Πώς να βρείτε το κοινό σημείο δύο ευθειών. Πώς να υπολογίσετε το σημείο τομής δύο ευθειών

Εάν δύο ευθείες δεν είναι παράλληλες, τότε αναπόφευκτα θα τέμνονται σε ένα σημείο. Ανακαλύπτω συντεταγμένες σημείαΗ τομή 2 γραμμών επιτρέπεται τόσο γραφικά όσο και αριθμητικά, ανάλογα με τα δεδομένα που παρέχει η εργασία.

Θα χρειαστείτε

– δύο ευθείες γραμμές στο σχέδιο.
– εξισώσεις 2 ευθειών.

Οδηγίες

1. Εάν οι γραμμές είναι ήδη σχεδιασμένες στο γράφημα, βρείτε τη λύση γραφικά. Για να το κάνετε αυτό, συνεχίστε και τις δύο ή μία από τις γραμμές έτσι ώστε να τέμνονται. Μετά από αυτό, σημειώστε το σημείο τομής και χαμηλώστε μια κάθετη από αυτό στον άξονα x (ως συνήθως, ω).

2. Χρησιμοποιώντας τα σημάδια της κλίμακας που σημειώνονται στον άξονα, βρείτε την τιμή x για αυτό το σημείο. Εάν είναι στη θετική κατεύθυνση του άξονα (στα δεξιά του σημείου μηδέν), τότε η τιμή του θα είναι σωστή, διαφορετικά θα είναι αρνητική.

3. Βρείτε σωστά και την τεταγμένη του σημείου τομής. Εάν η προβολή ενός σημείου βρίσκεται πάνω από το σημείο μηδέν, είναι σωστή, αν κάτω, είναι αρνητική. Γράψτε τις συντεταγμένες του σημείου με τη μορφή (x, y) - αυτή είναι η λύση στο πρόβλημα.

4. Εάν οι γραμμές δίνονται με τη μορφή των τύπων y=khx+b, μπορείτε επίσης να λύσετε το πρόβλημα γραφικά: σχεδιάστε τις γραμμές σε ένα πλέγμα συντεταγμένων και βρείτε τη λύση χρησιμοποιώντας τη μέθοδο που περιγράφεται παραπάνω.

5. Προσπαθήστε να ανακαλύψετε τη λύση στο πρόβλημα χρησιμοποιώντας αυτούς τους τύπους. Για να το κάνετε αυτό, δημιουργήστε ένα σύστημα από αυτές τις εξισώσεις και λύστε το. Αν οι εξισώσεις δίνονται με τη μορφή y=khx+b, απλώς εξισώστε και τις δύο πλευρές με x και ανακαλύψτε το x. Στη συνέχεια συνδέστε την τιμή του x σε μία από τις εξισώσεις και βρείτε το y.

6. Μπορείτε να βρείτε μια λύση χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του Cramer. Σε αυτή την περίπτωση, ανάγουμε τις εξισώσεις στη μορφή A1x+B1y+C1=0 και A2x+B2y+C2=0. Σύμφωνα με τον τύπο του Cramer, x=-(C1B2-C2B1)/(A1B2-A2B1) και y=-(A1C2-A2C1)/(A1B2-A2B1). Λάβετε υπόψη ότι εάν ο παρονομαστής είναι μηδέν, τότε οι γραμμές είναι παράλληλες ή συμπίπτουν και, κατά συνέπεια, δεν τέμνονται.

7. Εάν σας δίνονται γραμμές στο διάστημα σε κανονική μορφή, πριν ξεκινήσετε την αναζήτηση μιας λύσης, ελέγξτε αν οι γραμμές είναι παράλληλες. Για να το κάνετε αυτό, αξιολογήστε τους εκθέτες πριν από t εάν είναι αναλογικοί, ας πούμε, x=-1+3t, y=7+2t, z=2+t και x=-1+6t, y=-1+4t, z =-5 +2t, τότε οι ευθείες είναι παράλληλες. Επιπλέον, οι γραμμές μπορούν να τέμνονται, οπότε το σύστημα δεν θα έχει λύση.

8. Αν διαπιστώσετε ότι οι γραμμές τέμνονται, βρείτε το σημείο τομής τους. Αρχικά, εξισώστε μεταβλητές από διαφορετικές γραμμές, αντικαθιστώντας υπό όρους το t με το u για την πρώτη γραμμή και με το v για τη 2η γραμμή. Ας πούμε, αν σας δοθούν γραμμές x=t-1, y=2t+1, z=t+2 και x=t+1, y=t+1, z=2t+8 θα λάβετε εκφράσεις όπως u-1 =v +1, 2u+1=v+1, u+2=2v+8.

9. Εκφράστε το u από μια εξίσωση, αντικαταστήστε το με μια άλλη και βρείτε το v (σε αυτό το πρόβλημα u=-2,v=-4). Τώρα, για να βρείτε το σημείο τομής, αντικαταστήστε τις λαμβανόμενες τιμές αντί για t (δεν έχει σημασία στην πρώτη ή στη δεύτερη εξίσωση) και λάβετε τις συντεταγμένες του σημείου x=-3, y=-3, z =0.

Να θεωρήσουμε 2 τεμνόμενες απευθείαςΑρκεί να τα θεωρήσουμε σε ένα επίπεδο, αφού δύο τεμνόμενες ευθείες βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο. Γνωρίζοντας τις εξισώσεις αυτών απευθείας, είναι δυνατό να ανιχνευθεί η συντεταγμένη του σημείου τους διασταυρώσεις .

