Тригонометрийн үндсэн шинж чанарууд, тэдгээрийн томъёолол, гарал үүсэл. "Үндсэн тригонометрийн таних тэмдгүүдийн жишээ" гэсэн шошготой нийтлэлүүд

Үндсэн тригонометрийн ижил төстэй байдал.

secα уншина: "secant alpha". Энэ нь косинусын альфагийн эсрэг юм.

cosecα уншсан: "косекант альфа." Энэ нь синус альфагийн харилцан үйлчлэл юм.

Жишээ.Илэрхийлэлийг хялбарчлах:

A) 1 – нүгэл 2 α; б) cos 2 α – 1; V)(1 – cosα)(1+cosα); G)нүгэл 2 αcosα – cosα; г) sin 2 α+1+cos 2 α;

д) sin 4 α+2sin 2 αcos 2 α+cos 4 α; ба) tg 2 α – нүгэл 2 αtg 2 α; h) ctg 2 αcos 2 α – ctg 2 α; Тэгээд) cos 2 α+tg 2 αcos 2 α.

A) 1 – томьёоны дагуу sin 2 α = cos 2 α 1) ;

б) cos 2 α – 1 =- (1 – cos 2 α) = -sin 2 α мөн томъёог ашигласан 1) ;

V)(1 – cosα)(1+cosα) = 1 – cos 2 α = sin 2 α. Эхлээд (a – b)(a+b) = a 2 – b 2 гэсэн хоёр илэрхийллийн квадратуудын зөрүүний томъёог, дараа нь томъёог ашигласан. 1) ;

G)нүгэл 2 αcosα – cosα. Нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтнаас гаргая.

sin 2 αcosα – cosα = cosα(sin 2 α – 1) = -cosα(1 – sin 2 α) = -cosα ∙ cos 2 α = -cos 3 α. 1 – sin 2 α = cos 2 α, дараа нь sin 2 α – 1 = -cos 2 α болохыг та мэдээж аль хэдийн анзаарсан байх. Үүнтэй адил 1 – cos 2 α = sin 2 α бол cos 2 α – 1 = -sin 2 α байна.

г) sin 2 α+1+cos 2 α = (sin 2 α+cos 2 α)+1 = 1+1 = 2;

д) sin 4 α+2sin 2 αcos 2 α+cos 4 α. Бидэнд: sin 2 α илэрхийллийн квадратыг нэмээд sin 2 α-ийн cos 2 α-ийн давхар үржвэрийг нэмээд cos 2 α хоёр дахь илэрхийллийн квадратыг нэмнэ. a 2 +2ab+b 2 =(a+b) 2 гэсэн хоёр илэрхийллийн нийлбэрийн квадратын томьёог хэрэгжүүлье. Дараа нь бид томъёог хэрэглэнэ 1) . Бид авна: sin 4 α+2sin 2 αcos 2 α+cos 4 α = (sin 2 α+cos 2 α) 2 = 1 2 = 1;

ба) tg 2 α – sin 2 αtg 2 α = tg 2 α(1 – sin 2 α) = tg 2 α ∙ cos 2 α = нүгэл 2 α. Томъёог хэрэглээрэй 1) , дараа нь томъёо 2) .

Санаж байна уу: тгα ∙ cosα = нүгэлα.

Үүний нэгэн адил томъёог ашиглана 3) та авах боломжтой: ctgα ∙ нүгэлα = cosα. Санаж байна уу!

h) ctg 2 αcos 2 α – ctg 2 α = ctg 2 α(cos 2 α – 1) = ctg 2 α ∙ (-sin 2 α) = -cos 2 α.

Тэгээд) cos 2 α+tg 2 αcos 2 α = cos 2 α(1+tg 2 α) = 1. Бид эхлээд нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтнаас гаргаж, томъёог ашиглан хаалтны агуулгыг хялбаршуулсан. 7).

Илэрхийлэл хөрвүүлэх:

Бид томъёог ашигласан 7) мөн эдгээр илэрхийллийн зөрүүний бүрэн бус квадратаар хоёр илэрхийллийн нийлбэрийн үржвэрийг олж авсан - хоёр илэрхийллийн шоо нийлбэрийн томъёо.

