ТАНИЛЦУУЛГА
Дифференциал тэгшитгэл гэдэг нь тодорхой цэг дэх зарим үл мэдэгдэх функцийн утга ба түүний өөр өөр эрэмбийн деривативуудын утгыг нэг цэгт холбосон тэгшитгэл юм. Дифференциал тэгшитгэл нь тэмдэглэгээнд үл мэдэгдэх функц, түүний дериватив ба бие даасан хувьсагчдыг агуулдаг; гэхдээ үл мэдэгдэх функцийн дериватив агуулсан тэгшитгэл бүр дифференциал тэгшитгэл биш юм.
Дифференциал тэгшитгэлийн дараалал нь түүнд орсон деривативуудын хамгийн том дараалал юм.
Дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үйл явцыг интеграл гэж нэрлэдэг.
Бүх дифференциал тэгшитгэлийг шугаман болон шугаман бус гэж хувааж болно.
Шугаман бус дифференциал тэгшитгэл гэдэг нь үл мэдэгдэх функцийн деривативуудын дор хаяж нэг нь (тэг эрэмбийн дериватив - үл мэдэгдэх функц өөрөө) шугаман бус байдлаар ордог дифференциал тэгшитгэл (ердийн эсвэл хэсэгчилсэн дифференциал) юм.
Заримдаа N.D.U-ийн дор. тодорхой төрлийн хамгийн ерөнхий тэгшитгэл гэж ойлгогддог. Жишээлбэл, 1-р эрэмбийн шугаман бус энгийн дифференциал тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. дурын функцтэй тэгшитгэл, энэ тохиолдолд 1-р эрэмбийн шугаман энгийн дифференциал тэгшитгэл нь тусгай тохиолдолтой тохирч байна
Н.д.у. Бие даасан хувьсагчийн үл мэдэгдэх z функцийн 1-р эрэмбийн хэсэгчилсэн дериватив нь дараах хэлбэртэй байна.
Энд F нь түүний аргументуудын дурын функц;
1-р эрэмбийн шугаман бус дифференциал тэгшитгэлийн төрлүүд
Тусгаарлагдсан хувьсах тэгшитгэлүүд
Ерөнхий интеграл
Ерөнхий интеграл
Нийт дифференциал дахь тэгшитгэл
Ийм u(x, y) функц байдаг
Нийт дифференциал дахь тэгшитгэлийн ерөнхий интеграл нь u(x, y) = C байна.
u функцийг дараах байдлаар илэрхийлж болно
Нэг төрлийн тэгшитгэл
Энд P(x, y), Q(x, y) нь ижил зэрэгтэй нэгэн төрлийн функцууд юм
y = ux, dy = xdu + udx орлуулалт нь u функцтэй харьцах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг шугаман тэгшитгэл болгон хувиргана:
Маягтын тэгшитгэл
1. Хэрэв шугамууд (x0; y0) цэг дээр огтлолцдог бол орлуулалт нь нэгэн төрлийн тэгшитгэлд хүргэдэг.
2. Хэрэв шугамууд зэрэгцээ байвал орлуулалт нь салангид хувьсагчтай тэгшитгэлд хүргэдэг.
Бернуллигийн тэгшитгэл
Орлуулах нь шугаман болж буурдаг
Риккати тэгшитгэл
Хэрэв шийдлүүдийн аль нэг нь мэдэгдэж байгаа бол тэгшитгэл нь хүртэл буурна
шугаман орлуулалт.
Лагранжийн тэгшитгэл
x-ийн хувьд ялгаж, y" = p-г тохируулснаар бид x-ийн шугаман тэгшитгэлийг p-ийн функцээр олж авна.
Клэраутын тэгшитгэл
Лагранжийн тэгшитгэлийн онцгой тохиолдол.
ПРАКТИК ХЭСЭГ.
Риккати тэгшитгэл
Дифференциал тэгшитгэлийг шийд
y" = y + y2 + 1.
