Si të gjeni shumëfishin më të vogël të përbashkët?

Duhet të gjejmë secilin faktor të secilit prej dy numrave për të cilët gjejmë shumëfishin më të vogël të përbashkët dhe më pas të shumëzojmë me njëri-tjetrin faktorët që përkojnë në numrin e parë dhe të dytë. Rezultati i produktit do të jetë shumëfishi i kërkuar.

Për shembull, ne kemi numrat 3 dhe 5 dhe duhet të gjejmë LCM (shumazi më i vogël i zakonshëm). Neve duhet të shumohen dhe tre dhe pesë për të gjithë numrat duke filluar nga 1 2 3 ... dhe kështu me radhë derisa të shohim të njëjtin numër në të dy vendet.

Shumëzoni tre dhe merrni: 3, 6, 9, 12, 15

Shumëzojeni me pesë dhe merrni: 5, 10, 15

Metoda e faktorizimit të thjeshtë është metoda më klasike për gjetjen e shumëfishit më të vogël të përbashkët (LCM) të disa numrave. Kjo metodë tregohet qartë dhe thjesht në videon e mëposhtme:

Shtoni, shumëzoni, pjesëtoni, zvogëloni në emërues i përbashkët dhe veprimet e tjera aritmetike janë shumë aktivitet emocionues, I admiroj veçanërisht shembujt që zënë një fletë të tërë.

Pra, gjeni shumëfishin e përbashkët të dy numrave, i cili do të jetë numri më i vogël me të cilin pjesëtohen dy numrat. Do të doja të theksoja se nuk është e nevojshme të drejtoheni në formula në të ardhmen për të gjetur atë që kërkoni, nëse mund të numëroni në kokën tuaj (dhe kjo mund të stërvitet), atëherë vetë numrat shfaqen në kokën tuaj dhe atëherë thyesat çajnë si arra.

Për të filluar, le të mësojmë se mund të shumëzoni dy numra me njëri-tjetrin, dhe më pas ta zvogëloni këtë shifër dhe ta pjesëtoni në mënyrë alternative me këta dy numra, kështu që do të gjejmë shumëfishin më të vogël.

Për shembull, dy numra 15 dhe 6. Shumëzoni dhe merrni 90. Ky është qartë një numër më i madh. Për më tepër, 15 pjesëtohet me 3 dhe 6 pjesëtohet me 3, që do të thotë se ne gjithashtu pjesëtojmë 90 me 3. Marrim 30. Provojmë 30 pjesëtojmë 15 është e barabartë me 2. Dhe 30 pjesëtojmë 6 është e barabartë me 5. Meqenëse 2 është kufiri, kthehet se shumëfishi më i vogël për numrat është 15 dhe 6 do të jetë 30.

Me numra më të mëdhenj do të jetë pak më e vështirë. por nëse e dini se cilët numra japin një mbetje zero gjatë pjesëtimit ose shumëzimit, atëherë, në parim, nuk ka vështirësi të mëdha.

• Si të gjeni NOC

  Këtu është një video që do t'ju japë dy mënyra për të gjetur shumëfishin më të vogël të përbashkët (LCM). Pasi të keni praktikuar përdorimin e të parës nga metodat e sugjeruara, mund të kuptoni më mirë se cili është shumëfishi më pak i zakonshëm.

Unë paraqes një mënyrë tjetër për të gjetur shumëfishin më të vogël të përbashkët. Le ta shohim me një shembull të qartë.

Duhet të gjesh LCM-në e tre numrave njëherësh: 16, 20 dhe 28.

• Ne përfaqësojmë çdo numër si produkt i faktorëve të tij kryesorë:
• Ne shkruajmë fuqitë e të gjithë faktorëve kryesorë:

16 = 224 = 2^24^1

20 = 225 = 2^25^1

28 = 227 = 2^27^1

• Ne zgjedhim të gjithë pjesëtuesit kryesorë (shumëzuesit) me fuqitë më të mëdha, i shumëzojmë dhe gjejmë LCM:

LCM = 2^24^15^17^1 = 4457 = 560.

LCM(16, 20, 28) = 560.

Kështu, rezultati i llogaritjes ishte numri 560. Ai është shumëfishi më i vogël i përbashkët, domethënë është i pjesëtueshëm me secilin nga tre numrat pa mbetje.