Θα χρειαστείτε

εξισώσεις γραμμών

Οδηγίες

1. Στις καρτεσιανές συντεταγμένες, η γενική εξίσωση μιας ευθείας μοιάζει με αυτό: Ax+By+C = 0. Έστω δύο ευθείες που τέμνονται. Η εξίσωση της πρώτης γραμμής είναι Ax+By+C = 0, η 2η γραμμή είναι Dx+Ey+F = 0. Πρέπει να καθοριστούν όλοι οι δείκτες (A, B, C, D, E, F). ένα σημείο διασταυρώσειςαυτά τα απευθείαςείναι απαραίτητο να λυθεί το σύστημα αυτών των 2 γραμμικών εξισώσεων.

2. Για να λυθεί, είναι βολικό να πολλαπλασιάσουμε την πρώτη εξίσωση με Ε και τη δεύτερη με Β. Ως αποτέλεσμα, οι εξισώσεις θα μοιάζουν με: AEx+BEy+CE = 0, DBx+EBy+FB = 0. Αφού αφαιρέσουμε τη δεύτερη εξίσωση από την πρώτη, παίρνετε: (AE- DB)x = FB-CE. Ως εκ τούτου, x = (FB-CE)/(AE-DB) Κατ' αναλογία, η πρώτη εξίσωση αρχικό σύστημαΜπορείτε να πολλαπλασιάσετε με το D, το δεύτερο με το A και μετά να αφαιρέσετε ξανά το δεύτερο από το πρώτο. Ως αποτέλεσμα, y = (CD-FA)/(AE-DB). Οι τιμές x και y που προκύπτουν θα είναι οι συντεταγμένες του σημείου διασταυρώσεις απευθείας .

3. Εξισώσεις απευθείαςμπορεί επίσης να γραφτεί μέσω του γωνιακού δείκτη k, ίση με την εφαπτομένη της γωνίας κλίσης της ευθείας. Στην περίπτωση αυτή, η εξίσωση της ευθείας έχει τη μορφή y = kx+b. Έστω τώρα η εξίσωση της πρώτης ευθείας y = k1*x+b1 και η εξίσωση της 2ης ευθείας είναι y = k2*x+b2.

4. Αν εξισώσουμε τις δεξιές πλευρές αυτών των 2 εξισώσεων, παίρνουμε: k1*x+b1 = k2*x+b2. Από εκεί είναι εύκολο να ληφθεί ότι x = (b1-b2)/(k2-k1). Αφού αντικαταστήσετε αυτήν την τιμή x σε οποιαδήποτε από τις εξισώσεις, παίρνετε: y = (k2*b1-k1*b2)/(k2-k1). Οι τιμές x και y θα καθορίσουν τις συντεταγμένες του σημείου διασταυρώσεις απευθείας.Αν δύο ευθείες είναι παράλληλες ή συμπίπτουσες, τότε δεν έχουν καθολικά σημεία ή έχουν απίστευτα μεγάλο αριθμό καθολικών σημείων, αντίστοιχα. Σε αυτές τις περιπτώσεις k1 = k2, παρονομαστές για τις συντεταγμένες των σημείων διασταυρώσειςθα εξαφανιστεί, επομένως, το σύστημα δεν θα έχει κλασική λύση Το σύστημα μπορεί να έχει μόνο μία κλασική λύση, η οποία είναι άνευ όρων, επειδή δύο αποκλίνουσες και μη παράλληλες ευθείες μπορούν να έχουν μόνο ένα σημείο διασταυρώσεις .

Βίντεο σχετικά με το θέμα

Για να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής των γραφημάτων των συναρτήσεων, πρέπει να εξισώσετε και τις δύο συναρτήσεις μεταξύ τους, να μετακινήσετε όλους τους όρους που περιέχουν $ x $ στην αριστερή πλευρά και τους υπόλοιπους στη δεξιά πλευρά και να βρείτε τις ρίζες του προκύπτουσα εξίσωση.
Η δεύτερη μέθοδος είναι να δημιουργήσουμε ένα σύστημα εξισώσεων και να το λύσουμε αντικαθιστώντας μια συνάρτηση με μια άλλη
Η τρίτη μέθοδος περιλαμβάνει τη γραφική κατασκευή συναρτήσεων και οπτικός ορισμόςσημεία τομής.

Η περίπτωση δύο γραμμικών συναρτήσεων

Ας εξετάσουμε δύο γραμμικές συναρτήσεις$ f(x) = k_1 x+m_1 $ και $ g(x) = k_2 x + m_2 $. Αυτές οι συναρτήσεις ονομάζονται άμεσες. Είναι πολύ εύκολο να τα κατασκευάσετε· πρέπει να πάρετε οποιεσδήποτε δύο τιμές $ x_1 $ και $ x_2 $ και να βρείτε $ f(x_1) $ και $ (x_2) $. Στη συνέχεια επαναλάβετε το ίδιο με τη συνάρτηση $ g(x) $. Στη συνέχεια, βρείτε οπτικά τη συντεταγμένη του σημείου τομής των γραφημάτων συνάρτησης.

Πρέπει να γνωρίζετε ότι οι γραμμικές συναρτήσεις έχουν μόνο ένα σημείο τομής και μόνο όταν $ k_1 \neq k_2 $. Διαφορετικά, στην περίπτωση του $ k_1=k_2 $ οι συναρτήσεις είναι παράλληλες μεταξύ τους, αφού το $ k $ είναι ο συντελεστής κλίσης. Αν $ k_1 \neq k_2 $ αλλά $ m_1=m_2 $, τότε το σημείο τομής θα είναι $ M(0;m) $. Συνιστάται να θυμάστε αυτόν τον κανόνα για να λύσετε γρήγορα προβλήματα.

