Hvis to linjer ikke er parallelle, vil de uunngåelig krysse hverandre på ett punkt. Oppdage koordinater poeng skjæring av 2 linjer er tillatt både grafisk og aritmetisk, avhengig av hvilke data oppgaven gir.

Du vil trenge

• – to rette linjer i tegningen;
• – likninger av 2 rette linjer.

Bruksanvisning

1. Hvis linjene allerede er tegnet på grafen, finn løsningen grafisk. For å gjøre dette, fortsett begge eller én av linjene slik at de krysser hverandre. Etter dette, merk skjæringspunktet og senk en vinkelrett fra det til x-aksen (som vanlig, oh).

2. Bruk skalamerkene merket på aksen, finn x-verdien for det punktet. Hvis den er i positiv retning av aksen (til høyre for nullmerket), vil verdien være riktig, ellers vil den være negativ.

3. Finn også ordinaten til skjæringspunktet riktig. Hvis projeksjonen av et punkt er plassert over nullmerket, er det riktig; hvis det er under, er det negativt. Skriv ned koordinatene til punktet på formen (x, y) - dette er løsningen på problemet.

4. Hvis linjene er gitt i form av formlene y=khx+b, kan du også løse oppgaven grafisk: Tegn linjene på et koordinatnett og finn løsningen ved å bruke metoden beskrevet ovenfor.

5. Prøv å finne løsningen på problemet ved å bruke disse formlene. For å gjøre dette, lag et system fra disse ligningene og løs det. Hvis likningene er gitt på formen y=khx+b, sett lik begge sider med x og oppdag x. Plugg deretter verdien av x inn i en av ligningene og finn y.

6. Du kan finne en løsning ved å bruke Cramers metode. Reduser i dette tilfellet ligningene til formen A1x+B1y+C1=0 og A2x+B2y+C2=0. I henhold til Cramers formel, x=-(C1B2-C2B1)/(A1B2-A2B1), og y=-(A1C2-A2C1)/(A1B2-A2B1). Vær oppmerksom på at hvis nevneren er null, så er linjene parallelle eller sammenfallende og krysser følgelig ikke hverandre.

7. Hvis du får linjer i rommet i kanonisk form, før du begynner å søke etter en løsning, sjekk om linjene er parallelle. For å gjøre dette, evaluer eksponentene før t hvis de er proporsjonale, for eksempel x=-1+3t, y=7+2t, z=2+t og x=-1+6t, y=-1+4t, z =-5 +2t, da er linjene parallelle. I tillegg kan linjer krysse hverandre, i så fall vil ikke systemet ha en løsning.

8. Hvis du finner ut at linjene skjærer hverandre, finn punktet for deres skjæringspunkt. Først sett likhetstegn mellom variabler fra forskjellige linjer, og erstatte t med u for den første linjen og med v for den andre linjen. Si at hvis du får linjene x=t-1, y=2t+1, z=t+2 og x=t+1, y=t+1, z=2t+8 vil du få uttrykk som u-1 =v +1, 2u+1=v+1, u+2=2v+8.

9. Uttrykk u fra en ligning, bytt den inn i en annen og finn v (i denne oppgaven u=-2,v=-4). Nå, for å finne skjæringspunktet, erstatte de oppnådde verdiene i stedet for t (det spiller ingen rolle i den første eller andre ligningen) og få koordinatene til punktet x=-3, y=-3, z =0.

Å vurdere 2 kryssende direkte Det er nok å vurdere dem i et plan, siden to kryssende linjer ligger i samme plan. Kjenne til ligningene til disse direkte, er det mulig å oppdage koordinaten til punktet deres kryss .

Du vil trenge

• likninger av linjer

Bruksanvisning

1. I kartesiske koordinater ser den generelle ligningen til en linje slik ut: Ax+By+C = 0. La to linjer krysse hverandre. Ligningen til den første linjen er Ax+By+C = 0, den andre linjen er Dx+Ey+F = 0. Alle indikatorer (A, B, C, D, E, F) må spesifiseres. For å oppdage Et poeng kryss disse direkte det er nødvendig å løse systemet med disse 2 lineære ligningene.