Shumëfishi më i vogël i përbashkët është një numër që mund të ndahet në disa numra të dhënë pa lënë mbetje. Për të llogaritur një shifër të tillë, duhet të merrni çdo numër dhe ta zbërtheni në faktorë të thjeshtë. Ata numra që përputhen hiqen. I lë të gjithë një nga një, shumëzojini me radhë mes tyre dhe merrni atë të dëshiruar - shumëfishin më pak të zakonshëm.

NOC, ose shumëfishi më pak i zakonshëm, është më i vogli numri natyror dy ose më shumë numra që janë të pjesëtueshëm me secilin prej këtyre numrave pa mbetje.

Këtu është një shembull se si të gjeni shumëfishin më të vogël të përbashkët të 30 dhe 42.

• Hapi i parë është faktorizimi i këtyre numrave në faktorët kryesorë.

Për 30 është 2 x 3 x 5.

Për 42, kjo është 2 x 3 x 7. Meqenëse 2 dhe 3 janë në zgjerimin e numrit 30, ne i kryqëzojmë ato.

• Ne shkruajmë faktorët që përfshihen në zgjerimin e numrit 30. Kjo është 2 x 3 x 5.
• Tani duhet t'i shumëzojmë me faktorin që mungon, që kemi kur zgjerojmë 42, që është 7. Marrim 2 x 3 x 5 x 7.
• Gjejmë me çfarë është e barabartë 2 x 3 x 5 x 7 dhe marrim 210.

Si rezultat, ne gjejmë se LCM e numrave 30 dhe 42 është 210.

Për të gjetur shumëfishin më të vogël të përbashkët, ju duhet të kryeni disa në mënyrë sekuenciale veprime të thjeshta. Le ta shohim këtë duke përdorur dy numra si shembull: 8 dhe 12

1. I faktorizojmë të dy numrat në faktorë të thjeshtë: 8=2*2*2 dhe 12=3*2*2
2. Ne zvogëlojmë të njëjtët faktorë të njërit prej numrave. Në rastin tonë, 2 * 2 përkojnë, le t'i zvogëlojmë ato për numrin 12, atëherë 12 do të ketë një faktor të mbetur: 3.
3. Gjeni produktin e të gjithë faktorëve të mbetur: 2*2*2*3=24

Duke kontrolluar, sigurohemi që 24 është i pjesëtueshëm me 8 dhe 12, dhe ky është numri më i vogël natyror që pjesëtohet me secilin prej këtyre numrave. Këtu jemi gjeti shumëfishin më të vogël të përbashkët.

Do të përpiqem të shpjegoj duke përdorur si shembull numrat 6 dhe 8. Shumëfishi më i vogël i zakonshëm është një numër që mund të pjesëtohet me këta numra (në rastin tonë, 6 dhe 8) dhe nuk do të ketë mbetje.

Pra, fillimisht fillojmë të shumëzojmë 6 me 1, 2, 3, etj. dhe 8 me 1, 2, 3, etj.

Një shumëfish është një numër që pjesëtohet me një numër të caktuar pa mbetje. Shumëfishi më i vogël i përbashkët (LCM) i një grupi numrash është numri më i vogël që pjesëtohet me secilin numër në grup pa lënë mbetje. Për të gjetur shumëfishin më të vogël të përbashkët, duhet të gjeni faktorët kryesorë të numrave të dhënë. LCM gjithashtu mund të llogaritet duke përdorur një numër metodash të tjera që zbatohen për grupet me dy ose më shumë numra.

Hapat

Seri shumëfishësh

Shikoni këto numra. Metoda e përshkruar këtu përdoret më së miri kur jepen dy numra, secili prej të cilëve është më i vogël se 10. Nëse jepet numra të mëdhenj, përdorni një metodë tjetër.

• Për shembull, gjeni shumëfishin më të vogël të përbashkët të 5 dhe 8. Këta janë numra të vegjël, kështu që mund të përdorni këtë metodë.

1. Një shumëfish është një numër që pjesëtohet me një numër të caktuar pa mbetje. Shumëfishat mund të gjenden në tabelën e shumëzimit.

   • Për shembull, numrat që janë shumëfish të 5-ës janë: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Shkruani një seri numrash që janë shumëfish të numrit të parë. Bëni këtë nën shumëfishat e numrit të parë për të krahasuar dy grupe numrash.

   • Për shembull, numrat që janë shumëfish të 8-ës janë: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 dhe 64.

