Cilindri është një figurë e përbërë nga një sipërfaqe cilindrike dhe dy rrathë të vendosur paralelisht. Llogaritja e sipërfaqes së një cilindri është një problem në degën gjeometrike të matematikës, i cili mund të zgjidhet mjaft thjesht. Ka disa metoda për zgjidhjen e tij, të cilat në fund gjithmonë zbresin në një formulë.
Si të gjeni sipërfaqen e një cilindri - rregullat e llogaritjes
- Për të zbuluar zonën e cilindrit, duhet të shtoni dy zonat e bazës me sipërfaqen e sipërfaqes anësore: S = Side + 2Sbase. Në një version më të detajuar, kjo formulë duket kështu: S= 2 π rh+ 2 π r2= 2 π r(h+ r).
- Sipërfaqja anësore e një trupi të caktuar gjeometrik mund të llogaritet nëse dihet lartësia e tij dhe rrezja e rrethit që shtrihet në bazën e tij. Në këtë rast, ju mund të shprehni rrezen nga perimetri, nëse jepet. Lartësia mund të gjendet nëse vlera e gjeneratorit është e specifikuar në kusht. Në këtë rast, gjenerata do të jetë e barabartë me lartësinë. Formula për sipërfaqen anësore të këtij trupi duket kështu: S= 2 π rh.
- Sipërfaqja e bazës llogaritet duke përdorur formulën për gjetjen e sipërfaqes së një rrethi: S osn= π r 2. Në disa probleme mund të mos jepet rrezja, por mund të jepet perimetri. Me këtë formulë, rrezja shprehet mjaft lehtë. С=2π r, r= С/2π. Ju gjithashtu duhet të mbani mend se rrezja është gjysma e diametrit.
- Gjatë kryerjes së të gjitha këtyre llogaritjeve, numri π zakonisht nuk përkthehet në 3,14159... Thjesht duhet të shtohet pranë vlerës numerike që është marrë si rezultat i llogaritjeve.
- Tjetra, ju vetëm duhet të shumëzoni zonën e gjetur të bazës me 2 dhe të shtoni në numrin që rezulton zonën e llogaritur të sipërfaqes anësore të figurës.
- Nëse problemi tregon se cilindri ka një seksion boshtor dhe se është një drejtkëndësh, atëherë zgjidhja do të jetë paksa e ndryshme. Në këtë rast, gjerësia e drejtkëndëshit do të jetë diametri i rrethit që shtrihet në bazën e trupit. Gjatësia e figurës do të jetë e barabartë me gjeneratën ose lartësinë e cilindrit. Është e nevojshme të llogariten vlerat e kërkuara dhe t'i zëvendësojnë ato në formulën e njohur tashmë. Në këtë rast, gjerësia e drejtkëndëshit duhet të ndahet me dy për të gjetur zonën e bazës. Për të gjetur sipërfaqen anësore, gjatësia shumëzohet me dy rreze dhe numrin π.
- Ju mund të llogarisni sipërfaqen e një trupi të caktuar gjeometrik përmes vëllimit të tij. Për ta bërë këtë, ju duhet të nxirrni vlerën që mungon nga formula V=π r 2 h.
- Nuk ka asgjë të komplikuar në llogaritjen e sipërfaqes së një cilindri. Thjesht duhet të dini formulat dhe të jeni në gjendje të nxirrni prej tyre sasitë e nevojshme për të kryer llogaritjet.
Një cilindër (vjen nga gjuha greke, nga fjalët "rul", "rul") është një trup gjeometrik që kufizohet nga jashtë nga një sipërfaqe e quajtur cilindrike dhe dy plane. Këto plane kryqëzojnë sipërfaqen e figurës dhe janë paralel me njëri-tjetrin.
Sipërfaqja cilindrike është një sipërfaqe që formohet nga një vijë e drejtë në hapësirë. Këto lëvizje janë të tilla që pika e zgjedhur e kësaj vije të drejtë lëviz përgjatë lakores lloji i sheshtë. Një vijë e tillë e drejtë quhet gjenerator, dhe një vijë e lakuar quhet udhëzues.
