लघुगणक के साथ कार्य (सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान)। यह आलेख किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान खोजने की समस्याओं पर केंद्रित होगा। एकीकृत राज्य परीक्षा में समस्याओं का एक समूह शामिल है - ये लघुगणक के साथ समस्याएं हैं। अनुसंधान कार्यों से संबंधित कार्य विविध हैं। लघुगणकीय कार्यों के अलावा, ये हो सकते हैं: त्रिकोणमितीय कार्यों, भिन्नात्मक-तर्कसंगत कार्यों और अन्य के साथ कार्य।

किसी भी स्थिति में, मैं लेख "" में उल्लिखित सिद्धांत की एक बार फिर से समीक्षा करने की सलाह देता हूं। यदि आप इस सामग्री को समझते हैं और व्युत्पन्न खोजने में अच्छा कौशल रखते हैं, तो आप इस विषय में किसी भी समस्या को बिना कठिनाई के हल कर सकते हैं।

मैं आपको किसी दिए गए खंड पर किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा या सबसे छोटा मान खोजने के लिए एल्गोरिदम की याद दिलाना चाहता हूं:

1. व्युत्पन्न की गणना करें.

2. हम इसे शून्य के बराबर करते हैं और समीकरण को हल करते हैं।

3. निर्धारित करें कि परिणामी जड़ें (व्युत्पन्न के शून्य) इस खंड से संबंधित हैं या नहीं। हम उन लोगों को चिह्नित करते हैं जो संबंधित हैं।

4. हम खंड की सीमाओं पर और इस खंड से संबंधित बिंदुओं (पिछले पैराग्राफ में प्राप्त) पर फ़ंक्शन के मूल्यों की गणना करते हैं।

आइए कार्यों पर विचार करें:

फ़ंक्शन y=5x–ln (x+5) 5 का सबसे छोटा मान ज्ञात करें खंड पर [-4.5;0]।

अंतराल के अंत में और चरम बिंदुओं पर, यदि इस अंतराल पर कोई है, तो फ़ंक्शन के मूल्य की गणना करना और उनमें से सबसे छोटे का चयन करना आवश्यक है।

हम व्युत्पन्न की गणना करते हैं, इसे शून्य के बराबर करते हैं, और समीकरण को हल करते हैं।

आइए दिए गए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:

आइए किसी दिए गए खंड पर व्युत्पन्न के शून्य ज्ञात करें:

*एक भिन्न तब शून्य के बराबर होती है जब अंश शून्य के बराबर हो।

बिंदु x= – 4 दिए गए अंतराल से संबंधित है।

इस प्रकार, हम बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान की गणना करते हैं: - 4.5; - 4; 0.

हमारे द्वारा प्राप्त लघुगणक वाले मानों की गणना (या विश्लेषण) की जा सकती है। और आप देखेंगे कि इस खंड पर फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान "- 20" है।

लेकिन इनकी गणना करना जरूरी नहीं है. क्यों? हम जानते हैं कि उत्तर या तो पूर्णांक या परिमित दशमलव अंश होना चाहिए (यह भाग बी में एकीकृत राज्य परीक्षा की स्थिति है)। लेकिन लघुगणक वाले मान: - 22.5 - ln 0.5 5 और - ln3125 ऐसा उत्तर नहीं देंगे।

x=–4 फ़ंक्शन न्यूनतम मान प्राप्त करता है, आप (से अंतराल पर व्युत्पन्न के संकेत निर्धारित कर सकते हैं)– 5:-4) और (-4; + ∞ ).

अब उन लोगों के लिए जानकारी जिन्हें डेरिवेटिव के साथ कोई कठिनाई नहीं है और यह समझते हैं कि ऐसी समस्याओं को कैसे हल किया जाए। आप व्युत्पन्न की गणना किए बिना और अनावश्यक गणनाओं के बिना कैसे कर सकते हैं?

इसलिए, यदि हम इस बात को ध्यान में रखते हैं कि उत्तर एक पूर्णांक या एक परिमित दशमलव अंश होना चाहिए, तो हम ऐसा मान केवल तभी प्राप्त कर सकते हैं जब x एक पूर्णांक या एक परिमित पूर्णांक हो दशमलवऔर साथ ही, कोष्ठक में लघुगणक के चिह्न के नीचे हमारे पास एक इकाई या संख्या ई होगी। अन्यथा, हम सहमत मूल्य प्राप्त नहीं कर पाएंगे। और यह केवल x = - 4 पर ही संभव है।

इसका मतलब है कि इस बिंदु पर फ़ंक्शन का मान सबसे छोटा होगा, आइए इसकी गणना करें:

उत्तर:- 20

अपने लिए तय करें:

फ़ंक्शन y=3x– ln (x+3) 3 का खंड [–2.5;0] पर सबसे छोटा मान ज्ञात करें।

फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान ज्ञात करें y=ln (x+5) 5 – 5x खंड पर [-4.5;0]।

