Мөн Шугаман програмчлалын бодлогыг графикаар шийдвэрлэх, Шугаман програмчлалын бодлогын каноник хэлбэрийг үзнэ үү

Ийм асуудлын хязгаарлалтын систем нь хоёр хувьсагчийн тэгш бус байдлаас бүрдэнэ.
мөн зорилгын функц нь хэлбэртэй байна Ф = C 1 x + C 2 yүүнийг дээд зэргээр нэмэгдүүлэх шаардлагатай.

Асуултанд хариулъя: ямар хос тоо ( x; y) тэгш бус байдлын системийн шийдлүүд, өөрөөр хэлбэл тэгш бус байдал бүрийг нэгэн зэрэг хангаж байна уу? Өөрөөр хэлбэл, системийг графикаар шийднэ гэдэг нь юу гэсэн үг вэ?
Эхлээд та хоёр үл мэдэгдэх нэг шугаман тэгш бус байдлын шийдэл гэж юу болохыг ойлгох хэрэгтэй.
Хоёр үл мэдэгдэх шугаман тэгш бус байдлыг шийдэх нь тэгш бус байдал байгаа үл мэдэгдэх утгуудын бүх хосыг тодорхойлно гэсэн үг юм.
Жишээлбэл, тэгш бус байдал 3 x – 5y≥ 42 хосыг хангана ( x , y): (100, 2); (3, –10) гэх мэт. Даалгавар бол ийм бүх хосыг олох явдал юм.
Хоёр тэгш бус байдлыг авч үзье: сүх + by≤ в, сүх + by≥ в. Шулуун сүх + by = вхавтгайг хоёр хагас хавтгайд хувааснаар тэдгээрийн аль нэгнийх нь цэгүүдийн координатууд тэгш бус байдлыг хангана. сүх + by >в, болон бусад тэгш бус байдал сүх + +by <в.
Үнэндээ координаттай цэгийг авч үзье x = x 0 ; дараа нь шулуун дээр хэвтэж буй, абсциссатай цэг x 0 нь ординаттай

Баттай байя а< 0, б>0, в>0. Абсцисса бүхий бүх цэгүүд x 0 дээр хэвтэж байна П(жишээлбэл, цэг М), байна y М>y 0 , мөн цэгийн доорх бүх цэгүүд П, абсциссатай x 0, байна у Н<y 0 . Түүнээс хойш x 0 нь дурын цэг бөгөөд шугамын нэг талд үргэлж цэгүүд байх болно сүх+ by > в, хагас хавтгайг бүрдүүлж, нөгөө талдаа - үүнд зориулсан цэгүүд сүх + by< в.

Зураг 1

Хагас хавтгай дахь тэгш бус байдлын тэмдэг нь тооноос хамаарна а, б , в.
Энэ нь системийг графикаар шийдвэрлэх дараах аргад хүргэдэг шугаман тэгш бус байдалхоёр хувьсагчаас. Системийг шийдэхийн тулд танд хэрэгтэй:

1. Тэгш бус байдал бүрийн хувьд энэ тэгш бус байдалд тохирох тэгшитгэлийг бич.
2. Тэгшитгэлээр тодорхойлсон функцүүдийн график болох шулуун шугамуудыг байгуул.
3. Шугам бүрийн хувьд тэгш бус байдлаар өгөгдсөн хагас хавтгайг тодорхойлно. Үүнийг хийхийн тулд шулуун дээр оршдоггүй дурын цэгийг авч, түүний координатыг тэгш бус байдалд орлуулна. Хэрэв тэгш бус байдал үнэн бол сонгосон цэгийг агуулсан хагас хавтгай нь анхны тэгш бус байдлын шийдэл болно. Хэрэв тэгш бус байдал худал бол шугамын нөгөө талд байгаа хагас хавтгай нь энэ тэгш бус байдлын шийдлүүдийн багц болно.
4. Тэгш бус байдлын системийг шийдэхийн тулд системийн тэгш бус байдал бүрийн шийдэл болох бүх хагас хавтгайн огтлолцлын талбайг олох шаардлагатай.

Энэ талбар хоосон болж магадгүй, тэгвэл тэгш бус байдлын систем нь шийдэлгүй бөгөөд нийцэхгүй байна. Үгүй бол систем нь тогтвортой байна гэж ярьдаг.
Төгсгөлийн тоо эсвэл хязгааргүй тооны шийдэл байж болно. Талбай нь битүү олон өнцөгт эсвэл хязгааргүй байж болно.

Холбогдох гурван жишээг авч үзье.

Жишээ 1. Системийг графикаар шийд:
x + у - 1 ≤ 0;
–2x - 2y + 5 ≤ 0.

• тэгш бус байдалд харгалзах x+y–1=0 ба –2x–2y+5=0 тэгшитгэлүүдийг авч үзэх;
• Эдгээр тэгшитгэлээр өгөгдсөн шулуун шугамуудыг байгуулъя.

Зураг 2

Тэгш бус байдлаар тодорхойлсон хагас хавтгайг тодорхойлъё. Дурын цэгийг авч үзье, (0; 0). Ингээд авч үзье x+ y– 1 0, (0; 0) цэгийг орлуулна: 0 + 0 – 1 ≤ 0. Энэ нь (0; 0) цэг байрлах хагас хавтгайд, x + y – 1 ≤ 0, өөрөөр хэлбэл. шугамын доор байрлах хагас хавтгай нь эхний тэгш бус байдлын шийдэл юм. Энэ цэгийг (0; 0) хоёр дахь хэсэгт орлуулснаар бид дараахь зүйлийг авна: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, өөрөөр хэлбэл. (0; 0) цэг байрлах хагас хавтгайд, –2 x – 2y+ 5≥ 0, бид хаана -2 гэж асуусан x – 2y+ 5 ≤ 0, тиймээс нөгөө хагас хавтгайд - шулуун шугамаас дээш нэг хавтгайд байна.
Энэ хоёр хагас хавтгайн огтлолцлыг олъё. Шулуун нь параллель тул онгоцууд хаана ч огтлолцохгүй, энэ нь эдгээр тэгш бус байдлын систем нь шийдэлгүй, нийцэхгүй байна гэсэн үг юм.

