ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಯೋಜನೆ "ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣಗಳು"

ವಾಕ್ಯಗಳನ್ನು ಮುಗಿಸಿ: 1). ಸಮೀಕರಣವು ... 2). ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವು ... 3). ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಎಂದರೆ...

I. ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಮೌಖಿಕವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಿ: 1). 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 6 x + 18=0 2 x + 5=0 5 x – 3=0 -3 x + 9=0 -5 x + 1=0 -2 x – 10=0 6 x – 7=5 x 9 x + 6 \u003d 10 x 5 x - 12 \u003d 8 x

ಕೆಳಗಿನ ಯಾವ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ: a). 2 x - 14 \u003d x + 7 b). 2 x - 14 \u003d 2 (x - 7) c). x - 7 \u003d 2 x + 14 ಗ್ರಾಂ). 2 x - 14 \u003d 2 x + 7?

ಯಾವ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಅನಂತ ಅನೇಕ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ: a). 4 x - 12 = x - 12 b). 4 x - 12 \u003d 4 x + 12 c). 4(x - 3) = 4 x - 12 ಗ್ರಾಂ). 4 (x - 3) \u003d x - 10?

ನೋಟದ ಸಮೀಕರಣಗಳು kx + b = 0, ಅಲ್ಲಿ k, b ಗೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ರೇಖೀಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್: 1). ತೆರೆದ ಆವರಣಗಳು 2). ಅಜ್ಞಾತವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪದಗಳನ್ನು ಎಡಭಾಗಕ್ಕೆ ಸರಿಸಿ, ಮತ್ತು ಅಜ್ಞಾತವನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಪದಗಳನ್ನು ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ಸರಿಸಿ (ವರ್ಗಾವಣೆ ಮಾಡಿದ ಸದಸ್ಯರ ಚಿಹ್ನೆಯು ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿದೆ); 3) ಸದಸ್ಯರಂತೆ ತರಲು; 4) ಅಜ್ಞಾತದ ಗುಣಾಂಕದಿಂದ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಭಾಗಿಸಿ, ಅದು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ.

ನೋಟ್‌ಬುಕ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಿ ಗುಂಪು I: ಸಂಖ್ಯೆ 681 ಪುಟ 63 6 (4 -x) + 3 x \u003d 3 ಗುಂಪು III: ಸಂಖ್ಯೆ 767 ಪುಟ 67 (x + 6) 2 + (x + 3) 2 \u003d 2 x 2 ಸಮೀಕರಣಗಳು: II ಗುಂಪು: ಸಂಖ್ಯೆ 697 ಪುಟ 63 x-1 + (x + 2) \u003d -4 (-5 -x) -5

ax2 + bx + c \u003d 0 ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣ, ಅಲ್ಲಿ a ≠ 0, b, c ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಇದನ್ನು ಚೌಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಪೂರ್ಣ ಸಮೀಕರಣಗಳು: ax2 + bx =0 (c=0), ax2 + c =0 (b=0).

II. ಮೌಖಿಕವಾಗಿ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ, ಅವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಥವಾ ಅಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂಬುದನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ: 1). x2 + 15 x=0 2). -x2 +2 x = 0 3). x2 -25=0 4). -х2 +9 =0 5). -x2 - 16 \u003d 0 6). x2 - 8 x + 15=0 7). x2 + 5 x + 6=0 8). x2 + x - 12 =0 9). (-x-5)(-x+ 6)=0 10). x2 -4 x +4 =0

ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು: 1). ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಯಾವ ಗುಣವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗಿದೆ? 2) ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಬಹುಪದವನ್ನು ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸುವ ಯಾವ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗಿದೆ? 3) ಸಂಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಯಾವುದು?

1) ಎರಡು ಅಂಶಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಎರಡನೆಯದು ಅದರ ಅರ್ಥವನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ: ab = 0 ವೇಳೆ a = 0 ಅಥವಾ b = 0. 2). ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಮತ್ತು 2 - ಬಿ 2 \u003d (a - b) (a + b) - ಚೌಕಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಸೂತ್ರ. 3) ಸಂಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣ ax2 + bx + c = o. D=b 2 – 4 ac, D>0 ಆಗಿದ್ದರೆ, 2 ಬೇರುಗಳು; D = 0, 1 ಮೂಲ; ಡಿ

ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಪ್ರಮೇಯ ಸಂವಾದ: a, b, c, x 1 ಮತ್ತು x 2 ಸಂಖ್ಯೆಗಳು x 1 x 2 \u003d x 1 + x 2 \u003d, ಮತ್ತು x 2 ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳು a x 2 + bx + ಸಿ \u003d 0

ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ: ಗುಂಪು I: ಸಂಖ್ಯೆ 802 ಪು. 71 x2 - 5 x- 36 = 0 ಗುಂಪು II: ಸಂಖ್ಯೆ 810 ಪುಟ 71 3 x2 - x + 21 = 5 x2 ಗುಂಪು III: x4 -5 x2 - 36 = 0

III. ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ: ಗುಂಪು I ಮತ್ತು II: ಸಂಖ್ಯೆ 860 ಗುಂಪು III: =0 =0 ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಏನೆಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ? ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಯಾವ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ?

ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಮೀಕರಣವು =0 ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಅಂಶವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಛೇದವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಒಂದು ಭಾಗವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. =0 ಆಗಿದ್ದರೆ a = 0, b≠ 0.

ಗಣಿತದ ಇತಿಹಾಸದಿಂದ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಮತ್ತು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಪ್ರಾಚೀನ ಈಜಿಪ್ಟಿನ ಗಣಿತಜ್ಞರನ್ನು ಸಹ ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಯಿತು. ಪರ್ಷಿಯನ್ ಮಧ್ಯಕಾಲೀನ ವಿಜ್ಞಾನಿ ಅಲ್-ಖ್ವಾರಿಜ್ಮಿ (IX ಶತಮಾನ) ರೇಖೀಯ ಮತ್ತು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಧಾನಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಸ್ವತಂತ್ರ ವಿಜ್ಞಾನವಾಗಿ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಮೊದಲು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು, ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡಿದರು. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಹೊಸ ಮಹಾನ್ ಪ್ರಗತಿಯು ಫ್ರೆಂಚ್ ವಿಜ್ಞಾನಿ ಫ್ರಾಂಕೋಯಿಸ್ ವಿಯೆಟಾ (XVI ಶತಮಾನ) ಹೆಸರಿನೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಅವರು ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳ ಮೇಲೆ ಅವರು ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾರೆ. ಮತ್ತು ಲ್ಯಾಟಿನ್ ವರ್ಣಮಾಲೆಯ (x, y, z) ಕೊನೆಯ ಅಕ್ಷರಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಜ್ಞಾತ ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಸಂಪ್ರದಾಯಕ್ಕೆ ನಾವು ಇನ್ನೊಬ್ಬ ಫ್ರೆಂಚ್ ಗಣಿತಜ್ಞ - ರೆನೆ ಡೆಸ್ಕಾರ್ಟೆಸ್ (XVII) ಗೆ ಬದ್ಧರಾಗಿದ್ದೇವೆ.

ಸೈಟ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೋಮ್ವರ್ಕ್ ಕೆಲಸ: - ಓಪನ್ ಬ್ಯಾಂಕ್ ಆಫ್ ಟಾಸ್ಕ್ಗಳು OGE (ಗಣಿತ) http: //85. 142.162.126/os/xmodules/qprint/index. php? proj=DE 0 E 276 E 49 7 AB 3784 C 3 FC 4 CC 20248 DC 0 ; - "ನಾನು OGE ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇನೆ" D. Gushchin ಮೂಲಕ https: //oge. sdamgia. ರು/ ; - A. Larin ನ ವೆಬ್‌ಸೈಟ್ (ಆಯ್ಕೆ 119) http: //alexlarin. ನಿವ್ವಳ /. ಬೋಧನಾ ಸಾಧನಗಳು: - ಯು.ಎಂ. ಕೊಲಿಯಾಗಿನ್ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ "ಬೀಜಗಣಿತ ಗ್ರೇಡ್ 9", ಎಂ., "ಜ್ಞಾನೋದಯ", 2014, ಪು. 308 -310; - "3000 ಕಾರ್ಯಗಳು" ಅಡಿಯಲ್ಲಿ. I. V. Yashchenko, M., "ಪರೀಕ್ಷೆ", 2017, ಪು. 5974.

ಪೋಷಕರಿಗೆ ಮಾಹಿತಿ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ OGE ಗಾಗಿ ತಯಾರಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆ 1). ಪಾಠಗಳಲ್ಲಿ ಏಕಕಾಲಿಕ ಪುನರಾವರ್ತನೆ 2). ವರ್ಷದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಅಂತಿಮ ಪುನರಾವರ್ತನೆ 3). ಚುನಾಯಿತ ತರಗತಿಗಳು (ಶನಿವಾರದಂದು) 4). ಹೋಮ್ವರ್ಕ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ - ಸೈಟ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಿ OGE, ಓಪನ್ ಬ್ಯಾಂಕ್ FIPI, A. ಲ್ಯಾರಿನ್ ಸೈಟ್. 5) ವೈಯಕ್ತಿಕ ಸಮಾಲೋಚನೆಗಳು (ಸೋಮವಾರದಂದು)

ಬೀಜಗಣಿತ ಮಾಡ್ಯೂಲ್‌ನಲ್ಲಿನ ನಾಲ್ಕನೇ ಕಾರ್ಯವು ಶಕ್ತಿಗಳು ಮತ್ತು ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸುತ್ತದೆ.

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ OGE ನ ಕಾರ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ 4 ಅನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿದಾಗ, ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ಕೌಶಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ಸಹ ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನೀವು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಘಾತದೊಂದಿಗೆ ಡಿಗ್ರಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಬೇಕಾಗಬಹುದು, ಬಹುಪದಗಳೊಂದಿಗೆ, ತರ್ಕಬದ್ಧ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ರೂಪಾಂತರಗಳು.

ಮುಖ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ವಸ್ತುಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ, ತರ್ಕಬದ್ಧ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಅನುಷ್ಠಾನ, ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಅಂಶಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವುದು, ಶೇಕಡಾವಾರು ಮತ್ತು ಅನುಪಾತಗಳ ಬಳಕೆ ಮತ್ತು ವಿಭಜನೆಯ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಕಾರ್ಯಗಳು ಇರಬಹುದು.

ಕಾರ್ಯ 4 ರಲ್ಲಿನ ಉತ್ತರವು ಸಂಖ್ಯೆ 1 ರಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ; 2; 3; 4 ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಪ್ರಸ್ತಾವಿತ ಉತ್ತರದ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ.

