Minste felles multiplum av 4 tall. Største felles deler og minst felles multiplum. Online kalkulator

Hvordan finne det minste felles multiplum?

Vi må finne hver faktor for hvert av de to tallene som vi finner det minste felles multiplum for, og deretter multiplisere med hverandre faktorene som sammenfaller i det første og andre tallet. Resultatet av produktet vil være det nødvendige multiplumet.

For eksempel har vi tallene 3 og 5 og vi må finne LCM (minste felles multiplum). Oss trenger å formere seg og tre og fem for alle tall fra 1 2 3 ... og så videre til vi ser samme tall begge steder.

Multipliser tre og få: 3, 6, 9, 12, 15

Multipliser med fem og få: 5, 10, 15

Primfaktoriseringsmetoden er den mest klassiske metoden for å finne det minste felles multiplum (LCM) av flere tall. Denne metoden er tydelig og enkelt demonstrert i følgende video:

Legg til, multipliser, divider, reduser til fellesnevner og andre aritmetiske operasjoner er veldig spennende aktivitet, jeg beundrer spesielt eksemplene som tar opp et helt ark.

Så finn felles multiplum av to tall, som vil være det minste tallet som de to tallene deles med. Jeg vil bemerke at det ikke er nødvendig å ty til formler i fremtiden for å finne det du leter etter, hvis du kan telle i hodet (og dette kan trenes), så dukker selve tallene opp i hodet ditt og da sprekker fraksjonene som nøtter.

Til å begynne med, la oss lære at du kan multiplisere to tall med hverandre, og deretter redusere dette tallet og dele vekselvis på disse to tallene, så finner vi det minste multiplumet.

For eksempel to tall 15 og 6. Multipliser og få 90. Dette er helt klart et større tall. Dessuten er 15 delelig med 3 og 6 er delelig med 3, noe som betyr at vi også deler 90 på 3. Vi får 30. Vi prøver 30 del 15 er lik 2. Og 30 deler 6 er lik 5. Siden 2 er grensen, snur det ut at det minste multiplumet for tall er 15 og 6 vil være 30.

Med større tall blir det litt vanskeligere. men hvis du vet hvilke tall som gir en null-rest når du deler eller multipliserer, så er det i prinsippet ingen store vanskeligheter.

Hvordan finne NOC

Her er en video som vil gi deg to måter å finne det minste felles multiplum (LCM). Etter å ha øvd på å bruke den første av de foreslåtte metodene, kan du bedre forstå hva det minste felles multiplumet er.

Jeg presenterer en annen måte å finne det minste felles multiplumet på. La oss se på det med et tydelig eksempel.

Du må finne LCM for tre tall samtidig: 16, 20 og 28.

Vi representerer hvert tall som et produkt av dets primfaktorer:

Vi skriver ned potensene til alle primfaktorer:

16 = 224 = 2^24^1

20 = 225 = 2^25^1

28 = 227 = 2^27^1

Vi velger alle primdelere (multiplikatorer) med de største potensene, multipliserer dem og finner LCM:

LCM = 2^24^15^17^1 = 4457 = 560.

LCM(16; 20; 28) = 560.

Dermed ble resultatet av beregningen tallet 560. Det er det minste felles multiplum, det vil si at det er delelig med hvert av de tre tallene uten en rest.

Minste felles multiplum er et tall som kan deles inn i flere gitte tall uten å etterlate en rest. For å beregne en slik figur, må du ta hvert tall og dekomponere det i enkle faktorer. De tallene som samsvarer, fjernes. Forlater alle en om gangen, multipliser dem seg imellom etter tur og få den ønskede - den minste felles multiplum.

NOC, eller minste felles multiplum, er den minste naturlig tall to eller flere tall som er delelig med hvert av disse tallene uten en rest.

Her er et eksempel på hvordan du finner det minste felles multiplum av 30 og 42.

Det første trinnet er å faktorisere disse tallene i primfaktorer.

For 30 er det 2 x 3 x 5.

For 42 er dette 2 x 3 x 7. Siden 2 og 3 er i utvidelsen av tallet 30, krysser vi dem ut.

Vi skriver ut faktorene som inngår i utvidelsen av tallet 30. Dette er 2 x 3 x 5.
Nå må vi gange dem med den manglende faktoren, som vi har når vi utvider 42, som er 7. Vi får 2 x 3 x 5 x 7.
Vi finner hva 2 x 3 x 5 x 7 er lik og får 210.

