Хэрэв хоёр шулуун параллель биш бол нэг цэг дээр огтлолцох нь гарцаагүй. Discover координатууд онооДаалгавар ямар өгөгдлөөр хангаж байгаагаас хамааран 2 шугамын огтлолцлыг график болон арифметикийн аль алинд нь зөвшөөрдөг.

Танд хэрэгтэй болно

• - зураг дээрх хоёр шулуун шугам;
• – 2 шулуун шугамын тэгшитгэл.

Заавар

1. График дээр зураасыг аль хэдийн зурсан бол шийдлийг графикаар ол. Үүнийг хийхийн тулд хоёулаа эсвэл нэг шугамыг огтлолцохоор үргэлжлүүлнэ. Үүний дараа огтлолцлын цэгийг тэмдэглээд түүнээс перпендикулярыг x тэнхлэг рүү буулгана (ердийнх шигээ, өө).

2. Тэнхлэг дээр тэмдэглэгдсэн масштабын тэмдгийг ашиглан тухайн цэгийн x утгыг ол. Хэрэв энэ нь тэнхлэгийн эерэг чиглэлд (тэг тэмдгийн баруун талд) байвал түүний утга зөв байх болно, эс тэгвээс энэ нь сөрөг байх болно;

3. Мөн огтлолцлын цэгийн ординатыг зөв ол. Хэрэв цэгийн проекц нь тэг тэмдэгээс дээш байрласан бол энэ нь зөв, хэрэв доор байвал энэ нь сөрөг байна. Цэгийн координатыг (x, y) хэлбэрээр бичнэ үү - энэ бол асуудлын шийдэл юм.

4. Хэрэв мөрүүдийг y=khx+b томьёоны хэлбэрээр өгөгдсөн бол та мөн асуудлыг графикаар шийдэж болно: шугамуудыг координатын сүлжээнд зурж, дээр дурдсан аргыг ашиглан шийдийг ол.

5. Эдгээр томъёог ашиглан асуудлын шийдлийг олохыг хичээ. Үүнийг хийхийн тулд эдгээр тэгшитгэлээс систем үүсгэж, түүнийгээ шийдээрэй. Тэгшитгэлийг y=khx+b хэлбэрээр өгвөл зүгээр л хоёр талыг х-тэй тэнцүүлээд х-г ол. Дараа нь x-ийн утгыг тэгшитгэлийн аль нэгэнд залгаад у-г ол.

6. Та Крамерын аргыг ашиглан шийдлийг олох боломжтой. Энэ тохиолдолд тэгшитгэлийг A1x+B1y+C1=0, A2x+B2y+C2=0 хэлбэрт буулгана. Крамерын томъёогоор x=-(C1B2-C2B1)/(A1B2-A2B1), y=-(A1C2-A2C1)/(A1B2-A2B1). Хэрэв хуваагч нь тэг байвал шугамууд зэрэгцээ эсвэл давхцаж, огтлолцохгүй гэдгийг анхаарна уу.

7. Хэрэв танд каноник хэлбэрээр орон зайд шугам өгөгдсөн бол шийдлийг хайж эхлэхээсээ өмнө шугамууд зэрэгцээ байгаа эсэхийг шалгаарай. Үүнийг хийхийн тулд t-ийн өмнөх илтгэгчийг пропорциональ гэж тооцвол x=-1+3t, y=7+2t, z=2+t ба x=-1+6t, y=-1+4t, z гэж хэлнэ. =-5 +2т, тэгвэл шугамууд зэрэгцээ байна. Үүнээс гадна шугамууд огтлолцож болох бөгөөд энэ тохиолдолд системд шийдэл байхгүй болно.

8. Хэрэв та шугамууд огтлолцож байгааг олж мэдвэл тэдгээрийн огтлолцох цэгийг олоорой. Нэгдүгээрт, өөр өөр мөрүүдийн хувьсагчдыг тэнцүүлж, эхний мөрөнд t-г u, 2-р мөрөнд v-ээр солино. Хэрэв танд x=t-1, y=2t+1, z=t+2 ба x=t+1, y=t+1, z=2t+8 гэсэн мөрүүдийг өгвөл u-1 гэх мэт илэрхийлэл гарч ирнэ гэж хэлье. =v +1, 2u+1=v+1, u+2=2v+8.

9. Нэг тэгшитгэлээс u-ийг илэрхийлж, өөр тэгшитгэлээр орлуулж, v-г ол (энэ бодлогод u=-2,v=-4). Одоо огтлолцох цэгийг олохын тулд олж авсан утгуудыг t-ийн оронд орлуулж (энэ нь эхний эсвэл хоёр дахь тэгшитгэлд ямар ч ялгаагүй) x=-3, y=-3, z цэгийн координатыг авна. =0.

2-ыг огтлолцсон гэж үзэх шуудХоёр огтлолцсон шугам нь нэг хавтгайд байрладаг тул тэдгээрийг хавтгайд авч үзэх нь хангалттай юм. Эдгээрийн тэгшитгэлийг мэдэх шууд, тэдгээрийн цэгийн координатыг илрүүлэх боломжтой уулзварууд .