2. For å løse er det praktisk å multiplisere den første ligningen med E, og den andre med B. Som et resultat vil ligningene se slik ut: AEx+BEy+CE = 0, DBx+EBy+FB = 0. Etter å ha trukket fra den andre ligning fra den første, får du: (AE- DB)x = FB-CE. Derfor er x = (FB-CE)/(AE-DB), analogt med den første ligningen innledende system Du kan multiplisere med D, den andre med A, og deretter trekke den andre fra den første. Som et resultat er y = (CD-FA)/(AE-DB). De resulterende x- og y-verdiene vil være koordinatene til punktet kryss direkte .

3. Ligninger direkte kan også skrives gjennom vinkelindeksen k, lik tangenten til helningsvinkelen til den rette linjen. I dette tilfellet har linjens ligning formen y = kx+b. La nå ligningen til den første linjen være y = k1*x+b1, og ligningen til den andre linjen være y = k2*x+b2.

4. Hvis vi setter likhetstegn mellom høyresidene av disse 2 likningene, får vi: k1*x+b1 = k2*x+b2. Derfra er det lett å få at x = (b1-b2)/(k2-k1). Etter å ha erstattet denne x-verdien i en av ligningene, får du: y = (k2*b1-k1*b2)/(k2-k1). x- og y-verdiene vil spesifisere koordinatene til punktet kryss direkte.Hvis to linjer er parallelle eller sammenfallende, så har de ikke universelle punkter eller har et uhyre stort antall universelle punkter. I disse tilfellene er k1 = k2, nevnere for koordinatene til punktene kryss vil forsvinne, derfor vil systemet ikke ha en klassisk løsning Systemet kan bare ha en klassisk løsning, som er ubetinget, fordi to divergerende og ikke-parallelle linjer kan ha bare ett punkt kryss .

Video om emnet

1. For å finne koordinatene til skjæringspunktet til grafene til funksjoner, må du likestille begge funksjonene til hverandre, flytte alle ledd som inneholder $ x $ til venstre side, og resten til høyre side, og finne røttene til resulterende ligning.
2. Den andre metoden er å lage et ligningssystem og løse det ved å erstatte en funksjon med en annen
3. Den tredje metoden innebærer å grafisk konstruere funksjoner og visuell definisjon skjæringspunkter.

Tilfellet av to lineære funksjoner

La oss vurdere to lineære funksjoner$ f(x) = k_1 x+m_1 $ og $ g(x) = k_2 x + m_2 $. Disse funksjonene kalles direkte. Det er ganske enkelt å konstruere dem; du må ta hvilke som helst to verdier $ x_1 $ og $ x_2 $ og finne $ f(x_1) $ og $ (x_2) $. Gjenta deretter det samme med funksjonen $ g(x) $. Deretter finner du visuelt koordinaten til skjæringspunktet til funksjonsgrafene.

Du bør vite at lineære funksjoner bare har ett skjæringspunkt og kun når $ k_1 \neq k_2 $. Ellers, i tilfellet med $ k_1=k_2 $ er funksjonene parallelle med hverandre, siden $ k $ er helningskoeffisienten. Hvis $ k_1 \neq k_2 $ men $ m_1=m_2 $, vil skjæringspunktet være $ M(0;m) $. Det er tilrådelig å huske denne regelen for raskt å løse problemer.

Eksempel 1

La $ f(x) = 2x-5 $ og $ g(x)=x+3 $ gis. Finn koordinatene til skjæringspunktet til funksjonsgrafene.

Løsning

Hvordan gjøre det? Siden to lineære funksjoner presenteres, er det første vi ser på helningskoeffisienten til begge funksjonene $ k_1 = 2 $ og $ k_2 = 1 $. Vi legger merke til at $ k_1 \neq k_2 $, så det er ett skjæringspunkt. La oss finne det ved å bruke ligningen $ f(x)=g(x) $: $$ 2x-5 = x+3 $$ Vi flytter begrepene med $ x $ til venstre side, og resten til høyre: $$ 2x - x = 3+5 $$ Vi har fått $ x=8 $ abscissen til skjæringspunktet til grafene, og la oss nå finne ordinaten. For å gjøre dette, la oss erstatte $ x = 8 $ i en av ligningene, enten i $ f(x) $ eller i $ g(x) $: $$ f(8) = 2\cdot 8 - 5 = 16 - 5 = 11 $$ Så $ M (8;11) $ er skjæringspunktet mellom grafene til to lineære funksjoner. Hvis du ikke kan løse problemet, send det til oss. Vi vil gi detaljert løsning. Du vil kunne se fremdriften til beregningen og få informasjon. Dette vil hjelpe deg med å få karakteren din fra læreren din i tide!