ಕಾರ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ 4 ಗಾಗಿ ಸಿದ್ಧಾಂತ

ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ವಸ್ತುಗಳಿಂದ, ನಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿದೆ ಪದವಿಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುವ ನಿಯಮಗಳು:

ಜೊತೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವ ನಿಯಮಗಳು ಬೇರೂರಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು:

ನನ್ನ ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಿದ ಆಯ್ಕೆಗಳಲ್ಲಿ, ಈ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ - ಮೂರನೇ ಕಾರ್ಯದ ಮೊದಲ ಆಯ್ಕೆಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ, ಪದವಿಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಆಯ್ಕೆಗಳಲ್ಲಿ, ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ 4 OGE ಗಾಗಿ ವಿಶಿಷ್ಟ ಆಯ್ಕೆಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ

ಕಾರ್ಯದ ಮೊದಲ ಆವೃತ್ತಿ

n ನ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಯಾವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು 121 11 n ನ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ?

121n
11n+2
112n
11n+3

ಪರಿಹಾರ:

ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಡಿ ಪದವಿ ನಿಯಮಗಳು :

ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ಘಾತಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ
ವಿಭಾಗದ ಪದವಿಗಳನ್ನು ಕಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ
ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಶಕ್ತಿಗೆ ಏರಿಸುವಾಗ, ಶಕ್ತಿಗಳು ಗುಣಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ
ಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುವಾಗ, ಡಿಗ್ರಿಗಳನ್ನು ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ

ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ 121 ಅನ್ನು 11 ರ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ ಇದು 11 2 .

121 11 n = 11 2 11 n

ಗುಣಾಕಾರ ನಿಯಮವನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ನಾವು ಡಿಗ್ರಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ:

11 2 11 n = 11 n+2

ಆದ್ದರಿಂದ, ಎರಡನೇ ಉತ್ತರವು ನಮಗೆ ಸರಿಹೊಂದುತ್ತದೆ.

ಕಾರ್ಯದ ಎರಡನೇ ಆವೃತ್ತಿ

ಕೆಳಗಿನ ಯಾವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ?

2√11
2√10

ಪರಿಹಾರ:

ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ನೀವು ಎಲ್ಲಾ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪಕ್ಕೆ ತರಬೇಕು - ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿ:

ನಾವು ರೂಟ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ 3 ಅನ್ನು ಸರಿಸುತ್ತೇವೆ:

3√5 = √(3² 5) = √(9 5) = √45

ನಾವು ರೂಟ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ 2 ಅನ್ನು ಸರಿಸುತ್ತೇವೆ:

2√11 = √(2² 11) = √(4 11) =√44

ನಾವು ರೂಟ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ 2 ಅನ್ನು ಸರಿಸುತ್ತೇವೆ:

2√10 = √(2² 10) = √(4 10) =√40

ವರ್ಗ 6.5:

6.5 = √(6.5²) = √42.25

ಎಲ್ಲಾ ಫಲಿತಾಂಶದ ಆಯ್ಕೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ:

3√5 = √45
2√11 = √44
2√10 = √40
6,5 = √42,25

ಆದ್ದರಿಂದ, ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರವು ಮೊದಲನೆಯದು.

ಕಾರ್ಯದ ಮೂರನೇ ಆವೃತ್ತಿ

ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದು ಭಾಗಲಬ್ಧವಾಗಿದೆ?

√810
√8,1
√0,81
ಈ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅಭಾಗಲಬ್ಧವಾಗಿವೆ

ಪರಿಹಾರ:

ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ನೀವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವರ್ತಿಸಬೇಕು:

ಮೊದಲಿಗೆ, ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ - ಇದು ಸಂಖ್ಯೆ 9, ಅದರ ವರ್ಗ 81 ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ಮತ್ತು ಇದು ಈಗಾಗಲೇ ಉತ್ತರಗಳಲ್ಲಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಿಗೆ ಸ್ವಲ್ಪಮಟ್ಟಿಗೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಮುಂದೆ, ಸಂಖ್ಯೆ 9 ರ ರೂಪಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ - ಅವುಗಳು ಹೀಗಿರಬಹುದು:

ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:

0.9 = √(0.9)² = √0.81

90 = √(90²) = √8100

ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಂಖ್ಯೆ √0.81 ಭಾಗಲಬ್ಧವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಇತರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು

9 ಚೌಕಾಕಾರದ ಆಕಾರವನ್ನು ಹೋಲುತ್ತವೆಯಾದರೂ, ಅವು ತರ್ಕಬದ್ಧವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ಆದ್ದರಿಂದ ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರ ಮೂರನೆಯದು.

ನಾಲ್ಕನೇ ಆಯ್ಕೆ

ನನ್ನ ಸಮುದಾಯದ ಸದಸ್ಯರ ಕೋರಿಕೆಯ ಮೇರೆಗೆ ಕಡಿಮೆಯಾಯಿತು ಡಯಾನಾ, ನಾನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕಾರ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ 4 ರ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇನೆ:

ಈ ಕೆಳಗಿನ ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ?

ಪರಿಹಾರ:

ಛೇದದಲ್ಲಿ (4 - √14) ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಅದನ್ನು ನಾವು ತೊಡೆದುಹಾಕಬೇಕಾಗಿದೆ. ಅದನ್ನು ಹೇಗೆ ಮಾಡುವುದು?

ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕಾಗಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ ಚೌಕಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ! ಈ ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿ ಅದನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸಲು, ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ನೀವು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆ ಅಥವಾ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ ಭಾಗವು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಚೌಕಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕಾಗಿ, ನಾವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ (4 + √14), ಅಂದರೆ ನಾವು ಅದರ ಮೂಲಕ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಅದರ ನಂತರ, ಅಂಶದಲ್ಲಿ ನಾವು 4 + √14 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಛೇದದಲ್ಲಿ ವರ್ಗಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ: 4² - (√14)². ಅದರ ನಂತರ, ಛೇದವನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ, ನಮ್ಮ ಕ್ರಿಯೆಗಳು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತವೆ:

ಐದನೇ ಆಯ್ಕೆ (OGE 2017 ರ ಡೆಮೊ ಆವೃತ್ತಿ)

ಯಾವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ?

√6-3
√3 √5
(√5)²
(√6-3)²

ಪರಿಹಾರ:

ಈ ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಕೌಶಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಪರಿಹಾರದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಉತ್ತರವನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸೋಣ:

√6 ಸ್ವತಃ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ, ಅಂತಹ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಇದು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವರ್ಗಗಳಿಂದ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಲು ತರ್ಕಬದ್ಧವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಸಾಕು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 4, 9, 16, 25...

ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ತನ್ನನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಬೇರೆ ಯಾವುದನ್ನಾದರೂ ಕಳೆಯುವಾಗ, ಮತ್ತೆ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ, ಹೀಗಾಗಿ, ಈ ಆವೃತ್ತಿಯಲ್ಲಿ, ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಬೇರುಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವಾಗ, ನಾವು ಮೂಲಭೂತ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದಿಂದ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಬಹುದು, ಅಂದರೆ:

√3 √5 = √(3 5) = √15

ಆದರೆ √15 ಅಭಾಗಲಬ್ಧವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಉತ್ತರವು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸುವಾಗ, ನಾವು ಕೇವಲ ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ (ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ ಹೇಳಬೇಕೆಂದರೆ, ಮಾಡ್ಯುಲೋ ರಾಡಿಕಲ್ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ, ಆದರೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಈ ಆವೃತ್ತಿಯಲ್ಲಿರುವಂತೆ, ಇದು ಅಪ್ರಸ್ತುತವಾಗುತ್ತದೆ), ಆದ್ದರಿಂದ:

ಈ ಉತ್ತರ ನಮಗೆ ಸರಿಹೊಂದುತ್ತದೆ.

ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ 1 ರ ಮುಂದುವರಿಕೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ √6-3 ಒಂದು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವ ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಿಂದ ಅದನ್ನು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಟೊಯ್ಲೊನೊವ್ ಅರ್ಗಿಮೈ ಮತ್ತು ಟೊಯ್ಲೊನೊವ್ ಎರ್ಕಿ

ಸಾಮಾನ್ಯ ಶಿಕ್ಷಣ ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಪಡೆದ ಗಣಿತ ಶಿಕ್ಷಣವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಶಿಕ್ಷಣ ಮತ್ತು ಆಧುನಿಕ ವ್ಯಕ್ತಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಸ್ಕೃತಿಯ ಅತ್ಯಗತ್ಯ ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ಆಧುನಿಕ ವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸುತ್ತುವರೆದಿರುವ ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲವೂ ಗಣಿತದೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಪರ್ಕ ಹೊಂದಿದೆ. ಮತ್ತು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ, ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಮಾಹಿತಿ ತಂತ್ರಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿನ ಇತ್ತೀಚಿನ ಪ್ರಗತಿಗಳು ಭವಿಷ್ಯದಲ್ಲಿ ವ್ಯವಹಾರಗಳ ಸ್ಥಿತಿಯು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದರಲ್ಲಿ ಸಂದೇಹವಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅನೇಕ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಪರಿಹಾರವು ಪರಿಹರಿಸಲು ಕಲಿಯಬೇಕಾದ ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ.

ಮತ್ತು 2013 ರಿಂದ, ಮೂಲ ಶಾಲೆಯ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಪ್ರಮಾಣೀಕರಣವನ್ನು OGE ರೂಪದಲ್ಲಿ ನಡೆಸಲಾಗಿದೆ. ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯಂತೆ, OGE ಅನ್ನು ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಮುಖ್ಯ ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಗಣಿತದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಕೋರ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಪ್ರಮಾಣೀಕರಣವನ್ನು ನಡೆಸಲು ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಿಂಹ ಪಾಲು, ಒಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದು, ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಸೆಳೆಯಲು ಬರುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಷಯದ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ಮುಂದುವರಿಯಲು, ನಾವು ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿಗೆ ಉತ್ತರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ: “OGE ಯ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವ ರೀತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ? ” ಮತ್ತು “ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮಾರ್ಗಗಳು ಯಾವುವು?”

ಹೀಗಾಗಿ, OGE ಯ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಎಲ್ಲಾ ರೀತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಅವಶ್ಯಕತೆಯಿದೆ. ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ

ಗುರಿಕೆಲಸವು OGE ಯ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಎಲ್ಲಾ ರೀತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಟೈಪ್ ಮೂಲಕ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮುಖ್ಯ ಮಾರ್ಗಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುವುದು.

