Sadə həndəsi orta hesablamaq üçün düsturdan istifadə olunur:

Həndəsi çəkisi

Çəkili həndəsi ortanı müəyyən etmək üçün düsturdan istifadə olunur:

Təkərlərin, boruların orta diametrləri və kvadratların orta tərəfləri orta kvadratdan istifadə etməklə müəyyən edilir.

Kök-orta-kvadrat dəyərləri bəzi göstəriciləri hesablamaq üçün istifadə olunur, məsələn, istehsal ritmini xarakterizə edən variasiya əmsalı. Burada müəyyən bir dövr üçün planlaşdırılan istehsal məhsulundan standart sapma aşağıdakı düsturla müəyyən edilir:

Bu dəyərlər iqtisadi göstəricilərin orta dəyəri ilə qəbul edilən baza dəyəri ilə müqayisədə dəyişməsini dəqiq xarakterizə edir.

Kvadrat sadə

Kök orta kvadrat düsturla hesablanır:

Kvadrat ağırlıqlı

Orta çəkili kvadrat bərabərdir:

22. Variasiyanın mütləq göstəricilərinə aşağıdakılar daxildir:

variasiya diapazonu

orta xətti kənarlaşma

dispersiya

standart sapma

Dəyişiklik diapazonu (r)

Variasiya diapazonu- atributun maksimum və minimum dəyərləri arasındakı fərqdir

Tədqiq olunan populyasiyada xarakterik dəyərin dəyişməsi sərhədlərini göstərir.

Beş ərizəçinin əvvəlki işlərində iş təcrübəsi: 2,3,4,7 və 9 ildir. Həlli: dəyişmə diapazonu = 9 - 2 = 7 il.

Atribut dəyərlərindəki fərqlərin ümumiləşdirilmiş təsviri üçün arifmetik ortadan kənarlaşmaların nəzərə alınması əsasında orta variasiya göstəriciləri hesablanır. Fərq orta göstəricidən kənarlaşma kimi qəbul edilir.

Bu halda, bir xarakteristikanın variantlarının sapmalarının cəminin orta dönüşdən sıfıra (ortanın sıfır xassəsi) qarşısını almaq üçün ya sapma əlamətlərinə məhəl qoymamaq lazımdır, yəni bu cəmi modulu götürmək lazımdır. və ya sapma dəyərlərinin kvadratını alın

Orta xətti və kvadrat sapma

Orta xətti kənarlaşma bir xarakteristikanın fərdi qiymətlərinin ortadan mütləq sapmalarının arifmetik ortasıdır.

Orta xətti sapma sadədir:

Beş ərizəçinin əvvəlki işlərində iş təcrübəsi: 2,3,4,7 və 9 ildir.

Bizim nümunəmizdə: illər;

Cavab: 2,4 il.

Orta xətti kənarlaşmanın çəkisi qruplaşdırılmış məlumatlara aiddir:

Konvensiyasına görə, orta xətti kənarlaşma praktikada nisbətən nadir hallarda istifadə olunur (xüsusilə, çatdırılmanın vahidliyi ilə bağlı müqavilə öhdəliklərinin yerinə yetirilməsini xarakterizə etmək üçün; istehsalın texnoloji xüsusiyyətlərini nəzərə alaraq məhsulun keyfiyyətinin təhlilində).

Standart sapma

Variasiyanın ən mükəmməl xarakteristikası standart (və ya standart sapma) adlanan orta kvadrat kənarlaşmadır. Standart sapma() bərabərdir kvadrat kök xarakteristikanın fərdi dəyərlərinin orta kvadratından arifmetik ortaya doğru:

Standart sapma sadədir:

Qruplaşdırılmış məlumatlara ağırlıqlı standart kənarlaşma tətbiq edilir:

Normal paylanma şəraitində orta kök kvadrat və orta xətti kənarlaşmalar arasında aşağıdakı nisbət yaranır: ~ 1.25.

Variasiyanın əsas mütləq ölçüsü olan standart sapma normal paylanma əyrisinin ordinat dəyərlərinin müəyyən edilməsində, nümunə müşahidəsinin təşkili ilə bağlı hesablamalarda və nümunə xarakteristikalarının düzgünlüyünün müəyyən edilməsində, eləcə də standart sapmanın qiymətləndirilməsində istifadə olunur. homojen populyasiyada xarakteristikanın dəyişmə hüdudları.

