Синус, косинус, тангенс, котангенс гэсэн үндсэн тригонометрийн функцүүдийн хоорондын хамаарлыг тодорхойлсон. тригонометрийн томъёо. Тригонометрийн функцүүдийн хооронд маш олон холболт байдаг тул энэ нь тригонометрийн томъёоны элбэг дэлбэг байдлыг тайлбарлаж байна. Зарим томьёо нь ижил өнцгийн тригонометрийн функцуудыг холбодог, бусад нь олон өнцгийн функцуудыг холбодог, бусад нь градусыг багасгах боломжийг олгодог, дөрөвдүгээрт - бүх функцийг хагас өнцгийн тангенсаар илэрхийлэх гэх мэт.
Энэ нийтлэлд бид бүх гол зүйлийг дарааллаар нь жагсаах болно тригонометрийн томъёоЭдгээр нь тригонометрийн ихэнх асуудлыг шийдвэрлэхэд хангалттай. Цээжлэх, ашиглахад хялбар болгох үүднээс бид тэдгээрийг зориулалтын дагуу бүлэглэж, хүснэгтэд оруулна.
Хуудасны навигаци.
Тригонометрийн үндсэн шинж чанарууд
Тригонометрийн үндсэн шинж чанарууднэг өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенс хоорондын хамаарлыг тодорхойлох. Эдгээр нь синус, косинус, тангенс, котангенсийн тодорхойлолт, мөн нэгж тойргийн тухай ойлголтоос үүдэлтэй. Эдгээр нь нэг тригонометрийн функцийг бусад аль ч хэлбэрээр илэрхийлэх боломжийг олгодог.
Эдгээр тригонометрийн томьёо, тэдгээрийн гарал үүсэл, хэрэглээний жишээнүүдийн дэлгэрэнгүй тайлбарыг нийтлэлээс үзнэ үү.
Бууруулах томъёо
Бууруулах томъёоСинус, косинус, тангенс, котангенсийн шинж чанаруудаас дагах, өөрөөр хэлбэл тэдгээр нь тригонометрийн функцүүдийн үечилсэн шинж чанар, тэгш хэмийн шинж чанар, түүнчлэн өгөгдсөн өнцгөөр шилжих шинж чанарыг тусгадаг. Эдгээр тригонометрийн томъёонууд нь дурын өнцгөөр ажиллахаас тэгээс 90 градусын өнцөгтэй ажиллахад шилжих боломжийг олгодог.
Эдгээр томъёоны үндэслэл, тэдгээрийг цээжлэх мнемоник дүрэм, тэдгээрийн хэрэглээний жишээг нийтлэлээс судалж болно.
Нэмэлт томъёо
Тригонометрийн нэмэх томъёоХоёр өнцгийн нийлбэр эсвэл зөрүүний тригонометрийн функцууд тэдгээр өнцгийн тригонометрийн функцээр хэрхэн илэрхийлэгдэж байгааг харуул. Эдгээр томьёо нь дараах тригонометрийн томьёог гаргах үндэс болдог.
Давхар, гурвалсан гэх мэт томьёо. өнцөг
Давхар, гурвалсан гэх мэт томьёо. өнцөг (тэдгээрийг олон өнцгийн томъёо гэж нэрлэдэг) нь давхар, гурвалсан гэх мэт тригонометрийн функцуудыг хэрхэн харуулдаг. өнцөг () нь нэг өнцгийн тригонометрийн функцээр илэрхийлэгдэнэ. Тэдний гарал үүсэл нь нэмэлт томъёонд суурилдаг.
Илүү нарийвчилсан мэдээллийг нийтлэлийн томъёонд давхар, гурав дахин гэх мэтээр цуглуулсан болно. өнцөг
Хагас өнцгийн томъёо
Хагас өнцгийн томъёоХагас өнцгийн тригонометрийн функцүүд бүхэл өнцгийн косинусаар хэрхэн илэрхийлэгдэж байгааг харуул. Эдгээр тригонометрийн томьёо нь давхар өнцгийн томъёоноос гардаг.
Тэдний дүгнэлт, хэрэглээний жишээг нийтлэлээс олж болно.
Зэрэг бууруулах томъёо
Зэрэг бууруулах тригонометрийн томъёоЭдгээр нь тригонометрийн функцүүдийн байгалийн хүчнээс эхний зэрэгтэй, гэхдээ олон өнцөгт синус ба косинус руу шилжих шилжилтийг хөнгөвчлөх зорилготой юм. Өөрөөр хэлбэл, тэдгээр нь тригонометрийн функцүүдийн хүчийг эхнийх хүртэл багасгах боломжийг олгодог.