Та захиалж болно нарийвчилсан шийдэлчиний даалгавар!!!

Тригонометрийн функцийн тэмдгийн дор үл мэдэгдэх зүйлийг агуулсан тэгшитгэлийг (`sin x, cos x, tan x` эсвэл `ctg x`) тригонометрийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг бөгөөд бид цаашид авч үзэх болно.

Хамгийн энгийн тэгшитгэлүүдийг `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a` гэж нэрлэдэг бөгөөд энд `x` нь олох өнцөг, `a` нь дурын тоо юм. Тэд тус бүрийн үндсэн томъёог бичье.

1. `sin x=a` тэгшитгэл.

`|a|>1`-ийн хувьд ямар ч шийдэл байхгүй.

Хэзээ `|a| \leq 1` байна хязгааргүй тоошийдвэрүүд.

Үндэс томьёо: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. `cos x=a` тэгшитгэл

`|a|>1`-ийн хувьд - синусын хувьд бодит тоонуудын дунд шийдэл байхгүй.

Хэзээ `|a| \leq 1` нь хязгааргүй олон шийдэлтэй.

Үндсэн томъёо: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

График дахь синус ба косинусын тусгай тохиолдлууд.

3. `tg x=a` тэгшитгэл

`a`-ын дурын утгын хувьд хязгааргүй олон тооны шийдэлтэй.

Үндэс томъёо: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. `ctg x=a` тэгшитгэл

Мөн `a`-ын дурын утгуудын хувьд хязгааргүй тооны шийдэлтэй.

Үндэс томъёо: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Хүснэгт дэх тригонометрийн тэгшитгэлийн үндэсийн томъёо

Синусын хувьд:
Косинусын хувьд:
Тангенс ба котангенсийн хувьд:
Урвуу тригонометрийн функц агуулсан тэгшитгэлийг шийдвэрлэх томъёо:

Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга

Аливаа тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх нь хоёр үе шатаас бүрдэнэ.

үүнийг хамгийн энгийн болгон хувиргах тусламжтайгаар;
дээр бичсэн язгуур томъёо, хүснэгтийг ашиглан олж авсан хамгийн энгийн тэгшитгэлийг шийд.

Жишээнүүдийг ашиглан шийдвэрлэх үндсэн аргуудыг авч үзье.

Алгебрийн арга.

Энэ арга нь хувьсагчийг сольж, тэгш байдал болгон орлуулахыг хэлнэ.

Жишээ. Тэгшитгэлийг шийд: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

орлуулах: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, дараа нь `2y^2-3y+1=0`,

Бид язгуурыг олно: `y_1=1, y_2=1/2`, үүнээс дараах хоёр тохиолдол гарна:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Хариулт: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Факторжуулалт.

Жишээ. Тэгшитгэлийг шийд: `sin x+cos x=1`.

Шийдэл. Тэгш байдлын бүх нөхцөлийг зүүн тийш шилжүүлье: `sin x+cos x-1=0`. -ийг ашиглан бид зүүн талыг хувиргаж, хүчин зүйл болгон хуваана:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

`sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
`cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Хариулт: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Нэг төрлийн тэгшитгэлд буулгах

Эхлээд та энэ тригонометрийн тэгшитгэлийг хоёр хэлбэрийн аль нэг болгон багасгах хэрэгтэй.

`a sin x+b cos x=0` (эхний зэргийн нэгэн төрлийн тэгшитгэл) эсвэл `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (хоёрдугаар зэргийн нэгэн төрлийн тэгшитгэл).

Дараа нь хоёр хэсгийг эхний тохиолдолд `cos x \ne 0', хоёр дахь тохиолдолд `cos^2 x \ne 0' гэж хуваана. Бид мэдэгдэж буй аргуудыг ашиглан шийдвэрлэх шаардлагатай `tg x`: `a tg x+b=0` ба `a tg^2 x + b tg x +c =0`-ийн тэгшитгэлийг олж авдаг.

