Hvordan finne det minste felles multiplum av to tall. Metoder for å finne det minste felles multiplum, nok

Største felles deler

Definisjon 2

Hvis et naturlig tall a er delelig med et naturlig tall $b$, kalles $b$ en divisor av $a$, og $a$ kalles et multiplum av $b$.

La $a$ og $b$ være naturlige tall. Tallet $c$ kalles felles deler for både $a$ og $b$.

Settet med felles divisorer for tallene $a$ og $b$ er endelig, siden ingen av disse divisorene kan være større enn $a$. Dette betyr at blant disse divisorene er det en største, som kalles den største felles divisor av tallene $a$ og $b$ og er betegnet med følgende notasjon:

$GCD\(a;b)\ eller \D\(a;b)$

For å finne den største felles divisor av to tall trenger du:

Finn produktet av tallene som ble funnet i trinn 2. Det resulterende tallet vil være den ønskede største felles divisor.

Eksempel 1

Finn gcd for tallene $121$ og $132.$

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Velg tallene som er inkludert i utvidelsen av disse tallene

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Finn produktet av tallene som ble funnet i trinn 2. Det resulterende tallet vil være den ønskede største felles divisor.

$GCD=2\cdot 11=22$

Eksempel 2

Finn gcd av monomialene $63$ og $81$.

Vi vil finne i henhold til den presenterte algoritmen. For dette:

La oss faktorere tallene inn i primfaktorer

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Vi velger ut tallene som inngår i utvidelsen av disse tallene

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

La oss finne produktet av tallene som ble funnet i trinn 2. Det resulterende tallet vil være den ønskede største felles divisor.

$GCD=3\cdot 3=9$

Du kan finne gcd for to tall på en annen måte, ved å bruke et sett med delere av tall.

Eksempel 3

Finn gcd for tallene $48$ og $60$.

Løsning:

La oss finne settet med divisorer for tallet $48$: $\left$(\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right$$

La oss nå finne settet med divisorer for tallet $60$:$\ \venstre$(\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\høyre$ $

La oss finne skjæringspunktet mellom disse settene: $\left$(\rm 1,2,3,4,6,12)\right$$ - dette settet vil bestemme settet med felles divisorer for tallene $48$ og $60 $. Det største elementet i dette settet vil være tallet $12$. Dette betyr at den største felles deleren av tallene $48$ og $60$ er $12$.

Definisjon av NPL

Definisjon 3

Felles multiplum av naturlige tall$a$ og $b$ er et naturlig tall som er et multiplum av både $a$ og $b$.

Felles multiplum av tall er tall som er delbare med de opprinnelige tallene uten en rest. For tallene $25$ og $50$ vil for eksempel fellesmultiplene være tallene $50,100,150,200$ osv.

Det minste felles multiplum vil bli kalt det minste felles multiplum og vil bli betegnet LCM$(a;b)$ eller K$(a;b).$

For å finne LCM for to tall, må du:

Faktorer tall inn i primfaktorer
Skriv ned faktorene som er en del av det første tallet og legg til dem faktorene som er en del av det andre og ikke er en del av det første

Eksempel 4

Finn LCM for tallene $99$ og $77$.

Vi vil finne i henhold til den presenterte algoritmen. For dette

Faktorer tall inn i primfaktorer

$99=3\cdot 3\cdot 11$

Skriv ned faktorene som er inkludert i den første

legg til dem multiplikatorer som er en del av den andre og ikke en del av den første

Finn produktet av tallene funnet i trinn 2. Det resulterende tallet vil være det ønskede minste felles multiplum

$NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

Å sette sammen lister over deler av tall er ofte en svært arbeidskrevende oppgave. Det er en måte å finne GCD på kalt den euklidiske algoritmen.

Utsagn som den euklidiske algoritmen er basert på:

Hvis $a$ og $b$ er naturlige tall, og $a\vdots b$, så er $D(a;b)=b$

Hvis $a$ og $b$ er naturlige tall slik at $b

Ved å bruke $D(a;b)= D(a-b;b)$ kan vi suksessivt redusere tallene som vurderes til vi når et tallpar slik at det ene er delbart med det andre. Da vil det minste av disse tallene være den ønskede største felles divisor for tallene $a$ og $b$.

