Užbaikite sakinius: 1). Lygtis yra... 2). Lygties šaknis yra... 3). Išspręsti lygtį reiškia...

I. Išspręskite lygtis žodžiu: 1). 2). 3). 4). 5). 6). 7). 8). 9). 6 x + 18=0 2 x + 5=0 5 x – 3=0 -3 x + 9=0 -5 x + 1=0 -2 x – 10=0 6 x – 7=5 x 9 x + 6 =10 x 5 x – 12=8 x

Kuri iš šių lygčių neturi sprendinių: a). 2 x – 14 = x + 7 b). 2 x - 14 = 2 (x - 7) c). x – 7 = 2 x + 14 g). 2 x-14 = 2 x + 7?

Kuri iš lygčių turi be galo daug sprendinių: a). 4 x – 12 = x – 12 b). 4 x – 12 = 4 x + 12 c). 4 (x – 3) = 4 x – 12 g). 4 (x – 3) = x – 10?

FORMOS kx + b = 0 LYGTYBĖS, kur k, b yra pateikti skaičiai, VADINAMI TIŠINIOMIS. Tiesinių lygčių sprendimo algoritmas: 1). atviri skliausteliuose 2). terminus, kuriuose yra nežinomasis, perkelkite į kairę, o terminus, kurių sudėtyje nėra nežinomojo – į dešinę (perkeliamo termino ženklas apverčiamas); 3). atsinešti panašių narių; 4). padalykite abi lygties puses iš nežinomojo koeficiento, jei jis nelygus nuliui.

Spręskite sąsiuviniuose I grupė: Nr.681 p.63 6(4 -x)+3 x=3 III grupė: Nr.767 p.67 (x + 6)2 + (x + 3)2 = 2 x 2 lygtys : II grupė: Nr. 697 p. 63 x-1 +(x+2) = -4(-5 -x)-5

Formos aх2 + bх + c =0 lygtis, kur a≠ 0, b, c yra bet kokie realieji skaičiai, vadinama kvadratine. Neišsamios lygtys: aх2 + bх =0 (c=0), aх2 + c =0 (b=0).

II. Žodžiu išspręskite kvadratines lygtis, nurodydami, ar jos yra išsamios, ar neišsamios: 1). x2 + 15 x=0 2). -x2 +2 x = 0 3). x2 -25=0 4). -x2 +9 =0 5). -x2 - 16 =0 6). x2 - 8 x + 15=0 7). x2 + 5 x + 6=0 8). x2 + x - 12 =0 9). (-x-5) (-x+ 6) = 0 10). x2 -4 x +4 =0

KLAUSIMAI: 1). Kokia lygčių savybė buvo panaudota sprendžiant nepilną kvadratines lygtis? 2). Kokie daugianario faktorinavimo metodai buvo naudojami sprendžiant nepilnas kvadratines lygtis? 3). Koks yra visiškų kvadratinių lygčių sprendimo algoritmas?

1). Dviejų veiksnių sandauga lygi nuliui, jei vienas iš jų lygus nuliui, antrasis nepraranda reikšmės: ab = 0, jei a = 0 arba b = 0. 2). Pakeitus bendrą koeficientą ir a 2 - b 2 =(a – b)(a + b) yra kvadratų skirtumo formulė. 3). Pilna kvadratinė lygtis ax2 + bx + c = o. D=b 2 – 4 ac, jei D>0, 2 šaknys; D = 0, 1 šaknis; D

Teorema atvirkštinė Vietos teoremai: Jei skaičiai a, b, c, x 1 ir x 2 yra tokie, kad x 1 x 2 = x 1 + x 2 = ir x 2 yra lygties a x 2 + bx + c šaknys = 0

Išspręskite LYGTIS: I grupė: Nr. 802 puslapis 71 x2 - 5 x- 36 =0 II grupė: Nr. 810 puslapis 71 3 x2 - x + 21=5 x2 III grupė: x4 -5 x2 - 36 =0

III. IŠSPRĘSTI LYGTIS: I ir II grupė: Nr. 860 III grupė: =0 =0 Kaip vadinamos tokios lygtys? Kokia nuosavybė naudojama joms išspręsti?

Racionalioji lygtis yra =0 formos lygtis. Trupmena lygi nuliui, jei skaitiklis yra nulis, o vardiklis nėra nulis. =0, jei a = 0, b≠ 0.

Trumpai iš matematikos istorijos Senovės Egipto matematikai sugebėjo išspręsti kvadratines ir tiesines lygtis. Persų viduramžių mokslininkas Al-Khwarizmi (IX a.) pirmą kartą pristatė algebrą kaip savarankišką mokslą bendrieji metodai tiesinių ir kvadratinių lygčių sprendinius, pateikė šių lygčių klasifikaciją. Naujas didelis matematikos proveržis siejamas su prancūzų mokslininko Francois Vieta (XVI a.) vardu. Būtent jis įvedė raides į algebrą. Jis yra atsakingas už garsiąją teoremą apie kvadratinių lygčių šaknis. O už tradiciją nežinomus dydžius žymėti paskutinėmis lotyniškos abėcėlės raidėmis (x, y, z) esame skolingi kitam prancūzų matematikui – Renė Dekartui (XVII).

Namų darbai Darbas su svetainėmis: - Atviras užduočių bankas OGE (matematika) http://85. 142. 162. 126/os/xmodules/qprint/index. php? proj=DE 0 E 276 E 49 7 AB 3784 C 3 FC 4 CC 20248 DC 0 ; - D. Guščino „Išspręsiu OGE“ https: //oge. sdamgia. ru/ ; - A. Larino svetainė (119 parinktis) http://alexlarin. tinklas/. Pamokos: - Yu. M. Kolyagin vadovėlis „Algebra 9 klasė“, M., „Apšvietimas“, 2014, p. 308 -310; - „3000 užduočių“. redagavo I. V. Yashchenko, M., „Egzaminas“, 2017, p. 5974.

Informacija tėvams Pasirengimo matematikos OGE sistema 1). Lydintis kartojimas 2 pamokose). Galutinė peržiūra metų pabaigoje 3). Pasirenkamieji užsiėmimai(šeštadieniais) 4). Namų darbų sistema - darbas su svetainėmis SPRENDSIU OGE, ATIDARYTI BANKĄ FIPI, SVETAINE A. LARINA. 5). Individualios konsultacijos (pirmadieniais)

Ketvirtoje algebros modulio užduotyje tikrinamos galių ir radikalių išraiškų vartojimo žinios.

Atliekant OGE matematikos užduotį Nr.4, tikrinami ne tik skaitinių reiškinių skaičiavimo ir transformavimo įgūdžiai, bet ir gebėjimas transformuoti algebrines išraiškas. Gali tekti atlikti operacijas su laipsniais su sveikuoju rodikliu, su daugianariais ir identiškomis racionaliųjų išraiškų transformacijomis.

Remiantis pagrindinio egzamino medžiaga, gali būti užduočių, kurioms reikia atlikti identiškas racionaliųjų reiškinių transformacijas, daugianarių faktorinavimą, naudojant procentus ir proporcijas, dalijamumo testus.

4 užduoties atsakymas yra vienas iš skaičių 1; 2; 3; 4, atitinkantis siūlomo užduoties atsakymo numerį.

4 užduoties teorija

Iš teorinės medžiagos mums prireiks Laipsnio tvarkymo taisyklės:

Darbo su radikalios išraiškos:

Mano analizuojamose versijose šios taisyklės pateikiamos - nagrinėjant pirmąjį trečiosios užduoties variantą pateikiamos laipsnių tvarkymo taisyklės, o antrajame ir trečiame variantuose – darbo su radikaliosiomis išraiškomis pavyzdžiai.

Matematikos užduoties Nr. 4 OGE tipinių variantų analizė

Pirmoji užduoties versija

Kuri iš šių išraiškų bet kuriai n vertei yra lygi sandaugai 121 11 n?

1. 121n
2. 11n+2
3. 11 2n
4. 11n+3

Sprendimas:

Norėdami išspręsti šią problemą, turite atsiminti šiuos dalykus laipsnių tvarkymo taisyklės :

• Padauginus galios sumuojasi
• sudėjus laipsniai atimami
• Pakeliant galią į galią, galios dauginamos
• išgaunant šaknį, laipsniai skirstomi

Be to, norint ją išspręsti, 121 reikia pavaizduoti kaip 11 laipsnį, tai yra lygiai 11 2.

121 11 n = 11 2 11 n

Atsižvelgdami į daugybos taisyklę, pridedame laipsnius:

11 2 11 n = 11 n+2

Todėl antrasis atsakymas mums tinka.

Antroji užduoties versija

Kuris iš šių posakių turi didžiausią vertę?