Cilindri përbëhet nga një palë bazash dhe një sipërfaqe cilindrike anësore. Ekzistojnë disa lloje të cilindrave:
1. Cilindër rrethor, i drejtë. Një cilindër i tillë ka një bazë dhe udhëzues pingul me vijën gjeneruese, dhe ka
2. Cilindër i pjerrët. Këndi i tij midis vijës gjeneruese dhe bazës nuk është i drejtë.
3. Një cilindër me një formë të ndryshme. Hiperbolike, eliptike, parabolike dhe të tjera.
Sipërfaqja e një cilindri, si dhe sipërfaqja e përgjithshme e çdo cilindri, gjendet duke shtuar sipërfaqet e bazave të kësaj figure dhe sipërfaqen e sipërfaqes anësore.
Formula për llogaritjen e sipërfaqes totale të cilindrit për një cilindër rrethor, të drejtë:
Sp = 2p Rh + 2p R2 = 2p R (h+R).
Sipërfaqja e sipërfaqes anësore është gjetur të jetë pak më e ndërlikuar se sipërfaqja e të gjithë cilindrit; ajo llogaritet duke shumëzuar gjatësinë e vijës gjeneratore me perimetrin e seksionit të formuar nga një plan që është pingul. te linja gjeneratorike.
Cilindri i dhënë për një cilindër rrethor e të drejtë njihet nga zhvillimi i këtij objekti.
Një zhvillim është një drejtkëndësh që ka një lartësi h dhe një gjatësi P, e cila është e barabartë me perimetrin e bazës.
Nga kjo rrjedh se zona anësore cilindri është i barabartë me zonën e fshirjes dhe mund të llogaritet duke përdorur këtë formulë:
Nëse marrim një cilindër rrethor, të drejtë, atëherë për të:
P = 2p R, dhe Sb = 2p Rh.
Nëse cilindri është i prirur, atëherë sipërfaqja e sipërfaqes anësore duhet të jetë e barabartë me produktin e gjatësisë së vijës së saj gjeneruese dhe perimetrit të seksionit, i cili është pingul me këtë linjë gjeneruese.
Fatkeqësisht, nuk ka një formulë të thjeshtë për të shprehur sipërfaqen anësore të një cilindri të pjerrët për sa i përket lartësisë dhe parametrave të bazës së tij.
Për të llogaritur një cilindër, duhet të dini disa fakte. Nëse një seksion me rrafshin e tij kryqëzon bazat, atëherë një seksion i tillë është gjithmonë një drejtkëndësh. Por këto drejtkëndësha do të jenë të ndryshëm, në varësi të pozicionit të seksionit. Njëra nga anët e seksionit boshtor të figurës, e cila është pingul me bazat, është e barabartë me lartësinë, dhe tjetra është e barabartë me diametrin e bazës së cilindrit. Dhe zona e një seksioni të tillë, në përputhje me rrethanat, është e barabartë me produktin e njërës anë të drejtkëndëshit nga ana tjetër, pingul me të parën, ose produktin e lartësisë së një figure të caktuar dhe diametrit të bazës së saj.
Nëse seksioni është pingul me bazat e figurës, por nuk kalon nëpër boshtin e rrotullimit, atëherë zona e këtij seksioni do të jetë e barabartë me produktin e lartësisë së këtij cilindri dhe një korde të caktuar. Për të marrë një akord, duhet të ndërtoni një rreth në bazën e cilindrit, të vizatoni një rreze dhe të vizatoni mbi të distancën në të cilën ndodhet seksioni. Dhe nga kjo pikë ju duhet të vizatoni pingul në rreze nga kryqëzimi me rrethin. Pikat e kryqëzimit janë të lidhura me qendrën. Dhe baza e trekëndëshit është ajo e dëshiruara, e cila kërkohet nga tingujt e tillë: "Shuma e katrorëve të dy këmbëve është e barabartë me hipotenuzën në katror":
C2 = A2 + B2.
