Таны хувийн нууцыг хадгалах нь бидний хувьд чухал юм. Энэ шалтгааны улмаас бид таны мэдээллийг хэрхэн ашиглах, хадгалах талаар тодорхойлсон Нууцлалын бодлогыг боловсруулсан. Манай нууцлалын практикийг хянаж үзээд асуух зүйл байвал бидэнд мэдэгдэнэ үү.

Хувийн мэдээллийг цуглуулах, ашиглах

Хувийн мэдээлэл гэдэг нь танихад ашиглаж болох өгөгдлийг хэлнэ тодорхой хүнэсвэл түүнтэй холбоотой.

Та бидэнтэй холбоо барихдаа хүссэн үедээ хувийн мэдээллээ өгөхийг шаардаж болно.

Бидний цуглуулж болох хувийн мэдээллийн төрлүүд болон эдгээр мэдээллийг хэрхэн ашиглаж болох зарим жишээг доор харуулав.

Бид ямар хувийн мэдээллийг цуглуулдаг вэ:

Таныг сайт дээр өргөдөл гаргах үед бид таны нэр, утасны дугаар, хаяг зэрэг янз бүрийн мэдээллийг цуглуулж болно имэйлгэх мэт.

Бид таны хувийн мэдээллийг хэрхэн ашигладаг вэ:

Манайх цуглуулсан хувийн мэдээлэлБид тантай холбоо барьж, өвөрмөц санал, урамшуулал болон бусад арга хэмжээ, удахгүй болох арга хэмжээний талаар танд мэдээлэх боломжийг олгодог.
Бид үе үе таны хувийн мэдээллийг ашиглан чухал мэдэгдэл, харилцаа холбоог илгээдэг.
Мөн бид үзүүлж буй үйлчилгээгээ сайжруулах, танд үйлчилгээнийхээ талаар зөвлөмж өгөх зорилгоор аудит хийх, мэдээллийн дүн шинжилгээ хийх, төрөл бүрийн судалгаа хийх зэрэг хувийн мэдээллийг дотоод зорилгоор ашиглаж болно.
Хэрэв та шагналын сугалаа, уралдаан эсвэл үүнтэй төстэй сурталчилгаанд оролцсон бол бид таны өгсөн мэдээллийг ийм хөтөлбөрийг удирдахад ашиглаж болно.

Гуравдагч этгээдэд мэдээлэл өгөх

Бид танаас хүлээн авсан мэдээллийг гуравдагч этгээдэд задруулахгүй.

Үл хамаарах зүйл:

Шаардлагатай гэж үзвэл - хуульд заасны дагуу шүүх ажиллагаа, шүүх ажиллагаа болон/эсвэл олон нийтийн хүсэлт, хүсэлтийг үндэслэн төрийн байгууллагуудОХУ-ын нутаг дэвсгэр дээр - хувийн мэдээллээ задруулах. Аюулгүй байдал, хууль сахиулах болон бусад олон нийтийн ач холбогдолтой зорилгоор ийм мэдээлэл шаардлагатай эсвэл тохиромжтой гэж үзвэл бид таны тухай мэдээллийг задруулах боломжтой.
Дахин зохион байгуулалтад орох, нэгдэх, худалдах тохиолдолд бид цуглуулсан хувийн мэдээллээ холбогдох өв залгамжлагч гуравдагч этгээдэд шилжүүлж болно.

Хувийн мэдээллийг хамгаалах

Бид таны хувийн мэдээллийг алдах, хулгайлах, зүй бусаар ашиглах, зөвшөөрөлгүй нэвтрэх, задруулах, өөрчлөх, устгахаас хамгаалахын тулд захиргааны, техникийн болон биет байдлын зэрэг урьдчилан сэргийлэх арга хэмжээг авдаг.

Компанийн түвшинд таны хувийн нууцыг хүндэтгэх

Таны хувийн мэдээллийг найдвартай байлгахын тулд бид нууцлал, аюулгүй байдлын стандартыг ажилтнууддаа мэдээлж, нууцлалын практикийг чанд мөрддөг.

Энэ нийтлэлд бид олохын тулд бүх төрлийн асуудлыг шинжлэх болно

Санаж үзье деривативын геометрийн утга: хэрэв тухайн цэг дээрх функцын графикт шүргэгч татвал шүргэгчийн налуугийн коэффициент (тэнхлэгийн шүргэгч ба эерэг чиглэлийн хоорондох өнцгийн тангенстай тэнцүү) функцийн деривативтай тэнцүү байна. цэг дээр.

Координаттай шүргэгч дээр дурын цэгийг авч үзье.

Мөн тэгш өнцөгт гурвалжинг авч үзье:

Энэ гурвалжинд

Эндээс

Энэ нь тухайн цэг дээрх функцийн графикт татсан шүргэгчийн тэгшитгэл юм.

Шүргэгчийн тэгшитгэлийг бичихийн тулд бид зөвхөн функцийн тэгшитгэл болон шүргэгч зурсан цэгийг мэдэх хэрэгтэй. Дараа нь бид олж болно.

Шүргэх тэгшитгэлийн бодлого гурван үндсэн төрөл байдаг.

1. Холбоо барих цэгийг өгсөн

2. Шүргэгчийн налуугийн коэффициент буюу тухайн цэг дээрх функцийн деривативын утгыг өгөв.

3. Шүргэх цэг биш харин шүргэгч татагдах цэгийн координатууд өгөгдсөн.

Даалгаврын төрөл бүрийг авч үзье.

1. Функцийн графикт шүргэгчийн тэгшитгэлийг бич цэг дээр .

б) цэг дээрх деривативын утгыг ол. Эхлээд функцийн деривативыг олъё

Олдсон утгыг шүргэгч тэгшитгэлд орлъё.

Тэгшитгэлийн баруун талд байгаа хаалтуудыг нээцгээе. Бид авах:

Хариулт: .

2. Функцууд графикт шүргэгч байх цэгүүдийн абсциссыг ол x тэнхлэгтэй параллель.

Хэрэв шүргэгч нь x тэнхлэгтэй параллель байвал шүргэгч ба тэнхлэгийн эерэг чиглэлийн хоорондох өнцөг тэг байх тул шүргэгч өнцгийн тангенс тэг болно. Энэ нь функцийн деривативын утга гэсэн үг холбоо барих цэгүүдэд тэг байна.

a) Функцийн деривативыг ол .

б) Деривативыг тэгтэй тэнцүүлж, тангенс нь тэнхлэгтэй параллель байх утгуудыг олцгооё.

Хүчин зүйл бүрийг тэгтэй тэнцүүлснээр бид дараахь зүйлийг авна.

Хариулт: 0;3;5

3. Функцийн графикт шүргэгчийн тэгшитгэлийг бич , зэрэгцээ шууд .

Шүргэх нь шулуунтай параллель байна. Энэ шугамын налуу нь -1 байна. Шүргэх нь энэ шулуунтай параллель байх тул шүргэгчийн налуу нь мөн -1 байна. Тэр нь шүргэгчийн налууг бид мэднэ, улмаар, шүргэлтийн цэг дэх дериватив утга.