Som et resultat finner vi at LCM for tallene 30 og 42 er 210.

For å finne det minste felles multiplum, må du utføre flere sekvensielt enkle handlinger. La oss se på dette med to tall som eksempel: 8 og 12

Vi faktoriserer begge tallene til primfaktorer: 8=2*2*2 og 12=3*2*2
Vi reduserer de samme faktorene til ett av tallene. I vårt tilfelle faller 2 * 2 sammen, la oss redusere dem for tallet 12, så vil 12 ha en faktor igjen: 3.
Finn produktet av alle gjenværende faktorer: 2*2*2*3=24

Når vi sjekker, forsikrer vi oss om at 24 er delelig med både 8 og 12, og dette er det minste naturlige tallet som er delelig med hvert av disse tallene. Her er vi funnet det minste felles multiplum.

Jeg skal prøve å forklare ved å bruke tallene 6 og 8 som et eksempel. Det minste felles multiplum er et tall som kan deles på disse tallene (i vårt tilfelle, 6 og 8), og det vil ikke være noen rest.

Så vi begynner først å multiplisere 6 med 1, 2, 3 osv. og 8 med 1, 2, 3 osv.

Et multiplum er et tall som er delelig med et gitt tall uten en rest. Det minste felles multiplum (LCM) av en gruppe tall er det minste tallet som er delelig med hvert tall i gruppen uten å etterlate en rest. For å finne det minste felles multiplum må du finne primfaktorene til gitte tall. LCM kan også beregnes ved å bruke en rekke andre metoder som gjelder grupper på to eller flere tall.

Trinn

Serie av multipler

Se på disse tallene. Metoden som er beskrevet her, brukes best når den gis to tall, som hver er mindre enn 10. Hvis gitt store tall, bruk en annen metode.

Finn for eksempel det minste felles multiplum av 5 og 8. Dette er små tall, så du kan bruke denne metoden.