Энэ тэгшитгэл нь тогтмол коэффициент бүхий Риккатигийн хамгийн энгийн тэгшитгэл юм. x, y хувьсагчдыг энд амархан салгаж болно ерөнхий шийдэлтэгшитгэлийг дараах байдлаар тодорхойлно.
дифференциал тэгшитгэл Бернулли шийдэл
Риккати тэгшитгэлийг шийд
Бид тодорхой шийдлийг дараах хэлбэрээр хайх болно.
Үүнийг тэгшитгэлд орлуулснаар бид дараахь зүйлийг олно.
Бид авдаг квадрат тэгшитгэл c-ийн хувьд:
Бид c-ийн дурын утгыг сонгож болно. Жишээ нь, c = 2. Тодорхой шийдэл нь мэдэгдэж байгаа тул орлуулалтыг хийцгээе:
Үүнийг анхны Риккати тэгшитгэлд дахин оруулъя:
Таны харж байгаагаар бид m = 2 параметртэй Бернулли тэгшитгэлийг олж авлаа. Өөр нэг орлуулалт хийцгээе:
Бернулли тэгшитгэлийг z2-т хувааж (z ? 0 гэж үзвэл) v хувьсагчийн хувьд бичье.
Сүүлийн тэгшитгэл нь шугаман бөгөөд интегралчлах хүчин зүйлийг ашиглан амархан шийдэж болно.
Шугаман тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг функцээр тодорхойлно
Одоо бид өмнөх хувьсагчид руу дараалан буцах болно. z = 1/v тул z-ийн ерөнхий шийдийг дараах байдлаар бичнэ.
Тиймээс,
Та тогтмолын нэрийг өөрчилж болно: 3C = C1, хариултыг маягт дээр бичнэ үү
C1 хаана байна? дурын бодит тоо.
Бернулли тэгшитгэл
Энэ тэгшитгэл нь m = 1/2 бутархай параметртэй Бернуллигийн тэгшитгэл юм. Үүнийг орлуулах аргыг ашиглан шугаман дифференциал тэгшитгэл болгон бууруулж болно
Дериватив шинэ онцлог z(x) тэнцүү байх болно
Анхны Бернулли тэгшитгэлийг хувааж үзье
Энэ вэб хуудсан дээрх бусад жишээнүүдийн адил y = 0 үндэс нь дифференциал тэгшитгэлийн өчүүхэн шийдэл юм. Тиймээс бид бичиж болно:
y-г z-ээр орлуулснаар бид дараахь зүйлийг олно.
Тэгэхээр бид z(x) функцийн шугаман тэгшитгэлтэй болно. Энд нэгтгэх хүчин зүйл нь тэнцүү байх болно
u(x) = x функцийг интегралчлах хүчин зүйл болгон сонгоцгооё. Та u(x)-ээр үржүүлсний дараа тэгшитгэлийн зүүн тал нь z(x)u(x) үржвэрийн дериватив болохыг шалгаж болно:
Дараа нь шугаман дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг дараах илэрхийллээр тодорхойлно.
Анхны функц y(x) руу буцаж очоод бид шийдлийг далд хэлбэрээр бичнэ.
Тиймээс бүрэн хариулт дараах байдалтай байна.
Салгаж болох тэгшитгэлүүд
Дифференциал тэгшитгэлийн бүх шийдийг ол
Тэгшитгэлийг дараах байдлаар хувиргая.
Мэдээжийн хэрэг, ey-д хуваах нь шийдэл алдагдахгүй, учир нь ey > 0. Интеграцийн дараа бид олж авна.
Энэ хариултыг тодорхой илэрхийлж болно:
Сүүлчийн илэрхийлэл нь логарифмын функцийн мужийг хангахын тулд тогтмол C > 0 гэж үздэг.
-тэй тэгшитгэлийн тодорхой шийдлийг ол
Тэгшитгэлийг дараах байдлаар дахин бичье.