Παράδειγμα 1
Έστω $ f(x) = 2x-5 $ και $ g(x)=x+3 $. Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής των γραφημάτων συνάρτησης.
Λύση
Πως να το κάνεις? Εφόσον παρουσιάζονται δύο γραμμικές συναρτήσεις, το πρώτο πράγμα που εξετάζουμε είναι ο συντελεστής κλίσης και των δύο συναρτήσεων $ k_1 = 2 $ και $ k_2 = 1 $. Σημειώνουμε ότι $ k_1 \neq k_2 $, άρα υπάρχει ένα σημείο τομής. Ας το βρούμε χρησιμοποιώντας την εξίσωση $ f(x)=g(x) $: $$ 2x-5 = x+3 $$ Μετακινούμε τους όρους με $ x $ στην αριστερή πλευρά και τους υπόλοιπους στα δεξιά: $$ 2x - x = 3+5 $$ Λάβαμε $ x=8 $ την τετμημένη του σημείου τομής των γραφημάτων και τώρα ας βρούμε την τεταγμένη. Για να γίνει αυτό, ας αντικαταστήσουμε $ x = 8 $ σε οποιαδήποτε από τις εξισώσεις, είτε σε $ f(x) $ είτε σε $ g(x) $: $$ f(8) = 2\cdot 8 - 5 = 16 - 5 = 11 $$ Άρα, $ M (8;11) $ είναι το σημείο τομής των γραφημάτων δύο γραμμικών συναρτήσεων. Εάν δεν μπορείτε να λύσετε το πρόβλημά σας, στείλτε το σε εμάς. θα παρέχουμε λεπτομερής λύση. Θα μπορείτε να δείτε την πρόοδο του υπολογισμού και να λάβετε πληροφορίες. Αυτό θα σας βοηθήσει να πάρετε τον βαθμό σας από τον δάσκαλό σας έγκαιρα!
Απάντηση
$$ M (8;11) $$

Η περίπτωση δύο μη γραμμικών συναρτήσεων

Παράδειγμα 3
Βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής των γραφημάτων συνάρτησης: $ f(x)=x^2-2x+1 $ και $ g(x)=x^2+1 $
Λύση
Τι γίνεται με δύο μη γραμμικές συναρτήσεις; Ο αλγόριθμος είναι απλός: εξισώνουμε τις εξισώσεις μεταξύ τους και βρίσκουμε τις ρίζες: $$ x^2-2x+1=x^2+1 $$ Κατανέμουμε όρους με και χωρίς $ x $ σε διαφορετικές πλευρές της εξίσωσης: $$ x^2-2x-x^2=1-1 $$ Βρέθηκε η τετμημένη του επιθυμητού σημείου, αλλά δεν αρκεί. Η τεταγμένη $y$ εξακολουθεί να λείπει. Αντικαθιστούμε $ x = 0 $ σε οποιαδήποτε από τις δύο εξισώσεις της προβληματικής συνθήκης. Για παράδειγμα: $$ f(0)=0^2-2\cdot 0 + 1 = 1 $$ $ M (0;1) $ - σημείο τομής γραφημάτων συνάρτησης
Απάντηση
$$ M (0;1) $$

Oh-oh-oh-oh-oh... καλά, είναι δύσκολο, σαν να διάβαζε μια πρόταση στον εαυτό του =) Ωστόσο, η χαλάρωση θα βοηθήσει αργότερα, ειδικά επειδή σήμερα αγόρασα τα κατάλληλα αξεσουάρ. Επομένως, ας προχωρήσουμε στην πρώτη ενότητα, ελπίζω ότι μέχρι το τέλος του άρθρου θα διατηρήσω μια χαρούμενη διάθεση.

Η σχετική θέση δύο ευθειών

Αυτό συμβαίνει όταν το κοινό τραγουδά μαζί σε χορωδία. Δύο ευθείες γραμμές μπορούν:

1) ταίριασμα?

2) να είναι παράλληλη: ;

3) ή τέμνονται σε ένα μόνο σημείο: .

Βοήθεια για ανδρείκελα : Θυμηθείτε το μαθηματικό σημάδι τομής, θα εμφανίζεται πολύ συχνά. Ο συμβολισμός σημαίνει ότι η ευθεία τέμνεται με τη γραμμή στο σημείο .

Πώς να προσδιορίσετε τη σχετική θέση δύο γραμμών;

Ας ξεκινήσουμε με την πρώτη περίπτωση:

Δύο ευθείες συμπίπτουν αν και μόνο αν οι αντίστοιχοι συντελεστές τους είναι ανάλογοι, δηλαδή υπάρχει ένας αριθμός «λάμδα» τέτοιος ώστε να ικανοποιούνται οι ισότητες

Ας εξετάσουμε τις ευθείες γραμμές και ας δημιουργήσουμε τρεις εξισώσεις από τους αντίστοιχους συντελεστές: . Από κάθε εξίσωση προκύπτει ότι, επομένως, αυτές οι γραμμές συμπίπτουν.

Πράγματι, αν όλοι οι συντελεστές της εξίσωσης πολλαπλασιάστε με –1 (σύμβολα αλλαγής), και όλους τους συντελεστές της εξίσωσης κόψτε κατά 2, παίρνετε την ίδια εξίσωση: .

Η δεύτερη περίπτωση, όταν οι ευθείες είναι παράλληλες:

Δύο ευθείες είναι παράλληλες αν και μόνο αν οι συντελεστές τους των μεταβλητών είναι ανάλογοι: , Αλλά.

