Тэгш бус байдлын системҮл мэдэгдэх хэмжигдэхүүн агуулсан хоёр ба түүнээс дээш тэгш бус байдлын аливаа багцыг нэрлэх нь заншилтай байдаг.

Энэ жорыг жишээ нь дараах байдлаар тодорхой харуулсан болно тэгш бус байдлын системүүд:

Тэгш бус байдлын системийг шийд - Энэ нь системийн тэгш бус байдал бүр биелэгдэх үл мэдэгдэх хувьсагчийн бүх утгыг олох, эсвэл байхгүй гэдгийг батлах гэсэн үг юм. .

Энэ нь хувь хүн бүрийн хувьд гэсэн үг юм системийн тэгш бус байдалБид үл мэдэгдэх хувьсагчийг тооцоолно. Дараа нь гарсан утгуудаас зөвхөн эхний болон хоёр дахь тэгш бус байдлын аль алинд нь үнэн болохыг сонгоно. Тиймээс сонгосон утгыг орлуулах үед системийн тэгш бус байдал хоёулаа зөв болно.

Хэд хэдэн тэгш бус байдлын шийдлийг авч үзье.

Хос тоон шулуунуудыг нэг дор байрлуулцгаая; утгыг дээд талд нь тавь x, үүний хувьд эхний тэгш бус байдал ( x> 1) үнэн болж, доод талд - утга X, хоёр дахь тэгш бус байдлын шийдэл ( X> 4).

дээрх өгөгдлийг харьцуулах замаар тооны шугам, аль алинд нь шийдэл гэдгийг анхаарна уу тэгш бус байдалболно X> 4. Хариулт, X> 4.

Жишээ 2.

Эхний тооцоо тэгш бус байдалБид -3 авна X< -6, или x> 2, секунд - X> -8, эсвэл X < 8. Затем делаем по аналогии с предыдущим примером. На верхнюю числовую прямую наносим все те значения X, эхнийх нь хэрэгждэг тэгш бус байдлын систем, мөн доод тооны мөрөнд эдгээр бүх утгууд X, энэ үед системийн хоёр дахь тэгш бус байдал хэрэгждэг.

Өгөгдлийг харьцуулж үзвэл бид хоёуланг нь олж мэднэ тэгш бус байдалбүх үнэт зүйлсэд хэрэгжинэ X, 2-оос 8 хүртэл байрлуулсан. Утгын багц Xтэмдэглэнэ давхар тэгш бус байдал 2 < X< 8.

Жишээ 3.Бид олох болно

Оюутнуудаас хамгийн их анхаарал, тэсвэр тэвчээр шаарддаг сэдвүүдийн нэг бол тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх явдал юм. Тэгшитгэлтэй адилхан бөгөөд нэгэн зэрэг тэднээс тэс өөр. Учир нь тэдгээрийг шийдвэрлэх нь тусгай арга барилыг шаарддаг.

Хариултыг олоход шаардлагатай шинж чанарууд

Эдгээрийг бүгдийг нь одоо байгаа оруулгыг ижил төстэй зүйлээр солиход ашигладаг. Тэдгээрийн ихэнх нь тэгшитгэлд байсантай төстэй юм. Гэхдээ бас ялгаа бий.

• ODZ-д тодорхойлогдсон функц эсвэл дурын тоог анхны тэгш бус байдлын хоёр талд нэмж болно.
• Үүний нэгэн адил үржүүлэх боломжтой, гэхдээ зөвхөн эерэг функц эсвэл тоогоор.
• Хэрэв энэ үйлдлийг сөрөг функц эсвэл тоогоор гүйцэтгэсэн бол тэгш бус байдлын тэмдгийг эсрэгээр нь солих шаардлагатай.
• Сөрөг биш функцуудыг эерэг хүч болгон өсгөж болно.

Заримдаа тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх нь хөндлөнгийн хариулт өгдөг үйлдлүүд дагалддаг. DL домэйн болон шийдлүүдийн багцыг харьцуулах замаар тэдгээрийг арилгах хэрэгтэй.

Интервалын аргыг ашиглах

Үүний мөн чанар нь тэгш бус байдлыг баруун талд нь тэг байх тэгшитгэл болгон бууруулах явдал юм.

1. Хувьсагчдын зөвшөөрөгдөх утгууд, өөрөөр хэлбэл ODZ байх талбайг тодорхойл.
2. Баруун тал нь тэгтэй байхаар математик үйлдлүүдийг ашиглан тэгш бус байдлыг хувирга.
3. Тэгш бус байдлын тэмдгийг “=” гэж сольж, харгалзах тэгшитгэлийг шийд.
4. Тоон тэнхлэг дээр уусмалын явцад олж авсан бүх хариулт, түүнчлэн OD интервалыг тэмдэглэ. Хатуу тэгш бус тохиолдолд цэгүүдийг цоорсон байдлаар зурах ёстой. Хэрэв тэнцүү тэмдэг байгаа бол тэдгээрийг будсан байх ёстой.
5. ODZ-ийн цэгүүд болон түүнийг хуваах хариултуудаас олж авсан интервал бүр дээрх анхны функцийн тэмдгийг тодорхойлно. Хэрэв цэгээр дамжин өнгөрөхөд функцийн тэмдэг өөрчлөгдөхгүй бол хариултанд орно. Үгүй бол энэ нь хасагдана.
6. ODZ-ийн хилийн цэгүүдийг цаашид шалгах шаардлагатай бөгөөд зөвхөн дараа нь хариултанд оруулах эсвэл оруулахгүй байх шаардлагатай.
7. Үр дүнгийн хариултыг хосолсон багц хэлбэрээр бичих ёстой.

Давхар тэгш бус байдлын талаар бага зэрэг

Тэд тэгш бус байдлын хоёр тэмдгийг нэгэн зэрэг ашигладаг. Өөрөөр хэлбэл, зарим функц нь нэг дор хоёр удаа нөхцөлөөр хязгаарлагддаг. Эхийг хэсэг болгон хуваах үед ийм тэгш бус байдлыг хоёр системээр шийддэг. Мөн интервалын аргад хоёр тэгшитгэлийг шийдвэрлэх хариултыг зааж өгсөн болно.

Тэдгээрийг шийдвэрлэхийн тулд дээр дурдсан шинж чанаруудыг ашиглахыг зөвшөөрнө. Тэдгээрийн тусламжтайгаар тэгш бус байдлыг тэг болгон бууруулахад тохиромжтой.

Модультай тэгш бус байдлын талаар юу хэлэх вэ?

Энэ тохиолдолд тэгш бус байдлын шийдэлд дараах шинж чанаруудыг ашигладаг бөгөөд тэдгээр нь "a" эерэг утгын хувьд хүчинтэй байна.

Хэрэв "x" нь алгебрийн илэрхийлэл авсан бол дараах орлуулалт хүчинтэй байна.

• |x|< a на -a < х < a;
• |x| > a-аас x хүртэл< -a или х >а.

Хэрэв тэгш бус байдал нь хатуу биш бол томьёо нь зөв, зөвхөн тэдгээрт их, бага тэмдгээс гадна "=" гарч ирнэ.

Тэгш бус байдлын системийг хэрхэн шийддэг вэ?

