МЭӨ V зуунд эртний Грекийн гүн ухаантанЭлеагийн Зено алдартай апориагаа томъёолсон бөгөөд хамгийн алдартай нь "Ахиллес ба яст мэлхий" апориа юм. Энэ нь дараах байдалтай байна.

Ахиллес яст мэлхийгээс арав дахин хурдан гүйж, түүнээс мянган алхмын ард байна гэж бодъё. Ахиллес энэ зайд гүйхэд шаардагдах хугацаанд яст мэлхий нэг чиглэлд зуун алхам мөлхөх болно. Ахиллес зуун алхам гүйхэд яст мэлхий дахиад арван алхам мөлхдөг гэх мэт. Энэ үйл явц эцэс төгсгөлгүй үргэлжлэх бөгөөд Ахиллес яст мэлхийг хэзээ ч гүйцэхгүй.

Энэ үндэслэл нь дараагийн бүх үеийнхний хувьд логик цочрол болсон. Аристотель, Диоген, Кант, Гегель, Гильберт... Тэд бүгдээрээ Зеногийн апориа гэж нэг талаараа үзсэн. Цочрол маш хүчтэй байсан тул " ... өнөөдрийг хүртэл хэлэлцүүлэг үргэлжилж байгаа бөгөөд шинжлэх ухааны нийгэмлэг парадоксуудын мөн чанарын талаар нэгдсэн саналд хүрч чадаагүй байна ... асуудлыг судлахад оролцсон; математик шинжилгээ, олонлогийн онол, физик, философийн шинэ хандлага; Тэдгээрийн аль нь ч асуудлыг шийдэх нийтээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн шийдэл болсонгүй ..."[Википедиа, "Зеногийн апориа". Хүн бүр хууртагдаж байгааг ойлгодог, гэхдээ хууран мэхлэлт юунаас бүрддэгийг хэн ч ойлгодоггүй.

Математикийн үүднээс авч үзвэл Зено өөрийн апориадаа хэмжигдэхүүнээс . Энэ шилжилт нь байнгын бус хэрэглээг илэрхийлдэг. Миний ойлгож байгаагаар хувьсах хэмжлийн нэгжийг ашиглах математикийн аппарат хараахан боловсруулагдаагүй эсвэл Зеногийн апорид ашиглагдаагүй байна. Ердийн логикоо ашиглах нь биднийг урхинд оруулдаг. Бид сэтгэхүйн инерцийн улмаас цаг хугацааны тогтмол нэгжийг харилцан хамааралтай үнэ цэнэд ашигладаг. Физик талаас нь харвал энэ нь Ахиллес яст мэлхийг гүйцэх тэр мөчид бүрэн зогстол цаг удааширч байгаа мэт харагдаж байна. Хэрэв цаг хугацаа зогсвол Ахиллес яст мэлхийг гүйцэж чадахгүй.

Хэрэв бид ердийн логикоо эргүүлбэл бүх зүйл байрандаа орно. Ахиллес тогтмол хурдтайгаар гүйдэг. Түүний замын дараагийн хэсэг бүр өмнөхөөсөө арав дахин богино байна. Үүний дагуу үүнийг даван туулахад зарцуулсан хугацаа өмнөхөөсөө арав дахин бага байна. Хэрэв бид энэ нөхцөлд "хязгааргүй" гэсэн ойлголтыг ашиглавал "Ахиллес яст мэлхийг хязгааргүй хурдан гүйцэх болно" гэж хэлэх нь зөв байх болно.

Энэ логик урхинаас хэрхэн зайлсхийх вэ? Цагийн тогтмол нэгжид үлдэж, харилцан адилгүй нэгж рүү бүү шилжинэ. Зеногийн хэлээр энэ нь дараах байдалтай байна.

Ахиллес мянган алхам гүйхэд яст мэлхий нэг зүгт зуун алхам мөлхөх болно. Эхнийхтэй тэнцэх дараагийн хугацааны интервалд Ахиллес дахиад мянган алхам гүйж, яст мэлхий зуун алхам мөлхөх болно. Одоо Ахиллес яст мэлхийнээс найман зуун алхмын өмнө байна.

Энэ хандлага нь бодит байдлыг ямар ч логик парадоксгүйгээр хангалттай дүрсэлдэг. Гэхдээ энэ нь асуудлыг бүрэн шийдэж чадахгүй. Эйнштейний гэрлийн хурдыг үл тоомсорлодог тухай мэдэгдэл нь Зеногийн "Ахиллес ба яст мэлхий" апориатай тун төстэй юм. Бид энэ асуудлыг судалж, дахин бодож, шийдвэрлэх шаардлагатай хэвээр байна. Мөн шийдлийг хязгааргүй олон тоогоор бус хэмжилтийн нэгжээр хайх ёстой.

Зеногийн өөр нэг сонирхолтой апориа нь нисдэг сумны тухай өгүүлдэг.

Нисдэг сум цаг мөч бүрт амарч, цаг мөч бүрт амарч байдаг тул хөдөлгөөнгүй байдаг.

Энэ апорид логик парадоксыг маш энгийнээр даван туулдаг - цаг мөч бүрт нисдэг сум сансар огторгуйн өөр өөр цэгүүдэд амарч байгаа бөгөөд энэ нь үнэндээ хөдөлгөөн юм гэдгийг тодруулахад хангалттай. Энд бас нэг зүйлийг анхаарах хэрэгтэй. Зам дээрх машины нэг гэрэл зургаас түүний хөдөлгөөний баримт, түүнд хүрэх зайг тодорхойлох боломжгүй юм. Машин хөдөлж байгаа эсэхийг тодорхойлохын тулд цаг хугацааны өөр өөр цэгээс нэг цэгээс авсан хоёр гэрэл зураг хэрэгтэй боловч тэдгээрийн хоорондох зайг тодорхойлж чадахгүй. Машин хүртэлх зайг тодорхойлохын тулд танд сансар огторгуйн өөр өөр цэгүүдээс авсан хоёр гэрэл зураг хэрэгтэй, гэхдээ тэдгээрээс та хөдөлгөөний баримтыг тодорхойлж чадахгүй (мэдээжийн хэрэг, танд тооцоололд нэмэлт мэдээлэл хэрэгтэй, тригонометр танд туслах болно. ). Миний онцлохыг хүссэн зүйл онцгой анхаарал, цаг хугацааны хоёр цэг, сансар огторгуйн хоёр цэг нь судалгаа хийх өөр өөр боломжийг олгодог тул андуурч болохгүй өөр зүйл юм.

2018 оны 7-р сарын 4, Лхагва гараг

Багц ба олон багцын ялгааг Википедиа дээр маш сайн дүрсэлсэн байдаг. Харцгаая.

Таны харж байгаагаар "ижил олонлогт хоёр ижил элемент байх боломжгүй" боловч хэрэв олонлогт ижил элементүүд байгаа бол ийм олонлогийг "олон олонлог" гэж нэрлэдэг. Ухаантай хүмүүс ийм утгагүй логикийг хэзээ ч ойлгохгүй. Энэ бол "бүрэн" гэдэг үгнээс оюун ухаангүй ярьдаг тоть, сургасан сармагчингийн түвшин юм. Математикчид энгийн сургагч багшийн үүрэг гүйцэтгэж, утгагүй санаагаа бидэнд номлодог.

