Kəsrlərlə misalları həll etmək üçün ən kiçik ortaq məxrəci tapmağı bacarmaq lazımdır. Aşağıda ətraflı təlimat verilmişdir.

Ən aşağı ortaq məxrəci necə tapmaq olar - konsepsiya

Ən kiçik ortaq məxrəc (LCD) sadə sözlərlə bu misaldakı bütün fraksiyaların məxrəclərinə bölünən minimum ədəddir. Başqa sözlə, o, Ən Kiçik Ümumi Çoxluq (LCM) adlanır. NOS yalnız kəsrlərin məxrəcləri fərqli olduqda istifadə olunur.

Ən aşağı ortaq məxrəci necə tapmaq olar - nümunələr

NOC tapmaq nümunələrinə baxaq.

Hesablayın: 3/5 + 2/15.

Həll (hərəkətlərin ardıcıllığı):

• Biz kəsrlərin məxrəclərinə baxırıq, onların fərqli olmasına və ifadələrin mümkün qədər qısaldılmış olmasına əmin oluruq.
• Həm 5-ə, həm də 15-ə bölünən ən kiçik ədədi tapırıq. Bu ədəd 15 olacaq. Beləliklə, 3/5 + 2/15 = ?/15.
• Məxrəci tapdıq. Numeratorda nə olacaq? Əlavə çarpan bizə bunu anlamağa kömək edəcək. Əlavə bir amil NZ-ni müəyyən bir fraksiyanın məxrəcinə bölmək nəticəsində əldə edilən rəqəmdir. 3/5 üçün əlavə əmsal 3-dür, çünki 15/5 = 3. İkinci fraksiya üçün əlavə əmsal 1-dir, çünki 15/15 = 1.
• Əlavə amili tapdıqdan sonra onu fraksiyaların saylarına vururuq və nəticədə alınan dəyərləri əlavə edirik. 3/5 + 2/15 = (3*3+2*1)/15 = (9+2)/15 = 11/15.

Cavab: 3/5 + 2/15 = 11/15.

Əgər nümunədə 2 deyil, 3 və ya əlavə edirik və ya çıxırıqsa daha çox fraksiya, onda NCD verilmiş qədər fraksiya üçün axtarılmalıdır.

Hesablayın: 1/2 – 5/12 + 3/6

Həll (hərəkətlərin ardıcıllığı):

• Ən kiçik ortaq məxrəcin tapılması. 2, 12 və 6-ya bölünən minimum ədəd 12-dir.
• Alırıq: 1/2 – 5/12 + 3/6 = ?/12.
• Biz əlavə çarpanları axtarırıq. 1/2 – 6 üçün; 5/12 üçün - 1; 3/6 - 2 üçün.
• Numeratorlarla çarpırıq və müvafiq işarələri təyin edirik: 1/2 – 5/12 + 3/6 = (1*6 – 5*1 + 2*3)/12 = 7/12.

Cavab: 1/2 – 5/12 + 3/6 = 7/12.

Bu məqalə izah edir ən aşağı ortaq məxrəci necə tapmaq olar Və kəsrləri necə çevirmək olar ortaq məxrəc . Əvvəlcə kəsrlərin ortaq məxrəcinin və ən kiçik ortaq məxrəcin tərifləri verilir və kəsrlərin ortaq məxrəcinin necə tapılması göstərilir. Aşağıda kəsrlərin ümumi məxrəcə endirilməsi qaydası verilmişdir və bu qaydanın tətbiqi nümunələri nəzərdən keçirilir. Sonda üç və ya daha çox kəsri ortaq məxrəcə gətirmək nümunələri müzakirə olunur.

Səhifə naviqasiyası.

Kəsrin ortaq məxrəcə endirilməsi nə adlanır?

İndi kəsrləri ortaq məxrəcə endirməyin nə olduğunu deyə bilərik. Kəsrin ümumi məxrəcə endirilməsi- Bu, verilmiş kəsrlərin say və məxrəclərinin elə əlavə amillərlə vurulmasıdır ki, nəticə eyni məxrəcli kəsrlər olsun.

Ümumi məxrəc, tərif, misallar

İndi fraksiyaların ortaq məxrəcini təyin etmək vaxtıdır.

Başqa sözlə, adi kəsrlərin müəyyən çoxluğunun ortaq məxrəci hər hansıdır natural ədəd, bu kəsrlərin bütün məxrəclərinə bölünən.