1. 2√11
2. 2√10

Sprendimas:

Norėdami išspręsti šią užduotį, turite visas išraiškas perkelti į bendrą formą - pateikti išraiškas radikalių išraiškų forma:

Perkelkite 3 į šaknį:

3√5 = √(3² 5) = √(9 5) = √45

Perkelkite 2 į šaknį:

2√11 = √(2² 11) = √(4 11) = √44

Perkelkite 2 į šaknį:

2√10 = √(2² 10) = √(4 10) = √40

Mes kvadratas 6,5:

6,5 = √(6,5²) = √42,25

Pažvelkime į visas gautas parinktis:

1. 3√5 = √45
2. 2√11 = √44
3. 2√10 = √40
4. 6,5 = √42,25

Todėl teisingas atsakymas yra pirmasis

Trečia užduoties versija

Kuris iš šių skaičių yra racionalus?

1. √810
2. √8,1
3. √0,81
4. visi šie skaičiai yra neracionalūs

Sprendimas:

Norėdami išspręsti šią problemą, turite atlikti šiuos veiksmus:

Pirmiausia išsiaiškinkime, kokio skaičiaus laipsnis laikomas šiame pavyzdyje - tai yra skaičius 9, nes jo kvadratas yra 81, ir tai jau šiek tiek panašu į atsakymų išraiškas. Toliau pažvelkime į skaičiaus 9 formas - tai gali būti:

Apsvarstykite kiekvieną iš jų:

0,9 = √(0,9)² = √0,81

90 = √(90²) = √8100

Todėl skaičius √0,81 yra racionalus, o likę skaičiai

nors ir panašios į 9 kvadratų formą, jos nėra racionalios.

Taigi teisingas atsakymas yra trečias.

Ketvirta užduoties versija

Mano bendruomenės prenumeratoriaus prašymu Tai nukrito Diana, čia yra šios užduoties Nr. 4 analizė:

Kuris iš žemiau pateiktų skaičių yra išraiškos reikšmė?

Sprendimas:

Atkreipkite dėmesį, kad vardiklyje yra skirtumas (4 - √14), kurio turime atsikratyti. Kaip tai padaryti?

Norėdami tai padaryti, prisiminkite sutrumpinto daugybos formulę, būtent kvadratų skirtumą! Norėdami teisingai jį pritaikyti šioje užduotyje, turite atsiminti trupmenų tvarkymo taisykles. Šiuo atveju atminkite, kad trupmena nesikeičia, jei skaitiklis ir vardiklis padauginami iš to paties skaičiaus arba išraiškos. Kvadratų skirtumui trūksta išraiškos (4 + √14), o tai reiškia, kad iš jos padauginame skaitiklį ir vardiklį.

Po to skaitiklyje gauname 4 + √14, o vardiklyje kvadratų skirtumą: 4² - (√14)². Po to vardiklis lengvai apskaičiuojamas:

Iš viso mūsų veiksmai atrodo taip:

Penktoji užduoties versija (OGE 2017 demonstracinė versija)

Kuri išraiška yra racionalusis skaičius?

1. √6-3
2. √3 √5
3. (√5)²
4. (√6-3)²

Sprendimas:

Šioje užduotyje tikrinami mūsų įgūdžiai atliekant operacijas su neracionaliais skaičiais.

Pažvelkime į kiekvieną atsakymo variantą sprendime:

√6 pats savaime yra neracionalus skaičius; norint išspręsti tokias problemas, pakanka prisiminti, kad galite racionaliai ištraukti šaknį iš kvadratų natūraliuosius skaičius, pavyzdžiui, 4, 9, 16, 25...

Iš iracionaliojo skaičiaus atimant bet kurį kitą skaičių, išskyrus jį patį, jis vėl bus neracionalus skaičius, todėl šioje versijoje gaunamas neracionalusis skaičius.

Daugindami šaknis, galime išskirti šaknį iš radikalių išraiškų sandaugos, tai yra:

√3 √5 = √(3 5) = √15

Tačiau √15 yra neracionalus, todėl šis atsakymas netinka.

Statybos metu kvadratinė šaknis kvadratu, mes tiesiog gauname radikalią išraišką (tiksliau, modulo radikalią išraišką, bet skaičiaus atveju, kaip ir šioje versijoje, tai nesvarbu), todėl:

Šis atsakymo variantas mums tinka.

Ši išraiška reiškia 1 taško tęsinį, bet jei √6-3 yra neracionalusis skaičius, tada jo negalima paversti racionaliu skaičiumi jokiomis mums žinomomis operacijomis.

Toylonovas Argymai ir Toylonovas Erkei

Matematinis išsilavinimas, įgytas bendrojo lavinimo mokykloje, yra esminis komponentas bendrojo išsilavinimo ir bendrą kultūrą šiuolaikinis žmogus. Beveik viskas, kas supa šiuolaikinį žmogų, yra kažkaip susiję su matematika. A naujausi pasiekimai fizikos, technologijų ir Informacinės technologijos nepaliks abejonių, kad ir ateityje padėtis išliks tokia pati. Todėl daugelio praktinių problemų sprendimas priklauso nuo sprendimo įvairių tipų lygtys, kurias reikia išmokti išspręsti.

O nuo 2013 m. matematikos atestavimas baigiant pagrindinę mokyklą vykdomas OGE forma. Kaip ir vieningas valstybinis egzaminas, vieningas valstybinis egzaminas skirtas vesti ne tik algebros, bet ir viso pagrindinės mokyklos matematikos kurso atestaciją.

Liūto dalis užduočių, vienaip ar kitaip, yra lygčių ir jų sprendimų sudarymas. Norėdami pereiti prie šios temos tyrimo, turėjome atsakyti į klausimus: „Kokio tipo lygtys randamos OGE užduotyse? “ ir „Kokiais būdais galima išspręsti šias lygtis?

Taigi, reikia ištirti visų tipų lygtis, kurios yra OGE užduotyse. Visa tai lemia

Tikslas Darbo tikslas – užbaigti visų tipų lygtis, randamas OGE užduotyse pagal tipus, ir išanalizuoti pagrindinius šių lygčių sprendimo būdus.

Norėdami pasiekti šį tikslą, nustatėme šiuos dalykus užduotys:

1) Ištirti pagrindinius išteklius ruošiantis pagrindiniams valstybiniams egzaminams.

2) Užpildykite visas lygtis pagal tipą.

3) Išanalizuoti šių lygčių sprendimo būdus.

4) Sudarykite rinkinį su visų tipų lygtimis ir jų sprendimo būdais.

Studijų objektas: lygtys

Studijų dalykas: lygtys OGE užduotyse.

Parsisiųsti:

Peržiūra:

Savivaldybės biudžetinė švietimo įstaiga

"Chibitskaya vidurinė mokykla"

MOKYMO PROJEKTAS:

„LYGTYBĖS OGE UŽDUOTĖSE“

Toilonovas Erkey

8 klasės mokiniai

vadovė: Nadežda Vladimirovna Toilonova, matematikos mokytoja.

Projekto įgyvendinimo laikas:

nuo 2017-12-13 iki 02-13. 2018 m

Įvadas…………………………………………………………………………………..
Istorinė nuoroda ……………………………………………………
1 skyrius Lygčių sprendimas ……………………………………………
1.1 Tiesinių lygčių sprendimas……………………………………
1.2 Kvadratinės lygtys……………………………………………
1.2.1 Neužbaigtos kvadratinės lygtys…………………………………	9-11
1.2.2 Užbaigtos kvadratinės lygtys……………………………………	11-14
1.2.3 Konkretūs kvadratinių lygčių sprendimo metodai…………….	14-15
1.3 Racionaliosios lygtys……………………………………….	15-17
2 skyrius Sudėtingos lygtys…………………………………………….	18-24
Išvados ……………………………………………………………………
Literatūros sąrašas ………………………………………………………
1 priedas „Tiesinės lygtys“ ………………………………….	26-27
2 priedas „Nebaigtos kvadratinės lygtys“ …………………	28-30
3 priedas „Visiškos kvadratinės lygtys“ ……………………	31-33
4 priedas „Racionalios lygtys“ …………………………….	34-35
5 priedas „Sudėtinės lygtys“ …………………………………..	36-40

ĮVADAS

Bendrojoje mokykloje įgytas matematinis išsilavinimas yra esminė bendrojo lavinimo ir bendrosios šiuolaikinio žmogaus kultūros sudedamoji dalis. Beveik viskas, kas supa šiuolaikinį žmogų, yra kažkaip susiję su matematika. O pastarieji fizikos, inžinerijos ir informacinių technologijų pasiekimai nekelia abejonių, kad ateityje padėtis išliks tokia pati. Todėl sprendžiant daugelį praktinių problemų reikia išspręsti įvairių tipų lygtis, kurias reikia išmokti išspręsti.

O nuo 2013 m. matematikos atestavimas baigiant pagrindinę mokyklą vykdomas OGE forma. Kaip ir vieningas valstybinis egzaminas, vieningas valstybinis egzaminas skirtas vesti ne tik algebros, bet ir viso pagrindinės mokyklos matematikos kurso atestaciją.