Жишээ 2. Тэгш бус байдлын системийн график шийдийг ол:

Зураг 3
1. Тэгш бус байдалд харгалзах тэгшитгэлүүдийг бичээд шулуун шугам байгуулъя.
x + 2y– 2 = 0

x	2	0
y	0	1

y – x – 1 = 0

x	0	2
y	1	3

y + 2 = 0;
y = –2.
2. (0; 0) цэгийг сонгосны дараа бид хагас хавтгай дахь тэгш бус байдлын тэмдгүүдийг тодорхойлно.
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0, i.e. x + 2y– шулуун шугамын доорх хагас хавтгайд 2 ≤ 0;
0 – 0 – 1 ≤ 0, i.e. y –x– шулуун шугамын доорх хагас хавтгайд 1 ≤ 0;
0 + 2 =2 ≥ 0, өөрөөр хэлбэл. yШулуун шугамаас дээш хагас хавтгайд + 2 ≥ 0 байна.
3. Эдгээр гурван хагас хавтгайн огтлолцол нь гурвалжин хэлбэртэй талбай болно. Бүс нутгийн оройг харгалзах шугамын огтлолцлын цэг болгон олоход хэцүү биш юм


Тиймээс, А(–3; –2), IN(0; 1), ХАМТ(6; –2).

Системийн шийдлийн хүрээ хязгаарлагдахгүй өөр нэг жишээг авч үзье.

Энэ нийтлэлд тэгш бус байдлын системийн талаархи анхны мэдээллийг өгдөг. Тэгш бус байдлын тогтолцооны тодорхойлолт, тэгш бус байдлын системийн шийдлийн тодорхойлолт энд байна. Сургуулийн алгебрийн хичээлд ихэвчлэн ажиллах шаардлагатай системүүдийн үндсэн төрлүүдийг жагсааж, жишээнүүдийг өгсөн болно.

Хуудасны навигаци.

Тэгш бус байдлын систем гэж юу вэ?

Тэгшитгэлийн системийн тодорхойлолтыг танилцуулсан шиг, өөрөөр хэлбэл тэмдэглэгээний төрөл, түүнд агуулагдсан утгаараа тэгш бус байдлын системийг тодорхойлох нь тохиромжтой.

Тодорхойлолт.

Тэгш бус байдлын системнь зүүн талд нь буржгар хаалтаар нийлсэн, нэг дор бичигдсэн хэд хэдэн тэгш бус байдлыг илэрхийлсэн бичлэг бөгөөд системийн тэгш бус байдал бүрийн нэгэн зэрэг шийдэл болох бүх шийдлүүдийн багцыг илэрхийлнэ.

Тэгш бус байдлын системийн жишээг өгье. Дурын хоёрыг авч үзье, жишээлбэл, 2 x−3>0 ба 5−x≥4 x−11, тэдгээрийг нэгийг нь нөгөөгийнхөө доор бич.
2 x−3>0 ,
5−x≥4 x−11
ба системийн тэмдэг - буржгар хаалттай хослуулснаар бид дараахь хэлбэрийн тэгш бус байдлын системийг олж авна.

Сургуулийн сурах бичигт тэгш бус байдлын тогтолцооны талаар ижил төстэй санаа өгдөг. Тэдний тодорхойлолтыг илүү нарийхан өгсөн гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй: нэг хувьсагчтай тэгш бус байдлын хувьд эсвэл хоёр хувьсагчтай.

Тэгш бус байдлын системийн үндсэн төрлүүд

Хязгааргүй олон янзын тэгш бус байдлын системийг бий болгох боломжтой гэдэг нь ойлгомжтой. Энэ олон янз байдалд алдахгүйн тулд тэдгээрийг өөрийн гэсэн бүлгүүдэд авч үзэхийг зөвлөж байна өвөрмөц онцлог. Бүх тэгш бус байдлын системийг дараахь шалгуурын дагуу бүлэгт хувааж болно.

• систем дэх тэгш бус байдлын тоогоор;
• бичлэгт оролцсон хувьсагчдын тоогоор;
• тэгш бус байдлын төрлөөр.

Бүртгэлд орсон тэгш бус байдлын тоонд үндэслэн хоёр, гурав, дөрөв гэх мэт системийг ялгадаг. тэгш бус байдал Өмнөх догол мөрөнд бид хоёр тэгш бус байдлын систем болох системийн жишээг өгсөн. Дөрвөн тэгш бус байдлын системийн өөр нэг жишээг үзүүлье .

Тус тусад нь бид энэ тохиолдолд зөвхөн тэгш бус байдлын тухай ярих нь утгагүй гэж хэлэх болно, мөн чанартаа бид системийн тухай биш харин тэгш бус байдлын тухай ярьж байна.

Хэрэв та хувьсагчийн тоог харвал нэг, хоёр, гурав гэх мэт тэгш бус байдлын системүүд байдаг. хувьсагч (эсвэл тэдний хэлснээр үл мэдэгдэх). Дээрх хоёр догол мөрөнд бичигдсэн тэгш бус байдлын сүүлчийн системийг хар. Энэ нь x, y, z гэсэн гурван хувьсагчтай систем юм. Түүний эхний хоёр тэгш бус байдал нь бүх гурван хувьсагчийг агуулаагүй, зөвхөн нэг хувьсагчийг агуулдаг болохыг анхаарна уу. Энэ системийн хүрээнд тэдгээрийг x+0·y+0·z≥−2 ба 0·x+y+0·z≤5 хэлбэрийн гурван хувьсагчтай тэгш бус байдал гэж ойлгох хэрэгтэй. Сургууль нэг хувьсагчтай тэгш бус байдалд анхаарлаа хандуулдаг гэдгийг анхаарна уу.