Et multiplum er et tall som er delelig med et gitt tall uten en rest. Multipler kan finnes i multiplikasjonstabellen.
- For eksempel er tall som er multipler av 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.
Skriv ned en rekke tall som er multipler av det første tallet. Gjør dette under multipler av det første tallet for å sammenligne to sett med tall.
- For eksempel er tall som er multipler av 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 og 64.
Finn det minste tallet som finnes i begge sett med multipler. Du må kanskje skrive lange serier med multipler for å finne det totale antallet. Det minste tallet som finnes i begge sett med multipler er det minste felles multiplum.
- For eksempel, det minste tallet, som er tilstede i rekken av multipler av 5 og 8, er tallet 40. Derfor er 40 det minste felles multiplum av 5 og 8.
primtallsfaktorisering
1. Se på disse tallene. Metoden som er beskrevet her, er best brukt når det gis to tall, som hver er større enn 10. Hvis mindre tall er gitt, bruk en annen metode.
  - Finn for eksempel det minste felles multiplum av tallene 20 og 84. Hvert av tallene er større enn 10, så du kan bruke denne metoden.
2. Faktor det første tallet inn i primfaktorer. Det vil si at du må finne slike primtall som, når de multipliseres, vil resultere i et gitt tall. Når du har funnet hovedfaktorene, skriv dem som likheter.
  - For eksempel, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\ ganger 10=20) Og 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\ ganger (\mathbf (5) )=10). Dermed er primfaktorene til tallet 20 tallene 2, 2 og 5. Skriv dem som et uttrykk: .
3. Faktor det andre tallet inn i primfaktorer. Gjør dette på samme måte som du faktoriserte det første tallet, det vil si finn slike primtall som, når de multipliseres, vil gi det gitte tallet.
  - For eksempel, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\ ganger 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\ ganger 6=42) Og 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\ ganger (\mathbf (2) )=6). Dermed er primfaktorene til tallet 84 tallene 2, 7, 3 og 2. Skriv dem som et uttrykk: .
4. Skriv ned faktorene som er felles for begge tallene. Skriv slike faktorer som en multiplikasjonsoperasjon. Når du skriver hver faktor, krysser du den ut i begge uttrykkene (uttrykk som beskriver faktoriseringer av tall til primfaktorer).
  - For eksempel har begge tallene en felles faktor på 2, så skriv 2 × (\displaystyle 2\ ganger ) og kryss ut 2 i begge uttrykkene.
  - Det begge tallene har til felles er en annen faktor på 2, så skriv 2 × 2 (\displaystyle 2\times 2) og kryss ut de 2 andre i begge uttrykkene.
5. Legg til de resterende faktorene til multiplikasjonsoperasjonen. Dette er faktorer som ikke er krysset over i begge uttrykkene, det vil si faktorer som ikke er felles for begge tallene.
  - For eksempel i uttrykket 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\ ganger 2\ ganger 5) Begge to (2) er krysset ut fordi de er felles faktorer. Faktoren 5 er ikke krysset ut, så skriv multiplikasjonsoperasjonen slik: 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\ ganger 2\ ganger 5)
  - I uttrykk 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\ ganger 7\ ganger 3\ ganger 2) begge to (2) er også krysset over. Faktorene 7 og 3 er ikke krysset ut, så skriv multiplikasjonsoperasjonen slik: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\ ganger 2\ ganger 5\ ganger 7\ ganger 3).
6. Regn ut det minste felles multiplum. For å gjøre dette, multipliser tallene i den skriftlige multiplikasjonsoperasjonen.
  - For eksempel, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\ ganger 2\ ganger 5\ ganger 7\ ganger 3=420). Så det minste felles multiplum av 20 og 84 er 420.
Finne felles faktorer
1. Tegn et rutenett som for et spill med tic-tac-toe. Et slikt rutenett består av to parallelle linjer som skjærer (i rette vinkler) med ytterligere to parallelle linjer. Dette vil gi deg tre rader og tre kolonner (rutenettet ligner mye på #-ikonet). Skriv det første tallet i første linje og andre kolonne. Skriv det andre tallet i første rad og tredje kolonne.
  - Finn for eksempel det minste felles multiplum av tallene 18 og 30. Skriv tallet 18 i første rad og andre kolonne, og skriv tallet 30 i første rad og tredje kolonne.
2. Finn deleren som er felles for begge tallene. Skriv det ned i første rad og første kolonne. Det er bedre å se etter hovedfaktorer, men dette er ikke et krav.
  - For eksempel er 18 og 30 partall, så deres felles faktor er 2. Så skriv 2 i første rad og første kolonne.
3. Del hvert tall med den første deleren. Skriv hver kvotient under riktig tall. En kvotient er resultatet av å dele to tall.
  - For eksempel, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), så skriv 9 under 18.
  - 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), så skriv ned 15 under 30.
4. Finn deleren som er felles for begge kvotientene. Hvis det ikke finnes en slik divisor, hopper du over de to neste trinnene. Ellers skriver du divisor i andre rad og første kolonne.
  - For eksempel er 9 og 15 delbare med 3, så skriv 3 i andre rad og første kolonne.
5. Del hver kvotient med dens andre deler. Skriv hvert divisjonsresultat under den tilsvarende kvotienten.
  - For eksempel, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), så skriv 3 under 9.
  - 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), så skriv 5 under 15.
6. Om nødvendig, legg til flere celler i rutenettet. Gjenta de beskrevne trinnene til kvotientene har en felles divisor.
7. Sett ring rundt tallene i den første kolonnen og siste raden i rutenettet. Skriv deretter de valgte tallene som en multiplikasjonsoperasjon.
  - For eksempel er tallene 2 og 3 i den første kolonnen, og tallene 3 og 5 er i den siste raden, så skriv multiplikasjonsoperasjonen slik: 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\ ganger 3\ ganger 3\ ganger 5).
8. Finn resultatet av å multiplisere tall. Dette vil beregne det minste felles multiplum av to gitte tall.
  - For eksempel, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\ ganger 3\ ganger 3\ ganger 5=90). Så det minste felles multiplum av 18 og 30 er 90.
Euklids algoritme
1. Husk terminologien knyttet til divisjonsoperasjonen. Utbyttet er tallet som deles. Divisor er tallet som deles på. En kvotient er resultatet av å dele to tall. En rest er tallet som er igjen når to tall deles.
  - For eksempel i uttrykket 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) ost. 3:
    15 er utbyttet
    6 er en divisor
    2 er kvotient
    3 er resten.

Men mange naturlige tall er også delbare med andre naturlige tall.

For eksempel:

Tallet 12 er delelig med 1, med 2, med 3, med 4, med 6, med 12;

Tallet 36 er delelig med 1, med 2, med 3, med 4, med 6, med 12, med 18, med 36.

Tallene som tallet er delelig med en hel (for 12 er disse 1, 2, 3, 4, 6 og 12) kalles deler av tall. Divisor av et naturlig tall en- er et naturlig tall som deler et gitt tall en uten et spor. Et naturlig tall som har mer enn to delere kalles sammensatte.