Хоёр талыг 1 + жишээлбэл:
1 + ex > 0 тул хуваах явцад бид ямар ч шийдлийг алдаагүй. Үүссэн тэгшитгэлийг интегралцуулъя:
Одоо y(0) = 0 анхны нөхцөлөөс С тогтмолыг олъё.
Тиймээс эцсийн хариулт нь:
Клэраутын тэгшитгэл
y" = p гэж үзвэл хэлбэрээр бичиж болно
x хувьсагчийг ялгаж үзвэл бид дараахь зүйлийг олно.
dy-г pdx-ээр солино уу:
Эхний хүчин зүйлийг тэгтэй тэнцүүлснээр бид дараахь зүйлийг авна.
Одоо үүнийг хоёр дахь тэгшитгэлд оруулъя:
Үүний үр дүнд бид өгөгдсөн Clairaut тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг олж авна. Графикийн хувьд энэ шийдлийг нэг параметрийн гэр бүлийн шугамаар дүрсэлсэн болно. Хоёрдахь хүчин зүйлийг тэгтэй тэнцүүлж, бид өөр шийдлийг олно.
Энэ тэгшитгэл нь дифференциал тэгшитгэлийн тусгай шийдэлтэй тохирч, параметрийн хэлбэрээр бичнэ
Системээс p-г хассанаар бид дараах интеграл муруй тэгшитгэлийг олж авна.
Геометрийн үүднээс авч үзвэл парабола
ерөнхий шийдлээр тодорхойлогддог гэр бүлийн шугамын дугтуй юм.
Дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий ба тусгай шийдлийг ол
y" = p параметрийг танилцуулъя:
Тэгшитгэлийн хоёр талыг x хувьсагчаас ялгаж үзвэл бид дараахь зүйлийг олж авна.
dy = pdx тул бид дараахь зүйлийг бичиж болно.
dp = 0 тохиолдлыг авч үзье. Дараа нь p = C. Үүнийг тэгшитгэлд орлуулснаар бид ерөнхий шийдийг олно.
Графикийн хувьд энэ шийдэл нь нэг параметрийн гэр бүлийн шулуун шугамтай тохирч байна.
Хоёрдахь тохиолдлыг тэгшитгэлээр тайлбарлав
y-д харгалзах параметрийн илэрхийллийг олъё:
p параметрийг x ба y-ийн томъёоноос хасч болно. Сүүлийн тэгшитгэлийг квадрат болгож, нэмбэл бид дараахь зүйлийг авна.
Үүссэн илэрхийлэл нь эхэнд байрлах 1 радиустай тойргийн тэгшитгэл юм. Тиймээс ганц бие шийдлийг xy хавтгай дахь нэгж тойргоор дүрсэлсэн бөгөөд энэ нь шулуун шугамын гэр бүлийн дугтуй юм.
Уран зохиол
1. Н.С. Пискунов "Дифференциал ба интеграл тооцоо", хоёрдугаар боть, "Наука" хэвлэлийн газар, Москва 1985 он.
2. В.Ф.Зайцев, А.Д.Полянин. Энгийн дифференциал тэгшитгэлийн гарын авлага. М .: Физматлит, 2001.
3. К.Н. Лунгу, В.П. Норин нар "Дээд математикийн асуудлуудын цуглуулга", хоёрдугаар курс, Москва: Iris-press, 2007.
4. Э.Камке. Энгийн дифференциал тэгшитгэлийн гарын авлага. М .: Наука, 1976.
5. Интернет дэх мэдээллийн эх сурвалжууд.
Хамгийн энгийн тэгшитгэл 1 нь хэлбэрийн тэгшитгэл юм Интеграл тооцооллын явцад мэдэгдэж байгаагаар функц y интегралчлалаар олно
Тодорхойлолт.хэлбэрийн тэгшитгэлийг дифференциал тэгшитгэл гэж нэрлэдэг тусгаарлагдсан хувьсагч.Үүнийг маягтаар бичиж болно
Бид тэгшитгэлийн хоёр талыг нэгтгэж, ерөнхий интеграл (эсвэл ерөнхий шийдэл) гэж нэрлэгддэг зүйлийг олж авдаг.