Egenskaper til GCD og LCM

Ethvert felles multiplum av $a$ og $b$ er delelig med K$(a;b)$
Hvis $a\vdots b$, så К$(a;b)=a$

Hvis K$(a;b)=k$ og $m$ er et naturlig tall, så K$(am;bm)=km$

Hvis $d$ er en felles divisor for $a$ og $b$, så K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d) ) $

Hvis $a\vdots c$ og $b\vdots c$, så er $\frac(ab)(c)$ felles multiplum av $a$ og $b$

For alle naturlige tall $a$ og $b$ gjelder likheten

$D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$

Enhver felles divisor av tallene $a$ og $b$ er en divisor av tallet $D(a;b)$

Multiplikasjon på kryss og tvers

Felles divisormetode

Oppgave. Finn betydningen av uttrykkene:

For å forstå hvor stor forskjell den minste felles multiple-metoden utgjør, prøv å beregne de samme eksemplene ved å bruke kryss-tvers-metoden.

Fellesnevner for brøker

Selvfølgelig uten kalkulator. Jeg tror at kommentarer etter dette vil være unødvendige.

Se også:

I utgangspunktet ønsket jeg å inkludere støpemetoder fellesnevner i seksjonen «Legge til og subtrahere brøker». Men det viste seg å være så mye informasjon, og dens betydning er så stor (tross alt har ikke bare numeriske brøker fellesnevnere), at det er bedre å studere dette problemet separat.

Så la oss si at vi har to brøker med ulike nevnere. Og vi vil sørge for at nevnerne blir de samme. Den grunnleggende egenskapen til en brøk kommer til unnsetning, som, la meg minne deg, høres slik ut:

En brøk vil ikke endres hvis dens teller og nevner multipliseres med samme tall annet enn null.

Dermed, hvis du velger faktorene riktig, vil nevnerne til brøkene bli like - denne prosessen kalles. Og de nødvendige tallene, "utjevner" nevnerne, kalles.

Hvorfor må vi redusere brøker til en fellesnevner? Her er bare noen få grunner:

Addere og subtrahere brøker med forskjellige nevnere. Det er ingen annen måte å utføre denne operasjonen på;
Sammenligning av brøker. Noen ganger forenkler reduksjon til en fellesnevner denne oppgaven i stor grad;
Løse problemer som involverer brøker og prosenter. Prosentandeler er i hovedsak vanlige uttrykk som inneholder brøker.

Det er mange måter å finne tall på som, når de multipliseres med dem, vil gjøre nevnerne til brøker like. Vi vil vurdere bare tre av dem - i rekkefølge med økende kompleksitet og, på en måte, effektivitet.

Multiplikasjon på kryss og tvers

Den enkleste og pålitelig måte, som garantert vil utjevne nevnerne. Vi vil handle "på en hodestups måte": vi multipliserer den første brøken med nevneren til den andre brøken, og den andre med nevneren til den første. Som et resultat vil nevnerne til begge brøkene bli lik produktet av de opprinnelige nevnerne. Ta en titt:

Oppgave. Finn betydningen av uttrykkene:

Som tilleggsfaktorer, vurder nevnerne til nærliggende brøker. Vi får:

Ja, så enkelt er det. Hvis du akkurat har begynt å studere brøker, er det bedre å jobbe med denne metoden - på denne måten vil du sikre deg mot mange feil og garantert få resultatet.

Den eneste ulempen denne metoden- du må telle mye, fordi nevnerne multipliseres "tvers igjennom", og resultatet kan bli veldig store tall. Dette er prisen å betale for pålitelighet.

Felles divisormetode

Denne teknikken bidrar til å redusere beregningene betydelig, men den brukes dessverre ganske sjelden. Metoden er som følger:

Før du går rett frem (dvs. bruker kryss-tvers-metoden), ta en titt på nevnerne. Kanskje er en av dem (den som er større) delt inn i den andre.
Tallet som følger av denne delingen vil være en tilleggsfaktor for brøken med en mindre nevner.
I dette tilfellet trenger ikke en brøk med stor nevner å multipliseres med noe i det hele tatt - det er her besparelsene ligger. Samtidig reduseres sannsynligheten for feil kraftig.

Oppgave. Finn betydningen av uttrykkene:

Merk at 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Siden den ene nevneren i begge tilfeller deles uten en rest med den andre, bruker vi metoden for fellesfaktorer. Vi har:

Merk at den andre brøken ikke ble multiplisert med noe i det hele tatt. Faktisk halverer vi beregningsmengden!

Forresten, jeg tok ikke brøkene i dette eksemplet ved en tilfeldighet. Hvis du er interessert, prøv å telle dem ved å bruke kryss-tvers-metoden. Etter reduksjon vil svarene være de samme, men det blir mye mer arbeid.

Dette er kraften til felles divisormetoden, men igjen, den kan bare brukes når en av nevnerne er delelig med den andre uten en rest. Noe som skjer ganske sjelden.