Vær oppmerksom på at tallene 12 og 36 har felles faktorer. Disse tallene er: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Den største deleren av disse tallene er 12. Fellesdeleren for disse to tallene en Og b- dette er tallet som begge gitte tall deles med uten rest en Og b.

Felles multipler flere tall er et tall som er delelig med hvert av disse tallene. For eksempel, tallene 9, 18 og 45 har et felles multiplum på 180. Men 90 og 360 er også deres felles multiplum. Blant alle vanlige multipler er det alltid en minste, i dette tilfellet er det 90. Dette tallet kalles den minstefelles multiplum (CMM).

LCM er alltid et naturlig tall som må være større enn det største av tallene det er definert for.

Minste felles multiplum (LCM). Egenskaper.

Kommutativitet:

Assosiativitet:

Spesielt hvis og - coprimtall, Det:

Minste felles multiplum av to heltall m Og n er en divisor av alle andre felles multipler m Og n. Dessuten settet med felles multipler m, n faller sammen med settet med multipler av LCM( m, n).

Asymptotikken for kan uttrykkes i form av noen tallteoretiske funksjoner.

Så, Chebyshev funksjon. Og:

Dette følger av definisjonen og egenskapene til Landau-funksjonen g(n).

Hva følger av loven om fordeling av primtall.

Finne det minste felles multiplum (LCM).

INGEN C( a, b) kan beregnes på flere måter:

1. Hvis kjent største felles deler, kan du bruke forbindelsen med LOC:

2. La den kanoniske dekomponeringen av begge tallene til primfaktorer være kjent:

Hvor p 1,...,p k- ulike primtall, og d 1,...,d k Og e 1,...,e k- ikke-negative heltall (de kan være null hvis den tilsvarende primtall ikke er i utvidelsen).

Deretter NOC ( en,b) beregnes med formelen:

Med andre ord inneholder LCM-dekomponeringen all prime multiplikatorer, inkludert i minst én av utvidelsene av tall a, b, og den største av de to eksponentene til denne multiplikatoren tas.

Eksempel:

Å beregne det minste felles multiplum av flere tall kan reduseres til flere sekvensielle beregninger av LCM for to tall:

Regel. For å finne LCM for en tallserie trenger du:

- dekomponere tall til primfaktorer;

- overføre den største dekomponeringen (produktet av faktorene til det største antallet av de gitte) til faktorene til det ønskede produktet, og legg deretter til faktorer fra dekomponeringen av andre tall som ikke vises i det første tallet eller vises i det færre ganger;

— det resulterende produktet av primfaktorer vil være LCM for de gitte tallene.

To eller flere naturlige tall har sin egen LCM. Hvis tallene ikke er multipler av hverandre eller ikke har de samme faktorene i utvidelsen, er deres LCM lik arbeid disse tallene.

Primfaktorene til tallet 28 (2, 2, 7) er supplert med en faktor 3 (tallet 21), det resulterende produktet (84) vil være det minste tallet som er delelig med 21 og 28.

Primfaktorene til det største tallet 30 er supplert med faktoren 5 av tallet 25, det resulterende produktet 150 er større enn det største tallet 30 og er delelig med alle gitte tall uten en rest. Dette er det minste mulige produktet (150, 250, 300...) som er et multiplum av alle gitte tall.

Tallene 2,3,11,37 er primtall, så deres LCM er lik produktet av de gitte tallene.

Regel. For å beregne LCM for primtall, må du multiplisere alle disse tallene sammen.

Et annet alternativ:

For å finne det minste felles multiplum (LCM) av flere tall trenger du:

1) representere hvert tall som et produkt av dets primfaktorer, for eksempel:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) skriv ned potensene til alle primfaktorer:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) skriv ned alle primtallene (multiplikatorene) for hvert av disse tallene;

4) velg den største graden av hver av dem, funnet i alle utvidelser av disse tallene;

5) multipliser disse potensene.

Eksempel. Finn LCM for tallene: 168, 180 og 3024.

Løsning. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

Vi skriver ned de største potensene av alle primdelere og multipliserer dem:

NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Andre nummer: b=

Tusenskiller Uten mellomromsskilletegn "´

Resultat:

Største felles deler gcd( en,b)=6

Minste felles multiplum av LCM( en,b)=468

Det største naturlige tallet som kan deles uten en rest med tallene a og b kalles største felles deler(GCD) av disse tallene. Angitt med gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) eller hcf(a,b).