Svar

$$ M (8;11) $$

Tilfellet av to ikke-lineære funksjoner

Eksempel 3

Finn koordinatene til skjæringspunktet til funksjonsgrafene: $ f(x)=x^2-2x+1 $ og $ g(x)=x^2+1 $

Løsning

Hva med to ikke-lineære funksjoner? Algoritmen er enkel: vi setter likhetstegn mellom likningene og finner røttene: $$ x^2-2x+1=x^2+1 $$ Vi fordeler termer med og uten $ x $ på forskjellige sider av ligningen: $$ x^2-2x-x^2=1-1 $$ Abscissen til ønsket punkt er funnet, men det er ikke nok. Ordinaten $y$ mangler fortsatt. Vi erstatter $ x = 0 $ i en av de to likningene til problembetingelsen. For eksempel: $$ f(0)=0^2-2\cdot 0 + 1 = 1 $$ $ M (0;1) $ - skjæringspunkt for funksjonsgrafer

Svar

$$ M (0;1) $$

Oh-oh-oh-oh-oh... vel, det er tøft, som om han leste opp en setning for seg selv =) Avslapping vil imidlertid hjelpe senere, spesielt siden jeg i dag kjøpte passende tilbehør. Derfor, la oss fortsette til den første delen, jeg håper at jeg ved slutten av artikkelen vil opprettholde et muntert humør.

Den relative plasseringen av to rette linjer

Slik er det når publikum synger med i kor. To rette linjer kan:

1) match;

2) være parallell: ;

3) eller kryss på et enkelt punkt: .

Hjelp til dummies : Husk det matematiske krysstegnet, det vil dukke opp veldig ofte. Notasjonen betyr at linjen skjærer linjen ved punkt .

Hvordan bestemme den relative plasseringen av to linjer?

La oss starte med det første tilfellet:

To linjer faller sammen hvis og bare hvis deres tilsvarende koeffisienter er proporsjonale, det vil si at det er et tall «lambda» slik at likestillingene tilfredsstilles

La oss vurdere de rette linjene og lage tre likninger fra de tilsvarende koeffisientene: . Fra hver ligning følger det at derfor disse linjene faller sammen.

Faktisk, hvis alle koeffisientene til ligningen multipliser med –1 (endre fortegn), og alle koeffisientene til ligningen kutt med 2, får du samme ligning:.

Det andre tilfellet, når linjene er parallelle:

To linjer er parallelle hvis og bare hvis koeffisientene til variablene er proporsjonale: , Men.

Som et eksempel, tenk på to rette linjer. Vi sjekker proporsjonaliteten til de tilsvarende koeffisientene for variablene:

Det er imidlertid ganske åpenbart at.

Og det tredje tilfellet, når linjene krysser hverandre:

To linjer krysser hverandre hvis og bare hvis koeffisientene til variablene IKKE er proporsjonale, det vil si at det INGEN slik verdi av «lambda» er at likestillingene er tilfredsstilt

Så for rette linjer vil vi lage et system:

Fra den første ligningen følger det at , og fra den andre ligningen: , som betyr systemet er inkonsekvent(ingen løsninger). Dermed er koeffisientene til variablene ikke proporsjonale.

Konklusjon: linjer krysser hverandre

I praktiske problemer kan du bruke løsningsskjemaet som nettopp er omtalt. Det minner forresten veldig om algoritmen for å sjekke vektorer for kollinearitet, som vi så på i klassen Konseptet med lineær (u)avhengighet av vektorer. Grunnlag for vektorer. Men det er en mer sivilisert innpakning:

Eksempel 1

Finn ut den relative plasseringen av linjene:

Løsning basert på studiet av retningsvektorer av rette linjer:

a) Fra ligningene finner vi retningsvektorene til linjene: .

, som betyr at vektorene ikke er kollineære og linjene krysser hverandre.