खंड पर फ़ंक्शन y=x 2 –13x+11∙lnx+12 का सबसे बड़ा मान ज्ञात करें।

किसी खंड पर किसी फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान ज्ञात करने के लिए, उसके सिरों पर और इस अंतराल पर चरम बिंदुओं पर, यदि कोई हो, फ़ंक्शन के मान की गणना करना आवश्यक है।

आइए व्युत्पन्न की गणना करें, इसे शून्य के बराबर करें, और परिणामी समीकरण को हल करें:

निर्णय कर लिया है द्विघात समीकरण, हम पाते हैं

बिंदु x = 1 किसी दिए गए अंतराल से संबंधित है।

बिंदु x = 22/4 उसका नहीं है।

इस प्रकार, हम बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान की गणना करते हैं:

हम जानते हैं कि उत्तर एक पूर्णांक या परिमित दशमलव अंश है, जिसका अर्थ है कि फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान 0 है। पहले और तीसरे मामले में, हमें ऐसा मान नहीं मिलेगा, क्योंकि इन अंशों का प्राकृतिक लघुगणक नहीं होगा ऐसा परिणाम दो.

इसके अलावा, बिंदु पर यह सुनिश्चित करेंx = 1 फ़ंक्शन अपना अधिकतम मान प्राप्त कर लेता है, आप (0) से अंतराल पर व्युत्पन्न के चिह्न निर्धारित कर सकते हैं:1 ) और (1 ; + ∞ ).

व्युत्पन्न की गणना किए बिना इस प्रकार की समस्या को कैसे हल करें?

यदि हम इस बात को ध्यान में रखते हैं कि उत्तर एक पूर्णांक या एक परिमित दशमलव अंश होना चाहिए, तो यह स्थिति केवल तभी सुनिश्चित होती है जब x एक पूर्णांक या एक परिमित दशमलव अंश वाला पूर्णांक हो और साथ ही हमारे पास एक इकाई या संख्या ई हो लघुगणक चिन्ह के नीचे.

यह तभी संभव है जब x = 1.

इसका मतलब है कि बिंदु x = 1 (या 14/14) पर फ़ंक्शन का मान सबसे बड़ा होगा, आइए इसकी गणना करें:

उत्तर: 0

अपने लिए तय करें:

खंड पर फ़ंक्शन y = 2x 2 –13x+9∙lnx+8 का सबसे बड़ा मान ज्ञात करें।

मैं ध्यान देता हूं कि डेरिवेटिव ढूंढे बिना ऐसे कार्यों को हल करने की विधि का उपयोग केवल एकीकृत राज्य परीक्षा में कार्य की गणना करते समय समय बचाने के लिए किया जा सकता है। और केवल तभी जब आप पूरी तरह से समझते हैं कि व्युत्पन्न (एल्गोरिदम का उपयोग करके) ढूंढकर ऐसी समस्याओं को कैसे हल किया जाए और इसे करने में अच्छे हैं। इसमें कोई संदेह नहीं है कि व्युत्पन्न के बिना हल करते समय, आपके पास विश्लेषण में कुछ अनुभव होना चाहिए।

ऐसी कई "मुश्किल" तकनीकें हैं जो कभी-कभी विशिष्ट कार्यों में मदद करती हैं, और उन सभी को याद रखना असंभव है। समाधान और गुणों के सिद्धांतों को समझना महत्वपूर्ण है। यदि आप किसी तकनीक पर अपनी उम्मीदें लगाते हैं, तो हो सकता है कि यह एक साधारण कारण से काम न करे: आप बस इसे भूल जाएंगे या आपको यूनिफाइड स्टेट परीक्षा में एक प्रकार का कार्य मिलेगा जो आप पहली बार देख रहे हैं।

हम इस अनुभाग में कार्यों पर विचार करना जारी रखेंगे, इसे चूकें नहीं!

बस इतना ही। मैं तुम्हारी सफलता की कामना करता हूं!

साभार, अलेक्जेंडर क्रुतित्सिख।

पुनश्च: यदि आप मुझे सोशल नेटवर्क पर साइट के बारे में बताएंगे तो मैं आभारी रहूंगा।

इस सेवा से आप कर सकते हैं किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ज्ञात करें Word में स्वरूपित समाधान के साथ एक चर f(x)। यदि फलन f(x,y) दिया गया है, तो इसे खोजना आवश्यक है दो चरों वाले किसी फलन का चरम. आप भी पा सकते हैं बढ़ते और घटते कार्य के अंतराल.

किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ज्ञात करें

य =

खंड पर [ ;]

सिद्धांत शामिल करें

कार्यों में प्रवेश के नियम:

एक चर के फलन के चरम के लिए आवश्यक शर्त

समीकरण f" 0 (x *) = 0 है आवश्यक शर्तएक चर के फलन का चरम, अर्थात् बिंदु x * पर फ़ंक्शन का पहला व्युत्पन्न गायब हो जाना चाहिए। यह स्थिर बिंदुओं x c की पहचान करता है जिस पर फ़ंक्शन बढ़ता या घटता नहीं है।

एक चर के फलन के चरम के लिए पर्याप्त स्थिति

मान लीजिए f 0 (x) समुच्चय D से संबंधित x के संबंध में दो बार अवकलनीय है। यदि बिंदु x * पर शर्त पूरी होती है:

एफ" 0 (एक्स *) = 0
एफ"" 0 (एक्स *) > 0

तब बिंदु x * फ़ंक्शन का स्थानीय (वैश्विक) न्यूनतम बिंदु है।

यदि बिंदु x * पर शर्त पूरी होती है:

एफ" 0 (एक्स *) = 0
एफ"" 0 (एक्स *)< 0

तब बिंदु x * एक स्थानीय (वैश्विक) अधिकतम है।

उदाहरण क्रमांक 1. सबसे महान और खोजें सबसे छोटा मूल्यकार्य: खंड पर।
समाधान।

क्रांतिक बिंदु एक x 1 = 2 (f'(x)=0) है। यह बिंदु खंड का है. (बिंदु x=0 महत्वपूर्ण नहीं है, क्योंकि 0∉)।
हम खंड के अंत और महत्वपूर्ण बिंदु पर फ़ंक्शन के मानों की गणना करते हैं।
f(1)=9, f(2)= 5 / 2 , f(3)=3 8 / 81
उत्तर: f मिनट = 5/2 x=2 पर; f अधिकतम =9 x=1 पर

उदाहरण क्रमांक 2. उच्च क्रम डेरिवेटिव का उपयोग करके, फ़ंक्शन y=x-2sin(x) का चरम ज्ञात करें।
समाधान।
फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें: y'=1-2cos(x) । आइए महत्वपूर्ण बिंदु खोजें: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z। हम y''=2sin(x) पाते हैं, गणना करते हैं, जिसका अर्थ है x= π / 3 +2πk, k∈Z फ़ंक्शन के न्यूनतम बिंदु हैं; , जिसका अर्थ है x=- π / 3 +2πk, k∈Z फ़ंक्शन के अधिकतम बिंदु हैं।

उदाहरण संख्या 3. बिंदु x=0 के आसपास चरम फ़ंक्शन की जांच करें।
समाधान। यहां फलन का चरम खोजना आवश्यक है। यदि चरम x=0 है, तो इसका प्रकार (न्यूनतम या अधिकतम) ज्ञात कीजिए। यदि पाए गए बिंदुओं में कोई x = 0 नहीं है, तो फ़ंक्शन f(x=0) के मान की गणना करें।
यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि जब किसी दिए गए बिंदु के प्रत्येक पक्ष पर व्युत्पन्न अपना चिह्न नहीं बदलता है, तो संभावित स्थितियाँभिन्न-भिन्न कार्यों के लिए भी: ऐसा हो सकता है कि बिंदु x 0 के एक तरफ या दोनों तरफ एक मनमाने ढंग से छोटे पड़ोस के लिए, व्युत्पन्न चिह्न बदल जाता है। इन बिंदुओं पर चरम सीमा पर कार्यों का अध्ययन करने के लिए अन्य तरीकों का उपयोग करना आवश्यक है।

1. फ़ंक्शन की परिभाषा का डोमेन ढूंढें और जांचें कि क्या इसमें संपूर्ण खंड शामिल है।

2. खंड के अंतर्गत आने वाले सभी स्थिर बिंदु निर्धारित करें। ऐसा करने के लिए, हम फ़ंक्शन का व्युत्पन्न ढूंढते हैं, इसे शून्य के बराबर करते हैं, परिणामी समीकरण को हल करते हैं और उपयुक्त जड़ों का चयन करते हैं।

3. यदि कोई स्थिर बिंदु नहीं हैं या उनमें से कोई भी खंड में नहीं आता है, तो अगले बिंदु पर जाएं।

4. हम चयनित स्थिर बिंदुओं (यदि कोई हो) के साथ-साथ x = a और x = b पर फ़ंक्शन के मानों की गणना करते हैं।

5. प्राप्त फ़ंक्शन मानों में से, सबसे बड़े और सबसे छोटे का चयन करें - वे वही होंगे जिनकी हम तलाश कर रहे हैं।

10) उत्तलता (कॉन्कैविटी) के लिए पर्याप्त स्थिति।यदि दो बार भिन्न फ़ंक्शन का दूसरा व्युत्पन्न सेट एक्स पर सकारात्मक (नकारात्मक) है, तो फ़ंक्शन इस सेट पर नीचे की ओर (ऊपर की ओर) उत्तल है।

11) विभक्ति बिंदुओं के लिए आवश्यक शर्त. विभक्ति बिंदु x0 पर दो बार निरंतर अवकलनीय फ़ंक्शन का दूसरा व्युत्पन्न f""(x) शून्य के बराबर है, यानी। एफ""(x0) = 0.