Göstərilən tərifdən belə çıxır ki, verilmiş kəsrlər çoxluğu sonsuz sayda ortaq məxrəcə malikdir, çünki ilkin kəsrlər çoxluğunun bütün məxrəclərinin sonsuz sayda ortaq qatları var.

Kəsrlərin ortaq məxrəcinin müəyyən edilməsi verilmiş kəsrlərin ortaq məxrəclərini tapmağa imkan verir. Məsələn, 1/4 və 5/6 kəsrlərini nəzərə alsaq, onların məxrəcləri müvafiq olaraq 4 və 6-dır. 4 və 6 ədədlərinin müsbət ümumi qatları 12, 24, 36, 48, ... ədədləridir ... Bu ədədlərdən hər hansı biri 1/4 və 5/6 kəsrlərinin ortaq məxrəcidir.

Materialı birləşdirmək üçün aşağıdakı nümunənin həllini nəzərdən keçirin.

Misal.

2/3, 23/6 və 7/12 kəsrlərini 150-nin ortaq məxrəcinə endirmək olarmı?

Həll.

Suala cavab vermək üçün 150 rəqəminin 3, 6 və 12 məxrəclərinin ümumi qatı olub-olmadığını öyrənməliyik. Bunun üçün 150-nin bu ədədlərin hər birinə bölünüb-bölünmədiyini yoxlayaq (lazım olduqda natural ədədlərin bölünməsi qaydalarına və nümunələrinə, həmçinin natural ədədlərin qalığa bölünməsi qaydalarına və nümunələrinə baxın): 150:3=50 , 150:6=25, 150: 12=12 (qalan 6) .

Belə ki, 150 12-yə bərabər bölünmür, ona görə də 150 ​​3, 6 və 12-nin ümumi çoxluğu deyil. Buna görə də 150 ​​rəqəmi ilkin kəsrlərin ortaq məxrəci ola bilməz.

Cavab:

Bu qadağandır.

Ən aşağı ortaq məxrəc, onu necə tapmaq olar?

Verilmiş kəsrlərin ortaq məxrəci olan ədədlər çoxluğunda ən kiçik natural ədəd var ki, ona ən kiçik ortaq məxrəc deyilir. Bu kəsrlərin ən kiçik ortaq məxrəcinin tərifini formalaşdıraq.

Tərif.

Ən aşağı ortaq məxrəc bu kəsrlərin bütün ortaq məxrəclərinin ən kiçik sayıdır.

Ən kiçik ümumi böləni necə tapmaq məsələsi ilə məşğul olmaq qalır.

Verilmiş ədədlər toplusunun ən kiçik müsbət ortaq bölgüsü olduğundan, verilmiş kəsrlərin məxrəclərinin LCM-i verilmiş kəsrlərin ən kiçik ortaq məxrəcini təmsil edir.

Beləliklə, kəsrlərin ən kiçik ortaq məxrəcinin tapılması həmin kəsrlərin məxrəclərinə düşür. Məsələnin həllinə baxaq.

Misal.

3/10 və 277/28 kəsrlərinin ən kiçik ortaq məxrəcini tapın.

Həll.

Bu kəsrlərin məxrəcləri 10 və 28-dir. İstədiyiniz ən aşağı ümumi məxrəc 10 və 28 rəqəmlərinin LCM-i kimi tapılır. Bizim vəziyyətimizdə bu asandır: 10=2·5 və 28=2·2·7 olduğundan, LCM(15, 28)=2·2·5·7=140.

Cavab:

140 .

Kəsrləri ortaq məxrəcə necə endirmək olar? Qayda, nümunələr, həllər

Ümumi kəsrlər adətən ən aşağı ortaq məxrəclə nəticələnir. İndi biz kəsrləri ən aşağı ortaq məxrəcə necə azaltmağı izah edən bir qayda yazacağıq.

Kəsrləri ən kiçik ortaq məxrəcə endirmə qaydasıüç addımdan ibarətdir:

• Əvvəlcə kəsrlərin ən kiçik ortaq məxrəcini tapın.
• İkincisi, ən kiçik ortaq məxrəci hər kəsrin məxrəcinə bölmək yolu ilə hər kəsr üçün əlavə əmsal hesablanır.
• Üçüncüsü, hər kəsrin payı və məxrəci onun əlavə əmsalı ilə vurulur.

