Hvordan finder man det mindste fælles multiplum?

Det er nødvendigt at finde hver faktor af hvert af de to tal, som vi finder det mindste fælles multiplum for, og derefter gange de faktorer, der faldt sammen med det første og andet tal, med hinanden. Resultatet af produktet vil være det ønskede multiplum.

For eksempel har vi tallene 3 og 5, og vi skal finde LCM (mindste fælles multiplum). Os skal ganges og tre og fem for alle numre fra 1 2 3 ... og så videre, indtil vi ser det samme tal både der og der.

Vi ganger de tre og får: 3, 6, 9, 12, 15

Gang fem og få: 5, 10, 15

Primfaktoriseringsmetoden er den mest klassiske til at finde det mindste fælles multiplum (LCM) af flere tal. Denne metode er tydeligt og enkelt demonstreret i følgende video:

Addere, gange, dividere, reducere fællesnævner og andre aritmetiske operationer en spændende aktivitet, eksempler, der fylder et helt ark, beundres især.

Så find det fælles multiplum for to tal, som vil være det mindste tal, som to tal er delelige med. Jeg vil bemærke, at det ikke er nødvendigt at ty til formler i fremtiden for at finde det, du leder efter, hvis du kan tælle i dit sind (og det kan trænes), så popper selve tallene op i dit hoved og så fraktionerne klikker som nødder.

Til at begynde med lærer vi, at vi kan gange to tal mod hinanden, og derefter reducere dette tal og dividere det skiftevis med disse to tal, så vi finder det mindste multiplum.

For eksempel to tal 15 og 6. Vi ganger og får 90. Dette er klart et større tal. Desuden er 15 deleligt med 3 og 6 er deleligt med 3, hvilket betyder at vi også dividerer 90 med 3. Vi får 30. Vi forsøger at dividere 30 med 15 er 2. Og 30 dividerer 6 er 5. Da 2 er grænsen, det viser sig, at det mindste multiplum for tallene 15 og 6 vil være 30.

Med flere tal bliver det lidt sværere. men hvis du ved, hvilke tal der giver en nulrest, når de divideres eller ganges, så er der i princippet ingen store vanskeligheder.

• Sådan finder du NOC

  Her er en video, der viser dig to måder at finde det mindste fælles multiplum (LCM). Ved at øve dig i at bruge den første af de foreslåede metoder, kan du bedre forstå, hvad det mindste fælles multiplum er.

Her er en anden måde at finde det mindste fælles multiplum. Lad os tage et kig på et illustrativt eksempel.

Det er nødvendigt at finde LCM for tre tal på én gang: 16, 20 og 28.

• Vi repræsenterer hvert tal som produktet af dets primfaktorer:
• Vi skriver ned styrkerne af alle primfaktorer:

16 = 224 = 2^24^1

20 = 225 = 2^25^1

28 = 227 = 2^27^1

• Vi vælger alle prim-divisorer (multiplikatorer) med de største grader, multiplicerer dem og finder LCM:

LCM = 2^24^15^17^1 = 4457 = 560.

LCM(16; 20; 28) = 560.

Som et resultat af beregningen opnåedes således tallet 560. Det er det mindste fælles multiplum, det vil sige, at det er deleligt med hvert af de tre tal uden en rest.

Det mindste fælles multiplum er det tal, der kan divideres med flere givne tal uden en rest. For at beregne en sådan figur skal du tage hvert tal og dekomponere det i simple faktorer. De tal, der matcher, fjernes. Forlader alle én ad gangen, gange dem indbyrdes på skift og få det ønskede - det mindste fælles multiplum.

NOC, eller mindste fælles multiplum, er den mindste naturligt tal to eller flere tal, der er delelige med hvert af de givne tal uden en rest.

Her er et eksempel på, hvordan man finder det mindste fælles multiplum af 30 og 42.

• Det første skridt er at dekomponere disse tal i primfaktorer.

For 30 er det 2 x 3 x 5.