X i - təsadüfi (cari) dəyişənlər;

X̅– Nümunə üçün təsadüfi dəyişənlərin orta qiyməti düsturla hesablanır:

Belə ki, dispersiya kənarlaşmaların orta kvadratıdır . Yəni əvvəlcə orta qiymət hesablanır, sonra götürülür hər bir orijinal və orta qiymət arasındakı fərq kvadratdır , əlavə edilir və sonra əhalidəki dəyərlərin sayına bölünür.

Fərdi qiymətlə orta göstərici arasındakı fərq sapma ölçüsünü əks etdirir. Bütün kənarlaşmaların yalnız müsbət ədədlərə çevrilməsi və onları yekunlaşdırarkən müsbət və mənfi sapmaların qarşılıqlı şəkildə məhv edilməsinin qarşısını almaq üçün kvadrat şəklində tərtib edilmişdir. Sonra, kvadratdan kənara çıxanları nəzərə alaraq, sadəcə arifmetik ortanı hesablayırıq.

Həll sehrli söz“Dispersiya” yalnız bu üç sözdən ibarətdir: orta – kvadrat – sapmalar.

Orta standart sapma(RMS)

Dispersiyanın kvadrat kökünü götürərək, "adlananı əldə edirik. standart sapma". adlar var "standart sapma" və ya "sigma" (yunan hərfinin adından σ .). Standart kənarlaşmanın düsturu belədir:

Belə ki, dispersiya siqmanın kvadratıdır və ya standart kənarlaşmanın kvadratıdır.

Standart sapma, açıq-aydın, məlumatların yayılması ölçüsünü də xarakterizə edir, lakin indi (dispersiyadan fərqli olaraq) onu orijinal məlumatlarla müqayisə etmək olar, çünki onlar eyni ölçü vahidlərinə malikdirlər (bu hesablama düsturundan aydındır). Dəyişiklik diapazonu ekstremal dəyərlər arasındakı fərqdir. Qeyri-müəyyənliyin ölçüsü kimi standart kənarlaşma bir çox statistik hesablamalarda da iştirak edir. Onun köməyi ilə müxtəlif təxminlərin və proqnozların dəqiqlik dərəcəsi müəyyən edilir. Dəyişiklik çox böyükdürsə, standart sapma da böyük olacaq və buna görə də proqnoz qeyri-dəqiq olacaq, məsələn, çox geniş etimad intervallarında ifadə ediləcəkdir.

Buna görə də daşınmaz əmlakın qiymətləndirilməsində statistik məlumatların işlənməsi üsullarında tapşırığın tələb olunan dəqiqliyindən asılı olaraq iki və ya üç siqma qaydasından istifadə olunur.

İki siqma qaydası ilə üç siqma qaydasını müqayisə etmək üçün Laplas düsturundan istifadə edirik:

F - F ,

burada Ф(x) Laplas funksiyasıdır;

Minimum dəyər

β = maksimum dəyər

s = siqma dəyəri (standart sapma)

a = orta

Bu vəziyyətdə istifadə olunur şəxsi görünüş X təsadüfi kəmiyyətinin dəyərlərinin α və β sərhədləri a = M(X) paylanmasının mərkəzindən müəyyən d dəyəri ilə bərabər məsafədə olduqda Laplas düsturu: a = a-d, b = a+d. Və ya (1) Formula (1) normal paylanma qanunu olan X təsadüfi kəmiyyətinin verilmiş d sapmasının M(X) = a riyazi gözləntisindən yaranma ehtimalını müəyyən edir.

Əgər (1) düsturunda ardıcıl olaraq d = ​​2s və d = 3s götürsək, alarıq: (2), (3).