ಈ ಗುರಿಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಲು, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿದ್ದೇವೆ ಕಾರ್ಯಗಳು:

1) ಮುಖ್ಯ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಿಗೆ ತಯಾರಿ ಮಾಡಲು ಮೂಲ ಸಂಪನ್ಮೂಲಗಳನ್ನು ತಿಳಿಯಿರಿ.

2) ಪ್ರಕಾರದ ಪ್ರಕಾರ ಎಲ್ಲಾ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿ.

3) ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಿ.

4) ಎಲ್ಲಾ ರೀತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಗ್ರಹವನ್ನು ಕಂಪೈಲ್ ಮಾಡಿ.

ಅಧ್ಯಯನದ ವಸ್ತು:ಸಮೀಕರಣಗಳು.

ಅಧ್ಯಯನದ ವಿಷಯ: OGE ಯ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣಗಳು.

ಡೌನ್‌ಲೋಡ್:

ಮುನ್ನೋಟ:

ಪುರಸಭೆಯ ಬಜೆಟ್ ಶಿಕ್ಷಣ ಸಂಸ್ಥೆ

"ಚಿಬಿಟ್ ಮಾಧ್ಯಮಿಕ ಶಾಲೆ"

ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಯೋಜನೆ:

"OGE ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣಗಳು"

ಟಾಯ್ಲೋನೋವ್ ಎರ್ಕಿ

8 ನೇ ತರಗತಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು

ಮೇಲ್ವಿಚಾರಕ: ಟಾಯ್ಲೋನೋವಾ ನಡೆಜ್ಡಾ ವ್ಲಾಡಿಮಿರೋವ್ನಾ, ಗಣಿತದ ಶಿಕ್ಷಕ.

ಯೋಜನೆಯ ಅನುಷ್ಠಾನದ ಟೈಮ್‌ಲೈನ್:

13.12.2017 ರಿಂದ 13.02 ರವರೆಗೆ. 2018

ಪರಿಚಯ ……………………………………………………………………
ಐತಿಹಾಸಿಕ ಉಲ್ಲೇಖ ………………………………………………
ಅಧ್ಯಾಯ 1 ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ………………………………………
1.1 ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ……………………………………
1.2 ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ………………………………………
1.2.1 ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ………………………………	9-11
1.2.2 ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿ …………………………………………	11-14
1.2.3 ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿಧಾನಗಳು …………….	14-15
1.3 ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಮೀಕರಣಗಳು ………………………………………….	15-17
ಅಧ್ಯಾಯ 2 ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮೀಕರಣಗಳು ………………………………………….	18-24
ತೀರ್ಮಾನಗಳು …………………………………………………………………………
ಬಳಸಿದ ಸಾಹಿತ್ಯದ ಪಟ್ಟಿ …………………………………………
ಅನುಬಂಧ 1 "ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು" ……………………………….	26-27
ಅನುಬಂಧ 2 "ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು" ……………………	28-30
ಅನುಬಂಧ 3 "ಸಂಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು" ……………………	31-33
ಅನುಬಂಧ 4 "ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಮೀಕರಣಗಳು" ……………………………….	34-35
ಅನುಬಂಧ 5 "ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮೀಕರಣಗಳು" ……………………………….	36-40

ಪರಿಚಯ

ಹೀಗಾಗಿ, OGE ಯ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಎಲ್ಲಾ ರೀತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಅವಶ್ಯಕತೆಯಿದೆ. ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆನಿರ್ವಹಿಸಿದ ಕೆಲಸದ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪ್ರಸ್ತುತತೆ.

ಗುರಿ ಕೆಲಸವು OGE ಯ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಎಲ್ಲಾ ರೀತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಟೈಪ್ ಮೂಲಕ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮುಖ್ಯ ಮಾರ್ಗಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುವುದು.

ಈ ಗುರಿಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಲು, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿದ್ದೇವೆಕಾರ್ಯಗಳು:

1) ಮುಖ್ಯ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಿಗೆ ತಯಾರಿ ಮಾಡಲು ಮೂಲ ಸಂಪನ್ಮೂಲಗಳನ್ನು ತಿಳಿಯಿರಿ.

2) ಪ್ರಕಾರದ ಪ್ರಕಾರ ಎಲ್ಲಾ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿ.

3) ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಿ.

ಅಧ್ಯಯನದ ವಸ್ತು:ಸಮೀಕರಣಗಳು.

ಅಧ್ಯಯನದ ವಿಷಯ:OGE ಯ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣಗಳು.

ಯೋಜನೆಯ ಕೆಲಸದ ಯೋಜನೆ:

ಯೋಜನೆಯ ವಿಷಯದ ರಚನೆ.
ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿಷಯದ ಕುರಿತು ಅಧಿಕೃತ ಮೂಲಗಳಿಂದ ವಸ್ತುಗಳ ಆಯ್ಕೆ.
ಮಾಹಿತಿಯ ಸಂಸ್ಕರಣೆ ಮತ್ತು ವ್ಯವಸ್ಥಿತಗೊಳಿಸುವಿಕೆ.
ಯೋಜನೆಯ ಅನುಷ್ಠಾನ.
ಯೋಜನೆಯ ವಿನ್ಯಾಸ.
ಯೋಜನೆಯ ರಕ್ಷಣೆ.

ಸಮಸ್ಯೆ : ಸಮೀಕರಣಗಳ ಬಗ್ಗೆ ನಿಮ್ಮ ತಿಳುವಳಿಕೆಯನ್ನು ಗಾಢವಾಗಿಸಿ. ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ OGE ಯ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮುಖ್ಯ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ತೋರಿಸಿ.

ಈ ಕೆಲಸವು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುವ ಮತ್ತು ವ್ಯವಸ್ಥಿತಗೊಳಿಸುವ ಮತ್ತು ಹೊಸದನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಪ್ರಯತ್ನವಾಗಿದೆ. ಯೋಜನೆಯು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ: ಸಮೀಕರಣದ ಒಂದು ಭಾಗದಿಂದ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಪದಗಳ ವರ್ಗಾವಣೆಯೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು, ಹಾಗೆಯೇ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಪರಿಹರಿಸಲಾದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು, ಎಲ್ಲಾ ರೀತಿಯ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳು.

ಗಣಿತ ... ಕ್ರಮ, ಸಮ್ಮಿತಿ ಮತ್ತು ಖಚಿತತೆಯನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುತ್ತದೆ,

ಮತ್ತು ಇವು ಸೌಂದರ್ಯದ ಪ್ರಮುಖ ವಿಧಗಳಾಗಿವೆ.

ಅರಿಸ್ಟಾಟಲ್.

ಐತಿಹಾಸಿಕ ಉಲ್ಲೇಖ

ಆ ದೂರದ ಕಾಲದಲ್ಲಿ, ಬುದ್ಧಿವಂತರು ಮೊದಲು ಅಜ್ಞಾತ ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಮಾನತೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಯೋಚಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದಾಗ, ಬಹುಶಃ ಇನ್ನೂ ಯಾವುದೇ ನಾಣ್ಯಗಳು ಅಥವಾ ತೊಗಲಿನ ಚೀಲಗಳು ಇರಲಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ರಾಶಿಗಳು, ಹಾಗೆಯೇ ಮಡಕೆಗಳು, ಬುಟ್ಟಿಗಳು ಇದ್ದವು, ಇದು ಅಜ್ಞಾತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಗ್ರಹ-ಅಂಗಡಿಗಳ ಪಾತ್ರಕ್ಕೆ ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ. "ನಾವು ರಾಶಿಯನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತಿದ್ದೇವೆ, ಅದರ ಮೂರನೇ ಎರಡರಷ್ಟು, ಅರ್ಧ ಮತ್ತು ಏಳನೇ ಒಂದು ಭಾಗವು 37 ...", ಈಜಿಪ್ಟಿನ ಲೇಖಕ ಅಹ್ಮಸ್ II ಸಹಸ್ರಮಾನ BC ಯಲ್ಲಿ ಕಲಿಸಿದರು. ಮೆಸೊಪಟ್ಯಾಮಿಯಾ, ಭಾರತ, ಚೀನಾ, ಗ್ರೀಸ್‌ನ ಪ್ರಾಚೀನ ಗಣಿತದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ, ಅಜ್ಞಾತ ಪ್ರಮಾಣಗಳು ಉದ್ಯಾನದಲ್ಲಿ ನವಿಲುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, ಹಿಂಡಿನಲ್ಲಿರುವ ಗೂಳಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವಾಗ ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ವಸ್ತುಗಳ ಒಟ್ಟು ಮೊತ್ತವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಶಾಸ್ತ್ರಿಗಳು, ಅಧಿಕಾರಿಗಳು ಮತ್ತು ಪುರೋಹಿತರು ರಹಸ್ಯ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದರು, ಎಣಿಕೆಯ ವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಚೆನ್ನಾಗಿ ತರಬೇತಿ ಪಡೆದವರು, ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಸಾಕಷ್ಟು ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ನಿಭಾಯಿಸಿದರು.

ಪ್ರಾಚೀನ ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು ಅಜ್ಞಾತ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಕೆಲವು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾರೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ಬಂದಿರುವ ಮೂಲಗಳು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಒಂದೇ ಒಂದು ಪ್ಯಾಪಿರಸ್, ಒಂದು ಮಣ್ಣಿನ ಮಾತ್ರೆ ಈ ತಂತ್ರಗಳ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ನೀಡುವುದಿಲ್ಲ. ಲೇಖಕರು ಸಾಂದರ್ಭಿಕವಾಗಿ ತಮ್ಮ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಸರಾಸರಿ ಕಾಮೆಂಟ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಒದಗಿಸಿದ್ದಾರೆ: "ನೋಡಿ!", "ಮಾಡು!", "ನೀವು ಅದನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೀರಿ." ಈ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ, ಅಪವಾದವೆಂದರೆ ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡ್ರಿಯಾದ ಗ್ರೀಕ್ ಗಣಿತಜ್ಞ ಡಯೋಫಾಂಟಸ್ (III ಶತಮಾನ) ಅವರ "ಅಂಕಗಣಿತ" - ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಪರಿಹಾರಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥಿತ ಪ್ರಸ್ತುತಿಯೊಂದಿಗೆ ಕಂಪೈಲ್ ಮಾಡುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಸಂಗ್ರಹವಾಗಿದೆ.

