Bu məqalə haqqındadır ondalıklar . Burada biz kəsr ədədlərinin onluq qeydini başa düşəcəyik, onluq kəsr anlayışını təqdim edəcəyik və onluq kəsrlərə misallar verəcəyik. Sonra onluq kəsrlərin rəqəmləri haqqında danışacağıq və rəqəmlərin adlarını verəcəyik. Bundan sonra biz sonsuz onluq kəsrlərə diqqət yetirəcəyik, dövri və dövri olmayan kəsrlərdən danışaq. Sonra onluq kəsrlərlə əsas əməliyyatları sadalayırıq. Yekun olaraq, koordinat şüası üzərində onluq kəsrlərin mövqeyini təyin edək.

Səhifə naviqasiyası.

Kəsr ədədin ondalıq qeydi

Ondalıkların oxunması

Onluq kəsrlərin oxunması qaydaları haqqında bir neçə söz deyək.

Düzgün olanlara uyğun gələn onluq kəsrlər adi fraksiyalar, bu adi kəsrlərlə eyni şəkildə oxunur, əvvəlcə yalnız “sıfır tam ədədlər” əlavə edilir. Məsələn, 0.12 onluq kəsr 12/100 ümumi kəsirinə uyğundur (“on iki yüzdə biri” oxuyun), buna görə də 0.12 “sıfır nöqtəsi on iki yüzdə biri” kimi oxunur.

Qarışıq ədədlərə uyğun gələn onluq kəsrlər bu qarışıq ədədlərlə tam olaraq eyni oxunur. Məsələn, 56.002 onluq kəsrinə uyğun gəlir qarışıq nömrə, buna görə də, 56.002 onluq kəsr "əlli altı nöqtə iki mində bir" kimi oxunur.

Onluqlarda yerlər

Onluq kəsrlərin yazılmasında, eləcə də natural ədədlərin yazılmasında hər bir rəqəmin mənası onun mövqeyindən asılıdır. Həqiqətən, 0,3 onluq kəsrindəki 3 rəqəmi onda üç, 0,0003 onluq kəsrində - on mində üç, 30,000,152 - on mində üç deməkdir. Beləliklə, biz danışa bilərik onluq yerlər, həmçinin natural ədədlərdəki rəqəmlər haqqında.

Onluq kəsrdəki rəqəmlərin onluğa qədər olan adları natural ədədlərdəki rəqəmlərin adları ilə tamamilə üst-üstə düşür. Onluqdan sonrakı onluq yerlərin adlarını isə aşağıdakı cədvəldən görmək olar.

Məsələn, 37.051 onluq kəsrində 3 rəqəmi onluqda, 7 birlikdə, 0 onda bir yerdə, 5 yüzlükdə, 1 mində bir yerdədir.

Onluq kəsrlərdəki yerlər də üstünlüyü ilə fərqlənir. Əgər onluq kəsri yazarkən rəqəmdən rəqəmə soldan sağa keçiriksə, onda bizdən keçəcəyik yaşlılar Kimə kiçik rütbələr. Məsələn, yüzlüklər yeri onuncu yerdən böyükdür, milyonuncu yer isə yüzlüklərdən aşağıdır. Verilmiş son onluq kəsrdə böyük və kiçik rəqəmlər haqqında danışa bilərik. Məsələn, onluq kəsrdə 604.9387 böyük (ən yüksək) yer yüzlərlə yerdir və kiçik (ən aşağı)- on-minlik rəqəm.

Onluq kəsrlər üçün rəqəmlərə genişlənmə baş verir. Bu natural ədədlərin rəqəmlərinə genişlənməyə bənzəyir. Məsələn, 45.6072-nin onluq yerlərinə genişləndirilməsi aşağıdakı kimidir: 45.6072=40+5+0.6+0.007+0.0002. Onluq kəsrin rəqəmlərə parçalanmasından toplamanın xassələri bu onluq kəsrin digər təsvirlərinə keçməyə imkan verir, məsələn, 45.6072=45+0.6072 və ya 45.6072=40.6+5.007+0.0002 və ya 45.6070= 72. 0.6.

Onluqların sonu

Bu nöqtəyə qədər biz yalnız onluq kəsrlərdən danışdıq, onların qeydində ondalık nöqtədən sonra sonlu rəqəmlər var. Belə kəsrlərə sonlu onluqlar deyilir.

Tərif.

Onluqların sonu- Bunlar, qeydlərində məhdud sayda simvol (rəqəm) olan onluq kəsrlərdir.

Burada son onluq kəsrlərin bəzi nümunələri verilmişdir: 0,317, 3,5, 51,1020304958, 230,032,45.

Bununla belə, hər kəsr son onluq kimi göstərilə bilməz. Məsələn, 5/13 kəsri 10, 100, ... məxrəclərindən biri ilə bərabər kəsrlə əvəz edilə bilməz, buna görə də son onluq kəsrə çevrilə bilməz. Bu barədə daha çox nəzəri hissədə adi kəsrləri ondalığa çevirərək danışacağıq.

Sonsuz Onluqlar: Dövri kəsrlər və Dövri olmayan kəsrlər

Onluq kəsrdən sonra onluq kəsri yazarkən sonsuz sayda rəqəmin mümkünlüyünə icazə vermək olar. Bu halda, biz sözdə sonsuz onluq kəsrləri nəzərdən keçirəcəyik.

Tərif.

Sonsuz onluqlar- Bunlar sonsuz sayda rəqəmləri ehtiva edən onluq kəsrlərdir.

Aydındır ki, biz sonsuz onluq kəsrləri tam formada yaza bilmərik, ona görə də onların yazılmasında biz özümüzü onluq nöqtədən sonra yalnız müəyyən sonlu rəqəmlərlə məhdudlaşdırırıq və sonsuz davam edən rəqəmlər ardıcıllığını göstərən ellips qoyuruq. Sonsuz onluq kəsrlərə bəzi nümunələr: 0.143940932…, 3.1415935432…, 153.02003004005…, 2.11111111…, 69.74152152152….