Ийм даалгавар өгсөн эсвэл давхар тэгш бус байдлын бүртгэл байгаа эсвэл модуль бичлэгт гарч ирсэн тохиолдолд энэ мэдлэг шаардлагатай болно. Ийм нөхцөлд шийдэл нь бүртгэл дэх бүх тэгш бус байдлыг хангах хувьсагчдын утгууд байх болно. Хэрэв ийм тоо байхгүй бол системд шийдэл байхгүй болно.

Тэгш бус байдлын системийн шийдлийг хэрэгжүүлэх төлөвлөгөө:

• тус бүрийг тусад нь шийдвэрлэх;
• тооны тэнхлэг дээрх бүх интервалуудыг дүрсэлж, тэдгээрийн огтлолцлыг тодорхойлох;
• системийн хариуг бичнэ үү, энэ нь хоёр дахь догол мөрөнд тохиолдсон үйл явдлын хослол байх болно.

Бутархай тэгш бус байдлыг юу хийх вэ?

Тэдгээрийг шийдвэрлэхийн тулд тэгш бус байдлын тэмдгийг өөрчлөх шаардлагатай байж болох тул та төлөвлөгөөний бүх зүйлийг маш болгоомжтой, анхааралтай дагаж мөрдөх хэрэгтэй. Үгүй бол та эсрэг хариулт авч болно.

Бутархай тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд интервалын аргыг мөн ашигладаг. Мөн үйл ажиллагааны төлөвлөгөө нь дараах байдалтай байна.

• Тайлбарласан шинж чанаруудыг ашиглан бутархайг тэмдгийн баруун талд зөвхөн тэг л үлдээх хэлбэрийг өг.
• Тэгш бус байдлыг “=” гэж сольж, функц тэгтэй тэнцэх цэгүүдийг тодорхойл.
• Тэдгээрийг координатын тэнхлэг дээр тэмдэглэ. Энэ тохиолдолд хуваагч дахь тооцооллын үр дүнд олж авсан тоонууд үргэлж цоологдох болно. Бусад бүх зүйл тэгш бус байдлын нөхцөл дээр суурилдаг.
• Тэмдгийн тогтмол байдлын интервалыг тодорхойлно уу.
• Хариуд нь анхны тэгш бус байдлын тэмдэгтэй тохирч буй интервалуудын нэгдлийг бич.

Тэгш бус байдалд зохисгүй байдал гарч ирэх нөхцөл байдал

Өөрөөр хэлбэл тэмдэглэгээнд математик язгуур бий. Сургуулийн алгебрийн хичээлийн ихэнх даалгаврууд квадрат язгуурт зориулагдсан тул үүнийг авч үзэх болно.

Иррациональ тэгш бус байдлын шийдэл нь анхны системтэй дүйцэхүйц хоёр буюу гурван системийг олж авах явдал юм.

Анхны тэгш бус байдал	нөхцөл	эквивалент систем
√ n(x)< m(х)	m(x) 0-ээс бага буюу тэнцүү	шийдэл байхгүй
	m(x) 0-ээс их	n(x) нь 0-ээс их буюу тэнцүү байна n(x)< (m(х)) 2
√ n(x) > m(x)		m(x) нь 0-ээс их буюу тэнцүү байна n(x) > (m(x)) 2
		n(x) нь 0-ээс их буюу тэнцүү байна m(x) 0-ээс бага
√n(x) ≤ m(x)	m(x) 0-ээс бага	шийдэл байхгүй
	m(x) нь 0-ээс их буюу тэнцүү байна	n(x) нь 0-ээс их буюу тэнцүү байна n(x) ≤ (m(x)) 2
√n(x) ≥ m(x)		m(x) нь 0-ээс их буюу тэнцүү байна n(x) ≥ (m(x)) 2
		n(x) нь 0-ээс их буюу тэнцүү байна m(x) 0-ээс бага
√ n(x)< √ m(х)		n(x) нь 0-ээс их буюу тэнцүү байна n(x) m(x)-ээс бага
√n(x) * m(x)< 0		n(x) 0-ээс их m(x) 0-ээс бага
√n(x) * m(x) > 0		n(x) 0-ээс их m(x) 0-ээс их
√n(x) * m(x) ≤ 0		n(x) 0-ээс их
		n(x) нь 0-тэй тэнцүү m(x) - дурын
√n(x) * m(x) ≥ 0		n(x) 0-ээс их
		n(x) нь 0-тэй тэнцүү m(x) - дурын

Янз бүрийн төрлийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх жишээ

Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх онолыг тодорхой болгохын тулд доорх жишээг өгөв.

Эхний жишээ. 2x - 4 > 1 + x

Шийдэл: ADI-г тодорхойлохын тулд тэгш бус байдлыг сайтар ажиглахад л хангалттай. -аас үүсдэг шугаман функцууд, тиймээс хувьсагчийн бүх утгын хувьд тодорхойлогдсон.

Одоо та тэгш бус байдлын хоёр талаас (1 + x) хасах хэрэгтэй. Эндээс харахад: 2x - 4 - (1 + x) > 0. Хаалтуудыг нээж, ижил төстэй нэр томъёог өгсний дараа тэгш бус байдал дараах хэлбэртэй болно: x - 5 > 0.

Үүнийг тэгтэй тэнцүүлэх нь түүний шийдлийг олоход хялбар байдаг: x = 5.

Одоо 5 дугаартай энэ цэгийг координатын цацраг дээр тэмдэглэсэн байх ёстой. Дараа нь анхны функцийн шинж тэмдгийг шалгана уу. Хасах хязгаараас 5 хүртэлх эхний интервал дээр та 0 тоог авч, хувиргалтын дараа олж авсан тэгш бус байдалд орлуулж болно. Тооцооллын дараа -7 >0 болж байна. интервалын нумын дор та хасах тэмдэгт гарын үсэг зурах хэрэгтэй.

5-аас хязгааргүй хүртэлх дараагийн интервал дээр та 6 тоог сонгож болно. Дараа нь 1 > 0 байна. Нумын доор "+" тэмдэг байна. Энэ хоёр дахь интервал нь тэгш бус байдлын хариулт болно.

Хариулт: x (5; ∞) интервалд оршдог.

Хоёр дахь жишээ. 3x + 3 ≤ 2x + 1 ба 3x - 2 ≤ 4x + 2 гэсэн хоёр тэгшитгэлийн системийг шийдэх шаардлагатай.

Шийдэл. Шугаман функцууд өгөгдсөн тул эдгээр тэгш бус байдлын VA нь дурын тооны мужид мөн оршино.

Хоёр дахь тэгш бус байдал нь дараах тэгшитгэлийн хэлбэрийг авна: 3x - 2 - 4x - 2 = 0. Хувиргасны дараа: -x - 4 =0. Энэ нь хувьсагчийн хувьд -4-тэй тэнцүү утгыг үүсгэдэг.

Эдгээр хоёр тоог тэнхлэг дээр тэмдэглэж, интервалыг дүрсэлсэн байх шаардлагатай. Тэгш бус байдал нь хатуу биш тул бүх цэгүүдийг сүүдэрлэх шаардлагатай. Эхний интервал нь хасах хязгаараас -4 хүртэл байна. -5 гэсэн тоог сонгоорой. Эхний тэгш бус байдал нь -3 гэсэн утгыг өгөх ба хоёр дахь нь 1. Энэ нь хариултанд энэ интервалыг оруулаагүй гэсэн үг юм.