Жишээ.
Шийдэл.Тэгшитгэлийг хэлбэрээр бичье 
Тэгшитгэлийн хоёр талыг нэгтгэж үзье: 
(дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий интеграл).
Тодорхойлолт.Хэлбэрийн тэгшитгэлийг тэгшитгэл гэж нэрлэдэг салгаж болох хувьсагчтай,Хэрэв функцийг функцүүдийн үржвэр болгон төлөөлж болох юм бол
өөрөөр хэлбэл тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна
Ийм дифференциал тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд бид үүнийг салангид хувьсагчтай дифференциал тэгшитгэлийн хэлбэрт оруулах хэрэгтэй бөгөөд үүний тулд тэгшитгэлийг бүтээгдэхүүн болгон хуваана. 
Үнэн хэрэгтээ тэгшитгэлийн бүх гишүүнийг бүтээгдэхүүнд хуваана 
,
– тусгаарлагдсан хувьсагчтай дифференциал тэгшитгэл.
Үүнийг шийдэхийн тулд нэр томьёог нэр томъёогоор нэгтгэхэд хангалттай
Салгаж болох хувьсагчтай дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ дараахь зүйлийг удирдаж болно хувьсагчийг салгах алгоритм (дүрэм).
Эхний алхам.Хэрэв дифференциал тэгшитгэл нь дериватив агуулсан бол 
, үүнийг дифференциалын харьцаагаар бичих ёстой: 
Хоёр дахь алхам.Тэгшитгэлийг үржүүлнэ 
, дараа нь функцийн дифференциал болон бие даасан хувьсагчийн дифференциал агуулсан нэр томъёог бүлэглэнэ 
.
Гурав дахь алхам.-ээр олж авсан илэрхийллүүд 
, үүнийг тус бүр нь зөвхөн нэг хувьсагч агуулсан хоёр хүчин зүйлийн үржвэр болгон илэрхийлнэ ( 
). Үүний дараа тэгшитгэл гарч ирвэл түүнийг бүтээгдэхүүнд хуваана 
, бид тусгаарлагдсан хувьсагчтай дифференциал тэгшитгэлийг олж авдаг.
Дөрөв дэх алхам.Тэгшитгэлийн гишүүнийг гишүүнээр нь нэгтгэснээр бид анхны тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг (эсвэл түүний ерөнхий интеграл) олж авна.
Тэгшитгэлүүдийг авч үзье
№ 2.
№ 3.
Дифференциал тэгшитгэл №1 нь салгаж болох дифференциал тэгшитгэл юм. Тэгшитгэлийг бүтээгдэхүүнд хуваа 
Бид тэгшитгэлийг авдаг
Интеграцчилснаар бид олж авдаг 
эсвэл 
Сүүлийн хамаарал нь энэхүү дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий интеграл юм.
№2 дифференциал тэгшитгэлд бид солино 
-ээр үржүүлнэ 
, бид авдаг
дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл.
Дифференциал тэгшитгэл No3 нь салгах хувьсагчтай тэгшитгэл биш, учир нь үүнийг хэлбэрээр бичсэн.
эсвэл 
,
илэрхийлэл гэдгийг бид харж байна 
хоёр хүчин зүйлийн бүтээгдэхүүн хэлбэрээр (нэг нь -
зөвхөн -тай y, нөгөө нь – зөвхөн хамт X) төсөөлөхийн аргагүй юм. Өгөгдсөн дифференциал тэгшитгэл нь салангид хувьсагчтай байгааг харахын тулд заримдаа алгебрийн хувиргалт хийх шаардлагатай байдаг гэдгийг анхаарна уу.
Жишээ № 4. Өгөгдсөн тэгшитгэл нь нийтлэг хүчин зүйлийг зүүн тийш шилжүүлж тэгшитгэлийг хувиргана 
Тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талыг бүтээгдэхүүнээр хуваа 
бид авдаг
Тэгшитгэлийн хоёр талыг нэгтгэж үзье:
хаана 
нь энэ тэгшитгэлийн ерөнхий интеграл юм.