Son iki sonsuz onluq kəsrə diqqətlə baxsanız, onda 2.111111111 kəsrində... sonsuz təkrarlanan 1 rəqəmi, 69.74152152152... kəsirində isə üçüncü onluqdan başlayaraq təkrarlanan ədədlər qrupu aydın görünür. 1, 5 və 2 aydın görünür. Belə sonsuz onluq kəsrlərə dövri deyilir.

Tərif.

Dövri onluq ədədlər(və ya sadəcə dövri fraksiyalar) sonsuz onluq kəsrlərdir, onların qeydində müəyyən onluq yerdən başlayaraq bəzi ədədlər və ya ədədlər qrupu sonsuz olaraq təkrarlanır, buna deyilir fraksiyanın dövrü.

Məsələn, 2.111111111... dövri kəsirinin dövrü 1 rəqəmi, 69.74152152152... kəsrinin dövrü isə 152 formalı rəqəmlər qrupudur.

Sonsuz dövri onluq kəsrlər üçün xüsusi qeyd forması qəbul edilir. Qısalıq üçün, mötərizənin içinə alaraq, nöqtəni bir dəfə yazmağa razılaşdıq. Məsələn, 2.111111111... dövri kəsr 2,(1) , 69.74152152152... dövri kəsr isə 69.74(152) kimi yazılır.

Qeyd etmək lazımdır ki, eyni dövri onluq kəsr üçün təyin edə bilərsiniz müxtəlif dövrlər. Məsələn, dövri onluq kəsr 0,73333... 3 dövrlü 0,7(3) kəsr, həmçinin 33 dövrü olan 0,7(33) kəsr və s. 0,7(333) kimi qəbul edilə bilər, 0,7 (3333), ... Siz həmçinin dövri kəsrə 0,73333 ... belə baxa bilərsiniz: 0,733(3) və ya bu kimi 0,73(333) və s. Burada qeyri-müəyyənlik və uyğunsuzluqların qarşısını almaq üçün biz onluq kəsr dövrünü təkrarlanan rəqəmlərin bütün mümkün ardıcıllıqlarından ən qısasını və ən yaxın mövqedən onluq nöqtəyə qədər hesab etməyə razıyıq. Yəni 0,73333... onluq kəsrinin dövrü bir rəqəm 3 ardıcıllığı hesab olunacaq və dövrilik ondalık nöqtədən sonrakı ikinci mövqedən, yəni 0,73333...=0,7(3) başlayır. Başqa bir misal: 4,7412121212... dövri kəsrinin 12 dövrə malikdir, dövrilik onluq nöqtədən sonrakı üçüncü rəqəmdən başlayır, yəni 4,7412121212...=4,74(12).

Sonsuz onluq dövri kəsrlər məxrəclərində 2 və 5-dən başqa sadə əmsalları olan adi kəsrlərin onluq kəsrlərə çevrilməsi yolu ilə əldə edilir.

Burada dövrü 9 olan dövri fraksiyaları qeyd etmək lazımdır. Belə kəsrlərə misallar verək: 6.43(9) , 27,(9) . Bu kəsrlər dövrü 0 olan dövri fraksiyalar üçün başqa bir qeyddir və onlar adətən dövrü 0 olan dövri fraksiyalarla əvəz olunur. Bunun üçün 9-cu dövr 0-cı dövrlə əvəz edilir və növbəti ən yüksək rəqəmin qiyməti bir artırılır. Məsələn, 7.24(9) formasının 9-cu dövrü olan kəsr 7.25(0) formasının 0 nöqtəsi olan dövri kəsrlə və ya 7.25-ə bərabər yekun onluq kəsrlə əvəz olunur. Başqa bir misal: 4,(9)=5,(0)=5. Dövr 9 olan kəsrin bərabərliyi və 0 dövrü ilə uyğun kəsr bu onluq kəsrləri bərabər adi kəsrlərlə əvəz etdikdən sonra asanlıqla müəyyən edilir.

Nəhayət, sonsuz təkrarlanan rəqəmlər ardıcıllığını ehtiva etməyən sonsuz onluq kəsrlərə daha yaxından nəzər salaq. Onlar qeyri-dövri adlanır.

Tərif.

Qeyri-təkrarlanan onluqlar(və ya sadəcə dövri olmayan fraksiyalar) dövrü olmayan sonsuz onluq kəsrlərdir.

Bəzən qeyri-dövri kəsrlər dövri kəsrlərə bənzər formada olur, məsələn, 8.02002000200002... qeyri-dövri kəsrdir. Bu hallarda fərqi görmək üçün xüsusilə diqqətli olmalısınız.

Nəzərə alın ki, qeyri-dövri kəsrlər adi kəsrlərə çevrilmir;

Onluqlarla əməliyyatlar

Onluq kəsrlərlə əməliyyatlardan biri müqayisədir və dörd əsas arifmetik funksiya da müəyyən edilir. onluqlarla əməliyyatlar: toplama, çıxma, vurma və bölmə. Onluq kəsrlərlə hərəkətlərin hər birini ayrıca nəzərdən keçirək.

Onluqların müqayisəsi mahiyyətcə müqayisə olunan onluq kəsrlərə uyğun gələn adi kəsrlərin müqayisəsinə əsaslanır. Bununla belə, onluq kəsrlərin adi kəsrlərə çevrilməsi kifayət qədər əmək tələb edən prosesdir və sonsuz qeyri-dövri kəsrləri adi kəsr kimi təqdim etmək mümkün deyil, ona görə də onluq kəsrlərin yer-rəqəmli müqayisəsindən istifadə etmək rahatdır. Onluq kəsrlərin yerlər üzrə müqayisəsi natural ədədlərin müqayisəsinə bənzəyir. Daha ətraflı məlumat üçün məqaləni öyrənməyi məsləhət görürük: onluq kəsrlərin müqayisəsi, qaydalar, nümunələr, həllər.

