Eğitim projesi "OGE ödevlerinde denklemler"

Cümleleri tamamlayın: 1). Denklem... 2). Denklemin kökü... 3). Denklem çözmek demek...

I. Denklemleri sözlü olarak çözün: 1). 2). 3). 4). 5). 6). 7). 8). 9). 6 x + 18=0 2 x + 5=0 5 x – 3=0 -3 x + 9=0 -5 x + 1=0 -2 x – 10=0 6 x – 7=5 x 9 x + 6 =10 x 5 x - 12=8 x

Aşağıdaki denklemlerden hangisinin çözümü yoktur: a). 2 x – 14 = x + 7 b). 2 x - 14 = 2(x – 7)c). x – 7 = 2 x + 14 g). 2 x - 14 = 2 x + 7?

Denklemlerden hangisinin sonsuz sayıda çözümü vardır: a). 4 x – 12 = x – 12 b). 4 x – 12 = 4 x + 12 c). 4(x – 3) = 4 x – 12g). 4(x – 3) = x – 10?

k, b sayıları verilen kx + b = 0 FORMUNDAKİ DENKLEMLERE DOĞRUSAL OLARAK ADILANIR. Doğrusal denklemleri çözmek için algoritma: 1). parantezleri açın 2). bilinmeyeni içeren terimleri sol tarafa, bilinmeyeni içermeyen terimleri sağ tarafa taşıyın (aktarılan terimin işareti terstir); 3). benzer üyeleri getirin; 4). Denklemin her iki tarafını da sıfıra eşit değilse bilinmeyenin katsayısına bölün.

Defterlerde çözün Grup I: Sayı 681 s.63 6(4 -x)+3 x=3 Grup III: Sayı 767 s.67 (x + 6)2 + (x + 3)2 = 2 x 2 denklemleri : II grubu: Sayı 697 s.63 x-1 +(x+2) = -4(-5 -x)-5

a≠ 0, b, c'nin herhangi bir gerçek sayı olduğu aх2 + bх + c =0 formundaki bir denkleme ikinci dereceden denklem denir. Eksik denklemler: aх2 + bх =0 (c=0), aх2 + c =0 (b=0).

II. İkinci dereceden denklemleri tam mı yoksa eksik mi olduklarını belirterek sözlü olarak çözün: 1). x2 + 15x=0 2). -x2 +2 x = 0 3). x2 -25=0 4). -x2 +9 =0 5). -x2 - 16 =0 6). x2 - 8 x + 15=0 7). x2 + 5x + 6=0 8). x2 + x - 12 =0 9). (-x-5)(-x+ 6)=0 10). x2 -4 x +4 =0

SORULAR: 1). Eksikleri çözmek için denklemlerin hangi özelliği kullanıldı? ikinci dereceden denklemler? 2). Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemleri çözmek için bir polinomu çarpanlarına ayırmanın hangi yöntemleri kullanıldı? 3). Tam ikinci dereceden denklemleri çözme algoritması nedir?

1). İki faktörün çarpımı sıfıra eşittir, eğer biri sıfırsa ikincisi anlamını kaybetmez: a = 0 veya b = 0 ise ab = 0. 2). Ortak bir faktörün yerine a 2 - b 2 =(a – b)(a + b) koymak, kareler farkının formülüdür. 3). İkinci dereceden denklemi tamamlayın ax2 + bx + c = o. D=b 2 – 4 ac, eğer D>0 ise 2 kök; D = 0, 1 kök; D

Vieta teoreminin tersi teorem: a, b, c, x 1 ve x 2 sayıları x 1 x 2 = x 1 + x 2 = olacak şekilde ise ve x 2, a x 2 + bx + c denkleminin kökleri ise = 0

DENKLEMLERİ ÇÖZÜN: Grup I: No. 802 sayfa 71 x2 - 5 x- 36 =0 Grup II: No. 810 sayfa 71 3 x2 - x + 21=5 x2 Grup III: x4 -5 x2 - 36 =0

III. DENKLEMLERİ ÇÖZÜN: Grup I ve II: No. 860 Grup III: =0 =0 Bu tür denklemlere ne ad verilir? Bunları çözmek için hangi özellik kullanılır?

Rasyonel bir denklem =0 formundaki bir denklemdir. Pay sıfır ve payda sıfır değilse kesir sıfıra eşittir. =0, eğer a = 0 ise, b≠ 0.

Kısaca matematik tarihinden Eski Mısır matematikçileri ikinci dereceden ve doğrusal denklemleri çözebiliyorlardı. Cebiri ilk kez bağımsız bir matematik bilimi olarak ortaya koyan İranlı ortaçağ bilim adamı El-Harizmi (9. yüzyıl) genel yöntemler Doğrusal ve ikinci dereceden denklemlerin çözümleri, bu denklemlerin sınıflandırılmasını verdi. Matematikte yeni ve büyük bir atılım, Fransız bilim adamı Francois Vieta'nın (XVI. Yüzyıl) adıyla ilişkilendirilir. Cebire harfleri getiren oydu. İkinci dereceden denklemlerin köklerine ilişkin ünlü teoremden sorumludur. Ve bilinmeyen nicelikleri Latin alfabesinin son harfleriyle (x, y, z) belirtme geleneğini başka bir Fransız matematikçi Rene Descartes'e (XVII) borçluyuz.

Ödev Sitelerle çalışma: - Görev bankasını açın OGE (matematik) http: //85. 142.162.126/os/xmodules/qprint/index. php? proje=DE 0 E 276 E 49 7 AB 3784 C 3 FC 4 CC 20248 DC 0 ; - “OGE'yi çözeceğim”, D. Gushchin https: //oge. sdamgia. ru/; - A. Larin'in web sitesi (seçenek 119) http: //alexlarin. açık/. Öğreticiler: - Yu.M. Kolyagin ders kitabı “Cebir 9. sınıf”, M., “Aydınlanma”, 2014, s. 308 -310; - “3000 görev” altında. Düzenleyen: I. V. Yashchenko, M., “Sınav”, 2017, s. 5974.

Ebeveynler için bilgi Matematikte OGE'ye hazırlık sistemi 1). Derslerde eşlik eden tekrarlar 2). Yıl sonundaki son inceleme 3). Seçmeli dersler(cumartesi günleri) 4). Ödev sistemi - ÇÖZECEĞİM sitelerle çalışma OGE, AÇIK BANK FIPI, SİTE A.LARINA. 5). Bireysel danışmanlık (Pazartesi günleri)

Cebir modülündeki dördüncü ödev, kuvvetlerin ve köklü ifadelerin kullanımına ilişkin bilgiyi test eder.

Matematikte OGE'nin 4 numaralı görevini tamamlarken, yalnızca sayısal ifadeleri hesaplama ve dönüştürme becerileri değil, aynı zamanda cebirsel ifadeleri dönüştürme yeteneği de test edilir. Tamsayı üslü, polinomlu ve rasyonel ifadelerin özdeş dönüşümleri olan kuvvetlerle işlemler gerçekleştirmeniz gerekebilir.

Ana sınavın materyallerine uygun olarak, rasyonel ifadelerin özdeş dönüşümlerini, polinomları çarpanlara ayırmayı, yüzde ve orantıları kullanmayı ve bölünebilirlik testlerini yapmayı gerektiren görevler olabilir.

Görev 4'teki cevap 1 rakamlarından biridir; 2; 3; 4 göreve önerilen cevabın sayısına karşılık gelir.

4 numaralı görev için teori

Teorik materyalden ihtiyacımız olacak Derecelerin işlenmesine ilişkin kurallar:

İle çalışma kuralları radikal ifadeler:

Analiz ettiğim versiyonlarda bu kurallar sunuluyor - üçüncü görevin ilk versiyonunun analizinde dereceleri işleme kuralları sunuluyor ve ikinci ve üçüncü versiyonlarda radikal ifadelerle çalışma örnekleri analiz ediliyor.

Matematikte 4 numaralı OGE görevi için tipik seçeneklerin analizi

Görevin ilk versiyonu

Herhangi bir n değeri için aşağıdaki ifadelerden hangisi 121 11 n çarpımına eşittir?

121n
11n+2
11 2n
11n+3

Çözüm:

Bu sorunu çözmek için aşağıdakileri hatırlamanız gerekir: derecelerin işlenmesine ilişkin kurallar :

Çarpıldığında güçler toplanır
dereceler eklenirken çıkarılır
Bir gücü bir güce yükseltirken, güçler çarpılır
kökü çıkarırken dereceler bölünür

Ayrıca bunu çözmek için 121'i 11'in kuvveti olarak temsil etmek gerekir ki bu da tam olarak 11 2'dir.

121 11n = 11 2 11n

Çarpma kuralını dikkate alarak dereceleri topluyoruz:

11 2 11 n = 11 n+2

Bu nedenle ikinci cevap bize uygundur.