Για παράδειγμα, θεωρήστε δύο ευθείες γραμμές. Ελέγχουμε την αναλογικότητα των αντίστοιχων συντελεστών για τις μεταβλητές:

Ωστόσο, είναι αρκετά προφανές ότι.

Και η τρίτη περίπτωση, όταν τέμνονται οι γραμμές:

Δύο ευθείες τέμνονται αν και μόνο αν οι συντελεστές τους των μεταβλητών ΔΕΝ είναι ανάλογοι, δηλαδή ΔΕΝ υπάρχει τέτοια τιμή του «λάμδα» που να ικανοποιούνται οι ισότητες

Έτσι, για τις ευθείες γραμμές θα δημιουργήσουμε ένα σύστημα:

Από την πρώτη εξίσωση προκύπτει ότι , και από τη δεύτερη εξίσωση: , που σημαίνει το σύστημα είναι ασυνεπές(χωρίς λύσεις). Έτσι, οι συντελεστές των μεταβλητών δεν είναι ανάλογοι.

Συμπέρασμα: οι γραμμές τέμνονται

Σε πρακτικά προβλήματα, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το σχήμα λύσεων που μόλις συζητήσαμε. Παρεμπιπτόντως, θυμίζει πολύ τον αλγόριθμο για τον έλεγχο των διανυσμάτων για συγγραμμικότητα, τον οποίο εξετάσαμε στην τάξη Η έννοια της γραμμικής (αν)εξάρτησης διανυσμάτων. Βάση διανυσμάτων. Αλλά υπάρχει μια πιο πολιτισμένη συσκευασία:

Παράδειγμα 1

Βρείτε τη σχετική θέση των γραμμών:

Λύσημε βάση τη μελέτη κατευθυνόμενων διανυσμάτων ευθειών:

α) Από τις εξισώσεις βρίσκουμε τα διανύσματα κατεύθυνσης των ευθειών: .

, που σημαίνει ότι τα διανύσματα δεν είναι συγγραμμικά και οι γραμμές τέμνονται.

Για κάθε ενδεχόμενο, θα βάλω μια πέτρα με ταμπέλες στο σταυροδρόμι:

Οι υπόλοιποι πηδούν πάνω από την πέτρα και ακολουθούν παρακάτω, κατευθείαν στο Kashchei τον Αθάνατο =)

β) Να βρείτε τα διανύσματα κατεύθυνσης των ευθειών:

Οι γραμμές έχουν το ίδιο διάνυσμα κατεύθυνσης, που σημαίνει ότι είναι είτε παράλληλες είτε συμπίπτουσες. Δεν χρειάζεται να μετρήσουμε την ορίζουσα εδώ.

Είναι προφανές ότι οι συντελεστές των αγνώστων είναι ανάλογοι, και .

Ας μάθουμε αν ισχύει η ισότητα:

Ετσι,

γ) Να βρείτε τα διανύσματα κατεύθυνσης των ευθειών:

Ας υπολογίσουμε την ορίζουσα που αποτελείται από τις συντεταγμένες αυτών των διανυσμάτων:
, επομένως, τα διανύσματα κατεύθυνσης είναι συγγραμμικά. Οι γραμμές είναι είτε παράλληλες είτε συμπίπτουσες.

Ο συντελεστής αναλογικότητας "λάμδα" είναι εύκολο να φανεί απευθείας από την αναλογία των διανυσμάτων συγγραμμικής κατεύθυνσης. Ωστόσο, μπορεί επίσης να βρεθεί μέσω των συντελεστών των ίδιων των εξισώσεων: .

Τώρα ας μάθουμε αν ισχύει η ισότητα. Και οι δύο ελεύθεροι όροι είναι μηδέν, οπότε:

Η τιμή που προκύπτει ικανοποιεί αυτήν την εξίσωση (οποιοσδήποτε αριθμός γενικά την ικανοποιεί).

Έτσι, οι γραμμές συμπίπτουν.

Απάντηση:

Πολύ σύντομα θα μάθετε (ή θα έχετε ήδη μάθει) να λύνετε το πρόβλημα που συζητήθηκε προφορικά κυριολεκτικά μέσα σε λίγα δευτερόλεπτα. Από αυτή την άποψη, δεν βλέπω νόημα να προσφέρω κάτι ανεξάρτητη απόφαση, είναι καλύτερα να βάλετε ένα άλλο σημαντικό τούβλο στη γεωμετρική βάση:

Πώς να κατασκευάσετε μια ευθεία παράλληλη σε μια δεδομένη;

Για άγνοια αυτού απλούστερη εργασίαΟ Αηδόνι ο Ληστής τιμωρεί αυστηρά.

Παράδειγμα 2

Η ευθεία δίνεται από την εξίσωση. Να γράψετε μια εξίσωση για μια παράλληλη ευθεία που διέρχεται από το σημείο.

Λύση: Ας υποδηλώσουμε την άγνωστη γραμμή με το γράμμα . Τι λέει η κατάσταση για αυτήν; Η ευθεία διέρχεται από το σημείο. Και αν οι γραμμές είναι παράλληλες, τότε είναι προφανές ότι το διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας "tse" είναι επίσης κατάλληλο για την κατασκευή της ευθείας "de".

Βγάζουμε το διάνυσμα κατεύθυνσης από την εξίσωση:

Απάντηση:

Το παράδειγμα γεωμετρίας φαίνεται απλό:

Η αναλυτική δοκιμή αποτελείται από τα ακόλουθα βήματα:

1) Ελέγχουμε ότι οι γραμμές έχουν το ίδιο διάνυσμα κατεύθυνσης (αν η εξίσωση της ευθείας δεν απλοποιηθεί σωστά, τότε τα διανύσματα θα είναι συγγραμμικά).