Liūto dalis užduočių, vienaip ar kitaip, yra lygčių ir jų sprendimų sudarymas. Norėdami pereiti prie šios temos tyrimo, turėjome atsakyti į klausimus: „Kokio tipo lygtys randamos OGE užduotyse? “ ir „Kokiais būdais galima išspręsti šias lygtis?

Taigi, reikia ištirti visų tipų lygtis, kurios yra OGE užduotyse. Visa tai lemiaatliekamo darbo problemos aktualumas.

Tikslas Darbo tikslas – užbaigti visų tipų lygtis, randamas OGE užduotyse pagal tipus, ir išanalizuoti pagrindinius šių lygčių sprendimo būdus.

Norėdami pasiekti šį tikslą, nustatėme šiuos dalykus užduotys:

1) Ištirti pagrindinius išteklius ruošiantis pagrindiniams valstybiniams egzaminams.

2) Užpildykite visas lygtis pagal tipą.

3) Išanalizuoti šių lygčių sprendimo būdus.

4) Sudarykite rinkinį su visų tipų lygtimis ir jų sprendimo būdais.

Studijų objektas: lygtys

Studijų dalykas:lygtys OGE užduotyse.

Projekto darbo planas:

1. Projekto temos formulavimas.
2. Medžiagos iš oficialių šaltinių pasirinkimas tam tikra tema.
3. Informacijos apdorojimas ir sisteminimas.
4. Projekto įgyvendinimas.
5. Projekto projektavimas.
6. Projekto apsauga.

Problema : pagilinkite savo lygčių supratimą. Parodykite pagrindinius pirmoje ir antroje dalyse pateiktų OGE užduočių lygčių sprendimo būdus.

Šiuo darbu bandoma apibendrinti ir susisteminti studijuojamą medžiagą bei išmokti naujos. Projektas apima: tiesines lygtis su terminų perkėlimu iš vienos lygties dalies į kitą ir naudojant lygčių savybes, taip pat lygtimi sprendžiamos problemos, visų tipų kvadratinės lygtys ir racionaliųjų lygčių sprendimo metodai.

Matematika... atskleidžia tvarką, simetriją ir tikrumą,

ir tai yra svarbiausios grožio rūšys.

Aristotelis.

Istorinė nuoroda

Tais tolimais laikais, kai išminčiai pirmą kartą pradėjo galvoti apie lygybes, kuriose yra nežinomi kiekiai, tikriausiai nebuvo monetų ar piniginių. Tačiau buvo krūvos, taip pat puodai ir krepšeliai, kurie puikiai tiko kaip saugyklos, kuriose galėjo tilpti nežinomas kiekis daiktų. „Ieškome krūvos, kuri kartu su dviem trečdaliais, puse ir viena septintoji dalis sudarytų 37...“, mokoma II tūkstantmetyje pr. nauja era Egipto raštininkas Ahmesas. Senovės Mesopotamijos, Indijos, Kinijos, Graikijos matematinėse problemose nežinomi kiekiai išreiškė povų skaičių sode, bulių skaičių bandoje ir dalykų, į kuriuos buvo atsižvelgta dalijant turtą, visumą. Su tokiomis užduotimis gana sėkmingai susidorojo raštininkai, valdininkai ir kunigai, inicijuoti į slaptas žinias, gerai apmokyti sąskaitų mokslo.

Mus pasiekę šaltiniai rodo, kad senovės mokslininkams kai kurie priklausė bendrosios technikos sprendžiant problemas su nežinomais kiekiais. Tačiau ne vienoje papiruso ar molio lentelėje nėra šių metodų aprašymo. Autoriai tik retkarčiais pateikdavo savo skaitinius skaičiavimus su šykščiais komentarais, tokiais kaip: „Žiūrėk!“, „Padaryk tai!“, „Radai tinkamą“. Šia prasme išimtis yra graikų matematiko Diofanto Aleksandriečio (III a.) „Aritmetika“ - lygčių sudarymo uždavinių rinkinys su sistemingu jų sprendimų pateikimu.

Tačiau pirmasis plačiai žinomas problemų sprendimo vadovas buvo IX amžiaus Bagdado mokslininko darbas. Muhamedas bin Musa al Khwarizmi. Žodis „al-jabr“ iš arabiško šio traktato pavadinimo – „Kitab al-jaber wal-mukabala“ („Atkūrimo ir opozicijos knyga“) laikui bėgant virto gerai žinomu žodžiu „algebra“, o al- Pats Khwarizmi darbas buvo pradinis taškas plėtojant lygčių sprendimo mokslą.

Taigi, kas yra lygtis?

Yra teisių lygtis, laiko lygtis (tikrojo saulės laiko vertimas į vidurkį saulės laikas, priimtas nakvynės namuose ir moksluose; astr.) ir kt.

Matematikoje yra matematinė lygybė, turinti vieną ar daugiau nežinomų dydžių ir išlaikanti galiojimą tik tam tikroms šių nežinomų dydžių reikšmėms.

Lygtyse su vienu kintamuoju nežinomasis paprastai žymimas raide " X". "x" reikšmė “, tenkinantis šias sąlygas, vadinamas lygties šaknimi.

Yra skirtingos lygtys rūšys:

ax + b = 0. - Tiesinė lygtis.
ax 2 + bx + c = 0. - Kvadratinė lygtis.
ax 4 + bx 2 + c = 0. - Bikvadratinė lygtis.

– Racionali lygtis.

– Iracionali lygtis.
Yra tokiųlygčių sprendimo būdai Kaip: algebrinė, aritmetinė ir geometrinė. Panagrinėkime algebrinį metodą.

Išspręskite lygtį- tai yra rasti tokias X reikšmes, kurios, pakeistos į pradinę išraišką, suteiks mums teisingą lygybę arba įrodys, kad sprendimų nėra. Spręsti lygtis, nors ir sunku, bet įdomu. Juk išties stebina, kai nuo vieno nežinomo skaičiaus priklauso visas srautas skaičių.

Lygtyse norėdami rasti nežinomą, turite transformuoti ir supaprastinti pradinę išraišką. Ir taip, kad keičiant išvaizda posakio esmė nepasikeitė. Tokios transformacijos vadinamos identiškomis arba lygiavertėmis.

1 skyrius Lygčių sprendimas

1.1 Tiesinių lygčių sprendimas.

Dabar pažvelgsime į tiesinių lygčių sprendimus. Prisiminkite, kad formos lygtisvadinama tiesine lygtimi arba pirmojo laipsnio lygtimi, nes su kintamuoju " X » vyresnysis laipsnis yra pirmojo laipsnio.

Tiesinės lygties sprendimas yra labai paprastas:

1 pavyzdys: išspręskite 3 lygtį x +3 = 5 x

Tiesinė lygtis sprendžiama perkeliant terminus, kuriuose yra nežinomųjų į kairę lygybės ženklo pusę, laisvuosius koeficientus – į dešinę lygybės ženklo pusę:

3 x – 5 x = – 3

2 x=-3

x = 1,5

Vadinama kintamojo reikšmė, paverčianti lygtį tikrąja lygybe lygties šaknis.

Po patikrinimo gauname:

Taigi 1,5 yra lygties šaknis.

Atsakymas: 1.5.

Lygčių sprendimas terminų perkėlimo iš vienos lygties dalies į kitą metodu, kuriame terminų ženklas pasikeičia į priešingą ir naudojamas savybių lygtys – abi lygties pusės gali būti padaugintos (padalintos) iš to paties ne nulinio skaičiaus ar išraiškos, gali būti svarstomos sprendžiant šias lygtis.

2 pavyzdys. Išspręskite lygtis:

a) 6 x +1=− 4 x ; b) 8+7 x =9 x +4; c) 4 (x -8) = - 5.

Sprendimas.

a) Naudodami perkėlimo metodą išsprendžiame

6 x + 4 x = ─1;

10 x=─ 1;

x=─ 1:10;

x=─ 0,1.

Egzaminas:

Atsakymas: -0,1

b) Panašiai kaip ir ankstesniame pavyzdyje, sprendžiame naudodami perdavimo metodą:

Atsakymas: 2.

c) Šioje lygtyje būtina atidaryti skliaustus, pritaikant daugybos skirstomąją savybę sudėjimo operacijos atžvilgiu.

Atsakymas: 6.75.

1.2 Kvadratinės lygtys

Formos lygtis vadinama kvadratine lygtimi, kur a – senjoro koeficientas, b – vidutinis koeficientas, с – laisvas terminas.

Priklausomai nuo šansų a, b ir c – lygtis gali būti išsami arba neišsami, duota arba neduota.

1.2.1 Nebaigtos kvadratinės lygtys

Apsvarstykite būdus, kaip išspręsti nepilnas kvadratines lygtis:

1) Pradėkime suprasti pirmojo tipo nepilnų kvadratinių lygčių sprendimą c=0 . Nebaigtos formos kvadratinės lygtys a x 2 +b x=0 leidžia apsispręstifaktorizavimo metodas. Visų pirma, sutvirtinimo metodas.