Танд хэрэгтэй болно

• шугамын тэгшитгэл

Заавар

1. Декарт координатуудад шулууны ерөнхий тэгшитгэл дараах байдлаар харагдана: Ax+By+C = 0. Хоёр шулуун огтлолц. Эхний мөрийн тэгшитгэл нь Ax+By+C = 0, 2-р мөр нь Dx+Ey+F = 0. Илрүүлэхийн тулд бүх үзүүлэлтүүдийг (A, B, C, D, E, F) зааж өгөх ёстой цэг уулзваруудэдгээр шуудЭнэ 2 шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдэх шаардлагатай.

2. Шийдвэрлэхийн тулд эхний тэгшитгэлийг E, хоёр дахь тэгшитгэлийг B-ээр үржүүлэх нь тохиромжтой. Үүний үр дүнд тэгшитгэлүүд нь дараах байдлаар харагдах болно: AEx+BEy+CE = 0, DBx+EBy+FB = 0. Хоёр дахьыг хассаны дараа Эхний тэгшитгэлээс та дараахийг авна: (AE- DB)x = FB-CE. Эндээс, x = (FB-CE)/(AE-DB) адилтгах замаар эхний тэгшитгэл анхны системТа D-ээр үржүүлж, хоёр дахь нь А-аар үржүүлж, эхнийхээс хоёр дахь нь дахин хасагдана. Үүний үр дүнд y = (CD-FA)/(AE-DB) үр дүнд хүрсэн x ба y утгууд нь цэгийн координат болно уулзварууд шууд .

3. Тэгшитгэл шуудмөн шулуун шугамын налуу өнцгийн тангенстай тэнцүү өнцгийн индекс k-ээр бичиж болно. Энэ тохиолдолд шугамын тэгшитгэл y = kx+b хэлбэртэй байна. Одоо эхний мөрийн тэгшитгэлийг y = k1*x+b1, 2-р мөрийн тэгшитгэлийг у = k2*x+b2 гэж үзье.

4. Хэрэв бид эдгээр 2 тэгшитгэлийн баруун талыг тэнцүүлбэл: k1*x+b1 = k2*x+b2. Эндээс x = (b1-b2)/(k2-k1) гэдгийг олж авахад хялбар байдаг. Энэ x утгыг аль нэг тэгшитгэлд орлуулсны дараа y = (k2*b1-k1*b2)/(k2-k1) гарч ирнэ. x ба y утгууд нь цэгийн координатыг зааж өгнө уулзварууд шууд.Хэрэв хоёр шулуун параллель эсвэл давхцаж байвал тэдгээрт бүх нийтийн цэг байхгүй эсвэл асар олон тооны бүх нийтийн цэгүүд тус тус байна. Эдгээр тохиолдолд цэгүүдийн координатын хуваагч k1 = k2 байна уулзваруудалга болно, тиймээс систем нь сонгодог шийдэлгүй байх болно, учир нь хоёр салангид ба параллель бус шугам нь зөвхөн нэг цэгтэй байж болох тул энэ нь болзолгүй юм. уулзварууд .

Сэдвийн талаархи видео

1. Функцийн графикуудын огтлолцох цэгийн координатыг олохын тулд функцийг хоёуланг нь тэнцүүлж, $ x $ агуулсан бүх гишүүнийг зүүн тал руу, үлдсэнийг нь баруун тийш шилжүүлж, язгуурыг олох хэрэгтэй. үр дүнгийн тэгшитгэл.
2. Хоёр дахь арга нь тэгшитгэлийн системийг бий болгож, нэг функцийг нөгөөд орлуулах замаар шийдвэрлэх явдал юм
3. Гурав дахь арга нь функцийг графикаар бүтээхэд хамаарна харааны тодорхойлолтуулзвар цэгүүд.

Хоёр шугаман функцийн тохиолдол

Хоёрыг авч үзье шугаман функцууд$ f(x) = k_1 x+m_1 $ ба $ g(x) = k_2 x + m_2 $. Эдгээр функцийг шууд гэж нэрлэдэг. Тэдгээрийг бүтээх нь маш хялбар бөгөөд та $ x_1 $ ба $ x_2 $ гэсэн хоёр утгыг авч, $ f(x_1) $ ба $ (x_2) $-ийг олох хэрэгтэй. Дараа нь $ g(x) $ функцтэй ижил зүйлийг давтана. Дараа нь функцийн графикуудын огтлолцох цэгийн координатыг нүдээр ол.

Шугаман функцууд нь зөвхөн нэг огтлолцох цэгтэй бөгөөд зөвхөн $ k_1 \neq k_2 $ үед л мэдэх ёстой. Үгүй бол $ k_1=k_2 $ тохиолдолд функцууд хоорондоо параллель байна, учир нь $ k $ нь налуугийн коэффициент юм. Хэрэв $ k_1 \neq k_2 $ харин $ m_1=m_2 $ байвал огтлолцох цэг нь $ M(0;m) $ болно. Асуудлыг хурдан шийдвэрлэхийн тулд энэ дүрмийг санах нь зүйтэй.