I tilfelle setter jeg en stein med skilt ved veikrysset:

Resten hopper over steinen og følger videre, rett til Kashchei den udødelige =)

b) Finn retningsvektorene til linjene:

Linjene har samme retningsvektor, noe som betyr at de enten er parallelle eller sammenfallende. Det er ikke nødvendig å telle determinanten her.

Det er åpenbart at koeffisientene til de ukjente er proporsjonale, og .

La oss finne ut om likheten er sann:

Dermed,

c) Finn retningsvektorene til linjene:

La oss beregne determinanten som består av koordinatene til disse vektorene:
, derfor er retningsvektorene kollineære. Linjene er enten parallelle eller sammenfallende.

Proporsjonalitetskoeffisienten "lambda" er lett å se direkte fra forholdet mellom kollineære retningsvektorer. Imidlertid kan det også bli funnet gjennom koeffisientene til selve ligningene: .

La oss nå finne ut om likheten er sann. Begge gratisvilkårene er null, så:

Den resulterende verdien tilfredsstiller denne ligningen (ethvert tall tilfredsstiller den generelt).

Dermed faller linjene sammen.

Svar:

Svært snart vil du lære (eller til og med allerede har lært) å løse problemet diskutert verbalt bokstavelig talt i løpet av sekunder. I denne forbindelse ser jeg ingen vits i å tilby noe for uavhengig avgjørelse, det er bedre å legge en annen viktig murstein i det geometriske fundamentet:

Hvordan konstruere en linje parallelt med en gitt?

For uvitenhet om dette enkleste oppgaven Nightingale the Robber straffer hardt.

Eksempel 2

Den rette linjen er gitt av ligningen. Skriv en ligning for en parallell linje som går gjennom punktet.

Løsning: La oss betegne den ukjente linjen med bokstaven . Hva sier tilstanden om henne? Den rette linjen går gjennom punktet. Og hvis linjene er parallelle, er det åpenbart at retningsvektoren til den rette linjen "tse" også er egnet for å konstruere den rette linjen "de".

Vi tar retningsvektoren ut av ligningen:

Svar:

Eksempelgeometrien ser enkel ut:

Analytisk testing består av følgende trinn:

1) Vi sjekker at linjene har samme retningsvektor (hvis linjens ligning ikke er riktig forenklet, vil vektorene være kollineære).

2) Sjekk om punktet tilfredsstiller den resulterende ligningen.

I de fleste tilfeller kan analytisk testing enkelt utføres muntlig. Se på de to ligningene, og mange av dere vil raskt bestemme parallelliteten til linjene uten å tegne.

Eksempler på selvstendige løsninger i dag vil være kreative. For du vil fortsatt måtte konkurrere med Baba Yaga, og hun, du vet, elsker alle slags gåter.

Eksempel 3

Skriv en ligning for en linje som går gjennom et punkt parallelt med linjen if

Det er en rasjonell og ikke så rasjonell måte å løse det på. Mest snarvei- på slutten av timen.

Vi jobbet litt med parallelle linjer og kommer tilbake til dem senere. Tilfellet med sammenfallende linjer er av liten interesse, så la oss vurdere et problem som er veldig kjent for deg fra skolens læreplan:

Hvordan finne skjæringspunktet mellom to linjer?

Hvis rett skjærer punktet , så er koordinatene løsningen systemer av lineære ligninger

Hvordan finne skjæringspunktet mellom linjer? Løs systemet.

Værsågod geometrisk betydning systemer av to lineære ligninger i to ukjente- dette er to kryssende (oftest) linjer på et plan.

Eksempel 4

Finn skjæringspunktet mellom linjer

Løsning: Det er to måter å løse - grafisk og analytisk.

Den grafiske metoden er å ganske enkelt tegne de gitte linjene og finne ut skjæringspunktet direkte fra tegningen:

Her er poenget vårt:. For å sjekke, bør du erstatte koordinatene i hver ligning på linjen, de skal passe både der og der. Med andre ord er koordinatene til et punkt en løsning på systemet. I hovedsak så vi på en grafisk løsning systemer av lineære ligninger med to ligninger, to ukjente.