Akivaizdu, kad galime, esantys kairėje lygties pusėje, kuriai pakanka iš skliaustų išimti bendrą koeficientą x . Tai leidžia pereiti nuo pradinės nepilnos kvadratinės lygties prie lygiavertės formos lygties: x·(a·x+b)=0 .

Ir ši lygtis yra lygiavertė dviejų lygčių deriniui x=0 arba a x+b=0 , iš kurių paskutinis yra linijinis ir turi šaknį x=− .

a x 2 +b x=0 turi dvi šaknis

x=0 ir x=− .

2) Dabar pažiūrėkime, kaip sprendžiamos nepilnos kvadratinės lygtys, kuriose koeficientas b yra nulis ir c≠0 , tai yra formos lygtys a x 2 +c=0 . Žinome, kad perkėlus terminą iš vienos lygties pusės į kitą su priešingu ženklu, taip pat padalijus abi lygties puses ne nuliu skaičiumi, gaunama lygiavertė lygtis. Todėl galime atlikti tokias lygiavertes nepilnos kvadratinės lygties transformacijas a x 2 + c=0 :

• perkėlimas iš į dešinę pusę, kuri suteikia lygtį a x 2 =-c ,
• ir padalykite abi dalis iš a , mes gauname.

Gauta lygtis leidžia daryti išvadas apie jos šaknis.

Jei numeris – yra neigiamas, tada lygtis neturi šaknų. Šis teiginys išplaukia iš to, kad bet kurio skaičiaus kvadratas yra neneigiamas skaičius.

Jeigu yra teigiamas skaičius, tada situacija su lygties šaknimis yra kitokia. Šiuo atveju reikia atsiminti, kad yra lygties šaknis, tai yra skaičius. Lygties šaknis apskaičiuojama pagal šią schemą:

Yra žinoma, kad pakeičiant į lygtį vietoj x jos šaknys lygtį paverčia tikra lygybe.

Apibendrinkime šioje pastraipoje pateiktą informaciją. Nebaigta kvadratinė lygtis a x 2 +c=0 yra lygiavertis lygčiai, kuris

3) Nepilniųjų kvadratinių lygčių sprendiniai, kuriuose koeficientai b ir c yra lygūs nuliui, tai yra su formos lygtimis a x 2 =0. Lygtis a x 2 =0 seka x 2 =0 , kuris gaunamas iš originalo, padalijus abi dalis iš ne nulio skaičiaus a . Akivaizdu, kad lygties šaknis x 2 = 0 yra nulis, nes 0 2 =0 . Ši lygtis neturi kitų šaknų.

Taigi, nepilna kvadratinė lygtis a x 2 =0 turi vieną šaknį x=0 .

3 pavyzdys. Išspręskite lygtis: a) x 2 = 5x, jei lygtis turi kelias šaknis, atsakyme nurodykite mažiausią iš jų;

b) , jei lygtis turi kelias šaknis, atsakyme nurodykite didžiausią iš jų;

c) x 2 −9=0, jei lygtis turi kelias šaknis, atsakyme nurodykite mažiausią iš jų.

Sprendimas.

Gavome nepilną kvadratinę lygtį, kuriai nėra laisvo termino. Mes sprendžiame naudodami bracketing metodą.

U Lygtį galima padaryti su dviem šaknimis, iš kurių mažesnė yra 0.

Atsakymas: 0.

b) . Panašiai kaip ir ankstesniame pavyzdyje, mes naudojame skliaustų metodą

Atsakyme turi būti nurodyta didesnė šaknis. Tai yra skaičius 2.

Atsakymas: 2.

V) . Ši lygtis yra neišsami kvadratinė lygtis, kuri neturi vidutinio koeficiento.

Mažiausia iš šių šaknų yra skaičius – 3.

Atsakymas: -3.

1.2.2 Užbaigtos kvadratinės lygtys.

1. Diskriminantinė, pagrindinė kvadratinės lygties šaknų formulė

Yra šaknies formulė.

Užsirašykime kvadratinės lygties šaknų formulė žingsnis po žingsnio:

1) D=b 2 −4 a c - vadinamasis.

a) jei D

b) jei D>0, tai lygtisneturi vienos šaknies:

c) jei D neturi dviejų šaknų:

Kvadratinių lygčių sprendimo naudojant šaknies formules algoritmas

Praktiškai spręsdami kvadratines lygtis galite iš karto naudoti šaknies formulę, kad apskaičiuotumėte jų reikšmes. Bet tai labiau susiję su sudėtingų šaknų paieška.

Tačiau mokykliniame algebros kurse paprastai kalbame ne apie sudėtingas, o apie realias kvadratinės lygties šaknis. Tokiu atveju, prieš naudojant kvadratinės lygties šaknų formules, patartina pirmiausia rasti diskriminantą, įsitikinti, kad jis yra neneigiamas (kitaip galime daryti išvadą, kad lygtis neturi realių šaknų), ir tik tada apskaičiuokite šaknų reikšmes.

Aukščiau pateiktas samprotavimas leidžia mums rašytikvadratinės lygties sprendimo algoritmas. Norėdami išspręsti kvadratinę lygtį a x 2 +b x+c=0, jums reikia:

• pagal diskriminanto formulę D=b 2 −4 a c apskaičiuoti jo vertę;
• padaryti išvadą, kad kvadratinė lygtis neturi realių šaknų, jei diskriminantas yra neigiamas;
• apskaičiuokite vienintelę lygties šaknį naudodami formulę if D = 0;
• Raskite dvi realias kvadratinės lygties šaknis naudodami šaknies formulę, jei diskriminantas yra teigiamas.

2. Diskriminantas, antroji kvadratinės lygties šaknų formulė (su lyginiu antruoju koeficientu).

Išspręsti formos kvadratines lygtis, su lyginiu koeficientu b=2k yra kita formulė.

Įrašykime naują kvadratinės lygties šaknų formulė ties:

1) D’=k 2 −a c - vadinamasiskvadratinės lygties diskriminantas.

a) jei D' neturi tikrų šaknų;

b) jei D’>0, tai lygtisneturi vienos šaknies:

c) jei D' neturi dviejų šaknų:

4 pavyzdys. Išspręskite 2x lygtį 2 −3x+1=0.. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite didesnę šaknį.

Sprendimas. Pirmuoju atveju turime šiuos kvadratinės lygties koeficientus: a=2 , b=-3 ir c=1 D=b 2 −4·a·c=(-3) 2 −4·2·1=9-8=1 . Nuo 1>0

Mes turime Gavome dvi šaknis, iš kurių didesnė yra skaičius 1.

Atsakymas: 1.

5 pavyzdys. Išspręskite x lygtį 2 −21 = 4x.

Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite didesnę šaknį.

Sprendimas. Analogiškai su ankstesniu pavyzdžiu perkeliame 4h į kairę lygybės ženklo pusę ir gauname:

Šiuo atveju turime šiuos kvadratinės lygties koeficientus: a=1 , k=-2 ir c=-21 . Pagal algoritmą pirmiausia reikia apskaičiuoti diskriminantą D’=k 2 −a·c=(-2) 2 −1·(−21)=4+21=25 . Skaičius 25>0 , tai yra, diskriminantas yra didesnis už nulį, tada kvadratinė lygtis turi dvi realias šaknis. Raskime juos naudodami šaknies formulę

Atsakymas: 7.

1.2.3 Konkretūs kvadratinių lygčių sprendimo metodai.

1) Kvadratinės lygties šaknų ir koeficientų ryšys. Vietos teorema.

Kvadratinės lygties šaknų formulė išreiškia lygties šaknis per jos koeficientus. Remdamiesi šaknies formule, galite gauti kitus ryšius tarp šaknų ir koeficientų.

Garsiausia ir taikoma formulė vadinama Vietos teorema.

Teorema: Tegu - duotosios kvadratinės lygties šaknys. Tada šaknų sandauga lygi laisvajam nariui, o šaknų suma lygi priešingai antrojo koeficiento reikšmei:

Naudodami jau parašytas formules, galite gauti daugybę kitų kvadratinės lygties šaknų ir koeficientų jungčių. Pavyzdžiui, kvadratinės lygties šaknų kvadratų sumą galite išreikšti jos koeficientais.

6 pavyzdys. a) Išspręskite x lygtį 2

b) Išspręskite lygtį x 2

c) Išspręskite lygtį x 2

Sprendimas.

a) Išspręskite x lygtį 2 −6x+5=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite mažesnę šaknį.

Iš šaknų pasirenkama mažiausia

Atsakymas: 1

b) Išspręskite lygtį x 2 +7x+10=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite didesnę šaknį.

Taikydami Vietos teoremą, rašome šaknų formules

Logiškai samprotaudami darome tokią išvadą. Pasirinkus didžiausią iš šaknų

Atsakymas: ─2.

c) Išspręskite lygtį x 2 ─5x─14 = 0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite didesnę šaknį.

