Sonra ac Və b həm də tək ortaq bölən var 1. Buna görə ac Və b qarşılıqlı sadə.

Nəticə 2. Qoy a Və bədədləri birləşdirin və icazə verin b bölür ak. Sonra b bölür və k.

Həqiqətən. Təsdiq şərtindən ak Və b ortaq bölən var b. Teorem 1-ə əsasən, bümumi bölən olmalıdır b Və k. Beləliklə b bölür k.

Nəticə 1 ümumiləşdirilə bilər.

Nəticə 3. 1. Rəqəmlər olsun a 1 , a 2 , a 3 , ..., a m ədədə nisbətən sadədir b. Sonra a 1 a 2 , a 1 a 2 · a 3 , ..., a 1 a 2 a 3 ··· a m, bu ədədlərin hasili ədədə nisbətən sadədir b.

2. Bizə iki sıra ədədlər olsun

elə ki, birinci sıradakı hər ədəd ikinci sıradakı hər ədədin nisbətində sadə olsun. Sonra məhsul

Bu ədədlərin hər birinə bölünən ədədləri tapmaq lazımdır.

Əgər ədəd bölünürsə a 1, sonra forması var sa 1 harada s bəzi nömrə. Əgər qədədlərin ən böyük ortaq bölənidir a 1 və a 2, onda

Harada s 1 bəzi tam ədəddir. Sonra

edir ədədlərin ən kiçik ümumi qatları a 1 və a 2 .

a 1 və a 2 nisbətən sadədir, sonra ədədlərin ən kiçik ortaq qatıdır a 1 və a 2:

Bu ədədlərin ən kiçik ümumi çoxluğunu tapmalıyıq.

Yuxarıdakılardan belə nəticə çıxır ki, hər hansı bir çoxluq a 1 , a 2 , a 3 ədədin çoxluğu olmalıdır ε Və a 3 və geri. Rəqəmlərin ən kiçik ümumi çoxluğu olsun ε Və a 3 bəli ε 1 . Sonra, ədədlərin çoxluğu a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ədədlərin çoxluğu olmalıdır ε 1 və a 4 . Rəqəmlərin ən kiçik ümumi çoxluğu olsun ε 1 və a 4 bəli ε 2. Beləliklə, bütün ədədlərin çoxluq olduğunu öyrəndik a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m müəyyən ədədin qatları ilə üst-üstə düşür ε n, verilmiş ədədlərin ən kiçik ortaq qatı adlanır.

Xüsusi halda nömrələr olduqda a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m nisbətən sadədir, sonra ədədlərin ən kiçik ortaq qatıdır a 1 , a 2, yuxarıda göstərildiyi kimi, (3) formasına malikdir. Sonrakı ildən a Rəqəmlərə münasibətdə 3 sadə a 1 , a 2 sonra a 3 sadə ədəd a 1 · a 2 (Nəticə 1). Ədədlərin ən kiçik ümumi çoxluğu deməkdir a 1 ,a 2 ,a 3 rəqəmdir a 1 · a 2 · a 3. Oxşar şəkildə düşünərək, aşağıdakı ifadələrə çatırıq.