Den grafiske metoden er selvfølgelig ikke dårlig, men det er merkbare ulemper. Nei, poenget er ikke at sjuendeklassinger bestemmer seg på denne måten, poenget er at det vil ta tid å lage en korrekt og NØYAKTIG tegning. I tillegg er noen rette linjer ikke så enkle å konstruere, og selve skjæringspunktet kan ligge et sted i det trettiende rike utenfor notatbokarket.

Derfor er det mer hensiktsmessig å se etter skjæringspunktet analytisk metode. La oss løse systemet:

For å løse systemet ble metoden med term-for-term addisjon av ligninger brukt. For å utvikle relevante ferdigheter, ta en leksjon Hvordan løse et ligningssystem?

Svar:

Kontrollen er triviell - koordinatene til skjæringspunktet må tilfredsstille hver likning i systemet.

Eksempel 5

Finn skjæringspunktet for linjene hvis de skjærer hverandre.

Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd. Det er praktisk å dele opp oppgaven i flere stadier. Analyse av tilstanden tyder på at det er nødvendig:
1) Skriv ned ligningen til den rette linjen.
2) Skriv ned ligningen til den rette linjen.
3) Finn ut den relative plasseringen av linjene.
4) Hvis linjene skjærer hverandre, finn skjæringspunktet.

Utviklingen av en handlingsalgoritme er typisk for mange geometriske problemer, og jeg vil gjentatte ganger fokusere på dette.

Full løsning og svar på slutten av leksjonen:

Ikke engang et par sko var utslitt før vi kom til den andre delen av leksjonen:

Vinkelrette linjer. Avstand fra et punkt til en linje.
Vinkel mellom rette linjer

La oss starte med en typisk og veldig viktig oppgave. I den første delen lærte vi hvordan vi bygger en rett linje parallelt med denne, og nå skal hytta på kyllingbein snu 90 grader:

Hvordan konstruere en linje vinkelrett på en gitt?

Eksempel 6

Den rette linjen er gitt av ligningen. Skriv en likning vinkelrett på linjen som går gjennom punktet.

Løsning: Ved tilstand er det kjent at . Det ville vært fint å finne retningsvektoren til linjen. Siden linjene er vinkelrette, er trikset enkelt:

Fra ligningen "fjerner" vi normalvektoren: , som vil være retningsvektoren til den rette linjen.

La oss komponere ligningen for en rett linje ved hjelp av et punkt og en retningsvektor:

Svar:

La oss utvide den geometriske skissen:

Hmmm... Oransje himmel, oransje hav, oransje kamel.

Analytisk verifisering av løsningen:

1) Vi tar ut retningsvektorene fra ligningene og med hjelp skalært produkt av vektorer vi kommer til den konklusjon at linjene faktisk er vinkelrette: .

Du kan forresten bruke vanlige vektorer, det er enda enklere.

2) Sjekk om punktet tilfredsstiller den resulterende ligningen .

Testen er igjen enkel å utføre muntlig.

Eksempel 7

Finn skjæringspunktet for vinkelrette linjer hvis ligningen er kjent og periode.

Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd. Det er flere handlinger i problemet, så det er praktisk å formulere løsningen punkt for punkt.

Vår spennende reise fortsetter:

Avstand fra punkt til linje

Foran oss er en rett stripe av elven og vår oppgave er å komme til den på korteste vei. Det er ingen hindringer, og den mest optimale ruten vil være å bevege seg langs vinkelrett. Det vil si at avstanden fra et punkt til en linje er lengden på det vinkelrette segmentet.

Avstand i geometri er tradisjonelt betegnet med den greske bokstaven "rho", for eksempel: - avstanden fra punktet "em" til den rette linjen "de".

Avstand fra punkt til linje uttrykt med formelen

Eksempel 8

Finn avstanden fra et punkt til en linje

Løsning: alt du trenger å gjøre er å erstatte tallene forsiktig i formelen og utføre beregningene:

Svar:

La oss lage tegningen:

Den funnet avstanden fra punktet til linjen er nøyaktig lengden på det røde segmentet. Hvis du tegner en tegning på rutete papir i en skala på 1 enhet. = 1 cm (2 celler), så kan avstanden måles med en vanlig linjal.

La oss vurdere en annen oppgave basert på samme tegning:

Oppgaven er å finne koordinatene til et punkt som er symmetrisk til punktet i forhold til den rette linjen . Jeg foreslår at du utfører trinnene selv, men jeg vil skissere løsningsalgoritmen med mellomresultater:

1) Finn en linje som er vinkelrett på linjen.

