Tutaq ki, Axilles tısbağadan on dəfə tez qaçır və ondan min addım arxadadır. Bu məsafəni qaçmaq üçün Axillesə lazım olan müddət ərzində tısbağa eyni istiqamətdə yüz addım sürünəcək. Axilles yüz addım qaçanda, tısbağa daha on addım sürünür və s. Proses sonsuza qədər davam edəcək, Axilles heç vaxt tısbağaya yetişməyəcək.
Bu mülahizə bütün sonrakı nəsillər üçün məntiqi sarsıntıya çevrildi. Aristotel, Diogen, Kant, Hegel, Hilbert... Hamısı bu və ya digər şəkildə Zenon aporiyasını hesab edirdilər. Sarsıntı o qədər güclü idi ki, " ...müzakirələr bu günə qədər davam edir, elmi ictimaiyyət hələ də paradoksların mahiyyəti ilə bağlı ortaq fikrə gələ bilməyib...məsələnin araşdırılmasına cəlb edilib; riyazi analiz, çoxluq nəzəriyyəsi, yeni fiziki və fəlsəfi yanaşmalar; onların heç biri problemin ümumi qəbul edilmiş həllinə çevrilmədi..."[Vikipediya, "Zenonun Aporiyası". Hər kəs aldandıqlarını başa düşür, amma aldatmağın nədən ibarət olduğunu heç kim başa düşmür.
Riyazi nöqteyi-nəzərdən Zenon öz aporiyasında kəmiyyətdən -ə keçidi aydın şəkildə nümayiş etdirdi. Bu keçid daimi olanlar əvəzinə tətbiqi nəzərdə tutur. Mən başa düşdüyüm kimi, dəyişən ölçü vahidlərindən istifadə üçün riyazi aparat ya hələ hazırlanmayıb, ya da Zenon aporiyasına tətbiq edilməyib. Adi məntiqimizi tətbiq etmək bizi tələyə salır. Biz təfəkkürün ətalətinə görə qarşılıqlı dəyərə sabit zaman vahidlərini tətbiq edirik. Fiziki nöqteyi-nəzərdən bu, Axillesin tısbağaya yetişdiyi anda tamamilə dayanana qədər yavaşlamağa bənzəyir. Zaman dayanarsa, Axilles daha tısbağadan qaça bilməz.
Adi məntiqimizi tərsinə çevirsək, hər şey öz yerinə düşür. Axilles sabit sürətlə qaçır. Onun yolunun hər bir sonrakı seqmenti əvvəlkindən on dəfə qısadır. Müvafiq olaraq, onu aradan qaldırmaq üçün sərf olunan vaxt əvvəlkindən on dəfə azdır. Bu vəziyyətdə “sonsuzluq” anlayışını tətbiq etsək, “Axilles sonsuz sürətlə tısbağaya yetişəcək” demək düzgün olardı.
Bu məntiqi tələdən necə qaçmaq olar? Sabit zaman vahidlərində qalın və qarşılıqlı vahidlərə keçməyin. Zenon dilində bu belə görünür:
Axillesin min addım qaçması lazım olan müddətdə, tısbağa eyni istiqamətdə yüz addım sürünəcək. Birinciyə bərabər olan növbəti vaxt intervalında Axilles daha min addım qaçacaq, tısbağa isə yüz addım sürünəcək. İndi Axilles tısbağadan səkkiz yüz addım qabaqdadır.
Bu yanaşma heç bir məntiqi paradoks olmadan reallığı adekvat şəkildə təsvir edir. Ancaq bu problemin tam həlli deyil. Eynşteynin işıq sürətinin qarşısıalınmazlığı ilə bağlı ifadəsi Zenonun “Axilles və Tısbağa” aporiyasına çox bənzəyir. Biz hələ də bu problemi öyrənməli, yenidən düşünməli və həll etməliyik. Və həlli sonsuz sayda deyil, ölçü vahidlərində axtarmaq lazımdır.
Zenonun başqa bir maraqlı aporiyası uçan oxdan bəhs edir:
Uçan ox hərəkətsizdir, çünki zamanın hər anında dincəlməkdədir və hər an istirahətdə olduğu üçün həmişə sükunətdədir.
Bu aporiyada məntiqi paradoks çox sadə şəkildə aradan qaldırılır - hər an uçan oxun kosmosun müxtəlif nöqtələrində sükunətdə olduğunu aydınlaşdırmaq kifayətdir ki, bu da əslində hərəkətdir. Burada başqa bir məqamı da qeyd etmək lazımdır. Yolda olan bir avtomobilin bir fotoşəkilindən onun nə hərəkət faktını, nə də ona olan məsafəni müəyyən etmək mümkün deyil. Avtomobilin hərəkət edib-etmədiyini müəyyən etmək üçün eyni nöqtədən zamanın müxtəlif nöqtələrində çəkilmiş iki fotoşəkil lazımdır, lakin siz onlardan məsafəni təyin edə bilməzsiniz. Avtomobilə olan məsafəni müəyyən etmək üçün bir anda kosmosun müxtəlif nöqtələrindən çəkilmiş iki fotoşəkil lazımdır, lakin onlardan hərəkət faktını müəyyən edə bilməzsiniz (əlbəttə ki, hesablamalar üçün hələ də əlavə məlumat lazımdır, triqonometriya sizə kömək edəcəkdir ). Nəyi qeyd etmək istəyirəm xüsusi diqqət, zamanın iki nöqtəsi və kosmosun iki nöqtəsi fərqli şeylərdir ki, onları qarışdırmaq olmaz, çünki onlar tədqiqat üçün müxtəlif imkanlar verir.
Çərşənbə, 4 iyul 2018-ci il
Set və multiset arasındakı fərqlər Vikipediyada çox yaxşı təsvir edilmişdir. Gəlin görək.
Gördüyünüz kimi, "bir çoxluqda iki eyni element ola bilməz", lakin çoxluqda eyni elementlər varsa, belə çoxluğa "multiset" deyilir. Ağıllı varlıqlar heç vaxt belə absurd məntiqi başa düşməyəcəklər. Bu, danışan tutuquşuların və öyrədilmiş meymunların səviyyəsidir, onlar "tamamilə" sözündən heç bir zəkaya sahib deyillər. Riyaziyyatçılar adi təlimçilər kimi çıxış edərək öz absurd fikirlərini bizə təbliğ edirlər.