Taikydami Vietos teoremą, rašome šaknų formules

Logiškai samprotaudami darome tokią išvadą. Iš šaknų pasirenkama mažiausia

Atsakymas: ─2.

1.3 Racionaliosios lygtys

Jei jums duota lygtis su formos trupmenomissu kintamuoju skaitiklyje arba vardiklyje, tada tokia išraiška vadinama racionalia lygtimi. Racionalioji lygtis yra bet kuri lygtis, apimanti bent vieną racionalią išraišką. Racionaliosios lygtys sprendžiamos taip pat, kaip ir bet kuri lygtis: tos pačios operacijos atliekamos abiejose lygties pusėse, kol kintamasis išskiriamas vienoje lygties pusėje. Tačiau yra 2 racionalių lygčių sprendimo būdai.

1) Kryžminis dauginimas.Jei reikia, perrašykite jums pateiktą lygtį taip, kad kiekvienoje pusėje būtų viena trupmena (viena racionali išraiška); tik šiuo atveju galite naudoti skersinio daugybos metodą.

Padauginkite kairiosios trupmenos skaitiklį iš dešinės vardiklio. Pakartokite tai su dešiniosios trupmenos skaitikliu ir kairiosios dalies vardikliu.

• Kryžminis daugybos pagrindas yra pagrindiniai algebriniai principai. Racionaliose išraiškose ir kitose trupmenose skaitiklio galite atsikratyti atitinkamai padauginę dviejų trupmenų skaitiklius ir vardiklius.
• Sulyginkite gautas išraiškas ir supaprastinkite jas.
• Išspręskite gautą lygtį, ty raskite „x“. Jei „x“ yra abiejose lygties pusėse, išskirkite ją vienoje lygties pusėje.

2) Mažiausiai Bendras vardiklis(NOZ) naudojamas šiai lygčiai supaprastinti.Šis metodas naudojamas, kai negalite parašyti duotosios lygties su viena racionalia išraiška kiekvienoje lygties pusėje (ir naudoti kryžminį daugybos metodą). Šis metodas naudojamas, kai pateikiama racionali lygtis su 3 ar daugiau trupmenų (jei dvi trupmenos, geriau naudoti kryžminį dauginimą).

• Raskite mažiausią bendrąjį trupmenų vardiklį (arba mažiausią bendrą kartotinį).NOZ yra mažiausias skaičius, kuris tolygiai dalijasi iš kiekvieno vardiklio.
• Kiekvienos trupmenos skaitiklį ir vardiklį padauginkite iš skaičiaus, lygaus NOC padalijus iš atitinkamo kiekvienos trupmenos vardiklio.
• Rasti x. Dabar, kai sumažinote trupmenas iki bendro vardiklio, galite atsikratyti vardiklio. Norėdami tai padaryti, padauginkite kiekvieną lygties pusę iš bendro vardiklio. Tada išspręskite gautą lygtį, ty raskite „x“. Norėdami tai padaryti, išskirkite kintamąjį vienoje lygties pusėje.

7 pavyzdys. Išspręskite lygtis: a); b) c) .

Sprendimas.

A) . Mes naudojame skersinio daugybos metodą.

Atidarome skliaustus ir pateikiame panašius terminus.

gavo tiesinę lygtį su vienu nežinomuoju

Atsakymas: ─10.

b) , panašiai kaip ir ankstesniame pavyzdyje, taikome kryžminio daugybos metodą.

Atsakymas: ─1.9.

V) , naudojame mažiausio bendro vardiklio (LCD) metodą.

Šiame pavyzdyje bendras vardiklis būtų 12.

Atsakymas: 5.

2 skyrius Sudėtingos lygtys

Sudėtingų lygčių kategorijai priklausančios lygtys gali derinti įvairius metodus ir sprendimo būdus. Tačiau vienaip ar kitaip visos lygtys loginio samprotavimo metodu ir lygiaverčiais veiksmais veda į lygtis, kurios buvo ištirtos anksčiau.

7 pavyzdys. Išspręskite lygtį ( x +3) 2 =(x +8) 2 .

Sprendimas. Naudodami sutrumpintas daugybos formules atidarysime skliaustus:

Perkeliame visus terminus už lygybės ženklo ribų ir pateikiame panašius,

Atsakymas: 5.5.

8 pavyzdys. Išspręskite lygtis: a)(− 5 x +3)(− x +6)=0, b) (x +2)(− x +6)=0.

Sprendimas.

a)(− 5 x +3)(− x +6)=0; Atidarykime skliaustus ir pateikime panašius terminus

gavome pilną kvadratinę lygtį, kurią išspręsime per pirmąją diskriminuojančios formulę

lygtis turi dvi šaknis

Atsakymas: 0,6 ir 6.

b) (x +2) (− x +6)=0, šiai lygčiai atliksime loginį samprotavimą (produktas lygus nuliui, kai vienas iš veiksnių lygus nuliui). Reiškia

Atsakymas: ─2 ir 6.

9 pavyzdys. Išspręskite lygtis:, b) .

Sprendimas. Raskime mažiausią bendrą vardiklį

Parašykime kintamojo laipsnių mažėjimo tvarka

; gavo pilną kvadratinę lygtį su lyginiu antruoju koeficientu

Lygtis turi dvi realias šaknis

Atsakymas:.

b) . Motyvavimas panašus į a). NPD radimas

Atidarome skliaustus ir pateikiame panašius terminus

Išspręskite visą kvadratinę lygtį per bendrąją formulę

Atsakymas:.

10 pavyzdys. Išspręskite lygtis:

Sprendimas.

A) , Pastebime, kad kairėje pusėje skliaustuose esanti išraiška reiškia sutrumpinto daugybos formulę, tiksliau – dviejų išraiškų sumos kvadratą. Paverskime jį

; perkelkite šios lygties narius į vieną pusę

dėkime iš skliaustų

Produktas yra lygus nuliui, kai vienas iš veiksnių yra nulis. Reiškia,

Atsakymas: ─2, ─1 ir 1.

b) Mes samprotaujame taip pat, kaip, pavyzdžiui, a)

, pagal Vietos teoremą

Atsakymas:

11 pavyzdys. Išspręskite lygtis a)

Sprendimas.

A) ; [kairėje ir dešinėje lygties pusėse galite naudoti skliaustų išėmimo metodą, o kairėje pusėje išimsime, o dešinėje pusėje įdedame skaičių 16.]

[perkelkime viską į vieną pusę ir dar kartą pritaikykime braketavimo metodą. Išimsime bendrą veiksnį]

[produktas lygus nuliui, kai vienas iš veiksnių yra nulis.]

Atsakymas:

b) . [Ši lygtis panaši į a) lygtį). Todėl šiuo atveju taikome grupavimo metodą]

Atsakymas:

12 pavyzdys. Išspręskite lygtį=0.

Sprendimas.

0 [bikvadratinė lygtis. Išspręsta keičiant kintamąjį metodą].

0; [Taikydami Vietos teoremą gauname šaknis]

. [grįžti į ankstesnius kintamuosius]

Atsakymas:

13 pavyzdys. Išspręskite lygtį

Sprendimas. [bikvadratinė lygtis, mes atsikratome lygiųjų galių naudodami modulio ženklus.]

[gavome dvi kvadratines lygtis, kurias išsprendžiame naudodami pagrindinę kvadratinės lygties šaknų formulę]

jokia realių šaknų lygtis neturi dviejų šaknų

Atsakymas:

14 pavyzdys. Išspręskite lygtį

Sprendimas.

ODZ:

[perkelkite visas lygties sąlygas į kairę pusę ir pateikite panašius terminus]

[gavome redukuotą kvadratinę lygtį, kuri lengvai išsprendžiama naudojant Vietos teoremą]

Skaičius – 1 netenkina pateiktos lygties ODZ, todėl jis negali būti šios lygties šaknis. Tai reiškia, kad tik skaičius 7 yra šaknis.

Atsakymas: 7.

15 pavyzdys. Išspręskite lygtį

Sprendimas.

Dviejų išraiškų kvadratų suma gali būti lygi nuliui tik tuo atveju, jei išraiškos tuo pačiu metu yra lygios nuliui. Būtent

[Kiekvieną lygtį sprendžiame atskirai]

Pagal Vietos teoremą

Šaknų sutapimas, lygus –5, bus lygties šaknis.

Atsakymas: – 5.

IŠVADA

Apibendrinant atlikto darbo rezultatus, galime daryti išvadą: lygtys vaidina didžiulį vaidmenį plėtojant matematiką. Susisteminome įgytas žinias ir apibendrinome apžvelgtą medžiagą. Šios žinios gali paruošti mus būsimiems egzaminams.

Mūsų darbas leidžia kitaip pažvelgti į matematikos mums keliamas užduotis.

• projekto pabaigoje susisteminome ir apibendrinome anksčiau tyrinėtus lygčių sprendimo būdus;
• susipažino su naujais lygčių sprendimo būdais ir lygčių savybėmis;

• Tiek pirmoje, tiek antroje dalyje apžvelgėme visų tipų lygtis, kurios yra OGE užduotyse.
• Sukūrėme metodinį rinkinį „Lygtys OGE užduotyse“.