Бүртгэлийн системд ямар төрлийн тэгш бус байдал хамаарах талаар хэлэлцэх хэвээр байна. Сургуульд тэд ихэвчлэн нэг эсвэл хоёр хувьсагчтай хоёр тэгш бус байдлын системийг (бага - гурав, бүр бага - дөрөв ба түүнээс дээш) авч үздэг бөгөөд тэгш бус байдал нь өөрсдөө ихэвчлэн байдаг. бүхэл бүтэн тэгш бус байдалэхний эсвэл хоёрдугаар зэрэг (бага тохиолдолд - өндөр зэрэг эсвэл бутархай оновчтой). Гэхдээ улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэх материалдаа иррационал, логарифм, экспоненциал болон бусад тэгш бус байдлыг агуулсан тэгш бус байдлын системтэй тааралдвал бүү гайх. Жишээлбэл, бид тэгш бус байдлын системийг өгдөг , -аас авсан.

Тэгш бус байдлын системийн шийдэл юу вэ?

Тэгш бус байдлын системтэй холбоотой өөр нэг тодорхойлолтыг танилцуулъя - тэгш бус байдлын системийн шийдлийн тодорхойлолт.

Тодорхойлолт.

Нэг хувьсагчтай тэгш бус байдлын системийг шийдвэрлэхнь системийн тэгш бус байдал бүрийг үнэн болгож хувиргадаг хувьсагчийн ийм утга гэж нэрлэгддэг, өөрөөр хэлбэл энэ нь системийн тэгш бус байдал бүрийн шийдэл юм.

Үүнийг жишээгээр тайлбарлая. Нэг хувьсагчтай хоёр тэгш бус байдлын системийг авъя. x хувьсагчийн утгыг 8-тай тэнцүү авч үзье, энэ нь системийн тэгш бус байдалд орлуулснаар 8>7 ба 2−3·8≤0 гэсэн хоёр зөв тоон тэгш бус байдал гарч ирдэг тул энэ нь манай тэгш бус байдлын системийн шийдэл юм. Үүний эсрэгээр, нэгдмэл байдал нь системийн шийдэл биш, учир нь үүнийг x хувьсагчаар орлуулахад эхний тэгш бус байдал нь буруу тоон тэгш бус байдал 1>7 болж хувирна.

Үүний нэгэн адил хоёр, гурав ба тэгш бус байдлын системийн шийдлийн тодорхойлолтыг танилцуулж болно их тоохувьсагч:

Тодорхойлолт.

Хоёр, гурав гэх мэт тэгш бус байдлын системийг шийдвэрлэх. хувьсагчхос, гурав гэх мэт. Эдгээр хувьсагчийн утгууд нь нэгэн зэрэг системийн тэгш бус байдал бүрийн шийдэл болох, өөрөөр хэлбэл системийн тэгш бус байдал бүрийг зөв тоон тэгш бус байдал болгон хувиргадаг.

Жишээлбэл, x=1, y=2 эсвэл өөр тэмдэглэгээнд (1, 2) хос утгууд нь 1+2 учраас хоёр хувьсагчтай тэгш бус байдлын системийн шийдэл юм.<7 и 1−2<0 - верные числовые неравенства. А пара (3,5, 3) не является решением этой системы, так как второе неравенство при этих значениях переменных дает неверное числовое неравенство 3,5−3<0 .

Тэгш бус байдлын систем нь шийдэлгүй, хязгаарлагдмал тооны шийдэлтэй эсвэл хязгааргүй тооны шийдтэй байж болно. Хүмүүс тэгш бус байдлын тогтолцооны шийдлүүдийн талаар ихэвчлэн ярьдаг. Хэрэв системд шийдэл байхгүй бол түүний шийдлүүдийн хоосон багц байдаг. Хязгааргүй тооны шийд байвал шийдлийн багц нь хязгааргүй тооны элементийг агуулна, хязгааргүй олон шийд байвал шийдлийн багц нь хязгааргүй олон элементээс бүрдэнэ.

Зарим эх сурвалжууд тэгш бус байдлын тогтолцооны тодорхой болон ерөнхий шийдлийн тодорхойлолтыг танилцуулж байна, жишээлбэл, Мордковичийн сурах бичигт байдаг. Доод тэгш бус байдлын системийн хувийн шийдэлтүүний ганцхан шийдвэрийг ойлго. Эргээд тэгш бус байдлын системийн ерөнхий шийдэл- Энэ бүгд түүний хувийн шийдвэр юм. Гэсэн хэдий ч эдгээр нэр томъёо нь ямар төрлийн шийдлийн тухай ярьж байгааг онцлон тэмдэглэх шаардлагатай үед л утга учиртай байдаг, гэхдээ энэ нь ихэвчлэн контекстээс тодорхой байдаг тул "тэгш бус байдлын тогтолцооны шийдэл" гэж ихэвчлэн хэлдэг.

Энэ өгүүлэлд оруулсан тэгш бус байдлын системийн тодорхойлолт ба түүний шийдлүүдээс харахад тэгш бус байдлын системийн шийдэл нь энэ системийн бүх тэгш бус байдлын шийдлүүдийн олонлогийн огтлолцол юм.

Лавлагаа.