Хоёр дахь интервал нь -4-ээс -2 хүртэл байна. Та -3 тоог сонгоод тэгш бус байдлын аль алинд нь орлуулж болно. Эхний болон хоёр дахь утга нь -1 байна. Энэ нь нумын дор "-" гэсэн үг юм.

Сүүлийн интервал дээр -2-оос хязгааргүй, хамгийн их хамгийн сайн тоотэг байна. Та үүнийг орлуулж, тэгш бус байдлын утгыг олох хэрэгтэй. Тэдний эхнийх нь эерэг тоо, хоёр дахь нь тэг үүсгэдэг. Энэ зөрүүг мөн хариултаас хасах ёстой.

Гурван интервалаас зөвхөн нэг нь тэгш бус байдлын шийдэл юм.

Хариулт: x нь [-4; -2].

Гурав дахь жишээ. |1 - x| > 2 |x - 1|.

Шийдэл. Эхний алхам бол функцүүд алга болох цэгүүдийг тодорхойлох явдал юм. Зүүн талынх нь хувьд энэ тоо 2, баруун талынх нь хувьд - 1. Тэдгээрийг цацраг дээр тэмдэглэж, тэмдгийн тогтмол байдлын интервалыг тодорхойлох шаардлагатай.

Хасах хязгаараас 1 хүртэлх эхний интервалд тэгш бус байдлын зүүн талын функцийг авна эерэг утгууд, баруун талаас - сөрөг. Нуман доор та "+" ба "-" гэсэн хоёр тэмдгийг зэрэгцүүлэн бичих хэрэгтэй.

Дараагийн интервал нь 1-ээс 2 хүртэл байна. Үүн дээр хоёр функц эерэг утгыг авна. Энэ нь нуман доор хоёр давуу талтай гэсэн үг юм.

2-оос хязгааргүй хүртэлх гурав дахь интервал нь дараах үр дүнг өгнө: зүүн функц сөрөг, баруун функц эерэг байна.

Үүссэн тэмдгүүдийг харгалзан та бүх интервалын тэгш бус байдлын утгыг тооцоолох хэрэгтэй.

Эхнийх нь дараах тэгш бус байдлыг үүсгэдэг: 2 - x > - 2 (x - 1). Хоёр дахь тэгш бус байдлын хоёрын өмнөх хасах нь энэ функц нь сөрөг байгаатай холбоотой юм.

Өөрчлөлтийн дараа тэгш бус байдал дараах байдалтай байна: x > 0. Энэ нь хувьсагчийн утгыг шууд өгнө. Өөрөөр хэлбэл, энэ интервалаас зөвхөн 0-ээс 1 хүртэлх интервалд хариулах болно.

Хоёр дахь нь: 2 - x > 2 (x - 1). Өөрчлөлтүүд нь дараах тэгш бус байдлыг өгнө: -3x + 4 нь тэгээс их. Үүний тэг нь x = 4/3 байх болно. Тэгш бус байдлын тэмдгийг харгалзан үзвэл x нь энэ тооноос бага байх ёстой. Энэ нь энэ интервалыг 1-ээс 4/3 хүртэлх интервал болгон бууруулсан гэсэн үг юм.

Сүүлийнх нь дараах тэгш бус байдлыг өгнө: - (2 - x) > 2 (x - 1). Түүний хувиргалт нь дараахад хүргэдэг: -x > 0. Өөрөөр хэлбэл, x тэгээс бага үед тэгшитгэл үнэн болно. Энэ нь шаардлагатай интервал дээр тэгш бус байдал нь шийдлийг өгдөггүй гэсэн үг юм.

Эхний хоёр интервалд хязгаарын тоо 1 болсон. Үүнийг тусад нь шалгах шаардлагатай. Өөрөөр хэлбэл, анхны тэгш бус байдалд орлуулна. Энэ нь: |2 - 1| > 2 |1 - 1|. Тооцоолол нь 1 нь 0-ээс их болохыг харуулж байна. Энэ нь үнэн мэдэгдэл, тиймээс нэгийг нь хариултанд оруулсан болно.

Хариулт: x интервалд (0; 4/3) оршдог.

Тэгш бус байдал ба тэгш бус байдлын систем нь ахлах сургуулийн алгебрийн хичээлийн нэг сэдвийн нэг юм. Хэцүү байдлын хувьд энэ нь хамгийн хэцүү биш, учир нь энэ нь энгийн дүрмүүдтэй байдаг (тэдгээрийн талаар бага зэрэг дараа). Дүрмээр бол сургуулийн сурагчид тэгш бус байдлын системийг амархан шийдэж сурдаг. Энэ нь мөн л багш нар энэ сэдвээр шавь нараа зүгээр л “сургадаг”тай холбоотой. Тэд үүнийг хийхээс өөр аргагүй юм, учир нь үүнийг ирээдүйд бусад математикийн хэмжигдэхүүнүүдийг ашиглан судалж, Улсын нэгдсэн шалгалт, Улсын нэгдсэн шалгалтанд туршиж үздэг. Сургуулийн сурах бичигт тэгш бус байдал, тэгш бус байдлын тогтолцооны сэдвийг маш нарийн тусгасан байдаг тул хэрэв та үүнийг судлах гэж байгаа бол тэдгээрт хандах нь дээр. Энэ нийтлэл нь зөвхөн том хэмжээний материалыг нэгтгэн дүгнэсэн бөгөөд зарим орхигдсон зүйл байж болно.

Тэгш бус байдлын системийн тухай ойлголт

Хэрэв бид шинжлэх ухааны хэл рүү хандвал "тэгш бус байдлын систем" гэсэн ойлголтыг тодорхойлж болно. Энэ бол хэд хэдэн тэгш бус байдлыг илэрхийлдэг математик загвар юм. Энэ загвар нь мэдээжийн хэрэг шийдлийг шаарддаг бөгөөд энэ нь даалгаварт санал болгож буй системийн бүх тэгш бус байдлын ерөнхий хариулт байх болно (ихэвчлэн үүнийг бичсэн байдаг, жишээлбэл: "4 x + 1 тэгш бус байдлын системийг шийд. > 2 ба 30 - x > 6... "). Гэсэн хэдий ч шийдлийн төрөл, аргууд руу шилжихээсээ өмнө өөр зүйлийг ойлгох хэрэгтэй.

Тэгшитгэлийн систем ба тэгшитгэлийн систем

Сурах явцдаа шинэ сэдэвихэвчлэн үл ойлголцол үүсдэг. Нэг талаас, бүх зүйл тодорхой, та аль болох хурдан даалгавраа шийдэж эхлэхийг хүсч байгаа ч нөгөө талаас зарим мөчүүд "сүүдэрт" үлдэж, бүрэн ойлгогдоогүй байна. Мөн аль хэдийн олж авсан мэдлэгийн зарим элементүүд шинэ мэдлэгтэй холбоотой байж болно. Ийм "давхцал"-ын үр дүнд алдаа ихэвчлэн гардаг.