Növbəti addıma keçək - ondalıkların vurulması. Sonlu onluq kəsrlərin vurulması onluq kəsrlərin çıxılmasına bənzər şəkildə həyata keçirilir, qaydalar, nümunələr, natural ədədlər sütununa vurma həlləri. Dövri kəsrlər vəziyyətində, vurma adi kəsrlərin vurulmasına qədər azaldıla bilər. Öz növbəsində, yuvarlaqlaşdırıldıqdan sonra sonsuz qeyri-dövri onluq kəsrlərin vurulması sonlu onluq kəsrlərin vurulmasına endirilir. Məqalədəki materialı daha çox öyrənmək üçün tövsiyə edirik: onluq kəsrlərin vurulması, qaydalar, nümunələr, həllər.

Koordinat şüasında ondalıq ədədlər

Nöqtələr və onluqlar arasında bir-bir uyğunluq var.

Koordinat şüasında verilmiş onluq kəsrə uyğun olan nöqtələrin necə qurulduğunu anlayaq.

Sonlu onluq kəsrləri və sonsuz dövri onluq kəsrləri bərabər adi kəsrlərlə əvəz edə və sonra koordinat şüası üzərində müvafiq adi kəsrlər qura bilərik. Məsələn, 1.4 onluq kəsr 14/10 ümumi kəsirinə uyğundur, buna görə də koordinatı 1.4 olan nöqtə vahid seqmentin onda birinə bərabər olan 14 seqmentlə müsbət istiqamətdə başlanğıcdan çıxarılır.

Verilmiş onluq kəsrin rəqəmlərə parçalanmasından başlayaraq koordinat şüası üzərində ondalıq kəsrlər qeyd oluna bilər. Məsələn, 16.3007 koordinatı olan bir nöqtə qurmalıyıq, çünki 16.3007=16+0.3+0.0007, o zaman koordinatların mənşəyindən ardıcıl olaraq 16 vahid seqment, uzunluğu onda birə bərabər olan 3 seqment qoymaqla bu nöqtəyə gələ bilərik. vahidin və uzunluğu vahid seqmentin on mində birinə bərabər olan 7 seqment.

Koordinat şüası üzərində onluq ədədlərin qurulmasının bu üsulu sonsuz onluq kəsrə uyğun gələn nöqtəyə istədiyiniz qədər yaxınlaşmağa imkan verir.

Bəzən sonsuz onluq kəsrə uyğun olan nöqtəni dəqiq şəkildə çəkmək mümkündür. Məsələn, , onda bu sonsuz onluq kəsr 1.41421... tərəfi 1 vahid seqmentli kvadratın diaqonalının uzunluğu ilə koordinatların başlanğıcından uzaqda olan koordinat şüasının nöqtəsinə uyğun gəlir.

Koordinat şüasının verilmiş nöqtəsinə uyğun gələn onluq kəsri əldə etməyin tərs prosesi sözdə deyilir. seqmentin onluq ölçülməsi. Bunun necə edildiyini anlayaq.

Bizim vəzifəmiz başlanğıcdan koordinat xəttində verilmiş nöqtəyə çatmaq (ya da çata bilmiriksə, ona sonsuz yaxınlaşmaq) olsun. Seqmentin onluq ölçülməsi ilə biz ardıcıl olaraq istənilən sayda vahid seqmenti, sonra uzunluğu vahidin onda birinə bərabər olan seqmentləri, sonra uzunluğu vahidin yüzdə birinə bərabər olan seqmentləri və s. Kənara qoyulmuş hər bir uzunluqdakı seqmentlərin sayını qeyd edərək, koordinat şüasının verilmiş nöqtəsinə uyğun olan onluq kəsri alırıq.

Məsələn, yuxarıdakı şəkildəki M nöqtəsinə çatmaq üçün uzunluğu vahidin onda birinə bərabər olan 1 vahid seqment və 4 seqmenti kənara qoymaq lazımdır. Beləliklə, M nöqtəsi 1.4 onluq kəsrinə uyğundur.

Aydındır ki, koordinat şüasının onluq ölçmə prosesində əldə edilə bilməyən nöqtələri sonsuz onluq kəsrlərə uyğun gəlir.

İstinadlar.

• Riyaziyyat: dərslik 5-ci sinif üçün. ümumi təhsil qurumlar / N. Ya. Vilenkin, V. İ. Joxov, A. S. Chesnokov, S. I. Şvartsburd. - 21-ci nəşr, silinib. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 s.: xəstə. ISBN 5-346-00699-0.
• Riyaziyyat. 6-cı sinif: təhsil. ümumi təhsil üçün qurumlar / [N. Ya.Vilenkin və başqaları]. - 22-ci nəşr, rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: xəstə. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Cəbr: dərslik 8-ci sinif üçün. ümumi təhsil qurumlar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tərəfindən redaktə edilmişdir S. A. Telyakovski. - 16-cı nəşr. - M.: Təhsil, 2008. - 271 s. : xəstə. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Qusev V. A., Mordkoviç A. G. Riyaziyyat (texniki məktəblərə daxil olanlar üçün dərslik): Proc. müavinət.- M.; Daha yüksək məktəb, 1984.-351 s., xəstə.

Əgər onlar seriyalar nəzəriyyəsini bilirlərsə, onsuz heç bir metamatik anlayışlar təqdim edilə bilməz. Üstəlik, bu insanlar ondan geniş istifadə etməyən hər kəsin cahil olduğuna inanırlar. Bu insanların fikirlərini vicdanlarına buraxaq. Sonsuz dövri kəsrin nə olduğunu daha yaxşı anlayaq və biz, heç bir məhdudiyyət bilməyən savadsız insanlar bununla necə məşğul olmalıyıq.

237-ni 5-ə bölək. Xeyr, Kalkulyatoru işə salmağa ehtiyac yoxdur. Orta məktəbi (və ya hətta ibtidai?) daha yaxşı xatırlayaq və onu sadəcə bir sütuna ayıraq:

Yaxşı, xatırladın? Sonra işə başlaya bilərsiniz.