For 42 er dette 2 x 3 x 7. Da 2 og 3 er i udvidelsen af ​​tallet 30, streger vi dem ud.

• Vi udskriver de faktorer, der indgår i udvidelsen af ​​tallet 30. Dette er 2 x 3 x 5.
• Nu skal du gange dem med den manglende faktor, som vi har, når vi dekomponerer 42, og det er 7. Vi får 2 x 3 x 5 x 7.
• Vi finder, hvad der er lig med 2 x 3 x 5 x 7 og får 210.

Som et resultat får vi, at LCM for tallene 30 og 42 er 210.

For at finde det mindste fælles multiplum, er det nødvendigt at udføre flere successivt simple handlinger. Overvej dette ved at bruge eksemplet med to tal: 8 og 12

1. Vi opdeler begge tal i primfaktorer: 8=2*2*2 og 12=3*2*2
2. Vi reducerer de samme multiplikatorer for et af tallene. I vores tilfælde matcher 2 * 2, vi reducerer dem til tallet 12, så vil 12 have én faktor: 3.
3. Find produktet af alle resterende faktorer: 2*2*2*3=24

Kontrollerer vi, at 24 er deleligt med både 8 og 12, og dette er det mindste naturlige tal, der er deleligt med hvert af disse tal. Her er vi find det mindste fælles multiplum.

Jeg vil prøve at forklare ved at bruge eksemplet med tallene 6 og 8. Det mindste fælles multiplum er det tal, der kan divideres med disse tal (i vores tilfælde 6 og 8), og der vil ikke være nogen rest.

Så vi begynder at gange først 6 med 1, 2, 3 osv. og 8 med 1, 2, 3 osv.

Et multiplum af et tal er et tal, der er deleligt med et givet tal uden en rest. Det mindste fælles multiplum (LCM) af en gruppe af tal er det mindste tal, der er ligeligt deleligt med hvert tal i gruppen. For at finde det mindste fælles multiplum skal du finde primfaktorerne for de givne tal. LCM kan også beregnes ved hjælp af en række andre metoder, der er anvendelige for grupper på to eller flere tal.

Trin

En række multipler

Se på disse tal. Metoden beskrevet her bruges bedst, når der er givet to tal, hver mindre end 10. Hvis givet store tal, brug en anden metode.

• Find for eksempel det mindste fælles multiplum af tallene 5 og 8. Det er små tal, så denne metode kan bruges.

1. Et multiplum af et tal er et tal, der er deleligt med et givet tal uden en rest. Flere tal kan findes i multiplikationstabellen.

   • For eksempel er tal, der er multipla af 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Skriv en række tal ned, der er multipla af det første tal. Gør dette under multipla af det første tal for at sammenligne to rækker med tal.

   • For eksempel er tal, der er multipla af 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 og 64.

3. Find det mindste tal, der optræder i begge serier af multipler. Du skal muligvis skrive lange serier af multipla for at finde totalen. Det mindste tal, der optræder i begge serier af multipler, er det mindste fælles multiplum.

   • For eksempel, det mindste antal, som optræder i rækken af ​​multipla af 5 og 8, er tallet 40. Derfor er 40 det mindste fælles multiplum af tallene 5 og 8.

   Primfaktorisering

   1. Se på disse tal. Metoden beskrevet her bruges bedst, når der gives to tal, der begge er større end 10. Hvis der er givet mindre tal, skal du bruge en anden metode.

      • Find for eksempel det mindste fælles multiplum af tallene 20 og 84. Hvert af tallene er større end 10, så denne metode kan bruges.

   2. Faktoriser det første tal. Det vil sige, at du skal finde sådanne primtal, når de ganges, får du et givet tal. Efter at have fundet hovedfaktorer, skriv dem ned som en lighed.

      • For eksempel, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\ gange 10=20) Og 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\time (\mathbf (5) )=10). Primtalsfaktorerne for tallet 20 er altså tallene 2, 2 og 5. Skriv dem ned som et udtryk:.