3. Gjeni numrin më të vogël që është i pranishëm në të dy grupet e shumëfishave. Mund t'ju duhet të shkruani seri të gjata shumëfishash për të gjetur numrin total. Numri më i vogël që është i pranishëm në të dy grupet e shumëfishave është shumëfishi më pak i zakonshëm.

   • Për shembull, numri më i vogël, i cili është i pranishëm në serinë e shumëfishave të 5 dhe 8, është numri 40. Prandaj, 40 është shumëfishi më i vogël i përbashkët i 5 dhe 8.

   Faktorizimi kryesor

   1. Shikoni këto numra. Metoda e përshkruar këtu përdoret më së miri kur jepen dy numra, secili prej të cilëve është më i madh se 10. Nëse jepen numra më të vegjël, përdorni një metodë tjetër.

      • Për shembull, gjeni shumëfishin më të vogël të përbashkët të numrave 20 dhe 84. Secili nga numrat është më i madh se 10, kështu që mund të përdorni këtë metodë.

   2. Faktoroni numrin e parë në faktorët kryesorë. Kjo do të thotë, ju duhet të gjeni numra të tillë të thjeshtë që, kur shumëzohen, do të rezultojnë në një numër të caktuar. Pasi të keni gjetur faktorët kryesorë, shkruajini si barazi.

      • Për shembull, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\herë 10=20) Dhe 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\herë (\mathbf (5) )=10). Kështu, faktorët e thjeshtë të numrit 20 janë numrat 2, 2 dhe 5. Shkruajini si shprehje: .

   3. Faktoroni numrin e dytë në faktorët kryesorë. Bëjeni këtë në të njëjtën mënyrë si faktorizuat numrin e parë, d.m.th. gjeni numra të tillë të thjeshtë që, kur shumëzohen, do të japin numrin e dhënë.

      • Për shembull, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\herë 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\herë 6=42) Dhe 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\herë (\mathbf (2) )=6). Kështu, faktorët e thjeshtë të numrit 84 janë numrat 2, 7, 3 dhe 2. Shkruajini si shprehje: .

   4. Shkruani faktorët e përbashkët për të dy numrat. Shkruani faktorë të tillë si një veprim shumëzimi. Ndërsa shkruani çdo faktor, kryqëzojeni atë në të dyja shprehjet (shprehje që përshkruajnë faktorizimin e numrave në faktorë të thjeshtë).

      • Për shembull, të dy numrat kanë një faktor të përbashkët prej 2, kështu që shkruani 2 × (\shfaqja e stilit 2\herë) dhe kaloni 2 në të dyja shprehjet.
      • Ajo që të dy numrat kanë të përbashkët është një faktor tjetër prej 2, kështu që shkruani 2 × 2 (\stil ekrani 2\herë 2) dhe kryqëzoni 2-në e dytë në të dyja shprehjet.

   5. Shtoni faktorët e mbetur në veprimin e shumëzimit. Këta janë faktorë që nuk janë të kryqëzuar në të dyja shprehjet, domethënë faktorë që nuk janë të përbashkët për të dy numrat.

      • Për shembull, në shprehje 20 = 2 × 2 × 5 (\stil ekrani 20=2\herë 2\herë 5) Të dyja dy (2) janë të kryqëzuara sepse janë faktorë të përbashkët. Faktori 5 nuk është tejkaluar, kështu që shkruajeni operacionin e shumëzimit si kjo: 2 × 2 × 5 (\stil ekrani 2\herë 2\herë 5)
      • Në shprehje 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\herë 7\herë 3\herë 2) të dyja dyshe (2) janë gjithashtu të kryqëzuara. Faktorët 7 dhe 3 nuk janë të kryqëzuar, kështu që shkruajeni veprimin e shumëzimit kështu: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\stil ekrani 2\herë 2\herë 5\herë 7\herë 3).

   6. Llogaritni shumëfishin më të vogël të përbashkët. Për ta bërë këtë, shumëzoni numrat në operacionin e shkrimit të shumëzimit.

      • Për shembull, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\stil ekrani 2\herë 2\herë 5\herë 7\herë 3=420). Pra, shumëfishi më i vogël i përbashkët i 20 dhe 84 është 420.

   Gjetja e faktorëve të përbashkët

   1. Vizatoni një rrjet si për një lojë tik-tac-toe. Një rrjet i tillë përbëhet nga dy drejtëza paralele që kryqëzohen (në kënd të drejtë) me dy vija të tjera paralele. Kjo do t'ju japë tre rreshta dhe tre kolona (rrjeti duket shumë si ikona #). Shkruani numrin e parë në rreshtin e parë dhe në kolonën e dytë. Shkruani numrin e dytë në rreshtin e parë dhe në kolonën e tretë.