Bir vaxtlar körpünü tikən mühəndislər körpünü sınaqdan keçirərkən körpünün altında qayıqda olublar. Körpü dağılırsa, orta səviyyəli mühəndis yaratdığının dağıntıları altında ölür. Əgər körpü yükə tab gətirə bilsəydi, istedadlı mühəndis başqa körpülər də tikdi.
Riyaziyyatçılar “mənə fikir ver, mən evdəyəm”, daha doğrusu, “riyaziyyat mücərrəd anlayışları öyrənir” ifadəsinin arxasında nə qədər gizlənsələr də, onları reallıqla ayrılmaz şəkildə birləşdirən bir göbək bağı var. Bu göbək bağı puldur. Riyazi çoxluqlar nəzəriyyəsini riyaziyyatçıların özlərinə tətbiq edək.
Biz riyaziyyatı çox yaxşı oxumuşuq və indi kassada oturub maaş veririk. Beləliklə, bir riyaziyyatçı pulu üçün bizə gəlir. Bütün məbləği ona hesablayırıq və eyni nominallı əskinasları qoyduğumuz müxtəlif yığınlarda masamıza qoyuruq. Sonra hər yığından bir veksel götürürük və riyaziyyatçıya onun “riyazi əmək haqqı dəstini” veririk. Riyaziyyatçıya başa salaq ki, o, yalnız eyni elementləri olmayan çoxluğun eyni elementli çoxluğa bərabər olmadığını sübut etdikdə qalan əskinasları alacaq. Əyləncə burada başlayır.
İlk növbədə deputatların məntiqi işləyəcək: “Bunu başqalarına şamil etmək olar, mənə yox!”. Sonra bizi əmin etməyə başlayacaqlar ki, eyni nominallı əskinasların müxtəlif əskinas nömrələri var, yəni onları eyni elementlər hesab etmək olmaz. Yaxşı, maaşları sikkələrlə hesablayaq - sikkələrdə rəqəmlər yoxdur. Burada riyaziyyatçı çılğınlıqla fizikanı xatırlamağa başlayacaq: müxtəlif sikkələr var müxtəlif miqdarlar Hər sikkənin çirki, kristal quruluşu və atom düzülüşü unikaldır...
İndi isə ən çox məndə var maraqlı sual: çoxlu çoxluğun elementlərinin çoxluğun elementlərinə və əksinə çevrildiyi xətt haradadır? Belə bir xətt yoxdur - hər şeyi şamanlar həll edir, elm burada yatmağa belə yaxın deyil.
Bura baxın. Biz seçirik futbol stadionları eyni sahə ilə. Sahələrin sahələri eynidir - bu o deməkdir ki, bizim multisetimiz var. Amma bu eyni stadionların adlarına nəzər salsaq, adları fərqli olduğu üçün çoxunu alırıq. Gördüyünüz kimi, eyni elementlər dəsti həm çoxluq, həm də multisetdir. Hansı düzgündür? Və burada riyaziyyatçı-şaman-kəskin qolundan bir kozır çıxarır və bizə ya dəst, ya da multiset haqqında danışmağa başlayır. Hər halda o, bizi haqlı olduğuna inandıracaq.
Müasir şamanların çoxluq nəzəriyyəsi ilə necə işlədiyini, onu reallığa bağladığını başa düşmək üçün bir suala cavab vermək kifayətdir: bir çoxluğun elementləri digər çoxluğun elementlərindən nə ilə fərqlənir? Mən sizə göstərəcəyəm, heç bir "tək bir bütöv olaraq düşünülə bilməz" və ya "tək bir bütöv olaraq düşünülə bilməz".
Bazar günü, 18 mart 2018-ci il
Ədədin rəqəmlərinin cəmi riyaziyyatla heç bir əlaqəsi olmayan şamanların qavalla rəqsidir. Bəli, riyaziyyat dərslərində bizə ədədin rəqəmlərinin cəmini tapıb ondan istifadə etməyi öyrədirlər, amma buna görə də onlar şamandırlar, öz nəsillərinə öz bacarıqlarını və hikmətlərini öyrətmək, əks halda şamanlar sadəcə olaraq öləcəklər.
Sizə sübut lazımdır? Vikipediyanı açın və "Rəqəmlərin cəmi" səhifəsini tapmağa çalışın. O, mövcud deyil. Riyaziyyatda hər hansı bir ədədin rəqəmlərinin cəmini tapmaq üçün istifadə edilə bilən düstur yoxdur. Axı, nömrələr rəqəmləri yazdığımız qrafik simvollardır və riyaziyyatın dilində tapşırıq belə səslənir: "İstənilən rəqəmi təmsil edən qrafik simvolların cəmini tapın." Riyaziyyatçılar bu problemi həll edə bilməzlər, lakin şamanlar bunu asanlıqla həll edə bilərlər.
Verilmiş ədədin rəqəmlərinin cəmini tapmaq üçün nə və necə etdiyimizi anlayaq. Beləliklə, 12345 rəqəminə sahib olaq. Bu ədədin rəqəmlərinin cəmini tapmaq üçün nə etmək lazımdır? Bütün addımları ardıcıllıqla nəzərdən keçirək.
1. Nömrəni bir kağız parçasına yazın. Biz nə etmişik? Biz rəqəmi qrafik rəqəm simvoluna çevirdik. Bu riyazi əməliyyat deyil.
2. Yaranan bir şəkli fərdi nömrələrdən ibarət bir neçə şəkilə kəsin. Şəklin kəsilməsi riyazi əməliyyat deyil.
3. Fərdi qrafik simvolları rəqəmlərə çevirin. Bu riyazi əməliyyat deyil.
4. Yaranan rəqəmləri əlavə edin. İndi bu riyaziyyatdır.
12345 rəqəminin rəqəmlərinin cəmi 15-dir. Bunlar riyaziyyatçıların istifadə etdikləri şamanların öyrətdiyi “kəsmə və tikiş kursları”dır. Ancaq bu, hamısı deyil.
Riyazi nöqteyi-nəzərdən ədədi hansı say sistemində yazmağımızın fərqi yoxdur. Beləliklə, in müxtəlif sistemlər Hesablamada eyni ədədin rəqəmlərinin cəmi fərqli olacaq. Riyaziyyatda say sistemi rəqəmin sağında alt yazı kimi göstərilir. İLƏ böyük rəqəm 12345 Başımı aldatmaq istəmirəm, haqqında məqalədən 26 nömrəsinə baxaq. Bu ədədi ikilik, səkkizlik, onluq və onaltılıq say sistemlərində yazaq. Biz hər addıma mikroskop altında baxmayacağıq; Nəticəyə baxaq.