Riyaziyyatda “kəsr” anlayışının iki mənası var:

1. Tam olmayan ədəd.
2. Tam olmayan forma.

İki növ kəsr var - mənada tam olmayan ədədlərin yazılmasının iki forması:

1. Sadə (və ya şaquli) kəsrlər, məsələn, 1/2 və ya 237/5.
2. Ondalıq kəsrlər, məsələn, 0,5 və ya 47,4.

Qeyd edək ki, ümumiyyətlə fraksiya qeydinin istifadəsi yazılanların kəsr ədədi olması demək deyil, məsələn 3/3 və ya 7.0 - sözün birinci mənasında kəsr deyil, ikincisi, əlbəttə ki, , kəsrlər.

Riyaziyyatda, ümumiyyətlə, ondalık sayma həmişə qəbul edilmişdir və buna görə də onluq kəsrlər sadə olanlardan, yəni onluq məxrəcli kəsrdən daha rahatdır (Vladimir Dal. Lüğət yaşayan böyük rus dili. "On").

Əgər belədirsə, onda mən hər şaquli kəsri onluq ("üfüqi") etmək istəyirəm. Bunu etmək üçün, sadəcə olaraq, payı məxrəcə bölmək lazımdır. Məsələn, 1/3 kəsri götürək və ondan onluq təşkil etməyə çalışaq.

Hətta tamamilə savadsız insan da fərqinə varacaq: nə qədər vaxt aparsa da, ayrılmayacaq: üçəmlər sonsuza qədər görünməyə davam edəcəklər. Odur ki, onu yazaq: 0,33... “1-i 3-ə böldükdə əldə edilən ədədi” və ya qısaca “üçdə biri”ni nəzərdə tuturuq. Təbii ki, üçdə biri sözün birinci mənasında kəsr, “1/3” və “0,33...” isə sözün ikinci mənasında kəsrdir, yəni. giriş formaları say xəttində sıfırdan elə bir məsafədə yerləşən bir ədəd ki, onu üç dəfə kənara qoysanız, bir alınar.

İndi 5-i 6-ya bölməyə çalışaq:

Yenidən yazaq: 0,833... “5-i 6-ya böldükdə əldə etdiyiniz ədədi” və ya qısacası “altıda beşi” nəzərdə tuturuq. Ancaq burada çaşqınlıq yaranır: bu, 0,83333 (sonra üçlüklər təkrarlanır) və ya 0,833833 (sonra 833 təkrarlanır) deməkdir. Buna görə də, ellipsis ilə qeyd bizə uyğun deyil: təkrarlanan hissənin haradan başladığı aydın deyil (buna "dövr" deyilir). Buna görə də, nöqtəni mötərizədə belə qoyacağıq: 0, (3); 0,8(3).

0, (3) asan deyil bərabərdirüçdə biri, yəni varüçdə biri, çünki biz bu rəqəmi onluq kəsr kimi təqdim etmək üçün xüsusi olaraq bu qeydi icad etmişik.

Bu giriş adlanır sonsuz dövri kəsr, və ya sadəcə dövri fraksiya.

Nə vaxt bir ədədi digərinə bölsək, sonlu kəsr əldə etməsək, sonsuz dövri kəsr alırıq, yəni nə vaxtsa ədədlərin ardıcıllığı mütləq təkrarlanmağa başlayacaq. Bunun niyə belə olduğunu sütun bölgüsü alqoritminə diqqətlə baxaraq sırf spekulyativ olaraq başa düşmək olar:

Yoxlama işarələri ilə qeyd olunan yerlərdə siz hər zaman nəticə əldə edə bilməzsiniz fərqli cütlərədədlər (çünki, prinsipcə, belə cütlərin sonlu sayı var). Və orada artıq mövcud olan belə bir cüt görünən kimi fərq də eyni olacaq - və sonra bütün proses təkrarlanmağa başlayacaq. Bunu yoxlamağa ehtiyac yoxdur, çünki eyni hərəkətləri təkrarlasanız, nəticələr eyni olacaq.

İndi yaxşı başa düşürük mahiyyəti dövri kəsr, gəlin üçdə birini üçə vurmağa çalışaq. Bəli, əlbəttə ki, birini alacaqsınız, amma gəlin bu kəsri onluq formada yazaq və onu bir sütuna vuraq (onluq nöqtədən sonrakı bütün rəqəmlər eyni olduğu üçün burada ellipsisə görə qeyri-müəyyənlik yaranmır):

Və yenə də görürük ki, doqquz, doqquz və doqquz hər zaman ondalık nöqtədən sonra görünəcək. Yəni tərs mötərizə qeydindən istifadə edərək 0,(9) alırıq. Üçdə bir və üçünün hasilinin bir olduğunu bildiyimiz üçün, 0.(9) bir yazmağın çox gözəl bir üsuludur. Bununla belə, bu qeyd formasından istifadə etmək yersizdir, çünki vahid nöqtədən istifadə etmədən mükəmməl şəkildə yazıla bilər, məsələn: 1.

Gördüyünüz kimi, 0, (9) tam ədədin 3/3 və ya 7.0 kimi kəsr şəklində yazıldığı hallardan biridir. Yəni, 0,(9) yalnız sözün ikinci mənasında kəsrdir, birincidə deyil.

Beləliklə, heç bir məhdudiyyət və ya sıra olmadan biz 0.(9)-un nə olduğunu və onunla necə məşğul olacağımızı anladıq.

Ancaq yenə də xatırlayaq ki, biz əslində ağıllıyıq və təhlili öyrənmişik. Doğrudan da, bunu inkar etmək çətindir:

Ancaq bəlkə də heç kim bununla mübahisə etməyəcək:

Bütün bunlar, əlbəttə ki, doğrudur. Həqiqətən, 0,(9) həm azaldılmış sıraların cəmi, həm də göstərilən bucağın qoşa sinusu və Eyler ədədinin natural loqarifmidir.

Amma nə biri, nə digəri, nə də üçüncüsü tərif deyil.

0,(9) sonsuz 9/(10 n) sırasının cəmidir və n birə bərabərdir demək, sinusun sonsuz Teylor seriyasının cəmi olduğunu söyləməklə eynidir:

Bu tamamilə doğru, və bu, hesablama riyaziyyatı üçün ən vacib faktdır, lakin tərif deyil və ən əsası, insanı dərk etməyə daha da yaxınlaşdırmır. mahiyyətcə sinus Müəyyən bir bucağın sinusunun mahiyyəti ondan ibarətdir ki sadəcə hər şey bucağın əksinə olan ayağın hipotenuzaya nisbəti.