Minst vanlige multiple metode

Når vi reduserer brøker til en fellesnevner, prøver vi i hovedsak å finne et tall som er delelig med hver nevner. Så bringer vi nevnerne til begge brøkene til dette tallet.

Det er mange slike tall, og det minste av dem vil ikke nødvendigvis være lik det direkte produktet av nevnerne til de opprinnelige brøkene, slik det antas i "kryss-kryss"-metoden.

For eksempel, for nevnerne 8 og 12, er tallet 24 ganske passende, siden 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Dette tallet er mye mindre enn produktet 8 12 = 96.

Det minste tallet som er delelig med hver av nevnerne kalles deres (LCM).

Notasjon: Det minste felles multiplum av a og b er betegnet LCM(a; b). For eksempel, LCM(16, 24) = 48; LCM(8; 12) = 24.

Klarer du å finne et slikt tall, vil den totale mengden beregninger være minimal. Se på eksemplene:

Hvordan finne den laveste fellesnevneren

Finn betydningen av uttrykkene:

Merk at 234 = 117 2; 351 = 117 · 3. Faktor 2 og 3 er coprime (har ingen felles faktorer annet enn 1), og faktor 117 er vanlig. Derfor LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.

Likeledes, 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. Faktor 3 og 4 er coprime, og faktor 5 er vanlig. Derfor LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.

La oss nå bringe brøkene til fellesnevnere:

Legg merke til hvor nyttig det var å faktorisere de opprinnelige nevnerne:

Etter å ha oppdaget identiske faktorer, kom vi umiddelbart frem til det minste felles multiplum, som generelt sett er et ikke-trivielt problem;
Fra den resulterende utvidelsen kan du finne ut hvilke faktorer som "mangler" i hver brøk. For eksempel, 234 · 3 = 702, derfor er tilleggsfaktoren 3 for den første brøken.

Ikke tro at det ikke vil være så komplekse brøker i de virkelige eksemplene. De møtes hele tiden, og oppgavene ovenfor er ikke grensen!

Det eneste problemet er hvordan du finner denne NOC. Noen ganger kan alt bli funnet på noen få sekunder, bokstavelig talt "med øyet", men generelt er dette en kompleks beregningsoppgave som krever separat vurdering. Det skal vi ikke berøre her.

Se også:

Redusere brøker til en fellesnevner

Jeg ønsket opprinnelig å inkludere fellesnevnerteknikker i delen Legge til og trekke fra brøker. Men det viste seg å være så mye informasjon, og dens betydning er så stor (tross alt har ikke bare numeriske brøker fellesnevnere), at det er bedre å studere dette problemet separat.

Så la oss si at vi har to brøker med forskjellige nevnere. Og vi vil sørge for at nevnerne blir de samme. Den grunnleggende egenskapen til en brøk kommer til unnsetning, som, la meg minne deg, høres slik ut:

En brøk vil ikke endres hvis dens teller og nevner multipliseres med samme tall annet enn null.

Dermed, hvis du velger faktorene riktig, vil nevnerne til brøkene bli like - denne prosessen kalles. Og de nødvendige tallene, "utjevner" nevnerne, kalles.

Hvorfor må vi redusere brøker til en fellesnevner?

Fellesnevner, begrep og definisjon.

Her er bare noen få grunner:

Addere og subtrahere brøker med forskjellige nevnere. Det er ingen annen måte å utføre denne operasjonen på;
Sammenligning av brøker. Noen ganger forenkler reduksjon til en fellesnevner denne oppgaven i stor grad;
Løse problemer som involverer brøker og prosenter. Prosentandeler er i hovedsak vanlige uttrykk som inneholder brøker.

Multiplikasjon på kryss og tvers

Den enkleste og mest pålitelige metoden, som garantert vil utjevne nevnerne. Vi vil handle "på en hodestups måte": vi multipliserer den første brøken med nevneren til den andre brøken, og den andre med nevneren til den første. Som et resultat vil nevnerne til begge brøkene bli lik produktet av de opprinnelige nevnerne. Ta en titt:

Oppgave. Finn betydningen av uttrykkene:

Som tilleggsfaktorer, vurder nevnerne til nærliggende brøker. Vi får:

Ja, så enkelt er det. Hvis du akkurat har begynt å studere brøker, er det bedre å jobbe med denne metoden - på denne måten vil du sikre deg mot mange feil og garantert få resultatet.

Den eneste ulempen med denne metoden er at du må telle mye, fordi nevnerne multipliseres "hele veien", og resultatet kan bli veldig store tall. Dette er prisen å betale for pålitelighet.