Энэ бол шүргэгч тэгшитгэлийг олох хоёр дахь төрлийн бодлого юм.

Тиймээс бидэнд шүргэлтийн цэг дээрх деривативын функц ба утгыг өгсөн болно.

a) Функцийн дериватив -1-тэй тэнцүү байх цэгүүдийг ол.

Эхлээд дериватив тэгшитгэлийг олъё.

Деривативыг -1 тоотой тэнцүүлье.

Цэг дэх функцийн утгыг олъё.

(нөхцөлөөр)

б) цэг дээрх функцийн графикт шүргэгчийн тэгшитгэлийг ол.

Цэг дэх функцийн утгыг олъё.

(нөхцөлөөр).

Эдгээр утгыг шүргэгч тэгшитгэлд орлъё:

Хариулт:

4. Муруйн шүргэгчийн тэгшитгэлийг бич , цэгээр дамжин өнгөрөх

Эхлээд цэг нь шүргэгч цэг мөн эсэхийг шалгая. Хэрэв цэг нь шүргэгч цэг бол энэ нь функцийн графикт хамаарах бөгөөд координат нь функцийн тэгшитгэлийг хангасан байх ёстой. Функцийн тэгшитгэлд цэгийн координатыг орлуулъя.

Гарчиг="1sqrt(8-3^2)">. Мы получили под корнем !} сөрөг тоо, тэгш байдал нь үнэн биш, цэг нь функцийн графикт хамаарахгүй ба холбоо барих цэг биш юм.

Энэ бол шүргэгч тэгшитгэлийг олох сүүлчийн төрлийн бодлого юм. Юуны өмнө шүргэгч цэгийн абсциссыг олох хэрэгтэй.

Үнэ цэнийг нь олъё.

Холбоо барих цэг байцгаая. Уг цэг нь функцийн графикт шүргэхэд хамаарна. Хэрэв бид энэ цэгийн координатыг шүргэгч тэгшитгэлд орлуулбал зөв тэгшитгэлийг авна.

Тухайн цэг дэх функцийн утга нь .

Тухайн цэг дээрх функцийн деривативын утгыг олъё.

Эхлээд функцийн деривативыг олъё. Энэ .

Нэг цэг дэх дериватив нь тэнцүү байна .

Шүргэдэг тэгшитгэлийн илэрхийллүүдийг орлуулъя. Бид тэгшитгэлийг авна:

Энэ тэгшитгэлийг шийдье.

Бутархайн хүртэгч ба хуваагчийг 2-оор бууруул.

Тэгшитгэлийн баруун талыг багасгая нийтлэг хуваагч. Бид авах:

Бутархайн тоог хялбарчилж, хоёр талыг үржүүлье - энэ илэрхийлэл нь тэгээс их байна.

Бид тэгшитгэлийг авдаг

Үүнийг шийдье. Үүнийг хийхийн тулд хоёр хэсгийг дөрвөлжин болгоод систем рүү шилжье.

Гарчиг="delim(lbrace)(матриц(2)(1)((64-48(x_0)+9(x_0)^2=8-(x_0)^2) (8-3x_0>=0 ))))( )">!}

Эхний тэгшитгэлийг шийдье.

Шийдье квадрат тэгшитгэл, бид авдаг

Хоёрдахь үндэс нь title="8-3x_0>=0) нөхцөлийг хангахгүй байна">, следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна .!}

Цэг дэх муруйн шүргэгчийн тэгшитгэлийг бичье. Үүнийг хийхийн тулд утгыг тэгшитгэлд орлуулна уу -Бид аль хэдийн бичлэг хийсэн.

Хариулт:
.

Функцийн графикт шүргэгчийн тэгшитгэл

П.Романов, Т.Романова,
Магнитогорск,
Челябинск муж

Функцийн графикт шүргэгчийн тэгшитгэл

Нийтлэлийг ITAKA+ зочид буудлын цогцолборын дэмжлэгтэйгээр нийтлэв. Северодвинск усан онгоц үйлдвэрлэгч хотод байх үед та түр зуурын орон сууц олох асуудалтай тулгарахгүй. , вэбсайт дээр зочид буудлын цогцолбор“ITHAKA+” http://itakaplus.ru сайтаас та өдөр бүр төлбөрөө төлөөд хотод ямар ч хугацаанд хялбар, хурдан байр түрээслэх боломжтой.

Асаалттай орчин үеийн үе шатболовсролын хөгжил, түүний гол зорилтуудын нэг бол бүтээлч сэтгэлгээтэй хувь хүнийг төлөвшүүлэх явдал юм. Оюутнуудын бүтээлч чадварыг зөвхөн судалгааны үндсэн ажилд системтэй оролцуулж байж хөгжүүлэх боломжтой. Оюутнуудад бүтээлч чадвар, чадвар, авьяас чадвараа ашиглах үндэс суурь нь бүрэн мэдлэг, ур чадвар юм. Үүнтэй холбогдуулан сургуулийн математикийн хичээлийн сэдэв бүрийн суурь мэдлэг, ур чадварын тогтолцоог бүрдүүлэх асуудал багагүй чухал юм. Үүний зэрэгцээ, бүрэн ур чадвар нь бие даасан даалгаврын бус харин сайтар бодож боловсруулсан системийн дидактик зорилго байх ёстой. Өргөн утгаараа системийг бүрэн бүтэн, тогтвортой бүтэцтэй, харилцан уялдаатай харилцан үйлчлэлийн элементүүдийн цогц гэж ойлгодог.

Функцийн графикт шүргэгчийн тэгшитгэлийг хэрхэн бичихийг оюутнуудад заах аргачлалыг авч үзье. Үндсэндээ шүргэгч тэгшитгэлийг олох бүх асуудал нь тодорхой шаардлагыг хангасан шугамуудын багцаас (багц, гэр бүл) сонгох хэрэгцээ шаардлагаас үүдэлтэй байдаг - тэдгээр нь тодорхой функцийн графикт шүргэгч байдаг. Энэ тохиолдолд сонголт хийх мөрүүдийн багцыг хоёр аргаар тодорхойлж болно.

a) xOy хавтгай дээр байрлах цэг (шугамны төв харандаа);
б) өнцгийн коэффициент (шулуун шугамын зэрэгцээ цацраг).

Үүнтэй холбогдуулан системийн элементүүдийг тусгаарлахын тулд "Функцийн графикт шүргэгч" сэдвийг судлахдаа бид хоёр төрлийн асуудлыг тодорхойлсон.

1) өнгөрч буй цэгээр өгөгдсөн шүргэгчтэй холбоотой асуудлууд;
2) түүний налуугаар өгөгдсөн шүргэгч дээрх бодлого.