Minste felles multiplum LCM av to heltall a og b er det minste naturlige tallet som er delelig med a og b uten en rest. Betegnes LCM(a,b), eller lcm(a,b).

Heltallene a og b kalles gjensidig prime, hvis de ikke har andre felles deler enn +1 og −1.

Største felles deler

La to positive tall gis en 1 og en 2 1). Det kreves å finne felles divisor for disse tallene, dvs. finne et slikt nummer λ , som deler tall en 1 og en 2 samtidig. La oss beskrive algoritmen.

1) I denne artikkelen vil ordet tall bli forstått som et heltall.

La en 1 ≥ en 2 og la

Hvor m 1 , en 3 er noen heltall, en 3 <en 2 (resten av divisjonen en 1 pr en 2 bør være mindre en 2).

La oss late som det λ deler en 1 og en 2 da λ deler m 1 en 2 og λ deler en 1 −m 1 en 2 =en 3 (Uttalelse 2 i artikkelen "Talls delebarhet. Delbarhetstest"). Det følger at hver felles divisor en 1 og en 2 er felles deler en 2 og en 3. Det motsatte er også sant hvis λ felles deler en 2 og en 3 da m 1 en 2 og en 1 =m 1 en 2 +en 3 er også delelig med λ . Derfor felles divisor en 2 og en 3 er også en felles divisor en 1 og en 2. Fordi en 3 <en 2 ≤en 1, så kan vi si at løsningen på problemet med å finne felles divisor for tall en 1 og en 2 redusert til det enklere problemet med å finne felles divisor for tall en 2 og en 3 .

Hvis en 3 ≠0, så kan vi dele en 2 på en 3. Deretter

Hvor m 1 og en 4 er noen heltall, ( en 4 gjenværende fra divisjon en 2 på en 3 (en 4 <en 3)). Ved lignende resonnement kommer vi til den konklusjon at felles deler av tall en 3 og en 4 faller sammen med felles deler av tall en 2 og en 3, og også med felles deler en 1 og en 2. Fordi en 1 , en 2 , en 3 , en 4, ... er tall som stadig synker, og siden det er et begrenset antall heltall mellom en 2 og 0, deretter på et eller annet trinn n, resten av divisjonen en ikke en n+1 vil være lik null ( en n+2 = 0).

Hver felles deler λ tall en 1 og en 2 er også en deler av tall en 2 og en 3 , en 3 og en 4 , .... en n og en n+1. Det motsatte er også sant, felles deler av tall en n og en n+1 er også deler av tall en n−1 og en n , .... , en 2 og en 3 , en 1 og en 2. Men felles deler av tall en n og en n+1 er et tall en n+1, fordi en n og en n+1 er delelig med en n+1 (husk det en n+2 = 0). Derfor en n+1 er også en divisor av tall en 1 og en 2 .

Merk at nummeret en n+1 er den største deleren av tall en n og en n+1, siden den største deleren en n+1 er seg selv en n+1. Hvis en n+1 kan representeres som et produkt av heltall, da er disse tallene også felles divisorer av tall en 1 og en 2. Antall en n+1 kalles største felles deler tall en 1 og en 2 .

Tall en 1 og en 2 kan være enten positive eller negative tall. Hvis ett av tallene er lik null, vil den største felles divisor av disse tallene være lik absoluttverdien til det andre tallet. Den største felles divisor av null tall er udefinert.

Algoritmen ovenfor kalles Euklidisk algoritme for å finne den største felles divisor av to heltall.

Et eksempel på å finne den største felles divisor av to tall

Finn den største felles divisor av to tall 630 og 434.

Trinn 1. Del tallet 630 med 434. Resten er 196.
Trinn 2. Del tallet 434 med 196. Resten er 42.
Trinn 3. Del tallet 196 med 42. Resten er 28.
Trinn 4. Del tallet 42 med 28. Resten er 14.
Trinn 5. Del tallet 28 med 14. Resten er 0.

I trinn 5 er resten av divisjonen 0. Derfor er den største felles divisor av tallene 630 og 434 14. Merk at tallene 2 og 7 også er divisorer av tallene 630 og 434.

Coprime tall

Definisjon 1. La den største felles divisor av tallene en 1 og en 2 er lik en. Deretter kalles disse tallene coprimtall, uten felles deler.

Teorem 1. Hvis en 1 og en 2 coprimtall, og λ et tall, deretter en hvilken som helst felles deler av tall λa 1 og en 2 er også en felles deler av tall λ Og en 2 .