   3. Faktor det andet tal i primfaktorer. Gør dette på samme måde, som du faktorerede det første tal, det vil sige find sådanne primtal, som, når de ganges, får dette tal.

      • For eksempel, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\ gange 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\ gange 6=42) Og 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). Primfaktorerne for tallet 84 er altså tallene 2, 7, 3 og 2. Skriv dem ned som et udtryk:.

   4. Skriv ned de faktorer, der er fælles for begge tal. Skriv sådanne faktorer som en multiplikationsoperation. Når du skriver hver faktor ned, så streg den ud i begge udtryk (udtryk, der beskriver nedbrydningen af ​​tal i primtal).

      • For eksempel er den fælles faktor for begge tal 2, så skriv 2 × (\displaystyle 2\ gange ) og streg 2 ud i begge udtryk.
      • Den fælles faktor for begge tal er en anden faktor på 2, så skriv 2 × 2 (\displaystyle 2\time 2) og streg de 2 andet over i begge udtryk.

   5. Tilføj de resterende faktorer til multiplikationsoperationen. Det er faktorer, der ikke er overstreget i begge udtryk, altså faktorer, der ikke er fælles for begge tal.

      • For eksempel i udtrykket 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\ gange 2\ gange 5) begge to (2) er streget over, fordi de er fælles faktorer. Faktoren 5 er ikke overstreget, så skriv multiplikationsoperationen som følger: 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\times 2\times 5)
      • I udtrykket 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\ gange 7\ gange 3\ gange 2) begge toere (2) er også streget over. Faktor 7 og 3 er ikke streget over, så skriv multiplikationsoperationen som følger: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\ gange 2\ gange 5\ gange 7\ gange 3).

   6. Beregn det mindste fælles multiplum. For at gøre dette skal du gange tallene i den skriftlige multiplikationsoperation.

      • For eksempel, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\ gange 2\ gange 5\ gange 7\ gange 3 = 420). Så det mindste fælles multiplum af 20 og 84 er 420.

   At finde fælles divisorer

   1. Tegn et gitter, som du ville gøre for en omgang tic-tac-toe. Et sådant gitter består af to parallelle linjer, der skærer (i rette vinkler) med to andre parallelle linjer. Dette vil resultere i tre rækker og tre kolonner (gitteret ligner # tegnet meget). Skriv det første tal i første række og anden kolonne. Skriv det andet tal i første række og tredje kolonne.

      • Find for eksempel det mindste fælles multiplum af 18 og 30. Skriv 18 i første række og anden kolonne, og skriv 30 i første række og tredje kolonne.

   2. Find divisoren fælles for begge tal. Skriv det ned i første række og første kolonne. Det er bedre at lede efter prime divisorer, men dette er ikke en forudsætning.

      • For eksempel er 18 og 30 lige tal, så deres fælles divisor er 2. Så skriv 2 i første række og første kolonne.

   3. Divider hvert tal med den første divisor. Skriv hver kvotient under det tilsvarende tal. Kvotienten er resultatet af at dividere to tal.

      • For eksempel, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), så skriv 9 under 18.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), så skriv 15 under 30.

   4. Find en divisor, der er fælles for begge kvotienter. Hvis der ikke er en sådan divisor, spring de næste to trin over. Ellers skal du skrive divisoren ned i anden række og første kolonne.

      • For eksempel er 9 og 15 delelige med 3, så skriv 3 i anden række og første kolonne.

   5. Divider hver kvotient med den anden divisor. Skriv hvert divisionsresultat under den tilsvarende kvotient.

      • For eksempel, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), så skriv 3 under 9.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), så skriv 5 under 15.

   6. Suppler om nødvendigt gitteret med yderligere celler. Gentag ovenstående trin, indtil kvotienterne har en fælles divisor.

   7. Sæt en cirkel om tallene i den første kolonne og sidste række i gitteret. Skriv derefter de fremhævede tal som en multiplikationsoperation.