12) विभक्ति बिंदुओं के लिए पर्याप्त स्थिति.यदि दो बार भिन्न फ़ंक्शन का दूसरा व्युत्पन्न बिंदु x0 से गुजरने पर अपना संकेत बदलता है जिस पर f""(x0) = 0 है, तो x0 इसके ग्राफ का विभक्ति बिंदु है।

6.कई चरों के कार्यों की विभेदक गणना।

कार्यों का आंशिक व्युत्पन्न z = एफ(x,y) को फ़ंक्शन की वृद्धि के अनुपात की सीमाएं कहा जाता है जेड = जेड(एक्स,वाई)दिशाओं में संगत तर्क की वृद्धि के लिए ओहया कहांपर Δx → 0और Δу → 0क्रमश:

x के संबंध में आंशिक व्युत्पन्न:

गणना करते समय, y = const पर विचार करें।

Y के संबंध में आंशिक व्युत्पन्न:

गणना करते समय, x = const पर विचार करें।

दो चरों के किसी दिए गए फ़ंक्शन के तर्कों के मानों के सभी युग्मों के सेट G को कहा जाता है इस फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र.

फ़ंक्शन z = f(x,y) कहलाता है निरंतरबिंदु M0(x0,y0) पर, यदि इसे इस बिंदु और इसके पड़ोस पर परिभाषित किया गया है और संतुष्ट किया गया है

संख्या A को कहा जाता है फ़ंक्शन की सीमा z = f(x,y) बिंदु M0(x0,y0) पर:

फ़ंक्शन की कुल वृद्धि का रैखिक (डेल्टा x और डेल्टा ig के सापेक्ष) भाग कहलाता है पूर्ण अंतरऔर dz द्वारा निरूपित किया जाता है:

जहां deix और deigric स्वतंत्र चर के अंतर हैं, जो परिभाषा के अनुसार, संबंधित वेतन वृद्धि के बराबर हैं

डॉट (x 0; y 0)एक बिंदु कहा जाता है अधिकतम फ़ंक्शन z = एफ(एक्स; वाई) (x 0; y 0)के लिए

= <δ एफ(एक्स; वाई)≤ एफ(एक्स 0; वाई 0)।

डॉट (x 0; y 0)एक बिंदु कहा जाता है न्यूनतम फलन z = f(x; y) , यदि बिंदु के पड़ोस में हर जगह (x 0; y 0)के लिए

= <δ एफ(एक्स; वाई) ≥ एफ(एक्स 0; वाई 0)।

मान लीजिए कि समीकरण द्वारा दी गई एक सतह है . वह तल जिसमें किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली सतह पर रेखाओं की सभी स्पर्शरेखा रेखाएँ स्थित होती हैं , बुलाया स्पर्शरेखा तलबिंदु M0 पर सतह पर।

एक बिंदु से होकर खींची गई सीधी रेखा सतह , स्पर्श रेखा के लंबवत को कहा जाता है सतह पर सामान्य.

यदि सतह समीकरण द्वारा दी गई है , तो बिंदु पर इस सतह पर स्पर्शरेखा तल का समीकरण इस रूप में लिखा गया है: , और उसी बिंदु पर सतह के अभिलंब का समीकरण इस रूप में है:

भिन्नता के लिए आवश्यक शर्तें:यदि कोई फ़ंक्शन f एक बिंदु x0 पर अवकलनीय है, तो इस बिंदु पर इसमें सभी चर के संबंध में आंशिक व्युत्पन्न हैं। यदि एक फ़ंक्शन f एक बिंदु x0 पर अवकलनीय है, तो यह इस बिंदु पर निरंतर है।

भिन्नता के लिए पर्याप्त स्थितियाँ:मान लीजिए कि फ़ंक्शन f() को बिंदु x0 के किसी पड़ोस में परिभाषित किया गया है। मान लीजिए कि इस पड़ोस में एक फ़ंक्शन में सभी चर के संबंध में निरंतर आंशिक व्युत्पन्न होते हैं, तो फ़ंक्शन f इस बिंदु पर भिन्न होता है।

आवश्यक शर्तेंएक चरम का अस्तित्व : या कम से कम एक आंशिक व्युत्पन्न मौजूद नहीं है।

पर्याप्त स्थितियाँएक चरम का अस्तित्व दो चर के कार्य:यदि > 0

फिर a) के लिए > 0 फ़ंक्शन में न्यूनतम ( मिन)

में) < 0 फ़ंक्शन में अधिकतम है ( अधिकतम)

अगर<0 वह कोई चरम सीमा नहीं.