ಆದಾಗ್ಯೂ, 9 ನೇ ಶತಮಾನದ ಬಾಗ್ದಾದ್ ವಿದ್ವಾಂಸರ ಕೆಲಸವು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ತಿಳಿದಿರುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೊದಲ ಕೈಪಿಡಿಯಾಗಿದೆ. ಮುಹಮ್ಮದ್ ಬಿನ್ ಮೂಸಾ ಅಲ್-ಖ್ವಾರಿಜ್ಮಿ. ಈ ಗ್ರಂಥದ ಅರೇಬಿಕ್ ಶೀರ್ಷಿಕೆಯಿಂದ "ಅಲ್-ಜಬರ್" ಪದ - "ಕಿತಾಬ್ ಅಲ್-ಜಬರ್ ವಾಲ್-ಮುಕಾಬಲಾ" ("ಪುನಃಸ್ಥಾಪನೆ ಮತ್ತು ವ್ಯತಿರಿಕ್ತತೆಯ ಪುಸ್ತಕ") - ಕಾಲಾನಂತರದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲರಿಗೂ ತಿಳಿದಿರುವ "ಬೀಜಗಣಿತ" ಎಂಬ ಪದವಾಗಿ ಮಾರ್ಪಟ್ಟಿದೆ, ಮತ್ತು ಅಲ್-ಖ್ವಾರಿಜ್ಮಿಯ ಕೆಲಸವು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಜ್ಞಾನದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯಲ್ಲಿ ಆರಂಭಿಕ ಹಂತವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸಿತು.

ಹಾಗಾದರೆ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದರೇನು?

ಹಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಮೀಕರಣವಿದೆ, ಸಮಯದ ಸಮೀಕರಣವಿದೆ (ನಿಜವಾದ ಸೌರ ಸಮಯವನ್ನು ಸರಾಸರಿ ಸೌರ ಸಮಯಕ್ಕೆ ಅನುವಾದಿಸುವುದು, ಹಾಸ್ಟೆಲ್ ಮತ್ತು ವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಅಂಗೀಕರಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ; ಆಸ್ಟರ್) ಇತ್ಯಾದಿ.

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಪರಿಚಿತ ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಈ ಅಜ್ಞಾತ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ನೊಂದಿಗಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ, ಅಜ್ಞಾತವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ " X ". "x" ನ ಮೌಲ್ಯ , ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಮೀಕರಣಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ.ಜಾತಿಗಳು:

ಕೊಡಲಿ + ಬಿ = 0. - ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣ.
ಕೊಡಲಿ 2 + ಬಿಎಕ್ಸ್ + ಸಿ = 0. - ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣ.
ಕೊಡಲಿ 4 + ಬಿಎಕ್ಸ್ 2 + ಸಿ = 0. - ದ್ವಿಚಕ್ರ ಸಮೀಕರಣ.

– ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಮೀಕರಣ.

– ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಮೀಕರಣ.
ಅಂತಹವುಗಳಿವೆಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮಾರ್ಗಗಳುಹೇಗೆ: ಬೀಜಗಣಿತ, ಅಂಕಗಣಿತ ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ. ಬೀಜಗಣಿತದ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿx ನ ಅಂತಹ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು, ಮೂಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ನಮಗೆ ಸರಿಯಾದ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು, ಎಷ್ಟೇ ಕಷ್ಟಕರವಾಗಿದ್ದರೂ, ರೋಮಾಂಚನಕಾರಿಯಾಗಿದೆ. ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸ್ಟ್ರೀಮ್ ಒಂದು ಅಪರಿಚಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವುದು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಆಶ್ಚರ್ಯಕರವಾಗಿದೆ.

ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ, ಅಜ್ಞಾತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಮೂಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಸರಳಗೊಳಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ನೋಟವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವಾಗ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಸಾರವು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಅಂತಹ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಅಥವಾ ಸಮಾನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅಧ್ಯಾಯ 1 ಸಮೀಕರಣ ಪರಿಹಾರ

1.1 ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು.

ಈಗ ನಾವು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿಇದನ್ನು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣ ಅಥವಾ ಮೊದಲ ಪದವಿಯ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ವೇರಿಯೇಬಲ್ " X » ಅತ್ಯುನ್ನತ ಪದವಿ ಮೊದಲ ಪದವಿಯಲ್ಲಿದೆ.

ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರವು ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 1: ಸಮೀಕರಣ 3 ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ x+3=5x

ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಯ ಎಡಭಾಗಕ್ಕೆ ಅಜ್ಞಾತ ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪದಗಳನ್ನು ವರ್ಗಾಯಿಸುವ ವಿಧಾನದಿಂದ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಯ ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ಉಚಿತ ಗುಣಾಂಕಗಳು:

3 x – 5 x = – 3

2x=-3

x=1.5

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಿಜವಾದ ಸಮಾನತೆಯಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ವೇರಿಯಬಲ್ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲ.

ಪರಿಶೀಲಿಸಿದ ನಂತರ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಆದ್ದರಿಂದ 1.5 ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವಾಗಿದೆ.

ಉತ್ತರ: 1.5.

ಸಮೀಕರಣದ ಒಂದು ಭಾಗದಿಂದ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಪದಗಳನ್ನು ವರ್ಗಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು, ಆದರೆ ನಿಯಮಗಳ ಚಿಹ್ನೆಯು ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಸಮೀಕರಣಗಳು - ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆ ಅಥವಾ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಿಂದ ಗುಣಿಸಬಹುದು (ವಿಭಜಿಸಬಹುದು), ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ 2. ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ:

a) 6 x +1=- 4 x ; ಬಿ) 8 + 7 x \u003d 9 x +4; c) 4(x - 8)=- 5.

ಪರಿಹಾರ.

ಎ) ವರ್ಗಾವಣೆ ವಿಧಾನದಿಂದ ನಾವು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ

6x + 4x = -1;

10x=─ 1;

x=─ 1:10;

x=─ 0.1.

ಪರೀಕ್ಷೆ:

ಉತ್ತರ: -0.1

ಬಿ) ಹಿಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಂತೆಯೇ, ನಾವು ವರ್ಗಾವಣೆ ವಿಧಾನದಿಂದ ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಉತ್ತರ: 2.

ಸಿ) ಈ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ, ಸೇರ್ಪಡೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಗುಣಾಕಾರದ ವಿತರಣಾ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಆವರಣಗಳನ್ನು ತೆರೆಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ಉತ್ತರ: 6.75.

1.2 ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಟೈಪ್ ಸಮೀಕರಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿಎ - ಹಿರಿಯ ಗುಣಾಂಕ,ಬಿ ಸರಾಸರಿ ಗುಣಾಂಕವಾಗಿದೆ, c ಎಂಬುದು ಉಚಿತ ಪದವಾಗಿದೆ.

ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ a, b ಮತ್ತು c - ಸಮೀಕರಣವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಥವಾ ಅಪೂರ್ಣವಾಗಿರಬಹುದು, ಕಡಿಮೆಯಾಗಬಹುದು ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

1.2.1 ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮಾರ್ಗಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:

1) ಮೊದಲ ವಿಧದ ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಎದುರಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ c=0 . ರೂಪದ ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು a x 2 +b x=0 ಪರಿಹರಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆಅಪವರ್ತನ ವಿಧಾನ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಆವರಣ ವಿಧಾನ.

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ನಾವು ಸಮೀಕರಣದ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರಬಹುದು, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶವನ್ನು ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳಿಂದ ಹೊರಹಾಕಲು ಸಾಕು. X . ಮೂಲ ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ರೂಪದ ಸಮಾನ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಹೋಗಲು ಇದು ನಿಮ್ಮನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ: x·(a·x+b)=0 .

ಮತ್ತು ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ x=0 ಅಥವಾ a x+b=0 , ಅದರಲ್ಲಿ ಕೊನೆಯದು ರೇಖೀಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ x=-.

a x 2 +b x=0 ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ

x=0 ಮತ್ತು x=-.

2) ಗುಣಾಂಕದಲ್ಲಿ ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಈಗ ಪರಿಗಣಿಸಿ b ಎಂಬುದು ಶೂನ್ಯ ಮತ್ತು c≠0 , ಅಂದರೆ, ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳು a x 2 +c=0 . ಸಮೀಕರಣದ ಒಂದು ಬದಿಯಿಂದ ಇನ್ನೊಂದು ಬದಿಗೆ ವಿರುದ್ಧ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ಪದವನ್ನು ವರ್ಗಾಯಿಸುವುದು, ಹಾಗೆಯೇ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದು ಸಮಾನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಕೆಳಗಿನ ಸಮಾನ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಬಹುದು a x 2 +c=0:

ಸರಿಸಿ ಸಿ ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ, ಇದು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ a x 2 =-c,
ಮತ್ತು ಎರಡೂ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಭಾಗಿಸಿ a , ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಮೀಕರಣವು ಅದರ ಬೇರುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ತೀರ್ಮಾನಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ವೇಳೆ ಸಂಖ್ಯೆ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಸಮೀಕರಣವು ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗವು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ಈ ಹೇಳಿಕೆಯು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ವೇಳೆ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ, ನಂತರ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳೊಂದಿಗಿನ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವಿದೆ ಎಂದು ನೀವು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು, ಅದು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ. ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವನ್ನು ಯೋಜನೆಯ ಪ್ರಕಾರ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಬದಲಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರ್ಯಾಯ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ X ಅದರ ಬೇರುಗಳು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಿಜವಾದ ಸಮಾನತೆಗೆ ತಿರುಗಿಸುತ್ತದೆ.

ಈ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಸಾರಾಂಶ ಮಾಡೋಣ. ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣ a x 2 +c=0 ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು

3) ಗುಣಾಂಕಗಳಿರುವ ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರಗಳುಬಿ ಮತ್ತು ಸಿ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ a x 2 \u003d 0. a x 2 =0 ಸಮೀಕರಣವು x 2 =0 ಅನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ , ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಅದರ ಎರಡೂ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮೂಲದಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆಎ . ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲ x2=0 ಏಕೆಂದರೆ ಶೂನ್ಯವಾಗಿದೆ 0 2 =0 . ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ.

ಆದ್ದರಿಂದ ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣ a x 2 \u003d 0 ಒಂದೇ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ x=0

ಉದಾಹರಣೆ 3 ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ: a) x 2 \u003d 5x, ಸಮೀಕರಣವು ಹಲವಾರು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಉತ್ತರದಲ್ಲಿ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಚಿಕ್ಕದನ್ನು ಸೂಚಿಸಿ;

b) , ಸಮೀಕರಣವು ಹಲವಾರು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಉತ್ತರದಲ್ಲಿ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡದನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ;

ಸಿ) x 2 −9=0, ಸಮೀಕರಣವು ಹಲವಾರು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಿಮ್ಮ ಉತ್ತರದಲ್ಲಿ ಚಿಕ್ಕದನ್ನು ಸೂಚಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ.