1. Алгебр:сурах бичиг 8-р ангийн хувьд. ерөнхий боловсрол байгууллагууд / [Ю. Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова]; засварласан С.А.Теляковский. - 16 дахь хэвлэл. - М.: Боловсрол, 2008. - 271 х. : өвчтэй. - ISBN 978-5-09-019243-9.
2. Алгебр: 9-р анги: боловсролын. ерөнхий боловсролын хувьд байгууллагууд / [Ю. Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова]; засварласан С.А.Теляковский. - 16 дахь хэвлэл. - М.: Боловсрол, 2009. - 271 х. : өвчтэй. - ISBN 978-5-09-021134-5.
3. Мордкович A.G.Алгебр. 9-р анги. 2 цагийн дотор 1-р хэсэг. Ерөнхий боловсролын сургуулийн сурагчдад зориулсан сурах бичиг / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13 дахь хэвлэл, устгасан. - М.: Mnemosyne, 2011. - 222 х.: өвчтэй. ISBN 978-5-346-01752-3.
4. Мордкович A.G.Алгебр ба математик анализын эхлэл. 11-р анги. 2 цагийн дотор 1-р хэсэг. Ерөнхий боловсролын сургуулийн оюутнуудад зориулсан сурах бичиг (профайлын түвшин) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2-р хэвлэл, устгасан. - М.: Mnemosyne, 2008. - 287 х.: өвчтэй. ISBN 978-5-346-01027-2.
5. Улсын нэгдсэн шалгалт-2013. Математик: шалгалтын стандарт сонголтууд: 30 сонголт / ed. А.Л.Семенова, И.В.Ященко. – М.: “Үндэсний боловсрол” хэвлэлийн газар, 2012. – 192 х. – (USE-2013. FIPI - сургууль).

Энэ нийтлэлд би захиалагчдынхаа өөр нэг асуултанд хариулдаг. Асуултууд янз бүрээр ирдэг. Тэдгээрийг бүгдийг нь зөв томъёолоогүй байна. Тэдний заримыг нь зохиогч юу асуухыг хүсч байгаа нь тодорхойгүй байхаар томьёолжээ. Тиймээс, илгээсэн олон янзын асуултуудын дунд би үнэхээр сонирхолтой асуултуудыг сонгох ёстой, ийм "сувд" хариулт нь зөвхөн сэтгэл хөдөлгөм төдийгүй бусад уншигчдад хэрэгтэй мэт санагдаж байна. Өнөөдөр би эдгээр асуултын нэгэнд хариуллаа. Тэгш бус байдлын системийн шийдлүүдийн багцыг хэрхэн дүрслэх вэ?


Энэ үнэхээр сайн асуулт байна. Учир нь математикийн асуудлыг графикаар шийдвэрлэх арга нь маш хүчирхэг арга юм. Хүн янз бүрийн харааны материалын тусламжтайгаар мэдээллийг хүлээн авахад илүү тохиромжтой байхаар бүтээгдсэн байдаг. Тиймээс, хэрэв та энэ аргыг эзэмшсэн бол надад итгээрэй, энэ нь Улсын нэгдсэн шалгалт, ялангуяа хоёрдугаар хэсэг, бусад шалгалтын даалгавруудыг шийдвэрлэхэд, оновчлолын асуудлыг шийдвэрлэхэд зайлшгүй шаардлагатай болно. .

Тэгэхээр энд байна. Бид энэ асуултад хэрхэн хариулж чадах вэ? Энгийнээр эхэлцгээе. Тэгш бус байдлын систем зөвхөн нэг хувьсагчтай байг.

Жишээ 1. Тэгш бус байдлын системийн шийдлүүдийн багцыг зур. Гарчиг=" QuickLaTeX.com-с үзүүлсэн">!}

Энэ системийг хялбаршуулъя. Үүнийг хийхийн тулд эхний тэгш бус байдлын хоёр талд 7-г нэмж, 2 нь эерэг тоо тул тэгш бус байдлын тэмдгийг өөрчлөхгүйгээр хоёр талыг 2-т хуваа. Хоёр дахь тэгш бус байдлын хоёр тал дээр бид 4-ийг нэмснээр дараахь тэгш бус байдлын системийг олж авна.

Гарчиг=" QuickLaTeX.com-с үзүүлсэн">!}

Ихэвчлэн ийм асуудлыг нэг хэмжээст гэж нэрлэдэг. Яагаад? Тийм ээ, учир нь түүний олон шийдлийг дүрслэхийн тулд энэ нь хангалттай шууд юм. Нарийвчлахын тулд тоон шугам. Энэ тооны шулуун дээр 6 ба 8-р цэгүүдийг тэмдэглэе. 8-р цэг нь 6-р цэгээс баруун тийш байх нь тодорхой, учир нь тооны шулуун дээр том тоо нь жижиг тоонуудын баруун талд байрладаг. Нэмж дурдахад 8-р цэгийг сүүдэрлэх болно, учир нь эхний тэгш бус байдлын тэмдэглэгээний дагуу энэ нь түүний шийдэлд багтсан болно. Үүний эсрэгээр, 6-р цэг нь хоёр дахь тэгш бус байдлын шийдэлд ороогүй тул сүүдэргүй болно.

Одоо системийн эхний тэгш бус байдлын дагуу 8-аас бага буюу тэнцүү утгуудын дээр сумаар, доор нь сумаар - 6-аас их утгыг тэмдэглэе. системийн хоёр дахь тэгш бус байдал:

Тэгш бус байдлын системийн шийдлүүд тоон шулуун дээр хаана байрладаг вэ гэсэн асуултад хариулах хэвээр байна. Нэг удаа, бүрмөсөн санаарай. Системийн тэмдэг - буржгар хаалт нь математикийн "I" холбоосыг орлуулдаг. Өөрөөр хэлбэл, томьёоны хэлийг хүний ​​хэл рүү хөрвүүлэхдээ бид 6-аас их, 8-аас бага эсвэл тэнцүү утгыг зааж өгөх шаардлагатай гэж хэлж болно. Өөрөөр хэлбэл, шаардлагатай интервал нь тэмдэглэсэн уулзвар дээр байрладаг. интервал:

Тиймээс бид тэгш бус байдлын системд зөвхөн нэг хувьсагч агуулагдах тохиолдолд тэгш бус байдлын системийн шийдлүүдийн багцыг тооны шулуун дээр дүрсэлсэн болно. Энэхүү сүүдэрлэсэн интервал нь системд бичигдсэн бүх тэгш бус байдлыг хангасан бүх утгыг агуулдаг.