2) Finn skjæringspunktet mellom linjene: .

Begge handlingene diskuteres i detalj i denne leksjonen.

3) Punktet er midtpunktet i segmentet. Vi kjenner koordinatene til midten og en av endene. Av formler for koordinatene til midtpunktet til et segment Vi finner .

Det vil være en god idé å sjekke at avstanden også er 2,2 enheter.

Det kan oppstå vanskeligheter med beregninger her, men en mikrokalkulator er til stor hjelp i tårnet, slik at du kan telle vanlige brøker. Jeg har gitt deg råd mange ganger og vil anbefale deg igjen.

Hvordan finne avstanden mellom to parallelle linjer?

Eksempel 9

Finn avstanden mellom to parallelle linjer

Dette er et annet eksempel for deg å bestemme selv. Jeg skal gi deg et lite hint: det er uendelig mange måter å løse dette på. Debriefing på slutten av leksjonen, men det er bedre å prøve å gjette selv, jeg tror oppfinnsomheten din var godt utviklet.

Vinkel mellom to rette linjer

Hvert hjørne er en jamb:


I geometri er vinkelen mellom to rette linjer tatt for å være den MINDRE vinkelen, hvorav det automatisk følger at den ikke kan være stump. På figuren regnes ikke vinkelen angitt av den røde buen som vinkelen mellom kryssende linjer. Og hans "grønne" nabo eller motsatt orientert"bringebær" hjørne.

Hvis linjene er vinkelrette, kan en hvilken som helst av de 4 vinklene tas som vinkelen mellom dem.

Hvordan er vinklene forskjellige? Orientering. For det første er retningen som vinkelen "rulles" i grunnleggende viktig. For det andre skrives en negativt orientert vinkel med et minustegn, for eksempel hvis .

Hvorfor fortalte jeg deg dette? Det ser ut til at vi kan klare oss med det vanlige konseptet med en vinkel. Faktum er at formlene som vi finner vinkler med lett kan resultere i et negativt resultat, og dette bør ikke overraske deg. En vinkel med et minustegn er ikke verre, og har en veldig spesifikk geometrisk betydning. På tegningen, for en negativ vinkel, sørg for å angi orienteringen med en pil (med klokken).

Hvordan finne vinkelen mellom to rette linjer? Det er to arbeidsformler:

Eksempel 10

Finn vinkelen mellom linjene

Løsning Og Metode én

La oss vurdere to rette linjer definert av ligninger i generell form:

Hvis rett ikke vinkelrett, Det orientert Vinkelen mellom dem kan beregnes ved hjelp av formelen:

La oss følge nøye med på nevneren - dette er nøyaktig skalært produkt retningsvektorer av rette linjer:

Hvis , så blir nevneren til formelen null, og vektorene vil være ortogonale og linjene vil være vinkelrette. Det er derfor tatt forbehold om at rette linjer ikke er vinkelrett i formuleringen.

Basert på ovenstående er det praktisk å formalisere løsningen i to trinn:

1) La oss beregne skalarproduktet av retningsvektorene til linjene:
, som betyr at linjene ikke er vinkelrette.

2) Finn vinkelen mellom rette linjer ved å bruke formelen:

Ved å bruke den omvendte funksjonen er det enkelt å finne selve vinkelen. I dette tilfellet bruker vi rartheten til arctangensen (se. Grafer og egenskaper til elementære funksjoner):

Svar:

I svaret ditt angir vi den nøyaktige verdien, samt en omtrentlig verdi (gjerne i både grader og radianer), beregnet ved hjelp av en kalkulator.

Vel, minus, minus, ingen stor sak. Her er en geometrisk illustrasjon:

Det er ikke overraskende at vinkelen viste seg å ha en negativ orientering, for i problemformuleringen er det første tallet en rett linje og "avskruingen" av vinkelen begynte nøyaktig med den.

Hvis du virkelig ønsker å få en positiv vinkel, må du bytte linjene, det vil si ta koeffisientene fra den andre ligningen , og ta koeffisientene fra den første ligningen. Kort sagt, du må begynne med en direkte .