Тригонометрийн функцүүдийн нийлбэр ба ялгааны томъёо
Гол зорилго тригонометрийн функцүүдийн нийлбэр ба ялгааны томъёоТригонометрийн илэрхийллийг хялбарчлахад маш хэрэгтэй функцүүдийн бүтээгдэхүүн рүү очих явдал юм. Эдгээр томъёог шийдвэрлэхэд өргөн ашигладаг тригонометрийн тэгшитгэл, учир нь тэдгээр нь синус ба косинусын нийлбэр ба зөрүүг хүчин зүйлээр тооцох боломжийг олгодог.
Синус, косинус ба синусын косинусын үржвэрийн томъёо
Тригонометрийн функцүүдийн үржвэрээс нийлбэр эсвэл зөрүү рүү шилжих шилжилтийг синус, косинус, синусыг косинусаар үржүүлэх томъёог ашиглан гүйцэтгэнэ.
Ухаалаг оюутнуудын зохиогчийн эрх
Бүх эрх хуулиар хамгаалагдсан.
Зохиогчийн эрхийн хуулиар хамгаалагдсан. Www.site-ийн аль ч хэсэг, үүнд дотоод материалТэгээд гадаад дизайн, зохиогчийн эрх эзэмшигчийн урьдчилан бичгээр зөвшөөрөл авалгүйгээр ямар ч хэлбэрээр хуулбарлахыг хориглоно.
Тригонометрийн таних тэмдэг- эдгээр нь нэг өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенсийн хоорондох холбоог бий болгодог тэгшитгэлүүд бөгөөд эдгээр функцүүдийн аль нэгийг нь мэдэх боломжийг олгодог.
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)
tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1
Энэ ижил төстэй байдал нь нэг өнцгийн синусын квадрат ба нэг өнцгийн косинусын квадратын нийлбэр нэгтэй тэнцүү гэж хэлдэг бөгөөд энэ нь практикт нэг өнцгийн синусыг косинус нь мэдэгдэж байх үед болон эсрэгээр нь тооцоолох боломжтой болгодог. .
Тригонометрийн илэрхийлэлийг хөрвүүлэхдээ энэ таних тэмдгийг ихэвчлэн ашигладаг бөгөөд энэ нь нэг өнцгийн косинус ба синусын квадратуудын нийлбэрийг нэгээр сольж, солих үйлдлийг урвуу дарааллаар гүйцэтгэх боломжийг олгодог.
Синус ба косинусыг ашиглан тангенс ба котангенсыг олох
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace
Эдгээр таних тэмдэг нь синус, косинус, тангенс, котангенсийн тодорхойлолтоос үүсдэг. Эцсийн эцэст хэрэв та үүнийг харвал ординат у нь синус, абсцисса х нь косинус юм. Дараа нь тангенс нь харьцаатай тэнцүү байх болно \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), болон харьцаа \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- котангенс байх болно.
Зөвхөн тэдгээрт багтсан тригонометрийн функцууд нь утга учиртай \alpha өнцгүүдийн хувьд адилтгалууд хадгалагдана гэдгийг нэмж хэлье. ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).
Жишээ нь: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)-аас ялгаатай \alpha өнцөгт хүчинтэй \frac(\pi)(2)+\pi z, А ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- \pi z-ээс өөр \alpha өнцгийн хувьд z нь бүхэл тоо юм.
Тангенс ба котангенс хоорондын хамаарал
tg \alpha \cdot ctg \alpha=1
Энэ таних нь зөвхөн өөр альфа өнцөгт хүчинтэй \frac(\pi)(2) z. Үгүй бол котангенс эсвэл тангенсыг тодорхойлохгүй.
Дээр дурдсан зүйлс дээр үндэслэн бид үүнийг олж авна tg \alpha = \frac(y)(x), А ctg \alpha=\frac(x)(y). Үүнийг дагадаг tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Иймд утга учиртай ижил өнцгийн тангенс ба котангенс нь харилцан урвуу тоо юм.
Тангенс ба косинус, котангенс ба синус хоорондын хамаарал
tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- \alpha ба 1 өнцгийн шүргэгчийн квадратын нийлбэр нь энэ өнцгийн косинусын урвуу квадраттай тэнцүү байна. Энэ таних тэмдэг нь бусад бүх \alpha-д хүчинтэй \frac(\pi)(2)+ \pi z.
1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\альфа)- 1-ийн нийлбэр ба \alpha өнцгийн котангенсийн квадрат нь тухайн өнцгийн синусын урвуу квадраттай тэнцүү байна. Энэ таних тэмдэг нь \pi z-ээс өөр ямар ч \alpha-д хүчинтэй.