Felles divisormetode

Denne teknikken bidrar til å redusere beregningene betydelig, men den brukes dessverre ganske sjelden. Metoden er som følger:

Før du går rett frem (dvs. bruker kryss-tvers-metoden), ta en titt på nevnerne. Kanskje er en av dem (den som er større) delt inn i den andre.
Tallet som følger av denne delingen vil være en tilleggsfaktor for brøken med en mindre nevner.
I dette tilfellet trenger ikke en brøk med stor nevner å multipliseres med noe i det hele tatt - det er her besparelsene ligger. Samtidig reduseres sannsynligheten for feil kraftig.

Oppgave. Finn betydningen av uttrykkene:

Merk at 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Siden den ene nevneren i begge tilfeller deles uten en rest med den andre, bruker vi metoden for fellesfaktorer. Vi har:

Merk at den andre brøken ikke ble multiplisert med noe i det hele tatt. Faktisk halverer vi beregningsmengden!

Dette er kraften til felles divisormetoden, men igjen, den kan bare brukes når en av nevnerne er delelig med den andre uten en rest. Noe som skjer ganske sjelden.

Minst vanlige multiple metode

Når vi reduserer brøker til en fellesnevner, prøver vi i hovedsak å finne et tall som er delelig med hver nevner. Så bringer vi nevnerne til begge brøkene til dette tallet.

Det er mange slike tall, og det minste av dem vil ikke nødvendigvis være lik det direkte produktet av nevnerne til de opprinnelige brøkene, slik det antas i "kryss-kryss"-metoden.

For eksempel, for nevnerne 8 og 12, er tallet 24 ganske passende, siden 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Dette tallet er mye mindre enn produktet 8 12 = 96.

Det minste tallet som er delelig med hver av nevnerne kalles deres (LCM).

Notasjon: Det minste felles multiplum av a og b er betegnet LCM(a; b). For eksempel, LCM(16, 24) = 48; LCM(8; 12) = 24.

Klarer du å finne et slikt tall, vil den totale mengden beregninger være minimal. Se på eksemplene:

Oppgave. Finn betydningen av uttrykkene:

Merk at 234 = 117 2; 351 = 117 · 3. Faktor 2 og 3 er coprime (har ingen felles faktorer annet enn 1), og faktor 117 er vanlig. Derfor LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.

Likeledes, 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. Faktor 3 og 4 er coprime, og faktor 5 er vanlig. Derfor LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.

La oss nå bringe brøkene til fellesnevnere:

Legg merke til hvor nyttig det var å faktorisere de opprinnelige nevnerne:

Etter å ha oppdaget identiske faktorer, kom vi umiddelbart frem til det minste felles multiplum, som generelt sett er et ikke-trivielt problem;
Fra den resulterende utvidelsen kan du finne ut hvilke faktorer som "mangler" i hver brøk. For eksempel, 234 · 3 = 702, derfor er tilleggsfaktoren 3 for den første brøken.

For å forstå hvor stor forskjell den minste felles multiple-metoden utgjør, prøv å beregne de samme eksemplene ved å bruke kryss-tvers-metoden. Selvfølgelig uten kalkulator. Jeg tror at kommentarer etter dette vil være unødvendige.

Ikke tro at det ikke vil være så komplekse brøker i de virkelige eksemplene. De møtes hele tiden, og oppgavene ovenfor er ikke grensen!

Se også:

Redusere brøker til en fellesnevner

En brøk vil ikke endres hvis dens teller og nevner multipliseres med samme tall annet enn null.

Dermed, hvis du velger faktorene riktig, vil nevnerne til brøkene bli like - denne prosessen kalles. Og de nødvendige tallene, "utjevner" nevnerne, kalles.

Hvorfor må vi redusere brøker til en fellesnevner? Her er bare noen få grunner:

Addere og subtrahere brøker med forskjellige nevnere. Det er ingen annen måte å utføre denne operasjonen på;
Sammenligning av brøker. Noen ganger forenkler reduksjon til en fellesnevner denne oppgaven i stor grad;
Løse problemer som involverer brøker og prosenter. Prosentandeler er i hovedsak vanlige uttrykk som inneholder brøker.

Multiplikasjon på kryss og tvers

Ta en titt:

Oppgave. Finn betydningen av uttrykkene:

Som tilleggsfaktorer, vurder nevnerne til nærliggende brøker. Vi får:

Ja, så enkelt er det. Hvis du akkurat har begynt å studere brøker, er det bedre å jobbe med denne metoden - på denne måten vil du sikre deg mot mange feil og garantert få resultatet.

Den eneste ulempen med denne metoden er at du må telle mye, fordi nevnerne multipliseres "hele veien", og resultatet kan bli veldig store tall. Dette er prisen å betale for pålitelighet.