अगर= 0, तो उच्च क्रम के डेरिवेटिव का उपयोग करके अतिरिक्त शोध आवश्यक है।

जटिल आंकड़े

परिभाषाएँ:

1) जटिल संख्या- वास्तविक संख्याओं के समुच्चय का विस्तार, आमतौर पर द्वारा दर्शाया जाता है। किसी भी जटिल संख्या को औपचारिक योग के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहां और वास्तविक संख्याएं हैं और काल्पनिक इकाई हैं।

2) किसी सम्मिश्र संख्या को , , के रूप में लिखना कहलाता है बीजगणितीय रूपजटिल संख्या।

3) संख्या के संगत बिंदु के त्रिज्या सदिश का कोण (रेडियन में) कहलाता है तर्कसंख्याओं और द्वारा निरूपित किया जाता है।

4) मापांकएक सम्मिश्र संख्या का तात्पर्य सम्मिश्र तल के संगत बिंदु के त्रिज्या वेक्टर की लंबाई है (या, जो समान है, इस संख्या के संगत सम्मिश्र तल के बिंदु और निर्देशांक की उत्पत्ति के बीच की दूरी)।

किसी सम्मिश्र संख्या का मापांक अभिव्यक्ति द्वारा निरूपित और परिभाषित किया जाता है . प्रायः या अक्षरों से दर्शाया जाता है। यदि यह एक वास्तविक संख्या है, तो यह इस वास्तविक संख्या के निरपेक्ष मान से मेल खाता है।

5) यदि कोई सम्मिश्र संख्या हो तो वह संख्या कहलाती है संयुग्म(या जटिल संयुग्म) को (द्वारा भी दर्शाया गया है)। जटिल तल पर, संयुग्म संख्याएँ वास्तविक अक्ष के सापेक्ष एक दूसरे की दर्पण छवियों के रूप में प्राप्त की जाती हैं। संयुग्म संख्या का मापांक मूल संख्या के समान है, और उनके तर्क संकेत में भिन्न हैं।

6) यदि किसी सम्मिश्र संख्या के वास्तविक और काल्पनिक भागों को मापांक और तर्क ( , ) के माध्यम से व्यक्त किया जाता है, तो शून्य को छोड़कर किसी भी सम्मिश्र संख्या को लिखा जा सकता है त्रिकोणमितीय रूपइ

7) परिभाषा सम्मिश्र संख्याओं का गुणनफलइस तरह से स्थापित किया गया है कि संख्या a + b·i और a' + b'i को बीजगणितीय द्विपद के रूप में गुणा किया जा सकता है, और संख्या i का गुण i 2 =−1 है।

8) मान लीजिए कि यह एक मनमाना प्राकृत संख्या है . किसी सम्मिश्र संख्या का nवाँ मूल z एक जटिल संख्या है जैसे कि।

9) सम्मिश्र संख्याओं को लिखने का घातांकीय रूप

एक जटिल घातांक के मामले के लिए घातांक का विस्तार कहां है।

गुण और प्रमेय:

1) बीजगणितीय रूप में दो सम्मिश्र संख्याओं का गुणनफलएक सम्मिश्र संख्या है जिसका मापांक कारकों के मापांक के गुणनफल के बराबर होता है, और जिसका तर्क कारकों के तर्कों के योग के बराबर होता है।

2) करने के लिए दो जटिल संख्याओं को त्रिकोणमितीय रूप में गुणा करेंरिकॉर्ड्स को उनके मॉड्यूल से गुणा करने और तर्क जोड़ने की आवश्यकता है। मान लीजिए कि , कहां और , कहां दो मनमानी जटिल संख्याएं त्रिकोणमितीय रूप में लिखी गई हैं। तब ।

3) मोइवरे का सूत्रजटिल संख्याओं के लिए कहा गया है कि किसी के लिए

4) करने के लिए एक जटिल संख्या को विभाजित करें (ए 1 + बी 1 मैं) किसी अन्य सम्मिश्र संख्या में ( ए 2 + बी 2 मैं), यानी, खोजें , आपको अंश और हर दोनों को हर से जुड़ी संख्या से गुणा करना होगा।

5)

8.एक चर के कार्यों का अभिन्न कलन।

1) प्रतिअवकलन

एक फ़ंक्शन F(x) जो एक निश्चित अंतराल (a,b) पर अवकलनीय है, इस अंतराल पर फ़ंक्शन f(x) के लिए प्रतिअवकलन कहलाता है यदि प्रत्येक x (a,b) के लिए समानता सत्य है

2)अनिश्चित अभिन्न

यदि F(x) एक निश्चित अंतराल पर फ़ंक्शन f(x) के लिए प्रतिअवकलन है, तो अभिव्यक्ति F(x)+C को फ़ंक्शन f(x) का अनिश्चित अभिन्न अंग कहा जाता है और इसे दर्शाया जाता है