Тригонометрийн таних тэмдэг ашиглан асуудлыг шийдвэрлэх жишээ
Жишээ 1
\sin \alpha ба tg \alpha бол ол \cos \alpha=-\frac12Тэгээд \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;
Шийдлийг харуулах
Шийдэл
\sin \alpha ба \cos \alpha функцууд нь томъёогоор хамааралтай \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Энэ томъёонд орлуулах \cos \alpha = -\frac12, бид авах:
\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1
Энэ тэгшитгэл нь 2 шийдэлтэй:
\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)
Нөхцөлөөр \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Хоёрдугаар улиралд синус эерэг байна, тиймээс \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).
tan \alpha-г олохын тулд бид томъёог ашигладаг tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)
tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3
Жишээ 2
Хэрэв мөн бол \cos \alpha ба ctg \alpha-г ол \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .
Шийдлийг харуулах
Шийдэл
Томъёонд орлуулах \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1өгсөн дугаар \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), бид авдаг \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Энэ тэгшитгэл нь хоёр шийдэлтэй \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.
Нөхцөлөөр \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Хоёрдугаар улиралд косинус сөрөг байна, тиймээс \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.
ctg \alpha-г олохын тулд бид томъёог ашиглана ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Бид тохирох утгыг мэддэг.
ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).
МЭӨ V зуунд эртний Грекийн гүн ухаантанЭлеагийн Зено алдартай апориагаа томъёолсон бөгөөд хамгийн алдартай нь "Ахиллес ба яст мэлхий" апориа юм. Энэ нь дараах байдалтай байна.Ахиллес яст мэлхийгээс арав дахин хурдан гүйж, түүнээс мянган алхмын ард байна гэж бодъё. Ахиллес энэ зайд гүйхэд шаардагдах хугацаанд яст мэлхий нэг чиглэлд зуун алхам мөлхөх болно. Ахиллес зуун алхам гүйхэд яст мэлхий дахиад арван алхам мөлхдөг гэх мэт. Энэ үйл явц эцэс төгсгөлгүй үргэлжлэх бөгөөд Ахиллес яст мэлхийг хэзээ ч гүйцэхгүй.
Энэ үндэслэл нь дараагийн бүх үеийнхний хувьд логик цочрол болсон. Аристотель, Диоген, Кант, Гегель, Гильберт... Тэд бүгд нэг талаараа Зеногийн апориа гэж үзсэн. Цочрол маш хүчтэй байсан тул " ... өнөөдрийг хүртэл хэлэлцүүлэг үргэлжилж байгаа бөгөөд шинжлэх ухааны нийгэмлэг парадоксуудын мөн чанарын талаар нэгдсэн саналд хүрч чадаагүй байна ... асуудлыг судлахад оролцсон; математик шинжилгээ, олонлогийн онол, физик, философийн шинэ хандлага; Тэдгээрийн аль нь ч асуудлыг шийдвэрлэх нийтээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн шийдэл болсонгүй ..."[Википедиа, "Зеногийн Апориа". Хүн бүр хууртагдаж байгааг ойлгодог, гэхдээ хууран мэхлэлт юунаас бүрддэгийг хэн ч ойлгодоггүй.
Математикийн үүднээс авч үзвэл, Зено өөрийн апориадаа хэмжигдэхүүнээс -д шилжихийг тодорхой харуулсан. Энэ шилжилт нь байнгын бус хэрэглээг илэрхийлдэг. Миний ойлгож байгаагаар хувьсах хэмжлийн нэгжийг ашиглах математикийн төхөөрөмж хараахан боловсруулагдаагүй эсвэл Зеногийн апорид ашиглагдаагүй байна. Ердийн логикоо ашиглах нь биднийг урхинд оруулдаг. Бид сэтгэхүйн инерцийн улмаас цаг хугацааны тогтмол нэгжийг харилцан хамааралтай үнэ цэнэд ашигладаг. Физик талаас нь харвал энэ нь Ахиллес яст мэлхийг гүйцэх тэр мөчид бүрэн зогстол цаг удааширч байгаа мэт харагдаж байна. Хэрэв цаг хугацаа зогсвол Ахиллес яст мэлхийг гүйцэж чадахгүй.
Хэрэв бид ердийн логикоо эргүүлбэл бүх зүйл байрандаа орно. Ахиллес тогтмол хурдтайгаар гүйдэг. Түүний замын дараагийн хэсэг бүр өмнөхөөсөө арав дахин богино байна. Үүний дагуу үүнийг даван туулахад зарцуулсан хугацаа өмнөхөөсөө арав дахин бага байна. Хэрэв бид энэ нөхцөлд "хязгааргүй" гэсэн ойлголтыг ашиглавал "Ахиллес яст мэлхийг хязгааргүй хурдан гүйцэх болно" гэж хэлэх нь зөв байх болно.
Энэ логик урхинаас хэрхэн зайлсхийх вэ? Цагийн тогтмол нэгжид үлдэж, харилцан адилгүй нэгж рүү бүү шилжинэ. Зеногийн хэлээр энэ нь дараах байдалтай байна.