Жишээ 1

$ f(x) = 2x-5 $ ба $ g(x)=x+3 $ өгье. Функцийн графикуудын огтлолцох цэгийн координатыг ол.

Шийдэл

Үүнийг яаж хийх вэ? Хоёр шугаман функцийг танилцуулсан тул хамгийн түрүүнд $ k_1 = 2 $ ба $ k_2 = 1 $ функцүүдийн налуугийн коэффициентийг авч үзэх болно. Бид $ k_1 \neq k_2 $ тул нэг огтлолцох цэг байгааг анхаарна уу. Үүнийг $ f(x)=g(x) $ тэгшитгэлийг ашиглан олъё: $$ 2x-5 = x+3 $$ Бид $ x $ бүхий нөхцлүүдийг зүүн тийш, үлдсэнийг нь баруун тийш шилжүүлнэ. $$ 2x - x = 3+5 $$ Бид графикуудын огтлолцох цэгийн абсциссыг $ x=8 $ олж авсан бөгөөд одоо ординатыг олъё. Үүнийг хийхийн тулд $ f(x) $ эсвэл $ g(x) $ гэсэн аль нэг тэгшитгэлд $ x = 8 $-г орлъё: $$ f(8) = 2\cdot 8 - 5 = 16 - 5 = 11 $$ Тэгэхээр $ M (8;11) $ нь хоёр шугаман функцийн графикуудын огтлолцох цэг юм. Хэрэв та асуудлаа шийдэж чадахгүй бол бидэнд илгээнэ үү. Бид хангах болно нарийвчилсан шийдэл. Та тооцооллын явцыг харж, мэдээлэл авах боломжтой болно. Энэ нь багшаасаа цаг тухайд нь дүнгээ авахад тусална!

Хариулах

$$ М (8;11) $$

Хоёр шугаман бус функцийн тохиолдол

Жишээ 3

$ f(x)=x^2-2x+1 $ ба $ g(x)=x^2+1 $ функцын графикуудын огтлолцох цэгийн координатыг ол.

Шийдэл

Хоёр шугаман бус функцийг яах вэ? Алгоритм нь энгийн: бид тэгшитгэлүүдийг бие биетэйгээ тэнцүүлж, үндсийг нь олдог. $$ x^2-2x+1=x^2+1 $$ Бид тэгшитгэлийн янз бүрийн тал дээр $ x $-тай болон $гүйгээр нэр томъёог хуваарилдаг. $$ x^2-2x-x^2=1-1 $$ Хүссэн цэгийн абсцисс олдсон боловч энэ нь хангалтгүй юм. Ординат $y$ байхгүй хэвээр байна. Бид бодлогын нөхцлийн хоёр тэгшитгэлийн аль нэгэнд $ x = 0 $-г орлуулна. Жишээ нь: $$ f(0)=0^2-2\cdot 0 + 1 = 1 $$ $ M (0;1) $ - функцийн графикуудын огтлолцлын цэг

Хариулах

$$ М (0;1) $$

Өө-өө-өө-өө-өө... за, тэр өөрөө нэг өгүүлбэр уншиж байгаа юм шиг хэцүү байна =) Гэсэн хэдий ч тайвшрах нь дараа нь туслах болно, ялангуяа өнөөдөр би тохирох дагалдах хэрэгслийг худалдаж авсан. Тиймээс, эхний хэсэгт орцгооё, нийтлэлийн төгсгөлд би хөгжилтэй байх болно гэж найдаж байна.

Хоёр шулуун шугамын харьцангуй байрлал

Үзэгчид найрал дуугаар дуулж байхад ийм л байдаг. Хоёр шулуун шугам байж болно:

1) тохирох;

2) зэрэгцээ байх: ;

3) эсвэл нэг цэгээр огтлолцоно: .

Дамми нарт туслах : Математик уулзварын тэмдгийг санаарай, энэ нь маш олон удаа гарч ирэх болно. Тэмдэглэгээ нь шугам нь цэг дээрх шугамтай огтлолцдог гэсэн үг юм.

Хоёр шугамын харьцангуй байрлалыг хэрхэн тодорхойлох вэ?

Эхний тохиолдлоос эхэлье:

Харгалзах коэффициентүүд нь пропорциональ байвал хоёр шугам давхцдаг, өөрөөр хэлбэл тэгш байдал хангагдсан "ламбда" гэсэн тоо байдаг

Шулуун шугамуудыг авч үзээд харгалзах коэффициентуудаас гурван тэгшитгэл байгуулъя: . Тэгшитгэл бүрээс харахад эдгээр шугамууд давхцаж байна.

Үнэн хэрэгтээ, хэрэв тэгшитгэлийн бүх коэффициентууд -1 (тэмдэг өөрчлөх), тэгшитгэлийн бүх коэффициентийг үржүүлнэ 2-оор тайрахад та ижил тэгшитгэлийг авна: .

Хоёр дахь тохиолдол, шугамууд зэрэгцээ байх үед:

Хоёр шугам нь зөвхөн хувьсагчийн коэффициентүүд нь пропорциональ байвал зэрэгцээ байна. , Гэхдээ.