Beləliklə, dövri kəsrdir sadəcə hər şey zaman əldə edilən onluq kəsr sütuna bölərkən eyni nömrələr dəsti təkrarlanacaq. Burada təhlildən əsər-əlamət yoxdur.

Və burada sual yaranır: bu haradan gəlir? ümumiyyətlə 0,(9) rəqəmini götürdük? Onu almaq üçün sütunla nəyi nəyə bölürük? Həqiqətən, elə rəqəmlər yoxdur ki, bir sütuna bölündükdə sonsuz doqquz görünsün. Bəs biz sütunla 0,(3)-ü 3-ə vuraraq bu rəqəmi əldə edə bildik? Həqiqətən yox. Axı, rəqəmlərin köçürülməsini düzgün nəzərə almaq üçün sağdan sola çoxalmaq lazımdır və biz bunu soldan sağa etdik, hər halda köçürmələrin heç bir yerdə baş verməməsindən hiyləgərliklə istifadə etdik. Odur ki, 0,(9)-un yazılmasının qanunauyğunluğu sütunla belə çoxalmanın qanuniliyini tanıyıb-tanımamağımızdan asılıdır.

Buna görə də biz ümumiyyətlə deyə bilərik ki, 0,(9) qeydi səhvdir - və müəyyən dərəcədə doğrudur. Lakin a ,(b ) qeydi qəbul edildiyi üçün b = 9 olduqda ondan imtina etmək sadəcə olaraq çirkindir; Belə bir girişin nə demək olduğuna qərar vermək daha yaxşıdır. Deməli, 0,(9) qeydini ümumiyyətlə qəbul etsək, bu qeyd, təbii ki, bir nömrə deməkdir.

Yalnız əlavə etmək qalır ki, məsələn, üçlü say sistemindən istifadə etsək, onda bir (1 3) sütununu üçə (10 3) bölməkdə 0,1 3 ("sıfır nöqtəsi üçdə bir" oxuyun) alacağıq), və Biri ikiyə böldükdə 0,(1) 3 olar.

Deməli, kəsr ədədinin dövriliyi kəsr ədədinin bəzi obyektiv xarakteristikası deyil, sadəcə olaraq yan təsir bu və ya digər say sistemindən istifadə etməklə.

Belə olur ki, hesablamaların rahatlığı üçün adi bir kəsri ondalığa və əksinə çevirmək lazımdır. Bunu necə etmək barədə bu məqalədə danışacağıq. Adi kəsrlərin ondalığa və əksinə çevrilməsi qaydalarına baxaq, həmçinin misallar verək.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Müəyyən ardıcıllıqla adi kəsrləri ondalığa çevirməyi nəzərdən keçirəcəyik. Əvvəlcə məxrəci 10-a çox olan adi kəsrlərin ondalığa necə çevrildiyinə baxaq: 10, 100, 1000 və s. Belə məxrəcləri olan kəsrlər, əslində, onluq kəsrlərin daha çətin qeydidir.

Sonra, biz 10-a çoxluğu deyil, istənilən məxrəci olan adi kəsrləri onluq kəsrlərə necə çevirəcəyimizi nəzərdən keçirəcəyik. Qeyd edək ki, adi kəsrləri ondalığa çevirərkən təkcə sonlu onluq kəsrlər deyil, həm də sonsuz dövri onluq kəsrlər alınır.

Gəlin başlayaq!

Məxrəcləri 10, 100, 1000 və s. olan adi kəsrlərin tərcüməsi. onluqlara

Əvvəla, deyək ki, bəzi kəsrlər onluq formaya çevrilməzdən əvvəl müəyyən hazırlıq tələb edir. Bu nədir? Numeratordakı rəqəmdən əvvəl o qədər sıfır əlavə etmək lazımdır ki, paylayıcıdakı rəqəmlərin sayı məxrəcdəki sıfırların sayına bərabər olsun. Məsələn, 3100 kəsri üçün 0 rəqəmi saydakı 3-ün soluna bir dəfə əlavə edilməlidir. Fraksiya 610, yuxarıda göstərilən qaydaya görə, dəyişdirilməyə ehtiyac yoxdur.

Daha bir nümunəyə baxaq, bundan sonra fraksiyaların çevrilməsində çox təcrübə olmadığı halda, əvvəlcə istifadə etmək üçün xüsusilə əlverişli bir qayda tərtib edəcəyik. Beləliklə, sayğacda sıfırlar əlavə edildikdən sonra 1610000 kəsir 001510000 kimi görünəcəkdir.

Məxrəci 10, 100, 1000 və s olan ümumi kəsri necə çevirmək olar. ondalığa?

Adi düzgün kəsrlərin ondalığa çevrilməsi qaydası

1. 0 yazın və ondan sonra vergül qoyun.
2. Sıfırları əlavə etdikdən sonra əldə edilən saydan rəqəmi yazırıq.

İndi nümunələrə keçək.

Nümunə 1: Kəsrləri ondalığa çevirmək

39,100 kəsrini ondalığa çevirək.

Birincisi, biz fraksiyaya baxırıq və görürük ki, heç bir hazırlıq hərəkəti etməyə ehtiyac yoxdur - paylayıcıdakı rəqəmlərin sayı məxrəcdəki sıfırların sayı ilə üst-üstə düşür.

Qaydaya əməl edərək 0 yazırıq, ondan sonra onluq nöqtə qoyuruq və rəqəmi saydan yazırıq. 0.39 onluq kəsr alırıq.

Bu mövzuda başqa bir nümunənin həllinə baxaq.

Nümunə 2. Kəsrlərin ondalığa çevrilməsi

105 10000000 kəsrini onluq hissə kimi yazaq.