Felles divisormetode

Denne teknikken bidrar til å redusere beregningene betydelig, men den brukes dessverre ganske sjelden. Metoden er som følger:

Før du går rett frem (dvs. bruker kryss-tvers-metoden), ta en titt på nevnerne. Kanskje er en av dem (den som er større) delt inn i den andre.
Tallet som følger av denne delingen vil være en tilleggsfaktor for brøken med en mindre nevner.
I dette tilfellet trenger ikke en brøk med stor nevner å multipliseres med noe i det hele tatt - det er her besparelsene ligger. Samtidig reduseres sannsynligheten for feil kraftig.

Oppgave. Finn betydningen av uttrykkene:

Merk at 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Siden den ene nevneren i begge tilfeller deles uten en rest med den andre, bruker vi metoden for fellesfaktorer. Vi har:

Merk at den andre brøken ikke ble multiplisert med noe i det hele tatt. Faktisk halverer vi beregningsmengden!

Dette er kraften til felles divisormetoden, men igjen, den kan bare brukes når en av nevnerne er delelig med den andre uten en rest. Noe som skjer ganske sjelden.

Minst vanlige multiple metode

Når vi reduserer brøker til en fellesnevner, prøver vi i hovedsak å finne et tall som er delelig med hver nevner. Så bringer vi nevnerne til begge brøkene til dette tallet.

Det er mange slike tall, og det minste av dem vil ikke nødvendigvis være lik det direkte produktet av nevnerne til de opprinnelige brøkene, slik det antas i "kryss-kryss"-metoden.

For eksempel, for nevnerne 8 og 12, er tallet 24 ganske passende, siden 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Dette tallet er mye mindre enn produktet 8 12 = 96.

Det minste tallet som er delelig med hver av nevnerne kalles deres (LCM).

Notasjon: Det minste felles multiplum av a og b er betegnet LCM(a; b). For eksempel, LCM(16, 24) = 48; LCM(8; 12) = 24.

Klarer du å finne et slikt tall, vil den totale mengden beregninger være minimal. Se på eksemplene:

Oppgave. Finn betydningen av uttrykkene:

Merk at 234 = 117 2; 351 = 117 · 3. Faktor 2 og 3 er coprime (har ingen felles faktorer annet enn 1), og faktor 117 er vanlig. Derfor LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.

Likeledes, 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. Faktor 3 og 4 er coprime, og faktor 5 er vanlig. Derfor LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.

La oss nå bringe brøkene til fellesnevnere:

Legg merke til hvor nyttig det var å faktorisere de opprinnelige nevnerne:

Etter å ha oppdaget identiske faktorer, kom vi umiddelbart frem til det minste felles multiplum, som generelt sett er et ikke-trivielt problem;
Fra den resulterende utvidelsen kan du finne ut hvilke faktorer som "mangler" i hver brøk. For eksempel, 234 · 3 = 702, derfor er tilleggsfaktoren 3 for den første brøken.

Ikke tro at det ikke vil være så komplekse brøker i de virkelige eksemplene. De møtes hele tiden, og oppgavene ovenfor er ikke grensen!

Se også:

Redusere brøker til en fellesnevner

En brøk vil ikke endres hvis dens teller og nevner multipliseres med samme tall annet enn null.

Dermed, hvis du velger faktorene riktig, vil nevnerne til brøkene bli like - denne prosessen kalles. Og de nødvendige tallene, "utjevner" nevnerne, kalles.

Hvorfor må vi redusere brøker til en fellesnevner? Her er bare noen få grunner:

Addere og subtrahere brøker med forskjellige nevnere. Det er ingen annen måte å utføre denne operasjonen på;
Sammenligning av brøker. Noen ganger forenkler reduksjon til en fellesnevner denne oppgaven i stor grad;
Løse problemer som involverer brøker og prosenter. Prosentandeler er i hovedsak vanlige uttrykk som inneholder brøker.

Multiplikasjon på kryss og tvers

Oppgave. Finn betydningen av uttrykkene:

Som tilleggsfaktorer, vurder nevnerne til nærliggende brøker. Vi får:

Ja, så enkelt er det. Hvis du akkurat har begynt å studere brøker, er det bedre å jobbe med denne metoden - på denne måten vil du sikre deg mot mange feil og garantert få resultatet.

Den eneste ulempen med denne metoden er at du må telle mye, fordi nevnerne multipliseres "hele veien", og resultatet kan bli veldig store tall.

Redusere brøker til en fellesnevner

Dette er prisen å betale for pålitelighet.