Эрт урьд цагт гүүрийг барьсан инженерүүд гүүрний туршилт хийж байхдаа гүүрэн доор завинд сууж байжээ. Хэрэв гүүр нурсан бол дунд зэргийн инженер өөрийн бүтээлийн нуранги дор нас баржээ. Гүүр ачааллыг даах чадвартай бол авъяаслаг инженер өөр гүүрүүдийг барьсан.

Математикчид “намайг бод, би гэртээ байна” гэх, эс тэгвээс “математик хийсвэр ойлголтуудыг судалдаг” гэсэн хэллэгийн ард яаж нуугдаж байсан ч тэдгээрийг бодит байдалтай салшгүй холбодог хүйн ​​зангилаа байдаг. Энэ хүйн ​​бол мөнгө. Математик олонлогын онолыг математикчдад өөрсдөө хэрэгжүүлцгээе.

Бид математикийн хичээлийг маш сайн сурсан, одоо цалингаа өгөөд кассанд сууж байна. Тэгэхээр нэг математикч мөнгөө авахаар манайд ирдэг. Бид түүнд бүх дүнг тоолж, өөр өөр овоолго хэлбэрээр ширээн дээр тавьж, ижил мөнгөн дэвсгэртийг оруулав. Дараа нь бид овоо бүрээс нэг дэвсгэрт авч, математикчдаа түүний "математикийн цалин" -ыг өгнө. Ижил элементгүй олонлог нь ижил элементтэй олонлогтой тэнцүү биш гэдгийг нотлох үед л үлдсэн үнэт цаасыг хүлээн авах болно гэдгийг математикчд тайлбарлая. Эндээс л зугаа цэнгэл эхэлдэг.

Юуны өмнө, депутатуудын логик ажиллах болно: "Үүнийг бусдад хэрэглэж болно, гэхдээ надад биш!" Дараа нь тэд ижил мөнгөн дэвсгэртүүд өөр өөр үнэт цаасны дугаартай байдаг тул тэдгээрийг ижил элемент гэж үзэх боломжгүй гэж биднийг тайвшруулж эхэлнэ. За, цалингаа зоосоор тоолъё - зоосон дээр ямар ч тоо байхгүй. Энд математикч физикийг сандарч санаж эхэлнэ: өөр өөр зоосон мөнгө дээр байдаг өөр өөр тоо хэмжээЗоос бүрийн шороо, талст бүтэц, атомын зохион байгуулалт нь өвөрмөц...

Одоо надад хамгийн их байна сонирхолтой асуулт: олонлогийн элементүүд нь олонлогийн элементүүд болон эсрэгээр хувирах шугам хаана байх вэ? Ийм шугам байхгүй - бүх зүйлийг бөө нар шийддэг, шинжлэх ухаан энд хэвтэхэд ойрхон ч биш юм.

Энд хар. Бид сонгодог хөлбөмбөгийн цэнгэлдэхүүдижил талбайтай. Талбайн талбайнууд ижил байна - энэ нь бид олон багцтай гэсэн үг юм. Гэхдээ эдгээр ижил цэнгэлдэх хүрээлэнгүүдийн нэрийг харвал нэр нь өөр учраас олон гарч ирнэ. Таны харж байгаагаар ижил элементүүдийн багц нь олонлог ба олон багц юм. Аль нь зөв бэ? Тэгээд энд математикч-бөө-хурц хүн ханцуйнаасаа бүрээ гаргаж ирээд багц эсвэл олон багцын тухай ярьж эхлэв. Ямар ч байсан тэр бидний зөв гэдэгт итгүүлэх болно.

Орчин үеийн бөө нар олонлогийн онолыг бодит байдалтай уялдуулан хэрхэн ажилладагийг ойлгохын тулд нэг олонлогийн элементүүд нөгөө олонлогийн элементүүдээс юугаараа ялгаатай вэ гэсэн нэг асуултад хариулахад хангалттай. Би та нарт "нэг бүхэл бүтэн биш гэж төсөөлж болохуйц" эсвэл "ганц бүхэлдээ төсөөлшгүй" зүйлгүйгээр харуулах болно.

2018 оны 3-р сарын 18, Ням гараг

Тооны цифрүүдийн нийлбэр гэдэг нь математикт огт хамааралгүй бөөгийн хэнгэрэгтэй бүжиг юм. Тийм ээ, математикийн хичээл дээр бид тооны цифрүүдийн нийлбэрийг олж, түүнийгээ ашиглахыг заадаг, гэхдээ тэд бөө учраас үр хойчдоо ур чадвар, мэргэн ухааныг зааж сургах, эс бөгөөс бөө нар зүгээр л үхэх болно.

Танд нотлох баримт хэрэгтэй байна уу? Википедиа нээгээд "Тооны цифрүүдийн нийлбэр" гэсэн хуудсыг хайж олоод үзээрэй. Тэр байхгүй. Аливаа тооны цифрүүдийн нийлбэрийг олох томьёо математикт байдаггүй. Эцсийн эцэст тоо бол бидний тоо бичдэг график тэмдэг бөгөөд математикийн хэлээр даалгавар нь иймэрхүү сонсогддог: "Аливаа тоог илэрхийлэх график тэмдгийн нийлбэрийг ол." Математикчид энэ асуудлыг шийдэж чадахгүй ч бөө нар амархан шийдэж чадна.

Өгөгдсөн тооны цифрүүдийн нийлбэрийг олохын тулд юу хийж, яаж хийхийг олж мэдье. Ингээд 12345 тоотой болцгооё. Энэ тооны цифрүүдийн нийлбэрийг олохын тулд юу хийх хэрэгтэй вэ? Бүх алхамуудыг дарааллаар нь авч үзье.

1. Цаасан дээр тоог бич. Бид юу хийсэн бэ? Бид энэ тоог график тооны тэмдэг болгон хөрвүүлсэн. Энэ бол математикийн үйлдэл биш юм.

2. Бид үр дүнд нь нэг зургийг хэд хэдэн зураг болгон хуваасан. Зургийг тайрах нь математикийн үйлдэл биш юм.

3. График тэмдэгтүүдийг тоо болгон хувиргах. Энэ бол математикийн үйлдэл биш юм.

4. Үүссэн тоонуудыг нэмнэ. Одоо энэ бол математик.

12345 тооны цифрүүдийн нийлбэр нь 15. Математикчдын хэрэглэдэг бөө нараас авсан “зүсэх, оёх дамжаа” юм. Гэхдээ энэ нь бүгд биш юм.

Математикийн үүднээс авч үзвэл ямар тооны системд тоо бичих нь хамаагүй. Тэгэхээр, in өөр өөр системүүдТооцооллын хувьд ижил тооны цифрүүдийн нийлбэр өөр байх болно. Математикийн хувьд тооны системийг тухайн тооны баруун талд байрлах доод тэмдэгтээр заадаг. ХАМТ их тоо 12345 Би толгойгоо хуурмааргүй байна, тухай нийтлэлээс 26 дугаарыг харцгаая. Энэ тоог хоёртын, наймтын, аравтын, арван зургаатын тооллын системд бичье. Бид алхам бүрийг микроскопоор харахгүй. Үр дүнг харцгаая.