Одоо илүү төвөгтэй хэргийг авч үзье. Манай системд хоёр хувьсагчтай тэгш бус байдал болон . Энэ тохиолдолд ийм системийн шийдлүүдийг дүрслэхийн тулд зөвхөн шулуун шугамыг ашиглах боломжгүй болно. Бид нэг хэмжээст ертөнцөөс хальж, түүнд өөр нэг хэмжээс нэмдэг. Энд бидэнд бүхэл бүтэн онгоц хэрэгтэй. Тодорхой жишээ ашиглан нөхцөл байдлыг харцгаая.

Тэгэхээр бид хавтгай дээрх тэгш өнцөгт координатын системд хоёр хувьсагчтай өгөгдсөн тэгш бус байдлын системийн шийдлүүдийн багцыг хэрхэн дүрслэх вэ? Хамгийн энгийн зүйлээс эхэлцгээе. Энэ хавтгайн аль муж тэгш бусаар тодорхойлогддог вэ гэдгийг өөрөөсөө асууя. Тэгшитгэл нь тэнхлэгт перпендикуляр гүйх шулуун шугамыг зааж өгдөг ҮХЭРцэгээр (0;0). Энэ нь үнэн хэрэгтээ энэ шулуун шугам нь тэнхлэгтэй давхцдаг Өө. За, бид 0-ээс их буюу тэнцүү утгыг сонирхож байгаа тул шулуун шугамын баруун талд байрлах бүхэл бүтэн хагас хавтгай тохиромжтой:

Түүнээс гадна тэнхлэг дээр байрлах бүх цэгүүд Өө, бидэнд бас тохиромжтой, учир нь тэгш бус байдал нь хатуу биш юм.

Гурав дахь тэгш бус байдал нь координатын хавтгайд ямар талбайг тодорхойлохыг ойлгохын тулд функцийг зурах хэрэгтэй. Энэ нь эхлэл ба жишээлбэл (1;1) цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугам юм. Энэ нь үнэн хэрэгтээ энэ нь координатын эхний дөрөвний нэгийг бүрдүүлж буй өнцгийн биссектрисийг агуулсан шулуун шугам юм.

Одоо систем дэх гурав дахь тэгш бус байдлыг хараад бодоцгооё. Бид ямар газар нутгийг олох ёстой вэ? Харцгаая: . Их буюу тэнцүү тэмдэг. Өөрөөр хэлбэл, нөхцөл байдал өмнөх жишээн дээрхтэй төстэй байна. Зөвхөн энд "илүү" гэдэг нь "илүү баруун тийш" гэсэн үг биш, харин "илүү" гэсэн үг юм. Учир нь Өө- энэ бол бидний босоо тэнхлэг юм. Өөрөөр хэлбэл, гурав дахь тэгш бус байдлаар хавтгай дээр тодорхойлсон талбай нь шугамаас дээш эсвэл түүн дээр байрлах цэгүүдийн багц юм.

Эхний тэгш бус байдлын хувьд систем нь арай бага тохиромжтой. Гэхдээ бид гурав дахь тэгш бус байдлын тодорхойлсон талбайг тодорхойлж чадсаны дараа яаж ажиллах нь аль хэдийн тодорхой болсон гэж бодож байна.

Энэ тэгш бус байдлыг зөвхөн зүүн талд хувьсагч, баруун талд зөвхөн хувьсагч байхаар харуулах шаардлагатай. Үүнийг хийхийн тулд тэгш бус байдлын тэмдгийг өөрчлөхгүйгээр хоёр талаас нь хасч, хоёр талыг нь 2-т хуваана, учир нь 2 нь эерэг тоо юм. Үүний үр дүнд бид дараахь тэгш бус байдлыг олж авна.

Үлдсэн зүйл бол тэнхлэгийг огтолж буй координатын хавтгай дээр шулуун шугам зурах явдал юм Өө A(0;4) цэг дээр ба шулуун шугам . Шулуунуудын тэгшитгэлийн баруун талыг тэгшитгэж, тэгшитгэлийг олж авах замаар сүүлийнхийг сурсан. Энэ тэгшитгэлээс огтлолцлын цэгийн координатыг олох ба координат нь координаттай тэнцүү байна гэж та таасан байх. Тааж амжаагүй байгаа хүмүүсийн хувьд энэ нь бидэнд огтлолцсон шугамуудын аль нэгний тэгшитгэл байгаатай холбоотой юм: .

Энэ шулуун шугамыг зурсны дараа бид хүссэн хэсгийг шууд тэмдэглэж болно. Энд тэгш бус байдлын тэмдэг нь "бага эсвэл тэнцүү" байна. Энэ нь хүссэн хэсэг нь доор эсвэл шууд дүрсэлсэн шулуун дээр байрладаг гэсэн үг юм.

За, сүүлчийн асуулт. Системийн бүх гурван тэгш бус байдлыг хангах хүссэн муж хаана байна вэ? Энэ нь бүх гурван тэмдэглэсэн талбайн уулзвар дээр байрладаг нь ойлгомжтой. Дахин хөндлөн гарч байна! Санаж байна уу: математик дахь системийн тэмдэг нь огтлолцох гэсэн үг юм. Энд байна, энэ бүс:

За, сүүлчийн жишээ. Бүр илүү ерөнхий. Одоо бид системд нэг хувьсагч биш, хоёр хувьсагч биш, харин гурван хувьсагчтай гэж үзье!

Гурван хувьсагч байгаа тул ийм тэгш бус байдлын системийн шийдлүүдийн багцыг дүрслэхийн тулд өмнөх жишээн дээр ажиллаж байсан хоёр хэмжигдэхүүнээс гадна гуравдагч хэмжигдэхүүн хэрэгтэй болно. Өөрөөр хэлбэл, бид онгоцноос сансарт авирч, орон зайн координатын системийг гурван хэмжээстээр дүрсэлдэг. X, ЮТэгээд З. Энэ нь урт, өргөн, өндөртэй тохирч байна.