Felles divisormetode

Denne teknikken bidrar til å redusere beregningene betydelig, men den brukes dessverre ganske sjelden. Metoden er som følger:

Før du går rett frem (dvs. bruker kryss-tvers-metoden), ta en titt på nevnerne. Kanskje er en av dem (den som er større) delt inn i den andre.
Tallet som følger av denne delingen vil være en tilleggsfaktor for brøken med en mindre nevner.
I dette tilfellet trenger ikke en brøk med stor nevner å multipliseres med noe i det hele tatt - det er her besparelsene ligger. Samtidig reduseres sannsynligheten for feil kraftig.

Oppgave. Finn betydningen av uttrykkene:

Merk at 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Siden den ene nevneren i begge tilfeller deles uten en rest med den andre, bruker vi metoden for fellesfaktorer. Vi har:

Merk at den andre brøken ikke ble multiplisert med noe i det hele tatt. Faktisk halverer vi beregningsmengden!

Dette er kraften til felles divisormetoden, men igjen, den kan bare brukes når en av nevnerne er delelig med den andre uten en rest. Noe som skjer ganske sjelden.

Minst vanlige multiple metode

Når vi reduserer brøker til en fellesnevner, prøver vi i hovedsak å finne et tall som er delelig med hver nevner. Så bringer vi nevnerne til begge brøkene til dette tallet.

Det er mange slike tall, og det minste av dem vil ikke nødvendigvis være lik det direkte produktet av nevnerne til de opprinnelige brøkene, slik det antas i "kryss-kryss"-metoden.

For eksempel, for nevnerne 8 og 12, er tallet 24 ganske passende, siden 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Dette tallet er mye mindre enn produktet 8 12 = 96.

Det minste tallet som er delelig med hver av nevnerne kalles deres (LCM).

Notasjon: Det minste felles multiplum av a og b er betegnet LCM(a; b). For eksempel, LCM(16, 24) = 48; LCM(8; 12) = 24.

Klarer du å finne et slikt tall, vil den totale mengden beregninger være minimal. Se på eksemplene:

Oppgave. Finn betydningen av uttrykkene:

Merk at 234 = 117 2; 351 = 117 · 3. Faktor 2 og 3 er coprime (har ingen felles faktorer annet enn 1), og faktor 117 er vanlig. Derfor LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.

Likeledes, 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. Faktor 3 og 4 er coprime, og faktor 5 er vanlig. Derfor LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.

La oss nå bringe brøkene til fellesnevnere:

Legg merke til hvor nyttig det var å faktorisere de opprinnelige nevnerne:

Etter å ha oppdaget identiske faktorer, kom vi umiddelbart frem til det minste felles multiplum, som generelt sett er et ikke-trivielt problem;
Fra den resulterende utvidelsen kan du finne ut hvilke faktorer som "mangler" i hver brøk. For eksempel, 234 · 3 = 702, derfor er tilleggsfaktoren 3 for den første brøken.

Ikke tro at det ikke vil være så komplekse brøker i de virkelige eksemplene. De møtes hele tiden, og oppgavene ovenfor er ikke grensen!

Når man adderer og subtraherer algebraiske brøker med forskjellige nevnere, fører brøkene først til fellesnevner. Dette betyr at de finner én nevner som deles på den opprinnelige nevneren til hver algebraisk brøk som inngår i det gitte uttrykket.

Som du vet, hvis telleren og nevneren til en brøk multipliseres (eller divideres) med det samme tallet annet enn null, vil ikke verdien av brøken endres. Dette er hovedegenskapen til en brøk. Derfor, når brøker reduseres til en fellesnevner, multipliserer de i hovedsak den opprinnelige nevneren til hver brøk med den manglende faktoren for å få en fellesnevner. I dette tilfellet må du multiplisere telleren til brøken med denne faktoren (den er forskjellig for hver brøk).

For eksempel gitt følgende sum av algebraiske brøker:

Det er nødvendig å forenkle uttrykket, det vil si å legge til to algebraiske brøker. For å gjøre dette må du først og fremst bringe brøkleddene til en fellesnevner. Det første trinnet er å finne et monomial som er delelig med både 3x og 2y. I dette tilfellet er det ønskelig at det er det minste, det vil si finne det minste felles multiplum (LCM) for 3x og 2y.

For numeriske koeffisienter og variabler søkes LCM separat. LCM(3, 2) = 6, og LCM(x, y) = xy. Deretter multipliseres de funnet verdiene: 6xy.

Nå må vi bestemme med hvilken faktor vi må gange 3x for å få 6xy:
6xy ÷ 3x = 2y

Dette betyr at når du reduserer den første algebraiske brøken til en fellesnevner, må telleren multipliseres med 2y (nevneren er allerede multiplisert når du reduserer til en fellesnevner). Multiplikatoren for telleren til den andre brøken letes etter på samme måte. Det vil være lik 3x.