Aşağıdakı nümunəni həll etmək üçün qeyd olunan qaydanı tətbiq edək.

Misal.

5/14 və 7/18 kəsrlərini ən aşağı ortaq məxrəcə qədər azaldın.

Həll.

Fraksiyaları ən kiçik ortaq məxrəcə endirmək alqoritminin bütün addımlarını yerinə yetirək.

Əvvəlcə 14 və 18 ədədlərinin ən kiçik ortaq qatına bərabər olan ən kiçik ortaq məxrəci tapırıq. 14=2·7 və 18=2·3·3 olduğundan, LCM(14, 18)=2·3·3·7=126.

İndi 5/14 və 7/18 fraksiyalarının məxrəcə 126-ya endiriləcəyi əlavə amilləri hesablayırıq. 5/14 kəsr üçün əlavə əmsal 126:14=9, 7/18 kəsr üçün isə əlavə əmsal 126:18=7-dir.

5/14 və 7/18 kəsrlərinin say və məxrəclərini müvafiq olaraq əlavə 9 və 7 faktorları ilə vurmaq qalır. Bizdə və .

Beləliklə, 5/14 və 7/18 kəsrlərini ən aşağı ortaq məxrəcə endirmək tamamlandı. Nəticədə kəsrlər 45/126 və 49/126 idi.

a / b arifmetik kəsrinin məxrəci kəsrin təşkil olunduğu vahidin kəsrlərinin ölçüsünü göstərən b ədədidir. A / B cəbri kəsrinin məxrəci B cəbri ifadəsidir. Kəsrlərlə hesab əməliyyatlarını yerinə yetirmək üçün onları ən kiçik ortaq məxrəcə endirmək lazımdır.

Sizə lazım olacaq

• Cəbri kəsrlərlə işləmək və ən kiçik ortaq məxrəci tapmaq üçün çoxhədli faktorları necə bilməlisiniz.

Təlimatlar

İki arifmetik kəsri n/m və s/t ən kiçik ortaq məxrəcə endirməyi nəzərdən keçirək, burada n, m, s, t tam ədədlərdir. Aydındır ki, bu iki fraksiya m və t-ə bölünən istənilən məxrəcə endirilə bilər. Ancaq ən aşağı ortaq məxrəcə aparmağa çalışırlar. Verilmiş kəsrlərin m və t məxrəclərinin ən kiçik ortaq qatına bərabərdir. Ədədin ən kiçik çoxluğu (LMK) eyni zamanda bütün verilmiş ədədlərə bölünən ən kiçikdir. Bunlar. bizim vəziyyətimizdə m və t ədədlərinin ən kiçik ortaq qatını tapmalıyıq. LCM (m, t) kimi qeyd olunur. Sonra, fraksiyalar uyğun olanlarla vurulur: (n / m) * (LCM (m, t) / m), (s / t) * (LCM (m, t) / t).

Üç fraksiyanın ən kiçik ortaq məxrəcini tapaq: 4/5, 7/8, 11/14. Əvvəlcə 5, 8, 14 məxrəclərini genişləndirək: 5 = 1 * 5, 8 = 2 * 2 * 2 = 2^3, 14 = 2 * 7. Sonra, LCM-i (5, 8, 14) vuraraq hesablayın. genişlənmələrdən ən azı birinə daxil olan bütün nömrələr. LCM (5, 8, 14) = 5 * 2^3 * 7 = 280. Qeyd edək ki, əgər bir neçə ədədin genişlənməsində amil baş verirsə (8 və 14-cü məxrəclərin genişlənməsində 2-ci faktor), onda əmsalı götürürük. daha böyük dərəcə (bizim vəziyyətimizdə 2^3).

Beləliklə, ümumi qəbul edilir. 280 = 5 * 56 = 8 * 35 = 14 * 20-ə bərabərdir. Burada kəsrləri ən aşağı ortaq məxrəcə çatdırmaq üçün müvafiq məxrəclərlə çoxaltmalı olduğumuz ədədləri alırıq. 4/5 = 56 * (4/5) = 224/280, 7/8 = 35 * (7/8) = 245/280, 11/14 = 20 * (11/14) = 220/280 alırıq.