ನಾವು ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಯಾವುದೇ ಉಚಿತ ಪದವಿಲ್ಲ. ಆವರಣದಿಂದ ಹೊರತೆಗೆಯುವ ವಿಧಾನದಿಂದ ನಾವು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ.

ನಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಬಹುದು, ಅದರಲ್ಲಿ ಚಿಕ್ಕದು 0.

ಉತ್ತರ: 0.

b) . ಹಿಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಂತೆಯೇ, ನಾವು ಬ್ರಾಕೆಟ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ

ಉತ್ತರದಲ್ಲಿ, ನೀವು ಬೇರುಗಳಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡದನ್ನು ಸೂಚಿಸಬೇಕು. ಅದು ಸಂಖ್ಯೆ 2.

ಉತ್ತರ: 2.

ವಿ) . ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಸರಾಸರಿ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ.

ಈ ಬೇರುಗಳಲ್ಲಿ ಚಿಕ್ಕದು ಸಂಖ್ಯೆ - 3.

ಉತ್ತರ:-3.

1.2.2 ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿ.

1. ತಾರತಮ್ಯ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಮೂಲ ಸೂತ್ರ

ಮೂಲ ಸೂತ್ರವಿದೆ.

ಬರೆಯೋಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಹಂತ ಹಂತವಾಗಿ:

1) D=b 2 -4 a c - ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ.

ಎ) ಒಂದು ವೇಳೆ ಡಿ

b) D>0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಸಮೀಕರಣಒಂದು ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ:

ಸಿ) ಒಂದು ವೇಳೆ ಡಿ ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ:

ಮೂಲ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ನೀವು ತಕ್ಷಣ ಮೂಲ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು, ಅದರೊಂದಿಗೆ ಅವುಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದು. ಆದರೆ ಇದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚು.

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಶಾಲೆಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಕೋರ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ, ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಂಕೀರ್ಣದ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ನೈಜ ಬೇರುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತೇವೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೊದಲು ತಾರತಮ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ, ಅದು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ (ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಸಮೀಕರಣವು ನಿಜವಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು), ಮತ್ತು ಅದರ ನಂತರ ಬೇರುಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ.

ಮೇಲಿನ ತರ್ಕವು ನಮಗೆ ಬರೆಯಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್. ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು a x 2 +b x+c=0 , ನಿಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿದೆ:

ತಾರತಮ್ಯದ ಸೂತ್ರದಿಂದ D=b 2 -4 a c ಅದರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ;
ತಾರತಮ್ಯವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವು ನಿಜವಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಎಂದು ತೀರ್ಮಾನಿಸಿ;
ವೇಳೆ ಸೂತ್ರದ ಮೂಲಕ ಸಮೀಕರಣದ ಏಕೈಕ ಮೂಲವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ D=0 ;
ತಾರತಮ್ಯವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ ಮೂಲ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡು ನೈಜ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

2. ತಾರತಮ್ಯ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳ ಎರಡನೇ ಸೂತ್ರ (ಸಹ ಎರಡನೇ ಗುಣಾಂಕಕ್ಕಾಗಿ).

ರೂಪದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಸಮ ಗುಣಾಂಕದೊಂದಿಗೆ b=2k ಇನ್ನೊಂದು ಸೂತ್ರವಿದೆ.

ಹೊಸದನ್ನು ಬರೆಯೋಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳ ಸೂತ್ರ:

1) D'=k 2 -a c - ಕರೆಯಲ್ಪಡುವಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ತಾರತಮ್ಯ.

ಎ) ಡಿ ವೇಳೆ ನಿಜವಾದ ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲ;

b) D'>0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಸಮೀಕರಣಒಂದು ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ:

ಸಿ) ಡಿ ವೇಳೆ ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ:

ಉದಾಹರಣೆ 4 2x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ 2 −3x+1=0.. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ. ಮೊದಲ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: a=2 , b=-3 ಮತ್ತು c=1 D=b 2 -4 a c=(-3) 2 -4 2 1=9-8=1 . 1>0 ರಿಂದ

ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದೆ, ಅದರಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡದು ಸಂಖ್ಯೆ 1.

ಉತ್ತರ: 1.

ಉದಾಹರಣೆ 5 x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ 2 -21=4x.

ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ. ಹಿಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಾದೃಶ್ಯದ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಯ ಎಡಕ್ಕೆ 4h ಅನ್ನು ಸರಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: a=1, k=-2 ಮತ್ತು c=-21 . ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಪ್ರಕಾರ, ನೀವು ಮೊದಲು ತಾರತಮ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ D'=k 2 -a c=(-2) 2 -1 (-21)=4+21=25 . ಸಂಖ್ಯೆ 25>0 , ಅಂದರೆ, ತಾರತಮ್ಯವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡು ನೈಜ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಮೂಲ ಸೂತ್ರದಿಂದ ಅವುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ

ಉತ್ತರ: 7.

1.2.3 ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿಧಾನಗಳು.

1) ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು ಮತ್ತು ಗುಣಾಂಕಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧ. ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯ.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳ ಸೂತ್ರವು ಅದರ ಗುಣಾಂಕಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಬೇರುಗಳ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ನೀವು ಬೇರುಗಳು ಮತ್ತು ಗುಣಾಂಕಗಳ ನಡುವಿನ ಇತರ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು.

ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಮತ್ತು ಅನ್ವಯವಾಗುವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ವಿಯೆಟಾ ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ: ಅವಕಾಶ - ಕಡಿಮೆಯಾದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು. ನಂತರ ಬೇರುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು ಉಚಿತ ಪದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಬೇರುಗಳ ಮೊತ್ತವು ಎರಡನೇ ಗುಣಾಂಕದ ವಿರುದ್ಧ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಈಗಾಗಲೇ ಬರೆದ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನೀವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು ಮತ್ತು ಗುಣಾಂಕಗಳ ನಡುವೆ ಹಲವಾರು ಇತರ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಅದರ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ನೀವು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ 6 a) x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ 2

b) x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ 2

ಸಿ) x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ 2

ಪರಿಹಾರ.

a) x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ 2 −6x+5=0. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

ಬೇರುಗಳಲ್ಲಿ ಚಿಕ್ಕದನ್ನು ಆರಿಸಿ

ಉತ್ತರ: 1

b) x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ 2 +7x+10=0. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

ವಿಯೆಟಾ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ, ನಾವು ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ

ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿ, ನಾವು ಅದನ್ನು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಬೇರುಗಳಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡದನ್ನು ಆರಿಸಿ

ಉತ್ತರ: ─2.

ಸಿ) x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ 2 ─5x─14=0. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

ವಿಯೆಟಾ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ, ನಾವು ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ

ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿ, ನಾವು ಅದನ್ನು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಬೇರುಗಳಲ್ಲಿ ಚಿಕ್ಕದನ್ನು ಆರಿಸಿ

ಉತ್ತರ: ─2.

1.3 ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ನೀವು ರೂಪದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡಿದರೆನ್ಯೂಮರೇಟರ್ ಅಥವಾ ಛೇದದಲ್ಲಿ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನೊಂದಿಗೆ, ಅಂತಹ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಮೀಕರಣವು ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಯಾವುದೇ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಯಾವುದೇ ಸಮೀಕರಣಗಳ ರೀತಿಯಲ್ಲಿಯೇ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: ಸಮೀಕರಣದ ಒಂದು ಬದಿಯಲ್ಲಿ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವವರೆಗೆ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಅದೇ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು 2 ವಿಧಾನಗಳಿವೆ.

1) ಅಡ್ಡಲಾಗಿ ಗುಣಾಕಾರ.ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ, ನಿಮಗೆ ನೀಡಲಾದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯಿರಿ ಇದರಿಂದ ಪ್ರತಿ ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಭಾಗವಿದೆ (ಒಂದು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ); ಆಗ ಮಾತ್ರ ನೀವು ಅಡ್ಡ-ಗುಣಾಕಾರ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.

ಎಡ ಭಾಗದ ಅಂಶವನ್ನು ಬಲಭಾಗದ ಛೇದದಿಂದ ಗುಣಿಸಿ. ಬಲ ಭಾಗದ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಎಡಭಾಗದ ಛೇದದೊಂದಿಗೆ ಇದನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿ.

ಕ್ರಾಸ್‌ವೈಸ್ ಗುಣಾಕಾರವು ಮೂಲ ಬೀಜಗಣಿತ ತತ್ವಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ. ತರ್ಕಬದ್ಧ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಮತ್ತು ಇತರ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಲ್ಲಿ, ಎರಡು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಛೇದಗಳನ್ನು ಅದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ನೀವು ಅಂಶವನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಬಹುದು.
ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಿಸಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಿ.
ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ, ಅಂದರೆ, "x" ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ. "x" ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಯಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಸಮೀಕರಣದ ಒಂದು ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಿ.

2) ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಲು ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದವನ್ನು (LCD) ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.ಸಮೀಕರಣದ ಪ್ರತಿ ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ನೀವು ನೀಡಿದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದಿದ್ದಾಗ ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಮತ್ತು ಅಡ್ಡ ಗುಣಾಕಾರ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿ). ನಿಮಗೆ 3 ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡಿದಾಗ ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಎರಡು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅಡ್ಡ ಗುಣಾಕಾರವು ಉತ್ತಮವಾಗಿದೆ).

ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ (ಅಥವಾ ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಹುಸಂಖ್ಯೆ).NOZ ಎಂಬುದು ಪ್ರತಿ ಛೇದದಿಂದ ಸಮವಾಗಿ ಭಾಗಿಸಬಹುದಾದ ಚಿಕ್ಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ.
ಪ್ರತಿ ಭಾಗದ ಅನುಗುಣವಾದ ಛೇದದಿಂದ NOZ ಅನ್ನು ಭಾಗಿಸುವ ಫಲಿತಾಂಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಪ್ರತಿ ಭಾಗದ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದ ಎರಡನ್ನೂ ಗುಣಿಸಿ.
x ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ. ಈಗ ನೀವು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿದ್ದೀರಿ, ನೀವು ಛೇದವನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಸಮೀಕರಣದ ಪ್ರತಿ ಬದಿಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದದಿಂದ ಗುಣಿಸಿ. ನಂತರ ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ, ಅಂದರೆ, "x" ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಸಮೀಕರಣದ ಒಂದು ಬದಿಯಲ್ಲಿ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಿ.

ಉದಾಹರಣೆ 7 ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ: a); ಬಿ) ಸಿ).