Энэ координатын системд тэгшитгэлээр тодорхойлсон гадаргууг дүрсэлж эхэлцгээе. Хэлбэрийн хувьд энэ нь хавтгай дээрх тойргийн тэгшитгэлтэй маш төстэй бөгөөд хувьсагчтай зөвхөн нэг гишүүн нэмэгддэг. Энэ нь (1;3;2) цэг дээр төвтэй бөмбөрцгийн тэгшитгэл гэдгийг таахад амархан, түүний квадрат нь радиус нь 4. Өөрөөр хэлбэл, радиус нь өөрөө 2 байна.

Дараа нь асуулт. Тэгэхэд тэгш бус байдал өөрөө юуг тогтоодог вэ? Энэ асуултанд эргэлзэж буй хүмүүст би дараах байдлаар тайлбарлахыг санал болгож байна. Томъёоны хэлийг хүний ​​хэл рүү хөрвүүлэхдээ радиус нь 2-оос бага буюу тэнцүү (1;3;2) цэгт төвтэй бүх бөмбөрцгийг зааж өгөх шаардлагатай гэж хэлж болно. Эдгээр бөмбөрцөг нь дүрслэгдсэн бөмбөрцөг дотор байрлах болно! Энэ нь үнэн хэрэгтээ энэ тэгш бус байдал нь дүрсэлсэн бөмбөрцгийн дотоод бүсийг бүхэлд нь тодорхойлдог. Хэрэв та хүсвэл бөмбөгийг дүрсэлсэн бөмбөрцөгөөр хязгаарласан байна.

x+y+z=4 тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон гадаргуу нь координатын тэнхлэгүүдийг (0;0;4), (0;4;0) ба (4;0;0) цэгүүдээр огтолж буй хавтгай юм. Тэнцүү тэмдгийн баруун талд байгаа тоо их байх тусам координатын төвөөс хол байх тусам энэ хавтгайн координатын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүд байрлах нь ойлгомжтой. Өөрөөр хэлбэл, хоёр дахь тэгш бус байдал нь өгөгдсөн хавтгайгаас "дээд" байрлах хагас орон зайг тодорхойлдог. Уламжлалт "дээд" гэсэн нэр томъёог ашигласнаар би тэнхлэгийн дагуу координатын утгыг нэмэгдүүлэх чиглэлийг хэлнэ.

Энэ хавтгай нь дүрслэгдсэн бөмбөрцөгийг огтолж байна. Энэ тохиолдолд огтлолцох хэсэг нь тойрог юм. Энэ тойргийн төв нь координатын системийн төвөөс ямар зайд байгааг ч тооцоолж болно. Дашрамд хэлэхэд, хэн үүнийг яаж хийхийг таамаглаж байгаа бол өөрийн шийдэл, хариултаа сэтгэгдэл дээр бичээрэй. Тиймээс тэгш бус байдлын анхны систем нь координатыг нэмэгдүүлэх чиглэлд энэ хавтгайгаас цааш байрлах орон зайн мужийг зааж өгсөн боловч дүрсэлсэн бөмбөрцөгт хүрээлэгдсэн болно.

Тэгш бус байдлын системийн олон шийдлийг ингэж дүрсэлдэг. Хэрэв системд 3-аас олон хувьсагч байгаа бол (жишээлбэл, 4) шийдлүүдийн багцыг тодорхой дүрслэх боломжгүй болно. Учир нь энэ нь 4 хэмжээст координатын системийг шаарддаг. Гэхдээ энгийн хүн 4 харилцан перпендикуляр координатын тэнхлэгийг хэрхэн байрлуулахыг төсөөлж чадахгүй. Хэдийгээр надад үүнийг хялбархан хийж чадна гэж хэлдэг найз бий. Тэр үнэн хэлж байгаа эсэхийг би мэдэхгүй, магадгүй тэр үнэн хэлж байгаа байх. Гэсэн хэдий ч хүний ​​ердийн төсөөлөл үүнийг хийхийг зөвшөөрдөггүй.

Өнөөдрийн хичээл танд хэрэг болсон гэж найдаж байна. Үүнийг хэр сайн ойлгосноо шалгахын тулд доорх гэрийн даалгаврыг гүйцэтгээрэй.

Тэгш бус байдлын системийн шийдлүүдийн багцыг зур.

ql-right-eqno"> title=" QuickLaTeX.com-с үзүүлсэн">!}

Сергей Валерьевич бэлтгэсэн материал

Энэ хичээлээр бид тэгш бус байдлын системийг судалж эхэлнэ. Эхлээд бид шугаман тэгш бус байдлын системийг авч үзэх болно. Хичээлийн эхэнд бид тэгш бус байдлын систем хаанаас, яагаад үүсдэгийг авч үзэх болно. Дараа нь бид системийг шийдэх гэж юу гэсэн үг болохыг судалж, олонлогуудын нэгдэл, огтлолцлыг санах болно. Төгсгөлд нь бид шугаман тэгш бус байдлын системийн тодорхой жишээг шийдэх болно.

Сэдэв: Хоолны дэглэмтэгш бус байдал ба тэдгээрийн системүүд

Хичээл:Үндсэнүзэл баримтлал, шугаман тэгш бус байдлын системийг шийдвэрлэх

Одоогоор бид хувь хүний ​​тэгш бус байдлыг шийдэж, тэдгээрт байж болох интервалын аргыг хэрэглэсэн; шугаман тэгш бус байдал, квадрат ба оновчтой аль аль нь. Одоо тэгш бус байдлын системийг шийдэх рүү шилжье - эхлээд шугаман системүүд. Тэгш бус байдлын системийг авч үзэх хэрэгцээ хаанаас үүссэн жишээг харцгаая.

Функцийн домайныг ол

Функцийн домайныг ол

Квадрат язгуур хоёулаа байх үед функц оршино, өөрөөр хэлбэл.

Ийм системийг хэрхэн шийдвэрлэх вэ? Эхний болон хоёр дахь тэгш бус байдлын аль алиныг нь хангадаг бүх х-г олох шаардлагатай.