İki siqma qaydası

Normal paylanma qanunu olan X təsadüfi kəmiyyətinin bütün qiymətlərinin onun M(X) = a riyazi gözləntisindən 2 saniyədən çox olmayan bir məbləğlə (iki standart sapma) sapması demək olar ki, etibarlı ola bilər (0,954 inam ehtimalı ilə) ). Etibarlılıq ehtimalı (Pd) şərti olaraq etibarlı kimi qəbul edilən hadisələrin baş vermə ehtimalıdır (onların ehtimalı 1-ə yaxındır). İki siqma qaydasını həndəsi şəkildə təsvir edək. Şəkildə. Şəkil 6 paylama mərkəzi a olan Qauss əyrisini göstərir. Bütün əyri və Ox oxu ilə məhdudlaşan sahə 1 (100%) və sahə iki siqma qaydasına görə a–2s və a+2s absisləri arasında 0,954-ə bərabərdir (ümumi sahənin 95,4%-i). Kölgəli sahələrin sahəsi 1-0,954 = 0,046 (ümumi sahənin »5%) təşkil edir. Bu sahələr təsadüfi dəyişənin kritik bölgəsi adlanır. Təsadüfi dəyişənin kritik bölgəyə düşməsi ehtimalı azdır və praktikada şərti olaraq qeyri-mümkün kimi qəbul edilir.

Şərti olaraq qeyri-mümkün dəyərlərin ehtimalı təsadüfi dəyişənin əhəmiyyət səviyyəsi adlanır. Əhəmiyyət səviyyəsi inam ehtimalı ilə aşağıdakı düsturla əlaqələndirilir:

burada q faizlə ifadə olunan əhəmiyyət səviyyəsidir.

Üç siqma qaydası

Daha çox etibarlılıq tələb edən məsələlərin həlli zamanı etimad ehtimalı (Pd) 0,997-yə (daha dəqiq desək, 0,9973) bərabər götürüldükdə, iki siqma qaydası əvəzinə (3) düstura görə qaydadan istifadə olunur. üç siqma

görə üç siqma qaydası 0,9973 etibarlılıq ehtimalı ilə kritik sahə intervaldan kənar atribut dəyərlərinin sahəsi olacaqdır (a-3s, a+3s). Əhəmiyyətlilik səviyyəsi 0,27% təşkil edir.

Başqa sözlə, kənarlaşmanın mütləq qiymətinin standart kənarlaşmadan üç dəfə çox olması ehtimalı çox kiçikdir, yəni 0,0027 = 1-0,9973. Bu o deməkdir ki, bu halların yalnız 0,27%-i baş verəcək. Mümkün olmayan hadisələrin mümkünsüzlüyü prinsipinə əsaslanan bu cür hadisələri praktiki olaraq qeyri-mümkün hesab etmək olar. Bunlar. nümunə götürmə çox dəqiqdir.

Üç siqma qaydasının mahiyyəti budur:

Əgər təsadüfi dəyişən normal paylanmışdırsa, onda onun riyazi gözləntidən kənara çıxmasının mütləq qiyməti standart kənarlaşmadan (MSD) üç dəfə artıq olmur.

Təcrübədə üç siqma qaydası aşağıdakı kimi tətbiq edilir: tədqiq olunan təsadüfi kəmiyyətin paylanması məlum deyilsə, lakin yuxarıda göstərilən qaydada göstərilən şərt yerinə yetirilirsə, o zaman tədqiq olunan dəyişənin normal paylandığını güman etməyə əsas var. ; əks halda normal paylanmır.

Əhəmiyyət səviyyəsi icazə verilən risk dərəcəsindən və qarşıya qoyulan vəzifədən asılı olaraq qəbul edilir. Daşınmaz əmlakın qiymətləndirilməsi üçün adətən iki siqma qaydasına əməl edərək daha az dəqiq nümunə qəbul edilir.

Bu yazıda mən danışacağam standart sapmanı necə tapmaq olar. Bu material riyaziyyatı tam başa düşmək üçün son dərəcə vacibdir, ona görə də riyaziyyat müəllimi onu öyrənməyə ayrıca bir dərs və ya hətta bir neçə dərs ayırmalıdır. Bu yazıda siz standart sapmanın nə olduğunu və onu necə tapmaq lazım olduğunu izah edən ətraflı və başa düşülən video təlimatına keçid tapa bilərsiniz.

Standart sapma müəyyən bir parametrin ölçülməsi nəticəsində əldə edilən dəyərlərin yayılmasını qiymətləndirməyə imkan verir. Simvol (yunan hərfi "sigma") ilə göstərilir.