Таны харж байгаагаар янз бүрийн тооны системд ижил тооны цифрүүдийн нийлбэр өөр өөр байдаг. Энэ үр дүн нь математиктай ямар ч холбоогүй юм. Хэрэв та тэгш өнцөгтийн талбайг метр, сантиметрээр тодорхойлсон бол огт өөр үр дүн гарахтай адил юм.

Тэг нь бүх тооны системд адилхан харагддаг бөгөөд цифрүүдийн нийлбэр байдаггүй. Энэ бол үүнийг батлах өөр нэг үндэслэл юм. Математикчдад зориулсан асуулт: математикт тоо биш зүйлийг яаж тодорхойлдог вэ? Математикчдын хувьд тооноос өөр юу ч байхгүй гэж үү? Би үүнийг бөө нарт зөвшөөрч болох ч эрдэмтдэд зөвшөөрөөгүй. Бодит байдал зөвхөн тоон дээр тогтдоггүй.

Хүлээн авсан үр дүнг тооллын систем нь тоонуудын хэмжүүрийн нэгж гэдгийг нотлох баримт гэж үзэх ёстой. Эцсийн эцэст бид өөр өөр хэмжүүр бүхий тоонуудыг харьцуулж болохгүй. Хэрэв ижил хэмжигдэхүүнийг өөр өөр хэмжих нэгжүүдтэй ижил үйлдэл хийхэд хүргэдэг өөр өөр үр дүнТэднийг харьцуулж үзээд математиктай ямар ч холбоогүй гэсэн үг.

Жинхэнэ математик гэж юу вэ? Энэ нь математикийн үйлдлийн үр дүн нь тоон хэмжээ, ашигласан хэмжүүрийн нэгж, энэ үйлдлийг хэн гүйцэтгэж байгаагаас хамаарахгүй байх үед юм.

Хаалган дээр гарын үсэг зурна уу Тэр хаалгыг онгойлгоод:

Өө! Энэ эмэгтэйчүүдийн бие засах газар биш гэж үү?
- Залуу эмэгтэй! Энэ бол сүнснүүдийг тэнгэрт өргөгдсөнийхөө ариун байдлыг судлах лаборатори юм! Дээрээс нь гал болон дээш сум. Өөр ямар бие засах газар вэ?

Эмэгтэй... Дээд талын гэрэлт цагираг, доош сум нь эрэгтэй.

Хэрэв иймэрхүү зүйл таны нүдний өмнө өдөрт хэд хэдэн удаа анивчдаг бол дизайн урлаг,

Дараа нь та машиндаа гэнэт хачин дүрсийг олж хараад гайхах зүйл алга.

Би хувьдаа баас хийж буй хүнд хасах дөрвөн градусыг харахыг хичээдэг (нэг зураг) (хэд хэдэн зургийн найрлага: хасах тэмдэг, дөрөв, градусын тэмдэглэгээ). Би энэ охиныг физик мэдэхгүй тэнэг гэж бодохгүй байна. Тэр зүгээр л график дүрсийг мэдрэх хүчтэй хэвшмэл ойлголттой. Үүнийг математикчид бидэнд байнга заадаг. Энд нэг жишээ байна.

1А нь "хасах дөрвөн градус" эсвэл "нэг а" биш юм. Энэ нь "баасан хүн" буюу арван зургаатын тооллын "хорин зургаа" гэсэн тоо юм. Энэ тооны системд байнга ажилладаг хүмүүс тоо, үсгийг нэг график тэмдэг болгон автоматаар хүлээн авдаг.

Алгебр, бүх математикийн үндсэн шинж чанаруудын нэг бол зэрэг юм. Мэдээж 21-р зуунд бүх тооцоог онлайн тооны машин дээр хийж болно, гэхдээ үүнийг өөрөө хийж сурах нь тархины хөгжилд илүү дээр юм.

Энэ нийтлэлд бид энэ тодорхойлолттой холбоотой хамгийн чухал асуудлуудыг авч үзэх болно. Тухайлбал, энэ нь ерөнхийдөө юу вэ, түүний үндсэн үүрэг юу вэ, математикт ямар шинж чанарууд байдаг болохыг бид ойлгох болно.

Тооцоолол ямар харагдах, үндсэн томъёо нь юу болох жишээг авч үзье. Хэмжигдэхүүний үндсэн төрлүүд болон тэдгээр нь бусад функцээс юугаараа ялгаатай болохыг харцгаая.

Энэ хэмжигдэхүүнийг ашиглан хэрхэн шийдэхийг ойлгоцгооё янз бүрийн даалгавар. Хэрхэн тэг хүч, үндэслэлгүй, сөрөг гэх мэтийг хэрхэн өсгөх талаар жишээгээр харуулах болно.

Онлайн экспонентацийн тооцоолуур

Тооны хүч гэж юу вэ

"Тоогоо өсгөх" гэдэг нь юу гэсэн үг вэ?

Тооны n чадал нь a n удаа дараалсан хүчин зүйлийн үржвэр юм.

Математикийн хувьд энэ нь иймэрхүү харагдаж байна:

a n = a * a * a * …a n .

Жишээ нь:

• Гурав дахь зэрэгт 2 3 = 2 байна. = 2 * 2 * 2 = 8;
• 4 2 = 4 алхам руу. хоёр = 4 * 4 = 16;
• 5 4 = 5 алхам. дөрөв = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
• 5 алхамаар 10 5 = 10. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
• 4 алхамаар 10 4 = 10. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

Доорх нь 1-ээс 10 хүртэлх квадрат ба шоо дөрвөлжин хүснэгт юм.

1-ээс 10 хүртэлх градусын хүснэгт

Натурал тоонуудыг эерэг хүч болгон "1-ээс 100" хүртэл өсгөх үр дүнг доор харуулав.

Ч-ло	2-р ст.	3-р шат
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	279
10	100	1000

Зэрэглэлийн шинж чанарууд

Ийм математик функцын онцлог нь юу вэ? Үндсэн шинж чанаруудыг авч үзье.

Эрдэмтэд дараахь зүйлийг тогтоов Бүх зэрэглэлийн шинж тэмдгүүд:

• a n * a m = (a) (n+m) ;
• a n: a m = (a) (n-m) ;
• (a b) m =(a) (b*m) .

Жишээнүүдээр шалгацгаая:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. Нөгөө талаас 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 =32.

Үүнтэй адилаар: 2 3: 2 2 = 8 / 4 =2. Үгүй бол 2 3-2 = 2 1 =2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. Хэрэв өөр бол яах вэ? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Таны харж байгаагаар дүрэм журам ажилладаг.

Гэхдээ яах вэ нэмэх, хасах үйлдэлтэй? Энэ бол энгийн. Эхлээд дэрэмжлэх, дараа нь нэмэх хасах үйлдлийг хийнэ.

Жишээнүүдийг харцгаая:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 – 3 2 = 25 – 9 = 16. Анхаарна уу: Хэрэв та эхлээд хасвал дүрэм үйлчлэхгүй: (5 – 3) 2 = 2 2 = 4.