Ахиллес мянган алхам гүйхэд яст мэлхий нэг зүгт зуун алхам мөлхөх болно. Эхнийхтэй тэнцэх дараагийн хугацааны интервалд Ахиллес дахиад мянган алхам гүйж, яст мэлхий зуун алхам мөлхөх болно. Одоо Ахиллес яст мэлхийнээс найман зуун алхмын өмнө байна.
Энэ хандлага нь бодит байдлыг ямар ч логик парадоксгүйгээр хангалттай дүрсэлдэг. Гэхдээ энэ нь асуудлыг бүрэн шийдэж чадахгүй. Эйнштейний гэрлийн хурдыг үл тоомсорлодог тухай мэдэгдэл нь Зеногийн "Ахиллес ба яст мэлхий" апориатай тун төстэй юм. Бид энэ асуудлыг судалж, дахин бодож, шийдвэрлэх ёстой хэвээр байна. Мөн шийдлийг хязгааргүй олон тоогоор биш, хэмжилтийн нэгжээр хайх ёстой.
Зеногийн өөр нэг сонирхолтой апориа нь нисдэг сумны тухай өгүүлдэг.
Нисдэг сум цаг мөч бүрт амарч, цаг мөч бүрт амарч байдаг тул хөдөлгөөнгүй байдаг.
Энэ апорид логик парадоксыг маш энгийнээр даван туулдаг - цаг мөч бүрт нисдэг сум сансар огторгуйн өөр өөр цэгүүдэд амарч байгаа бөгөөд энэ нь үнэндээ хөдөлгөөн юм гэдгийг тодруулахад хангалттай. Энд бас нэг зүйлийг анхаарах хэрэгтэй. Зам дээрх машины нэг гэрэл зургаас түүний хөдөлгөөний баримт, түүнд хүрэх зайг тодорхойлох боломжгүй юм. Машин хөдөлж байгаа эсэхийг тодорхойлохын тулд цаг хугацааны өөр өөр цэгээс нэг цэгээс авсан хоёр гэрэл зураг хэрэгтэй боловч тэдгээрийн хоорондох зайг тодорхойлж чадахгүй. Машин хүртэлх зайг тодорхойлохын тулд танд сансар огторгуйн өөр өөр цэгүүдээс авсан хоёр гэрэл зураг хэрэгтэй, гэхдээ тэдгээрээс та хөдөлгөөний баримтыг тодорхойлж чадахгүй (мэдээжийн хэрэг, танд тооцоололд нэмэлт мэдээлэл хэрэгтэй, тригонометр танд туслах болно. ). Миний онцлохыг хүссэн зүйл онцгой анхаарал, цаг хугацааны хоёр цэг, сансар огторгуйн хоёр цэг нь судалгаа хийх өөр өөр боломжийг олгодог тул андуурч болохгүй өөр зүйл юм.
2018 оны 7-р сарын 4, Лхагва гараг
Багц ба олон багцын ялгааг Википедиа дээр маш сайн дүрсэлсэн байдаг. Харцгаая.
Таны харж байгаагаар "ижил олонлогт хоёр ижил элемент байх боломжгүй" боловч хэрэв олонлогт ижил элементүүд байгаа бол ийм олонлогийг "олон олонлог" гэж нэрлэдэг. Ухаантай хүмүүс ийм утгагүй логикийг хэзээ ч ойлгохгүй. Энэ бол "бүрэн" гэдэг үгнээс оюун ухаангүй ярьдаг тоть, сургасан сармагчингийн түвшин юм. Математикчид энгийн сургагч багшийн үүрэг гүйцэтгэж, утгагүй санаагаа бидэнд номлодог.
Эрт урьд цагт гүүрийг барьсан инженерүүд гүүрний туршилт хийж байхдаа гүүрэн доор завинд сууж байжээ. Хэрэв гүүр нурсан бол дунд зэргийн инженер өөрийн бүтээлийн нуранги дор нас баржээ. Гүүр ачааллыг даах чадвартай бол авъяаслаг инженер өөр гүүрүүдийг барьсан.
Математикчид “намайг бод, би гэртээ байна” гэх, эс тэгвээс “математик хийсвэр ойлголтуудыг судалдаг” гэсэн хэллэгийн ард яаж нуугдаж байсан ч тэдгээрийг бодит байдалтай салшгүй холбодог хүйн зангилаа байдаг. Энэ хүйн бол мөнгө. Математик олонлогын онолыг математикчдад өөрсдөө хэрэгжүүлцгээе.