3) निश्चित अभिन्न

किसी दिए गए खंड पर दिए गए फ़ंक्शन f(x) के एक निश्चित अभिन्न अंग से हमारा तात्पर्य इसके प्रतिअवकलन की संगत वृद्धि से है, अर्थात।

4) असंतत फलन का अनुचित समाकलन

मान लीजिए कि फ़ंक्शन f(x) निरंतर a ≤x≤b है और x=b पर एक असंततता बिंदु है। फिर असंतत फलन का संगत अनुचित समाकलन सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

और इसे अभिसरण या अपसारी कहा जाता है, यह इस पर निर्भर करता है कि समानता के दाईं ओर की सीमा मौजूद है या नहीं

5) अनंत एकीकरण अंतराल के साथ अनुचित अभिन्न अंग

मान लीजिए कि फलन f(x) a≤x≤b+∞ के लिए सतत है। फिर परिभाषा के अनुसार

यदि सीमा मौजूद है, तो समानता के बाईं ओर के अभिन्न अंग को अभिसरण कहा जाता है और इसका मान सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है; अन्यथा समानता अपना अर्थ खो देती है, बाईं ओर के अभिन्न को अपसारी कहा जाता है और इसे कोई संख्यात्मक मान नहीं दिया जाता है

गुण और प्रमेय

6) अनिश्चितकालीन अभिन्न में भागों द्वारा एकीकरण का सूत्र

7) भिन्नात्मक-तर्कसंगत कार्यों को एकीकृत करने के लिए नियम तैयार करें

1. अंश को हर से विभाजित करें

2. Q(x) =(x- )(x- )…

3. हम भिन्न को सरल भिन्नों के योग में विस्तारित करते हैं; ; ; ;

प्रकार 1 और 2 के भिन्नों के अभिन्न अंग की गणना अंतर, 3 और 4 के चिह्न के तहत फ़ंक्शन को शुरू करके की जाती है, सबसे पहले, हर में एक पूर्ण वर्ग का चयन किया जाता है।

8) त्रिकोणमितीय फलनों को एकीकृत करने का नियम बनाइये

9) एक निश्चित अभिन्न के गुणों का निरूपण करें

1. निश्चित अभिन्न का मान एकीकरण चर के पदनाम पर निर्भर नहीं करता है, अर्थात।

2. समान सीमा वाला निश्चित समाकलन शून्य के बराबर होता है

3. एकीकरण की सीमाओं को पुनर्व्यवस्थित करते समय, निश्चित अभिन्न अपना चिह्न विपरीत में बदल देता है

4. यदि एकीकरण अंतराल को आंशिक अंतरालों की एक सीमित संख्या में विभाजित किया जाता है, तो अंतराल पर लिया गया निश्चित अभिन्न उसके सभी आंशिक अंतरालों पर लिए गए निश्चित अभिन्नों के योग के बराबर होता है

5. अचर गुणनखंड को निश्चित समाकलन के चिन्ह से निकाला जा सकता है

6. सतत फलनों की एक सीमित संख्या के बीजगणितीय योग का निश्चित समाकलन इन फलनों के निश्चित समाकलों के समान बीजगणितीय योग के बराबर होता है

10) न्यूटन-लीबनिज सूत्र

यदि किसी अंतराल पर f सतत है और इस अंतराल पर F उसका कोई प्रतिअवकलज है, तो समानता कायम रहती है

11) एक निश्चित अभिन्न अंग में भागों द्वारा एकीकरण का सूत्र

संक्षिप्तता के लिए, हम संकेतन का उपयोग करते हैं

2) अनिश्चितकालीन अभिन्न के गुणों का निरूपण करें

1. अनिश्चितकालीन अभिन्न का अंतर इंटीग्रैंड के बराबर है, और अनिश्चित इंटीग्रल का व्युत्पन्न इंटीग्रैंड के बराबर है

2. एक सतत अवकलनीय फलन के अंतर का अनिश्चित समाकलन एक स्थिर पद तक इस फलन के बराबर होता है

3. एक अशून्य अचर गुणनखंड को अनिश्चितकालीन समाकलन के चिन्ह से निकाला जा सकता है

4. निरंतर फलनों की एक सीमित संख्या के बीजगणितीय योग का अनिश्चित समाकलन इन फलनों के अनिश्चित समाकलों के समान बीजगणितीय योग के बराबर होता है

5)अनिश्चित समाकलन में चर का परिवर्तन

मान लीजिए हमें अभिन्न को खोजने की आवश्यकता है। आइए x= (t) सेट करते हुए एक नया वेरिएबल t प्रस्तुत करें, जहां (t) एक निरंतर व्युत्पन्न के साथ एक सतत फ़ंक्शन है, जिसका एक व्युत्क्रम फ़ंक्शन t=Ψ(t) है। फिर, एकीकरण के बाद दाईं ओर, प्रतिस्थापन t=Ψ(x) करना चाहिए