Шүргэх асуудлыг шийдвэрлэх сургалтыг A.G-ийн санал болгосон алгоритмыг ашиглан явуулав. Мордкович. Түүний үндсэн ялгааӨмнө нь мэдэгдэж байгаа зүйл бол шүргэгч цэгийн абсциссыг a үсгээр (х0-ийн оронд) тэмдэглэдэг тул шүргэгчийн тэгшитгэл нь хэлбэрийг авдаг.

y = f(a) + f "(a)(x – a)

(y = f(x 0) + f "(x 0)(x – x 0)-тай харьцуулна уу). Энэхүү арга зүйн арга нь бидний бодлоор оюутнуудад одоогийн цэгийн координат хаана бичигдсэнийг хурдан бөгөөд хялбар ойлгох боломжийг олгодог. ерөнхий шүргэгч тэгшитгэл, холбоо барих цэгүүд хаана байна.

y = f(x) функцийн графикт шүргэгч тэгшитгэл зохиох алгоритм

1. Шүргэх цэгийн абсциссыг a үсгээр тэмдэглэ.
2. f(a)-г ол.
3. f "(x) ба f "(a) -г ол.
4. Олдсон тоонуудыг a, f(a), f "(a) y = f(a) = f "(a)(x – a) шүргэгч ерөнхий тэгшитгэлд орлуулна.

Энэхүү алгоритмыг оюутнууд үйлдлүүдийг бие даан тодорхойлох, хэрэгжүүлэх дарааллыг үндэслэн эмхэтгэж болно.

Алгоритм ашиглан гол асуудал бүрийн дараалсан шийдэл нь функцийн графикт шүргэгчийн тэгшитгэлийг үе шаттайгаар бичих чадварыг хөгжүүлэх боломжийг олгодог бөгөөд алгоритмын алхамууд нь үйлдлүүдийн лавлах цэг болдог болохыг практик харуулж байна. . Энэ хандлага нь П.Я-ын боловсруулсан сэтгэцийн үйлдлийг аажмаар бий болгох онолд нийцдэг. Галперин ба Н.Ф. Талызина.

Эхний төрлийн ажлуудад хоёр үндсэн ажлыг тодорхойлсон.

шүргэгч нь муруй дээр хэвтэж буй цэгээр дамждаг (1-р асуудал);
шүргэгч нь муруй дээр хэвтээгүй цэгээр дамжин өнгөрдөг (2-р асуудал).

Даалгавар 1. Функцийн графикт шүргэгчийн тэгшитгэлийг бич М(3; – 2) цэг дээр.

Шийдэл. M(3; – 2) цэг нь шүргэгч цэг юм

1. a = 3 – шүргэгч цэгийн абсцисса.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) = x 2 – 4, f "(3) = 5.
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – шүргэгч тэгшитгэл.

Бодлого 2. М(– 3; 6) цэгийг дайран өнгөрөх y = – x 2 – 4x + 2 функцийн графикт бүх шүргэгчийн тэгшитгэлийг бич.

Шийдэл. M(– 3; 6) цэг нь шүргэгч цэг биш, учир нь f(– 3) 6 (Зураг 2).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) = – 2x – 4, f "(a) = – 2a – 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – шүргэгч тэгшитгэл.

Шүргэх нь M(– 3; 6) цэгээр дамждаг тул координатууд нь шүргэгч тэгшитгэлийг хангана.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0^ a 1 = – 4, a 2 = – 2.

Хэрэв a = – 4 бол шүргэгч тэгшитгэл нь y = 4x + 18 болно.

Хэрэв a = – 2 бол шүргэгч тэгшитгэл нь y = 6 хэлбэртэй байна.

Хоёрдахь төрлийн хувьд гол ажлууд нь дараах байдалтай байна.

шүргэгч нь зарим шулуунтай параллель байна (3-р асуудал);
шүргэгч нь өгөгдсөн шугам руу тодорхой өнцгөөр дамждаг (бодол 4).

Бодлого 3. y = 9x + 1 шулуунтай параллель y = x 3 – 3x 2 + 3 функцийн графикт бүх шүргэгчийн тэгшитгэлийг бич.

Шийдэл.

1. a – шүргэгч цэгийн абсцисса.
2. f(a) = a 3 – 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 – 6x, f "(a) = 3a 2 – 6a.

Гэхдээ нөгөө талаас f "(a) = 9 (параллелизм нөхцөл). Энэ нь 3a 2 – 6a = 9 тэгшитгэлийг шийдэх шаардлагатай гэсэн үг юм. Үүний үндэс нь a = – 1, a = 3 (Зураг 3) ).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9(x + 1);

y = 9x + 8 – шүргэгч тэгшитгэл;

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x – 3);

y = 9x – 24 – шүргэгч тэгшитгэл.

Бодлого 4. y = 0 шулууныг 45° өнцгөөр дамжуулж y = 0.5x 2 – 3x + 1 функцийн графиктай шүргэгчийн тэгшитгэлийг бич (Зураг 4).

Шийдэл. f "(a) = tan 45° нөхцөлөөс бид a: a – 3 = 1-ийг олно^a = 4.

1. a = 4 – шүргэгч цэгийн абсцисса.
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3. f "(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1(x – 4).

y = x – 7 – шүргэгч тэгшитгэл.

Бусад аливаа асуудлын шийдэл нь нэг буюу хэд хэдэн гол асуудлыг шийдэхэд ирдэг гэдгийг харуулахад хялбар байдаг. Дараах хоёр асуудлыг жишээ болгон авч үзье.

1. Парабол y = 2x 2 – 5x – 2 шүргэгч тэгш өнцөгт огтлолцох ба тэдгээрийн аль нэг нь абсцисса 3-тай цэгт параболд хүрч байвал y = 2x 2 – 5x – 2 параболын шүргэгчийн тэгшитгэлийг бич (Зураг 5).

Шийдэл. Шүргэх цэгийн абсцисс өгөгдсөн тул шийдлийн эхний хэсгийг 1-р гол асуудал болгон бууруулна.

1. a = 3 – зөв өнцгийн аль нэг талын шүргэлтийн цэгийн абсцисса.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) = 4x – 5, f "(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – эхний шүргэгчийн тэгшитгэл.

А – эхний шүргэгчийн налуу өнцөг. Шүргэгч нь перпендикуляр тул хоёр дахь шүргэгчийн налуу өнцөг болно. Эхний шүргэгчийн y = 7x – 20 тэгшитгэлээс бид tg байна a = 7. Олъё

Энэ нь хоёр дахь шүргэгчийн налуу нь тэнцүү байна гэсэн үг юм.

Цаашдын шийдэл нь 3-р гол ажил дээр ирдэг.

B(c; f(c))-ийг хоёр дахь шугамын шүргэлтийн цэг гэж үзье

1. – шүргэлтийн хоёр дахь цэгийн абсцисса.
2.
3.
4.
– хоёр дахь шүргэгчийн тэгшитгэл.

Анхаарна уу. Оюутнууд k 1 k 2 = – 1 перпендикуляр шулуунуудын коэффициентүүдийн харьцааг мэддэг бол шүргэгчийн өнцгийн коэффициентийг илүү хялбар олох боломжтой.

2. Функцийн графикт бүх нийтлэг шүргэгчийн тэгшитгэлийг бич

Шийдэл. Даалгавар нь нийтлэг шүргэгчийн шүргэгч цэгүүдийн абсциссыг олох, өөрөөр хэлбэл 1-р гол асуудлыг ерөнхий хэлбэрээр шийдэж, тэгшитгэлийн системийг зохиож, дараа нь түүнийг шийдвэрлэх явдал юм (Зураг 6).