Бид математикийн хичээлийг маш сайн сурсан, одоо цалингаа өгөөд кассанд сууж байна. Тэгэхээр нэг математикч мөнгөө авахаар манайд ирдэг. Бид түүнд бүх дүнг тоолж, өөр өөр овоолго хэлбэрээр ширээн дээр тавьж, ижил мөнгөн дэвсгэртийг оруулав. Дараа нь бид овоо бүрээс нэг дэвсгэрт авч, математикчдаа түүний "математикийн цалин" -ыг өгнө. Ижил элементгүй олонлог нь ижил элементтэй олонлогтой тэнцүү биш гэдгийг нотлох үед л үлдсэн үнэт цаасыг хүлээн авах болно гэдгийг математикчд тайлбарлая. Эндээс л зугаа цэнгэл эхэлдэг.
Юуны өмнө, депутатуудын логик ажиллах болно: "Үүнийг бусдад хэрэглэж болно, гэхдээ надад биш!" Дараа нь тэд ижил мөнгөн дэвсгэртүүд өөр өөр үнэт цаасны дугаартай байдаг тул тэдгээрийг ижил элемент гэж үзэх боломжгүй гэж биднийг тайвшруулж эхэлнэ. За, цалингаа зоосоор тоолъё - зоосон дээр ямар ч тоо байхгүй. Энд математикч физикийг сандарч санаж эхэлнэ: өөр өөр зоосон мөнгө дээр байдаг өөр өөр тоо хэмжээЗоос бүрийн шороо, талст бүтэц, атомын зохион байгуулалт нь өвөрмөц...
Одоо надад хамгийн их байна сонирхолтой асуулт: олон олонлогийн элементүүд олонлогийн элементүүд болон эсрэгээр хувирах шугам хаана байх вэ? Ийм шугам байхгүй - бүх зүйлийг бөө нар шийддэг, шинжлэх ухаан энд хэвтэхэд ойрхон ч биш юм.
Энд хар. Бид сонгодог хөлбөмбөгийн цэнгэлдэхүүдижил талбайтай. Талбайн талбайнууд ижил байна - энэ нь бид олон багцтай гэсэн үг юм. Гэхдээ эдгээр ижил цэнгэлдэх хүрээлэнгүүдийн нэрийг харвал нэр нь өөр учраас олон гарч ирнэ. Таны харж байгаагаар ижил элементүүдийн багц нь олонлог ба олон багц юм. Аль нь зөв бэ? Тэгээд энд математикч-бөө-хурц хүн ханцуйнаасаа бүрээ гаргаж ирээд багц эсвэл олон багцын тухай ярьж эхлэв. Ямар ч байсан тэр бидний зөв гэдэгт итгүүлэх болно.
Орчин үеийн бөө нар олонлогийн онолыг бодит байдалтай уялдуулан хэрхэн ажилладагийг ойлгохын тулд нэг олонлогийн элементүүд нөгөө олонлогийн элементүүдээс юугаараа ялгаатай вэ гэсэн нэг асуултад хариулахад хангалттай. Би та нарт "нэг бүхэл бүтэн биш гэж төсөөлж болохуйц" эсвэл "ганц бүхэлдээ төсөөлшгүй" зүйлгүйгээр харуулах болно.
2018 оны 3-р сарын 18, Ням гараг
Тооны цифрүүдийн нийлбэр гэдэг нь математикт огт хамааралгүй бөөгийн хэнгэрэгтэй бүжиг юм. Тийм ээ, математикийн хичээл дээр бид тооны цифрүүдийн нийлбэрийг олж, түүнийгээ ашиглахыг заадаг, гэхдээ тэд бөө учраас үр хойчдоо ур чадвар, мэргэн ухааныг зааж сургах, эс бөгөөс бөө нар зүгээр л үхэх болно.
Танд нотлох баримт хэрэгтэй байна уу? Википедиа нээгээд "Тооны цифрүүдийн нийлбэр" гэсэн хуудсыг хайж олоод үзээрэй. Тэр байхгүй. Аливаа тооны цифрүүдийн нийлбэрийг олох томьёо математикт байдаггүй. Эцсийн эцэст тоо бол бидний тоо бичдэг график тэмдэг бөгөөд математикийн хэлээр даалгавар нь иймэрхүү сонсогддог: "Аливаа тоог илэрхийлэх график тэмдгийн нийлбэрийг ол." Математикчид энэ асуудлыг шийдэж чадахгүй ч бөө нар амархан шийдэж чадна.
Өгөгдсөн тооны цифрүүдийн нийлбэрийг олохын тулд юу хийж, яаж хийхийг олж мэдье. Ингээд 12345 тоотой болцгооё. Энэ тооны цифрүүдийн нийлбэрийг олохын тулд юу хийх хэрэгтэй вэ? Бүх алхамуудыг дарааллаар нь авч үзье.
1. Цаасан дээр тоог бич. Бид юу хийсэн бэ? Бид энэ тоог график тооны тэмдэг болгон хөрвүүлсэн. Энэ бол математикийн үйлдэл биш юм.