Жишээ. Тэгшитгэлийг шийд: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Шийдэл. Баруун талыг нь `1=sin^2 x+cos^2 x` гэж бичье:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Энэ бол хоёрдугаар зэргийн нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл бөгөөд бид түүний зүүн ба баруун талыг `cos ^ 2 x \ne 0' гэж хуваавал бид дараахь зүйлийг авна.

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. `t^2 + t - 2=0` болох `tg x=t` орлуулалтыг танилцуулъя. Энэ тэгшитгэлийн үндэс нь `t_1=-2` ба `t_2=1` байна. Дараа нь:

`tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
`tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \Z`-д.

Хариулт. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \Z-д`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \Z-д`.

Хагас булан руу яв

Жишээ. Тэгшитгэлийг шийд: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Шийдэл. Давхар өнцгийн томьёог ашиглая: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 тг^2 х/2 — 11 тг х/2 +6=0`

Дээр дурдсан алгебрийн аргыг ашигласнаар бид дараахь зүйлийг олж авна.

`tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
`tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Хариулт. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Туслах өнцгийн танилцуулга

`a sin x + b cos x =c` тригонометрийн тэгшитгэлд a,b,c нь коэффициент, x нь хувьсагч бөгөөд хоёр талыг `sqrt (a^2+b^2)`-д хуваана:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))`.

Зүүн талд байгаа коэффициентүүд нь синус ба косинусын шинж чанартай, тухайлбал тэдгээрийн квадратуудын нийлбэр нь 1-тэй тэнцүү, модулиуд нь 1-ээс ихгүй байна. Тэдгээрийг дараах байдлаар тэмдэглэе: `\frac a(sqrt (a^2). +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, тэгвэл:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Дараах жишээг нарийвчлан авч үзье.

Жишээ. Тэгшитгэлийг шийд: `3 sin x+4 cos x=2`.

Шийдэл. Тэгш байдлын хоёр талыг `sqrt (3^2+4^2)`-д хуваавал бид дараахь зүйлийг авна.

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt) (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

`3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi` гэж тэмдэглэе. `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0` тул бид `\varphi=arcsin 4/5`-ийг туслах өнцөг болгон авна. Дараа нь бид тэгш байдлыг дараах хэлбэрээр бичнэ.

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Синусын өнцгийн нийлбэрийн томъёог ашигласнаар бид тэгшитгэлээ дараах хэлбэрээр бичнэ.

`нүгэл (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Хариулт. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Бутархай рационал тригонометрийн тэгшитгэлүүд

Эдгээр нь тоологч ба хуваагч нь тригонометрийн функц агуулсан бутархайтай тэнцүү юм.

Жишээ. Тэгшитгэлийг шийд. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Шийдэл. Тэгш байдлын баруун талыг `(1+cos x)`-аар үржүүлж хуваа. Үүний үр дүнд бид:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Хуваагч нь 0-тэй тэнцүү байж болохгүй гэж үзвэл Z-д `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \ гэсэн утгыг авна.

Бутархайн тоог 0-тэй тэнцүү болгоё: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Дараа нь `sin x=0` эсвэл `1-sin x=0`.

`sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
`1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

` x \ne \pi+2\pi n, n \Z`-д шийдлүүд нь `x=2\pi n, n \in Z` ба `x=\pi /2+2\pi n` байна. , `n \in Z`.

Хариулт. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Тригонометр, ялангуяа тригонометрийн тэгшитгэлийг геометр, физик, инженерийн бараг бүх салбарт ашигладаг. Хичээл 10-р ангиас эхэлдэг, улсын нэгдсэн шалгалтын даалгавар үргэлж байдаг тул бүх томъёог санаж байхыг хичээ. тригонометрийн тэгшитгэл- тэд танд ашигтай байх нь гарцаагүй!