3) अभिन्नों की तालिका

लघुगणक

घातीय कार्य

तर्कहीन कार्य

त्रिकोणमितीय कार्य

12) एक निश्चित समाकलन में चर का परिवर्तन

फ़ंक्शन f(x) अंतराल पर निरंतर है, फ़ंक्शन x= (t) का अंतराल [ पर निरंतर व्युत्पन्न है, a≤ (t)≤b और =a, =b के साथ

13) एक समतल आकृति के क्षेत्रफल की गणना

मान लीजिए कि फलन f(x) अंतराल पर सतत है। यदि f(x)≥0 पर, तो y=f(x), y=0, x=a, x=b रेखाओं से घिरे वक्ररेखीय समलम्बाकार क्षेत्र को इंटीग्रल का उपयोग करके व्यक्त किया जाएगा:

यदि f(x)≤0 पर , तो –f(x)≥0 पर . इसलिए, संबंधित वक्ररेखीय समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल S सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है

ध्रुवीय निर्देशांक में

पाठ योजना संख्या 100

अनुशासन गणित

स्पेशलिटी

कोर्स 1 ग्रुप सी 153

पाठ विषय: कार्यों का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान

पाठ का प्रकार:ज्ञान को समेकित करने और कौशल विकसित करने पर पाठ

पाठ का प्रकार:व्यावहारिक पाठ

लक्ष्य:

- शैक्षिक: किसी खंड पर फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान खोजने के लिए एक एल्गोरिदम बनाएं। एल्गोरिथम के आत्मसात का प्रारंभिक समेकन और प्रारंभिक नियंत्रण करना;

- विकसित होना: तार्किक सोच, कम्प्यूटेशनल कौशल विकसित करना;

- शैक्षिक: छात्रों में स्वतंत्रता, आत्म-ज्ञान, आत्म-निर्माण और आत्म-बोध को बढ़ावा देना।

कार्य:

अवश्य जानना चाहिए: किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ढूँढना

सक्षम होना चाहिए: अर्जित ज्ञान को व्यवहार में लागू करें

गठित दक्षताएँ:

- सामान्य: ठीक 1-9

- पेशेवर: पीसी 1.1. - पीसी 4.3.

कक्षाएं प्रदान करना:कार्ड, ठीक है

अंतःविषय कनेक्शन:विषय पर पाठ "किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान" ऐसे विषयों से जुड़ा है: "व्युत्पन्न की परिभाषा, इसका ज्यामितीय और भौतिक अर्थ", "बुनियादी प्राथमिक कार्यों के व्युत्पन्न", "दूसरा व्युत्पन्न, इसका भौतिक अर्थ", "व्युत्पन्न का उपयोग करके गति और त्वरण का पता लगाना", "जटिल कार्यों का विभेदन", "किसी फ़ंक्शन की स्थिरता, वृद्धि और कमी का संकेत", "किसी फ़ंक्शन का चरम। किसी फ़ंक्शन का चरम तक अध्ययन", "व्युत्पन्न का उपयोग करके किसी फ़ंक्शन का अध्ययन", "ग्राफ़ के निर्माण के लिए व्युत्पन्न का अनुप्रयोग", "फ़ंक्शन के अध्ययन और निर्माण के लिए व्युत्पन्न का अनुप्रयोग", "ग्राफ़ की उत्तलता" किसी फ़ंक्शन का, विभक्ति बिंदु", "विषय पर अभ्यास हल करना: "व्युत्पन्न और उसका अनुप्रयोग"

शिक्षण विधियाँ: सक्रिय: मौखिक, दृश्य

पाठ की प्रगति

पाठ का संगठन (3 मिनट.).

पाठ के विषय और उद्देश्यों के बारे में बताएं। (4 मिनट.)

नए ज्ञान में महारत हासिल करने के लिए परिवर्तन के रूप में बुनियादी ज्ञान को अद्यतन करना। (7 मिनट.)

किसी नए विषय का अध्ययन करने के लिए, हमें उस सामग्री को दोहराना होगा जिसे हमने कवर किया है। आप निम्नलिखित कार्यों को मौखिक रूप से पूरा करके ऐसा करेंगे। अपनी नोटबुक में प्रत्येक प्रश्न के केवल उत्तर ही लिखें। (3 मि.)

फ़ंक्शन y=f(x) के ग्राफ़ का उपयोग करके, खोजें:

1.किसी फ़ंक्शन की परिभाषा का डोमेन.

2. उन बिंदुओं का भुज जिस पर f`(x)=0

3. उन बिंदुओं का भुज जिन पर f`(x) मौजूद नहीं है।

4. फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान. (उनाइब.).

5. फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान (Unaim.).

अध्यापक: किन बिंदुओं को स्थिर कहा जाता है?