(А) 
Хэрэв интеграцийн тогтмолыг хэлбэрээр бичсэн бол анхаарна уу
эсвэл 
, тэгвэл энэ тэгшитгэлийн ерөнхий интеграл өөр хэлбэртэй байж болно.
- ерөнхий интеграл. (б) Тиймээс ижил дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий интеграл байж болноөөр хэлбэр X. Ямар ч тохиолдолд үүссэн ерөнхий интеграл нь өгөгдсөн дифференциал тэгшитгэлийг хангаж байгааг батлах нь чухал юм. Үүнийг хийхийн тулд та ялгах хэрэгтэй y
гэдгийг харгалзан ерөнхий интегралыг тодорхойлох тэгш байдлын хоёр тал X-аас функц байдаг -тай. 
Устгасны дараа Бид ижил дифференциал тэгшитгэлийг олж авдаг (эх). Хэрэв ерөнхий интеграл, (харах (
А 
)), тэр
Хэрэв ерөнхий интеграл
(б) төрөл), дараа нь
Бид өмнөх тохиолдолтой ижил тэгшитгэлийг олж авна (a).
Одоо салж болох хувьсагчтай тэгшитгэл болгон бууруулж болох нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэлийн энгийн бөгөөд чухал ангиудыг авч үзье.
Дараа нь илүү төвөгтэй сэдэв, тухайлбал дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл (ДЭ, энгийн хэллэгээр, ялгаатай) руу шилжих цаг болжээ. Гэхдээ бүх зүйл анх харахад тийм аймшигтай биш юм.
Дифференциал тэгшитгэл: энэ юу вэ?
Дифференциал тэгшитгэл (DE) гэдэг нь функцийн өөрөө (болон түүний аргумент) хамт дериватив эсвэл хэд хэдэн деривативыг агуулсан тэгшитгэл юм.
Дифференциал тэгшитгэл: өөр юу мэдэх хэрэгтэй вэ? Танд хэрэгтэй хамгийн эхний (хамгийн чухал) зүйл бол дифференциал тэгшитгэлийн төрлийг зөв тодорхойлох чадвар юм. Хоёрдугаарт, гэхдээ үүнээс дутуугүй чухал зүйл бол сайн нэгтгэх, ялгах чадвар юм.Дифференциал тэгшитгэл байж болох нь нууц биш
| янз бүрийн төрөл | . Гэхдээ... эхлээд алсын удирдлага өөр өөр дарааллаар ирдэг гэдгийг тэмдэглэе. Дифференциал тэгшитгэлийн дараалал нь дифференциал тэгшитгэлд багтсан хамгийн дээд деривативын дараалал юм. Тэгшитгэлийн дарааллын дагуу хяналтын системийн ангиллыг дараах хүснэгтээс харж болно. | Тэгшитгэлийн дараалал |
|---|---|---|
| Тэгшитгэлийн төрөл |  |
|
| Жишээ |  |
|
| … | … | … |
| I |  |
Ихэнхдээ бид нэг ба хоёрдугаар зэрэглэлийн хяналтын системтэй, гурав дахь нь бага байдаг. Тохиолдлын 99% -д асуудал нь гурван төрлийн нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийг агуулдаг: салгаж болох хувьсагчтай тэгшитгэл, нэгэн төрлийн тэгшитгэл, шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэл. Заримдаа дифференциал тэгшитгэлийн илүү ховор төрлүүд байдаг: нийт дифференциал дахь тэгшитгэл, Бернулли тэгшитгэл гэх мэт. Хоёрдугаар эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн дунд нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл, тогтмол коэффициент бүхий шугаман нэгэн төрлийн ба нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлд хүргэдэг тэгшитгэлүүд ихэвчлэн байдаг.
Дифференциал тэгшитгэл: шийдэл - энэ нь юу гэсэн үг вэ, яаж олох вэ?