Гэсэн хэдий ч та тэдгээрийг цээжлэх шаардлагагүй, гол зүйл бол мөн чанарыг ойлгож, түүнийг гаргаж авах чадвартай байх явдал юм. Энэ нь санагдаж байгаа шиг хэцүү биш юм. Видеог үзэж өөрөө үзээрэй.

"Нүглийн" хүсэлтийг энд дахин чиглүүлсэн; бусад утгыг мөн үзнэ үү. "сек" хүсэлтийг энд дахин чиглүүлсэн; бусад утгыг мөн үзнэ үү. "Sine" хүсэлтийг энд дахин чиглүүлсэн; бусад утгыг бас үзнэ үү... Википедиа

Цагаан будаа. 1 Тригонометрийн функцүүдийн график: синус, косинус, тангенс, секант, косекант, котангенс Тригонометрийн функцууд нь энгийн функцүүдийн нэг төрөл юм. Эдгээрт ихэвчлэн синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x), котангенс (ctg x), ... ... Wikipedia орно.

Геодезийн хэмжилт (XVII зуун) ... Википедиа

Тригонометрийн хувьд хагас өнцгийн тангенс нь хагас өнцгийн тангенсыг бүтэн өнцгийн тригонометрийн функцуудтай холбодог. ХувилбаруудЭнэ томьёо иймэрхүү харагдаж байна... Википедиа

- (Грек хэлнээс τρίγονο (гурвалжин) ба Грекийн μετρειν (хэмжих), өөрөөр хэлбэл гурвалжны хэмжилт) нь тригонометрийн функцууд болон тэдгээрийн геометрийн хэрэглээг судалдаг математикийн салбар юм. Энэ нэр томьёо анх 1595 онд... ... Википедиа гэж гарч ирсэн

- (лат. solutio triangulorum) тригонометрийн үндсэн асуудлын шийдэл гэсэн утгатай түүхэн нэр томьёо: гурвалжингийн (тал, өнцөг гэх мэт) мэдэгдэж буй өгөгдлийг ашиглан түүний үлдсэн шинж чанарыг олох. Гурвалжин нь... ... Википедиа дээр байрлаж болно

Номууд

Хүснэгтийн багц. Алгебр ба шинжилгээний эхлэл. 10-р анги. 17 хүснэгт + арга зүй, . Хүснэгтийг 680 х 980 мм хэмжээтэй зузаан хэвлэмэл картон дээр хэвлэв. -тэй товхимол багтсан болноарга зүйн зөвлөмж
багшийн хувьд. 17 хуудас бүхий боловсролын цомог.…Интеграл ба бусад математикийн томьёоны хүснэгтүүд, Дуайт Г.Б. Алдарт лавлах номын арав дахь хэвлэлт нь тодорхойгүй болон маш нарийн хүснэгтүүдийг агуулдаг тодорхой интеграл, мөн түүнчлэн

их тоо

бусад математикийн томьёо: цуврал өргөтгөлүүд,...

Нийтлэлд тригонометрийн үндсэн шинж чанаруудыг нарийвчлан тайлбарласан болно. Хэрэв нэг функц мэдэгдэж байгаа бол өөр функцийг түүгээр дамжуулан олж болно.

Энэ нийтлэлд авч үзэх ёстой тригонометрийн таних тэмдэг. Доор бид тэдгээрийн гарал үүслийн жишээг тайлбартайгаар үзүүлэв.

sin 2 α + cos 2 α = 1 t g α = sin α cos α , c t g α = cos α sin α t g α c t g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α

Yandex.RTB R-A-339285-1

Тригонометрийн үндэс гэж тооцогддог чухал тригонометрийн ижил төстэй байдлын талаар ярилцъя.

Тэгш тэгш байдал sin 2 α + cos 2 α = 1 нь тригонометрийн үндсэн таних тэмдэг юм. Үүнийг батлахын тулд та нэгж тойргийн сэдэв рүү шилжих хэрэгтэй.