Үхрийн тэнхлэг дээр эхний болон хоёр дахь тэгш бус байдлын шийдлүүдийн багцыг дүрсэлцгээе.

Хоёр цацрагийн огтлолцлын интервал нь бидний шийдэл юм.

Тэгш бус байдлын системийн шийдлийг дүрслэх энэ аргыг заримдаа дээврийн арга гэж нэрлэдэг.

Системийн шийдэл нь хоёр багцын огтлолцол юм.

Үүнийг графикаар дүрсэлцгээе. Бидэнд дурын шинж чанартай А олонлог, огтлолцсон дурын шинж чанартай В олонлог бий.

Тодорхойлолт: А ба В хоёр олонлогийн огтлолцол нь А ба В аль алинд нь багтсан бүх элементүүдээс бүрдэх гурав дахь олонлог юм.

Тэгш бус байдлын шугаман системийг шийдвэрлэх тодорхой жишээнүүдийг ашиглан системд багтсан бие даасан тэгш бус байдлын шийдлийн багцын огтлолцлыг хэрхэн олох талаар авч үзье.

Тэгш бус байдлын системийг шийд:

Хариулт: (7; 10).

4. Системийг шийдэх

Системийн хоёр дахь тэгш бус байдал хаанаас гарч болох вэ? Жишээлбэл, тэгш бус байдлаас

Тэгш бус байдал бүрийн шийдлүүдийг графикаар тодорхойлж, тэдгээрийн огтлолцлын интервалыг олъё.

Тиймээс, хэрэв тэгш бус байдлын аль нэг нь x-ийн дурын утгыг хангадаг системтэй бол үүнийг арилгаж болно.

Хариулт: систем нь зөрчилтэй байна.

Бид тэгш бус байдлын шугаман системийн шийдлийг бууруулж болох ердийн дэмжлэгийн асуудлыг авч үзсэн.

Дараахь системийг авч үзье.

7.

Заримдаа шугаман системийг давхар тэгш бус байдлаар өгдөг.

8.

Бид шугаман тэгш бус байдлын системийг судалж, тэдгээр нь хаанаас ирснийг ойлгож, бүх шугаман системийг багасгаж болох стандарт системийг судалж, тэдгээрийн заримыг нь шийдсэн.

1. Мордкович А.Г. болон бусад Алгебр 9-р анги: Сурах бичиг. Ерөнхий боловсролын хувьд Байгууллага.- 4-р хэвлэл. - М.: Мнемосине, 2002.-192 х.: өвчтэй.

2. Мордкович А.Г. болон бусад Алгебр 9-р анги: Ерөнхий боловсролын сургуулийн оюутнуудад зориулсан асуудлын ном / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina, гэх мэт - 4-р хэвлэл. - М.: Мнемосине, 2002.-143 х.: өвчтэй.

3. Макарычев Ю.Алгебр. 9-р анги: боловсролын. ерөнхий боловсролын сурагчдад зориулсан. байгууллагууд / Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, И.Е.Феоктистов. - 7-р хэвлэл, Илч. болон нэмэлт - М.: Мнемосине, 2008.

4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебр. 9-р анги. 16 дахь хэвлэл. - М., 2011. - 287 х.

5. Мордкович A. G. Алгебр. 9-р анги. 2 цагийн дотор 1-р хэсэг. Ерөнхий боловсролын сургуулийн сурагчдад зориулсан сурах бичиг / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 12 дахь хэвлэл, устгасан. - М.: 2010. - 224 х.: өвчтэй.

6. Алгебр. 9-р анги. 2 хэсэгтэй. 2-р хэсэг. Ерөнхий боловсролын сургуулийн оюутнуудад зориулсан асуудлын ном / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina болон бусад; Эд. A. G. Мордкович. - 12-р хэвлэл, Илч. - М.: 2010.-223 х.: өвчтэй.

1. Байгалийн шинжлэх ухааны портал ().

2. Компьютерийн шинжлэх ухаан, математик, орос хэлний элсэлтийн шалгалтанд 10-11 анги бэлтгэх цахим сургалт, арга зүйн цогцолбор ().

4. Боловсролын төв "Багшийн технологи" ().

5. Математикийн талаар College.ru хэсэг ().

1. Мордкович А.Г. болон бусад Алгебр 9-р анги: Ерөнхий боловсролын сургуулийн оюутнуудад зориулсан асуудлын ном / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina, гэх мэт - 4-р хэвлэл. - М.: Мнемосине, 2002.-143 х.: өвчтэй. № 53; 54; 56; 57.

Бүтцийн хувьд тэгшитгэлтэй ижил төстэй, ялгаатай шинж чанаруудтай тэгш бус байдлыг хэрхэн шийдвэрлэхийг хүн бүр мэддэггүй. Тэгшитгэл гэдэг нь хоёр хэсгээс бүрдэх дасгал бөгөөд тэдгээрийн хооронд тэнцүү тэмдэг байх ба тэгш бус байдлын хэсгүүдийн хооронд "илүү" эсвэл "бага" тэмдэг байж болно. Тиймээс, тодорхой тэгш бус байдлын шийдлийг олохын өмнө хоёр талыг аль нэг илэрхийллээр үржүүлэх шаардлагатай бол тооны тэмдгийг (эерэг эсвэл сөрөг) анхаарч үзэх хэрэгтэй гэдгийг ойлгох ёстой. Хэрэв тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхийн тулд квадратыг тооцоолох шаардлагатай бол ижил баримтыг анхаарч үзэх хэрэгтэй, учир нь квадратыг үржүүлэх замаар гүйцэтгэдэг.