Dermed får vi:

Da kan du opptre som med brøk med samme nevnere: tellerne legges til, og én fellesnevner skrives:

Etter transformasjoner oppnås et forenklet uttrykk, som er ett algebraisk brøk, som er summen av to originale:

Algebraiske brøker i det opprinnelige uttrykket kan inneholde nevnere som er polynomer i stedet for monomer (som i eksemplet ovenfor). I dette tilfellet, før du søker etter en fellesnevner, bør du faktorisere nevnerne (hvis mulig). Deretter samles fellesnevneren fra ulike faktorer. Hvis multiplikatoren er i flere opprinnelige nevnere, tas den én gang. Hvis multiplikatoren har forskjellige potenser i de opprinnelige nevnerne, tas den med den største. For eksempel:

Her kan polynomet a 2 – b 2 representeres som produktet (a – b)(a + b). Faktoren 2a – 2b utvides som 2(a – b). Dermed vil fellesnevneren være 2(a – b)(a + b).

For å redusere brøker til minste fellesnevner, må du: 1) finne det minste felles multiplum av nevnerne til de gitte brøkene, det vil være den minste fellesnevneren. 2) finn en tilleggsfaktor for hver brøk, hvorfor dele ny nevner til nevneren for hver brøk. 3) multipliser telleren og nevneren for hver brøk med tilleggsfaktoren.

Eksempler. Reduser følgende brøker til laveste fellesnevner.

Vi finner det minste felles multiplum av nevnerne: LCM(5; 4) = 20, siden 20 er det minste tallet som er delelig med både 5 og 4. Finn for 1. brøk en tilleggsfaktor 4 (20) : 5=4). For den andre brøken er tilleggsfaktoren 5 (20 : 4=5). Vi multipliserer telleren og nevneren til 1. brøk med 4, og telleren og nevneren til 2. brøk med 5. Vi har redusert disse brøkene til laveste fellesnevner ( 20 ).

Den laveste fellesnevneren for disse brøkene er tallet 8, siden 8 er delelig med 4 og seg selv. Det vil ikke være noen tilleggsfaktor for 1. brøk (eller vi kan si at den er lik én), for 2. brøk er tilleggsfaktoren 2 (8 : 4=2). Vi multipliserer telleren og nevneren til 2. brøk med 2. Vi har redusert disse brøkene til laveste fellesnevner ( 8 ).

Disse fraksjonene er ikke irreduserbare.

La oss redusere 1. brøk med 4, og redusere 2. brøk med 2. ( se eksempler på reduksjon av vanlige brøker: Nettstedkart → 5.4.2. Eksempler på å redusere vanlige brøker). Finn LOC(16 ; 20)=2 4 · 5=16· 5=80. Den ekstra multiplikatoren for den første brøken er 5 (80 : 16=5). Tilleggsfaktoren for den andre brøken er 4 (80 : 20=4). Vi multipliserer telleren og nevneren til 1. brøk med 5, og teller og nevner til 2. brøk med 4. Vi har redusert disse brøkene til laveste fellesnevner ( 80 ).

Vi finner den laveste fellesnevneren NCD(5 ; 6 og 15)=NOK(5 ; 6 og 15) = 30. Tilleggsfaktoren til den første brøken er 6 (30 : 5=6), tilleggsfaktoren til den andre brøken er 5 (30 : 6=5), tilleggsfaktoren til den tredje brøken er 2 (30 : 15=2). Vi multipliserer telleren og nevneren til 1. brøk med 6, telleren og nevneren til 2. brøk med 5, telleren og nevneren til 3. brøk med 2. Vi har redusert disse brøkene til laveste fellesnevner ( 30 ).

Side 1 av 1 1

Denne artikkelen forklarer hvordan finne den laveste fellesnevneren Og hvordan redusere brøker til en fellesnevner. Først gis definisjonene av fellesnevner for brøker og minste fellesnevner, og det vises hvordan man finner fellesnevneren for brøker. Nedenfor er en regel for å redusere brøker til en fellesnevner, og eksempler på anvendelse av denne regelen vurderes. Avslutningsvis diskuteres eksempler på å bringe tre eller flere brøker til en fellesnevner.

Sidenavigering.

Hva kalles å redusere brøker til en fellesnevner?

Nå kan vi si hva det er å redusere brøker til en fellesnevner. Redusere brøker til en fellesnevner– Dette er multiplikasjonen av tellerne og nevnerne til gitte brøker med slike tilleggsfaktorer at resultatet blir brøker med de samme nevnerne.