Görevin ikinci versiyonu

Aşağıdaki ifadelerden hangisinin değeri en büyüktür?

2√11
2√10

Çözüm:

Bu görevi çözmek için tüm ifadeleri genel bir forma getirmeniz gerekir - ifadeleri radikal ifadeler biçiminde sunun:

3'ü köke taşıyın:

3√5 = √(3² 5) = √(9 5) = √45

2'yi köke taşıyın:

2√11 = √(2² 11) = √(4 11) =√44

2'yi köke taşıyın:

2√10 = √(2² 10) = √(4 10) =√40

6.5'in karesini alıyoruz:

6,5 = √(6,5²) = √42,25

Ortaya çıkan tüm seçeneklere bakalım:

3√5 = √45
2√11 = √44
2√10 = √40
6,5 = √42,25

Bu nedenle doğru cevap ilk sıradadır

Görevin üçüncü versiyonu

Bu sayılardan hangisi rasyoneldir?

√810
√8,1
√0,81
bu sayıların hepsi irrasyonel

Çözüm:

Bu sorunu çözmek için aşağıdaki şekilde ilerlemeniz gerekir:

Öncelikle bu örnekte hangi sayının dikkate alındığını bulalım - karesi 81 olduğu için bu 9 sayısıdır ve bu zaten cevaplardaki ifadelere biraz benzer. Sonra 9 sayısının formlarına bakalım - bunlar şunlar olabilir:

Her birini düşünün:

0,9 = √(0,9)² = √0,81

90 = √(90²) = √8100

Bu nedenle √0,81 sayısı rasyoneldir, geri kalan sayılar ise

9 kare şekline benzeseler de rasyonel değillerdir.

Dolayısıyla doğru cevap üçüncüdür.

Görevin dördüncü versiyonu

Topluluğumun bir abonesinin isteği üzerine Düştü Diana, işte aşağıdaki 4 numaralı görevin analizi:

ifadesinin değeri aşağıdaki sayılardan hangisidir?

Çözüm:

Paydanın, kurtulmamız gereken bir fark (4 - √14) içerdiğini unutmayın. Bu nasıl yapılır?

Bunu yapmak için kısaltılmış çarpma formülünü, yani kareler farkını hatırlayın! Bu göreve doğru bir şekilde uygulamak için kesirleri işleme kurallarını hatırlamanız gerekir. Bu durumda pay ve paydanın aynı sayı veya ifadeyle çarpılması durumunda kesrin değişmeyeceğini unutmayın. Kareler farkı için (4 + √14) ifadesinden yoksunuz, yani pay ve paydayı onunla çarpıyoruz.

Bundan sonra payda 4 + √14, paydada ise kareler farkı: 4² - (√14)² elde edilir. Bundan sonra payda kolayca hesaplanır:

Toplamda eylemlerimiz şöyle görünür:

Görevin beşinci versiyonu (OGE 2017'nin demo versiyonu)

Hangi ifade rasyonel sayıdır?

√6-3
√3 √5
(√5)²
(√6-3)²

Çözüm:

Bu görevde irrasyonel sayılarla işlem yapma becerilerimiz test ediliyor.

Çözümdeki her cevap seçeneğine bakalım:

√6'nın kendisi irrasyonel bir sayıdır; bu tür problemleri çözmek için, karelerden kökü rasyonel olarak çıkarabileceğinizi hatırlamak yeterlidir. doğal sayılarörneğin 4, 9, 16, 25...

İrrasyonel bir sayıdan kendisi dışında herhangi bir sayı çıkarıldığında yine irrasyonel bir sayı elde edilir, dolayısıyla bu versiyonda irrasyonel bir sayı elde edilir.

Kökleri çarparken kök ifadelerin çarpımından kökü çıkarabiliriz, yani:

√3 √5 = √(3 5) = √15

Ancak √15 irrasyonel olduğundan bu cevap uygun değildir.

Inşaat sırasında kare kök karesi alındığında, basitçe radikal bir ifade elde ederiz (daha kesin olmak gerekirse, modulo radikal bir ifade, ancak bu versiyonda olduğu gibi bir sayı durumunda bu önemli değildir), bu nedenle:

Bu cevap seçeneği bize uygundur.

Bu ifade 1. noktanın devamını ifade eder ancak √6-3 irrasyonel bir sayı ise bildiğimiz hiçbir işlemle rasyonel sayıya dönüştürülemez.

Toylonov Argymai ve Toylonov Erkei

Kapsamlı bir okulda alınan matematik eğitimi önemli bir bileşendir Genel Eğitim ve genel kültür modern adam. Modern insanı çevreleyen hemen hemen her şey bir şekilde matematikle bağlantılıdır. A son başarılar fizik, teknoloji ve Bilişim teknolojisi gelecekte de durumun aynı kalacağından şüpheniz olmasın. Bu nedenle, birçok pratik problemin çözümü, çözüme bağlıdır. çeşitli türlerçözmeyi öğrenmeniz gereken denklemler.

Ve 2013 yılından bu yana, temel okul sonunda matematik alanında sertifikasyon OGE şeklinde gerçekleştirilmektedir. Birleşik Devlet Sınavı gibi, Birleşik Devlet Sınavı da yalnızca cebirde değil aynı zamanda temel okulun tüm matematik dersinde sertifikasyon yapmak için tasarlanmıştır.

Öyle ya da böyle, görevlerin aslan payı denklemlerin ve çözümlerinin hazırlanmasına düşüyor. Bu konuyu incelemeye devam etmek için şu soruları yanıtlamamız gerekiyordu: “OGE görevlerinde ne tür denklemler bulunur? ” ve “Bu denklemleri çözmenin yolları nelerdir?”

Bu nedenle OGE görevlerinde bulunan her türlü denklemin incelenmesine ihtiyaç vardır. Yukarıdakilerin tümü belirler

AmaçÇalışma, OGE görevlerinde bulunan tüm denklem türlerini türe göre tamamlamak ve bu denklemleri çözmenin ana yöntemlerini analiz etmektir.

Bu hedefe ulaşmak için aşağıdakileri belirledik görevler:

1) Ana eyalet sınavlarına hazırlanmak için ana kaynakları keşfedin.

2) Tüm denklemleri türe göre tamamlayın.

3) Bu denklemlerin çözüm yöntemlerini analiz eder.

4) Her türlü denklem ve bunları çözmek için yöntemler içeren bir koleksiyon derleyin.

Çalışmanın amacı: denklemler

Çalışma konusu: OGE görevlerindeki denklemler.

İndirmek:

Ön izleme:

Belediye bütçeli eğitim kurumu

"Çbitskaya Ortaokulu"

EĞİTİM PROJESİ:

“OGE GÖREVLERİNDE DENKLEMLER”

Toylonov Erkey

8. sınıf öğrencileri

danışman: Nadezhda Vladimirovna Toilonova, matematik öğretmeni.

Proje uygulama zaman çizelgesi:

12/13/2017'den 02/13'e kadar. 2018

Giriiş…………………………………………………………………………………..
Tarihsel referans …………………………………………………
Bölüm 1 Denklemlerin çözümü …………………………………………...
1.1 Doğrusal denklemlerin çözümü……………………………………
1.2 İkinci dereceden denklemler……………………………………………
1.2.1 Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler………………………………	9-11
1.2.2 Tam ikinci dereceden denklemler…………………………………	11-14
1.2.3 İkinci dereceden denklemleri çözmek için özel yöntemler…………….	14-15
1.3 Rasyonel denklemler…………………………………….	15-17
Bölüm 2 Karmaşık Denklemler………………………………………….	18-24
Sonuçlar …………………………………………………………………
Referans listesi ……………………………………………………
Ek 1 “Doğrusal denklemler” ……………………………….	26-27
Ek 2 “Eksik ikinci dereceden denklemler” …………………	28-30
Ek 3 “İkinci dereceden tam denklemler” ……………………	31-33
Ek 4 “Rasyonel denklemler” ………………………….	34-35
Ek 5 “Karmaşık denklemler” ………………………………..	36-40

GİRİİŞ

Kapsamlı bir okulda alınan matematik eğitimi, modern insanın genel eğitiminin ve genel kültürünün önemli bir bileşenidir. Modern insanı çevreleyen hemen hemen her şey bir şekilde matematikle bağlantılıdır. Ve fizik, mühendislik ve bilgi teknolojisindeki son gelişmeler, gelecekte de durumun aynı kalacağı konusunda hiçbir şüpheye yer bırakmıyor. Bu nedenle, birçok pratik problemin çözümü, nasıl çözüleceğini öğrenmeniz gereken çeşitli denklem türlerinin çözülmesine bağlıdır.