DE-г шийдвэрлэхдээ ерөнхий шийдэл (ерөнхий интеграл) эсвэл тодорхой шийдлийг олохыг биднээс хүсдэг. Ерөнхий шийдэл у = f(x, C)зарим тогтмолоос хамаарна ( ХАМТ- const) бөгөөд тодорхой шийдэл нь дараахь зүйлээс хамаарахгүй. у = f(x, C 0).
Дуусгах туршилтын ажил №3
Чиглэл
(сэдэв 12-16)
Сэдэв 12. 1-р эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл.
Пискунов, Ч. VIII, § 1-8, жишээ нь. 1-68
Данко, II хэсэг, Ch. IV, §1
12.1 Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн тодорхойлолт.
1. Тодорхойлолт. Бие даасан хувьсагчтай холбоотой тэгш байдал X, функц цагтмөн энэ функцийн деривативуудыг (эсвэл дифференциалуудыг) нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл гэж нэрлэдэг (ӨН 1)тэдгээр.
F(x,y,y")=0эсвэл y"=f (x,y)
Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийг шийд- үл мэдэгдэх функцийг олох гэсэн үг y.
2.Ерөнхий шийдэлНэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийг функц гэнэ y=j(x,c), Хаана C- Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлд орлуулснаар түүнийг таних тэмдэг болгон хувиргадаг тогтмол. Онгоцонд XOYерөнхий шийдэл y=j(x,c)интеграл муруйн бүлгийг илэрхийлнэ.
3. Шийдвэр бүр y= j (x,С 0)ерөнхий шийдлээс тодорхой үнэ цэнээр олж авсан С=С 0дуудсан хувийн шийдэлнэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл.
4. Анхны нөхцөлийг хангасан нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн тодорхой шийдийг олох бодлого
Эсвэл, эсвэл
|
5. Салгаж болох хувьсагчтай -DE 1.
6. - ODE 1 – 1-р эрэмбийн нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэл буюу , энд , нэг хэмжээстийн нэгэн төрлийн функцууд. Орлуулахыг ашигладаг
7. , хаана . DE 1, орлуулах замаар нэгэн төрлийн болгож бууруулсан
Шугамануудын огтлолцох цэг хаана байна
Хэрэв бол орлуулалтыг ашиглана
8. , энд - нийт дифференциал тэгшитгэл гэнэ.
Функцийн нийт дифференциал хаана байна
Энэ тэгшитгэлийг шийднэ гэдэг нь функцийг олно гэсэн үг Тэгээд.
9. - шугаман алсын удирдлага 1 (LDU 1)
Хэрэв бол тэгшитгэл нь нэг төрлийн бус байна,
Хэрэв бол тэгшитгэл нь нэгэн төрлийн байна.
LDU 1 нь нэгдсэн:
1) Бернулли арга (y = орлуулалтыг ашиглан ба v, Хаана уТэгээд v- тодорхойгүй функцууд)
2) Лагранжийн аргыг ашиглан дурын тогтмолыг өөрчлөх.
10. , хаана м- тоо, м¹0, m¹1- Бернулли дифференциал тэгшитгэлийг y= орлуулалтын аль нэгээр нь шийднэ uv, эсвэл Лагранжийн арга (9-р догол мөрийг үзнэ үү).
12.2. Асуудлыг шийдвэрлэх жишээ.
Даалгавар 1. Анхны нөхцөлийг хангасан DE 1-ийн тодорхой шийдлийг ол.
Шийдэл: Энэ нь салгаж болох хувьсагчтай тэгшитгэл юм.
Учир нь , тэгвэл тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй болно.
Эсвэл - хувьсагчдыг салгасны дараа.
Сүүлийн тэгшитгэлийн хоёр талыг нэгтгэснээр бид дараахь зүйлийг олж авна.
Эсвэл - ерөнхий шийдэл
Анхны нөхцөлийг ашиглан бид . Дараа нь ерөнхий уусмалаас тодорхой шийдлийг гаргаж авна.
Даалгавар 2.