ಪರಿಹಾರ.

ಎ) . ನಾವು ಅಡ್ಡ ಗುಣಾಕಾರ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ.

ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಪದಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ.

ಒಂದು ಅಜ್ಞಾತ ಜೊತೆ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆದರು

ಉತ್ತರ: ─10.

b) , ಹಿಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಂತೆಯೇ, ನಾವು ಅಡ್ಡ ಮೂಲಕ ಗುಣಾಕಾರ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಉತ್ತರ: ─1.9.

ವಿ) , ನಾವು ಕನಿಷ್ಟ ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದ (LCD) ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ.

ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದವು 12 ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉತ್ತರ: 5.

ಅಧ್ಯಾಯ 2 ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಪರಿಹರಿಸಲು ವಿವಿಧ ವಿಧಾನಗಳು ಮತ್ತು ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು. ಆದರೆ, ಒಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದು, ತಾರ್ಕಿಕ ತಾರ್ಕಿಕ ವಿಧಾನ ಮತ್ತು ಸಮಾನ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ವಿಧಾನದಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಹಿಂದೆ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 7 ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ ( x +3) 2 =(x +8) 2 .

ಪರಿಹಾರ. ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕಾಗಿ ಸೂತ್ರಗಳ ಪ್ರಕಾರ, ನಾವು ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯುತ್ತೇವೆ:

ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳನ್ನು ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಯ ಆಚೆಗೆ ವರ್ಗಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ,

ಉತ್ತರ: 5.5.

ಉದಾಹರಣೆ 8 ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ: a)(- 5 x +3)(- x +6)=0, b) (x +2)(- x +6)=0.

ಪರಿಹಾರ.

a)(- 5 x +3)(- x +6)=0; ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ನೀಡಿ

ಸಂಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ, ಅದನ್ನು ನಾವು ತಾರತಮ್ಯದ ಮೊದಲ ಸೂತ್ರದ ಮೂಲಕ ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ

ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ

ಉತ್ತರ: 0.6 ಮತ್ತು 6.

b) (x +2)(- x +6)=0, ಈ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ತಾರ್ಕಿಕ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ (ಒಂದು ಅಂಶವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದಾಗ ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ). ಅರ್ಥ

ಉತ್ತರ: ─2 ಮತ್ತು 6.

ಉದಾಹರಣೆ 9 ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ:, ಬಿ).

ಪರಿಹಾರ. ಕಡಿಮೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು

ನಾವು ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಶಕ್ತಿಗಳ ಅವರೋಹಣ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ

; ಎರಡನೇ ಗುಣಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆದರು

ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡು ನೈಜ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ

ಉತ್ತರ:.

b) . ತರ್ಕವು ಹೋಲುತ್ತದೆ a). NOZ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಲಾಗುತ್ತಿದೆ

ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ನೀಡಿ

ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂತ್ರದ ಮೂಲಕ ಸಂಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ

ಉತ್ತರ:.

ಉದಾಹರಣೆ 10 ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ:

ಪರಿಹಾರ.

ಎ) , ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳೊಳಗಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ, ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ ಎರಡು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಮೊತ್ತದ ವರ್ಗ. ಅದನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ

; ಈ ಸಮೀಕರಣದ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಒಂದು ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಸರಿಸಿ

ಅದನ್ನು ಆವರಣದಿಂದ ಹೊರತೆಗೆಯಿರಿ

ಒಂದು ಅಂಶವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ,

ಉತ್ತರ: ─2, ─1 ಮತ್ತು 1.

b) ಉದಾಹರಣೆಗೆ ನಾವು ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವಾದಿಸುತ್ತೇವೆ a)

, ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ

ಉತ್ತರ:

ಉದಾಹರಣೆ 11. ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ a)

ಪರಿಹಾರ.

ಎ) ; ಸಮೀಕರಣದ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ, ನಾವು ಬ್ರಾಕೆಟ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಾವು ಹೊರತೆಗೆಯುತ್ತೇವೆ, ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಾವು 16 ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.]

[ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಒಂದು ಬದಿಗೆ ಸರಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಬ್ರಾಕೆಟ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸೋಣ. ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುತ್ತೇವೆ]

[ಒಂದು ಅಂಶವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.]

ಉತ್ತರ:

b) . [ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಎ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ). ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಗುಂಪು ಮಾಡುವ ವಿಧಾನವು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ]

ಉತ್ತರ:

ಉದಾಹರಣೆ 12. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ=0.

ಪರಿಹಾರ.

0 [ದ್ವಿಚಕ್ರ ಸಮೀಕರಣ. ವೇರಿಯಬಲ್ ವಿಧಾನದ ಬದಲಾವಣೆಯಿಂದ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ].

0; [ವಿಯೆಟಾ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದರಿಂದ ನಾವು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ]

. [ಹಿಂದಿನ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ]

ಉತ್ತರ:

ಉದಾಹರಣೆ 13 ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

ಪರಿಹಾರ. [ದ್ವಿಚಕ್ರ ಸಮೀಕರಣ, ಮಾಡ್ಯುಲೋ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಮ ಪದವಿಯನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಿ.]

[ನಾವು ಎರಡು ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ, ಅದನ್ನು ನಾವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲ ಸೂತ್ರದ ಮೂಲಕ ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ]

ಯಾವುದೇ ನಿಜವಾದ ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲ ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ

ಉತ್ತರ:

ಉದಾಹರಣೆ 14 ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

ಪರಿಹಾರ.

ODZ:

[ನಾವು ಸಮೀಕರಣದ ಎಲ್ಲಾ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಎಡಭಾಗಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ತರುತ್ತೇವೆ]

[ನಾವು ಕಡಿಮೆಯಾದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ, ಇದನ್ನು ವಿಯೆಟಾ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಸುಲಭವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು]

ಸಂಖ್ಯೆ - 1 ನೀಡಿರುವ ಸಮೀಕರಣದ ODZ ಅನ್ನು ಪೂರೈಸುವುದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವಾಗಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ ಮೂಲವು 7 ನೇ ಸಂಖ್ಯೆ ಮಾತ್ರ.

ಉತ್ತರ: 7.

ಉದಾಹರಣೆ 15 ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

ಪರಿಹಾರ.

ಎರಡು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತವು ಒಂದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅವುಗಳೆಂದರೆ

[ಪ್ರತಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಿ]

ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ

-5 ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಬೇರುಗಳ ಕಾಕತಾಳೀಯತೆಯು ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉತ್ತರ: - 5.

ತೀರ್ಮಾನ

ಮಾಡಿದ ಕೆಲಸದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಿ, ಗಣಿತದ ಬೆಳವಣಿಗೆಯಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣಗಳು ದೊಡ್ಡ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು. ನಾವು ಸ್ವಾಧೀನಪಡಿಸಿಕೊಂಡ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ವ್ಯವಸ್ಥಿತಗೊಳಿಸಿದ್ದೇವೆ, ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಸಾರಾಂಶಗೊಳಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಈ ಜ್ಞಾನವು ಮುಂಬರುವ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಿಗೆ ನಮ್ಮನ್ನು ಸಿದ್ಧಪಡಿಸುತ್ತದೆ.

ನಮ್ಮ ಕೆಲಸವು ಗಣಿತವು ನಮ್ಮ ಮುಂದೆ ಹೊಂದಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ನೋಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ.

ಯೋಜನೆಯ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ, ನಾವು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಹಿಂದೆ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ವ್ಯವಸ್ಥಿತಗೊಳಿಸಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ್ದೇವೆ;
ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಹೊಸ ವಿಧಾನಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಯವಾಯಿತು;

ಮೊದಲ ಭಾಗದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಭಾಗದಲ್ಲಿ OGE ಯ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ರೀತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ.
"OGE ಯ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣಗಳು" ಎಂಬ ಕ್ರಮಬದ್ಧ ಸಂಗ್ರಹವನ್ನು ರಚಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಮುಖ್ಯ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ರೀತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲು - ನಮ್ಮ ಮುಂದೆ ನಿಗದಿಪಡಿಸಿದ ಗುರಿಯನ್ನು ನಾವು ಸಾಧಿಸಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ನಾವು ನಂಬುತ್ತೇವೆ.

ಬಳಸಿದ ಸಾಹಿತ್ಯದ ಪಟ್ಟಿ:

1. ಬಿ.ವಿ. ಗ್ನೆಡೆಂಕೊ "ಆಧುನಿಕ ಜಗತ್ತಿನಲ್ಲಿ ಗಣಿತ". ಮಾಸ್ಕೋ "ಜ್ಞಾನೋದಯ" 1980

2. ಯಾ.ಐ. ಪೆರೆಲ್ಮನ್ "ಮನರಂಜನಾ ಬೀಜಗಣಿತ". ಮಾಸ್ಕೋ "ವಿಜ್ಞಾನ" 1978

6. http://tutorial.math.lamar.edu

7. http://www.regentsprep.org

8. http://www.fipi.ru

ಅನುಬಂಧ 1

ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು

1. ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

2. ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

3. ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಅನುಬಂಧ 2

ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು

1. x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ 2 =5x. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

2. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು 2x ಪರಿಹರಿಸಿ 2 =8x. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

3. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು 3x ಪರಿಹರಿಸಿ 2 =9x. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

4. 4x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ 2 =20x. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

5. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು 5x ಪರಿಹರಿಸಿ 2 =35x. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

6. 6x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ 2 =36x. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

7. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು 7x ಪರಿಹರಿಸಿ 2 =42x. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

8. ಸಮೀಕರಣ 8x ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ 2 =72x. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

9. 9x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ 2 =54x. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

10. 10x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ2 =80x. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

11. 5x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ2 −10x=0. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

12. 3x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ2 −9x=0. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

13. 4x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ2 −16x=0. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

14. 5x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ2 +15x=0. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

15. 3x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ2 +18x=0. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

16. 6x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ2 +24x=0. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

17. 4x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ2 −20x=0. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

18. 5x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ2 +20x=0. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

19. 7x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ2 −14x=0. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

20. 3x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ2 +12x=0. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

21. x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ2 -9=0. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

22. x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ2 −121=0. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

23. x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ2 −16=0. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

24. x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ2 −25=0. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

25. x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ2 -49=0. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

26. x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ2 −81=0. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

27. x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ2 -4=0. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

28. x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ2 -64=0. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

29. x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ2 -36=0. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

30. x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ2 −144=0. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

31. x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ2 -9=0. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

32. x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ2 −121=0. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

33. x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ2 −16=0. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

34. x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ2 −25=0. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

35. x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ2 -49=0. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

36. x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ2 −81=0. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

37. x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ2 -4=0. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

38. x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ2 -64=0. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

39. x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ2 -36=0. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

40. x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ2 −144=0. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