Hesablama düsturu olduqca sadədir. Standart kənarlaşmanı tapmaq üçün dispersiyanın kvadrat kökünü götürməlisiniz. Beləliklə, indi siz soruşmalısınız: "Varisiya nədir?"

Variasiya nədir

Variasiyanın tərifi belədir. Dispersiya dəyərlərin ortadan kvadrat sapmalarının arifmetik ortasıdır.

Fərqi tapmaq üçün ardıcıl olaraq aşağıdakı hesablamaları yerinə yetirin:

• Ortanı təyin edin (bir sıra qiymətlərin sadə arifmetik ortası).
• Sonra hər bir dəyərdən ortanı çıxarın və yaranan fərqin kvadratını alın (alırsınız kvadrat fərq).
• Növbəti addım nəticədə yaranan kvadrat fərqlərin arifmetik ortasını hesablamaqdır (Siz aşağıda tam olaraq kvadratların niyə olduğunu öyrənə bilərsiniz).

Bir nümunəyə baxaq. Deyək ki, siz və dostlarınız itlərinizin hündürlüyünü (millimetrlə) ölçməyə qərar verdiniz. Ölçmələr nəticəsində aşağıdakı hündürlük ölçülərini aldınız (quru yerlərdə): 600 mm, 470 mm, 170 mm, 430 mm və 300 mm.

Orta, dispersiya və standart kənarlaşmanı hesablayaq.

Əvvəlcə orta dəyəri tapaq. Artıq bildiyiniz kimi, bunu etmək üçün bütün ölçülmüş dəyərləri toplamaq və ölçmələrin sayına bölmək lazımdır. Hesablamanın gedişatı:

Orta mm.

Beləliklə, orta (arifmetik orta) 394 mm-dir.

İndi müəyyən etməliyik hər bir itin hündürlüyünün orta göstəricidən sapması:

Nəhayət, dispersiyanı hesablamaq üçün, nəticədə yaranan fərqlərin hər birini kvadratlaşdırırıq və sonra alınan nəticələrin arifmetik ortasını tapırıq:

Dispersiya mm 2.

Beləliklə, dispersiya 21704 mm 2-dir.

Standart sapmanı necə tapmaq olar

İndi biz dispersiyanı bilə-bilə standart kənarlaşmanı necə hesablaya bilərik? Xatırladığımız kimi, bunun kvadrat kökünü götürün. Yəni standart sapma bərabərdir:

Mm (mm ilə ən yaxın tam ədədə yuvarlaqlaşdırılır).

Bu üsuldan istifadə edərək, bəzi itlərin (məsələn, Rottweilers) çox olduğunu gördük böyük itlər. Ancaq çox kiçik itlər də var (məsələn, dachshunds, ancaq onlara bunu deməməlisiniz).

Ən maraqlısı odur ki, standart sapma özü ilə birlikdə daşıyır faydalı məlumat. İndi əldə edilən hündürlüyü ölçmə nəticələrindən hansının ortadan (onun hər iki tərəfinə) standart kənarlaşmasını çəksək əldə etdiyimiz intervalda olduğunu göstərə bilərik.

Yəni, standart sapmadan istifadə edərək, dəyərlərdən hansının normal (statistik olaraq orta) və hansının qeyri-adi dərəcədə böyük və ya əksinə kiçik olduğunu öyrənməyə imkan verən "standart" bir üsul əldə edirik.

Standart sapma nədir

Amma... təhlil etsək hər şey bir az fərqli olacaq nümunə data. Nümunəmizdə nəzərdən keçirdik ümumi əhali. Yəni 5 itimiz dünyada bizi maraqlandıran yeganə itlərdi.

Ancaq məlumatlar bir nümunədirsə (böyük əhalidən seçilmiş dəyərlər), onda hesablamalar fərqli şəkildə aparılmalıdır.

Dəyərlər varsa, onda:

Bütün digər hesablamalar eyni şəkildə aparılır, o cümlədən ortalamanın müəyyən edilməsi.

Məsələn, əgər beş itimiz yalnız it populyasiyasının bir nümunəsidirsə (planetdəki bütün itlər), biz aşağıdakılara bölmək lazımdır. 4 deyil, 5, yəni:

Nümunə fərqi = mm 2.

Bu halda, nümunə üçün standart sapma bərabərdir mm (ən yaxın tam ədədə yuvarlaqlaşdırılıb).