1. y = x 2 + x + 1 функцийн график дээр байрлах шүргэгч цэгийн абсциссыг a гэж үзье.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a 2 .

1. Функцийн график дээр байрлах шүргэгч цэгийн абсциссыг c гэж үзье
2.
3. f "(в) = в.
4.

Шүргэгч нь ерөнхий байдаг тул

Тэгэхээр y = x + 1 ба y = – 3x – 3 нь нийтлэг шүргэгч болно.

Судалгааны тодорхой ур чадвар шаарддаг (шинжилгээ хийх, харьцуулах, нэгтгэх, таамаглал дэвшүүлэх чадвар гэх мэт) илүү төвөгтэй асуудлыг шийдвэрлэхэд оюутнуудыг үндсэн асуудлын төрлийг бие даан танихад бэлтгэхэд анхаарч үзэх даалгавруудын гол зорилго юм. Ийм даалгаварт гол үүрэг нь бүрэлдэхүүн хэсэг болгон орсон аливаа ажлыг багтаадаг. Түүний шүргэгчийн бүлгээс функцийг олох асуудлыг (1-р бодлоготой урвуу) жишээ болгон авч үзье.

3. y = x 2 + bx + c функцийн графикт y = x ба y = – 2x шүргэгч b ба c шулуунууд юуны хувьд вэ?

Шийдэл.

y = x 2 + bx + c параболын y = x шулуун шугамын шүргэлтийн цэгийн абсцисса t гэж үзье; p нь y = x 2 + bx + c параболын y = – 2x шулуун шугамын шүргэлтийн цэгийн абсцисса юм. Тэгвэл y = x шүргэгч тэгшитгэл нь y = (2t + b)x + c – t 2 хэлбэртэй, y = – 2x шүргэгч тэгшитгэл нь y = (2p + b)x + c – p 2 хэлбэртэй болно. .

Тэгшитгэлийн системийг зохиож шийдье

Хариулт:

Бие даан шийдвэрлэх асуудал

1. Графикийн у = x + 3 шулуунтай огтлолцох цэгүүдэд у = 2х 2 – 4х + 3 функцийн графикт зурсан шүргэгчийн тэгшитгэлийг бич.

Хариулт: у = – 4х + 3, у = 6х – 9.5.

2. Х 0 = 1 абсциссатай графикийн цэг дээрх y = x 2 – ax функцийн графикт татсан шүргэгч M(2; 3) цэгээр ямар а утгуудаар дамжих вэ?

Хариулт: a = 0.5.

3. y = px – 5 шулуун шугам нь p-ийн ямар утгуудын хувьд y = 3x 2 – 4x – 2 муруйд хүрэх вэ?

Хариулт: p 1 = – 10, p 2 = 2.

4. y = 3x – x 3 функцийн графикийн бүх нийтлэг цэгүүд болон P(0; 16) цэгээр дамжуулан энэ графикт татсан шүргэгчийг ол.

Хариулт: A(2; – 2), B(– 4; 52).

5. y = x 2 + 6x + 10 парабол ба шулуун шугамын хоорондох хамгийн богино зайг ол.

Хариулт:

6. y = x 2 – x + 1 муруй дээр графикийн шүргэгч y – 3x + 1 = 0 шулуунтай параллель байх цэгийг ол.

Хариулт: M(2; 3).

7. y = x 2 + 2x – | функцийн графикт шүргэгчийн тэгшитгэлийг бич. 4x |, энэ нь хоёр цэг дээр хүрдэг. Зураг зурах.

Хариулт: y = 2x – 4.

8. y = 2x – 1 шулуун нь y = x 4 + 3x 2 + 2x муруйтай огтлолцохгүй гэдгийг батал. Тэдний хамгийн ойрын цэгүүдийн хоорондох зайг ол.

Хариулт:

9. y = x 2 парабол дээр х 1 = 1, x 2 = 3 абсциссатай хоёр цэгийг авсан. Эдгээр цэгүүдээр секант зурсан. Параболын аль цэгт шүргэгч нь секанттай параллель байх вэ? Секант ба шүргэгч тэгшитгэлийг бич.

Хариулт: y = 4x – 3 – секант тэгшитгэл; y = 4x – 4 – шүргэгч тэгшитгэл.

10. q өнцгийг ол 0 ба 1 абсцисс бүхий цэгүүдэд зурсан y = x 3 – 4x 2 + 3x + 1 функцийн графикийн шүргэгчийн хооронд.

Хариулт: q = 45°.

11. Функцийн графикт шүргэгч ямар цэгүүдэд Үхрийн тэнхлэгтэй 135° өнцөг үүсгэх вэ?

Хариулт: A(0; – 1), B(4; 3).

12. A(1; 8) цэг дээр муруй руу шүргэгч зурсан байна. Координатын тэнхлэгүүдийн хоорондох шүргэгч сегментийн уртыг ол.

Хариулт:

13. y = x 2 – x + 1, y = 2x 2 – x + 0.5 функцуудын графикт бүх нийтлэг шүргэгчийн тэгшитгэлийг бич.

Хариулт: y = – 3x ба y = x.

14. Функцийн графикийн шүргэгч хоорондын зайг ол x тэнхлэгтэй параллель.

Хариулт:

15. y = x 2 + 2x – 8 парабол х тэнхлэгийг ямар өнцгөөр огтолж байгааг тодорхойл.

Хариулт: q 1 = арктан 6, q 2 = арктан (– 6).

16. Функцийн график Энэ график тус бүрийн шүргэгч нь координатын эерэг хагас тэнхлэгүүдийг огтолж, тэдгээрээс тэнцүү хэсгүүдийг таслах бүх цэгүүдийг ол.

Хариулт: A(– 3; 11).

17. y = 2x + 7 шулуун ба y = x 2 – 1 парабол М ба N цэгүүдээр огтлолцоно. M ба N цэгт параболд шүргэгч шулуунуудын огтлолцох K цэгийг ол.

Хариулт: K(1; – 9).

18. b-ийн ямар утгуудын хувьд y = 9x + b шулуун нь y = x 3 – 3x + 15 функцийн графикт шүргэгч байх вэ?

Хариулт: – 1; 31.

19. y = kx – 10 шулуун шугам k-ийн ямар утгуудын хувьд зөвхөн нэгтэй байна нийтлэг цэг y = 2x 2 + 3x – 2 функцийн графиктай? Олдсон k утгуудын хувьд цэгийн координатыг тодорхойлно.

Хариулт: k 1 = – 5, A(– 2; 0); k 2 = 11, B(2; 12).

20. Абсцисса х 0 = 2 цэгийн y = bx 3 – 2x 2 – 4 функцийн графикт зурсан шүргэгч b-ийн ямар утгуудад M(1; 8) цэгээр дамжих вэ?

Хариулт: b = – 3.

21. Үхрийн тэнхлэг дээр оройтой парабол A(1; 2) ба B(2; 4) цэгүүдийг дайран өнгөрч буй шулуунд В цэгт хүрч байна. Параболын тэгшитгэлийг ол.

Хариулт:

22. k коэффициентийн ямар утгад y = x 2 + kx + 1 парабол Үхрийн тэнхлэгт хүрэх вэ?