Bu nedenle OGE görevlerinde bulunan her türlü denklemin incelenmesine ihtiyaç vardır. Yukarıdakilerin tümü belirlergerçekleştirilen işin sorununun alaka düzeyi.

Amaç Çalışma, OGE görevlerinde bulunan tüm denklem türlerini türe göre tamamlamak ve bu denklemleri çözmenin ana yöntemlerini analiz etmektir.

Bu hedefe ulaşmak için aşağıdakileri belirledik görevler:

1) Ana eyalet sınavlarına hazırlanmak için ana kaynakları keşfedin.

2) Tüm denklemleri türe göre tamamlayın.

3) Bu denklemlerin çözüm yöntemlerini analiz eder.

4) Her türlü denklem ve bunları çözmek için yöntemler içeren bir koleksiyon derleyin.

Çalışmanın amacı: denklemler

Çalışma konusu:OGE görevlerindeki denklemler.

Proje çalışma planı:

Proje temasının formüle edilmesi.
Belirli bir konuyla ilgili resmi kaynaklardan materyal seçimi.
Bilginin işlenmesi ve sistemleştirilmesi.
Proje uygulaması.
Proje tasarımı.
Proje koruması.

Sorun : Denklemler hakkındaki anlayışınızı derinleştirin. Birinci ve ikinci bölümlerde OGE görevlerinde sunulan denklemleri çözmenin ana yöntemlerini gösterin.

Bu çalışma, çalışılan materyali genelleştirme, sistematikleştirme ve yenilerini öğrenme girişimidir. Proje şunları içerir: terimlerin denklemin bir kısmından diğerine aktarılması ve denklemlerin özelliklerinin kullanılmasıyla birlikte doğrusal denklemler, ayrıca denklem tarafından çözülen problemler, her türlü ikinci dereceden denklem ve rasyonel denklemleri çözme yöntemleri.

Matematik... düzeni, simetriyi ve kesinliği ortaya çıkarır,

ve bunlar güzelliğin en önemli türleridir.

Aristo.

Tarihsel referans

Bilgelerin bilinmeyen miktarlar içeren eşitlikler hakkında ilk kez düşünmeye başladıkları o uzak zamanlarda, muhtemelen madeni para veya cüzdan yoktu. Ancak bilinmeyen sayıda öğeyi tutabilecek depolama önbelleklerinin rolü için mükemmel olan yığınların yanı sıra tencere ve sepetler de vardı. MÖ 2. binyılda öğretilen "Üçte ikisi, yarısı ve yedide biri ile birlikte 37 yapan bir yığın arıyoruz..." yeni Çağ Mısırlı yazar Ahmes. Mezopotamya'nın, Hindistan'ın, Çin'in, Yunanistan'ın eski matematik problemlerinde bilinmeyen nicelikler, bahçedeki tavus kuşlarının sayısını, sürüdeki boğaların sayısını ve mal paylaşımında dikkate alınan şeylerin toplamını ifade ediyordu. Hesap bilimi konusunda iyi eğitilmiş, gizli bilgilere yeni başlayan din adamları, memurlar ve rahipler bu tür görevlerin üstesinden oldukça başarılı bir şekilde geldiler.

Bize ulaşan kaynaklar, eski bilim adamlarının bazı genel teknikler Bilinmeyen miktarlarla ilgili problemleri çözme. Ancak tek bir papirüs veya kil tablette bu tekniklerin açıklaması yer almıyor. Yazarlar sayısal hesaplamalarına yalnızca ara sıra "Bak!", "Bunu yap!", "Doğru olanı buldun" gibi kısa yorumlarda bulundular. Bu anlamda istisna, Yunan matematikçi İskenderiyeli Diophantus'un (III. Yüzyıl) “Aritmetiği”dir - çözümlerinin sistematik bir sunumuyla denklem oluşturmaya yönelik bir problemler koleksiyonu.

Ancak sorunları çözmeye yönelik yaygın olarak bilinen ilk el kitabı, 9. yüzyıldaki Bağdatlı bilim adamının çalışmasıydı. Muhammed bin Musa el-Harezmi. Bu risalenin Arapça ismi olan "Kitab al-jaber wal-mukabala" ("Restorasyon ve muhalefet kitabı") olan "el-cebr" kelimesi, zamanla çok iyi bilinen "cebir" kelimesine dönüştü ve el- Khwarizmi'nin çalışması denklem çözme biliminin gelişiminde başlangıç noktasını oluşturdu.

Peki denklem nedir?

Bir haklar denklemi, bir zaman denklemi vardır (gerçek güneş zamanının ortalamaya çevrilmesi). güneş zamanı pansiyonda ve bilimde kabul edildi; astr.), vb.

Matematikte bir veya daha fazla bilinmeyen nicelik içeren ve geçerliliğini bu bilinmeyen niceliklerin yalnızca belirli değerleri için koruyan matematiksel bir eşitliktir.

Tek değişkenli denklemlerde bilinmeyen genellikle " harfiyle gösterilir. X ". "x"in değeri Bu şartları sağlayana denklemin kökü denir.

Farklı denklemler var türler:

balta + b = 0. - Doğrusal Denklem.
balta 2 + bx + c = 0. - İkinci dereceden denklem.
balta 4 + bx 2 + c = 0. - Biquadratic denklem.

– Rasyonel denklem.

– İrrasyonel denklem.
Böyle vardenklemleri çözmenin yolları Nasıl: cebirsel, aritmetik ve geometrik. Cebirsel yöntemi ele alalım.

Denklemi çözün- bu, orijinal ifadeye değiştirildiğinde bize doğru eşitliği verecek veya çözüm olmadığını kanıtlayacak X değerlerini bulmaktır. Denklem çözmek zor olsa da heyecan vericidir. Sonuçta, tüm sayı akışının tek bir bilinmeyen sayıya bağlı olması gerçekten şaşırtıcıdır.

Bilinmeyeni bulmak için denklemlerde orijinal ifadeyi dönüştürüp basitleştirmeniz gerekir. Ve böylece değiştirirken dış görünüş ifadenin özü değişmedi. Bu tür dönüşümlere aynı veya eşdeğer denir.

Bölüm 1 Denklemleri Çözmek

1.1 Doğrusal denklemleri çözme.

Şimdi doğrusal denklemlerin çözümlerine bakacağız. Formun bir denklemini hatırlayın" değişkeniyle birlikte doğrusal denklem veya birinci dereceden denklem denir X » Son derece birinci derecededir.

Doğrusal denklemin çözümü çok basittir:

Örnek 1: Denklem 3'ü çözün x +3=5x

Bir doğrusal denklem, bilinmeyenleri içeren terimlerin eşit işaretin sol tarafına, serbest katsayıların ise eşit işaretin sağ tarafına aktarılmasıyla çözülür:

3 x – 5 x = – 3

2x=-3

x =1,5

Denklemi gerçek eşitliğe dönüştüren değişkenin değerine denir. Denklemin kökü.

Kontrol ettikten sonra şunu elde ederiz:

Yani denklemin kökü 1,5'tur.

Cevap: 1.5.

Terimlerin işaretinin tersine değiştiği ve kullanıldığı, denklemin bir kısmından diğerine terimleri aktarma yöntemiyle denklem çözmeözellikler denklemler - bir denklemin her iki tarafı da sıfır olmayan aynı sayı veya ifadeyle çarpılabilir (bölünebilir), aşağıdaki denklemleri çözerken dikkate alınabilir.

Örnek 2. Denklemleri çözün:

a) 6 x +1=− 4 x ; b) 8+7 x =9 x +4; c) 4(x −8)=− 5.

Çözüm.

a) Çözdüğümüz transfer yöntemini kullanarak

6 x + 4 x = ─1;

10 x=─ 1;

x=─ 1:10;

x=─ 0,1.

Muayene:

Cevap: –0.1

b) Önceki örneğe benzer şekilde transfer yöntemini kullanarak çözüyoruz:

Cevap: 2.

c) Bu denklemde toplama işlemine göre çarpmanın dağılma özelliğini uygulayarak parantezleri açmak gerekir.

Cevap: 6.75.

1.2 İkinci dereceden denklemler

Formun denklemi ikinci dereceden denklem denir, burada A – kıdemli katsayı, B – ortalama katsayı, с – serbest terim.

Oranlara bağlı olarak a, b ve c – denklem tam veya eksik olabilir, verilmiş veya verilmemiş olabilir.

1.2.1 Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler

Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemleri çözmenin yollarını düşünelim:

1) Birinci tür tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerin çözümünü anlamaya başlayalım. c=0 . Formun eksik ikinci dereceden denklemleri a x 2 +b x=0 karar vermenizi sağlarçarpanlara ayırma yöntemi. Özellikle parantezleme yöntemi.