Dəyərlərimizin kiçik bir nümunə olduğu halda bəzi "düzəlişlər" etdiyimizi söyləyə bilərik.

Qeyd. Niyə dəqiq kvadrat fərqlər?

Bəs niyə biz dispersiyanı hesablayarkən dəqiq kvadrat fərqləri götürürük? Tutaq ki, hansısa parametri ölçərkən siz aşağıdakı qiymətlər toplusunu aldınız: 4; 4; -4; -4. Sadəcə öz aralarında ortadan (fərqlərdən) mütləq kənarlaşmaları toplasaq... mənfi dəyərlər müsbət olanlarla qarşılıqlı olaraq ləğv edəcək:

.

Belə çıxır ki, bu variant faydasızdır. O zaman bəlkə sapmaların mütləq dəyərlərini (yəni bu dəyərlərin modullarını) sınamağa dəyər?

İlk baxışdan yaxşı çıxır (nəticədə olan dəyər, yeri gəlmişkən, orta mütləq sapma adlanır), lakin bütün hallarda deyil. Başqa bir nümunəyə cəhd edək. Ölçmə aşağıdakı qiymətlər toplusunda nəticələnsin: 7; 1; -6; -2. Onda orta mütləq kənarlaşma:

Vay! Yenə 4 nəticə əldə etdik, baxmayaraq ki, fərqlər daha geniş yayılıb.

İndi görək fərqləri kvadratlaşdırsaq (sonra onların cəminin kvadrat kökünü götürsək) nə baş verəcək.

Birinci misal üçün belə olacaq:

.

İkinci misal üçün belə olacaq:

İndi tamam başqa məsələdir! Fərqlərin yayılması nə qədər böyükdürsə, standart kənarlaşma da bir o qədər böyükdür... bu, bizim məqsədimizdir.

Əslində, in bu üsul Eyni fikir nöqtələr arasındakı məsafəni hesablayarkən istifadə olunur, yalnız fərqli bir şəkildə tətbiq olunur.

Riyazi nöqteyi-nəzərdən, kvadratlardan və kvadrat köklərdən istifadə bizim mütləq kənarlaşma dəyərlərindən əldə edə biləcəyimizdən daha çox fayda təmin edərək, standart kənarlaşmanı digər riyazi problemlərə tətbiq etmək imkanı verir.

Sergey Valerieviç sizə standart sapmanı necə tapacağınızı söylədi

Gözləmə və fərqlilik

Təsadüfi dəyişəni ölçək N dəfə, məsələn, küləyin sürətini on dəfə ölçür və orta dəyəri tapmaq istəyirik. Orta qiymət paylama funksiyası ilə necə bağlıdır?

Zərləri çox sayda atacağıq. Hər atışda zarda görünəcək xalların sayı təsadüfi dəyişəndir və 1-dən 6-a qədər istənilən təbii qiymət ala bilər. Bütün zar atışları üçün hesablanmış atılan xalların arifmetik ortalaması da təsadüfi dəyişəndir, lakin böyük olanlar üçün Nçox konkret rəqəmə - riyazi gözləntiyə meyllidir M x. Bu halda M x = 3,5.

Bu dəyəri necə əldə etdiniz? İcazə verin N testlər, bir dəfə 1 bal, bir dəfə 2 bal və s. Sonra Nə vaxt N→ ∞ bir nöqtənin yuvarlandığı nəticələrin sayı, Eynilə, Beləliklə

Model 4.5. Zar

İndi fərz edək ki, təsadüfi dəyişənin paylanma qanununu bilirik x, yəni təsadüfi dəyişən olduğunu bilirik x dəyərlər qəbul edə bilər x 1 , x 2 , ..., x k ehtimallarla səh 1 , səh 2 , ..., p k.

Gözləmə M x təsadüfi dəyişən x bərabərdir:

Cavab verin. 2,8.

Riyazi gözlənti həmişə bəzi təsadüfi dəyişənin ağlabatan qiymətləndirilməsi deyil. Beləliklə, orta hesabla əmək haqqı Median anlayışından, yəni elə bir dəyərdən istifadə etmək daha məntiqlidir ki, əmək haqqı alanların sayı mediandan aşağı və daha böyük olanların sayı üst-üstə düşsün.