Ən aşağı ortaq məxrəcə endirmə cəbri kəsrlər arifmetika ilə bənzətmə yolu ilə həyata keçirilir. Aydınlıq üçün bir nümunədən istifadə edərək problemə baxaq. İki kəsr (2 * x) / (9 * y^2 + 6 * y + 1) və (x^2 + 1) / (3 * y^2 + 4 * y + 1) verilsin. Gəlin hər iki məxrəci faktorlara ayıraq. Qeyd edək ki, birinci kəsrin məxrəci mükəmməl kvadratdır: 9 * y^2 + 6 * y + 1 = (3 * y + 1)^2. üçün

Mən əvvəlcə Kəsrlərin Toplanması və Çıxarılması bölməsinə ortaq məxrəc üsullarını daxil etmək istəyirdim. Ancaq o qədər çox məlumat olduğu ortaya çıxdı və onun əhəmiyyəti o qədər böyükdür (bütün bunlardan sonra təkcə ədədi fraksiyaların ümumi məxrəcləri yoxdur), bu məsələni ayrıca araşdırmaq daha yaxşıdır.

Beləliklə, tutaq ki, bizdə iki fraksiya var müxtəlif məxrəclər. Və biz məxrəclərin eyni olmasına əmin olmaq istəyirik. Bir fraksiyanın əsas xüsusiyyəti xilasetmə üçün gəlir, sizə xatırlatmağıma icazə verin, belə səslənir:

Əgər onun payı və məxrəci sıfırdan fərqli eyni ədədə vurularsa, kəsr dəyişməyəcək.

Beləliklə, amilləri düzgün seçsəniz, kəsrlərin məxrəcləri bərabər olacaqdır - bu proses ortaq məxrəcə endirmə adlanır. Məxrəcləri “axşam edən” tələb olunan ədədlərə əlavə amillər deyilir.

Nə üçün kəsrləri ortaq məxrəcə endirməliyik? Burada yalnız bir neçə səbəb var:

1. Fərqli məxrəcli kəsrlərin toplanması və çıxılması. Bu əməliyyatı yerinə yetirməyin başqa yolu yoxdur;
2. Fraksiyaların müqayisəsi. Bəzən ortaq məxrəcə endirmək bu işi xeyli asanlaşdırır;
3. Kəsrə və faizlərə aid məsələlərin həlli. Faizlər mahiyyət etibarı ilə kəsrləri ehtiva edən adi ifadələrdir.

Ədədləri tapmağın bir çox yolu var ki, onlara vurulduqda kəsrlərin məxrəcləri bərabər olacaqdır. Onlardan yalnız üçünü nəzərdən keçirəcəyik - artan mürəkkəblik və müəyyən mənada effektivlik sırası ilə.

Çarpaz çarpma

Ən sadə və etibarlı yol, məxrəcləri bərabərləşdirməyə zəmanət verilir. Biz “başdan-başa” hərəkət edəcəyik: birinci kəsri ikinci kəsrin məxrəcinə, ikincini isə birincinin məxrəcinə vururuq. Nəticədə hər iki kəsrin məxrəcləri ilkin məxrəclərin hasilinə bərabər olacaqdır. Bax:

Əlavə amillər kimi qonşu fraksiyaların məxrəclərini nəzərə alın. Biz əldə edirik:

Bəli, bu qədər sadədir. Əgər siz fraksiyaları öyrənməyə yeni başlayırsınızsa, bu üsuldan istifadə edərək işləmək daha yaxşıdır - bu yolla özünüzü bir çox səhvlərdən sığortalayacaqsınız və nəticə əldə etməyinizə zəmanət verilir.

Yeganə çatışmazlıq bu üsul- çox saymaq lazımdır, çünki məxrəclər "boyu" vurulur və nəticə çox ola bilər böyük rəqəmlər. Bu, etibarlılıq üçün ödənilməli qiymətdir.

Ümumi Bölmə üsulu

Bu texnika hesablamaları əhəmiyyətli dərəcədə azaltmağa kömək edir, lakin təəssüf ki, olduqca nadir hallarda istifadə olunur. Metod aşağıdakı kimidir:

1. Düz irəli getməzdən əvvəl (yəni, çarpaz çarpaz metoddan istifadə etməklə) məxrəclərə nəzər salın. Bəlkə də onlardan biri (daha böyük olan) digərinə bölünür.
2. Bu bölgü nəticəsində yaranan ədəd daha kiçik məxrəcli kəsr üçün əlavə faktor olacaqdır.
3. Bu halda, böyük məxrəci olan bir kəsiri heç bir şeyə vurmaq lazım deyil - qənaət buradadır. Eyni zamanda, səhv ehtimalı kəskin şəkildə azalır.