Hvis linjene skjærer hverandre i et punkt, er koordinatene løsningen systemer av lineære ligninger

Hvordan finne skjæringspunktet mellom linjer? Løs systemet.

Værsågod geometrisk betydning av et system av to lineære ligninger med to ukjente- dette er to kryssende (oftest) linjer på et plan.

Det er praktisk å dele opp oppgaven i flere stadier. Analyse av tilstanden tyder på at det er nødvendig:
1) Lag en likning av én rett linje.
2) Skriv en ligning for den andre linjen.
3) Finn ut den relative plasseringen av linjene.
4) Hvis linjene skjærer hverandre, finn skjæringspunktet.

Eksempel 13.

Finn skjæringspunktet mellom linjer

Løsning: Det anbefales å søke etter skjæringspunktet ved hjelp av analysemetoden. La oss løse systemet:

Svar:

S.6.4. Avstand fra punkt til linje

Foran oss er en rett stripe av elven og vår oppgave er å komme til den på korteste vei. Det er ingen hindringer, og den mest optimale ruten vil være å bevege seg langs vinkelrett. Det vil si at avstanden fra et punkt til en linje er lengden på det vinkelrette segmentet.

Avstand i geometri er tradisjonelt betegnet med den greske bokstaven "rho", for eksempel: - avstanden fra punktet "em" til den rette linjen "de".

Avstand fra punkt til en rett linje uttrykt med formelen

Eksempel 14.

Finn avstanden fra et punkt til en linje

Løsning: alt du trenger å gjøre er å erstatte tallene forsiktig i formelen og utføre beregningene:

Svar:

S.6.5. Vinkel mellom rette linjer.

Eksempel 15.

Finn vinkelen mellom linjene.

1. Sjekk om linjene er vinkelrette:

La oss beregne skalarproduktet av retningsvektorene til linjene:
, som betyr at linjene ikke er vinkelrette.
2. Finn vinkelen mellom rette linjer ved å bruke formelen:

Dermed:

Svar:

Andre ordens kurver. Sirkel

La et rektangulært koordinatsystem 0xy angis på planet.

Andre ordens kurve er en linje på et plan definert av en ligning av andre grad i forhold til gjeldende koordinater til punktet M(x, y, z). Generelt ser denne ligningen slik ut:

hvor koeffisientene A, B, C, D, E, L er alle reelle tall, og minst ett av tallene A, B, C er ikke-null.

1.Sirkel er et sett med punkter på et plan, hvor avstanden til et fast punkt M 0 (x 0, y 0) er konstant og lik R. Punkt M 0 kalles sentrum av sirkelen, og tallet R er dens radius

– ligning av en sirkel med sentrum i punktet M 0 (x 0, y 0) og radius R.

Hvis sentrum av sirkelen sammenfaller med opprinnelsen til koordinatene, har vi:

– kanonisk ligning av en sirkel.

Ellipse.

Ellipse er et sett med punkter på et plan, for hver av dem er summen av avstandene til to gitte punkter en konstant verdi (og denne verdien er større enn avstandene mellom disse punktene). Disse punktene kalles ellipse foci.

er den kanoniske ligningen til ellipsen.

Forholdet kalles eksentrisitet ellipse og er betegnet med: , . Siden da< 1.

Følgelig, når forholdet synker, tenderer det til 1, dvs. b skiller seg lite fra a og formen på ellipsen blir nærmere formen til en sirkel. I begrensende tilfelle når , får vi en sirkel hvis ligning er

x 2 + y 2 = a 2.

Hyperbel

Overdrivelse er et sett med punkter på et plan, for hvert av disse den absolutte verdien av forskjellen i avstander til to gitte punkter, kalt triks, er en konstant mengde (forutsatt at denne mengden er mindre enn avstanden mellom fokusene og ikke er lik 0).

La F 1, F 2 være fokusene, avstanden mellom dem vil bli betegnet med 2c, parameteren til parablen).

– kanonisk ligning av en parabel.

Merk at ligningen for negativ p også definerer en parabel, som vil være plassert til venstre for 0y-aksen. Ligningen beskriver en parabel, symmetrisk om 0y-aksen, som ligger over 0x-aksen for p > 0 og ligger under 0x-aksen for p< 0.