Nëse seksioni nuk ndikon në bazën e cilindrit, dhe vetë cilindri është rrethor dhe i drejtë, atëherë zona e këtij seksioni gjendet si zona e rrethit.
Sipërfaqja e rrethit është:
S env. = 2p R2.
Për të gjetur R, duhet të ndani gjatësinë e tij C me 2n:
R = C\2n, ku n është pi, një konstante matematikore e llogaritur për të punuar me të dhënat rrethore dhe e barabartë me 3.14.
Gjeni zonën e seksionit boshtor pingul me bazat e cilindrit. Njëra nga anët e këtij drejtkëndëshi është e barabartë me lartësinë e cilindrit, e dyta - me diametrin e rrethit bazë. Prandaj, zona e seksionit kryq në këtë rast do të jetë e barabartë me produktin e anëve të drejtkëndëshit. S=2R*h, ku S është sipërfaqja e prerjes tërthore, R është rrezja e rrethit bazë, e dhënë nga kushtet e problemit, dhe h është lartësia e cilindrit, e dhënë edhe nga kushtet e problemit.
Nëse seksioni është pingul me bazat, por nuk kalon nëpër boshtin e rrotullimit, drejtkëndëshi nuk do të jetë i barabartë me diametrin e rrethit. Duhet të llogaritet. Për ta bërë këtë, problemi duhet të thotë se në cilën distancë nga boshti i rrotullimit kalon rrafshi i seksionit. Për lehtësinë e llogaritjeve, ndërtoni një rreth në bazën e cilindrit, vizatoni një rreze dhe vizatoni mbi të distancën në të cilën ndodhet seksioni nga qendra e rrethit. Nga kjo pikë, vizatoni pingulet në kryqëzimin e tyre me rrethin. Lidhni pikat e kryqëzimit në qendër. Ju duhet të gjeni akordet. Gjeni madhësinë e gjysmës së kordës duke përdorur teoremën e Pitagorës. Do të jetë e barabartë rrenja katrore nga diferenca ndërmjet katrorëve të rrezes së rrethit nga qendra në vijën e seksionit. a2=R2-b2. E gjithë akordi do të jetë, në përputhje me rrethanat, i barabartë me 2a. Njehsoni sipërfaqen e prerjes tërthore, e cila është e barabartë me prodhimin e brinjëve të drejtkëndëshit, pra S=2a*h.
Cilindri mund të pritet pa kaluar nëpër rrafshin e bazës. Nëse seksioni kryq është pingul me boshtin e rrotullimit, atëherë ai do të jetë një rreth. Zona e saj në këtë rast është e barabartë me sipërfaqen e bazave, domethënë e llogaritur me formulën S = πR2.
Për të imagjinuar më saktë seksionin, bëni një vizatim dhe ndërtime shtesë për të.
Burimet:
- sipërfaqja e seksionit të cilindrit
Vija e kryqëzimit të një sipërfaqeje me një plan i përket si sipërfaqes ashtu edhe rrafshit të prerjes. Linja e kryqëzimit të një sipërfaqe cilindrike me një plan prerës paralel me gjeneratorin e drejtë është një vijë e drejtë. Nëse rrafshi i prerjes është pingul me boshtin e sipërfaqes së rrotullimit, seksioni do të jetë një rreth. Në përgjithësi, vija e kryqëzimit të një sipërfaqe cilindrike me një plan prerës është një vijë e lakuar.
Do t'ju duhet
- Laps, vizore, trekëndësh, modele, busull, metër.
Udhëzimet
Në rrafshin ballor të projeksioneve П2, vija e seksionit përkon me projeksionin e planit të prerjes Σ2 në formën e një vije të drejtë.
Përcaktoni pikat e kryqëzimit të gjeneratorëve të cilindrit me projeksionin Σ2 12, 22, etj. në pikat 10₂ dhe 11₂.