Тиймээс бид сэдвийнхээ талаар дүн шинжилгээ хийж эхлэхээсээ өмнө тэгшитгэл ба тэгш бус байдал, тэдгээрийн системийн ялгааг санах хэрэгтэй. Үүнийг хийхийн тулд бид эдгээр математик ойлголтууд юуг илэрхийлж байгааг дахин нэг удаа тайлбарлах хэрэгтэй. Тэгшитгэл нь үргэлж тэгш байдал бөгөөд энэ нь үргэлж ямар нэгэн зүйлтэй тэнцүү байдаг (математикт энэ үгийг "=" тэмдгээр тэмдэглэдэг). Тэгш бус байдал гэдэг нь нэг утга нөгөөгөөсөө их эсвэл бага байх эсвэл тэдгээр нь ижил биш гэсэн мэдэгдлийг агуулсан загвар юм. Тиймээс, эхний тохиолдолд тэгш байдлын тухай ярих нь зүйтэй бөгөөд хоёрдугаарт, нэрнээс нь хэчнээн ойлгомжтой сонсогдож байгаагаас үл хамааран анхны өгөгдлийн тэгш бус байдлын тухай ярих нь зүйтэй юм. Тэгшитгэл ба тэгш бус байдлын системүүд нь бие биенээсээ бараг ялгаатай байдаггүй бөгөөд тэдгээрийг шийдвэрлэх аргууд нь ижил байдаг. Цорын ганц ялгаа нь эхний тохиолдолд тэгш бус байдлыг ашигладаг, хоёр дахь тохиолдолд тэгш бус байдлыг ашигладаг.

Тэгш бус байдлын төрлүүд

Тоон ба үл мэдэгдэх хувьсагчтай гэсэн хоёр төрлийн тэгш бус байдал байдаг. Эхний төрөл нь өгөгдсөн хэмжигдэхүүнүүдийг (тоо) илэрхийлдэг бөгөөд тэдгээр нь хоорондоо тэнцүү биш, жишээлбэл, 8 > 10. Хоёр дахь нь үл мэдэгдэх хувьсагч (Латин цагаан толгойн үсгээр тэмдэглэгдсэн, ихэвчлэн X) агуулсан тэгш бус байдал юм. Энэ хувьсагчийг олох хэрэгтэй. Хэдэн хувьсагчтай байгаагаас хамааран математик загвар нь тэгш бус байдлыг нэг хувьсагчтай (тэдгээр нь нэг хувьсагчтай тэгш бус байдлын системийг бүрдүүлдэг) эсвэл хэд хэдэн хувьсагчтай (хэд хэдэн хувьсагчтай тэгш бус байдлын системийг бүрдүүлдэг) хооронд нь ялгадаг.

Сүүлийн хоёр төрлийг барилгын түвшин, шийдлийн нарийн төвөгтэй байдлын түвшингээс хамааран энгийн ба нарийн төвөгтэй гэж хуваадаг. Энгийнийг мөн шугаман тэгш бус байдал гэж нэрлэдэг. Тэд эргээд хатуу, хатуу бус гэж хуваагддаг. Хатуу хүмүүс нэг хэмжигдэхүүн нь заавал бага эсвэл илүү байх ёстой гэж "хэлдэг". цэвэр хэлбэртэгш бус байдал. Хэд хэдэн жишээг дурдаж болно: 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5 гэх мэт. Хатуу бусд мөн адил тэгш байдал орно. Өөрөөр хэлбэл, нэг утга нь өөр утгаас их буюу тэнцүү ("≥" тэмдэг) эсвэл өөр утгаас бага буюу тэнцүү ("≤" тэмдэг) байж болно. Шугаман тэгш бус байдлын хувьд ч хувьсагч нь язгуур, квадрат эсвэл юунд ч хуваагддаггүй тул тэдгээрийг "энгийн" гэж нэрлэдэг. Нарийн төвөгтэй хувьсагчдыг олохын тулд илүү их математик шаарддаг үл мэдэгдэх хувьсагчдыг агуулдаг. Тэдгээр нь ихэвчлэн дөрвөлжин, шоо эсвэл үндэс дор байрладаг бөгөөд тэдгээр нь модульчлагдсан, логарифм, бутархай гэх мэт байж болно. Гэхдээ бидний даалгавар бол тэгш бус байдлын системийн шийдлийг ойлгох хэрэгцээ тул шугаман тэгш бус байдлын системийн тухай ярих болно. . Гэсэн хэдий ч үүнээс өмнө тэдний шинж чанарын талаар хэдэн үг хэлэх хэрэгтэй.

Тэгш бус байдлын шинж чанарууд

Тэгш бус байдлын шинж чанарууд нь дараахь зүйлийг агуулна.

1. Хэрэв талуудын дарааллыг өөрчлөх үйлдлийг хэрэглэвэл тэгш бус байдлын тэмдэг урвуу болно (жишээлбэл, хэрэв t 1 ≤ t 2 бол t 2 ≥ t 1).
2. Тэгш бус байдлын хоёр тал нь ижил тоог өөртөө нэмэх боломжийг олгодог (жишээлбэл, хэрэв t 1 ≤ t 2 бол t 1 + тоо ≤ t 2 + тоо).
3. Нэг чиглэлтэй тэмдэгтэй хоёр ба түүнээс дээш тэгш бус байдал нь тэдгээрийн зүүн ба баруун талыг нэмэх боломжийг олгодог (жишээлбэл, хэрэв t 1 ≥ t 2, t 3 ≥ t 4 бол t 1 + t 3 ≥ t 2 + t 4) .
4. Тэгш бус байдлын хоёр талыг ижил эерэг тоогоор үржүүлж эсвэл хувааж болно (жишээлбэл, хэрэв t 1 ≤ t 2 ба ≤ 0 тоо бол · t 1 ≥ тоо · t 2).
5. Эерэг нөхцөлтэй, нэг чиглэлтэй тэмдэгтэй хоёр ба түүнээс дээш тэгш бус байдал нь бие биенээ үржүүлэх боломжийг олгодог (жишээлбэл, хэрэв t 1 ≤ t 2, t 3 ≤ t 4, t 1, t 2, t 3, t бол 4 ≥ 0 дараа нь t 1 · t 3 ≤ t 2 · t 4).
6. Тэгш бус байдлын хоёр талыг ижил зүйлээр үржүүлж эсвэл хувааж болно сөрөг тоо, гэхдээ тэгш бус байдлын тэмдэг өөрчлөгдөнө (жишээлбэл, хэрэв t 1 ≤ t 2 ба тоо ≤ 0 бол · t 1 ≥ тоо · t 2).
7. Бүх тэгш бус байдал нь шилжилтийн шинж чанартай байдаг (жишээлбэл, хэрэв t 1 ≤ t 2 ба t 2 ≤ t 3 бол t 1 ≤ t 3).

Одоо тэгш бус байдалтай холбоотой онолын үндсэн зарчмуудыг судалсны дараа бид тэдгээрийн системийг шийдвэрлэх дүрмийг авч үзэхэд шууд шилжиж болно.