ಅನುಬಂಧ 3

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿ

1. x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ2 +3x=10. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

2. x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ2 +7x=18. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

3. x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ2 +2x=15. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

4. x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ2 −6x=16. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

5. x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ2 −3x=18. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

6. x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ2 −18=7x. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

7. x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ2 +4x=21. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

8. x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ2 −21=4x. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

9. x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ2 −15=2x. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

10. x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ2 −5x=14. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

11. x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ2 +6=5x. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

12. x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ2 +4=5x. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

13. x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ2 -x=12. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

14. x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ2 +4x=5. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

15. x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ2 −7x=8. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

16. x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ2 +7=8x. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

17. x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ2 +18=9x. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

18. x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ2 +10=7x. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

19. x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ2 −20=x. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

20. x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ2 −35=2x. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

21. 2x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ2 −3x+1=0. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

22. 5x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ2 +4x−1=0. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

23. 2x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ2 +5x−7=0. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

24. 5x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ2 −12x+7=0. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

25. 5x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ2 −9x+4=0. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

26. 8x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ2 −12x+4=0. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

27. 8x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ2 −10x+2=0. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

28. 6x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ2 −9x+3=0. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

29. 5x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ2 +9x+4=0. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

30. 5x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ2 +8x+3=0. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

31. x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ2 −6x+5=0. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

32. x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ2 −7x+10=0. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

33. x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ2 −9x+18=0. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

34. x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ2 −10x+24=0. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

35. x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ2 −11x+30=0. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

36. x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ2 −8x+12=0. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

37. x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ2 −10x+21=0. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

38. x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ2 −9x+8=0. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

39. x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ2 −11x+18=0. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

40. x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ2 −12x+20=0. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

ಅನುಬಂಧ 4

ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಮೀಕರಣಗಳು.

1. ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

2. ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

3. ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

4. ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

5. ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

6. ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

7. ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

8. ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

9. ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

10. ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

11. ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

12. ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

13. ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

14. ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

15. ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

16. ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

17. ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

18. ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

19. ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

20. ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

21. ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

22. ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

23. ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಅನುಬಂಧ 5

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮೀಕರಣಗಳು.

1. ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವನ್ನು ಹುಡುಕಿ (x+3)2 =(x+8)2 .

2. ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವನ್ನು ಹುಡುಕಿ (x−5)2 =(x+10)2 .

3. ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವನ್ನು ಹುಡುಕಿ (x+9)2 =(x+6)2 .

4. ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವನ್ನು ಹುಡುಕಿ (x+10)2 =(x-9)2 .

5. ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವನ್ನು ಹುಡುಕಿ (x−5)2 =(x−8)2 .

6. ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

7. ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

8. ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

9. ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

10. ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

11. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ (x+2)(− x+6)=0. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

12. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ (x+3)(-x−2)=0. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

13. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ (x−11)(− x+9)=0. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

14. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ (x−1)(− x−4)=0. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

15. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ (x−2)(− x−1)=0. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

16. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ (x+20)(-x+10)=0. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

17. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ (x−2)(− x−3)=0. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

18. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ (x−7)(− x+2)=0. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

19. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ (x−5)(− x−10)=0. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

20. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ (x+10)(− x−8)=0. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

21. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ (− 5x+3)(- x+6)=0. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

22. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ (− 2x+1)(- 2x-7)=0. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

23. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ (-x−4)(3x+3)=0. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

24. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ (x−6)(4x−6)=0. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

25. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ (− 5x−3)(2x−1)=0. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

26. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ (x−2)(− 2x−3)=0. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

27. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ (5x+2)(− x−4)=0. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

28. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ (x−6)(− 5x−9)=0. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

29. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ (6x−3)(− x+3)=0. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

30. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ (5x−2)(-x+3)=0. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

31. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

32. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

33. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

34. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

35. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

36. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

37. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

38. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

39. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

40 ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

41. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ x(x2 +2x+1)=2(x+1).

42. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ (x−1)(x2 +4x+4)=4(x+2).

43. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ x(x2 +6x+9)=4(x+3).

44. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ (x−1)(x2 +8x+16)=6(x+4).

45. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ x(x2 +2x+1)=6(x+1).

46. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ (x−1)(x2 +6x+9)=5(x+3).

47. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ (x−2)(x2 +8x+16)=7(x+4).

48. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ x(x2 +4x+4)=3(x+2).

49. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ (x−2)(x2 +2x+1)=4(x+1).

50. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ (x−2)(x2 +6x+9)=6(x+3).

51. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ (x+2)4 −4(x+2)2 −5=0.

52. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ (x+1)4 +(x+1)2 −6=0.

53. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ (x+3)4 +2(x+3)2 −8=0.

54. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ (x−1)4 −2(x−1)2 −3=0.

55. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ (x−2)4 -(x-2)2 −6=0.

56. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ (x−3)4 −3(x−3)2 −10=0.

57. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ (x+4)4 −6(x+4)2 −7=0.
58. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ (x−4)4 −4(x−4)2 −21=0.

59. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ (x+2)4 +(x+2)2 −12=0.

60. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ (x−2)4 +3(x−2)2 −10=0.

61. x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ3 +3x2 =16x+48.

62. x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ3 +4x2 =4x+16.

63. x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ3 +6x2 =4x+24.

64. x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ3 +6x2 =9x+54.

65. x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ3 +3x2 =4x+12.

66. x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ3 +2x2 =9x+18.

67. x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ3 +7x2 =4x+28.

68. x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ3 +4x2 =9x+36.

69. x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ3 +5x2 =4x+20.

70. x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ3 +5x2 =9x+45.

71. x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ3 +3x2 −x−3=0.

72. x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ3 +4x2 −4x−16=0.

73. x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ3 +5x2 −x−5=0.

74. x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ3 +2x2 −x−2=0.

75. x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ3 +3x2 −4x−12=0.

76. x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ3 +2x2 −9x−18=0.

77. x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ3 +4x2 −x−4=0.

78. x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ3 +4x2 −9x−36=0.

79. x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ3 +5x2 −4x−20=0.
80. x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ3 +5x2 −9x−45=0.

81. x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ4 =(x−20)2 .

82. x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ4 =(2x−15)2 .

83. x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ4 =(3x−10)2 .

84. x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ4 =(4x−5)2 .

85. x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ4 =(x−12)2 .

86. x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ4 =(2x−8)2 .

87. x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ4 =(3x−4)2 .

88. x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ4 =(x−6)2 .

89. x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ4 =(2x−3)2 .

90. x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ4 =(x−2)2 .

91. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

92. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

93. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

94. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

95. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

96. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

97. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

98. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

99. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

100. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

101. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

102. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

103. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

104. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

105. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

106. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

107. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

108. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

109. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

110. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

! ಸಿದ್ಧಾಂತದಿಂದ ಅಭ್ಯಾಸಕ್ಕೆ;

! ಸರಳದಿಂದ ಸಂಕೀರ್ಣಕ್ಕೆ

MAOU "ಪ್ಲಾಟೋಶಿನ್ಸ್ಕಾಯಾ ಮಾಧ್ಯಮಿಕ ಶಾಲೆ",

ಗಣಿತ ಶಿಕ್ಷಕ, ಮೆಲೆಖಿನಾ ಜಿ.ವಿ.

ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ನೋಟ: ಕೊಡಲಿ + ಬಿ = 0 ,

ಎಲ್ಲಿ ಎಮತ್ತು ಬಿ- ಸಂಖ್ಯೆಗಳು (ಗುಣಾಂಕಗಳು).

ಒಂದು ವೇಳೆ a = 0ಮತ್ತು b = 0, ಅದು 0x+ 0 = 0 - ಅನಂತ ಅನೇಕ ಬೇರುಗಳು;
ಒಂದು ವೇಳೆ a = 0ಮತ್ತು ಬಿ ≠ 0, ಅದು 0x+ b = 0- ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳಿಲ್ಲ
ಒಂದು ವೇಳೆ a ≠ 0ಮತ್ತು ಬಿ = 0 , ಅದು ಕೊಡಲಿ + 0 = 0 - ಒಂದು ಮೂಲ, x = 0;
ಒಂದು ವೇಳೆ a ≠ 0ಮತ್ತು ಬಿ ≠ 0 , ಅದು ಕೊಡಲಿ + ಬಿ = 0 - ಒಂದು ಮೂಲ

! X ಮೊದಲ ಶಕ್ತಿಗೆ ಮತ್ತು ಛೇದದಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರದಿದ್ದರೆ, ಇದು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ

! ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದ್ದರೆ ಏನು ಸಂಕೀರ್ಣ :

! ಎಡಕ್ಕೆ X ಜೊತೆಗಿನ ನಿಯಮಗಳು, ಬಲಕ್ಕೆ X ಇಲ್ಲದೆ.

! ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸಹ ರೇಖೀಯ .

! ಅನುಪಾತದ ಮುಖ್ಯ ಆಸ್ತಿ (ಅಡ್ಡವಾಗಿ).

! ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯಿರಿ, X ಎಡಕ್ಕೆ, X ಇಲ್ಲದೆ ಬಲಕ್ಕೆ.

ಗುಣಾಂಕ ಇದ್ದರೆ a = 1, ನಂತರ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ನೀಡಿದ :

ಗುಣಾಂಕ ಇದ್ದರೆ ಬಿ = 0 ಅಥವಾ (ಮತ್ತು) c = 0, ನಂತರ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅಪೂರ್ಣ :

! ಮೂಲ ಸೂತ್ರಗಳು

! ಇನ್ನಷ್ಟು ಸೂತ್ರಗಳು

ದ್ವಿಚಕ್ರ ಸಮೀಕರಣರೂಪದ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕೊಡಲಿ 4 +bx 2 + ಸಿ = 0 .

ದ್ವಿಚಕ್ರ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ನಂತರ

ನಾವು ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ ಮತ್ತು ಬದಲಿಯಾಗಿ ಹಿಂತಿರುಗಿ:

ಉದಾಹರಣೆ 1:

x ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ 4 + 5x 2 – 36 = 0.

ಪರಿಹಾರ:

ಪರ್ಯಾಯ: x 2 = t.

t 2 + 5t - 36 = 0. t 1 = -9 ಮತ್ತು t 2 = 4 ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು.

x 2 \u003d -9 ಅಥವಾ x 2 \u003d 4.

ಉತ್ತರ: ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲ, ಎರಡನೆಯದರಿಂದ: x \u003d ± 2.

ಉದಾಹರಣೆ 2:

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ (2x - 1) 4 - 25 (2x - 1) 2 + 144 = 0.

ಪರಿಹಾರ:

ಪರ್ಯಾಯ: (2x - 1) 2 = ಟಿ.

t 2 - 25t + 144 = 0. t 1 = 9 ಮತ್ತು t 2 = 16 ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು.

(2x - 1) 2 = 9 ಅಥವಾ (2x - 1) 2 = 16.