Məxrəcdəki sıfırların sayı 7-dir və payın cəmi üç rəqəmi var. Nömrədəki ədəddən əvvəl daha 4 sıfır əlavə edək:

0000105 10000000

İndi biz 0 yazırıq, ondan sonra onluq nöqtə qoyuruq və saydan rəqəmi yazırıq. 0,0000105 onluq kəsr alırıq.

Bütün nümunələrdə nəzərdən keçirilən kəsrlər adi uyğun kəsrlərdir. Bəs düzgün olmayan kəsri ondalığa necə çevirmək olar? Dərhal deyək ki, bu cür fraksiyalar üçün sıfır əlavə etməklə hazırlığa ehtiyac yoxdur. Bir qayda formalaşdıraq.

Adi natamam kəsrlərin ondalığa çevrilməsi qaydası

1. Numeratorda olan nömrəni yazın.
2. İlkin kəsrin məxrəcində sıfırlar olduğu qədər sağdakı rəqəmləri ayırmaq üçün onluq nöqtədən istifadə edirik.

Aşağıda bu qaydadan necə istifadə olunacağına dair bir nümunə verilmişdir.

Misal 3. Kəsrin ondalığa çevrilməsi

56888038009 100000 kəsrini adi nizamsız kəsrdən ondalığa çevirək.

Əvvəlcə saydan gələn rəqəmi yazaq:

İndi sağda beş rəqəmi onluq nöqtə ilə ayırırıq (məxrəcdəki sıfırların sayı beşdir). Biz əldə edirik:

Təbii olaraq yaranan növbəti sual budur: qarışıq ədədi ondalık kəsrə necə çevirmək olar, əgər onun kəsr hissəsinin məxrəci 10, 100, 1000 və s. olarsa. Belə bir ədədi onluq kəsrə çevirmək üçün aşağıdakı qaydadan istifadə edə bilərsiniz.

Qarışıq ədədlərin ondalığa çevrilməsi qaydası

1. Lazım gələrsə, ədədin kəsr hissəsini hazırlayırıq.
2. Orijinal nömrənin tam hissəsini yazırıq və ondan sonra vergül qoyuruq.
3. Əlavə edilmiş sıfırlarla birlikdə kəsr hissəsinin sayından gələn nömrəni yazırıq.

Bir nümunəyə baxaq.

Misal 4: Qarışıq ədədləri ondalığa çevirmək

23 17 10000 qarışıq ədədini onluq kəsrə çevirək.

Kəsr hissədə 17 10000 ifadəsi var. Hazırlayaq və sayğacın soluna daha iki sıfır əlavə edək. Alırıq: 0017 10000.

İndi ədədin tam hissəsini yazırıq və ondan sonra vergül qoyuruq: 23, . .

Onluq nöqtədən sonra, saydan gələn nömrəni sıfırlarla birlikdə yazın. Nəticəni alırıq:

23 17 10000 = 23 , 0017

Adi kəsrlərin sonlu və sonsuz dövri kəsrlərə çevrilməsi

Əlbəttə ki, məxrəci 10, 100, 1000 və s.-ə bərabər olmayan onluqlara və adi kəsrlərə çevirə bilərsiniz.

Tez-tez bir kəsr asanlıqla yeni məxrəcə endirilə bilər və sonra bu maddənin birinci bəndində göstərilən qaydadan istifadə edin. Məsələn, 25-in payını və məxrəcini 2-yə vurmaq kifayətdir və biz 410 kəsri alırıq ki, bu da asanlıqla 0,4 onluq formasına çevrilir.

Bununla belə, kəsri ondalığa çevirmək üçün bu üsul həmişə istifadə edilə bilməz. Aşağıda nəzərdən keçirilən metodu tətbiq etmək mümkün olmadıqda nə edəcəyimizi nəzərdən keçirəcəyik.

Əsasən yeni yol adi kəsri ondalığa çevirmək, payın məxrəcə bir sütunla bölünməsinə qədər azaldılır. Bu əməliyyat natural ədədlərin sütunla bölünməsinə çox bənzəyir, lakin öz xüsusiyyətlərinə malikdir.

Bölmə zamanı paylayıcı onluq kəsr kimi təmsil olunur - sayın son rəqəminin sağına vergül qoyulur və sıfırlar əlavə edilir. Yaranan hissədə, paylayıcının tam hissəsinin bölünməsi başa çatdıqda onluq nöqtə qoyulur. Bu metodun necə işlədiyi nümunələrə baxdıqdan sonra aydın olacaq.

Nümunə 5. Kəsrlərin ondalığa çevrilməsi

621 4 sadə kəsri onluq formaya çevirək.

Gəlin saydan 621 rəqəmini onluq kəsr kimi təqdim edək, ondalıq nöqtədən sonra bir neçə sıfır əlavə edək. 621 = 621.00

İndi sütundan istifadə edərək 621.00-ı 4-ə bölək. Bölmənin ilk üç addımı natural ədədləri bölərkən eyni olacaq və biz əldə edəcəyik.

Dividenddə onluq nöqtəyə çatdıqda və qalan sıfırdan fərqli olduqda, biz bölməyə ondalık nöqtə qoyuruq və bölünməyə davam edirik, artıq dividenddəki vergüllərə diqqət yetirmirik.

Nəticədə 621 4 sadə kəsri tərsinə çevirməyin nəticəsi olan 155, 25 onluq kəsr alırıq.

621 4 = 155 , 25

Materialı gücləndirmək üçün başqa bir nümunəyə baxaq.

Nümunə 6. Kəsrlərin ondalığa çevrilməsi

21 800 sadə kəsri tərsinə çevirək.

Bunu etmək üçün 21.000 kəsrini 800-ə bölün. Bütün hissənin bölünməsi ilk addımda başa çatacaq, buna görə də ondan dərhal sonra bölməyə onluq nöqtə qoyuruq və sıfıra bərabər bir qalıq əldə edənə qədər dividenddəki vergüllərə diqqət yetirmədən bölməyə davam edirik.

Nəticədə əldə etdik: 21,800 = 0,02625.