2) Ελέγξτε αν το σημείο ικανοποιεί την εξίσωση που προκύπτει.

Στις περισσότερες περιπτώσεις, η αναλυτική εξέταση μπορεί να πραγματοποιηθεί εύκολα από το στόμα. Κοιτάξτε τις δύο εξισώσεις και πολλοί από εσάς θα προσδιορίσετε γρήγορα τον παραλληλισμό των γραμμών χωρίς κανένα σχέδιο.

Τα παραδείγματα για ανεξάρτητες λύσεις σήμερα θα είναι δημιουργικά. Γιατί θα πρέπει ακόμα να συναγωνιστείς την Μπάμπα Γιάγκα και εκείνη, ξέρεις, είναι λάτρης όλων των ειδών των γρίφων.

Παράδειγμα 3

Γράψτε μια εξίσωση για μια ευθεία που διέρχεται από ένα σημείο παράλληλο στην ευθεία αν

Υπάρχει ένας λογικός και όχι τόσο ορθολογικός τρόπος να το λύσουμε. Πλέον συντομότερος τρόπος- στο τέλος του μαθήματος.

Δουλέψαμε λίγο με παράλληλες γραμμές και θα επιστρέψουμε σε αυτές αργότερα. Η περίπτωση των γραμμών που συμπίπτουν δεν έχει μικρό ενδιαφέρον, οπότε ας εξετάσουμε ένα πρόβλημα που σας είναι πολύ γνωστό από το σχολικό πρόγραμμα σπουδών:

Πώς να βρείτε το σημείο τομής δύο ευθειών;

Αν ευθεία τέμνονται στο σημείο , τότε οι συντεταγμένες του είναι η λύση συστήματα γραμμικών εξισώσεων

Πώς να βρείτε το σημείο τομής των γραμμών; Λύστε το σύστημα.

Ορίστε γεωμετρική σημασίασυστήματα δύο γραμμικών εξισώσεων σε δύο άγνωστα- αυτές είναι δύο τεμνόμενες (τις περισσότερες φορές) γραμμές σε ένα επίπεδο.

Παράδειγμα 4

Βρείτε το σημείο τομής των ευθειών

Λύση: Υπάρχουν δύο τρόποι επίλυσης - γραφικός και αναλυτικός.

Η γραφική μέθοδος είναι απλά να σχεδιάσετε τις δεδομένες γραμμές και να βρείτε το σημείο τομής απευθείας από το σχέδιο:

Εδώ είναι το θέμα μας: . Για να ελέγξετε, θα πρέπει να αντικαταστήσετε τις συντεταγμένες της σε κάθε εξίσωση της γραμμής, θα πρέπει να ταιριάζουν και εκεί και εκεί. Με άλλα λόγια, οι συντεταγμένες ενός σημείου είναι μια λύση στο σύστημα. Ουσιαστικά, εξετάσαμε μια γραφική λύση συστήματα γραμμικών εξισώσεωνμε δύο εξισώσεις, δύο άγνωστους.

Η γραφική μέθοδος, φυσικά, δεν είναι κακή, αλλά υπάρχουν αξιοσημείωτα μειονεκτήματα. Όχι, το θέμα δεν είναι ότι οι μαθητές της έβδομης τάξης αποφασίζουν έτσι, το θέμα είναι ότι θα χρειαστεί χρόνος για να δημιουργήσετε ένα σωστό και ΑΚΡΙΒΗ σχέδιο. Επιπλέον, ορισμένες ευθείες γραμμές δεν είναι τόσο εύκολο να κατασκευαστούν και το ίδιο το σημείο τομής μπορεί να βρίσκεται κάπου στο τριακοστό βασίλειο έξω από το φύλλο του σημειωματάριου.

Επομένως, είναι πιο σκόπιμο να αναζητήσετε το σημείο τομής αναλυτική μέθοδος. Ας λύσουμε το σύστημα:

Για την επίλυση του συστήματος χρησιμοποιήθηκε η μέθοδος της πρόσθεσης εξισώσεων κατά όρο. Για να αναπτύξετε σχετικές δεξιότητες, κάντε ένα μάθημα Πώς να λύσετε ένα σύστημα εξισώσεων;

Απάντηση:

Ο έλεγχος είναι ασήμαντος - οι συντεταγμένες του σημείου τομής πρέπει να ικανοποιούν κάθε εξίσωση του συστήματος.

Παράδειγμα 5

Να βρείτε το σημείο τομής των ευθειών αν τέμνονται.

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να το λύσετε μόνοι σας. Είναι βολικό να χωρίσετε την εργασία σε διάφορα στάδια. Η ανάλυση της κατάστασης υποδηλώνει ότι είναι απαραίτητο:
1) Να γράψετε την εξίσωση της ευθείας.
2) Να γράψετε την εξίσωση της ευθείας.
3) Βρείτε τη σχετική θέση των γραμμών.
4) Εάν οι ευθείες τέμνονται, τότε βρείτε το σημείο τομής.

Η ανάπτυξη ενός αλγορίθμου δράσης είναι χαρακτηριστική για πολλά γεωμετρικά προβλήματα και θα επικεντρωθώ επανειλημμένα σε αυτό.