Göründüyü kimi müxtəlif say sistemlərində eyni ədədin rəqəmlərinin cəmi fərqli olur. Bu nəticənin riyaziyyatla heç bir əlaqəsi yoxdur. Düzbucaqlının sahəsini metr və santimetrlə təyin etsəniz, tamamilə fərqli nəticələr əldə edəcəksiniz.
Sıfır bütün say sistemlərində eyni görünür və rəqəmlərin cəmi yoxdur. Bu, bunun lehinə başqa bir arqumentdir. Riyaziyyatçılar üçün sual: riyaziyyatda rəqəm olmayan bir şey necə təyin olunur? Nə, riyaziyyatçılar üçün rəqəmlərdən başqa heç nə yoxdur? Mən buna şamanlar üçün icazə verə bilərəm, amma alimlər üçün yox. Reallıq təkcə rəqəmlərdən ibarət deyil.
Alınan nəticə say sistemlərinin ədədlər üçün ölçü vahidləri olduğuna sübut kimi qəbul edilməlidir. Axı biz ədədləri müxtəlif ölçü vahidləri ilə müqayisə edə bilmərik. Eyni kəmiyyətin müxtəlif ölçü vahidləri ilə eyni hərəkətlər səbəb olarsa fərqli nəticələr onları müqayisə etdikdən sonra bunun riyaziyyatla heç bir əlaqəsi yoxdur.
Əsl riyaziyyat nədir? Bu, riyazi əməliyyatın nəticəsinin rəqəmin ölçüsündən, istifadə olunan ölçü vahidindən və bu hərəkəti kimin yerinə yetirməsindən asılı olmadığı zamandır.
Oh! Bura qadın tualeti deyilmi?
- Gənc qadın! Bu, ruhların cənnətə yüksəlişləri zamanı onların qeyri-adi müqəddəsliyini öyrənmək üçün laboratoriyadır! Üstdə halo və yuxarı ox. Başqa hansı tualet?
Qadın... Üstündəki halo və aşağı ox kişidir.
Əgər gündə bir neçə dəfə gözünüzün qarşısında belə bir şey yanıb-sönürsə dizayn sənəti,
Sonra avtomobilinizdə birdən qəribə bir simvol tapmağınız təəccüblü deyil:
Şəxsən mən nəcis edən insanda mənfi dörd dərəcə görməyə çalışıram (bir şəkil) (bir neçə şəkildən ibarət kompozisiya: mənfi işarə, dörd rəqəm, dərəcə təyinatı). Və mən bu qızın fizikanı bilməyən axmaq olduğunu düşünmürəm. O, sadəcə olaraq qrafik şəkilləri qəbul etməkdə güclü stereotipə malikdir. Riyaziyyatçılar bunu bizə hər zaman öyrədirlər. Budur bir nümunə.
1A “mənfi dörd dərəcə” və ya “bir a” deyil. Bu, "pooping man" və ya onaltılıq qeyddə "iyirmi altı" rəqəmidir. Daim bu say sistemində işləyən insanlar avtomatik olaraq rəqəmi və hərfi bir qrafik simvol kimi qəbul edirlər.
Cəbrdə və bütün riyaziyyatda əsas xüsusiyyətlərdən biri dərəcədir. Əlbəttə ki, 21-ci əsrdə bütün hesablamaları onlayn kalkulyatorda etmək olar, lakin beyin inkişafı üçün bunu özünüz necə edəcəyinizi öyrənmək daha yaxşıdır.
Bu yazıda bu təriflə bağlı ən vacib məsələləri nəzərdən keçirəcəyik. Məhz, bunun ümumiyyətlə nə olduğunu və əsas funksiyalarının nə olduğunu, riyaziyyatda hansı xüsusiyyətlərin olduğunu anlayacağıq.
Hesablamanın necə göründüyünə və əsas düsturların nə olduğuna dair nümunələrə baxaq. Kəmiyyətlərin əsas növlərinə və onların digər funksiyalardan nə ilə fərqləndiyinə baxaq.
Bu kəmiyyətdən istifadə edərək necə həll edəcəyimizi anlayaq müxtəlif vəzifələr. Nümunələrlə göstərəcəyik ki, sıfır gücə yüksəltmək, irrasional, mənfi və s.
Onlayn eksponentasiya kalkulyatoru
Bir ədədin gücü nədir
“Rəqəmi gücə çatdırmaq” ifadəsi nəyi nəzərdə tutur?
Ədədin n gücü ardıcıl olaraq a n dəfə böyüklük amillərinin məhsuludur.
Riyazi olaraq belə görünür:
a n = a * a * a * …a n .
Məsələn:
- Üçüncü dərəcədə 2 3 = 2. = 2 * 2 * 2 = 8;
- 4 2 = 4 addım atmaq. iki = 4 * 4 = 16;
- 5 4 = 5 addım. dörd = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
- 5 addımda 10 5 = 10. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
- 4 addımda 10 4 = 10. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.
Aşağıda 1-dən 10-a qədər kvadratlar və kublar cədvəli verilmişdir.
1-dən 10-a qədər dərəcələr cədvəli
Aşağıda təbii ədədlərin müsbət güclərə - "1-dən 100-ə qədər" artırılmasının nəticələri verilmişdir.
| Ch-lo | 2-ci st. | 3-cü mərhələ |
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 4 | 8 |
| 3 | 9 | 27 |
| 4 | 16 | 64 |
| 5 | 25 | 125 |
| 6 | 36 | 216 |
| 7 | 49 | 343 |
| 8 | 64 | 512 |
| 9 | 81 | 279 |
| 10 | 100 | 1000 |
Dərəcələrin xüsusiyyətləri
Belə bir riyazi funksiyanın xarakterik xüsusiyyəti nədir? Əsas xüsusiyyətlərə baxaq.
Alimlər aşağıdakıları müəyyən etdilər bütün dərəcələr üçün xarakterik olan əlamətlər:
- a n * a m = (a) (n+m) ;
- a n: a m = (a) (n-m) ;
- (a b) m =(a) (b*m) .
Nümunələrlə yoxlayaq:
2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. Digər tərəfdən, 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 =32.
Eynilə: 2 3: 2 2 = 8 / 4 =2. Əks halda 2 3-2 = 2 1 =2.
(2 3) 2 = 8 2 = 64. Fərqli olarsa necə? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.
Gördüyünüz kimi, qaydalar işləyir.
Amma nə haqqında toplama və çıxma ilə? Bu sadədir. Əvvəlcə eksponentasiya, sonra isə toplama və çıxma aparılır.