Bəs bölən zaman hələ də 0 qalığını almasaq necə olar. Belə hallarda bölmə qeyri-müəyyən müddətə davam etdirilə bilər. Ancaq müəyyən bir addımdan başlayaraq, qalıqlar vaxtaşırı təkrarlanacaq. Müvafiq olaraq, bölmədəki nömrələr təkrarlanacaq. Bu o deməkdir ki, adi kəsr onluq sonsuz dövri kəsrə çevrilir. Bunu bir misalla izah edək.

Nümunə 7. Kəsrlərin ondalığa çevrilməsi

19 44 sadə kəsri ondalığa çevirək. Bunun üçün sütuna bölgü həyata keçiririk.

Bölünmə zamanı 8 və 36-cı qalıqların təkrarlandığını görürük. Bu halda 1 və 8 rəqəmləri hissədə təkrarlanır. Bu, onluq kəsrdəki dövrdür. Qeydiyyat zamanı bu nömrələr mötərizədə yerləşdirilir.

Beləliklə, ilkin adi kəsr sonsuz dövri onluq kəsrə çevrilir.

19 44 = 0 , 43 (18) .

Gəlin azalmayan adi kəsrə baxaq. Hansı formada olacaq? Hansı adi kəsrlər sonlu onluqlara, hansılar isə sonsuz dövri kəsrlərə çevrilir?

Əvvəlcə deyək ki, kəsri 10, 100, 1000... məxrəclərindən birinə endirmək olarsa, onda son onluq kəsr formasına sahib olacaq. Kəsrin bu məxrəclərdən birinə endirilməsi üçün onun məxrəci ən azı 10, 100, 1000 və s. ədədlərdən birinin bölücü olmalıdır. Ədədlərin sadə amillərə bölünməsi qaydalarından belə çıxır ki, ədədlərin bölən 10, 100, 1000 və s. sadə amillərə bölündükdə yalnız 2 və 5 rəqəmlərini ehtiva etməlidir.

Deyilənləri ümumiləşdirək:

1. Adi kəsr, məxrəci 2 və 5-in sadə amillərinə bölünə bilsə, son ondalığa endirilə bilər.
2. Əgər məxrəcin genişlənməsində 2 və 5 rəqəmlərindən başqa digər sadə ədədlər də varsa, kəsr sonsuz dövri onluq kəsr formasına endirilir.

Bir misal verək.

Misal 8. Kəsrin ondalığa çevrilməsi

Bu kəsrlərdən hansı 47 20, 7 12, 21 56, 31 17 son onluq kəsrə, hansı biri isə yalnız dövri kəsrə çevrilir. Gəlin kəsri birbaşa ondalığa çevirmədən bu suala cavab verək.

47 20 kəsri, asan göründüyü kimi, pay və məxrəci 5-ə vurmaqla yeni məxrəcə 100-ə endirilir.

47 20 = 235 100. Buradan belə nəticəyə gəlirik ki, bu kəsr son onluq kəsrə çevrilir.

7 12 kəsirinin məxrəcini faktorlara ayırmaq 12 = 2 · 2 · 3 verir. Baş amil 3 2 və 5-dən fərqli olduğundan, bu kəsr sonlu onluq kəsr kimi göstərilə bilməz, lakin sonsuz dövri kəsr formasına sahib olacaqdır.

21 56 fraksiyasını, ilk növbədə, azaltmaq lazımdır. 7-yə endirdikdən sonra məxrəci 8 = 2 · 2 · 2 vermək üçün faktorlara bölünən 3 8 kəsirini alırıq. Buna görə də son onluq kəsrdir.

31 17 kəsrində məxrəc faktorinqi 17-nin özüdür. Müvafiq olaraq, bu kəsr sonsuz dövri onluq kəsrə çevrilə bilər.

Adi kəsr sonsuz və dövri olmayan onluq kəsrə çevrilə bilməz

Yuxarıda yalnız sonlu və sonsuz dövri kəsrlərdən danışdıq. Bəs hər hansı adi kəsri sonsuz qeyri-dövri kəsrə çevirmək olarmı?

Cavab veririk: yox!

Vacibdir!

Sonsuz kəsri ondalığa çevirərkən nəticə ya sonlu onluq, ya da sonsuz dövri onluq kəsr olur.

Bölmənin qalan hissəsi həmişədir böləndən azdır. Başqa sözlə desək, bölünmə teoreminə görə, hansısa natural ədədi q ədədinə bölsək, onda bölmənin qalığı heç bir halda q-1-dən böyük ola bilməz. Bölmə başa çatdıqdan sonra aşağıdakı hallardan biri mümkündür:

1. Biz 0-ın qalığını alırıq və bölgü burada bitir.
2. Sonrakı bölmədə təkrarlanan və sonsuz dövri kəsrlə nəticələnən bir qalıq alırıq.

Kəsiri ondalığa çevirərkən başqa seçim ola bilməz. Onu da deyək ki, sonsuz dövri kəsrdə dövrün uzunluğu (rəqəmlərin sayı) həmişə müvafiq adi kəsrin məxrəcindəki rəqəmlərin sayından az olur.

Onluqların kəsrlərə çevrilməsi

İndi onluq kəsri ümumi kəsrə çevirməyin əks prosesinə baxmaq vaxtıdır. Üç mərhələni əhatə edən tərcümə qaydasını formalaşdıraq. Onluq kəsri adi kəsrə necə çevirmək olar?

Onluq kəsrlərin adi kəsrlərə çevrilməsi qaydası

1. Numeratorda, əgər varsa, soldakı vergülü və bütün sıfırları ataraq orijinal onluq kəsrdən rəqəm yazırıq.
2. Məxrəcdə ilkin onluq kəsrdə ondalık nöqtədən sonra nə qədər rəqəm varsa, ondan sonra bir sıfır yazırıq.
3. Lazım gələrsə, yaranan adi fraksiyanı azaldın.

Nümunələrdən istifadə edərək bu qaydanın tətbiqinə baxaq.

Misal 8. Onluq kəsrlərin adi kəsrlərə çevrilməsi

3.025 rəqəmini adi kəsr kimi təsəvvür edək.