Açıkçası, denklemin sol tarafında yer alabiliriz, bunun için ortak faktörü parantezlerden çıkarmamız yeterlidir. X . Bu, orijinal tamamlanmamış ikinci dereceden denklemden aşağıdaki formdaki eşdeğer bir denkleme geçmemizi sağlar: x·(a·x+b)=0 .

Ve bu denklem iki denklemin birleşimine eşdeğerdir x=0 veya a x+b=0 , sonuncusu doğrusaldır ve bir kökü vardır x=− .

a x 2 +b x=0'ın iki kökü var

x=0 ve x=− .

2) Şimdi eksik ikinci dereceden denklemlerin nasıl çözüldüğüne bakalım; burada katsayı b sıfırdır ve c≠0 yani formun denklemleri a x 2 +c=0 . Bir terimi denklemin bir tarafından ters işaretle diğer tarafa taşımanın ve denklemin her iki tarafını da sıfır olmayan bir sayıya bölmenin eşdeğer bir denklem verdiğini biliyoruz. Bu nedenle, tamamlanmamış ikinci dereceden denklemin aşağıdaki eşdeğer dönüşümlerini gerçekleştirebiliriz. a x 2 +c=0 :

transfer denklemi veren sağ tarafa a x 2 =−c ,
ve her iki parçayı da şuna bölün: a, anlıyoruz.

Ortaya çıkan denklem, kökleri hakkında sonuçlar çıkarmamızı sağlar.

eğer sayı – negatif ise denklemin kökleri yoktur. Bu ifade, herhangi bir sayının karesinin negatif olmayan bir sayı olduğu gerçeğinden kaynaklanmaktadır.

Eğer Pozitif bir sayı ise denklemin kökleriyle ilgili durum farklıdır. Bu durumda denklemin bir kökünün olduğunu, bunun bir sayı olduğunu unutmamak gerekir. Denklemin kökü aşağıdaki şemaya göre hesaplanır:

Denklem yerine yerine koymanın gerektiği bilinmektedir. X kökleri denklemi gerçek bir eşitliğe dönüştürür.

Bu paragraftaki bilgileri özetleyelim. Tamamlanmamış ikinci dereceden denklem a x 2 +c=0 denklemin eşdeğeridir, Hangi

3) Katsayıların olduğu tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerin çözümleri b ve c sıfıra eşittir, yani formdaki denklemlerle ax2 =0. a x 2 =0 denklemi x 2 =0'ı takip eder orijinalinden her iki parçanın sıfırdan farklı bir sayıya bölünmesiyle elde edilen A . Açıkçası denklemin kökü x 2 =0 sıfırdır, çünkü 0 2 =0 . Bu denklemin başka kökü yoktur.

Yani, tamamlanmamış ikinci dereceden denklem a x 2 =0 tek bir kökü var x=0 .

Örnek 3. Denklemleri çözün: a) x2 =5x, Denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınızda bunlardan en küçüğünü belirtin;

B) , Denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınızda bunlardan en büyüğünü belirtin;

c) x 2 −9=0, eğer denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınızda bunlardan en küçüğünü belirtin.

Çözüm.

Serbest terimi olmayan tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklem elde ettik. Parantezleme yöntemini kullanarak çözüyoruz.

sen Denklem küçük olanı 0 olan iki kök ile yapılabilir.

Cevap: 0.

B) . Önceki örneğe benzer şekilde basamaklama yöntemini kullanıyoruz

Cevap, köklerin daha büyük olduğunu belirtmelidir. Bu 2 numara.

Cevap: 2.

V) . Bu denklem, ortalama katsayısı olmayan, tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklemdir.

Bu köklerin en küçüğü 3 sayısıdır.

Cevap: –3.

1.2.2 İkinci dereceden denklemleri tamamlayın.

1. İkinci dereceden bir denklemin kökleri için diskriminant, temel formül

Bir kök formülü var.

Haydi yazalım İkinci dereceden bir denklemin kökleri için adım adım formül:

1) D=b 2 −4 a c - Lafta.

a) eğer D

b) eğer D>0 ise denklemtek bir kökü yoktur:

c) eğer D iki kökü yoktur:

Kök formülleri kullanarak ikinci dereceden denklemleri çözmek için algoritma

Pratikte ikinci dereceden denklemleri çözerken değerlerini hesaplamak için hemen kök formülü kullanabilirsiniz. Ancak bu daha çok karmaşık kökleri bulmakla ilgilidir.

Bununla birlikte, bir okul cebir dersinde genellikle karmaşık hakkında değil, ikinci dereceden bir denklemin gerçek kökleri hakkında konuşuruz. Bu durumda, ikinci dereceden bir denklemin kökleri için formülleri kullanmadan önce, ilk önce diskriminantın bulunması, negatif olmadığından emin olunması tavsiye edilir (aksi takdirde denklemin gerçek kökleri olmadığı sonucuna varabiliriz), ve ancak o zaman köklerin değerlerini hesaplayın.

Yukarıdaki mantık yazmamıza izin veriyorİkinci dereceden bir denklemi çözmek için algoritma. İkinci dereceden bir denklemi çözmek için a x 2 +b x+c=0 , ihtiyacınız olan:

diskriminant formülüne göre D=b 2 −4 a c değerini hesaplayın;
diskriminant negatifse ikinci dereceden bir denklemin gerçek kökleri olmadığı sonucuna varır;
aşağıdaki formülü kullanarak denklemin tek kökünü hesaplayın: D=0;
Diskriminant pozitifse kök formülünü kullanarak ikinci dereceden bir denklemin iki gerçek kökünü bulun.

2. Diskriminant, ikinci dereceden bir denklemin kökleri için ikinci formül (çift ikinci katsayılı).

Formun ikinci dereceden denklemlerini çözmek için, eşit katsayılı b=2k başka bir formül daha var.

Yeni bir tane kaydedelim ikinci dereceden bir denklemin kökleri için formül:

1) D’=k 2 −a c - Laftaikinci dereceden bir denklemin diskriminantı.

a) eğer D’ gerçek kökleri yoktur;

b) D’>0 ise denklemtek bir kökü yoktur:

c) eğer D’ iki kökü yoktur:

Örnek 4. 2x denklemini çözün 2 −3x+1=0.. Denklemin birden fazla kökü varsa, büyük olan kökü cevap olarak yazın.

Çözüm. İlk durumda, ikinci dereceden denklemin aşağıdaki katsayılarına sahibiz: a=2 , b=-3 ve c=1 D=b 2 −4·a·c=(-3) 2 −4·2·1=9-8=1 . 1>0'dan beri

Sahibiz Büyük olanı 1 rakamı olan iki kökümüz var.

Cevap 1.

Örnek 5. Denklemi çöz x 2 −21=4x.

Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak büyük kökü yazın.

Çözüm. Önceki örneğe benzer şekilde, 4h'yi eşittir işaretinin sol tarafına kaydırırız ve şunu elde ederiz:

Bu durumda ikinci dereceden denklemin aşağıdaki katsayılarına sahibiz: a=1 , k=-2 ve c=−21 . Algoritmaya göre öncelikle diskriminantın hesaplanması gerekir. D’=k 2 −a·c=(-2) 2 −1·(−21)=4+21=25 . Sayı 25>0 yani diskriminant sıfırdan büyükse, ikinci dereceden denklemin iki gerçek kökü vardır. Kök formülünü kullanarak bunları bulalım

Cevap: 7.

1.2.3 İkinci dereceden denklemlerin çözümü için özel yöntemler.

1) İkinci dereceden bir denklemin kökleri ve katsayıları arasındaki ilişki. Vieta'nın teoremi.

İkinci dereceden bir denklemin kökleri formülü, denklemin köklerini katsayıları aracılığıyla ifade eder. Kök formülüne dayanarak kökler ve katsayılar arasındaki diğer ilişkileri elde edebilirsiniz.

En ünlü ve uygulanabilir formüle Vieta Teoremi denir.

Teorem: Let - verilen ikinci dereceden denklemin kökleri. O zaman köklerin çarpımı serbest terime, köklerin toplamı ise ikinci katsayının zıt değerine eşittir:

Önceden yazılmış formülleri kullanarak, ikinci dereceden denklemin kökleri ve katsayıları arasında bir dizi başka bağlantı elde edebilirsiniz. Örneğin ikinci dereceden bir denklemin köklerinin karelerinin toplamını katsayıları cinsinden ifade edebilirsiniz.

Örnek 6. a) x denklemini çözün 2

b) x denklemini çözün 2

c) x denklemini çözün 2

Çözüm.

a) x denklemini çözün 2 −6x+5=0. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak daha küçük olan kökü yazın.

Köklerin en küçüğünü seçmek

Cevap 1

b) x denklemini çözün 2 +7x+10=0. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak büyük kökü yazın.