      • For eksempel er tallene 2 og 3 i første kolonne, og tallene 3 og 5 er i sidste række, så skriv multiplikationsoperationen sådan: 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\ gange 3\ gange 3\ gange 5).

   8. Find resultatet af at gange tal. Dette vil beregne det mindste fælles multiplum af de to givne tal.

      • For eksempel, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\ gange 3\ gange 3\ gange 5=90). Så det mindste fælles multiplum af 18 og 30 er 90.

   Euklids algoritme

   1. Husk terminologien forbundet med divisionsoperationen. Udbyttet er det antal, der bliver delt. Divisor er det tal, man dividerer med. Kvotienten er resultatet af at dividere to tal. Resten er det tal, der er tilbage, når to tal deles.

      • For eksempel i udtrykket 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) hvile. 3:
        15 er det delelige
        6 er divisor
        2 er privat
        3 er resten.

Men mange naturlige tal er ligeligt delelige med andre naturlige tal.

For eksempel:

Tallet 12 er deleligt med 1, med 2, med 3, med 4, med 6, med 12;

Tallet 36 er deleligt med 1, med 2, med 3, med 4, med 6, med 12, med 18, med 36.

De tal, som tallet er deleligt med (for 12 er det 1, 2, 3, 4, 6 og 12) kaldes taldelere. Divisor af et naturligt tal -en er det naturlige tal, der deler det givne tal -en uden spor. Et naturligt tal, der har mere end to faktorer kaldes sammensatte.

Bemærk, at tallene 12 og 36 har fælles divisorer. Disse er tallene: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Den største divisor af disse tal er 12. Den fælles divisor for disse to tal -en Og b er det tal, som begge givne tal er delelige med uden en rest -en Og b.

fælles multiplum flere tal kaldes det tal, der er deleligt med hvert af disse tal. For eksempel, tallene 9, 18 og 45 har et fælles multiplum på 180. Men 90 og 360 er også deres fælles multiplum. Blandt alle jcommon multipla er der altid det mindste, i dette tilfælde er det 90. Dette tal kaldes mindstfælles multiplum (LCM).

LCM er altid et naturligt tal, som skal være større end det største af de tal, som det er defineret for.

Mindste fælles multiplum (LCM). Ejendomme.

Kommutativitet:

Associativitet:

Især hvis og - coprimtal, At:

Mindste fælles multiplum af to heltal m Og n er en divisor af alle andre fælles multipla m Og n. Desuden sættet af fælles multipla m,n falder sammen med mængden af ​​multipla for LCM( m,n).

Asymptotikken for kan udtrykkes i form af nogle talteoretiske funktioner.

Så, Chebyshev funktion. Og:

Dette følger af definitionen og egenskaberne for Landau-funktionen g(n).

Hvad følger af loven om fordeling af primtal.

Find det mindste fælles multiplum (LCM).

NOC( a, b) kan beregnes på flere måder:

1. Hvis kendt største fælles divisor, kan du bruge dets forhold til NOC:

2. Lad den kanoniske dekomponering af begge tal i primtal være kendt:

Hvor p 1,...,p k er forskellige primtal, og d 1,...,dk Og e 1,...,ek er ikke-negative heltal (de kan være nul, hvis det tilsvarende primtal ikke er i dekomponeringen).

Derefter LCM ( -en,b) beregnes med formlen:

Med andre ord, LCM-nedbrydningen indeholder alle simple multiplikatorer inkluderet i mindst én af udvidelserne af tal a, b, og den største af de to eksponenter for denne faktor tages.

Eksempel:

Beregningen af ​​det mindste fælles multiplum af flere tal kan reduceres til flere successive beregninger af LCM af to tal:

Herske. For at finde LCM for en række tal skal du bruge:

- nedbryde tal til primfaktorer;

- overfør den største udvidelse til faktorerne for det ønskede produkt (produktet af faktorerne af det største antal af de givne), og tilføj derefter faktorer fra udvidelsen af ​​andre tal, der ikke forekommer i det første tal eller er i det et mindre antal gange;

- det resulterende produkt af primfaktorer vil være LCM af de givne tal.