Гэхдээ энэ тохиолдолд хаалтанд үйлдлүүд байгаа тул та эхлээд нэмэхийг тооцоолох хэрэгтэй: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

Хэрхэн үйлдвэрлэх вэ тооцоо илүү их хүнд хэцүү тохиолдлууд ? Дараалал нь адилхан:

• хэрэв хаалт байгаа бол та тэдгээрээс эхлэх хэрэгтэй;
• дараа нь экспонентаци;
• дараа нь үржүүлэх, хуваах үйлдлийг гүйцэтгэх;
• нэмсний дараа, хасах.

Идэх тодорхой шинж чанарууд, бүх зэрэгт ердийн биш:

1. m градусын тооны n-р үндэс нь дараах байдлаар бичигдэнэ: a m / n.
2. Бутархайг зэрэглэлд хүргэх үед: тоологч болон хуваагч хоёулаа энэ журамд хамаарна.
3. Бүтээлийг барьж байгуулахдаа өөр өөр тооХүчин чадалтай бол илэрхийлэл нь эдгээр тоонуудын үржвэрт өгөгдсөн чадалтай тохирно. Энэ нь: (a * b) n = a n * b n .
4. Тоог сөрөг хүчинтэй болгохдоо 1-ийг тухайн зууны тоонд хуваах хэрэгтэй, гэхдээ "+" тэмдэгтэй.
5. Хэрэв бутархайн хуваагч нь сөрөг хүчинтэй байвал энэ илэрхийлэл нь хүртэгчийн үржвэр, хуваагч нь эерэг зэрэгтэй тэнцүү байна.
6. Дурын тоо 0 = 1 ба чадал руу. 1 = өөртөө.

Эдгээр дүрмүүд зарим тохиолдолд чухал байдаг; бид тэдгээрийг доор дэлгэрэнгүй авч үзэх болно.

Сөрөг илтгэгчтэй зэрэг

Хэзээ юу хийх вэ хасах градус, өөрөөр хэлбэл индикатор сөрөг байх үед?

4 ба 5-р шинж чанарууд дээр үндэслэсэн(дээрх цэгийг үзнэ үү), Энэ нь болж байна:

A (- n) = 1 / A n, 5 (-2) = 1 / 5 2 = 1 / 25.

Мөн эсрэгээр:

1 / A (- n) = A n, 1 / 2 (-3) = 2 3 = 8.

Хэрэв энэ нь бутархай бол яах вэ?

(A / B) (- n) = (B / A) n, (3/5) (-2) = (5/3) 2 = 25/9.

Байгалийн үзүүлэлттэй зэрэг

Үүнийг бүхэл тоотой тэнцүү илтгэгчтэй зэрэг гэж ойлгодог.

Санаж байх зүйлс:

A 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3.15 0 = 1; (-4) 0 = 1... гэх мэт.

A 1 = A, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3... гэх мэт.

Түүнчлэн хэрэв (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2... байвал үр дүн нь “+” тэмдэгтэй байна. Хэрэв сөрөг тоог сондгой хэмжээнд өсгөсөн бол эсрэгээр.

Ерөнхий шинж чанарууд болон дээр дурдсан бүх онцлог шинж чанарууд нь тэдний онцлог шинж юм.

Бутархай зэрэг

Энэ төрлийг схем хэлбэрээр бичиж болно: A m / n. Дараах байдлаар уншина уу: А тооны n-р язгуураас m хүртэл.

Бутархай үзүүлэлтээр та хүссэн бүхнээ хийж болно: үүнийг багасгах, хэсэг болгон хуваах, өөр хүч рүү өсгөх гэх мэт.

Иррационал илтгэгчтэй зэрэг

α нь иррационал тоо ба A ˃ 0 байг.

Ийм үзүүлэлттэй зэрэглэлийн мөн чанарыг ойлгохын тулд Өөр өөр тохиолдлуудыг авч үзье:

• A = 1. Үр дүн нь 1-тэй тэнцүү байх болно. Аксиом байгаа тул - бүх зэрэгт 1 нь нэгтэй тэнцүү;

А r 1 ˂ А α ˂ А r 2 , r 1 ˂ r 2 – рационал тоо;

• 0˂А˂1.

Энэ тохиолдолд энэ нь эсрэгээрээ: A r 2 ˂ A α ˂ A r 1 хоёр дахь догол мөртэй ижил нөхцөлд.

Жишээлбэл, илтгэгч нь π тоо юм.Энэ бол оновчтой.

r 1 – энэ тохиолдолд 3-тай тэнцүү;

r 2 - 4-тэй тэнцүү байх болно.

Дараа нь A = 1-ийн хувьд 1 π = 1 байна.

A = 2, дараа нь 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4, 8 ˂ 2 π ˂ 16.

A = 1/2, дараа нь (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3, 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

Ийм зэрэг нь дээр дурдсан бүх математикийн үйлдлүүд болон тодорхой шинж чанаруудаар тодорхойлогддог.

Дүгнэлт

Дүгнэж хэлье - эдгээр хэмжигдэхүүнүүд юунд хэрэгтэй вэ, ийм функцүүдийн давуу тал юу вэ? Мэдээжийн хэрэг, юуны түрүүнд тэд жишээг шийдвэрлэхдээ математикч, програмистуудын амьдралыг хялбаршуулдаг, учир нь тэд тооцооллыг багасгах, алгоритмуудыг богиносгох, өгөгдлийг системчлэх гэх мэт олон зүйлийг хийх боломжийг олгодог.

Энэ мэдлэг өөр хаана хэрэг болох вэ? Аливаа ажлын мэргэжлээр: анагаах ухаан, эм зүй, шүдний эмчилгээ, барилга, технологи, инженерчлэл, дизайн гэх мэт.

Сөрөг хүчийг нэмэгдүүлэх нь математикийн үндсэн элементүүдийн нэг бөгөөд алгебрийн асуудлыг шийдвэрлэхэд ихэвчлэн тулгардаг. Доорх дэлгэрэнгүй заавар байна.

Сөрөг хүчийг хэрхэн өсгөх вэ - онол

Бид тоог энгийн зэрэгт хүргэхдээ түүний утгыг хэд дахин үржүүлдэг. Жишээ нь: 3 3 = 3×3×3 = 27. Сөрөг бутархай бол эсрэгээрээ. Ерөнхий үзэл бодолтомъёоны дагуу энэ нь дараах байдлаар харагдах болно: a -n = 1/a n. Тиймээс, тоог сөрөг түвшинд өсгөхийн тулд та нэгийг өгөгдсөн тоонд хуваах хэрэгтэй, гэхдээ эерэг хүчин чадалтай.

Сөрөг хүчийг хэрхэн өсгөх вэ - энгийн тоонуудын жишээ

Дээрх дүрмийг санаж, хэд хэдэн жишээг шийдье.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Хариулт: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Хариулт -4 -2 = 1/16.