Πλήρης λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος:

Ούτε ένα ζευγάρι παπούτσια δεν είχε φθαρεί πριν φτάσουμε στη δεύτερη ενότητα του μαθήματος:

Κάθετες γραμμές. Απόσταση από ένα σημείο σε μια γραμμή.
Γωνία μεταξύ ευθειών

Ας ξεκινήσουμε με μια τυπική και πολύ σημαντική εργασία. Στο πρώτο μέρος, μάθαμε πώς να χτίζουμε μια ευθεία γραμμή παράλληλη με αυτήν και τώρα η καλύβα στα μπούτια κοτόπουλου θα γυρίσει 90 μοίρες:

Πώς να κατασκευάσετε μια ευθεία κάθετη σε μια δεδομένη;

Παράδειγμα 6

Η ευθεία δίνεται από την εξίσωση. Να γράψετε μια εξίσωση κάθετη στην ευθεία που διέρχεται από το σημείο.

Λύση: Κατά συνθήκη είναι γνωστό ότι . Θα ήταν ωραίο να βρούμε το σκηνοθετικό διάνυσμα της γραμμής. Δεδομένου ότι οι γραμμές είναι κάθετες, το κόλπο είναι απλό:

Από την εξίσωση «αφαιρούμε» το κανονικό διάνυσμα: , που θα είναι το κατευθυντικό διάνυσμα της ευθείας.

Ας συνθέσουμε την εξίσωση μιας ευθείας χρησιμοποιώντας ένα σημείο και ένα διάνυσμα κατεύθυνσης:

Απάντηση:

Ας επεκτείνουμε το γεωμετρικό σκίτσο:

Χμμμ... Πορτοκαλί ουρανός, πορτοκαλί θάλασσα, πορτοκαλί καμήλα.

Αναλυτική επαλήθευση της λύσης:

1) Βγάζουμε τα διανύσματα κατεύθυνσης από τις εξισώσεις και με τη βοήθεια κλιμακωτό γινόμενο διανυσμάτωνκαταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι οι ευθείες είναι όντως κάθετες: .

Παρεμπιπτόντως, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε κανονικά διανύσματα, είναι ακόμα πιο εύκολο.

2) Ελέγξτε αν το σημείο ικανοποιεί την εξίσωση που προκύπτει .

Το τεστ, πάλι, είναι εύκολο να γίνει από το στόμα.

Παράδειγμα 7

Να βρείτε το σημείο τομής των κάθετων ευθειών αν η εξίσωση είναι γνωστή και περίοδος.

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να το λύσετε μόνοι σας. Υπάρχουν πολλές ενέργειες στο πρόβλημα, επομένως είναι βολικό να διατυπώσετε τη λύση σημείο προς σημείο.

Το συναρπαστικό μας ταξίδι συνεχίζεται:

Απόσταση από σημείο σε γραμμή

Μπροστά μας είναι μια ευθεία λωρίδα του ποταμού και καθήκον μας είναι να φτάσουμε σε αυτήν από τη συντομότερη διαδρομή. Δεν υπάρχουν εμπόδια και η βέλτιστη διαδρομή θα είναι η κίνηση κατά μήκος της κάθετης. Δηλαδή, η απόσταση από ένα σημείο σε μια ευθεία είναι το μήκος του κάθετου τμήματος.

Η απόσταση στη γεωμετρία υποδηλώνεται παραδοσιακά με το ελληνικό γράμμα «rho», για παράδειγμα: – η απόσταση από το σημείο «em» έως την ευθεία «de».

Απόσταση από σημείο σε γραμμή εκφράζεται με τον τύπο

Παράδειγμα 8

Βρείτε την απόσταση από ένα σημείο σε μια ευθεία

Λύση: το μόνο που χρειάζεται να κάνετε είναι να αντικαταστήσετε προσεκτικά τους αριθμούς στον τύπο και να εκτελέσετε τους υπολογισμούς:

Απάντηση:

Ας κάνουμε το σχέδιο:

Η απόσταση που βρέθηκε από το σημείο μέχρι τη γραμμή είναι ακριβώς το μήκος του κόκκινου τμήματος. Εάν σχεδιάσετε ένα σχέδιο σε καρό χαρτί σε κλίμακα 1 μονάδας. = 1 cm (2 κελιά), τότε η απόσταση μπορεί να μετρηθεί με έναν συνηθισμένο χάρακα.

Ας εξετάσουμε μια άλλη εργασία που βασίζεται στο ίδιο σχέδιο:

Το καθήκον είναι να βρούμε τις συντεταγμένες ενός σημείου που είναι συμμετρικό προς το σημείο σε σχέση με την ευθεία . Προτείνω να εκτελέσετε τα βήματα μόνοι σας, αλλά θα περιγράψω τον αλγόριθμο λύσης με ενδιάμεσα αποτελέσματα:

1) Βρείτε μια ευθεία που είναι κάθετη στην ευθεία.

2) Βρείτε το σημείο τομής των ευθειών: .

Και οι δύο ενέργειες συζητούνται λεπτομερώς σε αυτό το μάθημα.

3) Το σημείο είναι το μέσο του τμήματος. Γνωρίζουμε τις συντεταγμένες της μέσης και ενός από τα άκρα. Με τύποι για τις συντεταγμένες του μέσου ενός τμήματοςβρίσκουμε .

Καλό θα ήταν να ελέγξετε ότι η απόσταση είναι επίσης 2,2 μονάδες.

Μπορεί να προκύψουν δυσκολίες στους υπολογισμούς εδώ, αλλά ένας μικροϋπολογιστής είναι μια μεγάλη βοήθεια στον πύργο, επιτρέποντάς σας να μετράτε κοινά κλάσματα. Σας έχω συμβουλέψει πολλές φορές και θα σας προτείνω ξανά.