Në rrafshin P1 është një rreth. Pikat 12, 22, etj. të shënuara në rrafshin e seksionit Σ2. duke përdorur një linjë lidhjeje projeksioni janë projektuar në konturin e këtij rrethi. Shënoni projeksionet e tyre horizontale në mënyrë simetrike në lidhje me boshtin horizontal të rrethit.
Kështu, përcaktohen projeksionet e seksionit të dëshiruar: në planin P2 - një vijë e drejtë (pikat 12, 22…102); në rrafshin P1 - një rreth (pikat 11, 21…101).
Duke përdorur dy, ndërtoni madhësinë natyrore të seksionit të këtij cilindri nga rrafshi ballor i projektimit Σ. Për ta bërë këtë, përdorni metodën e projeksionit.
Vizatoni rrafshin П4 paralel me projeksionin e rrafshit Σ2. Në këtë bosht të ri x24, shënoni pikën 1₀. Distancat midis pikave 1₂ – 2₂, 22 – 42, etj. nga projeksioni ballor i seksionit, vendoseni në boshtin x24, vizatoni vija të holla të lidhjes së projeksionit pingul me boshtin x24.
NË këtë metodë rrafshi P4 zëvendësohet nga rrafshi P1, prandaj, nga projeksioni horizontal, transferoni dimensionet nga boshti në pikat në boshtin e planit P4.
Për shembull, në P1 për pikat 2 dhe 3 kjo do të jetë distanca nga 21 dhe 31 në boshtin (pika A), etj.
Duke lënë mënjanë distancat e treguara nga projeksioni horizontal, ju merrni pikat 2₀, 3₀, 6₀, 7₀, 10₀, 11₀. Më pas, për saktësi më të madhe të ndërtimit, përcaktohen pikat e ndërmjetme të mbetura.
Duke lidhur të gjitha pikat me një kurbë model, ju merrni madhësinë e kërkuar natyrore të seksionit të cilindrit nga rrafshi ballor i projektimit.
Burimet:
- si të zëvendësoni një aeroplan
Këshillë 3: Si të gjeni zonën e prerjes boshtore të një koni të cunguar
Te zgjidhesh këtë detyrë, duhet të mbani mend se çfarë është një kon i cunguar dhe cilat veti ka. Sigurohuni që të bëni një vizatim. Kjo do t'ju lejojë të përcaktoni se çfarë figure gjeometrike përfaqëson seksioni. Është shumë e mundur që pas kësaj, zgjidhja e problemit të mos jetë më e vështirë për ju.
Udhëzimet
Një kon i rrumbullakët është një trup që përftohet duke rrotulluar një trekëndësh rreth njërës prej këmbëve të tij. Linjat e drejta që dalin nga maja kon dhe duke e prerë bazën e saj quhen gjeneratorë. Nëse të gjithë gjeneratorët janë të barabartë, atëherë koni është i drejtë. Në bazën e raundit kon shtrihet një rreth. Perpendikularja e rënë në bazë nga kulmi është lartësia kon. Në raundin e drejtë kon lartësia përkon me boshtin e saj. Aksi është një vijë e drejtë që lidhet me qendrën e bazës. Nëse rrafshi horizontal i prerjes së një rrethore kon, atëherë baza e sipërme e saj është një rreth.
Meqenëse në deklaratën e problemit nuk specifikohet se është koni që jepet në këtë rast, mund të konkludojmë se ky është një kon i drejtë i cunguar, seksioni horizontal i të cilit është paralel me bazën. Seksioni aksial i tij, d.m.th. rrafshi vertikal, i cili përmes boshtit të rrethit kon, është një trapez barabrinjës. Të gjitha boshtore seksionet rrumbullakët drejt kon janë të barabartë me njëri-tjetrin. Prandaj, për të gjetur katrore boshtore seksionet, ju duhet të gjeni katrore trapezoid, bazat e të cilit janë diametrat e bazave të një të cunguar kon, dhe anët anësore janë përbërësit e tij. Lartësia e frustumit konështë edhe lartësia e trapezit.