Тэгш бус байдлын системийг шийдвэрлэх. Ерөнхий мэдээлэл. Шийдэл

Дээр дурдсанчлан шийдэл нь тухайн системийн бүх тэгш бус байдалд тохирсон хувьсагчийн утгууд юм. Тэгш бус байдлын системийг шийдвэрлэх гэдэг нь эцсийн дүндээ бүхэл бүтэн системийн шийдэлд хүргэх эсвэл ямар ч шийдэлгүй гэдгийг батлах математик үйлдлүүдийн хэрэгжилт юм. Энэ тохиолдолд хувьсагчийг хоосон тоон олонлогт хамааруулна (дараах байдлаар бичнэ: хувьсагчийг илэрхийлсэн үсэг∈ ("харьяалах" тэмдэг) ø ("хоосон олонлог" гэсэн тэмдэг), жишээлбэл, x ∈ ø (унш: "х" хувьсагч нь хоосон олонлогт хамаарна"). Тэгш бус байдлын системийг шийдвэрлэх хэд хэдэн арга байдаг: график, алгебр, орлуулах арга. Тэдгээрийн тоонд багтаж байгааг тэмдэглэх нь зүйтэй математик загварууд, хэд хэдэн үл мэдэгдэх хувьсагчтай. Зөвхөн нэг байгаа тохиолдолд интервалын арга тохиромжтой.

График арга

Хэд хэдэн үл мэдэгдэх хэмжигдэхүүнтэй (хоёр ба түүнээс дээш) тэгш бус байдлын системийг шийдэх боломжийг танд олгоно. Энэ аргын ачаар шугаман тэгш бус байдлын системийг маш хялбар бөгөөд хурдан шийдэж болох тул энэ нь хамгийн түгээмэл арга юм. Үүнийг график зурах нь математикийн үйлдлүүдийг бичих хэмжээг багасгадагтай холбон тайлбарладаг. Маш их ажил хийгдэж, бага зэрэг олон янз байхыг хүсч байвал үзэгнээсээ бага зэрэг завсарлага аваад, захирагчтай харандаа авч, тэдний тусламжтайгаар цаашдын үйлдлүүдийг эхлүүлэх нь ялангуяа тааламжтай байдаг. Гэсэн хэдий ч энэ аргаЗарим хүмүүс даалгавраа орхиж, оюун санааны үйл ажиллагаагаа зурахад шилжүүлэх шаардлагатай болдог тул үүнд дургүй байдаг. Гэсэн хэдий ч энэ нь маш үр дүнтэй арга юм.

График аргаар тэгш бус байдлын системийг шийдэхийн тулд тэгш бус байдал бүрийн бүх гишүүнийг зүүн тал руу нь шилжүүлэх шаардлагатай. Тэмдгийг урвуу болгож, баруун талд тэгийг бичиж, тэгш бус байдал бүрийг тусад нь бичих шаардлагатай. Үүний үр дүнд тэгш бус байдлаас функцүүд гарна. Үүний дараа та харандаа, захирагч гаргаж болно: одоо та олж авсан функц бүрийн графикийг зурах хэрэгтэй. Тэдний огтлолцлын интервалд байх бүх тооны багц нь тэгш бус байдлын системийн шийдэл болно.

Алгебрийн арга

Хоёр үл мэдэгдэх хувьсагчтай тэгш бус байдлын системийг шийдэх боломжийг танд олгоно. Мөн тэгш бус байдал нь ижил тэгш бус тэмдэгтэй байх ёстой (өөрөөр хэлбэл зөвхөн "илүү" тэмдэг, эсвэл зөвхөн "бага" тэмдэг гэх мэтийг агуулсан байх ёстой) Хэдийгээр хязгаарлалттай ч энэ арга нь илүү төвөгтэй байдаг. Үүнийг хоёр үе шаттайгаар хэрэглэнэ.

Эхнийх нь үл мэдэгдэх хувьсагчийн аль нэгийг арилгах үйлдлүүдийг агуулдаг. Эхлээд та үүнийг сонгох хэрэгтэй, дараа нь энэ хувьсагчийн өмнө тоо байгаа эсэхийг шалгана уу. Хэрэв тэдгээр нь байхгүй бол (хувьсагч нь нэг үсэг шиг харагдах болно) бид юу ч өөрчлөхгүй, хэрэв байгаа бол (хувьсагчийн төрөл нь жишээлбэл, 5y эсвэл 12y байх болно) үүнийг хийх шаардлагатай. тэгш бус байдал бүрт сонгосон хувьсагчийн өмнөх тоо ижил байгаа эсэхийг шалгаарай. Үүнийг хийхийн тулд тэгш бус байдлын гишүүн бүрийг нийтлэг хүчин зүйлээр үржүүлэх хэрэгтэй, жишээлбэл, эхний тэгш бус байдалд 3y, хоёр дахь нь 5y гэж бичсэн бол эхний тэгш бус байдлын бүх гишүүнийг 5-аар үржүүлэх хэрэгтэй. , хоёр дахь нь 3. Та 15y ба 15y-ийг тус тус авна.

Шийдлийн хоёр дахь шат. Тэгш бус байдал бүрийн зүүн талыг баруун тал руу нь шилжүүлж, нэр томьёо бүрийн тэмдгийг эсрэгээр нь сольж, баруун талд тэгийг бичих шаардлагатай. Дараа нь хөгжилтэй хэсэг ирдэг: тэгш бус байдлыг нэмэхийн зэрэгцээ сонгосон хувьсагчаас (өөрөөр "багасгах" гэж нэрлэдэг) салах. Үүний үр дүнд шийдвэрлэх шаардлагатай нэг хувьсагчтай тэгш бус байдал үүсдэг. Үүний дараа та ижил зүйлийг зөвхөн өөр үл мэдэгдэх хувьсагчтай хийх хэрэгтэй. Хүлээн авсан үр дүн нь системийн шийдэл байх болно.

Орлуулах арга

Шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэх боломжтой бол тэгш бус байдлын системийг шийдэх боломжийг танд олгоно. Ихэнхдээ энэ аргыг тэгш бус байдлын нэг гишүүний үл мэдэгдэх хувьсагчийг дөрөв дэх зэрэгт өсгөж, нөгөө нэр томъёонд квадрат болгоход ашигладаг. Тиймээс энэ арга нь систем дэх тэгш бус байдлын түвшинг бууруулахад чиглэгддэг. Түүврийн тэгш бус байдал x 4 - x 2 - 1 ≤ 0 нь ийм байдлаар шийдэгдэнэ. Шинэ хувьсагчийг танилцуулж байна, жишээ нь t. Тэд "t = x 2" гэж бичээд дараа нь загварыг шинэ хэлбэрээр дахин бичнэ. Манай тохиолдолд бид t 2 - t - 1 ≤0 авна. Энэ тэгш бус байдлыг интервалын аргаар шийдэх хэрэгтэй (энэ талаар бага зэрэг дараа), дараа нь X хувьсагч руу буцаж, дараа нь бусад тэгш бус байдалтай ижил зүйлийг хийх хэрэгтэй. Хүлээн авсан хариултууд нь системийн шийдэл байх болно.

Интервалын арга

Энэ бол тэгш бус байдлын системийг шийдэх хамгийн энгийн арга бөгөөд үүний зэрэгцээ бүх нийтийн бөгөөд өргөн тархсан байдаг. Энэ нь ерөнхий боловсролын сургууль, тэр ч байтугай дээд сургуулиудад хэрэглэгддэг. Үүний мөн чанар нь оюутан тэмдэглэлийн дэвтэрт зурсан тооны шулуун дээрх тэгш бус байдлын интервалыг хайж олоход оршдог (энэ нь график биш, харин тоонуудын энгийн шугам юм). Тэгш бус байдлын интервалууд огтлолцсон тохиолдолд системийн шийдийг олно. Интервалын аргыг ашиглахын тулд та дараах алхмуудыг хийх хэрэгтэй.