Гэхдээ яагаад эхний болон хоёр дахь жишээн дээрх хариултууд ижил байна вэ? Баримт нь сөрөг тоог тэгш түвшинд (2, 4, 6 гэх мэт) өсгөхөд тэмдэг нь эерэг болно. Хэрэв зэрэг нь тэгш байсан бол хасах нь хэвээр байх болно:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Сөрөг хүчийг хэрхэн нэмэгдүүлэх вэ - 0-ээс 1 хүртэлх тоо

0-ээс 1-ийн хоорондох тоог эерэг түвшинд өсгөхөд хүч нэмэгдэх тусам утга буурдаг гэдгийг санаарай. Жишээлбэл, 0.5 2 = 0.25. 0.25

Жишээ 3: 0.5 -2-ыг тооцоол
Шийдэл: 0.5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
Хариулт: 0.5 -2 = 4

Шинжилгээ (үйл ажиллагааны дараалал):

• Бид орчуулдаг аравтын 0.5-аас бутархай 1/2. Энэ нь илүү хялбар байдаг.
  1/2-ыг сөрөг хүч болгон өсгө. 1/(2) -2 . 1-ийг 1/(2) 2-т хуваавал 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4 болно.

Жишээ 4: 0.5 -3-ыг тооцоол
Шийдэл: 0.5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

Жишээ 5: -0.5 -3-ыг тооцоол
Шийдэл: -0.5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Хариулт: -0.5 -3 = -8

4, 5-р жишээн дээр үндэслэн бид хэд хэдэн дүгнэлт хийж болно.

• 0-ээс 1 хүртэлх эерэг тооны хувьд (жишээ 4) сөрөг хүчинтэй, тэгш эсвэл сондгой байх нь чухал биш, илэрхийллийн утга эерэг байх болно. Түүнээс гадна, зэрэг нь их байх тусам үнэ цэнэ нь их байх болно.
• 0-ээс 1 хүртэлх сөрөг тооны хувьд (жишээ 5) сөрөг хүч хүртэл өсгөсөн, тэгш эсвэл сондгой байх нь чухал биш, илэрхийллийн утга сөрөг байх болно. Энэ тохиолдолд зэрэг нь өндөр байх тусам үнэ цэнэ багасна.

Сөрөг хүчийг хэрхэн өсгөх вэ - бутархай тооны хэлбэрээр хүчийг

Илэрхийлэл энэ төрлийндараах хэлбэртэй байна: a -m/n , энд a - ердийн тоо, m нь зэрэглэлийн хуваарь, n нь зэрэглэлийн хуваагч юм.

Нэг жишээг харцгаая:
Тооцоолох: 8 -1/3

Шийдэл (үйл ажиллагааны дараалал):

• Тоог сөрөг хүчин рүү өсгөх дүрмийг санацгаая. Бид авна: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3.
• Хуваагч нь бутархайн түвшний 8 тоо гэдгийг анхаарна уу. Бутархай хүчийг тооцоолох ерөнхий хэлбэр нь дараах байдалтай байна: a m/n = n √8 м.
• Тиймээс 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). Бид наймын шоо язгуурыг олж авдаг бөгөөд энэ нь 2-той тэнцүү байна. Эндээс 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2 болно.
• Хариулт: 8 -1/3 = 2

Сургуулиас бид бүгд экспонентийн дүрмийг мэддэг: N илтгэгчтэй аливаа тоо нь энэ тоог өөрөө N олон удаа үржүүлсний үр дүнтэй тэнцүү байна. Өөрөөр хэлбэл, 7-г 3-ын зэрэглэлд хүргэх нь 7-г өөрөө гурав дахин үржүүлнэ, өөрөөр хэлбэл 343. Өөр нэг дүрэм бол аль ч хэмжигдэхүүнийг 0-ийн зэрэглэлд хүргэхэд нэг, харин сөрөг хэмжигдэхүүнийг өсгөхөд ердийн өсөлтийн үр дүн юм. тэгш бол хүч, сондгой бол хасах тэмдэгтэй ижил үр дүн.

Дүрмүүд нь тоог хэрхэн сөрөг хүчинтэй болгох талаар хариулт өгдөг. Үүнийг хийхийн тулд та бүтээх хэрэгтэй ердийн аргааршалгуур үзүүлэлтийн модульд шаардагдах утгыг, дараа нь нэгжийг үр дүнд нь хуваана.

Эдгээр дүрмээс харахад хэрэгжилт нь тодорхой болно бодит асуудлуудих хэмжээгээр боловсруулахад бэлэн байх шаардлагатай техникийн хэрэгсэл. Гараар та хамгийн ихдээ хорь гуч хүртэлх тооны тоог өөрөө үржүүлж, дараа нь гурваас дөрөв дахин үржүүлж болно. Үр дүнд нь нэгийг хуваахыг энд дурдахгүй. Тиймээс, гартаа тусгай инженерийн тооцоолуур байхгүй хүмүүст бид Excel дээр тоог хэрхэн сөрөг хүчинтэй болгохыг танд хэлэх болно.

Excel програмын асуудлыг шийдвэрлэх

Экспонентжилттэй холбоотой асуудлыг шийдэхийн тулд Excel нь хоёр сонголтын аль нэгийг ашиглах боломжийг олгодог.

Эхнийх нь стандарт "таг" тэмдэг бүхий томъёог ашиглах явдал юм. Ажлын хуудасны нүдэнд дараах өгөгдлийг оруулна уу.

Үүнтэй адилаар та хүссэн утгыг ямар ч хүч болгон өсгөж болно - сөрөг, бутархай. Дараах алхмуудыг хийж, тоог сөрөг хүчин рүү хэрхэн өсгөх вэ гэсэн асуултанд хариулъя. Жишээ:

Та томъёонд шууд =B2^-C2-г засаж болно.

Хоёрдахь сонголт бол хоёрыг шаарддаг бэлэн "Зэрэг" функцийг ашиглах явдал юм шаардлагатай аргументууд- тоо ба үзүүлэлт. Үүнийг ашиглаж эхлэхийн тулд томьёоны эхлэлийг харуулсан чөлөөт нүдэнд тэнцүү тэмдгийг (=) тавиад дээрх үгсийг оруулна уу. Үлдсэн зүйл бол үйл ажиллагаанд оролцох хоёр нүдийг сонгоод (эсвэл тодорхой тоонуудыг гараар зааж өгөх) Enter товчийг дарна уу. Хэд хэдэн энгийн жишээг авч үзье.

			Томъёо	Үр дүн
			ЗЭРЭГ(B2;C2)
			ЗЭРЭГ(B3;C3)	0,002915

Таны харж байгаагаар Excel програмыг ашиглан тоог хэрхэн сөрөг болон ердийн түвшинд өсгөх талаар төвөгтэй зүйл байхгүй. Эцсийн эцэст, энэ асуудлыг шийдэхийн тулд та танил "таг" тэмдэг болон програмын суулгасан функцийг хоёуланг нь ашиглаж болно, үүнийг санахад хялбар байдаг. Энэ бол тодорхой нэмэх юм!

Илүү төвөгтэй жишээнүүд рүү шилжье. Хэрхэн тоог сөрөг бутархай болгон өсгөх тухай дүрмийг санацгаая, энэ асуудлыг Excel дээр маш амархан шийддэг болохыг харах болно.

Бутархай үзүүлэлтүүд

Товчхондоо бутархай илтгэгчтэй тоог тооцоолох алгоритм дараах байдалтай байна.