Fellesnevner, definisjon, eksempler

Nå er det på tide å definere fellesnevneren for brøker.

Med andre ord, fellesnevneren til et visst sett med vanlige brøker er et hvilket som helst naturlig tall som er delelig med alle nevnerne til disse brøkene.

Av den oppgitte definisjonen følger det at et gitt sett med brøker har uendelig mange fellesnevnere, siden det er et uendelig antall felles multipler av alle nevnerne i det opprinnelige brøksettet.

Ved å bestemme fellesnevneren for brøker kan du finne fellesnevnerne til gitte brøker. La, for eksempel, gitt brøkene 1/4 og 5/6, deres nevnere er henholdsvis 4 og 6. Positive felles multiplum av tallene 4 og 6 er tallene 12, 24, 36, 48, ... Hvilke som helst av disse tallene er en fellesnevner for brøkene 1/4 og 5/6.

For å konsolidere materialet, vurder løsningen til følgende eksempel.

Eksempel.

Kan brøkene 2/3, 23/6 og 7/12 reduseres til en fellesnevner på 150?

Løsning.

For å svare på spørsmålet må vi finne ut om tallet 150 er et felles multiplum av nevnerne 3, 6 og 12. For å gjøre dette, la oss sjekke om 150 er delelig med hvert av disse tallene (se om nødvendig reglene og eksemplene for å dele naturlige tall, samt reglene og eksemplene på å dele naturlige tall med en rest): 150:3=50 , 150:6=25, 150: 12=12 (resterende 6) .

Så, 150 er ikke jevnt delelig med 12, derfor er ikke 150 et felles multiplum av 3, 6 og 12. Derfor kan ikke tallet 150 være fellesnevneren for de opprinnelige brøkene.

Svar:

Det er forbudt.

Laveste fellesnevner, hvordan finner jeg den?

I settet med tall som er fellesnevnere for gitte brøker, er det et minste naturlig tall, som kalles minste fellesnevner. La oss formulere definisjonen av den laveste fellesnevneren for disse brøkene.

Definisjon.

Laveste fellesnevner er det minste antallet av alle fellesnevnerne til disse brøkene.

Det gjenstår å håndtere spørsmålet om hvordan man finner den minste felles divisor.

Siden er den minst positive felles deleren av et gitt sett med tall, representerer LCM for nevnerne til de gitte brøkene den minste fellesnevneren av de gitte brøkene.

Å finne den laveste fellesnevneren av brøker kommer derfor ned til nevnerne til disse brøkene. La oss se på løsningen på eksempelet.

Eksempel.

Finn den laveste fellesnevneren for brøkene 3/10 og 277/28.

Løsning.

Nevnerne til disse brøkene er 10 og 28. Den ønskede laveste fellesnevneren finnes som LCM for tallene 10 og 28. I vårt tilfelle er det enkelt: siden 10=2·5, og 28=2·2·7, så LCM(15, 28)=2·2·5·7=140.

Svar:

140 .

Hvordan redusere brøker til en fellesnevner? Regler, eksempler, løsninger

Vanlige brøker resulterer vanligvis i en laveste fellesnevner. Vi skal nå skrive ned en regel som forklarer hvordan man reduserer brøker til laveste fellesnevner.

Regel for å redusere brøker til laveste fellesnevner består av tre trinn:

Finn først den laveste fellesnevneren for brøkene.
For det andre beregnes en tilleggsfaktor for hver brøk ved å dele den laveste fellesnevneren med nevneren til hver brøk.
For det tredje multipliseres telleren og nevneren for hver brøk med dens tilleggsfaktor.

La oss bruke den angitte regelen for å løse følgende eksempel.

Eksempel.

Reduser brøkene 5/14 og 7/18 til deres laveste fellesnevner.

Løsning.

La oss utføre alle trinnene i algoritmen for å redusere brøker til laveste fellesnevner.

Først finner vi den minste fellesnevneren, som er lik det minste felles multiplumet av tallene 14 og 18. Siden 14=2·7 og 18=2·3·3, så LCM(14, 18)=2·3·3·7=126.

Nå beregner vi tilleggsfaktorer ved hjelp av hvilke brøkene 5/14 og 7/18 vil reduseres til nevneren 126. For brøken 5/14 er tilleggsfaktoren 126:14=9, og for brøken 7/18 er tilleggsfaktoren 126:18=7.

Det gjenstår å multiplisere tellerne og nevnerne til brøkene 5/14 og 7/18 med tilleggsfaktorene 9 og 7, henholdsvis. Vi har og .