Manome, kad mums keliamas tikslas yra atsižvelgti į visų tipų lygtis pagrindinio uždaviniuose valstybinis egzaminas matematikoje mes pasiekėme.

Naudotos literatūros sąrašas:

1. B.V. Gnedenko „Matematika in modernus pasaulis“ Maskvos „Švietimas“ 1980 m

2. Taip. Perelman "Pramoginė algebra". Maskvos „Mokslas“ 1978 m

6. http://tutorial.math.lamar.edu

7. http://www.regentsprep.org

8. http://www.fipi.ru

1 priedas

Tiesinės lygtys

1. Raskite lygties šaknį

2. Raskite lygties šaknį

3. Raskite lygties šaknį

2 priedas

Nebaigtos kvadratinės lygtys

1. Išspręskite lygtį x 2 = 5x. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite mažesnę šaknį.

2. Išspręskite 2x lygtį 2 = 8x. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite mažesnę šaknį.

3. Išspręskite 3x lygtį 2 = 9x. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite mažesnę šaknį.

4. Išspręskite 4x lygtį 2 = 20 kartų. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite mažesnę šaknį.

5. Išspręskite 5x lygtį 2 = 35x. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite mažesnę šaknį.

6. Išspręskite 6x lygtį 2 = 36x. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite mažesnę šaknį.

7. Išspręskite lygtį 7x 2 = 42x. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite mažesnę šaknį.

8. Išspręskite 8x lygtį 2 = 72x. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite mažesnę šaknį.

9. Išspręskite lygtį 9x 2 = 54x. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite mažesnę šaknį.

10. Išspręskite 10x lygtį2 =80x. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite mažesnę šaknį.

11. Išspręskite 5x lygtį2 −10x=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite didesnę šaknį.

12. Išspręskite 3x lygtį2 −9x=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite didesnę šaknį.

13. Išspręskite 4x lygtį2 −16x=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite didesnę šaknį.

14. Išspręskite 5x lygtį2 +15x=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite mažesnę šaknį.

15. Išspręskite 3x lygtį2 +18x=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite mažesnę šaknį.

16. Išspręskite 6x lygtį2 +24x=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite mažesnę šaknį.

17. Išspręskite 4x lygtį2 −20x=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite didesnę šaknį.

18. Išspręskite 5x lygtį2 +20x=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite mažesnę šaknį.

19. Išspręskite lygtį 7x2 −14x=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite didesnę šaknį.

20. Išspręskite 3x lygtį2 +12x=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite mažesnę šaknį.

21. Išspręskite x lygtį2 −9=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite mažesnę šaknį.

22. Išspręskite lygtį x2 −121=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite mažesnę šaknį.

23. Išspręskite x lygtį2 −16=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite mažesnę šaknį.

24. Išspręskite x lygtį2 −25=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite mažesnę šaknį.

25. Išspręskite x lygtį2 −49=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite mažesnę šaknį.

26. Išspręskite x lygtį2 −81=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite mažesnę šaknį.

27. Išspręskite x lygtį2 −4=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite mažesnę šaknį.

28. Išspręskite x lygtį2 −64=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite mažesnę šaknį.

29. Išspręskite x lygtį2 −36=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite mažesnę šaknį.

30. Išspręskite lygtį x2 −144=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite mažesnę šaknį.

31. Išspręskite x lygtį2 −9=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite didesnę šaknį.

32. Išspręskite x lygtį2 −121=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite didesnę šaknį.

33. Išspręskite x lygtį2 −16=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite didesnę šaknį.

34. Išspręskite lygtį x2 −25=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite didesnę šaknį.

35. Išspręskite lygtį x2 −49=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite didesnę šaknį.

36. Išspręskite lygtį x2 −81=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite didesnę šaknį.

37. Išspręskite lygtį x2 −4=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite didesnę šaknį.

38. Išspręskite lygtį x2 −64=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite didesnę šaknį.

39. Išspręskite x lygtį2 −36=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite didesnę šaknį.

40. Išspręskite lygtį x2 −144=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite didesnę šaknį.

3 priedas

Užbaigtos kvadratinės lygtys

1. Išspręskite lygtį x2 +3x=10. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite didesnę šaknį.

2. Išspręskite lygtį x2 +7x=18. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite didesnę šaknį.

3. Išspręskite lygtį x2 +2x=15. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite mažesnę šaknį.

4. Išspręskite lygtį x2 −6x=16. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite mažesnę šaknį.

5. Išspręskite lygtį x2 −3x=18. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite didesnę šaknį.

6. Išspręskite x lygtį2 −18 = 7x. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite didesnę šaknį.

7. Išspręskite x lygtį2 +4x=21. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite mažesnę šaknį.

8. Išspręskite x lygtį2 −21 = 4x. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite didesnę šaknį.

9. Išspręskite x lygtį2 −15 = 2x. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite mažesnę šaknį.

10. Išspręskite lygtį x2 −5x=14. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite didesnę šaknį.

11. Išspręskite x lygtį2 +6 = 5x. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite mažesnę šaknį.

12. Išspręskite lygtį x2 +4 = 5x. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite didesnę šaknį.

13. Išspręskite x lygtį2 −x=12. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite didesnę šaknį.

14. Išspręskite x lygtį2 +4x=5. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite mažesnę šaknį.

15. Išspręskite x lygtį2 −7x=8. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite didesnę šaknį.

16. Išspręskite x lygtį2 +7 = 8x. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite mažesnę šaknį.

17. Išspręskite x lygtį2 +18 = 9x. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite mažesnę šaknį.

18. Išspręskite x lygtį2 +10 = 7x. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite didesnę šaknį.

19. Išspręskite x lygtį2 −20=x. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite didesnę šaknį.

20. Išspręskite lygtį x2 −35 = 2x. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite mažesnę šaknį.

21. Išspręskite 2x lygtį2 −3x+1=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite mažesnę šaknį.

22. Išspręskite 5x lygtį2 +4x−1=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite didesnę šaknį.

23. Išspręskite 2x lygtį2 +5x−7=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite mažesnę šaknį.

24. Išspręskite 5x lygtį2 −12x+7=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite didesnę šaknį.

25. Išspręskite 5x lygtį2 −9x+4=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite mažesnę šaknį.

26. Išspręskite lygtį 8x2 −12x+4=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite mažesnę šaknį.

27. Išspręskite lygtį 8x2 −10x+2=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite mažesnę šaknį.

28. Išspręskite 6x lygtį2 −9x+3=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite mažesnę šaknį.

29. Išspręskite 5x lygtį2 +9x+4=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite didesnę šaknį.

30. Išspręskite 5x lygtį2 +8x+3=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite didesnę šaknį.

31. Išspręskite x lygtį2 −6x+5=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite mažesnę šaknį.

32. Išspręskite x lygtį2 −7x+10=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite mažesnę šaknį.

33. Išspręskite x lygtį2 −9x+18=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite mažesnę šaknį.

34. Išspręskite lygtį x2 −10x+24=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite mažesnę šaknį.

35. Išspręskite lygtį x2 −11x+30=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite mažesnę šaknį.

36. Išspręskite lygtį x2 −8x+12=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite didesnę šaknį.

37. Išspręskite lygtį x2 −10x+21=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite didesnę šaknį.

38. Išspręskite lygtį x2 −9x+8=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite didesnę šaknį.

39. Išspręskite x lygtį2 −11x+18=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite didesnę šaknį.

40. Išspręskite lygtį x2 −12x+20=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite didesnę šaknį.

4 priedas.

Racionalios lygtys.

1. Raskite lygties šaknį

2. Raskite lygties šaknį

3. Raskite lygties šaknį

4. Raskite lygties šaknį

5. Raskite lygties šaknį

6. Raskite lygties šaknį.

7. Raskite lygties šaknį

8. Raskite lygties šaknį

9. Raskite lygties šaknį.

10. Raskite lygties šaknį

11. Raskite lygties šaknį.

12. Raskite lygties šaknį

13. Raskite lygties šaknį

14. Raskite lygties šaknį

15. Raskite lygties šaknį

16. Raskite lygties šaknį

17. Raskite lygties šaknį

18. Raskite lygties šaknį

19. Raskite lygties šaknį

20. Raskite lygties šaknį

21. Raskite lygties šaknį

22. Raskite lygties šaknį

23. Raskite lygties šaknį

5 priedas

Sudėtingos lygtys.