Nümunələrə baxaq:
- 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
- 5 2 – 3 2 = 25 – 9 = 16. Diqqət yetirin: əvvəlcə çıxsanız, qayda yerinə yetirilməyəcək: (5 – 3) 2 = 2 2 = 4.
Ancaq bu halda, ilk növbədə əlavəni hesablamalısınız, çünki mötərizədə hərəkətlər var: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.
Necə istehsal etmək olar hesablamalar daha çox çətin hallar ? Sifariş eynidir:
- mötərizələr varsa, onlardan başlamaq lazımdır;
- sonra eksponentasiya;
- sonra vurma və bölmə əməliyyatlarını yerinə yetirin;
- toplamadan, çıxmadan sonra.
Yemək spesifik xassələri, bütün dərəcələr üçün xarakterik deyil:
- m dərəcəsinə qədər a ədədinin n-ci kökü belə yazılacaq: a m / n.
- Kəsiri qüvvəyə qaldırarkən: həm pay, həm də onun məxrəci bu prosedura tabedir.
- Bir iş qurarkən müxtəlif nömrələr bir gücə, ifadə bu ədədlərin hasilinə verilmiş gücə uyğun olacaq. Yəni: (a * b) n = a n * b n .
- Ədədi mənfi gücə qaldırarkən, 1-i eyni əsrdə bir ədədə bölmək lazımdır, lakin "+" işarəsi ilə.
- Əgər kəsrin məxrəci mənfi qüvvəyə bərabərdirsə, onda bu ifadə payın hasilinə və məxrəc müsbət qüvvəyə bərabər olacaqdır.
- Hər hansı bir rəqəm 0 = 1 gücünə və gücə. 1 = özünüzə.
Bu qaydalar bəzi hallarda vacibdir; biz onları aşağıda daha ətraflı nəzərdən keçirəcəyik.
Mənfi eksponentli dərəcə
Nə vaxt etməli mənfi dərəcə, yəni göstərici mənfi olduqda?
4 və 5-ci xassələrə əsaslanır(yuxarıdakı nöqtəyə baxın), belə çıxır:
A (- n) = 1 / A n, 5 (-2) = 1 / 5 2 = 1 / 25.
Və əksinə:
1 / A (- n) = A n, 1 / 2 (-3) = 2 3 = 8.
Bəs bu kəsrdirsə?
(A / B) (- n) = (B / A) n, (3/5) (-2) = (5/3) 2 = 25/9.
Təbii göstərici ilə dərəcə
Göstəriciləri tam ədədlərə bərabər olan dərəcə kimi başa düşülür.
Xatırlamaq lazım olanlar:
A 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3,15 0 = 1; (-4) 0 = 1... və s.
A 1 = A, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3... və s.
Bundan əlavə, əgər (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2... onda nəticə “+” işarəsi ilə olacaq. Mənfi ədəd tək gücə qaldırılırsa, əksinə.
Ümumi xüsusiyyətlər və yuxarıda təsvir edilən bütün spesifik xüsusiyyətlər də onlara xasdır.
Fraksiya dərəcəsi
Bu tip bir sxem kimi yazıla bilər: A m / n. Belə oxuyun: A ədədinin n-ci kökündən m-ə qədər.
Kəsr göstərici ilə istədiyinizi edə bilərsiniz: onu azaltmaq, hissələrə bölmək, başqa bir gücə qaldırmaq və s.
İrrasional göstərici ilə dərəcə
α irrasional ədəd və A ˃ 0 olsun.
Belə bir göstərici ilə dərəcənin mahiyyətini anlamaq üçün, Müxtəlif mümkün hallara baxaq:
- A = 1. Nəticə 1-ə bərabər olacaq. Aksiom olduğu üçün - bütün güclərdə 1 birə bərabərdir;
А r 1 ˂ А α ˂ А r 2 , r 1 ˂ r 2 – rasional ədədlər;
- 0˂А˂1.
Bu halda, əksinədir: A r 2 ˂ A α ˂ A r 1 ikinci abzasdakı kimi eyni şərtlərdə.
Məsələn, eksponent π ədədidir. Bu rasionaldır.
r 1 – bu halda 3-ə bərabərdir;
r 2 – 4-ə bərabər olacaq.
Sonra A = 1 üçün 1 π = 1.
A = 2, sonra 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4, 8 ˂ 2 π ˂ 16.
A = 1/2, sonra (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3, 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.
Belə dərəcələr yuxarıda təsvir edilən bütün riyazi əməliyyatlar və spesifik xüsusiyyətlərlə xarakterizə olunur.
Nəticə
Xülasə edək - bu kəmiyyətlər nə üçün lazımdır, bu cür funksiyaların üstünlükləri nələrdir? Əlbəttə ki, ilk növbədə, nümunələri həll edərkən riyaziyyatçıların və proqramçıların həyatını sadələşdirirlər, çünki hesablamaları minimuma endirməyə, alqoritmləri qısaltmağa, məlumatları sistemləşdirməyə və daha çox şeyə imkan verir.
Bu bilik başqa harada faydalı ola bilər? İstənilən işçi ixtisasında: tibb, farmakologiya, stomatologiya, tikinti, texnologiya, mühəndislik, dizayn və s.
Mənfi gücə yüksəltmək cəbri məsələlərin həllində tez-tez rast gəlinən riyaziyyatın əsas elementlərindən biridir. Aşağıda ətraflı təlimat verilmişdir.
Mənfi gücə necə yüksəltmək olar - nəzəriyyə
Ədədi adi gücə yüksəltdikdə onun dəyərini bir neçə dəfə çoxaldırıq. Məsələn, 3 3 = 3×3×3 = 27. Mənfi kəsrlə bunun əksi doğrudur. Ümumi görünüş düstura görə belə görünəcək: a -n = 1/a n. Beləliklə, bir ədədi mənfi gücə qaldırmaq üçün birini verilmiş ədədə bölmək lazımdır, ancaq müsbət qüvvəyə.
Mənfi gücə necə yüksəltmək olar - adi ədədlərə nümunələr
Yuxarıdakı qaydanı nəzərə alaraq, bir neçə nümunəni həll edək.
4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Cavab: 4 -2 = 1/16
4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Cavab -4 -2 = 1/16.