1. Бутархайг зөв ба буруу бутархай болгон хувирга.
2. Үр дүнд нь хөрвүүлсэн бутархайн хүртэгч хүртэл бидний тоог өсгө.
3. Өмнөх догол мөрөнд олж авсан тооноос язгуурын илтгэгч нь эхний шатанд олж авсан бутархайн хуваагч байх нөхцөлтэйгээр үндсийг тооцоол.

Хэдийгээр жижиг тоо, зөв ​​бутархайтай ажиллахад ийм тооцоо хийхэд маш их цаг зарцуулдаг гэдгийг хүлээн зөвшөөр. Excel хүснэгтийн процессор нь ямар тоо ямар хүчин чадалтай болох нь чухал биш байгаа нь сайн хэрэг. Үүнийг ажил дээрээ шийдэхийг хичээ Excel хуудасдараах жишээ:

Дээрх дүрмийг ашиглан та тооцоолол зөв хийгдсэн эсэхийг шалгаж, шалгаж болно.

Өгүүллийн төгсгөлд бид томъёо, үр дүн бүхий хүснэгт хэлбэрээр тоог сөрөг хүчин рүү хэрхэн өсгөх талаар хэд хэдэн жишээ, түүнчлэн үйл ажиллагааны хэд хэдэн жишээг танилцуулах болно. бутархай тооболон зэрэг.

Жишээ хүснэгт

Дараах жишээнүүдийг Excel-ийн ажлын хуудаснаас үзнэ үү. Бүх зүйл зөв ажиллахын тулд томьёог хуулахдаа холимог лавлагаа ашиглах хэрэгтэй. Өргөж буй дугаарыг агуулсан баганын дугаар, заагчийг агуулсан мөрийн дугаарыг засна уу. Таны томьёо иймэрхүү харагдах ёстой: “=$B4^C$3.”

Тоо/Зэрэг

Эерэг тоонуудыг (бүхэл бус тоонуудыг ч гэсэн) ямар ч илтгэгчийн хувьд асуудалгүйгээр тооцоолох боломжтой гэдгийг анхаарна уу. Аливаа тоог бүхэл тоо болгоход ямар ч асуудал байхгүй. Гэхдээ сөрөг тоог бутархай болгон өсгөх нь таны хувьд алдаа болно, учир нь сөрөг тоог нэмэгдүүлэх тухай манай нийтлэлийн эхэнд заасан дүрмийг дагаж мөрдөх боломжгүй, учир нь паритет нь зөвхөн БҮТЭН тооны шинж чанар юм.

Хүчтэй болсон тооТэд хэд хэдэн удаа өөрөө үржүүлсэн тоог дууддаг.

Сөрөг утгатай тооны хүч (a - n) эерэг илтгэгчтэй ижил тооны хүчийг хэрхэн тодорхойлохтой ижил аргаар тодорхойлж болно (н) . Гэсэн хэдий ч энэ нь нэмэлт тодорхойлолт шаарддаг. Томьёог дараах байдлаар тодорхойлно.

а-н = (1/а n)

Тоонуудын сөрөг хүчний шинж чанарууд нь эерэг илтгэгчтэй зэрэгтэй төстэй байдаг. Үзүүлсэн тэгшитгэл а м/а n= а м-н зэрэг шударга байж болно

« Математикийн нэгэн адил дүгнэлтийн тодорхой, үнэн зөв нь асуултын эргэн тойронд ярилцаж хариултаас мултрах боломжийг хаана ч олгодоггүй.».

A.D. Александров

цагт n илүү м , болон хамт м илүү n . Нэг жишээг харцгаая: 7 2 -7 5 =7 2-5 =7 -3 .

Эхлээд та зэрэглэлийн тодорхойлолт болох тоог тодорхойлох хэрэгтэй. b=a(-n) . Энэ жишээнд -n илтгэгч юм б - хүссэн тоон утга, а - натурал тоон утга хэлбэрээр зэрэглэлийн суурь. Дараа нь модуль, өөрөөр хэлбэл экспонентийн үүрэг гүйцэтгэдэг сөрөг тооны үнэмлэхүй утгыг тодорхойлно. Өгөгдсөн тооны хүчийг абсолют тоотой харьцуулан үзүүлэлт болгон тооцоол. Зэрэглэлийн утгыг нэгийг гарсан тоонд хуваах замаар олно.

Цагаан будаа. 1

Сөрөг бутархай илтгэгчтэй тооны хүчийг авч үзье. А тоог дурын эерэг тоо, тоо гэж төсөөлье n Тэгээд м - натурал тоо. Тодорхойлолтын дагуу а , энэ нь хүч чадалд өргөгдсөн - эерэг хүчин чадалтай ижил тоонд хуваагдсан нэгтэй тэнцүү (Зураг 1). Тооны хүч нь бутархай бол ийм тохиолдолд зөвхөн эерэг илтгэгчтэй тоог ашигладаг.

Санах нь зүйтэйтэг нь хэзээ ч тооны илтгэгч байж чадахгүй (тэгт хуваах дүрэм).

Тоо гэх мэт ойлголтын тархалт нь хэмжилтийн тооцоолол, математикийг шинжлэх ухаан болгон хөгжүүлэх зэрэг заль мэх болсон. Сөрөг утгыг нэвтрүүлэх нь алгебрийн хөгжлөөс үүдэлтэй байв ерөнхий шийдлүүдтодорхой утга, анхны тоон өгөгдлөөс үл хамааран арифметик бодлого. Энэтхэгт 6-11-р зууны үед сөрөг тоог асуудлыг шийдвэрлэхдээ системтэйгээр ашигладаг байсан бөгөөд одоогийнхтой адилаар тайлбарладаг байв. Европын шинжлэх ухаанд сөрөг тоог сегментийн чиглэл гэж геометрийн тайлбарыг өгсөн Р.Декартын ачаар сөрөг тоо өргөн хэрэглэгдэж эхэлсэн. Хоёр давхар томьёо болгон харуулах чадалтай тоог тодорхойлохыг Декарт санал болгосон. a n .

Хүчин чадалтай тоог бусад хэмжигдэхүүнтэй адил нэмж болох нь ойлгомжтой , тэдгээрийг тэмдгүүдийн хамт нэг нэгээр нь нэмэх замаар.

Тэгэхээр a 3 ба b 2-ын нийлбэр нь 3 + b 2 болно.
3 - b n ба h 5 -d 4-ийн нийлбэр нь 3 - b n + h 5 - d 4 байна.

Магадлал ижил хэмжигдэхүүнүүдийн тэнцүү зэрэгнэмэх, хасах боломжтой.

Тэгэхээр 2а 2 ба 3а 2-ын нийлбэр нь 5а 2-той тэнцүү байна.

Хэрэв та хоёр квадрат a, эсвэл гурван квадрат a, эсвэл таван квадратыг авбал энэ нь тодорхой байна.

Гэхдээ градус янз бүрийн хувьсагчТэгээд янз бүрийн зэрэг ижил хувьсагчид, тэдгээрийн тэмдгүүдийн хамт тэдгээрийг нэмж бүрдүүлэх ёстой.

Тэгэхээр 2 ба 3-ын нийлбэр нь 2 + a 3-ын нийлбэр юм.

a-ийн квадрат, а-ын шоо нь a-ийн квадратаас хоёр дахин их биш, харин a-ийн шоо хоёр дахин их байх нь ойлгомжтой.

a 3 b n ба 3a 5 b 6-ийн нийлбэр нь 3 b n + 3a 5 b 6 болно.