2. Үүссэн нэг зургийг хэд хэдэн зураг болгон хайчилж, бие даасан тоонуудыг агуулна. Зургийг тайрах нь математикийн үйлдэл биш юм.
3. График тэмдэгтүүдийг тоо болгон хувиргах. Энэ бол математикийн үйлдэл биш юм.
4. Үүссэн тоонуудыг нэмнэ. Одоо энэ бол математик.
12345 тооны цифрүүдийн нийлбэр нь 15. Математикчдын хэрэглэдэг бөө нараас авсан “зүсэх, оёх дамжаа” юм. Гэхдээ энэ нь бүгд биш юм.
Математикийн үүднээс авч үзвэл ямар тооны системд тоо бичих нь хамаагүй. Тэгэхээр, in өөр өөр системүүдТооцооллын хувьд ижил тооны цифрүүдийн нийлбэр өөр байх болно. Математикийн хувьд тооны системийг тухайн тооны баруун талд байрлах доод тэмдэгтээр заадаг. ХАМТ их тоо 12345 Би толгойгоо хуурмааргүй байна, тухай нийтлэлээс 26 дугаарыг харцгаая. Энэ тоог хоёртын, наймтын, аравтын, арван зургаатын тооллын системд бичье. Бид алхам бүрийг микроскопоор харахгүй. Үр дүнг харцгаая.
Таны харж байгаагаар янз бүрийн тооны системд ижил тооны цифрүүдийн нийлбэр өөр өөр байдаг. Энэ үр дүн нь математиктай ямар ч холбоогүй юм. Хэрэв та тэгш өнцөгтийн талбайг метр, сантиметрээр тодорхойлсон бол огт өөр үр дүн гарахтай адил юм.
Тэг нь бүх тооны системд адилхан харагддаг бөгөөд цифрүүдийн нийлбэр байдаггүй. Энэ бол үүнийг батлах өөр нэг үндэслэл юм. Математикчдад зориулсан асуулт: математикт тоо биш зүйлийг яаж тодорхойлдог вэ? Математикчдын хувьд тооноос өөр юу ч байхгүй гэж үү? Би үүнийг бөө нарт зөвшөөрч болох ч эрдэмтдэд зөвшөөрөөгүй. Бодит байдал зөвхөн тоон дээр тогтдоггүй.
Хүлээн авсан үр дүнг тоон систем нь тоонуудын хэмжлийн нэгж гэдгийг нотлох баримт гэж үзэх ёстой. Эцсийн эцэст бид өөр өөр хэмжүүр бүхий тоонуудыг харьцуулж болохгүй. Хэрэв ижил хэмжигдэхүүнийг өөр өөр хэмжих нэгжүүдтэй ижил үйлдэл хийхэд хүргэдэг өөр өөр үр дүнТэднийг харьцуулсны дараа математиктай ямар ч холбоогүй гэсэн үг.
Жинхэнэ математик гэж юу вэ? Энэ нь математикийн үйлдлийн үр дүн нь тоон хэмжээ, ашигласан хэмжүүрийн нэгж, энэ үйлдлийг хэн гүйцэтгэж байгаагаас хамаарахгүй байх үед юм.
Өө! Энэ эмэгтэйчүүдийн бие засах газар биш гэж үү?
- Залуу эмэгтэй! Энэ бол сүнснүүдийн тэнгэрт өргөмжлөгдөх үеийн ариун байдлыг судлах лаборатори юм! Дээрээс нь гал болон дээш сум. Өөр ямар бие засах газар вэ?
Эмэгтэй... Дээд талын гэрэлт цагираг, доош сум нь эрэгтэй.
Хэрэв иймэрхүү зүйл таны нүдний өмнө өдөрт хэд хэдэн удаа анивчдаг бол дизайн урлаг,
Дараа нь та машиндаа гэнэт хачин дүрсийг олж хараад гайхах зүйл алга.
Би хувьдаа баас хийж буй хүнд хасах дөрвөн градусыг харахыг хичээдэг (нэг зураг) (хэд хэдэн зургийн найрлага: хасах тэмдэг, дөрөв, градусын тэмдэглэгээ). Би энэ охиныг физик мэдэхгүй тэнэг гэж бодохгүй байна. Тэр зүгээр л график дүрсийг мэдрэх хүчтэй хэвшмэл ойлголттой. Үүнийг математикчид бидэнд байнга заадаг. Энд нэг жишээ байна.
1А нь "хасах дөрвөн градус" эсвэл "нэг а" биш юм. Энэ нь "баасан хүн" буюу арван зургаатын тооллын "хорин зургаа" гэсэн тоо юм. Энэ тооны системд байнга ажилладаг хүмүүс тоо, үсгийг нэг график тэмдэг болгон автоматаар хүлээн авдаг.