Шийдэл:Энэ тэгшитгэл нь нэг төрлийн байна, учир нь коэффициентүүд dxТэгээд dyхувьсагчтай харьцуулахад ижил хэмжээтэй (хоёр дахь) нэгэн төрлийн функцууд юм xТэгээд y. Орлуулах хэрэглээ y=xt, Хаана т- зарим аргумент функц x. Хэрэв y=xt, дараа нь дифференциал dy = d(xt) = tdx+ xdt, мөн энэ тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй болно.
2xxtdt+(x²t²-x²) (tdx+xdt)= 0
-ээр бууруулсан x², бидэнд байх болно:
2tdx+(t²-1) (tdx+xdt)=0
2tdx+(t²-1) tdx+x (t²-1)dt=0
t(2+t²-1) dx+x (t²-1)dt=0
t(1+t²)dx= x(1-t²)dt;.
Бид тусдаа хувьсах тэгшитгэлийг олж авсан xТэгээд т. Интеграцчилснаар бид энэ тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг олно.
Потенциацилах замаар бид , эсвэл x(1+t²)=Ct. Оруулсан орлуулалтаас үзэхэд . Тиймээс, эсвэл x²+y²= Cyнь энэ тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл юм.
Даалгавар 3. Тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол y"-y tg x=2 xsec x.
Шийдэл:Энэ тэгшитгэл нь хүссэн функц y болон түүний деривативыг агуулж байгаа тул шугаман байна у"нэгдүгээр зэрэгтэй бөгөөд тэдний бүтээлийг агуулаагүй болно.
Орлуулах хэрэглээ y=uv, Хаана уТэгээд v– зарим үл мэдэгдэх аргумент функцууд x. Хэрэв y=uv, Тэр y"= (uv)"= u"v+uv"ба энэ тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй болно. u"v+uv"-uvtg x= 2x sec x,
v(u"-utg x)+ uv"= 2xsec x. (1)
Шаардлагатай функцээс хойш yнь өөр хоёр үл мэдэгдэх функцийн үржвэр хэлбэрээр танилцуулагдсан бол тэдгээрийн аль нэгийг нь дур зоргоороо сонгож болно. Функцийг сонгоцгооё утэгш бус байдлын зүүн талын хаалтанд байгаа илэрхийлэл (1) тэг болж, өөрөөр хэлбэл функцийг сонгоно. уИнгэснээр тэгш байдал бий болно
u"-utg x= 0 (2)
Энэ u функцийг сонгосноор тэгшитгэл (1) хэлбэрийг авна
uv"= 2x сек x. (3)
Тэгшитгэл (2) нь u ба x-ийн хувьд салгаж болох тэгшитгэл юм. Энэ тэгшитгэлийг шийдье:
ln u= -ln cos x, эсвэл
(2) тэгш байдал бий болохын тулд энэ тэгшитгэлийг хангасан тодорхой шийдлийг олоход хангалттай. Иймд энгийн байхын тулд энэ тэгшитгэлийг интегралчлахдаа дурын тогтмол C = 0-ийн утгатай тохирох тодорхой шийдлийг олно. .) (3)-д олсон илэрхийллийг орлуулах чи,бид авах:
secxv"= 2xsecx; v"= 2x; dv= 2xdx.Интеграцчилснаар бид олж авдаг v=x²+C. Дараа нь y=секх(x²+C)нь энэ тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл юм.
12.3.Өөрийгөө хянах асуултууд.
1. Ямар тэгшитгэлийг дифференциал гэдэг вэ?
2. Тэгшитгэлийн дарааллыг хэрхэн тодорхойлох вэ? Жишээ.
3. Шийдвэрлэх гэдэг нь юу гэсэн үг вэ?
4. Аль функцийг шийдэл гэж нэрлэдэг вэ?
5. Аль шийдлийг ерөнхий, тусгай гэж нэрлэдэг вэ?