Sipërfaqja e një trapezi përcaktohet me formulën: S = ½(a+b) h, ku S - katrore trapezoidi; a - madhësia e bazës së poshtme të trapezit; b - madhësia e bazës së sipërme të tij; h - lartësia e trapezit.
Meqenëse kushti nuk specifikon se cilat janë dhënë, është e mundur që diametrat e të dy bazave të cunguara kon i njohur: AD = d1 – diametri i bazës së poshtme të të cunguarit kon;BC = d2 – diametri i bazës së sipërme të tij; EH = h1 – lartësia kon. Kështu, katrore boshtore seksionet i cunguar konështë përcaktuar: S1 = ½ (d1+d2) h1
Burimet:
- zona e një koni të cunguar
Cilindri është një figurë hapësinore dhe përbëhet nga dy baza të barabarta, të cilat përfaqësojnë rrathë dhe një sipërfaqe anësore që lidh linjat që kufizojnë bazat. Për të llogaritur katrore cilindër, gjeni sipërfaqet e të gjitha sipërfaqeve të saj dhe mblidhni ato.
Sipërfaqja e sipërfaqes anësore të një cilindri është e barabartë me sipërfaqen e një drejtkëndëshi, baza e të cilit është 2π r, dhe lartësia është e barabartë me lartësinë e cilindrit h, pra 2π rh.
Sipërfaqja e përgjithshme e cilindrit do të jetë: 2π r 2 + 2π rh= 2π r(r+ h).
Sipërfaqja e sipërfaqes anësore të cilindrit merret si zona e fshirjes sipërfaqen e saj anësore.
Prandaj, sipërfaqja e sipërfaqes anësore të një cilindri rrethor të djathtë është e barabartë me sipërfaqen e drejtkëndëshit përkatës (Fig.) dhe llogaritet me formulën
S p.e.s. = 2πRH, (1)
Nëse i shtojmë sipërfaqen e dy bazave të tij zonës së sipërfaqes anësore të cilindrit, marrim sipërfaqen totale të cilindrit.
S plot =2πRH + 2πR 2 = 2πR (H + R).
Vëllimi i një cilindri të drejtë
Teorema. Vëllimi i një cilindri të drejtë është i barabartë me produktin e sipërfaqes së bazës dhe lartësisë së tij , d.m.th.ku Q është sipërfaqja e bazës dhe H është lartësia e cilindrit.
Meqenëse zona e bazës së cilindrit është Q, atëherë ekzistojnë sekuenca poligonesh të rrethuar dhe të brendashkruar me sipërfaqe Q n dhe Q' n sikurse
\(\lim_(n \shigjeta djathtas \infty)\) Q n= \(\lim_(n \shigjeta djathtas \infty)\) Q' n= Q.
Le të ndërtojmë një sekuencë prizmash, bazat e të cilave janë shumëkëndëshat e përshkruar dhe të brendashkruar të diskutuar më sipër, dhe skajet anësore të të cilave janë paralele me gjeneratën e cilindrit të caktuar dhe kanë gjatësi H. Këto prizma janë të rrethuara dhe të brendashkruara për cilindrin e dhënë. Vëllimet e tyre gjenden sipas formulave
V n=Q n H dhe V' n= Q' n H.
Prandaj,
V= \(\lim_(n \shigjeta djathtas \infty)\) Q n H = \(\lim_(n \shigjeta djathtas \infty)\) Q' n H = QH.
Pasoja.
Vëllimi i një cilindri rrethor të drejtë llogaritet me formulën
V = π R 2 H
ku R është rrezja e bazës dhe H është lartësia e cilindrit.
Meqenëse baza e një cilindri rrethor është një rreth me rreze R, atëherë Q = π R 2, dhe për këtë arsye
Cilindri është një trup gjeometrik i kufizuar nga dy rrafshe paralele dhe një sipërfaqe cilindrike. Në artikull do të flasim se si të gjejmë sipërfaqen e një cilindri dhe, duke përdorur formulën, do të zgjidhim disa probleme si shembull.