1. Тэгш бус байдал бүрийн бүх нөхцөлийг зүүн тал руу шилжүүлж, тэмдэг нь эсрэгээр өөрчлөгдөнө (баруун талд тэгийг бичсэн).
2. Тэгш бус байдлыг тусад нь бичиж, тус бүрийн шийдлийг тодорхойлно.
3. Тооны шулуун дээрх тэгш бус байдлын огтлолцол олддог. Эдгээр уулзварт байрлах бүх дугаарууд нь шийдэл байх болно.

Би ямар аргыг хэрэглэх ёстой вэ?

Мэдээжийн хэрэг, энэ нь хамгийн хялбар бөгөөд тохиромжтой мэт санагддаг, гэхдээ даалгавар нь тодорхой аргыг шаарддаг тохиолдол байдаг. Ихэнхдээ тэд график эсвэл интервалын аргыг ашиглан шийдэх хэрэгтэй гэж хэлдэг. Алгебрийн арга ба орлуулалтыг маш ховор эсвэл огт ашигладаггүй, учир нь тэдгээр нь нэлээд төвөгтэй, ойлгомжгүй байдаг бөгөөд үүнээс гадна тэгш бус байдлыг бус тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхэд ашигладаг тул график, интервал зурахад хандах хэрэгтэй. Тэд тодорхой байдлыг авчирдаг бөгөөд энэ нь математикийн үйлдлүүдийг үр дүнтэй, хурдан гүйцэтгэхэд хувь нэмэр оруулахгүй байх боломжгүй юм.

Хэрэв ямар нэг зүйл болохгүй бол

Мэдээжийн хэрэг, алгебрийн тодорхой сэдвийг судлах явцад түүний ойлголттой холбоотой асуудал гарч ирдэг. Мөн энэ нь хэвийн зүйл, учир нь бидний тархи ойлгох чадваргүй байдлаар бүтээгдсэн байдаг нарийн төвөгтэй материалнэг удаа. Ихэнхдээ та догол мөрийг дахин унших, багшаас тусламж авах эсвэл стандарт даалгавруудыг шийдвэрлэх дасгал хийх хэрэгтэй. Манай тохиолдолд тэд жишээлбэл: "3 x + 1 ≥ 0 ба 2 x - 1 > 3 тэгш бус байдлын системийг шийд." Тиймээс хувийн хүсэл эрмэлзэл, гадны хүмүүсийн тусламж, дадлага нь аливаа нарийн төвөгтэй сэдвийг ойлгоход тусалдаг.

Шийдвэрлэгч үү?

Шийдлийн ном нь гэрийн даалгавраа хуулбарлахад биш, харин өөртөө туслахад маш тохиромжтой. Тэдгээрээс та шийдэл бүхий тэгш бус байдлын системийг олж, тэдгээрийг (загвар хэлбэрээр) харж, шийдлийн зохиогч даалгаврыг хэрхэн даван туулж байсныг яг таг ойлгохыг хичээ, дараа нь өөрөө үүнийг хийхийг хичээ.

Дүгнэлт

Алгебр бол сургуулийн хамгийн хэцүү хичээлүүдийн нэг юм. За, та юу хийж чадах вэ? Математик үргэлж ийм байсаар ирсэн: зарим хүмүүсийн хувьд энэ нь амархан, харин зарим хүмүүсийн хувьд хэцүү байдаг. Гэхдээ ямар ч тохиолдолд ерөнхий боловсролын хөтөлбөр нь ямар ч оюутан үүнийг даван туулж чадахуйц бүтэцтэй байдаг гэдгийг санах нь зүйтэй. Үүнээс гадна асар олон тооны туслахуудыг санаж байх ёстой. Тэдгээрийн заримыг дээр дурдсан.

МЭӨ V зуунд эртний Грекийн гүн ухаантанЭлеагийн Зено алдартай апориагаа томъёолсон бөгөөд хамгийн алдартай нь "Ахиллес ба яст мэлхий" апориа юм. Энэ нь дараах байдалтай байна.

Ахиллес яст мэлхийгээс арав дахин хурдан гүйж, түүнээс мянган алхмын ард байна гэж бодъё. Ахиллес энэ зайд гүйхэд шаардагдах хугацаанд яст мэлхий нэг чиглэлд зуун алхам мөлхөх болно. Ахиллес зуун алхам гүйхэд яст мэлхий дахиад арван алхам мөлхдөг гэх мэт. Энэ үйл явц эцэс төгсгөлгүй үргэлжлэх бөгөөд Ахиллес яст мэлхийг хэзээ ч гүйцэхгүй.

Энэ үндэслэл нь дараагийн бүх үеийнхний хувьд логик цочрол болсон. Аристотель, Диоген, Кант, Гегель, Гильберт... Тэд бүгд нэг талаараа Зеногийн апориа гэж үзсэн. Цочрол маш хүчтэй байсан тул " ... өнөөдрийг хүртэл хэлэлцүүлэг үргэлжилж байгаа бөгөөд шинжлэх ухааны нийгэмлэг парадоксуудын мөн чанарын талаар нэгдсэн саналд хүрч чадаагүй байна ... асуудлыг судлахад оролцсон; математик шинжилгээ, олонлогийн онол, физик, философийн шинэ хандлага; Тэдгээрийн аль нь ч асуудлыг шийдвэрлэх нийтээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн шийдэл болсонгүй ..."[Википедиа, "Зеногийн Апориа". Хүн бүр хууртагдаж байгааг ойлгодог, гэхдээ хууран мэхлэлт юунаас бүрддэгийг хэн ч ойлгодоггүй.

Математикийн үүднээс авч үзвэл, Зено өөрийн апориадаа хэмжигдэхүүнээс -д шилжихийг тодорхой харуулсан. Энэ шилжилт нь байнгын бус хэрэглээг илэрхийлдэг. Миний ойлгож байгаагаар хувьсах хэмжлийн нэгжийг ашиглах математикийн төхөөрөмж хараахан боловсруулагдаагүй эсвэл Зеногийн апорид ашиглагдаагүй байна. Ердийн логикоо ашиглах нь биднийг урхинд оруулдаг. Бид сэтгэхүйн инерцийн улмаас цаг хугацааны тогтмол нэгжийг харилцан хамааралтай үнэ цэнэд ашигладаг. Физик талаас нь харвал энэ нь Ахиллес яст мэлхийг гүйцэх тэр мөчид бүрэн зогстол цаг удааширч байгаа мэт харагдаж байна. Хэрэв цаг хугацаа зогсвол Ахиллес яст мэлхийг гүйцэж чадахгүй.

Хэрэв бид ердийн логикоо эргүүлбэл бүх зүйл байрандаа орно. Ахиллес тогтмол хурдтайгаар гүйдэг. Түүний замын дараагийн хэсэг бүр өмнөхөөсөө арав дахин богино байна. Үүний дагуу үүнийг даван туулахад зарцуулсан хугацаа өмнөхөөсөө арав дахин бага байна. Хэрэв бид энэ нөхцөлд "хязгааргүй" гэсэн ойлголтыг ашиглавал "Ахиллес яст мэлхийг хязгааргүй хурдан гүйцэх болно" гэж хэлэх нь зөв байх болно.