6. Анхны нөхцөл дээр үндэслэн тодорхой шийдлийг хэрхэн олох вэ? Жишээ шийдвэрлэхдээ гүйцэтгэсэн үйлдлүүдийн төлөвлөгөөг бичнэ үү у"- 2x=Эхний нөхцөлд 0 байна y(-2)= 4.
7. Томъёо геометрийн утгаерөнхий болон тусгай шийдэл.
Дифференциал тэгшитгэлмэт харагдах харилцаа юм F(x 1 ,x 2 ,x 3 ,..,y,y′,y′′,...y (n)) = 0, мөн бие даасан хувьсагчтай холбоотой x 1 , x 2 , x 3 ,...Эдгээр бие даасан хувьсагчдын y функц ба түүний дериватив хүртэл I--р захиалга. Түүнээс гадна функц Фнь түүний аргументуудын өөрчлөлтийн тодорхой хязгаарт хангалттай тооны удаа тодорхойлогддог бөгөөд ялгаатай байдаг.
Энгийн дифференциал тэгшитгэлнь зөвхөн нэг бие даасан хувьсагч агуулсан дифференциал тэгшитгэл юм.
Хэсэгчилсэн дифференциал тэгшитгэл- эдгээр нь 2 ба түүнээс дээш бие даасан хувьсагч агуулсан дифференциал тэгшитгэл юм.
Ерөнхий тохиолдолд 1-р эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл нь дараахь зүйлийг агуулна.
1) бие даасан хувьсагч X;
2) хамааралтай хувьсагч y(функц);
3) функцийн эхний дериватив: y’ .
Зарим эхний эрэмбийн тэгшитгэлд байхгүй байж болно Xэсвэл/ба y, гэхдээ энэ нь чухал биш - дифференциал тэгшитгэл нь 1-р деривативтай байх нь чухал юм y’ , мөн дээд эрэмбийн дериватив байхгүй байсан - y’’ , y’’’ гэх мэт.
Дифференциал тэгшитгэл- функцийн деривативын утгыг функц өөрөө, бие даасан хувьсагчийн утгууд, тоонууд (параметрүүд) -тэй холбосон тэгшитгэл. Тэгшитгэлд орсон деривативуудын дараалал өөр байж болно (албан ёсоор энэ нь хязгаарлагдмал биш). Дериватив, функц, бие даасан хувьсагч ба параметрүүдийг тэгшитгэлд янз бүрийн хослолоор оруулж болно, эсвэл дор хаяж 1-р деривативаас бусад нь бүрэн байхгүй байж болно. Үл мэдэгдэх функцийн дериватив агуулсан тэгшитгэл бүр дифференциал тэгшитгэл болж хувирдаггүй. Жишээ нь, нь дифференциал тэгшитгэл биш юм.
1-ээс дээш эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийг тэгшитгэлийн тоо нь анхны тэгшитгэлийн дараалалтай тэнцүү байх 1-р дарааллын тэгшитгэлийн систем болгон хувиргаж болно.
Дифференциал тэгшитгэлийн ангилал.
Дифференциал тэгшитгэлийн дараалалнь түүнд орсон хамгийн дээд деривативын дараалал юм.
Дифференциал тэгшитгэлийн зэрэгнь дээд эрэмбийн деривативыг өсгөх илтгэгч юм.
Жишээ нь, 1-р эрэмбийн 2-р зэргийн тэгшитгэл:
Жишээ нь, 1-р зэргийн 4-р эрэмбийн тэгшитгэл:
Заримдаа дифференциал тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичдэг (үүнд дифференциал орно):
(x 2
- 3
xy 2
)
dx + (xy 2
- 3
x 2
y)
dy = 0;
Энэ тохиолдолд хувьсагч xТэгээд yтэнцүү гэж үзэх ёстой. Шаардлагатай бол ийм тэгшитгэлийг деривативыг тодорхой агуулсан хэлбэр болгон бууруулж болно у". Хуваах dx:
ба учраас энэ нь тэгшитгэл нь 1-р эрэмбийн дериватив агуулсан хэлбэрийг авна гэсэн үг.