Median təsadüfi dəyişənə ədəd deyilir x 1/2 belədir səh (x < x 1/2) = 1/2.

Başqa sözlə, ehtimal səh 1 təsadüfi dəyişəndir x kiçik olacaq x 1/2 və ehtimal səh 2 təsadüfi dəyişəndir x daha böyük olacaq x 1/2 eynidir və 1/2-ə bərabərdir. Median bütün paylamalar üçün unikal şəkildə müəyyən edilmir.

Gəlin təsadüfi dəyişənə qayıdaq x dəyərləri qəbul edə bilən x 1 , x 2 , ..., x k ehtimallarla səh 1 , səh 2 , ..., p k.

Fərqlilik təsadüfi dəyişən x Təsadüfi dəyişənin onun riyazi gözləntisindən kvadratik sapmasının orta qiyməti deyilir:

Misal 2

Əvvəlki nümunənin şərtlərinə əsasən, təsadüfi dəyişənin dispersiyasını və standart kənarlaşmasını hesablayın x.

Cavab verin. 0,16, 0,4.

Model 4.6. Hədəfə atəş

Misal 3

Zərlərin birinci atışında alınan xalların sayının ehtimal paylanmasını, medianı, riyazi gözləntiyi, dispersiyanı və standart kənarlaşmanı tapın.

İstənilən kənarın yıxılma ehtimalı bərabərdir, buna görə də paylama belə görünəcək:

Standart sapma Görünür ki, dəyərin orta qiymətdən kənarlaşması çox böyükdür.

Riyazi gözləmənin xüsusiyyətləri:

• Müstəqil təsadüfi dəyişənlərin cəminin riyazi gözləntiləri onların riyazi gözləntilərinin cəminə bərabərdir:

Misal 4

İki zərə yuvarlanan xalların cəmi və hasilinin riyazi gözləntisini tapın.

3-cü misalda biz bunu bir kub üçün tapdıq M (x) = 3.5. Beləliklə, iki kub üçün

Dispersiya xüsusiyyətləri:

• Müstəqil təsadüfi dəyişənlərin cəminin dispersiyası dispersiyaların cəminə bərabərdir:

Dx + y = Dx + Dy.

Qoy N yuvarlanan zar üzərində rulonlar y xal. Sonra

Bu nəticə təkcə zar atmalarına aid deyil. Bir çox hallarda riyazi gözləntilərin empirik şəkildə ölçülməsinin düzgünlüyünü müəyyən edir. Görünür ki, ölçmələrin sayı artdıqca N dəyərlərin orta, yəni standart sapma ətrafında yayılması mütənasib olaraq azalır

Təsadüfi kəmənin dispersiyası bu təsadüfi dəyişənin kvadratının riyazi gözləntiləri ilə aşağıdakı əlaqə ilə əlaqələndirilir:

Bu bərabərliyin hər iki tərəfinin riyazi gözləntilərini tapaq. Tərifinə görə,

Riyazi gözləntilərin xassəsinə görə bərabərliyin sağ tərəfinin riyazi gözləntisi bərabərdir.

Standart sapma

Standart sapma dispersiyanın kvadrat kökünə bərabərdir:
Tədqiq olunan əhalinin kifayət qədər böyük həcmi üçün standart sapmanı təyin edərkən (n> 30) aşağıdakı düsturlardan istifadə olunur:

Əlaqədar məlumat.

Dispersiya. Standart sapma

Dispersiya hər bir atribut dəyərinin ümumi ortadan kvadrat sapmalarının arifmetik ortasıdır. Mənbə məlumatlarından asılı olaraq, dispersiya çəkisiz (sadə) və ya çəkili ola bilər.