      • Për shembull, gjeni shumëfishin më të vogël të përbashkët të numrave 18 dhe 30. Shkruani numrin 18 në rreshtin e parë dhe në kolonën e dytë dhe shkruani numrin 30 në rreshtin e parë dhe në kolonën e tretë.

   2. Gjeni pjesëtuesin e përbashkët për të dy numrat. Shkruajeni atë në rreshtin e parë dhe në kolonën e parë. Është më mirë të kërkosh për faktorët kryesorë, por kjo nuk është një kërkesë.

      • Për shembull, 18 dhe 30 janë numra çift, kështu që faktori i tyre i përbashkët është 2. Pra, shkruani 2 në rreshtin e parë dhe në kolonën e parë.

   3. Pjesëtoni çdo numër me pjesëtuesin e parë. Shkruani çdo herës nën numrin e duhur. Koeficienti është rezultat i pjesëtimit të dy numrave.

      • Për shembull, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), kështu që shkruani 9 nën 18.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), kështu që shkruani 15 nën 30.

   4. Gjeni pjesëtuesin e përbashkët për të dy herësit. Nëse nuk ka një pjesëtues të tillë, kaloni dy hapat e ardhshëm. Përndryshe, shkruani pjesëtuesin në rreshtin e dytë dhe në kolonën e parë.

      • Për shembull, 9 dhe 15 pjesëtohen me 3, kështu që shkruani 3 në rreshtin e dytë dhe kolonën e parë.

   5. Pjestoni çdo herës me pjesëtuesin e dytë. Shkruani çdo rezultat të pjesëtimit nën herësin përkatës.

      • Për shembull, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), kështu që shkruani 3 nën 9.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), kështu që shkruani 5 nën 15.

   6. Nëse është e nevojshme, shtoni qeliza shtesë në rrjet. Përsëritni hapat e përshkruar derisa herësorët të kenë një pjesëtues të përbashkët.

   7. Rrethoni numrat në kolonën e parë dhe në rreshtin e fundit të rrjetit. Më pas shkruajini numrat e zgjedhur si një veprim shumëzimi.

      • Për shembull, numrat 2 dhe 3 janë në kolonën e parë, dhe numrat 3 dhe 5 janë në rreshtin e fundit, kështu që shkruajeni veprimin e shumëzimit si kjo: 2 × 3 × 3 × 5 (\stil ekrani 2\herë 3\herë 3\herë 5).

   8. Gjeni rezultatin e shumëzimit të numrave. Kjo do të llogarisë shumëfishin më të vogël të përbashkët të dy numrave të dhënë.

      • Për shembull, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\stil ekrani 2\herë 3\herë 3\herë 5=90). Pra, shumëfishi më i vogël i përbashkët i 18 dhe 30 është 90.

   Algoritmi i Euklidit

   1. Mos harroni terminologjinë e lidhur me operacionin e ndarjes. Dividenti është numri që po ndahet. Pjesëtuesi është numri me të cilin pjesëtohet. Koeficienti është rezultat i pjesëtimit të dy numrave. Një mbetje është numri i mbetur kur ndahen dy numra.

      • Për shembull, në shprehje 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) ost. 3:
        15 është dividenti
        6 është një pjesëtues
        2 është herësi
        3 është pjesa e mbetur.

Por shumë numra natyrorë janë gjithashtu të pjesëtueshëm me numra të tjerë natyrorë.

Për shembull:

Numri 12 pjesëtohet me 1, me 2, me 3, me 4, me 6, me 12;

Numri 36 pjesëtohet me 1, me 2, me 3, me 4, me 6, me 12, me 18, me 36.

Numrat me të cilët numri pjesëtohet me një të tërë (për 12 këto janë 1, 2, 3, 4, 6 dhe 12) quhen pjesëtuesit e numrave. Pjesëtues i një numri natyror a- është një numër natyror që pjesëton një numër të caktuar a pa lënë gjurmë. Një numër natyror që ka më shumë se dy pjesëtues quhet të përbëra.

Ju lutemi vini re se numrat 12 dhe 36 kanë faktorë të përbashkët. Këta numra janë: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Pjesëtuesi më i madh i këtyre numrave është 12. Pjesëtuesi i përbashkët i këtyre dy numrave a Dhe b- ky është numri me të cilin të dy numrat e dhënë ndahen pa mbetje a Dhe b.