Vieta teoremini uygulayarak kökler için formüller yazıyoruz

Mantıksal olarak akıl yürüterek şu sonuca varırız:. Köklerin en büyüğünü seçmek

Cevap: ─2.

c) x denklemini çözün 2 ─5x─14=0. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak büyük kökü yazın.

Vieta teoremini uygulayarak kökler için formüller yazıyoruz

Mantıksal olarak akıl yürüterek şu sonuca varırız:. Köklerin en küçüğünü seçmek

Cevap: ─2.

1.3 Rasyonel denklemler

Eğer size formun kesirlerini içeren bir denklem verilirsepay veya paydada bir değişken varsa, böyle bir ifadeye rasyonel denklem denir. Rasyonel denklem, en az bir rasyonel ifade içeren herhangi bir denklemdir. Rasyonel denklemler herhangi bir denklemle aynı şekilde çözülür: Değişken denklemin bir tarafında izole edilinceye kadar denklemin her iki tarafında da aynı işlemler gerçekleştirilir. Ancak rasyonel denklemleri çözmenin 2 yöntemi vardır.

1) Çapraz çarpma.Gerekirse, size verilen denklemi her iki tarafta bir kesir (bir rasyonel ifade) olacak şekilde yeniden yazın; yalnızca bu durumda çapraz çarpma yöntemini kullanabilirsiniz.

Sol kesrin payını sağ kesrin paydasıyla çarpın. Bunu sağ kesrin payı ve sol kesrin paydası ile tekrarlayın.

Çapraz çarpım temel cebirsel ilkelere dayanır. Rasyonel ifadelerde ve diğer kesirlerde iki kesrin pay ve paydalarını buna göre çarparak paydan kurtulabilirsiniz.
Ortaya çıkan ifadeleri eşitleyin ve basitleştirin.
Ortaya çıkan denklemi çözün, yani "x" i bulun. Eğer "x" denklemin her iki tarafında da yer alıyorsa, onu denklemin bir tarafında yalnız bırakın.

2) En az ortak payda(NOZ) bu denklemi basitleştirmek için kullanılır.Bu yöntem, belirli bir denklemi denklemin her iki tarafında bir rasyonel ifadeyle yazamadığınız (ve çapraz çarpma yöntemini kullanamadığınız) durumlarda kullanılır. Bu yöntem, size 3 veya daha fazla kesirli rasyonel bir denklem verildiğinde kullanılır (iki kesirli olması durumunda çapraz çarpımı kullanmak daha iyidir).

Kesirlerin en küçük ortak paydasını (veya en küçük ortak katını) bulun.NOZ: en küçük sayı, her paydaya eşit olarak bölünebilir.
Her kesrin hem payını hem de paydasını, NOC'yi her kesrin karşılık gelen paydasına bölmenin sonucuna eşit bir sayı ile çarpın.
x'i bulun. Artık kesirleri ortak bir paydaya indirdiğinize göre paydadan kurtulabilirsiniz. Bunu yapmak için denklemin her iki tarafını ortak paydayla çarpın. Daha sonra ortaya çıkan denklemi çözün, yani "x" i bulun. Bunu yapmak için değişkeni denklemin bir tarafında izole edin.

Örnek 7. Denklemleri çözün: a); M.Ö) .

Çözüm.

A) . Çapraz çarpma yöntemini kullanıyoruz.

Parantezleri açıp benzer terimleri sunuyoruz.

bir bilinmeyenli doğrusal denklemim var

Cevap: ─10.

B) Önceki örneğe benzer şekilde çapraz çarpma yöntemini uyguluyoruz.

Cevap: ─1.9.

V) , en az ortak payda (LCD) yöntemini kullanıyoruz.

Bu örnekte ortak payda 12 olacaktır.

Cevap: 5.

Bölüm 2 Karmaşık Denklemler

Karmaşık denklemler kategorisine ait denklemler, çeşitli yöntemleri ve çözüm tekniklerini birleştirebilir. Ancak, öyle ya da böyle, mantıksal akıl yürütme yöntemiyle yapılan tüm denklemler ve eşdeğer eylemler, daha önce çalışılmış denklemlere yol açar.

Örnek 7. Denklemi çözün( x +3) 2 =(x +8) 2 .

Çözüm. Kısaltılmış çarpma formüllerini kullanarak parantezleri açacağız:

Tüm terimleri eşittir işaretinin ötesine aktarıp benzerlerini getiriyoruz,

Cevap: 5.5.

Örnek 8. Denklemleri çözün: a)(− 5 x +3)(− x +6)=0, b) (x +2)(− x +6)=0.

Çözüm.

a)(− 5 x +3)(− x +6)=0; Parantezleri açalım ve benzer terimleri sunalım

birinci diskriminant formülünü kullanarak çözeceğimiz tam ikinci dereceden bir denklem elde ettik

Denklemin iki kökü var

Cevap: 0,6 ve 6.

b) (x +2)(− x +6)=0, bu denklem için mantıksal akıl yürütme yapacağız (faktörlerden biri sıfıra eşit olduğunda ürün sıfıra eşittir). Araç

Cevap: ─2 ve 6.

Örnek 9. Denklemleri çözün:, B) .

Çözüm. En küçük ortak paydayı bulalım

Değişkenin derecelerini azalan sırada yazalım

; çift ikinci katsayılı tam ikinci dereceden bir denklem elde edildi

Denklemin iki gerçek kökü var

Cevap: .

B) . Gerekçe a)'ya benzer. Bir NPD bulma

Parantezleri açıyoruz ve benzer terimleri sunuyoruz

ikinci dereceden denklemin tamamını genel formülle çöz

Cevap: .

Örnek 10. Denklemleri çözün:

Çözüm.

A) , Sol tarafta parantez içindeki ifadenin kısaltılmış çarpma formülünü, daha doğrusu iki ifadenin toplamının karesini temsil ettiğini not ediyoruz. Haydi dönüştürelim

; bu denklemin şartlarını bir tarafa taşıyın

parantezlerin dışına çıkaralım

Faktörlerden biri sıfır olduğunda ürün sıfırdır. Araç,

Cevap: ─2, ─1 ve 1.

B) Örneğin a) ile aynı şekilde mantık yürütüyoruz.

, Vieta teoremine göre

Cevap:

Örnek 11. Denklemleri çözün a)

Çözüm.

A) ; [denklemin sol ve sağ taraflarında parantezleri çıkarma yöntemini kullanabilirsiniz, sol tarafta ise bunu çıkaracağız, ve sağ tarafa 16 sayısını koyduk.]

[her şeyi bir kenara taşıyalım ve basamaklama yöntemini bir kez daha uygulayalım. Ortak çarpanı çıkaracağız]

[Faktörlerden biri sıfır olduğunda ürün sıfırdır.]

Cevap:

B) . [Bu denklem a) denklemine benzer. Dolayısıyla bu durumda gruplandırma yöntemini uyguluyoruz]

Cevap:

Örnek 12. Denklemi çözün=0.

Çözüm.

0 [ikinci dereceden denklem. Değişken yönteminin değiştirilmesiyle çözüldü].

0; [Vieta teoremini uygulayarak kökleri elde ediyoruz]

. [önceki değişkenlere dön]

Cevap:

Örnek 13. Denklemi çözün

Çözüm. [ikinci dereceden denklem, modül işaretlerini kullanarak çift kuvvetlerden kurtuluruz.]

[ikinci dereceden bir denklemin köklerine ilişkin temel formülü kullanarak çözdüğümüz iki ikinci dereceden denklem aldık]

gerçek kökü olmayan denklemin iki kökü vardır

Cevap:

Örnek 14. Denklemi çözün

Çözüm.

ODZ:

[denklemin tüm terimlerini sol tarafa aktarın ve benzer terimleri getirin]

[Vieta teoremini kullanarak kolayca çözülebilen ikinci dereceden indirgenmiş denklemi elde ettik]

-1 sayısı verilen denklemin ODZ'sini sağlamadığından bu denklemin kökü olamaz. Bu, yalnızca 7 sayısının kök olduğu anlamına gelir.

Cevap: 7.

Örnek 15. Denklemi çözün

Çözüm.

İki ifadenin karelerinin toplamı ancak ifadelerin aynı anda sıfıra eşit olması durumunda sıfıra eşit olabilir. Yani

[Her denklemi ayrı ayrı çözüyoruz]

Vieta teoremine göre

–5’e eşit olan köklerin çakışması denklemin kökü olacaktır.

Cevap: – 5.

ÇÖZÜM

Yapılan çalışmanın sonuçlarını özetleyerek şu sonuca varabiliriz: Denklemler matematiğin gelişiminde büyük rol oynar. Kazanılan bilgiyi sistematik hale getirdik ve kapsanan materyali özetledik. Bu bilgi bizi yaklaşan sınavlara hazırlayabilir.