Alle to eller flere naturlige tal har deres egen LCM. Hvis tallene ikke er multipla af hinanden eller ikke har de samme faktorer i udvidelsen, så er deres LCM lig med arbejde disse tal.

Primfaktorerne for tallet 28 (2, 2, 7) blev suppleret med en faktor 3 (tallet 21), det resulterende produkt (84) vil være det mindste tal, der er deleligt med 21 og 28.

Primfaktorerne for det største tal 30 blev suppleret med en faktor 5 af tallet 25, det resulterende produkt 150 er større end det største tal 30 og er deleligt med alle givne tal uden en rest. Dette er det mindst mulige produkt (150, 250, 300...), som alle givne tal er multipla af.

Tallene 2,3,11,37 er primtal, så deres LCM er lig med produktet af de givne tal.

Herske. For at beregne LCM af primtal skal du gange alle disse tal sammen.

En anden mulighed:

For at finde det mindste fælles multiplum (LCM) af flere tal skal du bruge:

1) repræsentere hvert tal som et produkt af dets primfaktorer, for eksempel:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7,

2) nedskriv styrkerne af alle primfaktorer:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1,

3) nedskriv alle primdivisorer (multiplikatorer) af hvert af disse tal;

4) vælg den største grad af hver af dem, der findes i alle udvidelser af disse tal;

5) gange disse potenser.

Eksempel. Find LCM for tallene: 168, 180 og 3024.

Løsning. 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,

180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1 .

Vi skriver de største potenser af alle primtal divisorer og gange dem:

LCM = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Andet nummer: b=

Cifferseparator Ingen mellemrumsseparator "

Resultat:

Største fælles divisor gcd( -en,b)=6

Mindste fælles multiplum af LCM( -en,b)=468

Det største naturlige tal, som tallene a og b er delelige med uden rest, kaldes største fælles divisor(gcd) af disse tal. Benævnt gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) eller hcf(a,b).

Mindste fælles multiplum(LCM) af to heltal a og b er det mindste naturlige tal, der er deleligt med a og b uden en rest. Benævnt LCM(a,b) eller lcm(a,b).

Heltal a og b kaldes coprime hvis de ikke har andre fælles divisorer end +1 og −1.

Største fælles deler

Lad to positive tal gives -en 1 og -en 2 1). Det er nødvendigt at finde en fælles divisor for disse tal, dvs. finde sådan et nummer λ , som deler tallene -en 1 og -en 2 på samme tid. Lad os beskrive algoritmen.

1) I denne artikel vil ordet tal betyde et heltal.

Lade -en 1 ≥ -en 2 og lad

Hvor m 1 , -en 3 er nogle heltal, -en 3 <-en 2 (resten fra division -en 1 på -en 2 skal være mindre -en 2).

Lad os lade som om λ deler -en 1 og -en 2, så λ deler m 1 -en 2 og λ deler -en 1 −m 1 -en 2 =-en 3 (påstand 2 i artiklen "Delelighed af tal. Tegn på delelighed"). Det følger, at hver fælles divisor -en 1 og -en 2 er en fælles divisor -en 2 og -en 3 . Det modsatte er også sandt, hvis λ fælles divisor -en 2 og -en 3, så m 1 -en 2 og -en 1 =m 1 -en 2 +-en 3 er også opdelt i λ . Derfor den fælles divisor -en 2 og -en 3 er også en fælles divisor -en 1 og -en 2. Fordi -en 3 <-en 2 ≤-en 1 , så kan vi sige, at løsningen på problemet med at finde en fælles divisor af tal -en 1 og -en 2 reduceret til et enklere problem med at finde en fælles divisor af tal -en 2 og -en 3 .