Shumëfisha të përbashkët disa numra është një numër që pjesëtohet me secilin prej këtyre numrave. Për shembull, numrat 9, 18 dhe 45 kanë një shumëfish të përbashkët të 180. Por 90 dhe 360 ​​janë gjithashtu shumëfishat e tyre të përbashkët. Midis të gjithë shumëfishave të përbashkët ka gjithmonë një më të vogël, në këtë rast është 90. Ky numër quhet më i voglishumëfish i përbashkët (CMM).

LCM është gjithmonë një numër natyror që duhet të jetë më i madh se më i madhi i numrave për të cilët është përcaktuar.

Shumëfishi më i vogël i përbashkët (LCM). Vetitë.

Komutativiteti:

Asociacioni:

Në veçanti, nëse dhe - numrat koprim, Se:

Shumëfishi më i vogël i përbashkët i dy numra të plotë m Dhe nështë pjesëtues i të gjithë shumëfishave të tjerë të përbashkët m Dhe n. Për më tepër, grupi i shumëfishave të përbashkët m, n përkon me grupin e shumëfishave të LCM( m, n).

Asimptotika për mund të shprehet në terma të disa funksioneve teorike të numrave.

Kështu që, Funksioni i Chebyshev. Dhe:

Kjo rrjedh nga përkufizimi dhe vetitë e funksionit Landau g(n).

Çfarë rrjedh nga ligji i shpërndarjes së numrave të thjeshtë.

Gjetja e shumëfishit më të vogël të përbashkët (LCM).

NOC( a, b) mund të llogaritet në disa mënyra:

1. Nëse dihet pjesëtuesi më i madh i përbashkët, mund të përdorni lidhjen e tij me LOC:

2. Le të dihet zbërthimi kanonik i të dy numrave në faktorë të thjeshtë:

Ku p 1 ,...,p k- numra të thjeshtë të ndryshëm dhe d 1,...,d k Dhe e 1 ,...,e k- numra të plotë jo negativë (ato mund të jenë zero nëse numri i thjeshtë përkatës nuk është në zgjerim).

Pastaj NOC ( a,b) llogaritet me formulën:

Me fjalë të tjera, zbërthimi LCM përmban të gjithë elementin kryesor shumëzuesit, të përfshira në të paktën një nga zgjerimet e numrave a, b, dhe merret më i madhi nga dy eksponentët e këtij shumëzuesi.

Shembull:

Llogaritja e shumëfishit më të vogël të përbashkët të disa numrave mund të reduktohet në disa llogaritje sekuenciale të LCM të dy numrave:

Rregulli. Për të gjetur LCM-në e një serie numrash, ju nevojiten:

- të zbërthejë numrat në faktorë të thjeshtë;

- transferoni zbërthimin më të madh (prodhimin e faktorëve të numrit më të madh të atyre të dhënë) në faktorët e produktit të dëshiruar dhe më pas shtoni faktorët nga zbërthimi i numrave të tjerë që nuk figurojnë në numrin e parë ose që shfaqen në të. më pak herë;

— produkti rezultues i faktorëve të thjeshtë do të jetë LCM e numrave të dhënë.

Çdo dy ose më shumë numra natyrorë kanë LCM-në e tyre. Nëse numrat nuk janë shumëfish të njëri-tjetrit ose nuk kanë të njëjtët faktorë në zgjerim, atëherë LCM e tyre është e barabartë me puna këta numra.

Faktorët kryesorë të numrit 28 (2, 2, 7) plotësohen me një faktor 3 (numri 21), produkti që rezulton (84) do të jetë numri më i vogël që pjesëtohet me 21 dhe 28.

Faktorët kryesorë të numrit më të madh 30 plotësohen me faktorin 5 të numrit 25, produkti që rezulton 150 është më i madh se numri më i madh 30 dhe është i pjesëtueshëm me të gjithë numrat e dhënë pa mbetje. Ky është prodhimi më i vogël i mundshëm (150, 250, 300...) që është shumëfish i të gjithë numrave të dhënë.

Numrat 2,3,11,37 janë numra të thjeshtë, kështu që LCM e tyre është e barabartë me prodhimin e numrave të dhënë.

Rregulli. Për të llogaritur LCM-në e numrave të thjeshtë, duhet të shumëzoni të gjithë këta numra së bashku.