Πώς να βρείτε την απόσταση μεταξύ δύο παράλληλων ευθειών;

Παράδειγμα 9

Βρείτε την απόσταση μεταξύ δύο παράλληλων ευθειών

Αυτό είναι ένα άλλο παράδειγμα για να αποφασίσετε μόνοι σας. Θα σας δώσω μια μικρή υπόδειξη: υπάρχουν άπειροι τρόποι για να το λύσετε αυτό. Απολογισμός στο τέλος του μαθήματος, αλλά είναι καλύτερο να προσπαθήσετε να μαντέψετε μόνοι σας, νομίζω ότι η εφευρετικότητά σας ήταν καλά αναπτυγμένη.

Γωνία μεταξύ δύο ευθειών

Κάθε γωνιά είναι ένα τζάμπα:

Στη γεωμετρία, η γωνία μεταξύ δύο ευθειών λαμβάνεται ως η ΜΙΚΡΟΤΕΡΗ γωνία, από την οποία αυτόματα προκύπτει ότι δεν μπορεί να είναι αμβλεία. Στο σχήμα, η γωνία που υποδεικνύεται από το κόκκινο τόξο δεν θεωρείται η γωνία μεταξύ τεμνόμενων γραμμών. Και ο «πράσινος» γείτονάς του ή αντίθετα προσανατολισμέναγωνία "βατόμουρου".

Εάν οι ευθείες είναι κάθετες, τότε οποιαδήποτε από τις 4 γωνίες μπορεί να ληφθεί ως γωνία μεταξύ τους.

Πώς διαφέρουν οι γωνίες; Προσανατολισμός. Πρώτον, η κατεύθυνση στην οποία η γωνία "κύλιση" είναι θεμελιωδώς σημαντική. Δεύτερον, μια αρνητικά προσανατολισμένη γωνία γράφεται με αρνητικό πρόσημο, για παράδειγμα εάν .

Γιατί σας το είπα αυτό; Φαίνεται ότι μπορούμε να τα βγάλουμε πέρα με τη συνηθισμένη έννοια της γωνίας. Γεγονός είναι ότι οι τύποι με τους οποίους θα βρούμε γωνίες μπορούν εύκολα να οδηγήσουν σε αρνητικό αποτέλεσμα και αυτό δεν πρέπει να σας εκπλήξει. Μια γωνία με σύμβολο μείον δεν είναι χειρότερη και έχει μια πολύ συγκεκριμένη γεωμετρική σημασία. Στο σχέδιο, για αρνητική γωνία, φροντίστε να υποδείξετε τον προσανατολισμό του με ένα βέλος (δεξιόστροφα).

Πώς να βρείτε τη γωνία μεταξύ δύο ευθειών;Υπάρχουν δύο τύποι εργασίας:

Παράδειγμα 10

Βρείτε τη γωνία μεταξύ των γραμμών

ΛύσηΚαι Μέθοδος ένα

Ας εξετάσουμε δύο ευθείες γραμμές που ορίζονται από εξισώσεις σε γενική μορφή:

Αν ευθεία όχι κάθετο, Οτι προσανατολισμένηΗ γωνία μεταξύ τους μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Ας δώσουμε ιδιαίτερη προσοχή στον παρονομαστή - αυτό ακριβώς είναι κλιμακωτό προϊόνκατευθυντικά διανύσματα ευθειών:

Αν , τότε ο παρονομαστής του τύπου γίνεται μηδέν, και τα διανύσματα θα είναι ορθογώνια και οι ευθείες θα είναι κάθετες. Γι' αυτό διατυπώθηκε επιφύλαξη για τη μη καθετότητα των ευθειών στη διατύπωση.

Με βάση τα παραπάνω, είναι βολικό να επισημοποιήσετε τη λύση σε δύο βήματα:

1) Ας υπολογίσουμε το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων κατεύθυνσης των γραμμών:
, που σημαίνει ότι οι γραμμές δεν είναι κάθετες.

2) Βρείτε τη γωνία μεταξύ των ευθειών χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Χρησιμοποιώντας την αντίστροφη συνάρτηση, είναι εύκολο να βρείτε την ίδια τη γωνία. Σε αυτήν την περίπτωση, χρησιμοποιούμε την περιττότητα της εφαπτομένης (βλ. Γραφήματα και ιδιότητες στοιχειωδών συναρτήσεων):

Απάντηση:

Στην απάντησή σας, υποδεικνύουμε την ακριβή τιμή, καθώς και μια κατά προσέγγιση τιμή (κατά προτίμηση και σε μοίρες και ακτίνια), που υπολογίζεται χρησιμοποιώντας μια αριθμομηχανή.

Λοιπόν, μείον, μείον, δεν υπάρχει μεγάλη υπόθεση. Εδώ είναι μια γεωμετρική απεικόνιση:

Δεν προκαλεί έκπληξη το γεγονός ότι η γωνία αποδείχθηκε αρνητικός προσανατολισμός, επειδή στη δήλωση του προβλήματος ο πρώτος αριθμός είναι μια ευθεία γραμμή και το "ξεβίδωμα" της γωνίας ξεκίνησε ακριβώς με αυτό.

Εάν θέλετε πραγματικά να έχετε μια θετική γωνία, πρέπει να ανταλλάξετε τις γραμμές, δηλαδή να πάρετε τους συντελεστές από τη δεύτερη εξίσωση , και πάρτε τους συντελεστές από την πρώτη εξίσωση. Εν ολίγοις, πρέπει να ξεκινήσετε με ένα άμεσο .