Çalışmamız matematiğin bize sunduğu görevlere farklı bir açıdan bakmamızı mümkün kılıyor.

projenin sonunda denklem çözme için daha önce çalışılan yöntemleri sistematik hale getirdik ve genelleştirdik;
denklem çözmenin yeni yollarını ve denklemlerin özelliklerini tanıdı;

Hem birinci bölümde hem de ikinci bölümde OGE görevlerinde yer alan tüm denklem türlerine baktık.
“OGE görevlerinde denklemler” adlı metodolojik bir koleksiyon oluşturduk.

Bizim için belirlenen hedefin, ana görevlerdeki her türlü denklemi dikkate almak olduğuna inanıyoruz. Devlet sınavı matematikte başardık.

Kullanılan literatürün listesi:

1.B.V. Gnedenko “Matematik modern dünya" Moskova "Aydınlanma" 1980

2. Ya.I. Perelman "Eğlenceli cebir." Moskova "Bilim" 1978

6. http://tutorial.math.lamar.edu

7. http://www.regentsprep.org

8. http://www.fipi.ru

Ek 1

Doğrusal denklemler

1. Denklemin kökünü bulun

2. Denklemin kökünü bulun

3. Denklemin kökünü bulun

Ek 2

Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler

1. x denklemini çözün 2 =5x. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak daha küçük olan kökü yazın.

2. 2x denklemini çözün 2 =8x. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak daha küçük olan kökü yazın.

3. 3x denklemini çözün 2 =9x. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak daha küçük olan kökü yazın.

4. 4x denklemini çözün 2 =20x. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak daha küçük olan kökü yazın.

5. 5x denklemini çözün 2 =35x. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak daha küçük olan kökü yazın.

6. 6x denklemini çözün 2 =36x. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak daha küçük olan kökü yazın.

7. Denklem 7x'i çözün 2 =42x. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak daha küçük olan kökü yazın.

8. 8x denklemini çözün 2 =72x. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak daha küçük olan kökü yazın.

9. Denklem 9x'i çözün 2 =54x. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak daha küçük olan kökü yazın.

10. 10x denklemini çözün2 =80x. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak daha küçük olan kökü yazın.

11. 5x denklemini çözün2 −10x=0. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak büyük kökü yazın.

12. 3x denklemini çözün2 −9x=0. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak büyük kökü yazın.

13. 4x denklemini çözün2 −16x=0. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak büyük kökü yazın.

14. 5x denklemini çözün2 +15x=0. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak daha küçük olan kökü yazın.

15. 3x denklemini çözün2 +18x=0. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak daha küçük olan kökü yazın.

16. 6x denklemini çözün2 +24x=0. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak daha küçük olan kökü yazın.

17. 4x denklemini çözün2 −20x=0. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak büyük kökü yazın.

18. 5x denklemini çözün2 +20x=0. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak daha küçük olan kökü yazın.

19. Denklem 7x'i çözün2 −14x=0. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak büyük kökü yazın.

20. 3x denklemini çözün2 +12x=0. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak daha küçük olan kökü yazın.

21. Denklemi çözün x2 −9=0. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak daha küçük olan kökü yazın.

22. x denklemini çözün2 −121=0. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak daha küçük olan kökü yazın.

23. Denklemi çözün x2 −16=0. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak daha küçük olan kökü yazın.

24. Denklemi çözün x2 −25=0. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak daha küçük olan kökü yazın.

25. Denklemi çözün x2 −49=0. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak daha küçük olan kökü yazın.

26. Denklemi çözün x2 −81=0. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak daha küçük olan kökü yazın.

27. Denklemi çözün x2 −4=0. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak daha küçük olan kökü yazın.

28. Denklemi çözün x2 −64=0. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak daha küçük olan kökü yazın.

29. Denklemi çözün x2 −36=0. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak daha küçük olan kökü yazın.

30. x denklemini çözün2 −144=0. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak daha küçük olan kökü yazın.

31. Denklemi çözün x2 −9=0. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak büyük kökü yazın.

32. Denklemi çözün x2 −121=0. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak büyük kökü yazın.

33. Denklemi çözün x2 −16=0. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak büyük kökü yazın.

34. x denklemini çözün2 −25=0. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak büyük kökü yazın.

35. x denklemini çözün2 −49=0. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak büyük kökü yazın.

36. x denklemini çözün2 −81=0. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak büyük kökü yazın.

37. x denklemini çözün2 −4=0. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak büyük kökü yazın.

38. x denklemini çözün2 −64=0. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak büyük kökü yazın.

39. Denklemi çözün x2 −36=0. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak büyük kökü yazın.

40. x denklemini çözün2 −144=0. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak büyük kökü yazın.

Ek 3

İkinci dereceden denklemleri tamamla

1. x denklemini çözün2 +3x=10. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak büyük kökü yazın.

2. x denklemini çözün2 +7x=18. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak büyük kökü yazın.

3. x denklemini çözün2 +2x=15. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak daha küçük olan kökü yazın.

4. x denklemini çözün2 −6x=16. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak daha küçük olan kökü yazın.

5. x denklemini çözün2 −3x=18. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak büyük kökü yazın.

6. Denklemi çözün x2 −18=7x. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak büyük kökü yazın.

7. Denklemi çözün x2 +4x=21. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak daha küçük olan kökü yazın.

8. Denklemi çözün x2 −21=4x. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak büyük kökü yazın.

9. Denklemi çözün x2 −15=2x. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak daha küçük olan kökü yazın.

10. x denklemini çözün2 −5x=14. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak büyük kökü yazın.

11. Denklemi çözün x2 +6=5x. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak daha küçük olan kökü yazın.

12. x denklemini çözün2 +4=5x. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak büyük kökü yazın.

13. Denklemi çözün x2 −x=12. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak büyük kökü yazın.

14. Denklemi çözün x2 +4x=5. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak daha küçük olan kökü yazın.

15. Denklemi çözün x2 −7x=8. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak büyük kökü yazın.

16. Denklemi çözün x2 +7=8x. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak daha küçük olan kökü yazın.

17. Denklemi çözün x2 +18=9x. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak daha küçük olan kökü yazın.

18. Denklemi çözün x2 +10=7x. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak büyük kökü yazın.

19. Denklemi çözün x2 −20=x. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak büyük kökü yazın.

20. x denklemini çözün2 −35=2x. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak daha küçük olan kökü yazın.

21. 2x denklemini çözün2 −3x+1=0. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak daha küçük olan kökü yazın.

22. 5x denklemini çözün2 +4x−1=0. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak büyük kökü yazın.

23. 2x denklemini çözün2 +5x−7=0. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak daha küçük olan kökü yazın.

24. 5x denklemini çözün2 −12x+7=0. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak büyük kökü yazın.

25. 5x denklemini çözün2 −9x+4=0. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak daha küçük olan kökü yazın.

26. Denklem 8x'i çözün2 −12x+4=0. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak daha küçük olan kökü yazın.

27. Denklem 8x'i çözün2 −10x+2=0. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak daha küçük olan kökü yazın.

28. 6x denklemini çözün2 −9x+3=0. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak daha küçük olan kökü yazın.

29. 5x denklemini çözün2 +9x+4=0. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak büyük kökü yazın.

30. 5x denklemini çözün2 +8x+3=0. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak büyük kökü yazın.

31. Denklemi çözün x2 −6x+5=0. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak daha küçük olan kökü yazın.

32. Denklemi çözün x2 −7x+10=0. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak daha küçük olan kökü yazın.

33. Denklemi çözün x2 −9x+18=0. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak daha küçük olan kökü yazın.

34. x denklemini çözün2 −10x+24=0. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak daha küçük olan kökü yazın.

35. x denklemini çözün2 −11x+30=0. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak daha küçük olan kökü yazın.

36. x denklemini çözün2 −8x+12=0. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak büyük kökü yazın.

37. x denklemini çözün2 −10x+21=0. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak büyük kökü yazın.

38. x denklemini çözün2 −9x+8=0. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak büyük kökü yazın.

39. Denklemi çözün x2 −11x+18=0. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak büyük kökü yazın.

40. x denklemini çözün2 −12x+20=0. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak büyük kökü yazın.

Ek 4.

Rasyonel denklemler.