α өнцгөөр эргүүлсний дараа А 1 цэг болох А цэгийн (1, 0) координатыг өгье. Нүгэл ба cos-ийн тодорхойлолтоор A 1 цэг нь координатуудыг (cos α, sin α) хүлээн авна. А 1 нь нэгж тойрог дотор байрлаж байгаа тул координатууд нь энэ тойргийн x 2 + y 2 = 1 нөхцлийг хангах ёстой гэсэн үг юм. cos 2 α + sin 2 α = 1 илэрхийлэл хүчинтэй байх ёстой. Үүнийг хийхийн тулд эргэлтийн бүх өнцгийн α-ийн үндсэн тригонометрийн ижил төстэй байдлыг батлах шаардлагатай.

Тригонометрийн хувьд sin 2 α + cos 2 α = 1 илэрхийллийг тригонометрийн Пифагорын теорем болгон ашигладаг. Үүнийг хийхийн тулд нарийвчилсан нотолгоог анхаарч үзээрэй.

Нэгж тойргийг ашиглан бид координаттай (1, 0) А цэгийг төв О цэгийн эргэн тойронд α өнцгөөр эргүүлнэ. Эргүүлсний дараа цэг нь координатыг өөрчилж, A 1 (x, y) -тэй тэнцүү болно. Бид перпендикуляр шугамыг A 1 H цэгээс O x хүртэл буулгана.

Зураг дээр O A 1 N тэгш өнцөгт гурвалжин үүссэнийг тодорхой харуулж байна O A 1 N ба O N хөлүүдийн модуль тэнцүү, оруулга нь дараах хэлбэртэй байна: | A 1 H | = | у | , | О Н | = | x | . Гипотенуз O A 1 нь нэгж тойргийн радиустай тэнцүү утгатай байна, | О А 1 | = 1. Энэ илэрхийлэлийг ашиглан бид Пифагорын теоремыг ашиглан тэгш байдлыг бичиж болно: | A 1 N | 2 + | О Н | 2 = | О А 1 | 2. Энэ тэгш байдлыг | гэж бичье у | 2 + | x | 2 = 1 2, энэ нь y 2 + x 2 = 1 гэсэн үг.

sin α = y ба cos α = x гэсэн тодорхойлолтыг ашиглан цэгүүдийн координатын оронд өнцгийн өгөгдлийг орлуулж, sin 2 α + cos 2 α = 1 тэгш бус байдал руу шилжинэ.

Өнцгийн нүгэл ба косын хоорондох үндсэн холболт нь энэхүү тригонометрийн ижил төстэй байдлын тусламжтайгаар боломжтой юм. Тиймээс бид мэдэгдэж буй cos болон эсрэгээр өнцгийн гэмийг тооцоолж болно. Үүнийг хийхийн тулд нүгэл 2 α + cos 2 = 1-ийг нүгэл ба cos-ийн талаар шийдвэрлэх шаардлагатай бөгөөд дараа нь sin α = ± 1 - cos 2 α ба cos α = ± 1 - sin 2 α хэлбэрийн илэрхийллийг олж авна. , тус тус. α өнцгийн хэмжээ нь илэрхийллийн язгуурын өмнөх тэмдгийг тодорхойлно. Нарийвчилсан тайлбарыг авахын тулд тригонометрийн томъёог ашиглан синус, косинус, тангенс, котангенсыг тооцоолох хэсгийг унших хэрэгтэй.

Ихэнхдээ үндсэн томъёог тригонометрийн илэрхийлэлийг хувиргах эсвэл хялбарчлахад ашигладаг. Синус ба косинусын квадратуудын нийлбэрийг 1-ээр солих боломжтой. Тодорхойлолтыг орлуулах нь шууд эсвэл урвуу дарааллаар байж болно: нэгжийг синус ба косинусын квадратуудын нийлбэрийн илэрхийллээр сольсон.