1. Raskite lygties šaknį (x+3)2 =(x+8)2 .

2. Raskite lygties šaknį (x−5)2 =(x+10)2 .

3. Raskite lygties šaknį (x+9)2 =(x+6)2 .

4. Raskite lygties šaknį (x+10)2 = (x–9)2 .

5. Raskite lygties šaknį (x−5)2 = (x–8)2 .

6. Raskite lygties šaknį.

7. Raskite lygties šaknį.

8. Raskite lygties šaknį.

9. Raskite lygties šaknį.

10. Raskite lygties šaknį.

11. Išspręskite lygtį (x+2)(− x+6)=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite mažesnę šaknį.

12. Išspręskite lygtį (x+3)(− x−2)=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite mažesnę šaknį.

13. Išspręskite lygtį (x−11)(− x+9)=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite mažesnę šaknį.

14. Išspręskite lygtį (x−1)(− x−4)=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite mažesnę šaknį.

15. Išspręskite lygtį (x−2)(− x−1)=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite mažesnę šaknį.

16. Išspręskite lygtį (x+20)(− x+10)=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite didesnę šaknį.

17. Išspręskite lygtį (x−2)(− x−3)=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite didesnę šaknį.

18. Išspręskite lygtį (x−7)(− x+2)=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite didesnę šaknį.

19. Išspręskite lygtį (x−5)(− x−10)=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite didesnę šaknį.

20. Išspręskite lygtį (x+10)(− x−8)=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite didesnę šaknį.

21. Išspręskite lygtį (− 5x+3)(− x+6)=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite mažesnę šaknį.

22. Išspręskite lygtį (− 2x+1)(− 2x−7)=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite mažesnę šaknį.

23. Išspręskite lygtį (− x−4)(3x+3)=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite didesnę šaknį.

24. Išspręskite lygtį (x−6)(4x−6)=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite mažesnę šaknį.

25. Išspręskite lygtį (− 5x−3)(2x−1)=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite mažesnę šaknį.

26. Išspręskite lygtį (x−2)(− 2x−3)=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite mažesnę šaknį.

27. Išspręskite lygtį (5x+2)(− x−4)=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite didesnę šaknį.

28. Išspręskite lygtį (x−6)(− 5x−9)=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite mažesnę šaknį.

29. Išspręskite lygtį (6x−3)(− x+3)=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite didesnę šaknį.

30. Išspręskite lygtį (5x−2)(− x+3)=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, kaip atsakymą užrašykite mažesnę šaknį.

31. Išspręskite lygtį

32. Išspręskite lygtį

33. Išspręskite lygtį

34. Išspręskite lygtį

35. Išspręskite lygtį

36. Išspręskite lygtį

37. Išspręskite lygtį

38. Išspręskite lygtį

39. Išspręskite lygtį

40 Išspręskite lygtį

41. Išspręskite lygtį x(x2 +2x+1)=2(x+1).

42. Išspręskite lygtį (x−1)(x2 +4x+4)=4(x+2).

43. Išspręskite lygtį x(x2 +6x+9)=4(x+3).

44. Išspręskite lygtį (x−1)(x2 +8x+16)=6(x+4).

45. Išspręskite lygtį x(x2 +2x+1)=6(x+1).

46. ​​Išspręskite lygtį (x−1)(x2 +6x+9)=5(x+3).

47. Išspręskite lygtį (x−2)(x2 +8x+16)=7(x+4).

48. Išspręskite lygtį x(x2 +4x+4)=3(x+2).

49. Išspręskite lygtį (x−2)(x2 +2x+1)=4(x+1).

50. Išspręskite lygtį (x−2)(x2 +6x+9)=6(x+3).

51. Išspręskite lygtį (x+2)4 −4 (x+2)2 −5=0.

52. Išspręskite lygtį (x+1)4 +(x+1)2 −6=0.

53. Išspręskite lygtį (x+3)4 +2(x+3)2 −8=0.

54. Išspręskite lygtį (x−1)4 −2(x−1)2 −3=0.

55. Išspręskite lygtį (x−2)4 −(x−2)2 −6=0.

56. Išspręskite lygtį (x−3)4 –3 (x–3)2 −10=0.

57. Išspręskite lygtį (x+4)4 –6 (x+4)2 −7=0.
58. Išspręskite lygtį (x−4)4 –4 (x–4)2 −21=0.

59. Išspręskite lygtį (x+2)4 +(x+2)2 −12=0.

60. Išspręskite lygtį (x−2)4 +3 (x–2)2 −10=0.

61. Išspręskite x lygtį3 +3x2 =16x+48.

62. Išspręskite x lygtį3 +4x2 =4x+16.

63. Išspręskite x lygtį3 +6x2 =4x+24.

64. Išspręskite x lygtį3 +6x2 =9x+54.

65. Išspręskite x lygtį3 +3x2 =4x+12.

66. Išspręskite x lygtį3 +2x2 =9x+18.

67. Išspręskite x lygtį3 +7x2 =4x+28.

68. Išspręskite x lygtį3 +4x2 =9x+36.

69. Išspręskite x lygtį3 +5x2 =4x+20.

70. Išspręskite lygtį x3 +5x2 =9x+45.

71. Išspręskite lygtį x3 +3x2 −x−3=0.

72. Išspręskite lygtį x3 +4x2 −4x−16=0.

73. Išspręskite x lygtį3 +5x2 −x−5=0.

74. Išspręskite lygtį x3 +2x2 −x−2=0.

75. Išspręskite lygtį x3 +3x2 −4x−12=0.

76. Išspręskite lygtį x3 +2x2 −9x−18=0.

77. Išspręskite lygtį x3 +4x2 −x−4=0.

78. Išspręskite lygtį x3 +4x2 −9x−36=0.

79. Išspręskite lygtį x3 +5x2 −4x−20=0.
80. Išspręskite lygtį x3 +5x2 −9x−45=0.

81. Išspręskite x lygtį4 =(x–20)2 .

82. Išspręskite lygtį x4 =(2x−15)2 .

83. Išspręskite x lygtį4 =(3x−10)2 .

84. Išspręskite lygtį x4 =(4x−5)2 .

85. Išspręskite x lygtį4 =(x–12)2 .

86. Išspręskite x lygtį4 =(2x−8)2 .

87. Išspręskite x lygtį4 =(3x−4)2 .

88. Išspręskite x lygtį4 = (x–6)2 .

89. Išspręskite x lygtį4 =(2x−3)2 .

90. Išspręskite lygtį x4 =(x−2)2 .

91. Išspręskite lygtį

92. Išspręskite lygtį

93. Išspręskite lygtį

94. Išspręskite lygtį

95. Išspręskite lygtį

96. Išspręskite lygtį

97. Išspręskite lygtį

98. Išspręskite lygtį

99. Išspręskite lygtį

100. Išspręskite lygtį

101. Išspręskite lygtį.

102. Išspręskite lygtį

103. Išspręskite lygtį

104. Išspręskite lygtį

105. Išspręskite lygtį

106. Išspręskite lygtį

107. Išspręskite lygtį

108. Išspręskite lygtį

109. Išspręskite lygtį

110. Išspręskite lygtį

! Nuo teorijos iki praktikos;

! Nuo paprasto iki sudėtingo

MAOU „Platoshin vidurinė mokykla“,

matematikos mokytoja Melekhina G.V.

Bendra forma tiesinė lygtis: kirvis + b = 0 ,

Kur a Ir b– skaičiai (koeficientai).

• Jeigu a = 0 Ir b = 0, Tai 0x + 0 = 0 – be galo daug šaknų;
• Jeigu a = 0 Ir b ≠ 0, Tai 0x + b = 0– nėra sprendimų;
• Jeigu a ≠ 0 Ir b = 0 , Tai kirvis + 0 = 0 – viena šaknis, x = 0;
• Jeigu a ≠ 0 Ir b ≠ 0 , Tai kirvis + b = 0 - viena šaknis,

! Jei X yra pirmajame laipsnyje ir nėra vardiklyje, tai yra tiesinė lygtis

! O jei tiesinė lygtis yra kompleksas :

! Terminai su X eina į kairę, be X - į dešinę.

! Šios lygtys yra taip pat linijinis .

! Pagrindinė proporcijos savybė (skersai).

! Atidarykite skliaustus su X kairėje, be X dešinėje.

• jei koeficientas a = 1, tada lygtis vadinama duota :

• jei koeficientas b = 0 arba/ir c = 0, tada lygtis vadinama Nebaigtas :

! Pagrindinės formulės

! Daugiau formulių

Bikvadratinė lygtis- vadinama formos lygtimi kirvis 4 +bx 2 + c = 0 .

Bikvadratinė lygtis sumažinama iki kvadratinė lygtis tada naudojant pakaitalą

Gauname kvadratinę lygtį:

Raskime šaknis ir grįžkime prie pakeitimo:

1 pavyzdys:

Išspręskite x lygtį 4 + 5x 2 – 36 = 0.

Sprendimas:

Pakeitimas: x 2 = t.

t 2 + 5t – 36 = 0. Lygties šaknys yra t 1 = -9 ir t 2 = 4.

x 2 = -9 arba x 2 = 4.