1. Denklemin kökünü bulun

2. Denklemin kökünü bulun

3. Denklemin kökünü bulun

4. Denklemin kökünü bulun

5. Denklemin kökünü bulun

6. Denklemin kökünü bulun.

7. Denklemin kökünü bulun

8. Denklemin kökünü bulun

9. Denklemin kökünü bulun.

10. Denklemin kökünü bulun

11. Denklemin kökünü bulun.

12. Denklemin kökünü bulun

13. Denklemin kökünü bulun

14. Denklemin kökünü bulun

15. Denklemin kökünü bulun

16. Denklemin kökünü bulun

17. Denklemin kökünü bulun

18. Denklemin kökünü bulun

19. Denklemin kökünü bulun

20. Denklemin kökünü bulun

21. Denklemin kökünü bulun

22. Denklemin kökünü bulun

23. Denklemin kökünü bulun

Ek 5

Karmaşık denklemler.

1. Denklemin kökünü bulun (x+3)2 =(x+8)2 .

2. Denklemin kökünü bulun (x−5)2 =(x+10)2 .

3. Denklemin kökünü bulun (x+9)2 =(x+6)2 .

4. Denklemin kökünü bulun (x+10)2 =(x−9)2 .

5. Denklemin kökünü bulun (x−5)2 =(x−8)2 .

6. Denklemin kökünü bulun.

7. Denklemin kökünü bulun.

8. Denklemin kökünü bulun.

9. Denklemin kökünü bulun.

10. Denklemin kökünü bulun.

11. (x+2)(− x+6)=0 denklemini çözün. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak daha küçük olan kökü yazın.

12. (x+3)(− x−2)=0 denklemini çözün. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak daha küçük olan kökü yazın.

13. (x−11)(− x+9)=0 denklemini çözün. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak daha küçük olan kökü yazın.

14. (x−1)(− x−4)=0 denklemini çözün. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak daha küçük olan kökü yazın.

15. (x−2)(− x−1)=0 denklemini çözün. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak daha küçük olan kökü yazın.

16. (x+20)(− x+10)=0 denklemini çözün. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak büyük kökü yazın.

17. (x−2)(− x−3)=0 denklemini çözün. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak büyük kökü yazın.

18. (x−7)(− x+2)=0 denklemini çözün. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak büyük kökü yazın.

19. (x−5)(− x−10)=0 denklemini çözün. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak büyük kökü yazın.

20. (x+10)(− x−8)=0 denklemini çözün. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak büyük kökü yazın.

21. (− 5x+3)(− x+6)=0 denklemini çözün. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak daha küçük olan kökü yazın.

22. (− 2x+1)(− 2x−7)=0 denklemini çözün. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak daha küçük olan kökü yazın.

23. (− x−4)(3x+3)=0 denklemini çözün. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak büyük kökü yazın.

24. (x−6)(4x−6)=0 denklemini çözün. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak daha küçük olan kökü yazın.

25. (− 5x−3)(2x−1)=0 denklemini çözün. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak daha küçük olan kökü yazın.

26. (x−2)(− 2x−3)=0 denklemini çözün. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak daha küçük olan kökü yazın.

27. (5x+2)(− x−4)=0 denklemini çözün. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak büyük kökü yazın.

28. (x−6)(− 5x−9)=0 denklemini çözün. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak daha küçük olan kökü yazın.

29. (6x−3)(− x+3)=0 denklemini çözün. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak büyük kökü yazın.

30. (5x−2)(− x+3)=0 denklemini çözün. Bir denklemin birden fazla kökü varsa, cevabınız olarak daha küçük olan kökü yazın.

31. Denklemi çözün

32. Denklemi çözün

33. Denklemi çözün

34. Denklemi çözün

35. Denklemi çözün

36. Denklemi çözün

37. Denklemi çözün

38. Denklemi çözün

39. Denklemi çözün

40 Denklemi çözün

41. x(x) denklemini çözün2 +2x+1)=2(x+1).

42. (x−1)(x) denklemini çözün2 +4x+4)=4(x+2).

43. x(x) denklemini çözün2 +6x+9)=4(x+3).

44. (x−1)(x) denklemini çözün2 +8x+16)=6(x+4).

45. x(x) denklemini çözün2 +2x+1)=6(x+1).

46. (x−1)(x) denklemini çözün2 +6x+9)=5(x+3).

47. (x−2)(x) denklemini çözün2 +8x+16)=7(x+4).

48. x(x) denklemini çözün2 +4x+4)=3(x+2).

49. (x−2)(x) denklemini çözün2 +2x+1)=4(x+1).

50. (x−2)(x) denklemini çözün2 +6x+9)=6(x+3).

51. (x+2) denklemini çözün4 −4(x+2)2 −5=0.

52. Denklemi çözün (x+1)4 +(x+1)2 −6=0.

53. Denklemi çözün (x+3)4 +2(x+3)2 −8=0.

54. Denklemi çözün (x−1)4 −2(x−1)2 −3=0.

55. Denklemi çözün (x−2)4 −(x−2)2 −6=0.

56. Denklemi çözün (x−3)4 −3(x−3)2 −10=0.

57. Denklemi çözün (x+4)4 −6(x+4)2 −7=0.
58. Denklemi çözün (x−4)4 −4(x−4)2 −21=0.

59. (x+2) denklemini çözün4 +(x+2)2 −12=0.

60. Denklemi çözün (x−2)4 +3(x−2)2 −10=0.

61. Denklemi çözün x3 +3x2 =16x+48.

62. Denklemi çözün x3 +4x2 =4x+16.

63. Denklemi çözün x3 +6x2 =4x+24.

64. Denklemi çözün x3 +6x2 =9x+54.

65. Denklemi çözün x3 +3x2 =4x+12.

66. Denklemi çözün x3 +2x2 =9x+18.

67. Denklemi çözün x3 +7x2 =4x+28.

68. Denklemi çözün x3 +4x2 =9x+36.

69. Denklemi çözün x3 +5x2 =4x+20.

70. x denklemini çözün3 +5x2 =9x+45.

71. x denklemini çözün3 +3x2 −x−3=0.

72. x denklemini çözün3 +4x2 −4x−16=0.

73. Denklemi çözün x3 +5x2 −x−5=0.

74. x denklemini çözün3 +2x2 −x−2=0.

75. x denklemini çözün3 +3x2 −4x−12=0.

76. x denklemini çözün3 +2x2 −9x−18=0.

77. x denklemini çözün3 +4x2 −x−4=0.

78. x denklemini çözün3 +4x2 −9x−36=0.

79. x denklemini çözün3 +5x2 −4x−20=0.
80. x denklemini çözün3 +5x2 −9x−45=0.

81. Denklemi çözün x4 =(x−20)2 .

82. x denklemini çözün4 =(2x−15)2 .

83. Denklemi çözün x4 =(3x−10)2 .

84. x denklemini çözün4 =(4x−5)2 .

85. Denklemi çözün x4 =(x−12)2 .

86. Denklemi çözün x4 =(2x−8)2 .

87. Denklemi çözün x4 =(3x−4)2 .

88. Denklemi çözün x4 =(x−6)2 .

89. Denklemi çözün x4 =(2x−3)2 .

90. x denklemini çözün4 =(x−2)2 .

91. Denklemi çözün

92. Denklemi çözün

93. Denklemi çözün

94. Denklemi çözün

95. Denklemi çözün

96. Denklemi çözün

97. Denklemi çözün

98. Denklemi çözün

99. Denklemi çözün

100. Denklemi çözün

101. Denklemi çözün.

102. Denklemi çözün

103. Denklemi çözün

104. Denklemi çözün

105. Denklemi çözün

106. Denklemi çözün

107. Denklemi çözün

108. Denklemi çözün

109. Denklemi çözün

110. Denklemi çözün

! Teoriden pratiğe;

! Basitten karmaşığa

MAOU "Platoshin Ortaokulu",

matematik öğretmeni Melekhina G.V.

Genel form Doğrusal Denklem: balta + B = 0 ,

Nerede A Ve B– sayılar (katsayılar).

Eğer bir = 0 Ve b = 0, O 0x + 0 = 0 – sonsuz sayıda kök;
Eğer bir = 0 Ve b ≠ 0, O 0x + b = 0– çözüm yok;
Eğer bir ≠ 0 Ve B = 0 , O balta + 0 = 0 – bir kök, x = 0;
Eğer bir ≠ 0 Ve B ≠ 0 , O balta + B = 0 – bir kök,

! X'in birinci kuvveti ise ve paydada değilse bu doğrusal bir denklemdir

! Ve eğer doğrusal denklem ise karmaşık :

! X'li terimler sola, X'siz - sağa gider.

! Bu denklemler aynı zamanda doğrusal .

! Oranın ana özelliği (çapraz).

! Braketleri X solda, X sağda olmayacak şekilde açın.

eğer katsayı bir = 1, o zaman denklem denir verildi :

eğer katsayı B = 0 veya/ve c = 0, o zaman denklem denir tamamlanmamış :

! Temel formüller

! Daha fazla formül

Biquadratic denklem- formun denklemi denir balta 4 +bx 2 + c = 0 .