Синус ба косинусын шүргэгч ба котангенс

Косинус ба синус, тангенс ба котангенсийн тодорхойлолтоос харахад тэдгээр нь хоорондоо харилцан уялдаатай байгаа нь тодорхой бөгөөд энэ нь шаардлагатай хэмжигдэхүүнийг тусад нь хөрвүүлэх боломжийг олгодог.

t g α = sin α cos α c t g α = cos α sin α

Тодорхойлолтоос харахад синус нь у-ийн ординат, косинус нь х-ийн абсцисса юм. Тангенс гэдэг нь ординат ба абсцисса хоорондын хамаарлыг хэлнэ. Тиймээс бидэнд байна:

t g α = y x = sin α cos α, котангентын илэрхийлэл нь эсрэг утгатай, өөрөөр хэлбэл

c t g α = x y = cos α sin α .

Үүнээс үзэхэд t g α = sin α cos α ба c t g α = cos α sin α гэсэн ижил төстэй байдал нь sin болон cos өнцгийг ашиглан тодорхойлогддог. Тангенс нь тэдгээрийн хоорондох өнцгийн косинусын синусын харьцаа гэж тооцогддог бөгөөд котангенс нь эсрэгээрээ байна.

t g α = sin α cos α ба c t g α = cos α sin α нь мужид багтсан α өнцгийн аль ч утгын хувьд үнэн болохыг анхаарна уу. t g α = sin α cos α томъёоноос α өнцгийн утга нь π 2 + π · z-ээс өөр, c t g α = cos α sin α нь α өнцгийн утгыг π · z-ээс ялгаатай, z нь α өнцгийн утгыг авна. дурын бүхэл тооны утга.

Тангенс ба котангенс хоорондын хамаарал

Тангенс ба котангенсаар өнцгүүдийн хоорондын хамаарлыг харуулсан томъёо байдаг. Энэхүү тригонометрийн ижилсэл нь тригонометрт чухал ач холбогдолтой бөгөөд үүнийг t g α · c t g α = 1 гэж тэмдэглэнэ. Энэ нь α-д π 2 · z-ээс өөр утгатай байх нь утга учиртай, эс тэгвээс функцууд тодорхойлогдохгүй.

t g α · c t g α = 1 томьёо нь нотлоход өөрийн гэсэн онцлогтой. Тодорхойлолтоос бид t g α = y x ба c t g α = x y гэсэн утгатай тул t g α · c t g α = y x · x y = 1 болно. Илэрхийллийг хувиргаж, t g α = sin α cos α ба c t g α = cos α sin α гэж орлуулснаар t g α · c t g α = sin α cos α · cos α sin α = 1 болно.

Дараа нь шүргэгч ба котангенсын илэрхийлэл нь бид эцсийн дүндээ харилцан урвуу тоонуудыг олж авах гэсэн утгатай болно.

Тангенс ба косинус, котангенс ба синус

Үндсэн таних тэмдгүүдийг өөрчилсний дараа бид тангенс нь косинусаар, котангенс нь синусаар холбогддог гэсэн дүгнэлтэд хүрсэн. Үүнийг t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α, 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α томъёоноос харж болно.

Тодорхойлолт нь дараах байдалтай байна: өнцгийн шүргэгч ба 1-ийн квадратын нийлбэр нь бутархайтай тэнцэх бөгөөд энд тоологч хэсэгт бид 1, хуваагч дээр өгөгдсөн өнцгийн косинусын квадрат ба нийлбэр байна. өнцгийн котангентын квадрат нь эсрэгээрээ байна. sin 2 α + cos 2 α = 1 гэсэн тригонометрийн адилтгалын ачаар бид харгалзах талуудыг cos 2 α-д хувааж, t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α-г авах боломжтой бөгөөд cos 2 α-ийн утга нь тэнцүү байх ёсгүй. тэг. Гүн 2 α-д хуваахдаа бид 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α ижилслийг олж авдаг бөгөөд үүнд sin 2 α-ийн утга тэгтэй тэнцүү байх ёсгүй.

Дээрх илэрхийллүүдээс бид t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α нь π 2 + π · z ба 1 + c t g 2 α = 1 sin 2-т хамаарахгүй α өнцгийн бүх утгын хувьд үнэн болохыг олж мэдсэн. π · z интервалд хамаарахгүй α-ийн утгуудын хувьд α.

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу

Тригонометрийн үндсэн шинж чанарууд.