Bəs niyə birinci və ikinci misaldakı cavablar eynidir? Fakt budur ki, mənfi ədədi cüt gücə qaldırdıqda (2, 4, 6 və s.) işarə müsbət olur. Dərəcə bərabər olsaydı, mənfi qalacaqdı:
4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)
Mənfi gücə necə yüksəltmək olar - 0-dan 1-ə qədər rəqəmlər
Xatırladaq ki, 0 ilə 1 arasındakı rəqəm müsbət gücə qaldırıldıqda, güc artdıqca dəyər azalır. Məsələn, 0,5 2 = 0,25. 0,25
Misal 3: 0,5 -2 hesablayın
Həlli: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
Cavab: 0,5 -2 = 4
Təhlil (hərəkətlərin ardıcıllığı):
- Tərcümə edirik onluq 0,5-dən kəsirli 1/2. Belə daha asandır.
1/2-ni mənfi gücə qaldırın. 1/(2) -2 . 1-i 1/(2) 2-yə bölün, 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4 alırıq
Nümunə 4: 0,5 -3 hesablayın
Həlli: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8
Nümunə 5: -0,5 -3 hesablayın
Həlli: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Cavab: -0,5 -3 = -8
4-cü və 5-ci nümunələrə əsaslanaraq bir neçə nəticə çıxara bilərik:
- Mənfi gücə qaldırılan 0-dan 1-ə qədər olan müsbət ədəd üçün (misal 4), gücün cüt və ya tək olması vacib deyil, ifadənin dəyəri müsbət olacaqdır. Üstəlik, dərəcə nə qədər böyükdürsə, dəyər də bir o qədər böyükdür.
- 0-dan 1-ə qədər olan mənfi bir ədəd üçün (nümunə 5), mənfi gücə qaldırıldı, gücün cüt və ya tək olması vacib deyil, ifadənin dəyəri mənfi olacaqdır. Bu halda, dərəcə nə qədər yüksək olarsa, dəyər bir o qədər aşağı olar.
Mənfi gücə necə yüksəltmək olar - fraksiya sayı şəklində bir güc
İfadələr bu tipdən aşağıdakı formaya malikdir: a -m/n , burada a - müntəzəm nömrə, m dərəcənin payı, n dərəcənin məxrəcidir.
Bir misala baxaq:
Hesablayın: 8 -1/3
Həll (hərəkətlərin ardıcıllığı):
- Ədədin mənfi gücə yüksəldilməsi qaydasını xatırlayaq. Alırıq: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3.
- Diqqət yetirin ki, məxrəcin kəsr gücündə 8 rəqəmi var. Fraksiya gücünün hesablanmasının ümumi forması aşağıdakı kimidir: a m/n = n √8 m.
- Beləliklə, 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). Səkkizin kub kökünü alırıq ki, bu da 2-yə bərabərdir. Buradan 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2 olur.
- Cavab: 8 -1/3 = 2
Məktəbdən hamımız eksponentasiya qaydasını bilirik: N eksponentli istənilən ədəd bu ədədi N dəfə özünə vurmağın nəticəsinə bərabərdir. Başqa sözlə, 7-nin 3-ün qüvvəsinə görə 7-nin özünə üç dəfə vurulması, yəni 343. Başqa bir qayda odur ki, istənilən kəmiyyəti 0-ın qüvvəsinə qaldırmaq bir verir, mənfi kəmiyyəti yüksəltmək isə adi yüksəltmənin nəticəsidir. cütdürsə güc, təkdirsə mənfi işarə ilə eyni nəticə.
Qaydalar həm də rəqəmin mənfi gücə necə yüksəldilməsinə cavab verir. Bunu etmək üçün qurmaq lazımdır adi şəkildə göstəricinin modulu üçün tələb olunan dəyər və sonra vahidi nəticəyə bölün.
Bu qaydalardan aydın olur ki, həyata keçirilməsi real problemlər böyük miqdarların idarə edilməsi mövcudluğu tələb edir texniki vasitələr. Öz əlinizlə iyirmi-otuza qədər rəqəmlərin maksimum diapazonunu, sonra isə üç-dörd dəfə çoxalda bilərsiniz. Bu, nəticəyə görə birini bölmək deyil. Buna görə də, əlində xüsusi mühəndislik kalkulyatoru olmayanlar üçün Excel-də bir rəqəmi mənfi gücə necə qaldıracağınızı söyləyəcəyik.
Excel proqramında problemlərin həlli
Eksponentasiya ilə bağlı problemləri həll etmək üçün Excel sizə iki seçimdən birini istifadə etməyə imkan verir.
Birincisi, standart "qapaq" işarəsi olan formulun istifadəsidir. İş vərəqinin xanalarına aşağıdakı məlumatları daxil edin:
Eyni şəkildə, istədiyiniz dəyəri istənilən gücə yüksəldə bilərsiniz - mənfi, fraksiya. Gəlin aşağıdakı addımları yerinə yetirək və rəqəmi mənfi gücə necə qaldırmaq barədə suala cavab verək. Misal:
Siz =B2^-C2-ni birbaşa düsturda düzəldə bilərsiniz.
İkinci seçim, iki tələb edən hazır "Dərəcə" funksiyasından istifadə etməkdir tələb olunan arqumentlər- rəqəm və göstərici. Onu istifadə etməyə başlamaq üçün düsturun başlanğıcını göstərən istənilən boş xanaya bərabər işarəsini (=) qoyun və yuxarıdakı sözləri daxil edin. Yalnız əməliyyatda iştirak edəcək iki hüceyrəni seçmək (və ya xüsusi nömrələri əl ilə göstərmək) və Enter düyməsini sıxmaq qalır. Bir neçə sadə nümunəyə baxaq.
Formula | Nəticə |
||||
DƏRƏCƏ(B2;C2) | |||||
DƏRƏCƏ(B3;C3) |
|
Gördüyünüz kimi, Excel-dən istifadə edərək rəqəmi mənfi gücə və adi gücə necə yüksəltmək barədə mürəkkəb bir şey yoxdur. Axı, bu problemi həll etmək üçün həm tanış "qapaq" simvolundan, həm də yadda saxlamaq asan olan proqramın daxili funksiyasından istifadə edə bilərsiniz. Bu, mütləq bir artıdır!
Daha mürəkkəb nümunələrə keçək. Ədədin mənfi kəsr gücünə necə yüksəldilməsi qaydasını xatırlayaq və Excel-də bu problemin çox asanlıqla həll olunduğunu görəcəyik.
Fraksiya göstəriciləri
Bir sözlə, kəsr göstəricisi olan ədədin hesablanması alqoritmi aşağıdakı kimidir.
- Kəsiri düzgün və ya yanlış kəsrə çevirin.
- Nömrəmizi nəticədə çevrilmiş fraksiyanın payına qədər qaldırın.