Хариулт: k = d 2.

23. y = x + 2 шулуун ба y = 2x 2 + 4x – 3 муруйн хоорондох өнцгийг ол.

29. 45° өнцгөөр Ox тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй функцын графикт шүргэгч ба генераторуудын хоорондох зайг ол.

Хариулт:

30. y = 4x – 1 шулуунд шүргэгч y = x 2 + ax + b хэлбэрийн бүх параболын оройн цэгүүдийн байршлыг ол.

Хариулт: шулуун шугам y = 4x + 3.

Уран зохиол

1. Звавич Л.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина М.В. Алгебр ба шинжилгээний эхлэл: Сургуулийн сурагчид болон их, дээд сургуульд элсэгчдэд зориулсан 3600 асуудал. - М., Бөстард, 1999.
2. Мордкович А. Залуу багш нарт зориулсан семинар дөрөв. Сэдэв: Дериватив хэрэглээ. – М., “Математик”, No21/94.
3. Сэтгэцийн үйлдлүүдийг аажмаар өөртөө шингээх онолд суурилсан мэдлэг, ур чадварыг бүрдүүлэх.

Энэхүү нийтлэлд тодорхойлолт, деривативын геометрийн утгыг график тэмдэглэгээгээр нарийвчлан тайлбарласан болно. Шүргэгчийн шулууны тэгшитгэлийг жишээн дээр авч үзэж, 2-р эрэмбийн муруйн шүргэгчийн тэгшитгэлийг олно.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Тодорхойлолт 1

y = k x + b шулуун шугамын хазайлтын өнцгийг α өнцөг гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ нь х тэнхлэгийн эерэг чиглэлээс эерэг чиглэлд y = k x + b шулуун хүртэл хэмжигддэг.

Зураг дээр x чиглэлийг ногоон сум, ногоон нумаар, хазайлтын өнцгийг улаан нумаар зааж өгсөн болно. Цэнхэр шугам нь шулуун шугамыг хэлнэ.

Тодорхойлолт 2

y = k x + b шулуун шугамын налууг тоон коэффициент k гэнэ.

Өнцгийн коэффициент нь шулуун шугамын шүргэгчтэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл k = t g α байна.

Тэгийн шүргэгч нь 0-тэй тэнцүү тул шулуун шугамын хазайлтын өнцөг нь зөвхөн x орчим параллель, налуу нь тэгтэй тэнцүү байвал 0-тэй тэнцүү байна. Энэ нь тэгшитгэлийн хэлбэр нь y = b болно гэсэн үг юм.
Хэрэв y = k x + b шулуун шугамын хазайлтын өнцөг хурц байвал 0 нөхцөл хангагдсан болно.< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию t g α >0, мөн графикийн өсөлт ажиглагдаж байна.
Хэрэв α = π 2 бол шулууны байрлал х-тэй перпендикуляр байна. Тэгш байдлыг x = c-ээр тодорхойлсон бөгөөд c утга нь бодит тоо юм.
Хэрэв y = k x + b шулуун шугамын хазайлтын өнцөг мохоо байвал π 2 нөхцөлтэй тохирно.< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает сөрөг утга, мөн график буурч байна.

Тодорхойлолт 3

Секант гэдэг нь f (x) функцийн 2 цэгийг дайран өнгөрөх шугам юм. Өөрөөр хэлбэл, өгөгдсөн функцийн графикийн дурын хоёр цэгээр татсан шулуун шугамыг секант гэнэ.

Зураг дээр A B нь секант, f (x) нь хар муруй, α нь улаан нум бөгөөд энэ нь секантын налуу өнцгийг харуулж байна.

Шулуун шугамын өнцгийн коэффициент нь хазайлтын өнцгийн тангенстай тэнцүү байх үед тэгш өнцөгт гурвалжны A B C тангенсыг эсрэг талынх нь зэргэлдээх хэсгийн харьцаагаар олох нь тодорхой байна.

Тодорхойлолт 4

Бид маягтын секантыг олох томъёог авдаг.

k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A, энд А ба В цэгүүдийн абсцисса нь x A, x B ба f (x A), f (x) утгууд юм. B) эдгээр цэгүүдийн утгын функцууд.

Секантын өнцгийн коэффициентийг k = f (x B) - f (x A) x B - x A эсвэл k = f (x A) - f (x B) x A - x B тэгшитгэлийг ашиглан тодорхойлно. , мөн тэгшитгэлийг y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) гэж бичих ёстой.
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B) .

Секант нь графикийг нүдээр 3 хэсэгт хуваадаг: А цэгийн зүүн талд, А-аас В хүртэл, В-ийн баруун талд. Доорх зургаас харахад давхцаж байгаа гурван секант байгааг харуулж байна, өөрөөр хэлбэл тэдгээрийг тохируулагч ашиглан тохируулна. ижил төстэй тэгшитгэл.

Тодорхойлолтоор бол шулуун шугам ба түүний зүсэлт нь энэ тохиолдолд давхцаж байгаа нь тодорхой байна.

Секант нь өгөгдсөн функцийн графикийг олон удаа огтолж болно. Хэрэв секантын хувьд y = 0 хэлбэрийн тэгшитгэл байгаа бол синусоидтой огтлолцох цэгүүдийн тоо хязгааргүй болно.

Тодорхойлолт 5

x 0 цэг дэх f (x) функцийн графикт шүргэгч; f (x 0) нь өгөгдсөн х 0 цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугам; f (x 0), х 0-тэй ойролцоо олон x утгатай сегмент байгаа тохиолдолд.

Жишээ 1

Доорх жишээг нарийвчлан авч үзье. Тэгвэл y = x + 1 функцээр тодорхойлогдсон шулууныг координаттай (1; 2) цэг дээр у = 2 х шүргэгч гэж үзэх нь тодорхой байна. Тодорхой болгохын тулд (1; 2) ойролцоо утгатай графикуудыг авч үзэх шаардлагатай. y = 2 x функцийг хараар харуулсан бөгөөд цэнхэр шугам нь шүргэгч шугам, улаан цэг нь огтлолцох цэг юм.

y = 2 x нь y = x + 1 гэсэн шулуунтай нийлдэг нь ойлгомжтой.

Шүргэгчийг тодорхойлохын тулд B цэг нь А цэгт хязгааргүй ойртож байгаа тул бид A B-ийн шүргэгчийн зан төлөвийг авч үзэх хэрэгтэй.

Цэнхэр шугамаар заасан A B секант нь шүргэгчийн байрлал руу чиглэдэг бөгөөд α секантын налуу өнцөг нь шүргэгчийн налуу өнцөгт α x хандлагатай болж эхэлнэ.

Тодорхойлолт 6

А цэг дээрх y = f (x) функцийн графиктай шүргэгч нь B нь А руу чиглэх үед A B секантын хязгаарлах байрлал гэж тооцогддог, өөрөөр хэлбэл B → A.