Bevis. Tenk på den euklidiske algoritmen for å finne den største felles divisor av tall en 1 og en 2 (se ovenfor).

Av betingelsene for teoremet følger det at den største felles divisor av tallene en 1 og en 2 og derfor en n og en n+1 er 1. Det vil si en n+1 = 1.

La oss multiplisere alle disse likhetene med λ , Deretter

La felles divisor en 1 λ Og en 2 ja δ . Deretter δ er inkludert som en multiplikator i en 1 λ , m 1 en 2 λ og i en 1 λ -m 1 en 2 λ =en 3 λ (se "Talls delebarhet", påstand 2). Lengre δ er inkludert som en multiplikator i en 2 λ Og m 2 en 3 λ , og er derfor en faktor i en 2 λ -m 2 en 3 λ =en 4 λ .

Når vi resonnerer på denne måten, er vi overbevist om det δ er inkludert som en multiplikator i en n−1 λ Og m n−1 en n λ , og derfor i en n−1 λ −m n−1 en n λ =en n+1 λ . Fordi en n+1 =1, da δ er inkludert som en multiplikator i λ . Derfor nummeret δ er felles deler av tall λ Og en 2 .

La oss vurdere spesielle tilfeller av teorem 1.

Konsekvens 1. La en Og c Primtall er relativt b. Så deres produkt ac er et primtall med hensyn til b.

Egentlig. Fra teorem 1 ac Og b har samme felles deler som c Og b. Men tallene c Og b relativt enkelt, dvs. ha en felles divisor 1. Da ac Og b har også en felles divisor 1. Derfor ac Og b gjensidig enkelt.

Konsekvens 2. La en Og b coprime tall og la b deler ak. Deretter b deler og k.

Egentlig. Fra godkjenningsbetingelsen ak Og b har en felles deler b. I kraft av teorem 1, b må være en felles deler b Og k. Derfor b deler k.

Konsekvens 1 kan generaliseres.

Konsekvens 3. 1. La tallene en 1 , en 2 , en 3 , ..., en m er primtall i forhold til tallet b. Deretter en 1 en 2 , en 1 en 2 · en 3 , ..., en 1 en 2 en 3 ··· en m, produktet av disse tallene er primtall i forhold til tallet b.

2. La oss ha to rader med tall

slik at hvert tall i den første serien er primtall i forholdet til hvert tall i den andre serien. Deretter produktet

Du må finne tall som er delbare med hvert av disse tallene.

Hvis et tall er delelig med en 1, så har den formen sa 1 hvor s et eller annet nummer. Hvis q er den største felles deleren av tall en 1 og en 2, da

Hvor s 1 er et heltall. Deretter

er minste felles multiplum av tall en 1 og en 2 .

en 1 og en 2 er relativt prime, deretter det minste felles multiplum av tallene en 1 og en 2:

Vi må finne det minste felles multiplum av disse tallene.

Av ovenstående følger det at et hvilket som helst multiplum av tall en 1 , en 2 , en 3 må være et multiplum av tall ε Og en 3 og tilbake. La det minste felles multiplum av tallene ε Og en 3 ja ε 1 . Deretter multipler av tall en 1 , en 2 , en 3 , en 4 må være et multiplum av tall ε 1 og en 4. La det minste felles multiplum av tallene ε 1 og en 4 ja ε 2. Dermed fant vi ut at alle multipler av tall en 1 , en 2 , en 3 ,...,en m faller sammen med multipler av et visst tall ε n, som kalles det minste felles multiplum av de gitte tallene.

I det spesielle tilfellet når tallene en 1 , en 2 , en 3 ,...,en m er relativt prime, så det minste felles multiplum av tallene en 1 , en 2, som vist ovenfor, har formen (3). Neste, siden en 3 primtall i forhold til tall en 1 , en 2 da en 3 primtall en 1 · en 2 (konsekvens 1). Betyr det minste felles multiplum av tall en 1 ,en 2 ,en 3 er et tall en 1 · en 2 · en 3. Ved å resonnere på lignende måte kommer vi til følgende utsagn.

Uttalelse 1. Minste felles multiplum av coprimtall en 1 , en 2 , en 3 ,...,en m er lik deres produkt en 1 · en 2 · en 3 ··· en m.

Uttalelse 2. Et hvilket som helst tall som er delelig med hvert av coprimtallene en 1 , en 2 , en 3 ,...,en m er også delelig med produktet deres en 1 · en 2 · en 3 ··· en m.