Нийтлэлд тригонометрийн үндсэн шинж чанаруудыг нарийвчлан тайлбарласан болно. Хэрэв нэг функц мэдэгдэж байгаа бол өөр функцийг түүгээр дамжуулан олж болно.
Энэ нийтлэлд авч үзэх ёстой тригонометрийн таних тэмдэг. Доор бид тэдгээрийн гарал үүслийн жишээг тайлбартайгаар үзүүлэв.
sin 2 α + cos 2 α = 1 t g α = sin α cos α , c t g α = cos α sin α t g α c t g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α
Yandex.RTB R-A-339285-1
Тригонометрийн үндэс гэж тооцогддог чухал тригонометрийн ижил төстэй байдлын талаар ярилцъя.
sin 2 α + cos 2 α = 1
Өгөгдсөн t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α, 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α тэгшитгэлүүд нь үндсэн хэсгээс хоёр хэсгийг sin 2 α, cos 2 α гэж хувааснаар гарна. Үүний дараа t g α = sin α cos α, c t g α = cos α sin α ба t g α · c t g α = 1 - энэ нь синус, косинус, тангенс, котангенсийн тодорхойлолтын үр дагавар юм.
Тэгш тэгш байдал sin 2 α + cos 2 α = 1 нь тригонометрийн үндсэн таних тэмдэг юм. Үүнийг батлахын тулд та нэгж тойргийн сэдэв рүү шилжих хэрэгтэй.
α өнцгөөр эргүүлсний дараа А 1 цэг болох А цэгийн (1, 0) координатыг өгье. Нүгэл ба cos-ийн тодорхойлолтоор A 1 цэг нь координатуудыг (cos α, sin α) хүлээн авна. А 1 нь нэгж тойрог дотор байрлаж байгаа тул координатууд нь энэ тойргийн x 2 + y 2 = 1 нөхцлийг хангах ёстой гэсэн үг юм. cos 2 α + sin 2 α = 1 илэрхийлэл хүчинтэй байх ёстой. Үүнийг хийхийн тулд үндсэн зүйлийг батлах шаардлагатай тригонометрийн ижилсэлбүх эргэлтийн өнцгийн хувьд α.
Тригонометрийн хувьд sin 2 α + cos 2 α = 1 илэрхийллийг тригонометрийн Пифагорын теорем болгон ашигладаг. Үүнийг хийхийн тулд нарийвчилсан нотолгоог анхаарч үзээрэй.
Нэгж тойргийг ашиглан бид координаттай (1, 0) А цэгийг төв О цэгийн эргэн тойронд α өнцгөөр эргүүлнэ. Эргүүлсний дараа цэг нь координатыг өөрчилж, A 1 (x, y) -тэй тэнцүү болно. Бид перпендикуляр шугамыг A 1 H цэгээс O x хүртэл буулгана.
Зураг дээр O A 1 N тэгш өнцөгт гурвалжин үүссэнийг тодорхой харуулж байна O A 1 N ба O N хөлүүдийн модуль тэнцүү, оруулга нь дараах хэлбэртэй байна: | A 1 H | = | у | , | О Н | = | x | . Гипотенуз O A 1 нь нэгж тойргийн радиустай тэнцүү утгатай байна, | O A 1 | = 1. Энэ илэрхийлэлийг ашиглан бид Пифагорын теоремыг ашиглан тэгш байдлыг бичиж болно: | A 1 N | 2 + | О Н | 2 = | О А 1 | 2. Энэ тэгш байдлыг | гэж бичье у | 2 + | x | 2 = 1 2, энэ нь y 2 + x 2 = 1 гэсэн үг.
sin α = y ба cos α = x гэсэн тодорхойлолтыг ашиглан цэгүүдийн координатын оронд өнцгийн өгөгдлийг орлуулж, sin 2 α + cos 2 α = 1 тэгш бус байдал руу шилжинэ.
Өнцгийн нүгэл ба косын хоорондох үндсэн холболт нь энэхүү тригонометрийн ижил төстэй байдлын тусламжтайгаар боломжтой юм. Тиймээс бид мэдэгдэж буй cos болон эсрэгээр өнцгийн гэмийг тооцоолж болно. Үүнийг хийхийн тулд нүгэл 2 α + cos 2 = 1-ийг нүгэл ба cos-ийн талаар шийдвэрлэх шаардлагатай бөгөөд дараа нь sin α = ± 1 - cos 2 α ба cos α = ± 1 - sin 2 α хэлбэрийн илэрхийллийг олж авна. , тус тус. α өнцгийн хэмжээ нь илэрхийллийн язгуурын өмнөх тэмдгийг тодорхойлно. Нарийвчилсан тайлбарыг авахын тулд тригонометрийн томъёог ашиглан синус, косинус, тангенс, котангенсыг тооцоолох хэсгийг унших хэрэгтэй.