Жишээ болгон хоёр шулуун шугамыг авч үзье. Бид хувьсагчдын харгалзах коэффициентүүдийн пропорциональ байдлыг шалгана.

Гэсэн хэдий ч энэ нь маш тодорхой юм.

Гурав дахь тохиолдол, шугамууд огтлолцох үед:

Хэрэв хувьсагчийн коэффициентүүд нь пропорциональ БИШ бол хоёр шугам огтлолцоно, өөрөөр хэлбэл тэгш байдлыг хангасан "ламбда"-ын утга байхгүй

Тиймээс шулуун шугамын хувьд бид дараахь системийг бий болгоно.

Эхний тэгшитгэлээс , хоёр дахь тэгшитгэлээс: , гэсэн утгатай систем нь нийцэхгүй байна(шийдэл байхгүй). Тиймээс хувьсагчдын коэффициент нь пропорциональ биш юм.

Дүгнэлт: шугамууд огтлолцдог

Практик асуудлуудад та саяхан хэлэлцсэн шийдлийн схемийг ашиглаж болно. Дашрамд хэлэхэд, энэ нь бидний ангид үзсэн векторуудын уялдаа холбоог шалгах алгоритмыг санагдуулдаг. Векторуудын шугаман хамаарлын тухай ойлголт. Векторуудын үндэс. Гэхдээ илүү соёлтой савлагаа байдаг:

Жишээ 1

Шугамануудын харьцангуй байрлалыг ол:

Шийдэлшулуун шугамын чиглүүлэх векторуудын судалгаанд үндэслэн:

a) Тэгшитгэлээс бид шугамын чиглэлийн векторуудыг олно. .

, энэ нь векторууд нь коллинеар биш, шугамууд огтлолцдог гэсэн үг юм.

Ямар ч тохиолдолд би уулзвар дээр тэмдэг бүхий чулуу тавина:

Үлдсэн хэсэг нь чулуун дээгүүр үсэрч, цаашаа шууд үхэшгүй мөнх Кащей руу явна =)

б) Шугамын чиглэлийн векторуудыг ол:

Шугамууд нь ижил чиглэлийн вектортой бөгөөд энэ нь зэрэгцээ эсвэл давхцаж байна гэсэн үг юм. Энд тодорхойлогчийг тоолох шаардлагагүй.

Үл мэдэгдэхийн коэффициентүүд нь пропорциональ байх нь тодорхой бөгөөд .

Тэгш байдал үнэн эсэхийг олж мэдье:

Тиймээс,

в) Шугамын чиглэлийн векторуудыг ол:

Эдгээр векторуудын координатаас бүрдэх тодорхойлогчийг тооцоолъё.
, тиймээс чиглэлийн векторууд нь коллинеар байна. Шугамууд нь зэрэгцээ эсвэл давхцаж байна.

"lambda" пропорциональ коэффициентийг коллинеар чиглэлийн векторуудын харьцаанаас шууд харахад хялбар байдаг. Гэсэн хэдий ч үүнийг тэгшитгэлийн коэффициентүүдээр дамжуулан олж болно. .

Одоо тэгш байдал үнэн эсэхийг олж мэдье. Үнэгүй нөхцөл хоёулаа тэг тул:

Үүссэн утга нь энэ тэгшитгэлийг хангана (ерөнхийдөө дурын тоо үүнийг хангана).

Тиймээс шугамууд давхцдаг.

Хариулах:

Удалгүй та амаар хэлэлцсэн асуудлыг хэдхэн секундын дотор шийдэж сурах болно (эсвэл бүр аль хэдийн сурсан). Үүнтэй холбогдуулан би ямар нэгэн зүйл санал болгох нь утгагүй гэж үзэж байна бие даасан шийдвэр, геометрийн сууринд өөр нэг чухал тоосго тавих нь дээр.

Өгөгдсөн шугамтай параллель шугамыг хэрхэн барих вэ?

Энэхүү энгийн даалгаврыг үл тоомсорлосоны улмаас Nightingale the Nightingale нь хатуу шийтгэдэг.

Жишээ 2

Шулуун шугамыг тэгшитгэлээр өгөгдсөн. Цэгээр дамжин өнгөрөх параллель шулууны тэгшитгэлийг бич.

Шийдэл: Үл мэдэгдэх мөрийг үсгээр тэмдэглэе. Нөхцөл байдал нь түүний талаар юу хэлэх вэ? Шулуун шугам нь цэгээр дамждаг. Хэрэв шугамууд зэрэгцээ байвал "tse" шулуун шугамын чиглэлийн вектор нь "de" шулуун шугамыг барихад тохиромжтой байх нь ойлгомжтой.

Бид тэгшитгэлээс чиглэлийн векторыг гаргаж авдаг.

Хариулах:

Жишээ геометр нь энгийн харагдаж байна:

Аналитик туршилт нь дараах үе шатуудаас бүрдэнэ.

1) Шугамууд ижил чиглэлтэй вектор байгаа эсэхийг шалгана (хэрэв шулууны тэгшитгэлийг зөв хялбарчлаагүй бол векторууд нь коллинеар байх болно).

2) Тухайн цэг нь үүссэн тэгшитгэлийг хангаж байгаа эсэхийг шалгана уу.