Dispersiya aşağıdakı düsturlarla hesablanır:

· qruplaşdırılmamış məlumatlar üçün

· qruplaşdırılmış məlumatlar üçün

Çəkili fərqin hesablanması qaydası:

1. arifmetik çəkili ortanı müəyyən edin

2. variantın orta göstəricidən kənarlaşmaları müəyyən edilir

3. hər bir variantın ortadan kənarlaşmasını kvadrata çevirin

4. sapmaların kvadratlarını çəkilərə (tezliklərə) vurun

5. əldə olunan məhsulları ümumiləşdirin

6. alınan məbləğ tərəzilərin cəminə bölünür

Dispersiyanı təyin etmək üçün düstur aşağıdakı formulaya çevrilə bilər:

- sadə

Variasiyanın hesablanması proseduru sadədir:

1. arifmetik ortanı təyin edin

2. arifmetik ortanın kvadratı

3. cərgədəki hər variantı kvadrata çəkin

4. kvadratların cəmini tapın

5. kvadratların cəmini onların sayına bölmək, yəni. orta kvadratını təyin edin

6. xarakteristikanın orta kvadratı ilə ortanın kvadratı arasındakı fərqi müəyyən edin

Həmçinin, çəkili dispersiyanı təyin etmək üçün düstur aşağıdakı düstura çevrilə bilər:

olanlar. dispersiya atributun kvadrat dəyərlərinin ortası ilə arifmetik ortanın kvadratı arasındakı fərqə bərabərdir. Dəyişdirilmiş düsturdan istifadə edərkən, x-dən bir xarakteristikanın fərdi dəyərlərindən sapmaların hesablanması üçün əlavə prosedur aradan qaldırılır və sapmaların yuvarlaqlaşdırılması ilə əlaqəli hesablamadakı səhv aradan qaldırılır.

Dispersiyanın bir sıra xüsusiyyətləri var, onlardan bəziləri hesablamağı asanlaşdırır:

1) sabit qiymətin dispersiyasının sıfır olması;

2) atribut dəyərlərinin bütün variantları eyni sayda azaldılırsa, dispersiya azalmayacaq;

3) atribut dəyərlərinin bütün variantları eyni sayda (qat) azaldılırsa, onda dispersiya bir əmsal azalacaq

Standart sapma S- dispersiyanın kvadrat kökünü təmsil edir:

· qruplaşdırılmamış məlumatlar üçün:

;

· variasiya seriyası üçün:

Dəyişiklik diapazonu, xətti orta və standart kənara kəmiyyətlər adlanır. Onlar fərdi xarakteristik dəyərlərlə eyni ölçü vahidlərinə malikdirlər.

Variasiya və standart sapma ən çox istifadə edilən variasiya ölçüləridir. Bu, onların riyazi statistikanın əsası kimi xidmət edən ehtimal nəzəriyyəsinin əksər teoremlərinə daxil olması ilə izah olunur. Bundan əlavə, dispersiya onun tərkib elementlərinə parçalana bilər ki, bu da əlamətin dəyişməsini müəyyən edən müxtəlif amillərin təsirini qiymətləndirməyə imkan verir.

Mənfəət marjasına görə qruplaşdırılmış banklar üzrə variasiya göstəricilərinin hesablanması cədvəldə göstərilmişdir.

Mənfəət məbləği, milyon rubl.	Bankların sayı	hesablanmış göstəricilər
3,7 - 4,6 (-)		4,15	8,30	-1,935	3,870	7,489
4,6 - 5,5		5,05	20,20	- 1,035	4,140	4,285
5,5 - 6,4		5,95	35,70	- 0,135	0,810	0,109
6,4 - 7,3		6,85	34,25	+0,765	3,825	2,926
7,3 - 8,2		7,75	23,25	+1,665	4,995	8,317
Cəmi:			121,70		17,640	23,126

Orta xətti və standart sapma bir xarakteristikanın dəyərinin tədqiq olunan vahidlər və əhali arasında orta hesabla nə qədər dəyişdiyini göstərir. Beləliklə, bu halda mənfəətin orta dalğalanması: orta xətti sapmaya görə, 0,882 milyon rubl; standart sapma ilə - 1,075 milyon rubl. Standart kənarlaşma həmişə orta xətti kənarlaşmadan böyükdür. Əgər xarakteristikanın paylanması normala yaxındırsa, onda S və d arasında əlaqə var: S=1,25d, yaxud d=0,8S. Standart kənarlaşma əhali vahidlərinin əsas hissəsinin arifmetik ortaya nisbətən necə yerləşdiyini göstərir. Paylanmanın formasından asılı olmayaraq, atributun 75 dəyəri x 2S intervalına düşür və bütün dəyərlərin ən azı 89-u x 3S intervalına düşür (P.L. Chebyshev teoremi).