Një cilindër ka tre sipërfaqe: një sipërfaqe të sipërme, një bazë dhe një sipërfaqe anësore.
Pjesa e sipërme dhe baza e një cilindri janë rrathë dhe janë të lehtë për t'u identifikuar.
Dihet që sipërfaqja e një rrethi është e barabartë me πr 2. Prandaj, formula për sipërfaqen e dy rrathëve (maja dhe baza e cilindrit) do të jetë πr 2 + πr 2 = 2πr 2.
Sipërfaqja e tretë, anësore e cilindrit, është muri i lakuar i cilindrit. Për ta imagjinuar më mirë këtë sipërfaqe, le të përpiqemi ta transformojmë atë për të marrë një formë të dallueshme. Imagjinoni që cilindri është i zakonshëm kallaj, e cila nuk ka një mbulesë të sipërme ose të poshtme. Le të bëjmë një prerje vertikale në murin anësor nga lart në fund të kanaçes (Hapi 1 në figurë) dhe të përpiqemi të hapim (drejtojmë) figurën që rezulton sa më shumë që të jetë e mundur (Hapi 2).
Pasi kavanoza që rezulton të jetë hapur plotësisht, do të shohim një figurë të njohur (Hapi 3), ky është një drejtkëndësh. Sipërfaqja e një drejtkëndëshi është e lehtë për t'u llogaritur. Por para kësaj, le të kthehemi për një moment në cilindrin origjinal. Kulmi i cilindrit origjinal është një rreth, dhe ne e dimë se perimetri llogaritet me formulën: L = 2πr. Në figurë është shënuar me të kuqe.
Kur muri anësor i cilindrit hapet plotësisht, shohim se perimetri bëhet gjatësia e drejtkëndëshit që rezulton. Brinjët e këtij drejtkëndëshi do të jenë perimetri (L = 2πr) dhe lartësia e cilindrit (h). Sipërfaqja e një drejtkëndëshi është e barabartë me produktin e anëve të tij - S = gjatësia x gjerësia = L x h = 2πr x h = 2πrh. Si rezultat, morëm një formulë për llogaritjen e sipërfaqes së sipërfaqes anësore të cilindrit.
Formula për sipërfaqen anësore të një cilindri
Ana S = 2πrh
Sipërfaqja totale e një cilindri
Së fundi, nëse mbledhim sipërfaqen e të gjithëve tre sipërfaqe, marrim formulën për sipërfaqen totale të cilindrit. Sipërfaqja e një cilindri është e barabartë me sipërfaqen e pjesës së sipërme të cilindrit + sipërfaqen e bazës së cilindrit + sipërfaqen e sipërfaqes anësore të cilindrit ose S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Ndonjëherë kjo shprehje shkruhet identike me formulën 2πr (r + h).
Formula për sipërfaqen totale të një cilindri
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r – rrezja e cilindrit, h – lartësia e cilindrit
Shembuj të llogaritjes së sipërfaqes së një cilindri
Për të kuptuar formulat e mësipërme, le të përpiqemi të llogarisim sipërfaqen e një cilindri duke përdorur shembuj.
1. Rrezja e bazës së cilindrit është 2, lartësia është 3. Përcaktoni sipërfaqen e sipërfaqes anësore të cilindrit.
Sipërfaqja totale llogaritet duke përdorur formulën: ana S. = 2πrh
Ana S = 2 * 3.14 * 2 * 3
Ana S = 6,28 * 6
Ana S = 37,68
Sipërfaqja anësore e cilindrit është 37.68.
2. Si të gjeni sipërfaqen e një cilindri nëse lartësia është 4 dhe rrezja është 6?
Sipërfaqja totale llogaritet me formulën: S = 2πr 2 + 2πrh
S = 2 * 3,14 * 6 2 + 2 * 3,14 * 6 * 4
S = 2 * 3,14 * 36 + 2 * 3,14 * 24