Ихэнх тохиолдолд аналитик туршилтыг амаар хялбархан хийж болно. Хоёр тэгшитгэлийг хар, тэгвэл та нарын олонхи нь ямар ч зураглалгүйгээр шугамын параллель байдлыг хурдан тодорхойлох болно.

Өнөөдөр бие даасан шийдлүүдийн жишээ нь бүтээлч байх болно. Учир нь та Баба Ягатай өрсөлдөх шаардлагатай хэвээр байх болно, тэр бол бүх төрлийн оньсогоонд дуртай нэгэн.

Жишээ 3

Хэрэв шулуунтай параллель цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэлийг бич

Үүнийг шийдэх оновчтой, тийм ч оновчтой бус арга бий. Ихэнх товчлол- хичээлийн төгсгөлд.

Бид зэрэгцээ шугамуудтай бага зэрэг ажилласан бөгөөд дараа нь тэдгээрт буцаж очих болно. Мөрүүд давхцах нь сонирхол багатай тул сургуулийн сургалтын хөтөлбөрөөс танд маш сайн танил болсон асуудлыг авч үзье.

Хоёр шугамын огтлолцох цэгийг хэрхэн олох вэ?

Хэрэв шулуун бол цэг дээр огтлолцвол координатууд нь шийдэл болно шугаман тэгшитгэлийн системүүд

Шугамын огтлолцлын цэгийг хэрхэн олох вэ? Системийг шийд.

Энд байна геометрийн утгаХоёр үл мэдэгдэх хоёр шугаман тэгшитгэлийн систем- эдгээр нь хавтгай дээрх хоёр огтлолцсон (ихэнхдээ) шугам юм.

Жишээ 4

Шугамын огтлолцлын цэгийг ол

Шийдэл: График болон аналитик гэсэн хоёр аргаар шийдвэрлэх боломжтой.

График арга нь өгөгдсөн шугамуудыг зурж, огтлолцлын цэгийг зургаас шууд олох явдал юм.

Бидний санаа энд байна: . Шалгахын тулд та түүний координатыг шугамын тэгшитгэл болгонд орлуулах хэрэгтэй, тэдгээр нь тэнд, тэнд хоёуланд нь таарах ёстой. Өөрөөр хэлбэл цэгийн координат нь системийн шийдэл юм. Үндсэндээ бид график шийдлийг авч үзсэн шугаман тэгшитгэлийн системүүдхоёр тэгшитгэлтэй, хоёр үл мэдэгдэх.

График арга нь мэдээжийн хэрэг муу биш, гэхдээ мэдэгдэхүйц сул талууд байдаг. Үгүй ээ, гол нь долдугаар ангийн хүүхдүүд ингэж шийдээд байгаа юм биш, гол нь зөв, ЗӨВ зураг бүтээхэд цаг хугацаа хэрэгтэй. Нэмж дурдахад зарим шулуун шугамыг барихад тийм ч хялбар биш бөгөөд огтлолцох цэг нь өөрөө гуч дахь хаант улсын хаа нэгтээ дэвтрийн хуудасны гадна байрладаг байж болно.

Тиймээс уулзварын цэгийг хайх нь илүү тохиромжтой аналитик арга. Системийг шийдье:

Системийг шийдвэрлэхийн тулд тэгшитгэлийг гишүүнээр нь нэмэх аргыг ашигласан. Холбогдох чадварыг хөгжүүлэхийн тулд хичээлд хамрагдаарай Тэгшитгэлийн системийг хэрхэн шийдэх вэ?

Хариулах:

Шалгалт нь өчүүхэн юм - огтлолцлын цэгийн координатууд нь системийн тэгшитгэл бүрийг хангах ёстой.

Жишээ 5

Хэрэв шугамууд огтлолцсон бол тэдгээрийн огтлолцох цэгийг ол.

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Даалгаврыг хэд хэдэн үе шатанд хуваахад тохиромжтой. Нөхцөл байдлын шинжилгээ нь дараахь зүйлийг хийх шаардлагатай байгааг харуулж байна.
1) Шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич.
2) Шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич.
3) Шугамануудын харьцангуй байрлалыг ол.
4) Хэрэв шугамууд огтлолцсон бол огтлолцох цэгийг ол.

Үйлдлийн алгоритмыг боловсруулах нь геометрийн олон асуудлуудын хувьд ердийн зүйл бөгөөд би үүн дээр дахин дахин анхаарлаа хандуулах болно.

Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл ба хариулт:

Хичээлийн 2-р хэсэгт орохоос өмнө ганц ч гутал элэгдсэнгүй.

Перпендикуляр шугамууд. Нэг цэгээс шугам хүртэлх зай.
Шулуун шугамын хоорондох өнцөг

Ердийн бөгөөд маш чухал ажлаас эхэлцгээе. Эхний хэсэгт бид үүнтэй зэрэгцэн шулуун шугам барихыг сурсан бөгөөд одоо тахианы хөл дээрх овоохой 90 градус эргэх болно.

Өгөгдсөн шугамд перпендикуляр шугамыг хэрхэн барих вэ?