Αν οι ευθείες τέμνονται σε ένα σημείο, τότε οι συντεταγμένες του είναι η λύση συστήματα γραμμικών εξισώσεων

Πώς να βρείτε το σημείο τομής των γραμμών; Λύστε το σύστημα.

Ορίστε γεωμετρική έννοια ενός συστήματος δύο γραμμικών εξισώσεων με δύο αγνώστους- αυτές είναι δύο τεμνόμενες (τις περισσότερες φορές) γραμμές σε ένα επίπεδο.

Είναι βολικό να χωρίσετε την εργασία σε διάφορα στάδια. Η ανάλυση της κατάστασης υποδηλώνει ότι είναι απαραίτητο:
1) Να σχηματίσετε μια εξίσωση μιας ευθείας.
2) Γράψτε μια εξίσωση για τη δεύτερη γραμμή.
3) Βρείτε τη σχετική θέση των γραμμών.
4) Εάν οι ευθείες τέμνονται, τότε βρείτε το σημείο τομής.

Παράδειγμα 13.

Βρείτε το σημείο τομής των ευθειών

Λύση: Συνιστάται να αναζητήσετε το σημείο τομής χρησιμοποιώντας την αναλυτική μέθοδο. Ας λύσουμε το σύστημα:

Απάντηση:

Σελ.6.4. Απόσταση από σημείο σε γραμμή

Απόσταση από το σημείο σε ευθεία γραμμή εκφράζεται με τον τύπο

Παράδειγμα 14.

Βρείτε την απόσταση από ένα σημείο σε μια ευθεία

Απάντηση:

Σελ.6.5. Γωνία μεταξύ ευθειών.

Παράδειγμα 15.

Βρείτε τη γωνία μεταξύ των γραμμών.

1. Ελέγξτε αν οι γραμμές είναι κάθετες:

Ας υπολογίσουμε το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων κατεύθυνσης των γραμμών:
, που σημαίνει ότι οι γραμμές δεν είναι κάθετες.
2. Βρείτε τη γωνία μεταξύ ευθειών χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Ετσι:

Απάντηση:

Καμπύλες δεύτερης τάξης. Κύκλος

Αφήστε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων 0xy να καθοριστεί στο επίπεδο.

Καμπύλη δεύτερης τάξηςείναι μια ευθεία σε ένα επίπεδο που ορίζεται από μια εξίσωση του δεύτερου βαθμού σε σχέση με τις τρέχουσες συντεταγμένες του σημείου M(x, y, z). Σε γενικές γραμμές, αυτή η εξίσωση μοιάζει με:

όπου οι συντελεστές A, B, C, D, E, L είναι οποιοιδήποτε πραγματικοί αριθμοί, και τουλάχιστον ένας από τους αριθμούς A, B, C είναι μη μηδενικός.

1.Κύκλοςείναι το σύνολο των σημείων του επιπέδου, η απόσταση από τα οποία σε ένα σταθερό σημείο M 0 (x 0, y 0) είναι σταθερή και ίση με R. Το σημείο M 0 ονομάζεται κέντρο του κύκλου και ο αριθμός R είναι ακτίνα κύκλου

– εξίσωση κύκλου με κέντρο στο σημείο M 0 (x 0, y 0) και ακτίνα R.

Αν το κέντρο του κύκλου συμπίπτει με την αρχή των συντεταγμένων, τότε έχουμε:

– κανονική εξίσωση κύκλου.

Ελλειψη.

Ελλειψηείναι ένα σύνολο σημείων σε ένα επίπεδο, για καθένα από τα οποία το άθροισμα των αποστάσεων σε δύο δεδομένα σημεία είναι σταθερή τιμή (και αυτή η τιμή είναι μεγαλύτερη από τις αποστάσεις μεταξύ αυτών των σημείων). Αυτά τα σημεία ονομάζονται εστίες έλλειψης.

είναι η κανονική εξίσωση της έλλειψης.

Η σχέση λέγεται εκκεντρικότηταέλλειψη και συμβολίζεται με: , . Από τότε< 1.

Κατά συνέπεια, όσο μειώνεται ο λόγος, τείνει στο 1, δηλ. Το b διαφέρει ελάχιστα από το a και το σχήμα της έλλειψης πλησιάζει περισσότερο το σχήμα ενός κύκλου. Στην περιοριστική περίπτωση όταν , παίρνουμε έναν κύκλο του οποίου η εξίσωση είναι

x 2 + y 2 = a 2.

Υπερβολή

Υπερβολήείναι ένα σύνολο σημείων σε ένα επίπεδο, για καθένα από τα οποία η απόλυτη τιμή της διαφοράς αποστάσεων σε δύο δεδομένα σημεία, που ονομάζεται κόλπα, είναι μια σταθερή ποσότητα (με την προϋπόθεση ότι αυτή η ποσότητα είναι μικρότερη από την απόσταση μεταξύ των εστιών και δεν είναι ίση με 0).

Έστω F 1, F 2 οι εστίες, η απόσταση μεταξύ τους θα συμβολίζεται με 2c, την παράμετρο της παραβολής).

– κανονική εξίσωση παραβολής.

Σημειώστε ότι η εξίσωση για το αρνητικό p καθορίζει επίσης μια παραβολή, η οποία θα βρίσκεται στα αριστερά του άξονα 0y. Η εξίσωση περιγράφει μια παραβολή, συμμετρική ως προς τον άξονα 0y, που βρίσκεται πάνω από τον άξονα 0x για p > 0 και βρίσκεται κάτω από τον άξονα 0x για p< 0.