विद्यार्थी: वे बिंदु जिन पर फ़ंक्शन f / (x) = 0 का व्युत्पन्न होता है, स्थिर कहलाते हैं।

अध्यापक: स्थिर बिंदुओं को खोजने के लिए आपको यह करना होगा: फ़ंक्शन f / (x) का व्युत्पन्न ढूंढें और समीकरण f / (x) = को हल करें 0

अर्जित ज्ञान के समेकन के साथ नए ज्ञान का संचार और आत्मसात करना। (41 मि.)

सतत फ़ंक्शन y= का सबसे छोटा और सबसे बड़ा मान खोजने के लिए एल्गोरिदमएफ(एक्स) खंड पर [ए; बी]

f खोजें "(x);

उन बिंदुओं को ढूंढें जिन पर f "(x)=0 या f "(x) मौजूद नहीं है, और उनमें से उन बिंदुओं का चयन करें जो खंड के अंदर स्थित हैं;

चरण 2 में प्राप्त बिंदुओं और खंड के अंत में फ़ंक्शन y=f "(x) के मानों की गणना करें और उनमें से सबसे बड़े और सबसे छोटे का चयन करें; वे क्रमशः सबसे बड़े और सबसे छोटे मान होंगे ​​सेगमेंट पर फ़ंक्शन y=f(x) का, जिसे निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है: अधिकतम y(x) और न्यूनतम y(x)।

उदाहरण।

आइए खंड पर फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान खोजें।

आइए महत्वपूर्ण बिंदु खोजें।

चूँकि किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न किसी के लिए परिभाषित किया गया है एक्स, आइए समीकरण हल करें

नई सामग्री का समेकन. समस्या को सुलझाना।

विकल्प 1।

यू मैक्स खोजें। और यू नाम. खंड पर फ़ंक्शन y=2-8x+6 [-1;4]

खंड से संबंधित बिंदुओं का चयन करें [-1;4]

3. खोजें y(-1)

विकल्प 2।

यू मैक्स खोजें। और यू नाम. एक खंड पर कार्य y=+4x-3

समीकरण y´=0 को हल करके स्थिर बिंदु खोजें

खंड से संबंधित बिंदुओं का चयन करें [-3;2]

3. खोजें y(-3)

और दूसरे चरण में चयनित बिंदुओं पर

पाए गए मानों में से सबसे बड़े और सबसे छोटे मान का चयन करें।

पाठ्यपुस्तक से किसी कार्य को हल करना

स्वतंत्र काम

विकल्प 1।खंड [-3;6] पर फ़ंक्शन y = x 2 + 4x का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान निर्धारित करें।

उत्तर विकल्प:

ए) न्यूनतम y(x)= -12, अधिकतम y(x)= -5; बी) न्यूनतम y(x)= -4, अधिकतम y(x)= 60; सी) न्यूनतम y(x)= -12, अधिकतम y(x)= 4

[-3;6] [-3;6] [-3;6] [-3;6] [-3;6] [-3;6]

विकल्प 2।खंड पर फ़ंक्शन y = x 2 -2x का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान निर्धारित करें।

उत्तर विकल्प:

ए) न्यूनतम y(x)= -1, अधिकतम y(x)= -3/4; बी) न्यूनतम y(x)= -1, अधिकतम y(x)= 8; सी) न्यूनतम y(x)= -3/4, अधिकतम y(x)= -1

विकल्प 3.खंड [-2;2] पर फ़ंक्शन y = 3x 2 + 6x का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान निर्धारित करें।

उत्तर विकल्प:

ए) न्यूनतम y(x)= -4, अधिकतम y(x)= 0; बी) न्यूनतम y(x)= -20, अधिकतम y(x)= 0; सी) न्यूनतम y(x)= -3, अधिकतम y(x)= 24

[-2;2] [-2;2] [-2;2] [-2;2] [-2;2] [-2;2]

विकल्प 4.खंड [-1;3] पर फ़ंक्शन y = 2x 2 - 2x का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान निर्धारित करें।

उत्तर विकल्प:

ए) न्यूनतम y(x)= -0.5, अधिकतम y(x)= 12; बी) न्यूनतम y(x)= 4, अधिकतम y(x)= 5; सी) न्यूनतम y(x)= 0, अधिकतम y(x)= 5

[-1;3] [-1;3] [-1;3] [-1;3] [-1;3] [-1;3]

पाठ का सारांश. (5 मिनट.)

आज हमने कक्षा में क्या किया?

आपको क्या पसंद आया, किस प्रकार की गतिविधियाँ?

छात्र कार्य का विश्लेषण, ग्रेडिंग

पाठ प्रतिबिंब. (5 मिनट।)

वाक्य जारी रखें:

मुझे आज पता चला...

मुझे इस कार्य में रुचि थी...

मेरे लिए सबसे कठिन कार्य था...

मुझे पाठ पसंद आया...

मुझे काम पसंद नहीं आया...

पाठ्येतर स्वतंत्र कार्य के लिए असाइनमेंट। (5 मिनट।)