Hvis -en 3 ≠0, så kan vi dividere -en 2 på -en 3 . Derefter

,

Hvor m 1 og -en 4 er nogle heltal, ( -en 4 resten af ​​divisionen -en 2 på -en 3 (-en 4 <-en 3)). Ved lignende ræsonnement kommer vi til den konklusion, at de fælles divisorer af tal -en 3 og -en 4 er det samme som fælles divisorer for tal -en 2 og -en 3 , og også med fælles divisorer -en 1 og -en 2. Fordi -en 1 , -en 2 , -en 3 , -en 4 , ... tal, der konstant er faldende, og da der er et endeligt antal heltal mellem -en 2 og 0, derefter på et eller andet trin n, resten af ​​divisionen -en ikke -en n+1 vil være lig nul ( -en n+2=0).

.

Hver fælles divisor λ tal -en 1 og -en 2 er også en divisor af tal -en 2 og -en 3 , -en 3 og -en 4 , .... -en n og -en n+1. Det omvendte er også sandt, fælles divisorer af tal -en n og -en n+1 er også divisorer af tal -en n−1 og -en n , .... , -en 2 og -en 3 , -en 1 og -en 2. Men den fælles divisor -en n og -en n+1 er et tal -en n+1, fordi -en n og -en n+1 er delelige med -en n+1 (husk det -en n+2=0). Derfor -en n+1 er også en divisor af tal -en 1 og -en 2 .

Bemærk at nummeret -en n+1 er den største taldeler -en n og -en n+1, da den største divisor -en n+1 er sig selv -en n+1. Hvis -en n + 1 kan repræsenteres som et produkt af heltal, så er disse tal også fælles divisorer af tal -en 1 og -en 2. Nummer -en n+1 kaldes største fælles divisor tal -en 1 og -en 2 .

Tal -en 1 og -en 2 kan være både positive og negative tal. Hvis et af tallene er lig nul, så vil den største fælles divisor af disse tal være lig med den absolutte værdi af det andet tal. Den største fælles divisor af nultal er ikke defineret.

Ovenstående algoritme kaldes Euklids algoritme at finde den største fælles divisor af to heltal.

Et eksempel på at finde den største fælles divisor af to tal

Find den største fælles divisor af to tal 630 og 434.

• Trin 1. Divider tallet 630 med 434. Resten er 196.
• Trin 2. Divider tallet 434 med 196. Resten er 42.
• Trin 3. Divider tallet 196 med 42. Resten er 28.
• Trin 4. Divider tallet 42 med 28. Resten er 14.
• Trin 5. Divider tallet 28 med 14. Resten er 0.

Ved trin 5 er resten af ​​divisionen 0. Derfor er den største fælles divisor af tallene 630 og 434 14. Bemærk, at tallene 2 og 7 også er divisorer af tallene 630 og 434.

Coprime tal

Definition 1. Lad den største fælles divisor af tal -en 1 og -en 2 er lig med en. Så kaldes disse numre coprimtal der ikke har en fælles divisor.

Sætning 1. Hvis -en 1 og -en 2 relativt primtal, og λ et eller andet tal, derefter enhver fælles divisor af tal λa 1 og -en 2 er også en fælles divisor af tal λ Og -en 2 .

Bevis. Overvej Euklids algoritme til at finde den største fælles divisor af tal -en 1 og -en 2 (se ovenfor).

.

Det følger af sætningens betingelser, at den største fælles divisor af tal -en 1 og -en 2, og derfor -en n og -en n+1 er 1. Dvs. -en n+1=1.

Lad os gange alle disse ligheder med λ , Derefter

.

Lad den fælles divisor -en 1 λ Og -en 2 er δ . Derefter δ indgår som en faktor i -en 1 λ , m 1 -en 2 λ og i -en 1 λ -m 1 -en 2 λ =-en 3 λ (Se "Delelighed af tal", Udsagn 2). Yderligere δ indgår som en faktor i -en 2 λ Og m 2 -en 3 λ , og indgår derfor som en faktor i -en 2 λ -m 2 -en 3 λ =-en 4 λ .