Biquadratic denklem şuna indirgenir: ikinci dereceden denklem ikame kullanarak, o zaman

İkinci dereceden bir denklem elde ederiz:

Kökleri bulalım ve değiştirmeye dönelim:

Örnek 1:

Denklemi çöz x 4 + 5x 2 – 36 = 0.

Çözüm:

Değiştirme: x 2 = t.

t 2 + 5t – 36 = 0. Denklemin kökleri t 1 = -9 ve t 2 = 4'tür.

x 2 = -9 veya x 2 = 4.

Cevap: İlk denklemde kök yok ama ikincide: x = ±2.

Örnek 2:

Denklemi çözün (2х – 1) 4 – 25(2x – 1) 2 + 144 = 0.

Çözüm:

Değiştirme: (2x – 1) 2 = t.

t 2 – 25t + 144 = 0. Denklemin kökleri t 1 = 9 ve t 2 = 16'dır.

(2x – 1) 2 = 9 veya (2x – 1) 2 = 16.

2x – 1 = ±3 veya 2x – 1 = ±4.

İlk denklemin iki kökü vardır: x = 2 ve x = -1, ikincisinin de iki kökü vardır: x = 2,5 ve x = -1,5.

Cevap: -1.5; -1; 2; 2.5.

1) X 4 - 9 X 2 = 0; 2) 4 X 4 -x2 = 0;

1) X 4 + x 2 - 2 = 0;

2) X 4 - 3 X 2 - 4 = 0; 3) 9 X 4 + 8 X 2 - 1 = 0; 4) 20 X 4 - X 2 - 1 = 0.

Denklemleri sol taraftan seçerek çözün tam kare :

1) X 4 - 20 X 2 + 64 = 0; 2) X 4 - 13 X 2 + 36 = 0; 3) X 4 - 4 X 2 + 1 = 0; 4) X 4 + 2 X 2 +1 = 0.

! Toplamın karesini ve farkın karesini hatırlayın

Rasyonel ifade sayılardan ve bir değişkenden oluşan cebirsel bir ifadedir X Doğal bir üsle toplama, çıkarma, çarpma, bölme ve üs alma işlemlerini kullanma.

Eğer r(x) rasyonel bir ifade ise denklem r(x)=0 rasyonel denklem denir.

Rasyonel bir denklemi çözmek için algoritma:

1. Denklemin tüm terimlerini bir tarafa taşıyın.

2. Denklemin bu kısmını forma dönüştürün cebirsel kesir p(x)/q(x)

3. Denklemi çözün p(x)=0

4. Denklemin her kökü için p(x)=0 koşulu karşılayıp karşılamadığını kontrol edin q(x)≠0 ya da değil. Eğer evet ise, o zaman bu verilen denklemin köküdür; değilse, o zaman yabancı bir köktür ve cevaba dahil edilmemelidir.

! Kesirli rasyonel denklemin çözümünü hatırlayalım:

! Denklemleri çözmek için kısaltılmış çarpma formüllerini hatırlamakta fayda var:

Bir denklem karekök işareti altında bir değişken içeriyorsa denklem denir mantıksız .

Bir denklemin her iki tarafının karesini alma yöntemi- İrrasyonel denklemleri çözmenin ana yöntemi.

Ortaya çıkan rasyonel denklemi çözdükten sonra, kontrol etmek , olası yabancı köklerin ayıklanması.

Cevap: 5; 4

Başka bir örnek:

Muayene:

İfadenin hiçbir anlamı yok.

Cevap:çözüm yok.

DENKLEM ÇÖZME

OGE'ye hazırlık

9. sınıf

St.Petersburg Putrova Marina Nikolaevna'nın Nevsky bölgesinin 14 numaralı matematik öğretmeni GBOU okulu tarafından hazırlanmıştır.

Cümleleri tamamlamak:

1). Denklem...

2). Denklemin kökü...

3). Denklem çözmek demek...

I. Denklemleri sözlü olarak çözün:

1). 6x + 18=0
2). 2x + 5=0
3). 5x – 3=0
4). -3x + 9=0
5). -5x + 1=0
6). -2х – 10=0
7). 6x – 7=5x
8). 9x + 6=10x
9). 5x - 12=8x

Aşağıdaki denklemlerden hangisinin çözümü yoktur?

A). 2x – 14 = x + 7

B). 2x - 14 = 2(x – 7)

V). x – 7 = 2x + 14

G). 2x-14 = 2x + 7?

Hangi denklemin sonsuz sayıda çözümü vardır:

A). 4x – 12 = x – 12

B). 4x – 12 = 4x + 12

V). 4(x – 3) = 4x – 12

G). 4(x – 3) = x – 10?

TÜR DENKLEMLER

kx + b = 0

ONLARA DOĞRUSAL denir.

Doğrusal denklemleri çözmek için algoritma :

1). bilinmeyeni içeren terimleri sol tarafa, bilinmeyeni içermeyen terimleri sağ tarafa taşıyın (aktarılan terimin işareti terstir);

2). benzer üyeleri getirin;

3). Denklemin her iki tarafını da sıfıra eşit değilse bilinmeyenin katsayısına bölün.

Defterlerinizdeki denklemleri çözün :

Grup II: Sayı 697 s.63

x-1 +(x+2) = -4(-5-x)-5

Grup I:

№ 681 sayfa 63

6(4x)+3x=3

III grup: Sayı 767, sayfa 67

(x + 6) 2 + (x + 3) 2 = 2 x 2

Formun denklemi

Ah 2 + bх + c =0,

burada a≠0, b, c – herhangi bir gerçek sayıya kare denir.

Eksik denklemler:

Ah 2 + bх =0 (c=0),

Ah 2 + c =0 (b=0).

II. İkinci dereceden denklemleri tam mı yoksa eksik mi olduklarını belirterek sözlü olarak çözün:

1). 5x 2 + 15x=0

2). -X 2 +2x = 0

3). X 2 -25=0

4). -X 2 +9 =0

5). -X 2 - 16 =0

6). X 2 - 8x + 15=0

7 ) . X 2 + 5x + 6=0

8). X 2 + x - 12 =0

9).(-x-5)(-x+ 6)=0

SORULAR:

1). Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemleri çözmek için denklemlerin hangi özelliği kullanıldı?

2). Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemleri çözmek için bir polinomu çarpanlarına ayırmanın hangi yöntemleri kullanıldı?

3). Tam ikinci dereceden denklemleri çözmek için algoritma nedir ?

0,2 kök; D = 0, 1 kök; D X 1,2 =" genişlik = "640"

1). İki faktörün çarpımı sıfıra eşittir, biri sıfıra eşitse ikincisi anlamını kaybetmez: ab = 0 , Eğer bir = 0 veya b = 0 .

2). Ortak bir çarpanın değiştirilmesi ve

A 2 -B 2 =(a – b)(a + b) - kareler farkı formülü.

3). Tam ikinci dereceden denklem ah 2 + bx + c = o.

D=b 2 – 4ac ise D0, 2 kök;

D = 0, 1 kök;

X 1,2 =

DENKLEMLERİ ÇÖZÜN :

Grup I: Sayı 802 s.71 X 2 - 5x- 36 =0

Grup II: Sayı 810 s.71 3x 2 - x + 21=5x 2

III grubu: X 4 -5x 2 - 36 =0

III. DENKLEMLERİ ÇÖZÜN :

Grup I ve II: No. 860 = 0

III grup: =0

Bu tür denklemlere ne denir? Bunları çözmek için hangi özellik kullanılır?

Rasyonel bir denklem, formun bir denklemidir

Pay sıfır ve payda sıfır değilse kesir sıfıra eşittir. =0, eğer a = 0 ise, b≠0.

Matematiğin kısa tarihi

Eski Mısır matematikçileri ikinci dereceden ve doğrusal denklemleri çözebiliyorlardı.

İranlı ortaçağ bilim adamı Al-Khorezmi (9. yüzyıl), cebiri ilk kez doğrusal ve ikinci dereceden denklemlerin çözümüne yönelik genel yöntemler hakkında bağımsız bir bilim olarak tanıttı ve bu denklemlerin bir sınıflandırmasını verdi.

Matematikte yeni ve büyük bir atılım, Fransız bilim adamı Francois Vieta'nın (XVI. Yüzyıl) adıyla ilişkilendirilir. Cebire harfleri getiren oydu. İkinci dereceden denklemlerin köklerine ilişkin ünlü teoremden sorumludur.

Ve bilinmeyen nicelikleri Latin alfabesinin son harfleriyle (x, y, z) belirtme geleneğini başka bir Fransız matematikçi Rene Descartes'e (XVII) borçluyuz.