Хасахэрх мэдлийг нэмэхтэй ижил аргаар гүйцэтгэнэ, зөвхөн хасах тэмдэгтүүдийг зохих ёсоор өөрчлөх шаардлагатай.

Эсвэл:
2а 4 - (-6а 4) = 8а 4
3ц 2 б 6 - 4ц 2 б 6 = -ц 2 б 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Үржүүлэх чадвар

Хүчин чадалтай тоонуудыг бусад хэмжигдэхүүнүүдийн нэгэн адил ар араас нь бичиж, хооронд нь үржүүлэх тэмдэгтэй эсвэл тэмдэглэгээгүйгээр үржүүлж болно.

Тиймээс a 3-ыг b 2-оор үржүүлсний үр дүн нь 3 b 2 буюу aaabb юм.

Эсвэл:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Сүүлийн жишээн дэх үр дүнг ижил хувьсагч нэмэх замаар захиалж болно.
Илэрхийлэл нь дараах хэлбэртэй байна: a 5 b 5 y 3.

Хэд хэдэн тоог (хувьсагчдыг) зэрэгтэй харьцуулж үзвэл тэдгээрийн аль нэг нь хоёрыг үржүүлбэл үр дүн нь тэнцүү чадалтай тоо (хувьсагч) болохыг харж болно. хэмжээнэр томъёоны зэрэг.

Тэгэхээр a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Энд 5 нь үржүүлгийн үр дүнгийн хүч нь 2 + 3-тай тэнцүү, нэр томъёоны чадлын нийлбэр юм.

Тэгэхээр a n .a m = a m+n .

a n-ийн хувьд a-г n-ийн зэрэгтэй олон удаа хүчин зүйл болгон авна;

Мөн m-ийг m-ийн зэрэгтэй тэнцүү олон удаа хүчин зүйл болгон авна;

Тийм ч учраас, ижил суурьтай хүчийг зэрэглэлийн илтгэгчийг нэмэх замаар үржүүлж болно.

Тэгэхээр a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Мөн x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Эсвэл:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

(x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y) үржүүлнэ.
Хариулт: x 4 - y 4.
Үржүүлэх (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Энэ дүрэм нь илтгэгч нь байгаа тоонуудын хувьд бас үнэн юм сөрөг.

1. Тэгэхээр a -2 .a -3 = a -5 . Үүнийг (1/аа) гэж бичиж болно.(1/ааа) = 1/аааа.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Хэрэв a + b-ийг a - b-ээр үржүүлбэл үр дүн нь 2 - b 2 болно: энэ нь

Хоёр тооны нийлбэр эсвэл зөрүүг үржүүлсний үр дүн нь квадратуудын нийлбэр эсвэл зөрүүтэй тэнцүү байна.

Хэрэв хоёр тооны нийлбэр ба зөрүүг өсгөсөн бол дөрвөлжин, үр дүн нь эдгээр тоонуудын нийлбэр эсвэл зөрүүтэй тэнцүү байх болно дөрөв дэхградус.

Тэгэхээр, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

Зэрэг хуваах

Хүчин чадалтай тоог бусад тоонуудын нэгэн адил ногдол ашгаас хасах эсвэл бутархай хэлбэрээр байрлуулах замаар хувааж болно.

Тиймээс a 3 b 2 нь b 2-т хуваагдвал 3-тай тэнцүү байна.

Эсвэл:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

5-ыг 3-т хуваах нь $\frac(a^5)(a^3)$ шиг харагдаж байна. Гэхдээ энэ нь 2-той тэнцүү байна. Цуврал тоогоор
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
дурын тоог нөгөө тоонд хувааж болох ба илтгэгч нь тэнцүү байх болно ялгаахуваагдах тоонуудын үзүүлэлтүүд.

Ижил суурьтай градусыг хуваахдаа тэдгээрийн илтгэгчийг хасна..

Тэгэхээр y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. Өөрөөр хэлбэл, $\frac(yyy)(yy) = y$.

Мөн a n+1:a = a n+1-1 = a n . Энэ нь $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Эсвэл:
у 2м: у м = у м
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3

Энэ дүрэм нь тоонуудын хувьд мөн үнэн юм сөрөгградусын утгууд.
-5-ыг -3-т хуваасны үр дүн нь -2 болно.
Мөн $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(аа)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 эсвэл $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Ийм үйлдлийг алгебрт маш өргөн ашигладаг тул үржүүлэх, хуваах үйлдлийг маш сайн эзэмших шаардлагатай.

Давхаргатай тоо агуулсан бутархайтай жишээг шийдвэрлэх жишээ

1. Экспонентуудыг $\frac(5a^4)(3a^2)$-р бууруул Хариулт: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Экспонентуудыг $\frac(6x^6)(3x^5)$-р бууруул. Хариулт: $\frac(2x)(1)$ эсвэл 2x.

3. a 2 /a 3, a -3 /a -4 илтгэгчийг багасгаж, нийтлэг хуваагч руу ав.
a 2 .a -4 нь -2 эхний тоологч юм.
a 3 .a -3 нь 0 = 1, хоёр дахь тоологч.
a 3 .a -4 нь -1 , нийтлэг тоологч юм.
Хялбаршуулсаны дараа: a -2 /a -1 ба 1/a -1 .

4. 2a 4 /5a 3 ба 2 /a 4 илтгэгчийг багасгаж, нийтлэг хуваагч руу ав.
Хариулт: 2а 3 /5а 7 ба 5а 5 /5а 7 эсвэл 2а 3 /5а 2 ба 5/5а 2.

5. (a 3 + b)/b 4-ийг (a - b)/3-аар үржүүлнэ.

6. (a 5 + 1)/x 2-ыг (b 2 - 1)/(x + a)-аар үржүүлнэ.

7. b 4 /a -2-ыг h -3 /x, a n /y -3-аар үржүүлнэ.

8. 4 /y 3-ыг 3 /y 2-т хуваа. Хариулт: a/y.

9. (h 3 - 1)/d 4-ийг (d n + 1)/цагт хуваана.

Сэдвийн хичээл ба илтгэл: "Сөрөг илтгэгчтэй илтгэгч. Тодорхойлолт, бодлого шийдвэрлэх жишээ"

Нэмэлт материал
Эрхэм хэрэглэгчид, сэтгэгдэл, сэтгэгдэл, хүслээ үлдээхээ бүү мартаарай. Бүх материалыг вирусны эсрэг програмаар шалгасан.

8-р ангийн Integral онлайн дэлгүүрт сургалтын хэрэглэгдэхүүн, симуляторууд
Сурах бичгийн гарын авлага Муравин Г.К.   

Сурах бичгийн гарын авлага Алимов Ш.А.

Сөрөг илтгэгчтэй зэрэг тодорхойлох
Залуус аа, бид тоог нэмэгдүүлэхдээ сайн.