- Əvvəlki abzasda alınan ədəddən kökün göstəricisinin birinci mərhələdə alınan kəsrin məxrəci olması şərti ilə kökü hesablayın.
Razılaşın ki, hətta kiçik ədədlər və düzgün fraksiyalarla işləyərkən belə hesablamalar çox vaxt apara bilər. Excel elektron cədvəl prosessorunun hansı rəqəmin hansı gücə qaldırıldığına əhəmiyyət verməməsi yaxşıdır. İş yerində həll etməyə çalışın Excel vərəqi aşağıdakı misal:
Yuxarıdakı qaydalardan istifadə edərək, hesablamanın düzgün aparıldığını yoxlaya və əmin ola bilərsiniz.
Məqaləmizin sonunda düsturlar və nəticələr olan bir cədvəl şəklində bir nömrəni mənfi gücə necə yüksəltmək barədə bir neçə nümunə, habelə bir neçə əməliyyat nümunəsi təqdim edəcəyik. kəsr ədədlər və dərəcələr.
Nümunə cədvəli
Excel iş vərəqinizdə aşağıdakı nümunələrə baxın. Hər şeyin düzgün işləməsi üçün formulun surətini çıxararkən qarışıq istinaddan istifadə etməlisiniz. Qaldırılan nömrəni ehtiva edən sütunun nömrəsini və göstəricini ehtiva edən cərgənin nömrəsini düzəldin. Düsturunuz belə görünməlidir: “=$B4^C$3.”
Sayı/dərəcə | |||||
Nəzərə alın ki, müsbət ədədlər (hətta tam olmayanlar da) heç bir eksponent üçün problemsiz hesablana bilər. Hər hansı bir ədədi tam ədədlərə qaldırmaqla bağlı heç bir problem yoxdur. Ancaq mənfi ədədi kəsr gücünə qaldırmaq sizin üçün səhv olacaq, çünki mənfi ədədlərin artırılması ilə bağlı məqaləmizin əvvəlində göstərilən qaydaya əməl etmək mümkün deyil, çünki paritet yalnız BÜTÜN ədədin xarakterik xüsusiyyətidir.
Bir gücə yüksəldilmiş bir rəqəmÖzünə bir neçə dəfə vurulan nömrəyə zəng edirlər.
Mənfi dəyəri olan ədədin gücü (a - n) müsbət göstəricisi olan eyni ədədin gücünün necə təyin olunduğuna bənzər şəkildə təyin edilə bilər (a n) . Bununla belə, bu da əlavə tərif tələb edir. Formula aşağıdakı kimi müəyyən edilir:
a-n = (1/a n)
Ədədlərin mənfi qüdrətlərinin xassələri müsbət göstəricisi olan güclərə bənzəyir. Təqdim olunan tənlik a m/a n= a m-n kimi ədalətli ola bilər
« Heç bir yerdə, riyaziyyatda olduğu kimi, nəticənin aydınlığı və dəqiqliyi insana sual ətrafında danışaraq cavabdan yayınmağa imkan vermir.».
A. D. Aleksandrov
saat n daha çox m , və ilə m daha çox n . Bir misala baxaq: 7 2 -7 5 =7 2-5 =7 -3 .
Əvvəlcə dərəcənin tərifi kimi çıxış edən nömrəni təyin etməlisiniz. b=a(-n) . Bu misalda -n eksponentdir b - istədiyiniz ədədi dəyər, a - natural ədədi qiymət şəklində dərəcənin bazası. Sonra modulu, yəni eksponent kimi çıxış edən mənfi ədədin mütləq qiymətini təyin edin. Göstərici kimi verilmiş ədədin mütləq ədədə nisbətən dərəcəsini hesablayın. Dərəcənin dəyəri, nəticədə bir ədədə bölünməklə tapılır.
düyü. 1
Mənfi kəsr göstəricisi olan ədədin gücünü nəzərdən keçirək. Təsəvvür edək ki, a sayı istənilən müsbət ədəddir, ədədlərdir n Və m - natural ədədlər. Tərifə görə a , gücə qaldırılan - müsbət qüvvə ilə eyni ədədə bölünən birinə bərabərdir (Şəkil 1). Ədədin gücü kəsr olduqda, belə hallarda yalnız müsbət göstəriciləri olan ədədlərdən istifadə olunur.
Xatırlamağa dəyər o sıfır heç vaxt ədədin göstəricisi ola bilməz (sıfıra bölmə qaydası).
Rəqəm kimi bir anlayışın yayılması ölçmə hesablamaları, eləcə də riyaziyyatın bir elm kimi inkişafı kimi manipulyasiyalara çevrildi. Mənfi dəyərlərin tətbiqi cəbrin inkişafı ilə əlaqədar idi ümumi həllər xüsusi mənası və ilkin ədədi məlumatlarından asılı olmayaraq hesab məsələləri. Hindistanda hələ 6-11-ci əsrlərdə problemlərin həlli zamanı mənfi ədədlərdən sistemli şəkildə istifadə olunurdu və indiki kimi şərh olunurdu. Avropa elmində mənfi ədədlərin seqmentlərin istiqamətləri kimi həndəsi şərhini verən R.Dekartın sayəsində mənfi ədədlərdən geniş istifadə olunmağa başlandı. Məhz Dekart iki mərtəbəli bir düstur kimi göstəriləcək gücə yüksəldilmiş bir ədədin təyin edilməsini təklif etdi. a n .
Aydındır ki, başqa kəmiyyətlər kimi gücə malik ədədlər də əlavə edilə bilər , əlamətləri ilə bir-birinin ardınca əlavə etməklə.
Beləliklə, a 3 və b 2-nin cəmi 3 + b 2-dir.
3 - b n və h 5 -d 4-ün cəmi 3 - b n + h 5 - d 4-dür.
Oranlar eyni dəyişənlərin bərabər dərəcələriəlavə və ya çıxa bilər.
Deməli, 2a 2 və 3a 2-nin cəmi 5a 2-yə bərabərdir.
Bu da aydındır ki, əgər siz iki kvadrat a, üç kvadrat a və ya beş kvadrat a alsanız.
Amma dərəcələr müxtəlif dəyişənlər Və müxtəlif dərəcələr eyni dəyişənlər, işarələri ilə əlavə edilərək tərtib edilməlidir.
Beləliklə, 2 və 3-ün cəmi 2 + a 3-ün cəmidir.
Aydındır ki, a-nın kvadratı və a-nın kubu a-nın kvadratının iki qatına deyil, a-nın iki qatına bərabərdir.