Жишээ 6

Шулуун шугамыг тэгшитгэлээр өгөгдсөн. Тухайн цэгийг дайран өнгөрөх шулуунд перпендикуляр тэгшитгэл бич.

Шийдэл: Нөхцөлөөр нь мэдэгдэж байна. Шугамын чиглүүлэгч векторыг олох нь сайхан байх болно. Шугамууд перпендикуляр байдаг тул заль мэх нь энгийн:

Тэгшитгэлээс бид хэвийн векторыг "арилгаж": , энэ нь шулуун шугамын чиглүүлэх вектор болно.

Цэг ба чиглэлийн векторыг ашиглан шулуун шугамын тэгшитгэлийг байгуулъя.

Хариулах:

Геометрийн тоймыг өргөжүүлье:

Ммм... Улбар шар тэнгэр, улбар шар тэнгис, улбар шар тэмээ.

Шийдлийн аналитик баталгаажуулалт:

1) Бид тэгшитгэлээс чиглэлийн векторуудыг гаргаж авдаг мөн тусламжтайгаар векторуудын скаляр үржвэрШулуун нь үнэхээр перпендикуляр байна гэсэн дүгнэлтэд бид хүрч байна: .

Дашрамд хэлэхэд та ердийн векторуудыг ашиглаж болно, энэ нь бүр ч хялбар юм.

2) Тухайн цэг нь үүссэн тэгшитгэлийг хангаж байгаа эсэхийг шалгана уу .

Туршилтыг дахин амаар хийхэд хялбар байдаг.

Жишээ 7

Тэгшитгэл нь мэдэгдэж байгаа бол перпендикуляр шулуунуудын огтлолцох цэгийг ол ба хугацаа.

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Асуудалд хэд хэдэн арга хэмжээ байдаг тул шийдлийг цэг болгон томъёолох нь тохиромжтой.

Бидний сэтгэл хөдөлгөм аялал үргэлжилсээр байна:

Цэгээс шугам хүртэлх зай

Бидний өмнө шулуун голын зурвас байгаа бөгөөд бидний даалгавар бол хамгийн богино замаар хүрэх явдал юм. Ямар ч саад тотгор байхгүй, хамгийн оновчтой зам нь перпендикулярын дагуу шилжих болно. Өөрөөр хэлбэл, цэгээс шулуун хүртэлх зай нь перпендикуляр сегментийн урт юм.

Геометрийн зайг уламжлалт ёсоор Грекийн "rho" үсгээр тэмдэглэдэг, жишээлбэл: - "em" цэгээс "de" шулуун шугам хүртэлх зай.

Цэгээс шугам хүртэлх зай томъёогоор илэрхийлнэ

Жишээ 8

Нэг цэгээс шулуун хүртэлх зайг ол

Шийдэл: таны хийх ёстой зүйл бол тоонуудыг томъёонд анхааралтай орлуулж, тооцооллыг хийх явдал юм.

Хариулах:

Зураг зурцгаая:

Цэгээс шугам хүртэлх олсон зай нь улаан сегментийн урттай яг тэнцүү байна. Хэрэв та алаг цаасан дээр 1 нэгжийн масштабаар зураг зурвал. = 1 см (2 нүд), дараа нь зайг энгийн захирагчаар хэмжиж болно.

Ижил зураг дээр үндэслэсэн өөр даалгаврыг авч үзье.

Даалгавар нь шулуун шугамтай харьцуулахад цэгтэй тэгш хэмтэй цэгийн координатыг олох явдал юм . Би алхмуудыг өөрөө хийхийг санал болгож байна, гэхдээ би шийдлийн алгоритмыг завсрын үр дүнгээр тайлбарлах болно:

1) Шугаманд перпендикуляр шугамыг ол.

2) Шугамануудын огтлолцох цэгийг ол: .

Энэ хоёр үйлдлийг энэ хичээлд дэлгэрэнгүй авч үзсэн болно.

3) Цэг нь сегментийн дунд цэг юм. Бид дунд болон нэг төгсгөлийн координатыг мэддэг. By сегментийн дунд цэгийн координатын томъёобид олдог.

Мөн зай нь 2.2 нэгж байгаа эсэхийг шалгах нь зүйтэй юм.

Тооцоолоход хүндрэл гарч болзошгүй ч микро тооцоолуур нь цамхагт маш сайн тусалж, тооцоолох боломжийг танд олгоно. энгийн бутархай. Би танд олон удаа зөвлөсөн, дахин санал болгох болно.

Хоёр зэрэгцээ шугамын хоорондох зайг хэрхэн олох вэ?

Жишээ 9

Хоёр зэрэгцээ шугамын хоорондох зайг ол

Энэ бол та өөрөө шийдэх бас нэг жишээ юм. Би танд бага зэрэг зөвлөгөө өгөх болно: үүнийг шийдэх хязгааргүй олон арга бий. Хичээлийн төгсгөлд дүгнэлт хийж байна, гэхдээ та өөрөө таах гэж оролдсон нь дээр, таны авъяас чадвар сайн хөгжсөн гэж бодож байна.

Хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцөг

Булан бүр нь түгжрэл юм:


Геометрийн хувьд хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцгийг ЖИЖИГ өнцөг гэж авдаг бөгөөд үүнээс автоматаар мохоо байж болохгүй гэсэн дүгнэлт гарна. Зураг дээр улаан нумаар заасан өнцгийг огтлолцсон шугамын хоорондох өнцөг гэж үзэхгүй. Мөн түүний "ногоон" хөрш эсвэл эсрэг чиглэсэн"бөөрөлзгөнө" булан.

Хэрэв шугамууд перпендикуляр байвал 4 өнцгийн аль нэгийг нь тэдгээрийн хоорондох өнцөг болгон авч болно.

Өнцөг ямар ялгаатай вэ? Баримтлал. Нэгдүгээрт, өнцгийг "гүйлгэх" чиглэл нь үндсэндээ чухал юм. Хоёрдугаарт, сөрөг чиглэлтэй өнцгийг хасах тэмдгээр бичнэ, жишээлбэл.

Би яагаад чамд үүнийг хэлсэн юм бэ? Өнцөг гэдэг жирийн нэг ойлголтоор л явж болох юм шиг байна. Бидний өнцгийг олох томъёо нь сөрөг үр дүнд амархан хүргэж болзошгүй тул энэ нь таныг гайхшруулах ёсгүй. Хасах тэмдэгтэй өнцөг нь үүнээс муу зүйл биш бөгөөд маш тодорхой геометрийн утгатай. Зураг дээр сөрөг өнцгийн хувьд түүний чиглэлийг сумаар (цагийн зүүний дагуу) зааж өгөхөө мартуузай.

Хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцгийг хэрхэн олох вэ?Хоёр ажлын томъёо байдаг:

Жишээ 10

Шугамын хоорондох өнцгийг ол

ШийдэлТэгээд Нэгдүгээр арга

Тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон хоёр шулуун шугамыг ерөнхий хэлбэрээр авч үзье.

Хэрэв шулуун бол перпендикуляр биш, Тэр чиглэсэнТэдний хоорондох өнцгийг дараах томъёогоор тооцоолж болно.

Хуваарьт анхаарлаа хандуулцгаая - энэ нь яг тийм юм цэгийн бүтээгдэхүүншулуун шугамын чиглүүлэх векторууд:

Хэрэв , тэгвэл томъёоны хуваагч тэг болж векторууд нь ортогональ, шулуунууд перпендикуляр байх болно. Тийм ч учраас томъёонд шулуун шугамын перпендикуляр бус байдлын талаар тайлбар хийсэн.

Дээр дурдсан зүйлс дээр үндэслэн шийдлийг хоёр үе шаттайгаар албан ёсны болгох нь тохиромжтой.

1) Шугамын чиглэлийн векторуудын скаляр үржвэрийг тооцоолъё.
, энэ нь шугамууд перпендикуляр биш гэсэн үг юм.

2) Дараах томъёог ашиглан шулуун шугамын хоорондох өнцгийг ол.

Урвуу функцийг ашигласнаар өнцгийг өөрөө олоход хялбар байдаг. Энэ тохиолдолд бид арктангентын сондгой байдлыг ашигладаг (харна уу. Энгийн функцүүдийн график ба шинж чанарууд):

Хариулах:

Хариултанд бид тооцоолуур ашиглан тооцоолсон тодорхой утгыг, мөн ойролцоо утгыг (градус ба радианаар аль алинд нь илүү тохиромжтой) зааж өгсөн болно.

За, хасах, хасах, том асуудал биш. Энд геометрийн дүрслэл байна:

Өнцөг нь сөрөг чиглэлтэй болсон нь гайхах зүйл биш юм, учир нь асуудлын мэдэгдэлд эхний тоо нь шулуун шугам бөгөөд өнцгийг "тайлах" нь яг түүгээр эхэлсэн юм.

Хэрэв та үнэхээр эерэг өнцөг авахыг хүсч байвал шугамуудыг солих хэрэгтэй, өөрөөр хэлбэл хоёр дахь тэгшитгэлээс коэффициентүүдийг авах хэрэгтэй. , эхний тэгшитгэлээс коэффициентүүдийг авна. Товчхондоо та шууд ярианаас эхлэх хэрэгтэй .

Хэрэв шугамууд нэг цэг дээр огтлолцсон бол түүний координат нь шийдэл болно шугаман тэгшитгэлийн системүүд

Шугамын огтлолцлын цэгийг хэрхэн олох вэ? Системийг шийд.

Энд байна хоёр үл мэдэгдэх хоёр шугаман тэгшитгэлийн системийн геометрийн утга- эдгээр нь хавтгай дээрх хоёр огтлолцсон (ихэнхдээ) шугам юм.

Даалгаврыг хэд хэдэн үе шатанд хуваахад тохиромжтой. Нөхцөл байдлын шинжилгээ нь дараахь зүйлийг хийх шаардлагатай байгааг харуулж байна.
1) Нэг шулуун шугамын тэгшитгэл хий.
2) Хоёр дахь мөрөнд тэгшитгэл бич.
3) Шугамануудын харьцангуй байрлалыг ол.
4) Хэрэв шугамууд огтлолцсон бол огтлолцох цэгийг ол.