Тэгш бус байдлын системийг хэрхэн шийдэх вэ

Тэгш бус байдлын системийг шийдэх нь энгийн тэгш бус байдлаас хамаагүй хэцүү байдаг. 9-р ангид тэгш бус байдлыг хэрхэн шийдвэрлэх талаар тодорхой жишээнүүдийг авч үзье. Квадрат тэгш бус байдал (систем) эсвэл бусад тэгш бус байдлын системийг шийдэхийн өмнө тэгш бус байдал бүрийг тусад нь шийдэж, дараа нь тэдгээрийг харьцуулах шаардлагатай гэдгийг ойлгох хэрэгтэй. Тэгш бус байдлын системийн шийдэл нь эерэг эсвэл сөрөг хариулт байх болно (системд шийдэл байгаа эсэхээс үл хамааран).

Даалгавар бол тэгш бус байдлын багцыг шийдвэрлэх явдал юм.

Тэгш бус байдал бүрийг тусад нь шийдье

Бид шийдлийн багцыг дүрсэлсэн тооны шугамыг барьдаг

Олонлог нь шийдлүүдийн олонлогийн нэгдэл тул тоон шулуун дээрх энэ олонлогийг дор хаяж нэг мөрөөр зурсан байх ёстой.

Модулиар тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх

Энэ жишээ нь тэгш бус байдлыг модультай хэрхэн шийдвэрлэхийг харуулах болно. Тиймээс бидэнд тодорхойлолт байна:

Бид тэгш бус байдлыг шийдэх хэрэгтэй:

Ийм тэгш бус байдлыг шийдэхийн өмнө модулийг (тэмдэг) арилгах шаардлагатай.

Тодорхойлолтын өгөгдөл дээр үндэслэн бичье:

Одоо та систем бүрийг тусад нь шийдэх хэрэгтэй.

Шийдлийн багцыг дүрсэлсэн нэг тооны шугамыг байгуулцгаая.

Үүний үр дүнд бид олон шийдлүүдийг нэгтгэсэн цуглуулгатай болсон.

Квадрат тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх

Тооны шугамыг ашиглан квадрат тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх жишээг авч үзье. Бидэнд тэгш бус байдал бий:

Квадрат гурвалсан гишүүний график нь парабол гэдгийг бид мэднэ. Мөн a>0 бол параболын мөчрүүд дээшээ чиглэнэ гэдгийг бид мэднэ.

x 2 -3x-4< 0

Виетийн теоремыг ашиглан бид үндсийг олно x 1 = - 1; x 2 = 4

Парабола, эс тэгвээс түүний тоймыг зуръя.

Тиймээс бид квадрат гурвалжны утга нь -1-ээс 4 хүртэлх зайд 0-ээс бага байх болно гэдгийг олж мэдсэн.

g(x) гэх мэт давхар тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд олон хүмүүс асуултуудтай байдаг.< f(x) < q(x). Перед тем, как решать двойные неравенства, необходимо их раскладывать на простые, и каждое простое неравенство решать по отдельности. Например, разложив наш пример, получим в результате систему неравенств g(x) < f(x) и f(x) < q(x), которую следует и решать.

Үнэн хэрэгтээ тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх хэд хэдэн арга байдаг тул нарийн төвөгтэй тэгш бус байдлыг график аргаар шийдвэрлэх боломжтой.

Бутархай тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх

Бутархай тэгш бус байдал нь илүү болгоомжтой хандахыг шаарддаг. Энэ нь зарим бутархай тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх явцад тэмдэг өөрчлөгдөж болохтой холбоотой юм. Бутархай тэгш бус байдлыг шийдэхийн өмнө тэдгээрийг шийдвэрлэхийн тулд интервалын аргыг ашигладаг гэдгийг мэдэх хэрэгтэй. Бутархай тэгш бус байдлыг тэмдгийн нэг тал нь бутархай оновчтой илэрхийлэл, нөгөө тал нь "- 0" байхаар харуулах ёстой. Тэгш бус байдлыг ингэж хувиргаснаар бид үр дүнд нь f(x)/g(x) > (.

Интервалын аргыг ашиглан тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх

Интервалын техник нь бүрэн индукцийн аргад суурилдаг, өөрөөр хэлбэл тэгш бус байдлын шийдлийг олохын тулд бүх боломжит хувилбаруудыг үзэх шаардлагатай. Энгийн дасгалууд болох 8-р ангийн тэгш бус байдлыг хэрхэн шийдвэрлэхийг мэддэг байх ёстой тул энэ шийдлийн арга нь 8-р ангийн сурагчдад шаардлагагүй байж магадгүй юм. Гэхдээ хуучин ангиудын хувьд энэ арга нь зайлшгүй шаардлагатай, учир нь энэ нь бутархай тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд тусалдаг. Энэ аргыг ашиглан тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх нь 0 болж хувирах утгуудын хоорондох тэмдгийг хадгалах гэх мэт тасралтгүй функцын шинж чанарт суурилдаг.

Олон гишүүнтийн графикийг байгуулъя. Энэ нь 0 утгыг 3 удаа авдаг тасралтгүй функц, өөрөөр хэлбэл олон гишүүнтийн үндэс болох x 1, x 2, x 3 цэгүүдэд f(x) нь 0-тэй тэнцүү байх болно. Эдгээр цэгүүдийн хоорондох интервалд функцийн тэмдэг хадгалагдана.

f(x)>0 тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхийн тулд функцийн тэмдэг хэрэгтэй тул графикийг орхиж координатын шугам руу шилжинэ.

x(x 1 ; x 2) ба x(x 3 ;)-ийн хувьд f(x)>0

f(x)x(- ; x 1) ба x (x 2 ; x 3) үед

График нь f(x)f(x)>0 тэгш бус байдлын шийдүүдийг тодорхой харуулж байна (эхний тэгш бус байдлын шийдэл цэнхэр, хоёр дахь шийдэл нь улаан өнгөтэй). Интервал дээрх функцийн тэмдгийг тодорхойлохын тулд аль нэг цэг дээрх функцийн тэмдгийг мэдэхэд хангалттай. Энэ техник нь зүүн тал нь хүчин зүйлээр тооцогдох тэгш бус байдлыг хурдан шийдвэрлэх боломжийг олгодог, учир нь ийм тэгш бус байдлын үндсийг олох нь маш хялбар байдаг.