3 b n və 3a 5 b 6-nın cəmi 3 b n + 3a 5 b 6-dır.
Çıxarma səlahiyyətlər əlavə ilə eyni şəkildə həyata keçirilir, istisna olmaqla, əlavələrin əlamətləri müvafiq olaraq dəyişdirilməlidir.
Və ya:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6
Çoxalma gücləri
Güclü ədədləri, digər kəmiyyətlər kimi, onları bir-birinin ardınca yazmaqla, aralarında vurma işarəsi ilə və ya olmadan çoxaltmaq olar.
Beləliklə, a 3-ün b 2-yə vurulmasının nəticəsi 3 b 2 və ya aaabb olur.
Və ya:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y
Son nümunədəki nəticə eyni dəyişənləri əlavə etməklə sıralana bilər.
İfadə formasını alacaq: a 5 b 5 y 3.
Bir neçə ədədi (dəyişənləri) güclərlə müqayisə edərək görə bilərik ki, əgər onlardan hər hansı ikisi vurularsa, nəticədə gücü bərabər olan ədəd (dəyişən) olur. məbləğ termin dərəcələri.
Beləliklə, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .
Burada 5 vurmanın nəticəsinin gücüdür, 2 + 3-ə bərabərdir, şərtlərin səlahiyyətlərinin cəmidir.
Beləliklə, a n .a m = a m+n .
a n üçün a, n-nin gücü qədər amil kimi qəbul edilir;
Və m dərəcəsi m bərabər olduğu qədər əmsal kimi qəbul edilir;
Buna görə də, eyni əsaslara malik olan səlahiyyətlər, səlahiyyətlərin eksponentlərini əlavə etməklə vurula bilər.
Beləliklə, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Və x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .
Və ya:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1
(x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y) çarpın.
Cavab: x 4 - y 4.
(x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1) çarpın.
Bu qayda göstəriciləri olan ədədlər üçün də keçərlidir mənfi.
1. Beləliklə, a -2 .a -3 = a -5 . Bunu (1/aa) kimi yazmaq olar.(1/aaa) = 1/aaaaa.
2. y -n .y -m = y -n-m .
3. a -n .a m = a m-n .
a + b a - b ilə vurularsa, nəticə 2 - b 2 olacaq: yəni
İki ədədin cəmi və ya fərqinin vurulmasının nəticəsi onların kvadratlarının cəminə və ya fərqinə bərabərdir.
İki ədədin cəmi və fərqi isə artırılır kvadrat, nəticə bu ədədlərin cəminə və ya fərqinə bərabər olacaq dördüncü dərəcə.
Beləliklə, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.
Dərəcələrin bölünməsi
Güclü ədədləri digər ədədlər kimi dividenddən çıxmaqla və ya kəsr şəklində yerləşdirməklə bölmək olar.
Beləliklə, a 3 b 2-nin b 2-yə bölünməsi a 3-ə bərabərdir.
Və ya:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$
5-in 3-ə bölünməsinin yazılması $\frac(a^5)(a^3)$ kimi görünür. Amma bu 2-yə bərabərdir. Bir sıra nömrələrdə
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
istənilən ədədi digərinə bölmək olar və göstərici bərabər olacaqdır fərq bölünən ədədlərin göstəriciləri.
Eyni baza ilə dərəcələri bölərkən onların göstəriciləri çıxarılır..
Beləliklə, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. Yəni, $\frac(yyy)(yy) = y$.
Və a n+1:a = a n+1-1 = a n . Yəni, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.
Və ya:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3
Qayda olan nömrələr üçün də keçərlidir mənfi dərəcə dəyərləri.
-5-in -3-ə bölünməsinin nəticəsi -2-dir.
Həmçinin, $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 və ya $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$
Bu cür əməliyyatlardan cəbrdə çox geniş istifadə olunduğundan, vurma və bölməni çox yaxşı mənimsəmək lazımdır.
Güclü ədədləri olan kəsrlərlə misalların həlli nümunələri
1. Göstəriciləri $\frac(5a^4)(3a^2)$ qədər azaldın Cavab: $\frac(5a^2)(3)$.
2. Göstəriciləri $\frac(6x^6)(3x^5)$ azaldın. Cavab: $\frac(2x)(1)$ və ya 2x.
3. a 2 /a 3 və a -3 /a -4 göstəricilərini azaldın və ortaq məxrəcə gətirin.
a 2 .a -4 a -2 birinci paydır.
a 3 .a -3 0 = 1, ikinci paydır.
a 3 .a -4 a -1 , ümumi paydır.
Sadələşdirmədən sonra: a -2 /a -1 və 1/a -1 .
4. 2a 4 /5a 3 və 2 /a 4 göstəricilərini azaldın və ortaq məxrəcə gətirin.
Cavab: 2a 3 /5a 7 və 5a 5 /5a 7 və ya 2a 3 /5a 2 və 5/5a 2.
5. (a 3 + b)/b 4-ü (a - b)/3-ə vurun.
6. (a 5 + 1)/x 2-ni (b 2 - 1)/(x + a) ilə vurun.
7. b 4 /a -2-ni h -3 /x və a n /y -3-ə vurun.
8. 4 /y 3-ü 3 /y 2-yə bölün. Cavab: a/y.
9. (h 3 - 1)/d 4-ü (d n + 1)/saata bölün.
Mövzu üzrə dərs və təqdimat: "Mənfi göstəricili göstərici. Tərif və məsələnin həlli nümunələri"
Əlavə materiallar
Hörmətli istifadəçilər, öz şərhlərinizi, rəylərinizi, arzularınızı bildirməyi unutmayın. Bütün materiallar antivirus proqramı ilə yoxlanılıb.
8-ci sinif üçün Integral onlayn mağazasında tədris vəsaitləri və simulyatorlar
Dərslik üçün dərslik Muravin G.K.
Dərslik üçün dərslik Alimov Ş.A.
Mənfi göstərici ilə dərəcənin təyiniUşaqlar, biz rəqəmləri güclərə çatdırmağı yaxşı bacarırıq.
Məsələn: $2^4=2*2*2*2=16$ $((-3))^3=(-3)*(-3)*(-3)=27$.
Biz yaxşı bilirik ki, sıfır qüvvəsi olan istənilən ədəd birə bərabərdir. $a^0=1$, $a≠0$.
Sual yaranır ki, rəqəmi mənfi gücə qaldırsanız nə olar? Məsələn, $2^(-2)$ rəqəmi nəyə bərabər olacaq?