Одоо цэг дээрх функцийн деривативын геометрийн утгыг авч үзье.

f (x) функцийн A B секантыг авч үзье, энд x 0, f (x 0) ба x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x), ∆ x координаттай A ба B нь байна. аргументийн өсөлт гэж тэмдэглэсэн. Одоо функц нь ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) хэлбэртэй болно. Тодорхой болгохын тулд зургийн жишээг өгье.

Үүссэн тэгш өнцөгт гурвалжинг авч үзье A B C. Бид шийдвэрлэхийн тулд шүргэгчийн тодорхойлолтыг ашигладаг, өөрөөр хэлбэл ∆ y ∆ x = t g α харьцааг олж авна. Шүргэгчийн тодорхойлолтоос харахад lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x байна. Цэг дэх деривативын дүрмийн дагуу бид x 0 цэг дэх f (x) деривативыг функцийн өсөлтийг аргументийн өсөлттэй харьцуулсан харьцааны хязгаар гэж нэрлэдэг бөгөөд энд ∆ x → 0 байна. , тэгвэл бид f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x гэж тэмдэглэнэ.

Эндээс f " (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x, энд k x-ийг шүргэгчийн налуу гэж тэмдэглэнэ.

Өөрөөр хэлбэл, бид f ' (x) нь x 0 цэгт байж болохыг олж мэдсэн бөгөөд шүргэх цэгийн функцийн өгөгдсөн графиктай шүргэгч нь x 0, f 0 (x 0) -тэй тэнцүү байх ба энд -ийн утга цэг дээрх шүргэгчийн налуу нь x 0 цэгийн деривативтай тэнцүү байна. Дараа нь бид k x = f "(x 0) болно.

Тухайн цэг дээрх функцийн деривативын геометрийн утга нь тухайн цэгт графикт шүргэгч байх тухай ойлголтыг өгдөгт оршино.

Хавтгай дээрх дурын шулуун шугамын тэгшитгэлийг бичихийн тулд түүний өнгөрч буй цэгтэй өнцгийн коэффициент байх шаардлагатай. Түүний тэмдэглэгээг огтлолцол дээр x 0 гэж авна.

x 0, f 0 (x 0) цэгийн y = f (x) функцын графикт шүргэгч тэгшитгэл нь y = f "(x 0) x - x 0 + f (x 0) хэлбэрийг авна.

Үүнийг юу гэж ойлгох вэ эцсийн үнэ цэнэүүсмэл f "(x 0) та шүргэгчийн байрлалыг тодорхойлж болно, өөрөөр хэлбэл lim x → x 0 + 0 f " (x) = ∞ ба lim x → x 0 - 0 f " (x) нөхцөлийн дагуу босоо байдлаар тодорхойлж болно. = ∞ эсвэл огт байхгүй lim x → x 0 + 0 f " (x) ≠ lim x → x 0 - 0 f " (x) .

Шүргэгчийн байрлал нь түүний өнцгийн коэффициентийн утгаас хамаарна k x = f "(x 0). o x тэнхлэгтэй параллель байх үед бид k k = 0, o y - k x = ∞ параллель байх үед, мөн хэлбэрийг олж авна. шүргэгч тэгшитгэл x = x 0 нь k x > 0 байх тусам өсөж, k x үед буурна< 0 .

Жишээ 2

(1; 3) координаттай цэгийн y = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 функцийн графикт шүргэгчийн тэгшитгэлийг зохиож, хазайлтын өнцгийг тодорхойлно уу.

Шийдэл

Нөхцөлөөр бид функц нь бүх бодит тоонуудын хувьд тодорхойлогддог. (1; 3) нөхцлөөр тодорхойлсон координаттай цэг нь шүргэлтийн цэг, тэгвэл x 0 = - 1, f (x 0) = - 3 болохыг бид олж мэдэв.

1 гэсэн утгатай цэгээс деривативыг олох шаардлагатай. Бид үүнийг ойлгодог

y " = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 " = = e x + 1 " + x 3 3 " - 6 - 3 3 x " - 17 - 3 3 " = e x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y " (x 0) = y " (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

Шүргэх цэг дэх f' (x) утга нь налуугийн шүргэгчтэй тэнцүү байх шүргэлтийн налуу юм.

Дараа нь k x = t g α x = y " (x 0) = 3 3

Эндээс α x = a r c t g 3 3 = π 6 байна

Хариулт:шүргэгч тэгшитгэл хэлбэрийг авна

y = f " (x 0) x - x 0 + f (x 0) y = 3 3 (x + 1) - 3 y = 3 3 x - 9 - 3 3

Тодорхой болгохын тулд бид график дүрслэлээр жишээ өгдөг.

Анхны функцийн графикт хар өнгийг ашигладаг. цэнхэр– шүргэгчийн дүрс, улаан цэг – шүргэх цэг. Баруун талын зураг нь томруулсан зургийг харуулж байна.

Жишээ 3

Өгөгдсөн функцийн графикт шүргэгч байгааг тодорхойл
y = 3 · x - 1 5 + 1 координаттай цэг дээр (1 ; 1) . Тэгшитгэл бичиж, налуу өнцгийг тодорхойлно уу.

Шийдэл

Нөхцөлөөр бид өгөгдсөн функцийн тодорхойлолтын мужийг бүх бодит тоонуудын олонлог гэж үзнэ.

Деривативыг олох руугаа явцгаая

y " = 3 x - 1 5 + 1 " = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

Хэрэв x 0 = 1 бол f' (x) нь тодорхойгүй боловч хязгаарыг lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 гэж бичнэ. · 1 + 0 = + ∞ ба lim x → 1 - 0 3 5 · 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 · 1 (- 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ гэсэн утгатай. (1; 1) цэг дэх оршихуйн босоо шүргэгч.

Хариулт:тэгшитгэл нь x = 1 хэлбэртэй байх ба налуугийн өнцөг нь π 2-тэй тэнцүү байна.

Тодорхой болгохын тулд үүнийг графикаар дүрсэлье.

Жишээ 4

y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2 функцийн график дээрх цэгүүдийг ол.

Шүргэгч байхгүй;
Тангенс нь x-тэй параллель байна;
Шүргэх нь y = 8 5 x + 4 шулуунтай параллель байна.

Шийдэл

Тодорхойлолтын хамрах хүрээг анхаарч үзэх хэрэгтэй. Нөхцөлөөр бид функц нь бүх бодит тоонуудын олонлог дээр тодорхойлогддог. Бид модулийг өргөжүүлж, системийг x ∈ - ∞ интервалаар шийддэг; 2 ба [- 2; + ∞). Бид үүнийг ойлгодог

y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)

Энэ нь функцийг ялгах шаардлагатай байна. Бидэнд тийм байна

y " = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 " , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 ", x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) , x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)

x = - 2 үед нэг талт хязгаар нь тухайн үед тэнцүү биш тул дериватив байхгүй болно.

lim x → - 2 - 0 y " (x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y "(x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

Бид функцийн утгыг х = - 2 цэг дээр тооцоолж, үүнийг олж авдаг

y (- 2) = 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 = - 2, өөрөөр хэлбэл цэг дээрх шүргэгч ( - 2; - 2) байхгүй болно.
Налуу тэг байх үед шүргэгч нь x-тэй параллель байна. Дараа нь k x = t g α x = f "(x 0). Өөрөөр хэлбэл, функцийн дериватив нь үүнийг тэг болгон хувиргах үед ийм x утгуудыг олох шаардлагатай. Өөрөөр хэлбэл, f ' утгууд. (x) нь шүргэгч нь x -тэй параллель байх шүргэлтийн цэгүүд болно.