Një tjetër opsion:

Për të gjetur shumëfishin më të vogël të përbashkët (LCM) të disa numrave ju nevojiten:

1) përfaqësoni çdo numër si produkt i faktorëve të tij të thjeshtë, për shembull:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) shkruani fuqitë e të gjithë faktorëve kryesorë:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) shkruani të gjithë pjesëtuesit (shumëzuesit) e thjeshtë të secilit prej këtyre numrave;

4) zgjidhni shkallën më të madhe të secilit prej tyre, që gjendet në të gjitha zgjerimet e këtyre numrave;

5) shumëzojini këto fuqi.

Shembull. Gjeni LCM-në e numrave: 168, 180 dhe 3024.

Zgjidhje. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

Ne shkruajmë fuqitë më të mëdha të të gjithë pjesëtuesve kryesorë dhe i shumëzojmë ato:

NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Numri i dytë: b=

Mijëra ndarës Pa ndarës hapësinor "'

Rezultati:

Pjesëtuesi më i madh i përbashkët gcd( a,b)=6

Shumëfishi më i vogël i përbashkët i LCM( a,b)=468

Numri më i madh natyror që mund të pjesëtohet pa mbetje me numrat a dhe b quhet pjesëtuesi më i madh i përbashkët(GCD) të këtyre numrave. Shënohet me gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) ose hcf(a,b).

Shumëfishi më pak i zakonshëm LCM e dy numrave të plotë a dhe b është numri më i vogël natyror që pjesëtohet me a dhe b pa mbetje. Shënohet LCM(a,b), ose lcm(a,b).

Quhen numrat e plotë a dhe b kryeministër reciprok, nëse nuk kanë pjesëtues të përbashkët përveç +1 dhe −1.

Pjesëtuesi më i madh i përbashkët

Le të jepen dy numra pozitivë a 1 dhe a 2 1). Kërkohet të gjendet pjesëtuesi i përbashkët i këtyre numrave, d.m.th. gjeni një numër të tillë λ , e cila ndan numrat a 1 dhe a 2 në të njëjtën kohë. Le të përshkruajmë algoritmin.

1) Në këtë artikull, fjala numër do të kuptohet si një numër i plotë.

Le a 1 ≥ a 2 dhe le

Ku m 1 , a 3 janë disa numra të plotë, a 3 <a 2 (mbetja e ndarjes a 1 për a 2 duhet të jetë më pak a 2).

Le të pretendojmë se λ ndan a 1 dhe a 2 pastaj λ ndan m 1 a 2 dhe λ ndan a 1 −m 1 a 2 =a 3 (Pohimi 2 i nenit “Pjestueshmëria e numrave. Testi i pjesëtueshmërisë”). Nga kjo rrjedh se çdo pjesëtues i përbashkët a 1 dhe a 2 është pjesëtuesi i përbashkët a 2 dhe a 3. E kundërta është gjithashtu e vërtetë nëse λ pjesëtues i përbashkët a 2 dhe a 3 pastaj m 1 a 2 dhe a 1 =m 1 a 2 +a 3 gjithashtu pjesëtohet me λ . Prandaj pjesëtuesi i përbashkët a 2 dhe a 3 është gjithashtu një pjesëtues i përbashkët a 1 dhe a 2. Sepse a 3 <a 2 ≤a 1, atëherë mund të themi se zgjidhja e problemit të gjetjes së pjesëtuesit të përbashkët të numrave a 1 dhe a 2 reduktohet në problemin më të thjeshtë të gjetjes së pjesëtuesit të përbashkët të numrave a 2 dhe a 3 .

Nëse a 3 ≠0, atëherë mund të pjesëtojmë a 2 në a 3. Pastaj

,

Ku m 1 dhe a 4 janë disa numra të plotë, ( a 4 mbetur nga ndarja a 2 në a 3 (a 4 <a 3)). Me arsyetim të ngjashëm arrijmë në përfundimin se pjesëtuesit e përbashkët të numrave a 3 dhe a 4 përkon me pjesëtuesit e përbashkët të numrave a 2 dhe a 3, dhe gjithashtu me pjesëtues të përbashkët a 1 dhe a 2. Sepse a 1 , a 2 , a 3 , a 4, ... janë numra që janë vazhdimisht në rënie, dhe meqenëse ekziston një numër i kufizuar numrash të plotë midis a 2 dhe 0, pastaj në një hap n, pjesa e mbetur e ndarjes a n në a n+1 do të jetë e barabartë me zero ( a n+2 =0).