Жишээ нь: $2^4=2*2*2*2=16$  $((-3))^3=(-3)*(-3)*(-3)=27$.
Тэг хүртэлх тоо нь нэгтэй тэнцүү гэдгийг бид сайн мэднэ. $a^0=1$, $a≠0$.
Асуулт гарч ирнэ, хэрэв та тоог сөрөг хүчинтэй болговол юу болох вэ? Жишээлбэл, $2^(-2)$ тоо хэдтэй тэнцүү байх вэ?
Энэ асуултыг тавьсан анхны математикчид дугуйг дахин зохион бүтээх нь үнэ цэнэтэй зүйл биш гэж шийдсэн бөгөөд градусын бүх шинж чанар хэвээр үлдсэн нь сайн хэрэг байв. Өөрөөр хэлбэл, ижил суурьтай хүчийг үржүүлэхэд илтгэгчүүд нэмэгддэг.
Энэ тохиолдлыг авч үзье: $2^3*2^(-3)=2^(3-3)=2^0=1$.

Ийм тооны үржвэр нь нэгийг өгөх ёстойг бид олж мэдсэн. Бүтээгдэхүүн дэх нэгжийг харилцан тоонуудыг үржүүлэх замаар олж авна, өөрөөр хэлбэл $2^(-3)=\frac(1)(2^3)$.
Ийм үндэслэл нь дараахь тодорхойлолтод хүргэсэн. Тодорхойлолт. Хэрэв $n$ -натурал тоо

болон $a≠0$ байвал тэгшитгэл биелнэ: $a^(-n)=\frac(1)(a^n)$.
Ихэнхдээ хэрэглэгддэг чухал таних тэмдэг нь: $(\frac(a)(b))^(-n)=(\frac(b)(a))^n$.

Ялангуяа $(\frac(1)(a))^(-n)=a^n$.

Жишээ 1.
Тооцоолох: $2^(-3)+(\frac(2)(5))^(-2)-8^(-1)$.

Шийдэл.
Нэр томъёо бүрийг тусад нь авч үзье.
1. $2^(-3)=\frac(1)(2^3)=\frac(1)(2*2*2)=\frac(1)(8)$.
2. $(\frac(2)(5))^(-2)=(\frac(5)(2))^2=\frac(5^2)(2^2)=\frac(25) (4) доллар.
3. $8^(-1)=\frac(1)(8)$.
Нэмэх, хасах үйлдлийг хийхэд л үлддэг: $\frac(1)(8)+\frac(25)(4)-\frac(1)(8)=\frac(25)(4)=6\frac( 1) (4) доллар.
Хариулт: $6\frac(1)(4)$.

Жишээ 2.
Өгөгдсөн тоог $\frac(1)(729)$ анхны тооны зэрэглэлээр төлөөл.

Шийдэл.
Мэдээжийн хэрэг, $\frac(1)(729)=729^(-1)$.
Гэхдээ 729 бол 9-өөр төгссөн анхны тоо биш. Энэ тоог гурвын зэрэглэл гэж үзэж болно. 729-ийг 3-т тогтмол хуваа.
1) $\frac(729)(3)=243$;
2) $\frac(243)(3)=81$;
3) $\frac(81)(3)=27$;
4) $\frac(27)(3)=9$;
5) $\frac(9)(3)=3$;
6) $\frac(3)(3)=1$.
Зургаан үйлдэл хийсэн бөгөөд энэ нь: $729=3^6$ гэсэн үг.
Бидний даалгаврын хувьд:
$729^{-1}=(3^6)^{-1}=3^{-6}$.
Хариулт: $3^(-6)$.

Жишээ 3. Илэрхийллийг хүчээр илэрхийл: $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1))$.
Шийдэл. Эхний үйлдлийг үргэлж хаалтанд хийж, дараа нь үржүүлэх $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1))= \frac (a^6*a^(-10))((a^5)^(-1))=\frac(a^((-4)))(a^((-5)))) a^ (-4-(-5))=a^(-4+5)=a$.
Хариулт: $a$.

Жишээ 4. Тодорхойлолтыг нотлох:
$(\frac(y^2 (xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)*\frac(y^2(x^(-2) )+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y)):\frac(1-x^(-1) y)(xy^(-1 ) +1)=\frac(x-y)(x+y)$.

Шийдэл.
Зүүн талд бид хаалтанд байгаа хүчин зүйл бүрийг тусад нь авч үздэг.
1. $\frac(y^2(xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)=\frac(y^2(\frac(x) )(y)-1)^2)(x(1+\frac(y)(x))^2) =\frac(y^2(\frac(x^2)(y^2)-2\ frac(x)(y)+1))(x(1+2\frac(y)(x)+\frac(y^2)(x^2)))=\frac(x^2-2xy+ y) ^2)(x+2y+\frac(y^2)(x))=\frac(x^2-2xy+y^2)(\frac(x^2+2xy+y^2)(x) ) =\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))$.
2. $\frac(y^2(x^(-2)+y^(-2))))(x(xy^(-1)+x^(-1)y))=\frac(y^) 2(\frac(1)(x^2)+\frac(1)(y^2)))(x(\frac(x)(y)+\frac(y)(x))) =\frac (\frac(y^2)(x^2)+1)(\frac(x^2)(y)+y)=\frac(\frac(y^2+x^2)(x^2) )((\frac(x^2+y^2)(y)))=\frac(y^2+x^2)(x^2) *\frac(y)(x^2+y^2) )=\frac(y)(x^2)$.
3. $\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))*\frac(y)(x^2)=\frac(y(x) ^2-2xy+y^2))(x(x^2+2xy+y^2))=\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2)$.
4. Хувааж буй бутархай руугаа шилжье.
$\frac(1-x^(-1)y)(xy^(-1)+1)=\frac(1-\frac(y)(x))(\frac(x)(y)+1 )=\frac(\frac(x-y)(x))(\frac(x+y)(y))=\frac(x-y)(x)*\frac(y)(x+y)=\frac( y(x-y))(x(x+y))$.
5. Хуваалтыг хийцгээе.
$\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2):\frac(y(x-y))(x(x+y))=\frac(y(x-y)^2)( x(x+y)^2)*\frac(x(x+y))(y(x-y))=\frac(x-y)(x+y)$.
Бид үнэн зөвийг олж авсан бөгөөд энэ нь бидэнд нотлох шаардлагатай байсан юм.

Хичээлийн төгсгөлд бид хүч чадалтай ажиллах дүрмийг дахин бичих болно, энд экспонент нь бүхэл тоо юм.
$a^s*a^t=a^(s+t)$.
$\frac(a^s)(a^t)=a^(s-t)$.
$(a^s)^t=a^(st)$.
$(ab)^s=a^s*b^s$.
$(\ frac(a)(b))^s=\frac(a^s)(b^s)$.

Бие даан шийдвэрлэх асуудал

1. Тооцоолох: $3^(-2)+(\frac(3)(4))^(-3)+9^(-1)$.
2. Өгөгдсөн тоог $\frac(1)(16384)$ анхны тооны зэрэглэлээр илэрхийл.
3. Илэрхийлэлийг хүч болгон илэрхийл.
$\frac(b^(-8)*(b^3)^(-4))((b^2*b^(-7))^3)$.
4. Хэн болохыг нотлох:
$(\frac(b^(-m)-c^(-m))(b^(-m)+c^(-m))+\frac(b^(-m)+c^(-m) ))(c^(-m)-b^(-m)))=\frac(4)(b^m c^(-m)-b^(-m)c^m) $.