2x - 1 = ±3 ಅಥವಾ 2x - 1 = ±4.

ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಎರಡು ಬೇರುಗಳಿವೆ: x \u003d 2 ಮತ್ತು x \u003d -1, ಎರಡನೆಯದರಿಂದ ಎರಡು ಬೇರುಗಳಿವೆ: x \u003d 2.5 ಮತ್ತು x \u003d -1.5.

ಉತ್ತರ: -1.5; -1; 2; 2.5

1) X 4 - 9 X 2 = 0; 2) 4 X 4 - x 2 \u003d 0;

1) X 4 + x 2 - 2 = 0;

2) X 4 - 3 X 2 - 4 = 0; 3) 9 X 4 + 8 X 2 - 1 = 0; 4) 20 X 4 - X 2 - 1 = 0.

ಎಡಭಾಗದಿಂದ ಹೊರತೆಗೆಯುವ ಮೂಲಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ ಪೂರ್ಣ ಚೌಕ :

1) X 4 - 20 X 2 + 64 = 0; 2) X 4 - 13 X 2 + 36 = 0; 3) X 4 - 4 X 2 + 1 = 0; 4) X 4 + 2 X 2 +1 = 0.

! ಮೊತ್ತದ ವರ್ಗ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವರ್ಗವನ್ನು ನೆನಪಿಡಿ

ತರ್ಕಬದ್ಧ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗಳಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟ ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ Xನೈಸರ್ಗಿಕ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಸಂಕಲನ, ವ್ಯವಕಲನ, ಗುಣಾಕಾರ, ಭಾಗಾಕಾರ ಮತ್ತು ಘಾತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು.

ಒಂದು ವೇಳೆ r(x)ತರ್ಕಬದ್ಧ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ, ನಂತರ ಸಮೀಕರಣ ಆರ್(x)=0ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್:

1. ಸಮೀಕರಣದ ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳನ್ನು ಒಂದು ಭಾಗಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಿ.

2. ಸಮೀಕರಣದ ಈ ಭಾಗವನ್ನು ಬೀಜಗಣಿತದ ಭಾಗದ ರೂಪಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಿ p(x)/q(x)

3. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ p(x)=0

4. ಸಮೀಕರಣದ ಪ್ರತಿ ಮೂಲಕ್ಕೆ p(x)=0ಇದು ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ q(x)≠0ಅಥವಾ ಇಲ್ಲ. ಹೌದು ಎಂದಾದರೆ, ಇದು ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವಾಗಿದೆ; ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಇದು ಬಾಹ್ಯ ಮೂಲವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಬಾರದು.

! ಭಾಗಶಃ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ:

! ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕಾಗಿ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಮರುಪಡೆಯಲು ಇದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ:

ಸಮೀಕರಣವು ವರ್ಗಮೂಲ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ .

ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸುವ ವಿಧಾನ- ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮುಖ್ಯ ವಿಧಾನ.

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದ ನಂತರ, ಇದು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ ಒಂದು ಚೆಕ್ ಮಾಡಿ , ಸಂಭವನೀಯ ಬಾಹ್ಯ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಶೋಧಿಸುವುದು.

ಉತ್ತರ: 5; 4

ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆ:

ಪರೀಕ್ಷೆ:

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಅರ್ಥವಿಲ್ಲ.

ಉತ್ತರ:ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳಿಲ್ಲ.

ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರ

OGE ಗಾಗಿ ತಯಾರಿ

ಗ್ರೇಡ್ 9

ಸೇಂಟ್ ಪೀಟರ್ಸ್ಬರ್ಗ್ ಪುತ್ರೋವಾ ಮರೀನಾ ನಿಕೋಲೇವ್ನಾ ನೆವ್ಸ್ಕಿ ಜಿಲ್ಲೆಯ GBOU ಶಾಲೆಯ ಸಂಖ್ಯೆ 14 ರಲ್ಲಿ ಗಣಿತದ ಶಿಕ್ಷಕರಿಂದ ತಯಾರಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ

ವಾಕ್ಯಗಳನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿ:

1) ಸಮೀಕರಣವು...

2) ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವೆಂದರೆ...

3) ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಎಂದರೆ...

I. ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಮೌಖಿಕವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಿ:

1) 6x + 18=0
2) 2x + 5=0
3) 5x - 3=0
4) -3x + 9=0
5) -5x + 1=0
6) -2x - 10=0
7) 6x - 7=5x
8) 9x + 6=10x
9) 5x - 12=8x

ಕೆಳಗಿನ ಯಾವ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ:

ಎ) 2x - 14 = x + 7

ಬಿ) 2x - 14 = 2(x - 7)

ವಿ). x - 7 \u003d 2x + 14

ಜಿ). 2x-14 = 2x + 7?

ಯಾವ ಸಮೀಕರಣವು ಅನಂತ ಅನೇಕ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ?

ಎ) 4x - 12 = x - 12

ಬಿ) 4x - 12 = 4x + 12

ವಿ). 4(x - 3) = 4x - 12

ಜಿ). 4 (x - 3) \u003d x - 10?

ನೋಟದ ಸಮೀಕರಣಗಳು

kx + b = 0

ರೇಖೀಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ :

1) ಅಜ್ಞಾತವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪದಗಳನ್ನು ಎಡಭಾಗಕ್ಕೆ ಸರಿಸಿ, ಮತ್ತು ಅಜ್ಞಾತವನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಪದಗಳನ್ನು ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ಸರಿಸಿ (ವರ್ಗಾವಣೆ ಮಾಡಿದ ಸದಸ್ಯರ ಚಿಹ್ನೆಯು ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿದೆ);

2) ಸದಸ್ಯರಂತೆ ತರಲು;

3) ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಅಜ್ಞಾತ ಗುಣಾಂಕದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ, ಅದು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ.

ನೋಟ್ಬುಕ್ಗಳಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ :

II ಗುಂಪು: ಸಂಖ್ಯೆ 697 ಪು.63

x-1 +(x+2) = -4(-5-x)-5

ನಾನು ಗುಂಪು:

№ 681 ಪು.63

6(4x)+3x=3

III ಗುಂಪು: ಸಂಖ್ಯೆ 767 ಪುಟ 67

(x + 6) 2 + (x + 3) 2 = 2 x 2

ಟೈಪ್ ಸಮೀಕರಣ

ಆಹ್ 2 + bx + c \u003d 0,

ಅಲ್ಲಿ a≠0, b, c – ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಚೌಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅಪೂರ್ಣ ಸಮೀಕರಣಗಳು:

ಆಹ್ 2 + bх =0 (c=0),

ಆಹ್ 2 + c=0 (b=0).

II. ಮೌಖಿಕವಾಗಿ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ, ಅವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಥವಾ ಅಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ:

1) 5x 2 + 15x=0

2) -X 2 +2x = 0

3) X 2 -25=0

4) -X 2 +9 =0

5) -X 2 - 16 =0

6) X 2 - 8x + 15=0

7 ) . X 2 + 5x + 6=0

8) X 2 + x - 12 = 0

9).(-x-5)(-x+ 6)=0

ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು:

1) ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಯಾವ ಗುಣವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗಿದೆ?

2) ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಬಹುಪದವನ್ನು ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸುವ ಯಾವ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗಿದೆ?

3) ಸಂಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಯಾವುದು ?

0.2 ಬೇರುಗಳು; D = 0, 1 ಮೂಲ; D X 1.2 = "ಅಗಲ =" 640"

1) ಎರಡು ಅಂಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಎರಡನೆಯದು ಅದರ ಅರ್ಥವನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ: ab = 0 , ವೇಳೆ a = 0 ಅಥವಾ b = 0 .

2) ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಮತ್ತು

ಎ 2 -ಬಿ 2 =(a - b)(a + b) - ಚೌಕಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಸೂತ್ರ.

3) ಪೂರ್ಣ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣ ah 2 + ಬಿಎಕ್ಸ್ + ಸಿ = ಒ.

D=b 2 - 4ac ವೇಳೆ D0, 2 ಬೇರುಗಳು;

D = 0, 1 ಮೂಲ;

X 1,2 =

ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ :

ಗುಂಪು I: ಸಂಖ್ಯೆ 802 ಪುಟ 71 X 2 - 5x- 36 = 0

II ಗುಂಪು: ಸಂಖ್ಯೆ 810 ಪುಟ 71 3x 2 - x + 21=5x 2

III ಗುಂಪು: X 4 -5x 2 - 36 =0

III. ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ :

I ಮತ್ತು II ಗುಂಪು: ಸಂಖ್ಯೆ 860 = 0

III ಗುಂಪು: =0

ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಏನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ? ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಯಾವ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ?

ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ

ಅಂಶವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಛೇದವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಒಂದು ಭಾಗವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. =0 ಆಗಿದ್ದರೆ a = 0, b≠0.

ಗಣಿತದ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಇತಿಹಾಸ

ಪ್ರಾಚೀನ ಈಜಿಪ್ಟಿನ ಗಣಿತಜ್ಞರು ಚತುರ್ಭುಜ ಮತ್ತು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕೆಂದು ತಿಳಿದಿದ್ದರು.

ಪರ್ಷಿಯನ್ ಮಧ್ಯಕಾಲೀನ ವಿಜ್ಞಾನಿ ಅಲ್-ಖ್ವಾರಿಜ್ಮಿ (IX ಶತಮಾನ) ರೇಖೀಯ ಮತ್ತು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಧಾನಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಸ್ವತಂತ್ರ ವಿಜ್ಞಾನವಾಗಿ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಮೊದಲು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು, ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡಿದರು.

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಹೊಸ ಮಹಾನ್ ಪ್ರಗತಿಯು ಫ್ರೆಂಚ್ ವಿಜ್ಞಾನಿ ಫ್ರಾಂಕೋಯಿಸ್ ವಿಯೆಟಾ (XVI ಶತಮಾನ) ಹೆಸರಿನೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಅವರು ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳ ಮೇಲೆ ಅವರು ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾರೆ.

ಮತ್ತು ಲ್ಯಾಟಿನ್ ವರ್ಣಮಾಲೆಯ (x, y, z) ಕೊನೆಯ ಅಕ್ಷರಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಜ್ಞಾತ ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಸಂಪ್ರದಾಯಕ್ಕೆ ನಾವು ಇನ್ನೊಬ್ಬ ಫ್ರೆಂಚ್ ಗಣಿತಜ್ಞ - ರೆನೆ ಡೆಸ್ಕಾರ್ಟೆಸ್ (XVII) ಗೆ ಬದ್ಧರಾಗಿದ್ದೇವೆ.