.

Çdo pjesëtues i përbashkët λ numrat a 1 dhe a 2 është gjithashtu një pjesëtues i numrave a 2 dhe a 3 , a 3 dhe a 4 , .... a n dhe a n+1 . E kundërta është gjithashtu e vërtetë, pjesëtues të përbashkët të numrave a n dhe a n+1 janë edhe pjesëtues të numrave a n−1 dhe a n , .... , a 2 dhe a 3 , a 1 dhe a 2. Por pjesëtuesi i përbashkët i numrave a n dhe a n+1 është një numër a n+1, sepse a n dhe a n+1 pjesëtohen me a n+1 (mos harroni se a n+2 =0). Prandaj a n+1 është gjithashtu pjesëtues i numrave a 1 dhe a 2 .

Vini re se numri a n+1 është pjesëtuesi më i madh i numrave a n dhe a n+1 , pasi pjesëtuesi më i madh a n+1 është vetvetja a n+1 . Nëse a n+1 mund të paraqitet si prodhim i numrave të plotë, atëherë këta numra janë gjithashtu pjesëtues të zakonshëm të numrave a 1 dhe a 2. Numri a n+1 quhet pjesëtuesi më i madh i përbashkët numrat a 1 dhe a 2 .

Numrat a 1 dhe a 2 mund të jetë ose pozitiv ose negativ. Nëse njëri prej numrave është i barabartë me zero, atëherë pjesëtuesi më i madh i përbashkët i këtyre numrave do të jetë i barabartë me vlerën absolute të numrit tjetër. Pjesëtuesi më i madh i përbashkët i numrave zero është i papërcaktuar.

Algoritmi i mësipërm quhet Algoritmi Euklidian për të gjetur pjesëtuesin më të madh të përbashkët të dy numrave të plotë.

Një shembull i gjetjes së pjesëtuesit më të madh të përbashkët të dy numrave

Gjeni pjesëtuesin më të madh të përbashkët të dy numrave 630 dhe 434.

• Hapi 1. Ndani numrin 630 me 434. Pjesa e mbetur është 196.
• Hapi 2. Ndani numrin 434 me 196. Pjesa e mbetur është 42.
• Hapi 3. Ndani numrin 196 me 42. Pjesa e mbetur është 28.
• Hapi 4. Ndani numrin 42 me 28. Pjesa e mbetur është 14.
• Hapi 5. Ndani numrin 28 me 14. Pjesa e mbetur është 0.

Në hapin 5, pjesa e mbetur e pjesëtimit është 0. Prandaj, pjesëtuesi më i madh i përbashkët i numrave 630 dhe 434 është 14. Vini re se edhe numrat 2 dhe 7 janë pjesëtues të numrave 630 dhe 434.

Numrat e dyfishtë

Përkufizimi 1. Le të pjesëtuesin më të madh të përbashkët të numrave a 1 dhe a 2 është e barabartë me një. Atëherë thirren këta numra numrat koprim, duke mos pasur pjesëtues të përbashkët.

Teorema 1. Nëse a 1 dhe a 2 numra të përbashkët, dhe λ një numër, pastaj ndonjë pjesëtues i përbashkët i numrave λa 1 dhe a 2 është gjithashtu një pjesëtues i përbashkët i numrave λ Dhe a 2 .

Dëshmi. Merrni parasysh algoritmin Euklidian për gjetjen e pjesëtuesit më të madh të përbashkët të numrave a 1 dhe a 2 (shih më lart).

.

Nga kushtet e teoremës del se pjesëtuesi më i madh i përbashkët i numrave a 1 dhe a 2 dhe prandaj a n dhe a n+1 është 1. Kjo është a n+1 =1.

Le t'i shumëzojmë të gjitha këto barazi me λ , Pastaj

.

Le të pjesëtuesin e përbashkët a 1 λ Dhe a 2 po δ . Pastaj δ përfshihet si shumëzues në a 1 λ , m 1 a 2 λ dhe ne a 1 λ -m 1 a 2 λ =a 3 λ (shih "Pjestueshmëria e numrave", Deklarata 2). Me tutje δ përfshihet si shumëzues në a 2 λ Dhe m 2 a 3 λ , dhe, për rrjedhojë, është një faktor në a 2 λ -m 2 a 3 λ =a 4 λ .