Atsakymas: Pirmoje lygtyje šaknų nėra, o antrojoje: x = ±2.

2 pavyzdys:

Išspręskite lygtį (2х – 1) 4 – 25 (2x – 1) 2 + 144 = 0.

Sprendimas:

Pakeitimas: (2x – 1) 2 = t.

t 2 – 25t + 144 = 0. Lygties šaknys yra t 1 = 9 ir t 2 = 16.

(2x – 1) 2 = 9 arba (2x – 1) 2 = 16.

2x – 1 = ±3 arba 2x – 1 = ±4.

Pirmoji lygtis turi dvi šaknis: x = 2 ir x = -1, antroji taip pat turi dvi šaknis: x = 2,5 ir x = -1,5.

Atsakymas: -1,5; -1; 2; 2.5.

1) X 4 - 9 X 2 = 0; 2) 4 X 4 - x 2 = 0;

1) X 4 + x 2 - 2 = 0;

2) X 4 - 3 X 2 - 4 = 0; 3) 9 X 4 + 8 X 2 - 1 = 0; 4) 20 X 4 - X 2 - 1 = 0.

Išspręskite lygtis pasirinkdami iš kairės pilna aikštė :

1) X 4 - 20 X 2 + 64 = 0; 2) X 4 - 13 X 2 + 36 = 0; 3) X 4 - 4 X 2 + 1 = 0; 4) X 4 + 2 X 2 +1 = 0.

! Prisiminkite sumos kvadratą ir skirtumo kvadratą

Racionali išraiška yra algebrinė išraiška, sudaryta iš skaičių ir kintamojo x naudojant sudėjimo, atimties, daugybos, dalybos ir eksponencijos su natūraliuoju laipsniu operacijas.

Jeigu r(x) yra racionali išraiška, tada lygtis r(x)=0 vadinama racionalia lygtimi.

Racionalios lygties sprendimo algoritmas:

1. Perkelkite visus lygties narius į vieną pusę.

2. Konvertuokite šią lygties dalį į formą algebrinė trupmena p(x)/q(x)

3. Išspręskite lygtį p(x)=0

4. Kiekvienai lygties šaknei p(x)=0 patikrinkite, ar jis atitinka sąlygą q(x)≠0 arba ne. Jei taip, tai yra pateiktos lygties šaknis; jei ne, tai yra pašalinė šaknis ir neturėtų būti įtraukta į atsakymą.

! Prisiminkime trupmeninės racionalios lygties sprendimą:

! Norint išspręsti lygtis, naudinga prisiminti sutrumpintas daugybos formules:

Jei lygtyje yra kintamasis po kvadratinės šaknies ženklu, tada lygtis vadinama neracionalus .

Abiejų lygties pusių kvadratūros metodas- pagrindinis iracionaliųjų lygčių sprendimo būdas.

Išsprendus gautą racionaliąją lygtį, būtina patikrinti , išravėti galimas pašalines šaknis.

Atsakymas: 5; 4

Kitas pavyzdys:

Egzaminas:

Išraiška neturi reikšmės.

Atsakymas: jokių sprendimų.

LYGČIŲ SPRENDIMAS

pasiruošimas OGE

9 klasė

parengė matematikos mokytoja GBOU Sankt Peterburgo Nevskio rajono 14 mokykla Putrova Marina Nikolaevna

Užbaikite sakinius:

1). Lygtis yra...

2). Lygties šaknis yra...

3). Išspręsti lygtį reiškia...

I. Išspręskite lygtis žodžiu:

• 1). 6x + 18 = 0
• 2). 2x + 5=0
• 3). 5x – 3=0
• 4). -3x + 9=0
• 5). -5x + 1=0
• 6). -2х – 10=0
• 7). 6x – 7=5x
• 8). 9x + 6 = 10x
• 9). 5x - 12 = 8x

Kuri iš šių lygčių neturi sprendinių:

A). 2x – 14 = x + 7

b). 2x - 14 = 2 (x - 7)

V). x – 7 = 2x + 14

G). 2x-14 = 2x + 7?

Kuri lygtis turi be galo daug sprendinių:

A). 4x – 12 = x – 12

b). 4x – 12 = 4x + 12

V). 4 (x – 3) = 4x – 12

G). 4 (x – 3) = x – 10?

RŪŠIO LYGTYBĖS

kx + b = 0

JOS VADINAMI LINIJAI.

Tiesinių lygčių sprendimo algoritmas :

1). terminus, kuriuose yra nežinomasis, perkelkite į kairę, o terminus, kurių sudėtyje nėra nežinomojo – į dešinę (perkeliamo termino ženklas apverčiamas);

2). atsinešti panašių narių;

3).padalinkite abi lygties puses iš nežinomojo koeficiento, jei jis nelygus nuliui.

Išspręskite lygtis savo sąsiuviniuose :

II grupė: Nr 697 p.63

x-1 +(x+2) = -4(-5-x)-5

I grupė:

№ 681 63 psl

6(4x)+3x=3

III grupė: Nr 767 67 p

(x + 6) 2 + (x + 3) 2 = 2 x 2

Formos lygtis

ai 2 + bх + c =0,

kur a≠0, b, c – bet kokie realieji skaičiai vadinami kvadratu.

Neišsamios lygtys:

ai 2 + bх =0 (c = 0),

ai 2 + c = 0 (b = 0).

II. Žodžiu išspręskite kvadratines lygtis, nurodydami, ar jos yra išsamios, ar neišsamios:

1). 5x 2 + 15x=0

2). -X 2 +2x = 0

3). X 2 -25=0

4). -X 2 +9 =0

5). -X 2 - 16 =0

6). X 2 - 8x + 15=0

7 ) . X 2 + 5x + 6 = 0

8). X 2 + x - 12 =0

9).(-x-5)(-x+ 6)=0

KLAUSIMAI:

1). Kokia lygčių savybė buvo panaudota sprendžiant nepilnas kvadratines lygtis?

2). Kokie daugianario faktorinavimo metodai buvo naudojami sprendžiant nepilnas kvadratines lygtis?

3). Koks yra visiškų kvadratinių lygčių sprendimo algoritmas ?

0,2 šaknų; D = 0, 1 šaknis; D X 1,2 = plotis = "640"

1). Dviejų veiksnių sandauga lygi nuliui, jei vienas iš jų lygus nuliui, antrasis nepraranda savo reikšmės: ab = 0 , Jei a = 0 arba b = 0 .

2). Pakeičiant bendrą daugiklį ir

a 2 - b 2 =(a – b)(a + b) - kvadratų skirtumo formulė.

3). Pilna kvadratinė lygtis ah 2 + bx + c = o.

D=b 2 – 4ac jei D0, 2 šaknys;

D = 0, 1 šaknis;

X 1,2 =

Išspręskite LYGTIES :

I grupė: Nr 802 71 p X 2 - 5x- 36 =0

II grupė: Nr 810 71 p 3x 2 - x + 21 = 5x 2

III grupė: X 4 -5x 2 - 36 =0

III. Išspręskite LYGTIES :

I ir II grupės: Nr. 860 = 0

III grupė: =0

Kaip vadinamos tokios lygtys? Kokia nuosavybė naudojama joms išspręsti?

Racionalioji lygtis yra formos lygtis

Trupmena lygi nuliui, jei skaitiklis yra nulis, o vardiklis nėra nulis. =0, jei a = 0, b≠0.

Trumpa matematikos istorija

• Senovės Egipto matematikai sugebėjo išspręsti kvadratines ir tiesines lygtis.

• Persų viduramžių mokslininkas Al-Khorezmi (IX a.) pirmą kartą pristatė algebrą kaip savarankišką mokslą apie bendruosius tiesinių ir kvadratinių lygčių sprendimo būdus ir suteikė šių lygčių klasifikaciją.

• Naujas didelis matematikos proveržis siejamas su prancūzų mokslininko Francois Vieta (XVI a.) vardu. Būtent jis įvedė raides į algebrą. Jis yra atsakingas už garsiąją teoremą apie kvadratinių lygčių šaknis.

• O už tradiciją nežinomus dydžius žymėti paskutinėmis lotyniškos abėcėlės raidėmis (x, y, z) esame skolingi kitam prancūzų matematikui – Renė Dekartui (XVII).

Al-Khwarizmi

Francois Viet

Renė Dekartas

Namų darbai

Darbas su svetainėmis :

- Atviras užduočių bankas OGE (matematika) http://85.142.162.126/os/xmodules/qprint/index.php?proj=DE0E276E497AB3784C3FC4CC20248DC0 ;

- D. Guščino „Išspręsiu OGE“. https://oge.sdamgia.ru/ ;

– A. Larino svetainė (119 variantas) http://alexlarin.net/ .

Pamokos:

- Yu.M. Kolyagin vadovėlis „Algebra 9 klasė“, M., „Apšvietimas“, 2014, p. 308-310;

- „3000 užduočių“. redagavo I. V. Jaščenka, M., „Egzaminas“, 2017, p.59-74.