Энэ логик урхинаас хэрхэн зайлсхийх вэ? Цагийн тогтмол нэгжид үлдэж, харилцан адилгүй нэгж рүү бүү шилжинэ. Зеногийн хэлээр энэ нь дараах байдалтай байна.

Ахиллес мянган алхам гүйхэд яст мэлхий нэг зүгт зуун алхам мөлхөх болно. Эхнийхтэй тэнцэх дараагийн хугацааны интервалд Ахиллес дахиад мянган алхам гүйж, яст мэлхий зуун алхам мөлхөх болно. Одоо Ахиллес яст мэлхийнээс найман зуун алхмын өмнө байна.

Энэ хандлага нь бодит байдлыг ямар ч логик парадоксгүйгээр хангалттай дүрсэлдэг. Гэхдээ энэ нь асуудлыг бүрэн шийдэж чадахгүй. Эйнштейний гэрлийн хурдыг үл тоомсорлодог тухай мэдэгдэл нь Зеногийн "Ахиллес ба яст мэлхий" апориатай тун төстэй юм. Бид энэ асуудлыг судалж, дахин бодож, шийдвэрлэх ёстой хэвээр байна. Мөн шийдлийг хязгааргүй олон тоогоор биш, хэмжилтийн нэгжээр хайх ёстой.

Зеногийн өөр нэг сонирхолтой апориа нь нисдэг сумны тухай өгүүлдэг.

Нисдэг сум цаг мөч бүрт амарч, цаг мөч бүрт амарч байдаг тул хөдөлгөөнгүй байдаг.

Энэ апорид логик парадоксыг маш энгийнээр даван туулдаг - цаг мөч бүрт нисдэг сум сансар огторгуйн өөр өөр цэгүүдэд амарч байгаа бөгөөд энэ нь үнэндээ хөдөлгөөн юм гэдгийг тодруулахад хангалттай. Энд бас нэг зүйлийг анхаарах хэрэгтэй. Зам дээрх машины нэг гэрэл зургаас түүний хөдөлгөөний баримт, түүнд хүрэх зайг тодорхойлох боломжгүй юм. Машин хөдөлж байгаа эсэхийг тодорхойлохын тулд цаг хугацааны өөр өөр цэгээс нэг цэгээс авсан хоёр гэрэл зураг хэрэгтэй боловч тэдгээрийн хоорондох зайг тодорхойлж чадахгүй. Машин хүртэлх зайг тодорхойлохын тулд танд сансар огторгуйн өөр өөр цэгүүдээс авсан хоёр гэрэл зураг хэрэгтэй, гэхдээ тэдгээрээс та хөдөлгөөний баримтыг тодорхойлж чадахгүй (мэдээжийн хэрэг, танд тооцоололд нэмэлт мэдээлэл хэрэгтэй, тригонометр танд туслах болно. ). Миний онцлохыг хүссэн зүйл онцгой анхаарал, цаг хугацааны хоёр цэг, сансар огторгуйн хоёр цэг нь судалгаа хийх өөр өөр боломжийг олгодог тул андуурч болохгүй өөр зүйл юм.

2018 оны 7-р сарын 4, Лхагва гараг

Багц ба олон багцын ялгааг Википедиа дээр маш сайн дүрсэлсэн байдаг. Харцгаая.

Таны харж байгаагаар "ижил олонлогт хоёр ижил элемент байх боломжгүй" боловч хэрэв олонлогт ижил элементүүд байгаа бол ийм олонлогийг "олон олонлог" гэж нэрлэдэг. Ухаантай хүмүүс ийм утгагүй логикийг хэзээ ч ойлгохгүй. Энэ бол "бүрэн" гэдэг үгнээс оюун ухаангүй ярьдаг тоть, сургасан сармагчингийн түвшин юм. Математикчид энгийн сургагч багшийн үүрэг гүйцэтгэж, утгагүй санаагаа бидэнд номлодог.

Эрт урьд цагт гүүрийг барьсан инженерүүд гүүрний туршилт хийж байхдаа гүүрэн доор завинд сууж байжээ. Хэрэв гүүр нурсан бол дунд зэргийн инженер өөрийн бүтээлийн нуранги дор нас баржээ. Гүүр ачааллыг даах чадвартай бол авъяаслаг инженер өөр гүүрүүдийг барьсан.

Математикчид “намайг бод, би гэртээ байна” гэх, эс тэгвээс “математик хийсвэр ойлголтуудыг судалдаг” гэсэн хэллэгийн ард яаж нуугдаж байсан ч тэдгээрийг бодит байдалтай салшгүй холбодог хүйн ​​зангилаа байдаг. Энэ хүйн ​​бол мөнгө. Математик олонлогын онолыг математикчдад өөрсдөө хэрэгжүүлцгээе.

Бид математикийн хичээлийг маш сайн сурсан, одоо цалингаа өгөөд кассанд сууж байна. Тэгэхээр нэг математикч мөнгөө авахаар манайд ирдэг. Бид түүнд бүх дүнг тоолж, өөр өөр овоолго хэлбэрээр ширээн дээр тавьж, ижил мөнгөн дэвсгэртийг оруулав. Дараа нь бид овоо бүрээс нэг дэвсгэрт авч, математикчдаа түүний "математикийн цалин" -ыг өгнө. Ижил элементгүй олонлог нь ижил элементтэй олонлогтой тэнцүү биш гэдгийг нотлох үед л үлдсэн үнэт цаасыг хүлээн авах болно гэдгийг математикчд тайлбарлая. Эндээс л зугаа цэнгэл эхэлдэг.

Юуны өмнө, депутатуудын логик ажиллах болно: "Үүнийг бусдад хэрэглэж болно, гэхдээ надад биш!" Дараа нь тэд ижил мөнгөн дэвсгэртүүд өөр өөр үнэт цаасны дугаартай байдаг тул тэдгээрийг ижил элемент гэж үзэх боломжгүй гэж биднийг тайвшруулж эхэлнэ. За, цалингаа зоосоор тоолъё - зоосон дээр ямар ч тоо байхгүй. Энд математикч физикийг сандарч санаж эхэлнэ: өөр өөр зоосон мөнгө дээр байдаг өөр өөр тоо хэмжээЗоос бүрийн шороо, талст бүтэц, атомын зохион байгуулалт нь өвөрмөц...

Одоо надад хамгийн их байна сонирхолтой асуулт: олон олонлогийн элементүүд олонлогийн элементүүд болон эсрэгээр хувирах шугам хаана байх вэ? Ийм шугам байхгүй - бүх зүйлийг бөө нар шийддэг, шинжлэх ухаан энд хэвтэхэд ойрхон ч биш юм.

Энд хар. Бид сонгодог хөлбөмбөгийн цэнгэлдэхүүдижил талбайтай. Талбайн талбайнууд ижил байна - энэ нь бид олон багцтай гэсэн үг юм. Гэхдээ эдгээр ижил цэнгэлдэх хүрээлэнгүүдийн нэрийг харвал нэр нь өөр учраас олон гарч ирнэ. Таны харж байгаагаар ижил элементүүдийн багц нь олонлог ба олон багц юм. Аль нь зөв бэ? Тэгээд энд математикч-бөө-хурц хүн ханцуйнаасаа бүрээ гаргаж ирээд багц эсвэл олон багцын тухай ярьж эхлэв. Ямар ч байсан тэр бидний зөв гэдэгт итгүүлэх болно.