Bu sualı verən ilk riyaziyyatçılar qərara gəldilər ki, təkəri yenidən kəşf etməyə dəyməz və dərəcələrin bütün xüsusiyyətlərinin dəyişməz qalması yaxşı idi. Yəni, eyni baza ilə gücləri çoxaldarkən eksponentlər toplanır.
Bu halı nəzərdən keçirək: $2^3*2^(-3)=2^(3-3)=2^0=1$.
Biz tapdıq ki, belə ədədlərin hasili bir verməlidir. Məhsuldakı vahid qarşılıqlı ədədləri vurmaqla əldə edilir, yəni $2^(-3)=\frac(1)(2^3)$.
Bu cür mülahizə aşağıdakı tərifə gətirib çıxardı. Tərif. Əgər $n$ - natural ədəd
və $a≠0$, onda bərabərlik yerinə yetirilir: $a^(-n)=\frac(1)(a^n)$.
Tez-tez istifadə olunan mühüm şəxsiyyət: $(\frac(a)(b))^(-n)=(\frac(b)(a))^n$.
Xüsusilə, $(\frac(1)(a))^(-n)=a^n$.
Misal 1.Hesablayın: $2^(-3)+(\frac(2)(5))^(-2)-8^(-1)$.
Həll.
Hər bir termini ayrıca nəzərdən keçirək.
1. $2^(-3)=\frac(1)(2^3)=\frac(1)(2*2*2)=\frac(1)(8)$.
2. $(\frac(2)(5))^(-2)=(\frac(5)(2))^2=\frac(5^2)(2^2)=\frac(25) (4)$.
3. $8^(-1)=\frac(1)(8)$.
Əlavə və çıxma əməliyyatlarını yerinə yetirmək qalır: $\frac(1)(8)+\frac(25)(4)-\frac(1)(8)=\frac(25)(4)=6\frac( 1) (4)$.
Cavab: $6\frac(1)(4)$.
Misal 2.
Verilmiş ədədi $\frac(1)(729)$ sadə ədədinin gücü kimi təqdim edin.
Həll.
Aydındır ki, $\frac(1)(729)=729^(-1)$.
Amma 729 9 ilə bitən sadə ədəd deyil. Bu ədədin üçünün qüvvəsi olduğunu güman etmək olar. Ardıcıl olaraq 729-u 3-ə bölün.
1) $\frac(729)(3)=243$;
2) $\frac(243)(3)=81$;
3) $\frac(81)(3)=27$;
4) $\frac(27)(3)=9$;
5) $\frac(9)(3)=3$;
6) $\frac(3)(3)=1$.
Altı əməliyyat edildi və bu o deməkdir ki: $729=3^6$.
Tapşırığımız üçün:
$729^{-1}=(3^6)^{-1}=3^{-6}$.
Cavab: $3^(-6)$.
Misal 3. İfadəni güc kimi ifadə edin: $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1))$.
Həll. Birinci hərəkət həmişə mötərizə içərisində yerinə yetirilir, sonra vurma $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1))= \frac (a^6*a^(-10))((a^5)^(-1))=\frac(a^((-4))))(a^((-5)))) a^ (-4-(-5))=a^(-4+5)=a$.
Cavab: $a$.
Misal 4. Şəxsiyyəti sübut edin:
$(\frac(y^2 (xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)*\frac(y^2(x^(-2) )+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y)):\frac(1-x^(-1) y)(xy^(-1 ) +1)=\frac(x-y)(x+y)$.
Həll.
Sol tərəfdə, mötərizədə hər bir faktoru ayrıca nəzərdən keçiririk.
1. $\frac(y^2(xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)=\frac(y^2(\frac(x) )(y)-1)^2)(x(1+\frac(y)(x))^2) =\frac(y^2(\frac(x^2)(y^2)-2\ frac(x)(y)+1))(x(1+2\frac(y)(x)+\frac(y^2)(x^2)))=\frac(x^2-2xy+ y) ^2)(x+2y+\frac(y^2)(x))=\frac(x^2-2xy+y^2)(\frac(x^2+2xy+y^2)(x) ) =\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))$.
2. $\frac(y^2(x^(-2)+y^(-2))(x(xy^(-1)+x^(-1)y))=\frac(y^ 2(\frac(1)(x^2)+\frac(1)(y^2)))(x(\frac(x)(y)+\frac(y)(x))) =\frac (\frac(y^2)(x^2)+1)(\frac(x^2)(y)+y)=\frac(\frac(y^2+x^2)(x^2) )((\frac(x^2+y^2)(y)))=\frac(y^2+x^2)(x^2) *\frac(y)(x^2+y^2) )=\frac(y)(x^2)$.
3. $\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))*\frac(y)(x^2)=\frac(y(x) ^2-2xy+y^2))(x(x^2+2xy+y^2))=\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2)$.
4. Bölmə apardığımız kəsrə keçək.
$\frac(1-x^(-1)y)(xy^(-1)+1)=\frac(1-\frac(y)(x))(\frac(x)(y)+1 )=\frac(\frac(x-y)(x))(\frac(x+y)(y))=\frac(x-y)(x)*\frac(y)(x+y)=\frac( y(x-y))(x(x+y))$.
5. Gəlin bölgünü edək.
$\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2):\frac(y(x-y))(x(x+y))=\frac(y(x-y)^2)( x(x+y)^2)*\frac(x(x+y))(y(x-y))=\frac(x-y)(x+y)$.
Biz düzgün şəxsiyyəti əldə etdik, bunu sübut etməmiz lazım idi.
Dərsin sonunda güclərlə işləmə qaydalarını bir daha yazacağıq, burada göstərici tam ədəddir.
$a^s*a^t=a^(s+t)$.
$\frac(a^s)(a^t)=a^(s-t)$.
$(a^s)^t=a^(st)$.
$(ab)^s=a^s*b^s$.
$(\frac(a)(b))^s=\frac(a^s)(b^s)$.
Müstəqil həll ediləcək problemlər
1. Hesablayın: $3^(-2)+(\frac(3)(4))^(-3)+9^(-1)$.2. Verilmiş ədədi $\frac(1)(16384)$ sadə ədədinin gücü kimi təqdim edin.
3. İfadəni güc kimi ifadə edin:
$\frac(b^(-8)*(b^3)^(-4))((b^2*b^(-7))^3)$.
4. Şəxsiyyəti sübut edin:
$(\frac(b^(-m)-c^(-m))(b^(-m)+c^(-m))+\frac(b^(-m)+c^(-m) ))(c^(-m)-b^(-m)))=\frac(4)(b^m c^(-m)-b^(-m)c^m) $.