Ved at ræsonnere på denne måde er vi overbevist om det δ indgår som en faktor i -en n−1 λ Og m n−1 -en n λ , og derfor i -en n−1 λ −m n−1 -en n λ =-en n+1 λ . Fordi -en n+1 = 1, så δ indgår som en faktor i λ . Deraf tallet δ er en fælles divisor af tal λ Og -en 2 .

Overvej særlige tilfælde af sætning 1.

Følge 1. Lade -en Og c primtal er relativt b. Derefter deres produkt ac er et primtal mht b.

Virkelig. Fra sætning 1 ac Og b har samme fælles divisor som c Og b. Men tallene c Og b coprime, dvs. have en enkelt fælles divisor 1. Så ac Og b også have en enkelt fælles divisor 1. Derfor ac Og b gensidigt enkelt.

Følge 2. Lade -en Og b coprime tal og lad b deler ak. Derefter b deler og k.

Virkelig. Fra påstandsbetingelsen ak Og b har en fælles divisor b. I kraft af sætning 1, b skal være en fælles divisor b Og k. Derfor b deler k.

Konsekvens 1 kan generaliseres.

Følge 3. 1. Lad tallene -en 1 , -en 2 , -en 3 , ..., -en m er primtal i forhold til tallet b. Derefter -en 1 -en 2 , -en 1 -en 2 · -en 3 , ..., -en 1 -en 2 -en 3 ··· -en m , produktet af disse tal er primtal i forhold til tallet b.

2. Lad os have to rækker med tal

sådan at hvert tal i første række er primtal i forhold til hvert tal i anden række. Derefter produktet

Det er nødvendigt at finde sådanne tal, der er delelige med hvert af disse tal.

Hvis tallet er deleligt med -en 1, så ser det ud sa 1, hvor s et eller andet nummer. Hvis q er den største fælles divisor af tal -en 1 og -en 2, så

Hvor s 1 er et helt tal. Derefter

er mindste fælles multiplum af tal -en 1 og -en 2 .

-en 1 og -en 2 coprime, derefter det mindste fælles multiplum af tallene -en 1 og -en 2:

Find det mindste fælles multiplum af disse tal.

Det følger af ovenstående, at et hvilket som helst multiplum af tallene -en 1 , -en 2 , -en 3 skal være et multiplum af tal ε Og -en 3 og omvendt. Lad det mindste fælles multiplum af tallene ε Og -en 3 er ε 1 . Yderligere et multiplum af tal -en 1 , -en 2 , -en 3 , -en 4 skal være et multiplum af tal ε 1 og -en 4 . Lad det mindste fælles multiplum af tallene ε 1 og -en 4 er ε 2. Således fandt vi ud af, at alle multipla af tal -en 1 , -en 2 , -en 3 ,...,-en m falder sammen med multipla af et bestemt tal ε n , som kaldes det mindste fælles multiplum af de givne tal.

I det særlige tilfælde, når tallene -en 1 , -en 2 , -en 3 ,...,-en m coprime, derefter det mindste fælles multiplum af tallene -en 1 , -en 2 som vist ovenfor har formen (3). Yderligere, siden -en 3 primtal med hensyn til tal -en 1 , -en 2, så -en 3 er et relativt primtal -en 1 · -en 2 (konsekvens 1). Altså det mindste fælles multiplum af tallene -en 1 ,-en 2 ,-en 3 er et tal -en 1 · -en 2 · -en 3 . Argumenterer vi på en lignende måde, når vi frem til følgende påstande.

Udmelding 1. Mindste fælles multiplum af coprimtal -en 1 , -en 2 , -en 3 ,...,-en m er lig med deres produkt -en 1 · -en 2 · -en 3 ··· -en m .

Udmelding 2. Ethvert tal, der er deleligt med hvert af coprimtallene -en 1 , -en 2 , -en 3 ,...,-en m er også deleligt med deres produkt -en 1 · -en 2 · -en 3 ··· -en m .