Орчин үеийн бөө нар олонлогийн онолыг бодит байдалтай уялдуулан хэрхэн ажилладагийг ойлгохын тулд нэг олонлогийн элементүүд нөгөө олонлогийн элементүүдээс юугаараа ялгаатай вэ гэсэн нэг асуултад хариулахад хангалттай. Би та нарт "нэг бүхэл бүтэн биш гэж төсөөлж болохуйц" эсвэл "ганц бүхэлдээ төсөөлшгүй" зүйлгүйгээр харуулах болно.

2018 оны 3-р сарын 18, Ням гараг

Тооны цифрүүдийн нийлбэр гэдэг нь математикт огт хамааралгүй бөөгийн хэнгэрэгтэй бүжиг юм. Тийм ээ, математикийн хичээл дээр бид тооны цифрүүдийн нийлбэрийг олж, түүнийгээ ашиглахыг заадаг, гэхдээ тэд бөө учраас үр хойчдоо ур чадвар, мэргэн ухааныг зааж сургах, эс бөгөөс бөө нар зүгээр л үхэх болно.

Танд нотлох баримт хэрэгтэй байна уу? Википедиа нээгээд "Тооны цифрүүдийн нийлбэр" гэсэн хуудсыг хайж олоод үзээрэй. Тэр байхгүй. Аливаа тооны цифрүүдийн нийлбэрийг олох томьёо математикт байдаггүй. Эцсийн эцэст тоо бол бидний тоо бичдэг график тэмдэг бөгөөд математикийн хэлээр даалгавар нь иймэрхүү сонсогддог: "Аливаа тоог илэрхийлэх график тэмдгийн нийлбэрийг ол." Математикчид энэ асуудлыг шийдэж чадахгүй ч бөө нар амархан шийдэж чадна.

Өгөгдсөн тооны цифрүүдийн нийлбэрийг олохын тулд юу хийж, яаж хийхийг олж мэдье. Ингээд 12345 тоотой болцгооё. Энэ тооны цифрүүдийн нийлбэрийг олохын тулд юу хийх хэрэгтэй вэ? Бүх алхамуудыг дарааллаар нь авч үзье.

1. Цаасан дээр тоог бич. Бид юу хийсэн бэ? Бид энэ тоог график тооны тэмдэг болгон хөрвүүлсэн. Энэ бол математикийн үйлдэл биш юм.

2. Үүссэн нэг зургийг хэд хэдэн зураг болгон хайчилж, бие даасан тоонуудыг агуулна. Зургийг тайрах нь математикийн үйлдэл биш юм.

3. График тэмдэгтүүдийг тоо болгон хувиргах. Энэ бол математикийн үйлдэл биш юм.

4. Үүссэн тоонуудыг нэмнэ. Одоо энэ бол математик.

12345 тооны цифрүүдийн нийлбэр нь 15. Математикчдын хэрэглэдэг бөө нараас авсан “зүсэх, оёх дамжаа” юм. Гэхдээ энэ нь бүгд биш юм.

Математикийн үүднээс авч үзвэл ямар тооны системд тоо бичих нь хамаагүй. Тэгэхээр, in өөр өөр системүүдТооцооллын хувьд ижил тооны цифрүүдийн нийлбэр өөр байх болно. Математикийн хувьд тооны системийг тухайн тооны баруун талд байрлах доод тэмдэгтээр заадаг. ХАМТ их тоо 12345 Би толгойгоо хуурмааргүй байна, тухай нийтлэлээс 26 дугаарыг харцгаая. Энэ тоог хоёртын, наймтын, аравтын, арван зургаатын тооллын системд бичье. Бид алхам бүрийг микроскопоор харахгүй. Үр дүнг харцгаая.

Таны харж байгаагаар янз бүрийн тооны системд ижил тооны цифрүүдийн нийлбэр өөр өөр байдаг. Энэ үр дүн нь математиктай ямар ч холбоогүй юм. Хэрэв та тэгш өнцөгтийн талбайг метр, сантиметрээр тодорхойлсон бол огт өөр үр дүн гарахтай адил юм.

Тэг нь бүх тооны системд адилхан харагддаг бөгөөд цифрүүдийн нийлбэр байдаггүй. Энэ бол үүнийг батлах өөр нэг үндэслэл юм. Математикчдад зориулсан асуулт: математикт тоо биш зүйлийг яаж тодорхойлдог вэ? Математикчдын хувьд тооноос өөр юу ч байхгүй гэж үү? Би үүнийг бөө нарт зөвшөөрч болох ч эрдэмтдэд зөвшөөрөөгүй. Бодит байдал зөвхөн тоон дээр тогтдоггүй.

Хүлээн авсан үр дүнг тоон систем нь тоонуудын хэмжлийн нэгж гэдгийг нотлох баримт гэж үзэх ёстой. Эцсийн эцэст бид өөр өөр хэмжүүр бүхий тоонуудыг харьцуулж болохгүй. Хэрэв ижил хэмжигдэхүүнийг өөр өөр хэмжих нэгжүүдтэй ижил үйлдэл хийхэд хүргэдэг өөр өөр үр дүнТэднийг харьцуулсны дараа математиктай ямар ч холбоогүй гэсэн үг.

Жинхэнэ математик гэж юу вэ? Энэ нь математикийн үйлдлийн үр дүн нь тоон хэмжээ, ашигласан хэмжүүрийн нэгж, энэ үйлдлийг хэн гүйцэтгэж байгаагаас хамаарахгүй байх үед юм.

Хаалган дээр гарын үсэг зурна уу Тэр хаалгыг онгойлгоод:

Өө! Энэ эмэгтэйчүүдийн бие засах газар биш гэж үү?
- Залуу эмэгтэй! Энэ бол сүнснүүдийн тэнгэрт өргөмжлөгдөх үеийн ариун байдлыг судлах лаборатори юм! Дээрээс нь гал болон дээш сум. Өөр ямар бие засах газар вэ?

Эмэгтэй... Дээд талын гэрэлт цагираг, доош сум нь эрэгтэй.

Хэрэв иймэрхүү зүйл таны нүдний өмнө өдөрт хэд хэдэн удаа анивчдаг бол дизайн урлаг,

Дараа нь та машиндаа гэнэт хачин дүрсийг олж хараад гайхах зүйл алга.

Би хувьдаа баас хийж буй хүнд хасах дөрвөн градусыг харахыг хичээдэг (нэг зураг) (хэд хэдэн зургийн найрлага: хасах тэмдэг, дөрөв, градусын тэмдэглэгээ). Би энэ охиныг физик мэдэхгүй тэнэг гэж бодохгүй байна. Тэр зүгээр л график дүрсийг мэдрэх хүчтэй хэвшмэл ойлголттой. Үүнийг математикчид бидэнд байнга заадаг. Энд нэг жишээ байна.

1А нь "хасах дөрвөн градус" эсвэл "нэг а" биш юм. Энэ нь "баасан хүн" буюу арван зургаатын тооллын "хорин зургаа" гэсэн тоо юм. Энэ тооны системд байнга ажилладаг хүмүүс тоо, үсгийг нэг график тэмдэг болгон автоматаар хүлээн авдаг.