Tapşırıq. İfadələrin mənalarını tapın:

Qeyd edək ki, 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Hər iki halda bir məxrəc digərinə qalıqsız bölündüyü üçün ümumi amillər metodundan istifadə edirik. Bizdə:

Qeyd edək ki, ikinci kəsr ümumiyyətlə heç nə ilə vurulmayıb. Əslində, biz hesablama məbləğini yarıya endirdik!

Yeri gəlmişkən, mən bu misaldakı kəsrləri təsadüfən götürməmişəm. Əgər maraqlanırsınızsa, çarpaz metoddan istifadə edərək onları saymağa çalışın. Azaltmadan sonra cavablar eyni olacaq, amma daha çox iş olacaq.

Metodun gücü budur ümumi bölənlər, lakin təkrar edirəm, yalnız məxrəclərdən birinin digərinə qalıqsız bölündüyü halda istifadə edilə bilər. Bu olduqca nadir hallarda olur.

Ən az ümumi çoxlu üsul

Kəsrləri ortaq məxrəcə endirdikdə, mahiyyətcə hər məxrəcə bölünən ədədi tapmağa çalışırıq. Sonra hər iki kəsrin məxrəclərini bu ədədə gətiririk.

Belə ədədlər çoxdur və onların ən kiçiyi mütləq "çarpaz çarpaz" metodunda qəbul edildiyi kimi ilkin fraksiyaların məxrəclərinin birbaşa hasilinə bərabər olmayacaqdır.

Məsələn, 8 və 12 məxrəcləri üçün 24 rəqəmi olduqca uyğundur, çünki 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Bu rəqəm 8 · 12 = 96 hasilindən çox azdır.

Ən kiçik rəqəm Məxrəclərin hər birinə bölünən , onların ən kiçik ortaq çoxluğu (LCM) adlanır.

Qeyd: a və b-nin ən kiçik ümumi çoxluğu LCM(a ; b) ilə işarələnir. Məsələn, LCM(16, 24) = 48 ; LCM(8; 12) = 24 .

Belə bir rəqəm tapmağı bacarsanız, hesablamaların ümumi məbləği minimal olacaqdır. Nümunələrə baxın:

Tapşırıq. İfadələrin mənalarını tapın:

Qeyd edək ki, 234 = 117 2; 351 = 117 3. 2 və 3 faktorları ümumidir (1-dən başqa ümumi amillər yoxdur), 117 faktor isə ümumidir. Buna görə də LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.

Eynilə, 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. 3 və 4-cü faktorlar ümumi, 5-ci amil isə ümumidir. Buna görə də LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.

İndi isə kəsrləri ortaq məxrəcə çatdıraq:

Orijinal məxrəcləri faktorlara ayırmağın nə qədər faydalı olduğuna diqqət yetirin:

1. Eyni amilləri aşkar edərək, biz dərhal ən kiçik ümumi çoxluğa çatdıq, bu, ümumiyyətlə, qeyri-trivial problemdir;
2. Yaranan genişlənmədən hər bir fraksiyada hansı amillərin “çatışmadığı”nı öyrənə bilərsiniz. Məsələn, 234 · 3 = 702, buna görə də birinci fraksiya üçün əlavə əmsal 3-dür.

Ən az ümumi çoxsaylı metodun nə qədər fərq yaratdığını qiymətləndirmək üçün çarpaz çarpaz metoddan istifadə edərək eyni nümunələri hesablamağa çalışın. Əlbəttə ki, kalkulyator olmadan. Düşünürəm ki, bundan sonra şərhlər lazımsız olacaq.

Əsl nümunələrdə belə mürəkkəb kəsrlərin olmayacağını düşünməyin. Onlar hər zaman görüşürlər və yuxarıda göstərilən vəzifələr hədd deyil!

Yeganə problem bu NOC-u necə tapmaqdır. Bəzən hər şeyi bir neçə saniyə ərzində, sözün əsl mənasında “gözlə” tapmaq olar, lakin ümumilikdə bu, ayrıca nəzərdən keçirilməsini tələb edən mürəkkəb hesablama işidir. Biz burada buna toxunmayacağıq.