Duke arsyetuar kështu, jemi të bindur se δ përfshihet si shumëzues në a n−1 λ Dhe m n−1 a n λ , dhe për këtë arsye në a n−1 λ −m n−1 a n λ =a n+1 λ . Sepse a n+1 =1, atëherë δ përfshihet si shumëzues në λ . Prandaj numri δ është pjesëtues i përbashkët i numrave λ Dhe a 2 .

Le të shqyrtojmë raste të veçanta të Teoremës 1.

Pasoja 1. Le a Dhe c Numrat e thjeshtë janë relativisht b. Pastaj produkti i tyre acështë një numër i thjeshtë në lidhje me b.

Vërtet. Nga teorema 1 ac Dhe b kanë të njëjtët pjesëtues të përbashkët si c Dhe b. Por numrat c Dhe b relativisht e thjeshtë, d.m.th. kanë një pjesëtues të vetëm të përbashkët 1. Atëherë ac Dhe b kanë edhe një pjesëtues të vetëm të përbashkët 1. Prandaj ac Dhe b e thjeshtë reciprokisht.

Pasoja 2. Le a Dhe b numrat coprime dhe le b ndan ak. Pastaj b ndan dhe k.

Vërtet. Nga kushti i miratimit ak Dhe b kanë një pjesëtues të përbashkët b. Në bazë të teoremës 1, b duhet të jetë pjesëtues i përbashkët b Dhe k. Prandaj b ndan k.

Përfundimi 1 mund të përgjithësohet.

Pasoja 3. 1. Lërini numrat a 1 , a 2 , a 3 , ..., a m janë të thjeshtë në raport me numrin b. Pastaj a 1 a 2 , a 1 a 2 · a 3 , ..., a 1 a 2 a 3 ··· a m, prodhimi i këtyre numrave është i thjeshtë në raport me numrin b.

2. Le të kemi dy rreshta numrash

të tillë që çdo numër në serinë e parë është i thjeshtë në raportin e çdo numri në serinë e dytë. Pastaj produkti

Ju duhet të gjeni numra që janë të pjesëtueshëm me secilin prej këtyre numrave.

Nëse një numër pjesëtohet me a 1, atëherë ka formën sa 1 ku s ndonjë numër. Nëse qështë pjesëtuesi më i madh i përbashkët i numrave a 1 dhe a 2, atëherë

Ku s 1 është një numër i plotë. Pastaj

është shumëfishat më pak të zakonshëm të numrave a 1 dhe a 2 .

a 1 dhe a 2 janë relativisht të thjeshtë, atëherë shumëfishi më i vogël i përbashkët i numrave a 1 dhe a 2:

Duhet të gjejmë shumëfishin më të vogël të përbashkët të këtyre numrave.

Nga sa më sipër rezulton se çdo shumëfish i numrave a 1 , a 2 , a 3 duhet të jetë një shumëfish i numrave ε Dhe a 3 dhe mbrapa. Lëreni shumëfishin më të vogël të përbashkët të numrave ε Dhe a 3 po ε 1 . Më pas, shumëfisha numrash a 1 , a 2 , a 3 , a 4 duhet të jetë një shumëfish i numrave ε 1 dhe a 4 . Lëreni shumëfishin më të vogël të përbashkët të numrave ε 1 dhe a 4 po ε 2. Kështu, ne zbuluam se të gjitha shumëfishat e numrave a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m përkojnë me shumëfishat e një numri të caktuar ε n, i cili quhet shumëfishi më i vogël i përbashkët i numrave të dhënë.

Në rastin e veçantë kur numrat a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m janë relativisht të thjeshtë, atëherë shumëfishi më i vogël i përbashkët i numrave a 1 , a 2, siç tregohet më sipër, ka formën (3). Më pas, që nga a 3 i thjeshtë në lidhje me numrat a 1 , a 2 pastaj a 3 numër kryesor a 1 · a 2 (Përfundimi 1). Do të thotë shumëfishi më i vogël i përbashkët i numrave a 1 ,a 2 ,a 3 është një numër a 1 · a 2 · a 3. Duke arsyetuar në mënyrë të ngjashme, arrijmë në pohimet e mëposhtme.

Deklaratë 1. Shumëfishi më i vogël i përbashkët i numrave të përbashkët a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m është e barabartë me produktin e tyre a 1 · a 2 · a 3 ··· a m.

Deklaratë 2. Çdo numër që është i pjesëtueshëm me secilin nga numrat e dyfishtë a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m është gjithashtu i pjesëtueshëm me produktin e tyre a 1 · a 2 · a 3 ··· a m.