Хэзээ x ∈ - ∞ ; - 2, дараа нь - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0, x ∈ (- 2; + ∞) -ийн хувьд бид 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 болно.

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 · 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2 ; +∞

Харгалзах функцийн утгыг тооцоол

y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 у 2 = у (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 у 3 = у (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 у 4 = у (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

Тиймээс - 5; 8 5, - 4; 4 3, 1; 8 5, 3; 4 3 нь функцийн графикийн шаардлагатай цэгүүд гэж тооцогддог.

Шийдлийн график дүрслэлийг харцгаая.

Хар шугам нь функцийн график, улаан цэгүүд нь шүргэгч цэгүүд юм.

Шулуун параллель байх үед өнцгийн коэффициентүүд тэнцүү байна. Дараа нь функцын график дээр налуу нь 8 5 утгатай тэнцүү байх цэгүүдийг хайх шаардлагатай. Үүнийг хийхийн тулд та y "(x) = 8 5 хэлбэрийн тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй. Дараа нь хэрэв x ∈ - ∞; - 2 бол бид - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 болно. 5, хэрэв x ∈ ( - 2 ; + ∞) бол 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 болно.

Дискриминант нь тэгээс бага тул эхний тэгшитгэл нь үндэсгүй. Үүнийг бичье

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0

Өөр нэг тэгшитгэл нь хоёр жинхэнэ үндэстэй

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 · (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2 ; +∞

Функцийн утгыг олох руу шилжье. Бид үүнийг ойлгодог

y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 у 2 = у (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

Утгатай оноо - 1; 4 15, 5; 8 3 нь y = 8 5 x + 4 шулуунтай шүргэгч параллель байх цэгүүд юм.

Хариулт:хар шугам – функцийн график, улаан шугам – у = 8 5 x + 4-ийн график, цэнхэр шугам – цэг дээрх шүргэгч - 1; 4 15, 5; 8 3.

Өгөгдсөн функцүүдийн хувьд хязгааргүй тооны шүргэгч байж болно.

Жишээ 5

y = - 2 x + 1 2 шулуун шугамд перпендикуляр байрлах y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3 функцийн боломжтой бүх шүргэгчийн тэгшитгэлийг бич.

Шийдэл

Шүргэх тэгшитгэлийг бүрдүүлэхийн тулд шугамын перпендикуляр байдлын нөхцөл дээр үндэслэн шүргэгч цэгийн коэффициент ба координатыг олох шаардлагатай. Тодорхойлолт нь дараах байдалтай байна: шулуун шугамд перпендикуляр байгаа өнцгийн коэффициентүүдийн үржвэр нь - 1-тэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл k x · k ⊥ = - 1 гэж бичнэ. Нөхцөлөөс харахад өнцгийн коэффициент нь шулуунд перпендикуляр байрлаж, k ⊥ = - 2-тэй тэнцүү бол k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2 байна.

Одоо та мэдрэгчтэй цэгүүдийн координатыг олох хэрэгтэй. Өгөгдсөн функцийн хувьд та x, дараа нь түүний утгыг олох хэрэгтэй. Цэг дэх деривативын геометрийн утгаас гэдгийг анхаарна уу
x 0 нь k x = y "(x 0) гэдгийг олж авна. Энэ тэгшитгэлээс бид холбоо барих цэгүүдийн x утгыг олно.

Бид үүнийг ойлгодог

y " (x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 " = 3 - sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 = - 9 2 нүгэл 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x = y " (x 0) ⇔ - 9 2 син 3 2 x 0 - π 4 = 1 2 ⇒ нүгэл 3 2 x 0 - π 4 = - 1 9

Энэ тригонометрийн тэгшитгэлшүргэгч цэгүүдийн ординатыг тооцоолоход ашиглана.

3 2 x 0 - π 4 = a r c sin - 1 9 + 2 πk эсвэл 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c sin - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 = - a r c sin 1 9 + 2 πk эсвэл 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk эсвэл x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z

Z нь бүхэл тоонуудын багц юм.

x холбоо барих цэг олдсон. Одоо та y-ийн утгыг хайж эхлэх хэрэгтэй:

y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - нүгэл 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 эсвэл y 0 = 3 - 1 - нүгэл 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 эсвэл у 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 эсвэл y 0 = - 4 5 + 1 3

Эндээс бид 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk болохыг олж авна; 4 5 - 1 3 , 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk ; - 4 5 + 1 3 нь шүргэлтийн цэгүүд юм.

Хариулт:шаардлагатай тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичнэ

y = 1 2 x - 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3 , y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z

Үзүүлэн дүрслэхийн тулд координатын шулуун дээрх функц ба шүргэгчийг авч үзье.

Зурагт функц нь [ - 10 ; 10 ], хар шугам нь функцийн график, цэнхэр шугамууд нь y = - 2 x + 1 2 хэлбэрийн өгөгдсөн шулуунтай перпендикуляр байрлах шүргэгч юм. Улаан цэгүүд нь мэдрэгчтэй цэгүүд юм.

2-р эрэмбийн муруйн каноник тэгшитгэлүүд нь нэг утгатай функц биш юм. Тэдгээрийн шүргэгч тэгшитгэлийг мэдэгдэж буй схемийн дагуу эмхэтгэсэн.

Тойрогтой шүргэгч

x c e n t e r цэг дээр төвтэй тойргийг тодорхойлох; y c e n t e r ба R радиустай бол x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2 томъёог ашиглана.

Энэ тэгш байдлыг хоёр функцийн нэгдэл хэлбэрээр бичиж болно.

y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r

Эхний функц нь зурагт үзүүлсэн шиг дээд талд, хоёр дахь нь доод талд байрладаг.

x 0 цэг дээрх тойргийн тэгшитгэлийг бүрдүүлэх; y 0 , дээд буюу доод хагас тойрогт байрладаг бол та y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r эсвэл y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + хэлбэрийн функцийн графикийн тэгшитгэлийг олох хэрэгтэй. заагдсан цэг дээр y c e n t e r.

x c e n t e r цэгүүдэд байх үед; y c e n t e r + R ба x c e n t e r ; y c e n t e r - R шүргэгчийг y = y c e n t e r + R ба y = y c e n t e r - R тэгшитгэлээр, мөн x c e n t e r + R цэгүүдэд өгч болно; y c e n t e r and
x c e n t e r - R ; y c e n t e r нь o y -тэй параллель байх болно, тэгвэл бид x = x c e n t e r + R ба x = x c e n t e r - R хэлбэрийн тэгшитгэлүүдийг олж авна.

Эллипстэй шүргэгч

Эллипс нь x c e n t e r дээр төвтэй байх үед; y c e n t e r a ба b хагас тэнхлэгтэй бол x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 тэгшитгэлийг ашиглан тодорхойлж болно.

Зууван ба тойрог хоёр функцийг, тухайлбал дээд ба доод хагас эллипсийг хослуулан тэмдэглэж болно. Дараа нь бид үүнийг авдаг

y = b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r

Хэрэв шүргэгч нь эллипсийн оройн хэсэгт байрладаг бол тэдгээр нь ойролцоогоор x эсвэл y орчим параллель байна. Тодорхой болгохын тулд доорх зургийг анхаарч үзээрэй.

Жишээ 6

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 эллипсийн шүргэгчийн тэгшитгэлийг x = 2-той тэнцүү x утгууд дээр бич.

Шийдэл

x = 2 утгатай тохирох шүргэгч цэгүүдийг олох шаардлагатай. Бид одоо байгаа эллипсийн тэгшитгэлд орлуулж, үүнийг олно

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

Дараа нь 2; 5 3 2 + 5 ба 2; - 5 3 2 + 5 нь дээд ба доод хагас эллипсийн шүргэгч цэгүүд юм.

У-д хамаарах эллипсийн тэгшитгэлийг олох, шийдвэрлэхэд шилжье. Бид үүнийг ойлгодог

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 y - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

Мэдээжийн хэрэг, дээд хагас эллипсийг y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2, доод хагас эллипс y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2 хэлбэрийн функцийг ашиглан тодорхойлсон.

Цэг дэх функцийн графикт шүргэгчийн тэгшитгэлийг бий болгох стандарт алгоритмыг хэрэглэцгээе. 2-р цэгийн эхний шүргэгчийн тэгшитгэлийг бичье; 5 3 2 + 5 нь иймэрхүү харагдах болно

y " = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 " = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y "(x 0) = y " (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ у = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

Хоёр дахь шүргэгчийн тэгшитгэл нь цэг дээрх утгатай болохыг олж мэдэв
2 ; - 5 3 2 + 5 хэлбэрийг авна

y " = 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2 " = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x) - 3) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ у = у " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

Графикийн хувьд шүргэгчийг дараах байдлаар тэмдэглэв.

Гиперболын тангенс

Гипербол нь x c e n t e r дээр төвтэй байх үед; y c e n t e r ба оройнууд x c e n t e r + α ; y c e n t e r ба x c e n t e r - α ; y c e n t e r, x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 тэгш бус байдал үүснэ, хэрэв оройнууд нь x c e n t e r байвал; y c e n t e r + b ба x c e n t e r ; y c e n t e r - b , дараа нь x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1 тэгш бус байдлыг ашиглан тодорхойлогдоно.

Гиперболыг хэлбэрийн хоёр хосолсон функцээр илэрхийлж болно

y = b A · (x - x - e n t e t e t e t e t e t e t e t e t e t e t e t e t e t e t e t e t e t e t e t e t e t e t e t e t e t e e t e t e t e t e t e t e t e t e t e e t e e t e t e t e t e t e e e t e e e e e = - e t e t e e = - x (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e r

Эхний тохиолдолд шүргэгч нь y-тэй параллель, хоёр дахь тохиолдолд x-тэй параллель байна.

Үүнээс үзэхэд гиперболын шүргэгчийн тэгшитгэлийг олохын тулд шүргэлтийн цэг аль функцэд хамаарахыг олж мэдэх шаардлагатай. Үүнийг тодорхойлохын тулд тэгшитгэлд орлуулж, таних эсэхийг шалгах шаардлагатай.

Жишээ 7

7-р цэгт x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 гиперболын шүргэгчийн тэгшитгэлийг бич; - 3 3 - 3.

Шийдэл

Гиперболыг олохын тулд 2 функц ашиглан шийдлийн бичлэгийг хувиргах шаардлагатай. Бид үүнийг ойлгодог

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 ба y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

7-р координаттай өгөгдсөн цэг аль функцэд хамаарахыг тодорхойлох шаардлагатай; - 3 3 - 3.

Мэдээжийн хэрэг, эхний функцийг шалгахын тулд y (7) = 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 шаардлагатай бол цэг нь графикт хамаарахгүй, тэгш байдал хангагдаагүй тул.

Хоёрдахь функцийн хувьд бид y (7) = - 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 гэсэн утгатай бөгөөд энэ нь тухайн цэг нь өгөгдсөн графикт хамааралтай гэсэн үг юм. Эндээс та налууг олох хэрэгтэй.

Бид үүнийг ойлгодог

y " = - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3 " = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y " (x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

Хариулт:шүргэгч тэгшитгэлийг дараах байдлаар илэрхийлж болно

y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3

Үүнийг дараах байдлаар тодорхой дүрсэлсэн болно.

Параболын шүргэгч

x 0, y (x 0) цэг дээр y = a x 2 + b x + c параболын шүргэгчийн тэгшитгэлийг үүсгэхийн тулд та стандарт алгоритмыг ашиглах ёстой, тэгвэл тэгшитгэл нь y = y "(x) хэлбэртэй болно. 0) x - x 0 + y ( x 0) орой дээрх ийм шүргэгч нь x-тэй параллель байна.

Та x = a y 2 + b y + c параболыг хоёр функцийн нэгдэл гэж тодорхойлох ёстой. Тиймээс бид y-ийн тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй. Бид үүнийг ойлгодог

x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 a y = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a

Үүнийг графикаар дараах байдлаар дүрсэлцгээе.

x 0, y (x 0) цэг нь функцэд хамаарах эсэхийг мэдэхийн тулд стандарт алгоритмын дагуу зөөлөн ажиллана. Ийм шүргэгч нь параболтай харьцуулахад o y-тэй параллель байх болно.

Жишээ 8

Бид 150 ° шүргэгч өнцөгтэй байх үед x - 2 y 2 - 5 y + 3 графикт шүргэгчийн тэгшитгэлийг бич.

Шийдэл

Бид параболыг хоёр функцээр төлөөлүүлэн шийдлийг эхлүүлнэ. Бид үүнийг ойлгодог

2 у 2 - 5 у + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 · (- 2) · (3 - х) = 49 - 8 х у = 5 + 49 - 8 х - 4 у = 5 - 49 - 8 х - 4

Налуугийн утга нь энэ функцийн x 0 цэг дэх деривативын утгатай тэнцүү бөгөөд налуу өнцгийн тангенстай тэнцүү байна.

Бид авах:

k x = y "(x 0) = t g α x = t g 150 ° = - 1 3

Эндээс бид холбоо барих цэгүүдийн x утгыг тодорхойлно.

Эхний функцийг дараах байдлаар бичнэ

y" = 5 + 49 - 8 x - 4 " = 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

Бид сөрөг утгыг авсан болохоор жинхэнэ үндэс байхгүй нь ойлгомжтой. Ийм функцийн хувьд 150 ° өнцөгтэй шүргэгч байхгүй гэж бид дүгнэж байна.

Хоёрдахь функцийг дараах байдлаар бичнэ

y " = 5 - 49 - 8 x - 4 " = - 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

Бидэнд байгаа холбоо барих цэгүүд нь 23 4; - 5 + 3 4.

Хариулт:шүргэгч тэгшитгэл хэлбэрийг авна

y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

Үүнийг графикаар дараах байдлаар дүрсэлцгээе.