Жишээ 13.

Шугамын огтлолцлын цэгийг ол

Шийдэл: Аналитик аргаар огтлолцох цэгийг хайх нь зүйтэй. Системийг шийдье:

Хариулах:

P.6.4. Цэгээс шугам хүртэлх зай

Бидний өмнө шулуун голын зурвас байгаа бөгөөд бидний даалгавар бол хамгийн богино замаар хүрэх явдал юм. Ямар ч саад тотгор байхгүй, хамгийн оновчтой зам нь перпендикулярын дагуу шилжих болно. Өөрөөр хэлбэл, цэгээс шулуун хүртэлх зай нь перпендикуляр сегментийн урт юм.

Геометрийн зайг уламжлалт ёсоор Грекийн "rho" үсгээр тэмдэглэдэг, жишээлбэл: - "em" цэгээс "de" шулуун шугам хүртэлх зай.

Цэгээс хол зай шулуун шугам руу томъёогоор илэрхийлнэ

Жишээ 14.

Нэг цэгээс шулуун хүртэлх зайг ол

Шийдэл: таны хийх ёстой зүйл бол тоонуудыг томъёонд анхааралтай орлуулж, тооцооллыг хийх явдал юм.

Хариулах:

P.6.5. Шулуун шугамын хоорондох өнцөг.

Жишээ 15.

Шугамын хоорондох өнцгийг ол.

1. Шулуунууд перпендикуляр байгаа эсэхийг шалгана уу:

Шулуунуудын чиглэлийн векторуудын скаляр үржвэрийг тооцоолъё.
, энэ нь шугамууд перпендикуляр биш гэсэн үг юм.
2. Шулуун шугамын хоорондох өнцгийг дараах томъёогоор ол.

Тиймээс:

Хариулах:

Хоёр дахь эрэмбийн муруй. Тойрог

Тэгш өнцөгт координатын системийг 0xy хавтгай дээр зааж өгье.

Хоёр дахь эрэмбийн муруйнь M(x, y, z) цэгийн одоогийн координаттай харьцуулахад хоёрдугаар зэргийн тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон хавтгай дээрх шулуун юм. Ерөнхийдөө энэ тэгшитгэл нь дараах байдалтай байна.

Энд A, B, C, D, E, L коэффициентүүд нь аливаа бодит тоо бөгөөд A, B, C тоонуудын ядаж нэг нь тэг биш байна.

1. Тойрогнь хавтгай дээрх цэгүүдийн олонлог бөгөөд үүнээс тогтмол M 0 (x 0, y 0) цэг хүртэлх зай нь тогтмол бөгөөд R-тэй тэнцүү. M 0 цэгийг тойргийн төв гэж нэрлэдэг бөгөөд R тоо нь түүний радиус

– төв нь M 0 (x 0, y 0) ба R радиустай тойргийн тэгшитгэл.

Хэрэв тойргийн төв нь координатын гарал үүсэлтэй давхцаж байвал бид дараах байдалтай байна.

– тойргийн каноник тэгшитгэл.

Зууван.

Зууваннь хавтгай дээрх цэгүүдийн багц бөгөөд тус бүрийн хувьд өгөгдсөн хоёр цэг хүртэлх зайны нийлбэр нь тогтмол утга (мөн энэ утга нь эдгээр цэгүүдийн хоорондох зайнаас их байна). Эдгээр цэгүүдийг нэрлэдэг эллипсийн голомт.

нь эллипсийн каноник тэгшитгэл юм.

харилцаа гэж нэрлэдэг хазгай байдалэллипс ба үүнийг: , . Түүнээс хойш< 1.

Үүний үр дүнд, харьцаа буурах тусам 1 болж хувирдаг, өөрөөр хэлбэл. b нь а-аас бага зэрэг ялгаатай бөгөөд эллипсийн хэлбэр нь тойрог хэлбэртэй ойртох болно. Хязгаарлагдмал тохиолдолд хэзээ , бид тэгшитгэл нь байх тойрог авна

x 2 + y 2 = a 2.

Гипербола

ГиперболЭнэ нь хавтгай дээрх цэгүүдийн багц бөгөөд тус бүрийн хувьд өгөгдсөн хоёр цэг хүртэлх зайны зөрүүний үнэмлэхүй утгыг хэлнэ. заль мэх, нь тогтмол хэмжигдэхүүн (энэ хэмжигдэхүүн нь фокус хоорондын зайнаас бага бөгөөд 0-тэй тэнцүү биш тохиолдолд).

F 1, F 2 фокусууд байг, тэдгээрийн хоорондох зайг 2с, параболын параметрээр тэмдэглэнэ).

– параболын каноник тэгшитгэл.

Сөрөг p-ийн тэгшитгэл нь 0y тэнхлэгийн зүүн талд байрлах параболыг мөн тодорхойлдог болохыг анхаарна уу. Тэгшитгэл нь 0y тэнхлэгт тэгш хэмтэй, p > 0 үед 0x тэнхлэгээс дээш, p хувьд 0x тэнхлэгийн доор байрлах параболыг дүрсэлдэг.< 0.