Ихэнхдээ үндсэн томъёог тригонометрийн илэрхийлэлийг хувиргах эсвэл хялбарчлахад ашигладаг. Синус ба косинусын квадратуудын нийлбэрийг 1-ээр солих боломжтой. Тодорхойлолтыг орлуулах нь шууд эсвэл урвуу дарааллаар байж болно: нэгжийг синус ба косинусын квадратуудын нийлбэрийн илэрхийллээр сольсон.
Синус ба косинусын шүргэгч ба котангенс
Косинус ба синус, тангенс ба котангенсийн тодорхойлолтоос харахад тэдгээр нь хоорондоо харилцан уялдаатай байгаа нь тодорхой бөгөөд энэ нь шаардлагатай хэмжигдэхүүнийг тусад нь хөрвүүлэх боломжийг олгодог.
t g α = sin α cos α c t g α = cos α sin α
Тодорхойлолтоос харахад синус нь у-ийн ординат, косинус нь х-ийн абсцисса юм. Тангенс гэдэг нь ординат ба абсцисса хоорондын хамаарлыг хэлнэ. Тиймээс бидэнд байна:
t g α = y x = sin α cos α, котангентын илэрхийлэл нь эсрэг утгатай, өөрөөр хэлбэл
c t g α = x y = cos α sin α .
Үүнээс үзэхэд t g α = sin α cos α ба c t g α = cos α sin α гэсэн ижил төстэй байдал нь sin болон cos өнцгийг ашиглан тодорхойлогддог. Тангенс нь тэдгээрийн хоорондох өнцгийн косинусын синусын харьцаа гэж тооцогддог бөгөөд котангенс нь эсрэгээрээ байна.
t g α = sin α cos α ба c t g α = cos α sin α нь мужид багтсан α өнцгийн аль ч утгын хувьд үнэн болохыг анхаарна уу. t g α = sin α cos α томъёоноос α өнцгийн утга нь π 2 + π · z-ээс өөр, c t g α = cos α sin α нь α өнцгийн утгыг π · z-ээс ялгаатай, z нь α өнцгийн утгыг авна. дурын бүхэл тооны утга.
Тангенс ба котангенс хоорондын хамаарал
Тангенс ба котангенсаар өнцгүүдийн хоорондын хамаарлыг харуулсан томъёо байдаг. Энэхүү тригонометрийн ижилсэл нь тригонометрт чухал ач холбогдолтой бөгөөд үүнийг t g α · c t g α = 1 гэж тэмдэглэнэ. Энэ нь α-д π 2 · z-ээс өөр утгатай байх нь утга учиртай, эс тэгвээс функцууд тодорхойлогдохгүй.
t g α · c t g α = 1 томьёо нь нотлоход өөрийн гэсэн онцлогтой. Тодорхойлолтоос бид t g α = y x ба c t g α = x y гэсэн утгатай тул t g α · c t g α = y x · x y = 1 болно. Илэрхийллийг хувиргаж, t g α = sin α cos α ба c t g α = cos α sin α гэж орлуулснаар t g α · c t g α = sin α cos α · cos α sin α = 1 болно.
Дараа нь шүргэгч ба котангенсын илэрхийлэл нь бид эцсийн дүндээ харилцан урвуу тоонуудыг олж авах гэсэн утгатай болно.
Тангенс ба косинус, котангенс ба синус
Үндсэн таних тэмдгүүдийг өөрчилсний дараа бид тангенс нь косинусаар, котангенс нь синусаар холбогддог гэсэн дүгнэлтэд хүрсэн. Үүнийг t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α, 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α томъёоноос харж болно.
Тодорхойлолт нь дараах байдалтай байна: өнцгийн шүргэгч ба 1-ийн квадратын нийлбэр нь бутархайтай тэнцэх бөгөөд энд тоологч хэсэгт бид 1, хуваагч дээр өгөгдсөн өнцгийн косинусын квадрат ба нийлбэр байна. өнцгийн котангентын квадрат нь эсрэгээрээ байна. sin 2 α + cos 2 α = 1 гэсэн тригонометрийн адилтгалын ачаар бид харгалзах талуудыг cos 2 α-д хувааж, t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α-г авах боломжтой бөгөөд cos 2 α-ийн утга нь тэнцүү байх ёсгүй. тэг. Гүн 2 α-д хуваахдаа бид 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α ижилслийг олж авдаг бөгөөд үүнд sin 2 α-ийн утга тэгтэй тэнцүү байх ёсгүй.
Дээрх илэрхийллүүдээс бид t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α нь π 2 + π · z ба 1 + c t g 2 α = 1 sin 2-т хамаарахгүй α өнцгийн бүх утгын хувьд үнэн болохыг олж мэдсэн. π · z интервалд хамаарахгүй α-ийн утгуудын хувьд α.
Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу
