Aritmetisk progresjon navngi en tallsekvens (betingelser for en progresjon)

Der hver påfølgende term skiller seg fra den forrige med en ny term, som også kalles trinn eller progresjonsforskjell.

Ved å spesifisere progresjonstrinnet og dets første ledd, kan du derfor finne alle elementene ved hjelp av formelen

Egenskaper for en aritmetisk progresjon

1) Hvert medlem av en aritmetisk progresjon, fra det andre tallet, er det aritmetiske gjennomsnittet av forrige og neste medlem av progresjonen

Det motsatte er også sant. Hvis det aritmetiske gjennomsnittet av tilstøtende odde (partall) ledd i en progresjon er lik leddet som står mellom dem, så er denne tallsekvensen en aritmetisk progresjon. Ved å bruke denne setningen er det veldig enkelt å sjekke hvilken som helst sekvens.

Dessuten, ved egenskapen til aritmetisk progresjon, kan formelen ovenfor generaliseres til følgende

Dette er lett å verifisere hvis du skriver vilkårene til høyre for likhetstegnet

Det brukes ofte i praksis for å forenkle beregninger i oppgaver.

2) Summen av de første n leddene i en aritmetisk progresjon beregnes ved hjelp av formelen

Husk godt formelen for summen av en aritmetisk progresjon; den er uunnværlig i beregninger og finnes ganske ofte i enkle livssituasjoner.

3) Hvis du ikke trenger å finne hele summen, men en del av sekvensen fra dens kth ledd, vil følgende sumformel være nyttig for deg

4) Av praktisk interesse er å finne summen av n ledd av en aritmetisk progresjon som starter fra det kth tallet. For å gjøre dette, bruk formelen

Dette avslutter det teoretiske materialet og går videre til å løse vanlige problemer i praksis.

Eksempel 1. Finn det førtiende leddet i den aritmetiske progresjonen 4;7;...

Løsning:

Etter tilstanden vi har

La oss bestemme progresjonstrinnet

Ved å bruke en velkjent formel finner vi det førtiende leddet i progresjonen

Eksempel 2. Aritmetisk progresjon er gitt av dets tredje og syvende ledd. Finn det første leddet i progresjonen og summen av ti.

Løsning:

La oss skrive ned de gitte elementene i progresjonen ved å bruke formlene

Vi trekker den første fra den andre ligningen, som et resultat finner vi progresjonstrinnet

Vi erstatter den funnet verdien i en av ligningene for å finne det første leddet i den aritmetiske progresjonen

Vi beregner summen av de ti første leddene i progresjonen

Uten å bruke komplekse beregninger fant vi alle nødvendige mengder.

Eksempel 3. En aritmetisk progresjon er gitt av nevneren og en av dens ledd. Finn det første leddet i progresjonen, summen av dets 50 ledd fra 50 og summen av de første 100.

Løsning:

La oss skrive ned formelen for det hundrede elementet i progresjonen

og finn den første

Basert på den første finner vi 50. ledd i progresjonen

Finne summen av delen av progresjonen

og summen av de første 100

Progresjonsbeløpet er 250.

Eksempel 4.

Finn antall ledd i en aritmetisk progresjon hvis:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Løsning:

La oss skrive ligningene i form av det første leddet og progresjonstrinnet og bestemme dem

Vi erstatter de oppnådde verdiene i sumformelen for å bestemme antall ledd i summen

Vi utfører forenklinger

og løse andregradsligningen

Av de to verdiene som er funnet, er det bare tallet 8 som passer til problemforholdene. Dermed er summen av de første åtte leddene i progresjonen 111.

Eksempel 5.

Løs ligningen

1+3+5+...+x=307.

Løsning: Denne ligningen er summen av en aritmetisk progresjon. La oss skrive ut det første leddet og finne forskjellen i progresjon

Noen mennesker behandler ordet "progresjon" med forsiktighet, som et veldig komplekst begrep fra grenene av høyere matematikk. I mellomtiden er den enkleste aritmetiske progresjonen arbeidet til taksameteret (hvor de fortsatt eksisterer). Og å forstå essensen (og i matematikk er det ingenting viktigere enn å "forstå essensen") av en aritmetisk sekvens er ikke så vanskelig, etter å ha analysert noen få elementære konsepter.

Matematisk tallrekkefølge

En numerisk sekvens kalles vanligvis en serie med tall, som hver har sitt eget nummer.

a 1 er det første medlemmet av sekvensen;

og 2 er det andre leddet i sekvensen;

og 7 er det syvende medlem av sekvensen;

og n er det n'te medlem av sekvensen;

Imidlertid er det ikke noe vilkårlig sett med tall og tall som interesserer oss. Vi vil fokusere vår oppmerksomhet på en numerisk sekvens der verdien av det n-te leddet er relatert til dets ordenstall ved en sammenheng som kan formuleres klart matematisk. Med andre ord: den numeriske verdien av det n-te tallet er en funksjon av n.

a er verdien av et medlem av en numerisk sekvens;

n er serienummeret;

f(n) er en funksjon, der ordenstallet i den numeriske rekkefølgen n er argumentet.

Definisjon

En aritmetisk progresjon kalles vanligvis en numerisk sekvens der hvert påfølgende ledd er større (mindre) enn den forrige med samme tall. Formelen for det n-te leddet i en aritmetisk sekvens er som følger:

a n - verdien av gjeldende medlem av den aritmetiske progresjonen;

en n+1 - formel for neste tall;

d - forskjell (bestemt antall).

Det er lett å fastslå at hvis forskjellen er positiv (d>0), så vil hvert påfølgende medlem av serien som vurderes være større enn den forrige, og en slik aritmetisk progresjon vil øke.

I grafen under er det lett å se hvorfor tallsekvensen kalles «økende».

I tilfeller der forskjellen er negativ (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Spesifisert medlemsverdi

Noen ganger er det nødvendig å bestemme verdien av et hvilket som helst vilkårlig ledd a n av en aritmetisk progresjon. Dette kan gjøres ved å sekvensielt beregne verdiene til alle medlemmer av den aritmetiske progresjonen, fra den første til den ønskede. Denne veien er imidlertid ikke alltid akseptabel hvis det for eksempel er nødvendig å finne verdien av femtusendel eller åttemilliontedel. Tradisjonelle beregninger vil ta mye tid. Imidlertid kan en spesifikk aritmetisk progresjon studeres ved hjelp av visse formler. Det er også en formel for det n-te leddet: verdien av et hvilket som helst ledd i en aritmetisk progresjon kan bestemmes som summen av det første leddet i progresjonen med forskjellen av progresjonen, multiplisert med tallet på ønsket ledd, redusert med en.

Formelen er universell for å øke og redusere progresjon.

Et eksempel på beregning av verdien av et gitt begrep

La oss løse følgende problem med å finne verdien av det n-te leddet i en aritmetisk progresjon.

Betingelse: det er en aritmetisk progresjon med parametere:

Det første leddet i sekvensen er 3;

Forskjellen i tallserien er 1,2.

Oppgave: du må finne verdien av 214 ledd

Løsning: For å bestemme verdien av et gitt begrep bruker vi formelen:

a(n) = a1 + d(n-1)

Ved å erstatte dataene fra problemformuleringen med uttrykket har vi:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Svar: Det 214. leddet i sekvensen er lik 258,6.

Fordelene med denne beregningsmetoden er åpenbare - hele løsningen tar ikke mer enn 2 linjer.

Summen av et gitt antall ledd

Svært ofte, i en gitt aritmetisk serie, er det nødvendig å bestemme summen av verdiene til noen av segmentene. For å gjøre dette er det heller ikke nødvendig å beregne verdiene for hvert begrep og deretter legge dem sammen. Denne metoden er aktuelt hvis antallet termer som må finne summen er lite. I andre tilfeller er det mer praktisk å bruke følgende formel.

Summen av leddene til en aritmetisk progresjon fra 1 til n er lik summen av første og n-te ledd, multiplisert med tallet på leddet n og delt på to. Hvis verdien av det n-te leddet i formelen erstattes av uttrykket fra forrige avsnitt i artikkelen, får vi:

Regneeksempel

La oss for eksempel løse et problem med følgende forhold:

Det første leddet i sekvensen er null;

Forskjellen er 0,5.

Problemet krever å bestemme summen av vilkårene i serien fra 56 til 101.

Løsning. La oss bruke formelen for å bestemme mengden av progresjon:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Først bestemmer vi summen av verdiene av 101 vilkår for progresjonen ved å erstatte de gitte betingelsene for problemet vårt i formelen:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2525

Åpenbart, for å finne ut summen av betingelsene for progresjonen fra 56. til 101., er det nødvendig å trekke S 55 fra S 101.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Dermed er summen av den aritmetiske progresjonen for dette eksemplet:

s 101 - s 55 = 2 525 - 742,5 = 1 782,5

Eksempel på praktisk anvendelse av aritmetisk progresjon

På slutten av artikkelen, la oss gå tilbake til eksemplet på en aritmetisk sekvens gitt i første ledd - et taksameter (taxibilmåler). La oss vurdere dette eksemplet.

Å gå ombord i en taxi (som inkluderer 3 km reise) koster 50 rubler. Hver påfølgende kilometer betales med en hastighet på 22 rubler/km. Reiseavstanden er 30 km. Beregn kostnadene for reisen.

1. La oss forkaste de første 3 km, hvis pris er inkludert i landingskostnadene.

30 - 3 = 27 km.

2. Videre beregning er ikke annet enn å analysere en aritmetisk tallserie.

Medlemsnummer - antall tilbakelagte kilometer (minus de tre første).

Verdien av medlemmet er summen.

Det første leddet i dette problemet vil være lik en 1 = 50 rubler.

Progresjonsforskjell d = 22 r.

tallet vi er interessert i er verdien av (27+1) ledd i den aritmetiske progresjonen - målerstanden på slutten av den 27. kilometeren er 27.999... = 28 km.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

Kalenderdataberegninger for en vilkårlig lang periode er basert på formler som beskriver visse numeriske sekvenser. I astronomi er lengden på banen geometrisk avhengig av avstanden mellom himmellegemet og stjernen. I tillegg brukes forskjellige tallserier med hell i statistikk og andre anvendte matematikkområder.

En annen type tallsekvens er geometrisk

Geometrisk progresjon er preget av større endringshastigheter sammenlignet med aritmetisk progresjon. Det er ingen tilfeldighet at i politikk, sosiologi og medisin, for å vise den høye spredningshastigheten til et bestemt fenomen, for eksempel en sykdom under en epidemi, sier de at prosessen utvikler seg i geometrisk progresjon.

Det N-te leddet i den geometriske tallserien skiller seg fra det forrige ved at det multipliseres med et konstant tall - nevneren, for eksempel, den første ledd er 1, nevneren er tilsvarende lik 2, deretter:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - verdien av gjeldende term for den geometriske progresjonen;

b n+1 - formel for neste ledd i den geometriske progresjonen;

q er nevneren for den geometriske progresjonen (et konstant tall).

Hvis grafen til en aritmetisk progresjon er en rett linje, maler en geometrisk progresjon et litt annet bilde:

Som i tilfellet med aritmetikk, har geometrisk progresjon en formel for verdien av et vilkårlig ledd. Ethvert n'te ledd i en geometrisk progresjon er lik produktet av det første leddet og nevneren for progresjonen i potensen n redusert med én:

Eksempel. Vi har en geometrisk progresjon med det første leddet lik 3 og nevneren for progresjonen lik 1,5. La oss finne 5. ledd i progresjonen

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15.1875

Summen av et gitt antall ledd beregnes også ved hjelp av en spesiell formel. Summen av de første n leddene i en geometrisk progresjon er lik differansen mellom produktet av progresjonens n. ledd og dens nevner og den første leddet av progresjonen, delt på nevneren redusert med én:

Hvis b n erstattes ved hjelp av formelen diskutert ovenfor, vil verdien av summen av de første n leddene i tallserien under vurdering ha formen:

Eksempel. Den geometriske progresjonen starter med det første leddet lik 1. Nevneren settes til 3. La oss finne summen av de åtte første leddene.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

I. V. Yakovlev | Matematikkmaterialer | MathUs.ru

Aritmetisk progresjon

En aritmetisk progresjon er en spesiell type sekvens. Derfor, før vi definerer aritmetisk (og deretter geometrisk) progresjon, må vi kort diskutere det viktige konseptet tallrekkefølge.

Etterfølge

Se for deg en enhet på skjermen hvor visse numre vises etter hverandre. La oss si 2; 7; 1. 3; 1; 6; 0; 3; : : : Dette settet med tall er nettopp et eksempel på en sekvens.

Definisjon. En tallsekvens er et sett med tall der hvert nummer kan tildeles et unikt nummer (det vil si assosiert med et enkelt naturlig tall)1. Tallet n kalles det n-te leddet i sekvensen.

Så i eksemplet ovenfor er det første tallet 2, dette er det første medlemmet av sekvensen, som kan betegnes med a1; nummer fem har tallet 6 er det femte leddet i sekvensen, som kan betegnes med a5. I det hele tatt, nte termin sekvenser er betegnet med en (eller bn, cn, etc.).

En veldig praktisk situasjon er når det n-te leddet i sekvensen kan spesifiseres med en formel. For eksempel angir formelen an = 2n 3 sekvensen: 1; 1; 3; 5; 7; : : : Formelen an = (1)n spesifiserer rekkefølgen: 1; 1; 1; 1; : : :

Ikke hvert sett med tall er en sekvens. Dermed er et segment ikke en sekvens; den inneholder "for mange" tall til å omnummereres. Mengden R av alle reelle tall er heller ikke en sekvens. Disse fakta er bevist i løpet av matematisk analyse.

Aritmetisk progresjon: grunnleggende definisjoner

Nå er vi klare til å definere en aritmetisk progresjon.

Definisjon. En aritmetisk progresjon er en sekvens der hvert ledd (fra det andre) er lik summen av forrige ledd og et fast tall (kalt differansen av den aritmetiske progresjonen).

For eksempel sekvens 2; 5; 8; elleve; : : : er en aritmetisk progresjon med første ledd 2 og forskjell 3. Sekvens 7; 2; 3; 8; : : : er en aritmetisk progresjon med første ledd 7 og forskjell 5. Sekvens 3; 3; 3; : : : er en aritmetisk progresjon med en forskjell lik null.

Ekvivalent definisjon: sekvensen an kalles en aritmetisk progresjon hvis forskjellen an+1 an er en konstant verdi (uavhengig av n).

En aritmetisk progresjon kalles økende hvis forskjellen er positiv, og avtagende hvis forskjellen er negativ.

1 Men her er en mer kortfattet definisjon: en sekvens er en funksjon definert på settet av naturlige tall. For eksempel er en sekvens av reelle tall en funksjon f: N ! R.

Som standard anses sekvenser som uendelige, det vil si at de inneholder et uendelig antall tall. Men ingen plager oss å vurdere endelige sekvenser; faktisk kan ethvert begrenset sett med tall kalles en endelig rekkefølge. For eksempel er sluttsekvensen 1; 2; 3; 4; 5 består av fem tall.

Formel for n'te ledd i en aritmetisk progresjon

Det er lett å forstå at en aritmetisk progresjon er fullstendig bestemt av to tall: det første leddet og forskjellen. Derfor oppstår spørsmålet: hvordan, ved å vite det første leddet og forskjellen, finne et vilkårlig ledd for en aritmetisk progresjon?

Det er ikke vanskelig å få den nødvendige formelen for det n-te leddet i en aritmetisk progresjon. La en

Oppgave 1. I aritmetisk progresjon 2; 5; 8; elleve; : : : finn formelen for det n-te leddet og beregn det hundrede leddet.

Løsning. I henhold til formel (1) har vi:

an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

Egenskap og tegn på aritmetisk progresjon

Egenskap for aritmetisk progresjon. I aritmetisk progresjon en for evt

Med andre ord er hvert medlem av en aritmetisk progresjon (startende fra den andre) det aritmetiske gjennomsnittet av nabomedlemmene.

som var det som var nødvendig.

Mer generelt tilfredsstiller den aritmetiske progresjonen likheten

a n = a n k+ a n+k

for enhver n > 2 og enhver naturlig k< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Det viser seg at formel (2) ikke bare fungerer som en nødvendig, men også som en tilstrekkelig betingelse for at sekvensen skal være en aritmetisk progresjon.

Aritmetisk progresjonstegn. Hvis likhet (2) gjelder for alle n > 2, så er sekvensen an en aritmetisk progresjon.

Bevis. La oss omskrive formel (2) som følger:

a na n 1= a n+1a n:

Av dette kan vi se at forskjellen an+1 an ikke er avhengig av n, og dette betyr nettopp at sekvensen an er en aritmetisk progresjon.

Egenskapen og tegnet til en aritmetisk progresjon kan formuleres i form av ett utsagn; For enkelhets skyld vil vi gjøre dette for tre tall (dette er situasjonen som ofte oppstår i problemer).

Karakterisering av en aritmetisk progresjon. Tre tall a, b, c danner en aritmetisk progresjon hvis og bare hvis 2b = a + c.

Oppgave 2. (MSU, Økonomisk fakultet, 2007) Tre tall 8x, 3 x2 og 4 i angitt rekkefølge danner en avtagende aritmetisk progresjon. Finn x og angi forskjellen på denne progresjonen.

Løsning. Ved egenskapen til aritmetisk progresjon har vi:

2(3 x2) = 8x 4, 2x2 + 8x 10 = 0, x2 + 4x 5 = 0, x = 1; x = 5:

Hvis x = 1, får vi en avtagende progresjon på 8, 2, 4 med en forskjell på 6. Hvis x = 5, får vi en økende progresjon på 40, 22, 4; denne saken er ikke egnet.

Svar: x = 1, forskjellen er 6.

Summen av de første n leddene i en aritmetisk progresjon

Legenden forteller at læreren en dag ba barna finne summen av tallene fra 1 til 100 og satte seg stille ned for å lese avisen. Men i løpet av få minutter sa en gutt at han hadde løst problemet. Dette var 9 år gamle Carl Friedrich Gauss, senere en av historiens største matematikere.

Lille Gauss sin idé var som følger. La

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

La oss skrive dette beløpet i omvendt rekkefølge:

S = 100 + 99 + 98 + ::: + 3 + 2 + 1;

og legg til disse to formlene:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Hvert ledd i parentes er lik 101, og det er totalt 100 slike ledd. Derfor

2S = 101 100 = 10100;

Vi bruker denne ideen til å utlede sumformelen

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

En nyttig modifikasjon av formel (3) oppnås hvis vi erstatter formelen til det n-te leddet an = a1 + (n 1)d i den:

Oppgave 3. Finn summen av alle positive tresifrede tall som er delelig med 13.

Løsning. Tresifrede tall som er multipler av 13 danner en aritmetisk progresjon med det første leddet er 104 og forskjellen er 13; Den n. ledd i denne progresjonen har formen:

an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:

La oss finne ut hvor mange termer vår progresjon inneholder. For å gjøre dette løser vi ulikheten:

en 6 999; 91 + 13n 6 999;

n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:

Så det er 69 medlemmer i vår progresjon. Ved å bruke formel (4) finner vi den nødvendige mengden:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2

Mange har hørt om aritmetisk progresjon, men ikke alle har en god ide om hva det er. I denne artikkelen vil vi gi den tilsvarende definisjonen, og også vurdere spørsmålet om hvordan man finner forskjellen på en aritmetisk progresjon, og gi en rekke eksempler.

Matematisk definisjon

Så hvis vi snakker om en aritmetisk eller algebraisk progresjon (disse begrepene definerer det samme), betyr dette at det er en viss tallserie som tilfredsstiller følgende lov: hvert to tilstøtende tall i rekken avviker med samme verdi. Matematisk er det skrevet slik:

Her betyr n antall element a n i sekvensen, og tallet d er forskjellen på progresjonen (navnet følger av den presenterte formelen).

Hva betyr det å vite forskjellen d? Om hvor "langt" nabonummer er fra hverandre. Kunnskap om d er imidlertid en nødvendig, men ikke tilstrekkelig betingelse for å bestemme (gjenopprette) hele progresjonen. Det er nødvendig å vite et tall til, som kan være absolutt et hvilket som helst element i serien som vurderes, for eksempel en 4, a10, men som regel bruker de det første tallet, det vil si en 1.

Formler for å bestemme progresjonselementer

Generelt er informasjonen ovenfor allerede nok til å gå videre til å løse spesifikke problemer. Likevel, før den aritmetiske progresjonen er gitt, og det vil være nødvendig å finne forskjellen, vil vi presentere et par nyttige formler, og dermed lette den påfølgende prosessen med å løse problemer.

Det er lett å vise at ethvert element i sekvensen med nummer n kan finnes som følger:

a n = a 1 + (n - 1) * d

Faktisk kan hvem som helst sjekke denne formelen ved enkelt søk: hvis du erstatter n = 1, får du det første elementet, hvis du erstatter n = 2, så gir uttrykket summen av det første tallet og forskjellen, og så videre.

Betingelsene for mange problemer er sammensatt på en slik måte at gitt et kjent tallpar, hvis tall også er gitt i sekvensen, er det nødvendig å rekonstruere hele tallserien (finn forskjellen og det første elementet). Nå skal vi løse dette problemet i generell form.

Så la to elementer med tallene n og m gis. Ved å bruke formelen ovenfor, kan du lage et system med to ligninger:

a n = a 1 + (n - 1) * d;

a m = a 1 + (m - 1) * d

For å finne ukjente mengder bruker vi det kjente enkelt triks løsninger på et slikt system: trekk fra venstre og høyre side i par, vil likheten forbli gyldig. Vi har:

a n = a 1 + (n - 1) * d;

a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)

Dermed har vi ekskludert en ukjent (a 1). Nå kan vi skrive det endelige uttrykket for å bestemme d:

d = (a n - a m) / (n - m), hvor n > m

Vi mottok en veldig enkel formel: for å beregne forskjellen d i samsvar med betingelsene for problemet, er det bare nødvendig å ta forholdet mellom forskjellene mellom elementene selv og deres serienumre. Bør ta hensyn til en viktig poeng oppmerksomhet: forskjellene tas mellom de "høyeste" og "laveste" medlemmene, det vil si n > m (den "høyeste" betyr den som ligger lenger fra begynnelsen av sekvensen, dens absolutte verdi kan være enten større eller mindre enn "junior"-elementet).

Uttrykket for forskjellen d-progresjon bør erstattes med en av ligningene i begynnelsen av å løse problemet for å få verdien av det første leddet.

I vår tid med utvikling av datateknologi prøver mange skoleelever å finne løsninger for oppgavene sine på Internett, så spørsmål av denne typen dukker ofte opp: Finn forskjellen på en aritmetisk progresjon på nettet. For en slik forespørsel vil søkemotoren returnere et antall nettsider, ved å gå til som du må angi data kjent fra tilstanden (dette kan enten være to termer av progresjonen eller summen av et visst antall av dem ) og motta et svar umiddelbart. Imidlertid er denne tilnærmingen til å løse problemet uproduktiv når det gjelder studentens utvikling og forståelse av essensen av oppgaven som er tildelt ham.

Løsning uten å bruke formler

La oss løse det første problemet uten å bruke noen av de gitte formlene. La elementene i rekken gis: a6 = 3, a9 = 18. Finn forskjellen på den aritmetiske progresjonen.

Kjente elementer står tett inntil hverandre på rekke og rad. Hvor mange ganger må forskjellen d legges til den minste for å få den største? Tre ganger (første gang vi legger til d, får vi det 7. elementet, andre gang - den åttende, til slutt, tredje gang - den niende). Hvilket tall må legges til tre tre ganger for å få 18? Dette er nummer fem. Egentlig:

Dermed er den ukjente forskjellen d = 5.

Selvfølgelig kunne løsningen ha blitt utført ved hjelp av passende formel, men dette ble ikke gjort med vilje. En detaljert forklaring av løsningen på problemet bør være tydelig og et lysende eksempel Hva er en aritmetisk progresjon?

En oppgave som ligner den forrige

La oss nå løse et lignende problem, men endre inngangsdataene. Så du bør finne om a3 = 2, a9 = 19.

Selvfølgelig kan du igjen ty til "head-on" løsningsmetoden. Men siden elementene i serien er gitt, som er relativt langt fra hverandre, vil denne metoden ikke være helt praktisk. Men å bruke den resulterende formelen vil raskt føre oss til svaret:

d = (a 9 - a 3) / (9 - 3) = (19 - 2) / (6) = 17 / 6 ≈ 2,83

Her har vi rundet det endelige tallet. I hvilken grad denne avrundingen førte til en feil kan bedømmes ved å sjekke resultatet:

a 9 = a 3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 = 18,98

Dette resultatet avviker kun med 0,1 % fra verdien gitt i betingelsen. Derfor kan avrundingen som brukes til nærmeste hundredeler betraktes som et vellykket valg.

Problemer med å bruke formelen for et begrep

La oss vurdere et klassisk eksempel på et problem for å bestemme den ukjente d: finn forskjellen på en aritmetisk progresjon hvis a1 = 12, a5 = 40.

Når to tall av en ukjent algebraisk sekvens er gitt, og ett av dem er elementet a 1, trenger du ikke tenke lenge, men bør umiddelbart bruke formelen for a n-leddet. I dette tilfellet har vi:

a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

Vi fikk det nøyaktige tallet ved deling, så det er ingen vits i å sjekke nøyaktigheten til det beregnede resultatet, slik det ble gjort i forrige avsnitt.

La oss løse et annet lignende problem: vi må finne forskjellen til en aritmetisk progresjon hvis a1 = 16, a8 = 37.

Vi bruker en tilnærming som ligner den forrige og får:

a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

Hva annet bør du vite om aritmetisk progresjon?

I tillegg til problemer med å finne en ukjent forskjell eller individuelle elementer, er det ofte nødvendig å løse problemer med summen av de første leddene i en sekvens. Vurdering av disse oppgavene er utenfor rammen av artikkelen, men for fullstendigheten av informasjonen vi presenterer generell formel for summen av n tall i en serie:

∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2

For eksempel sekvensen \(2\); \(5\); \(8\); \(elleve\); \(14\)... er en aritmetisk progresjon, fordi hvert påfølgende element er forskjellig fra det forrige og tre (kan fås fra det forrige ved å legge til tre):

I denne progresjonen er forskjellen \(d\) positiv (lik \(3\)), og derfor er hvert neste ledd større enn det forrige. Slike progresjoner kalles økende.

Imidlertid kan \(d\) også være det negativt tall. For eksempel, i aritmetisk progresjon \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... progresjonsforskjellen \(d\) er lik minus seks.

Og i dette tilfellet vil hvert neste element være mindre enn det forrige. Disse progresjonene kalles minkende.

Aritmetisk progresjonsnotasjon

Progresjon er indikert med en liten latinsk bokstav.

Tall som danner en progresjon kalles medlemmer(eller elementer).

De er merket med samme bokstav som en aritmetisk progresjon, men med en numerisk indeks lik nummeret på elementet i rekkefølge.

For eksempel består den aritmetiske progresjonen \(a_n = \venstre\( 2; 5; 8; 11; 14...\høyre\)\) av elementene \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) og så videre.

Med andre ord, for progresjonen \(a_n = \venstre\(2; 5; 8; 11; 14...\høyre\)\)

Løse aritmetiske progresjonsproblemer

I prinsippet er informasjonen presentert ovenfor allerede nok til å løse nesten alle aritmetiske progresjonsproblemer (inkludert de som tilbys ved OGE).

Eksempel (OGE). Den aritmetiske progresjonen er spesifisert av betingelsene \(b_1=7; d=4\). Finn \(b_5\).
Løsning:

Svar: \(b_5=23\)

Eksempel (OGE). De tre første leddene i en aritmetisk progresjon er gitt: \(62; 49; 36…\) Finn verdien av det første negative leddet i denne progresjonen..
Løsning:

Svar: \(-3\)

Eksempel (OGE). Gitt flere påfølgende elementer i en aritmetisk progresjon: \(…5; x; 10; 12,5...\) Finn verdien til elementet angitt med bokstaven \(x\).
Løsning:

Svar: \(7,5\).

Eksempel (OGE). Den aritmetiske progresjonen er definert av følgende betingelser: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Finn summen av de første seks leddene i denne progresjonen.
Løsning:

Svar: \(S_6=9\).

Eksempel (OGE). I aritmetisk progresjon \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Finn forskjellen på denne progresjonen.
Løsning:

Svar: \(d=7\).

Viktige formler for aritmetisk progresjon

Som du kan se, kan mange problemer med aritmetisk progresjon løses ganske enkelt ved å forstå det viktigste - at en aritmetisk progresjon er en kjede av tall, og hvert påfølgende element i denne kjeden oppnås ved å legge det samme tallet til det forrige (den forskjell i progresjon).

Noen ganger er det imidlertid situasjoner når det er veldig upraktisk å bestemme seg for "head-on". Tenk deg for eksempel at i det aller første eksemplet må vi ikke finne det femte elementet \(b_5\), men det tre hundre og åttiseksende \(b_(386)\). Skal vi legge til fire \(385\) ganger? Eller forestill deg at du i det nest siste eksemplet må finne summen av de første syttitre elementene. Du blir lei av å telle...

Derfor løser de i slike tilfeller ikke ting "head-on", men bruker spesielle formler utledet for aritmetisk progresjon. Og de viktigste er formelen for det n'te leddet i progresjonen og formelen for summen av \(n\) første ledd.

Formel for \(n\)te ledd: \(a_n=a_1+(n-1)d\), der \(a_1\) er det første leddet i progresjonen;
\(n\) – nummeret på det nødvendige elementet;
\(a_n\) – ledd for progresjonen med nummer \(n\).

Denne formelen lar oss raskt finne selv det trehundrede eller millionte elementet, og bare vite det første og forskjellen i progresjonen.

Eksempel. Den aritmetiske progresjonen er spesifisert av betingelsene: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Finn \(b_(246)\).
Løsning:

Svar: \(b_(246)=1850\).

Formel for summen av de første n leddene: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), hvor

\(a_n\) – det siste summerte leddet;

Eksempel (OGE). Den aritmetiske progresjonen er spesifisert av betingelsene \(a_n=3.4n-0.6\). Finn summen av de første \(25\) leddene i denne progresjonen.
Løsning:

Svar: \(S_(25)=1090\).

For summen \(n\) av de første leddene, kan du få en annen formel: du trenger bare \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \) (\cdot 25\ ) i stedet for \(a_n\) erstatte formelen for det \(a_n=a_1+(n-1)d\). Vi får:

Formel for summen av de første n leddene: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), hvor

\(S_n\) – den nødvendige summen av \(n\) første elementer;
\(a_1\) – det første summerte leddet;
\(d\) – progresjonsforskjell;
\(n\) – antall elementer totalt.

Eksempel. Finn summen av de første \(33\)-ex leddene i den aritmetiske progresjonen: \(17\); \(15,5\); \(14\)...
Løsning:

Svar: \(S_(33)=-231\).

Mer komplekse aritmetiske progresjonsproblemer

Nå har du alt nødvendig informasjon for å løse nesten alle aritmetiske progresjonsproblemer. La oss avslutte emnet med å vurdere problemer der du ikke bare trenger å bruke formler, men også tenke litt (i matematikk kan dette være nyttig ☺)

Eksempel (OGE). Finn summen av alle negative ledd i progresjonen: \(-19.3\); \(-19\); \(-18,7\)...
Løsning:

Svar: \(S_(65)=-630,5\).

Eksempel (OGE). Den aritmetiske progresjonen er spesifisert av betingelsene: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Finn summen fra \(26\)-elementet til \(42\)-elementet.
Løsning:

Svar: \(S=1683\).

For aritmetisk progresjon er det flere formler som vi ikke vurderte i denne artikkelen på grunn av deres lave praktiske nytte. Du kan imidlertid enkelt finne dem.