1. Vergülü ataraq, ondalık kəsrin özünü nömrəyə yazırıq: 3025.
2. Məxrəcdə bir, ondan sonra isə üç sıfır yazırıq - ondalık nöqtədən sonra orijinal kəsrdə tam olaraq neçə rəqəm var: 3025 1000.
3. Nəticədə 3025 1000 kəsri 25-ə endirilə bilər, nəticədə: 3025 1000 = 121 40.

Misal 9. Onluq kəsrlərin adi kəsrlərə çevrilməsi

0,0017 kəsri onluqdan adiyə çevirək.

1. Numeratorda solda vergül və sıfırları ataraq 0, 0017 kəsrini yazırıq. 17 olacaq.
2. Məxrəcə bir yazırıq, ondan sonra isə dörd sıfır yazırıq: 17 10000. Bu fraksiya azalmazdır.

Əgər onluq kəsr tam hissəyə malikdirsə, onda belə bir kəsr dərhal qarışıq ədədə çevrilə bilər. Bunu necə etmək olar?

Gəlin daha bir qayda formalaşdıraq.

Onluq kəsrlərin qarışıq ədədlərə çevrilməsi qaydası.

1. Kəsrdə onluq nöqtədən əvvəlki ədəd qarışıq ədədin tam hissəsi kimi yazılır.
2. Numeratorda kəsrdə onluq nöqtədən sonrakı rəqəmi yazırıq, əgər varsa, soldakı sıfırları atırıq.
3. Kəsr hissənin məxrəcində kəsr hissədə onluq nöqtədən sonra nə qədər rəqəm varsa, bir və o qədər sıfır əlavə edirik.

Bir nümunə götürək

Misal 10: Onluğu qarışıq ədədə çevirmək

155, 06005 kəsrini qarışıq ədəd kimi təsəvvür edək.

1. 155 rəqəmini tam hissə kimi yazırıq.
2. Numeratorda sıfırı ataraq onluq nöqtədən sonra rəqəmləri yazırıq.
3. Məxrəcə bir və beş sıfır yazırıq

Qarışıq bir ədəd öyrənək: 155 6005 100000

Kəsr hissəsi 5 azaldıla bilər. Qısaldırıq və son nəticəni əldə edirik:

155 , 06005 = 155 1201 20000

Sonsuz dövri onluq hissələrin kəsrlərə çevrilməsi

Dövri onluq kəsrlərin adi kəsrlərə çevrilməsinə dair nümunələrə baxaq. Başlamazdan əvvəl aydınlaşdıraq: istənilən dövri onluq kəsr adi kəsrə çevrilə bilər.

Ən sadə hal kəsrin dövrünün sıfır olmasıdır. Sıfır dövrə malik dövri kəsr son onluq kəsrlə əvəz olunur və belə bir kəsrin dəyişdirilməsi prosesi son onluq kəsrin tərsinə çevrilməsinə qədər azaldılır.

Misal 11. Dövri onluq kəsri adi kəsrə çevirmək

3, 75 (0) dövri kəsrini tərsinə çevirək.

Sağdakı sıfırları aradan qaldıraraq, son onluq kəsr 3.75 alırıq.

Əvvəlki paraqraflarda müzakirə olunan alqoritmdən istifadə edərək bu kəsri adi kəsrə çevirərək əldə edirik:

3 , 75 (0) = 3 , 75 = 375 100 = 15 4 .

Bəs kəsrin dövrü sıfırdan fərqlidirsə? Dövri hissə azalan həndəsi irəliləyişin şərtlərinin cəmi kimi qəbul edilməlidir. Bunu bir misalla izah edək:

0 , (74) = 0 , 74 + 0 , 0074 + 0 , 000074 + 0 , 00000074 + . .

Sonsuz azalan həndəsi irəliləyişin şərtlərinin cəmi üçün bir düstur var. Proqresiyanın birinci üzvü b və məxrəc q isə 0 olarsa< q < 1 , то сумма равна b 1 - q .

Bu düsturdan istifadə edərək bir neçə nümunəyə baxaq.

Misal 12. Dövri onluq kəsri adi kəsrə çevirmək

Dövri kəsrimiz 0, (8) olsun və onu adi kəsrə çevirməliyik.

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . .

Burada sonsuz bir azalma var həndəsi irəliləyiş birinci hədd 0, 8 və məxrəc 0, 1 ilə.

Düsturu tətbiq edək:

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . . = 0 , 8 1 - 0 , 1 = 0 , 8 0 , 9 = 8 9

Bu tələb olunan adi fraksiyadır.

Materialı birləşdirmək üçün başqa bir nümunəyə nəzər salın.

Misal 13. Dövri onluq kəsri sadə kəsrə çevirmək

0, 43 (18) kəsrini tərsinə çevirək.

Əvvəlcə kəsri sonsuz cəm kimi yazırıq:

0 , 43 (18) = 0 , 43 + (0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . .)

Mötərizədə verilən şərtlərə baxaq. Bu həndəsi irəliləyiş aşağıdakı kimi göstərilə bilər:

0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . . = 0 , 0018 1 - 0 , 01 = 0 , 0018 0 , 99 = 18 9900 .

Nəticəni son hissəyə 0, 43 = 43 100 əlavə edirik və nəticəni alırıq:

0 , 43 (18) = 43 100 + 18 9900

Bu fraksiyaları əlavə edib azaltdıqdan sonra yekun cavabı alırıq:

0 , 43 (18) = 19 44

Bu məqaləni yekunlaşdırmaq üçün deyəcəyik ki, dövri olmayan sonsuz onluq kəsrlər adi kəsrlərə çevrilə bilməz.

Mətndə xəta görsəniz, onu vurğulayın və Ctrl+Enter düymələrini basın

Dövri fraksiya

müəyyən bir nöqtədən başlayaraq, yalnız vaxtaşırı təkrarlanan müəyyən bir rəqəm qrupu olan sonsuz onluq kəsr. Məsələn, 1,3181818...; Qısacası, bu kəsr belə yazılır: 1.3(18), yəni nöqtəni mötərizədə qoyurlar (və deyirlər: “Dövrdə 18”). Əgər dövr onluq nöqtədən dərhal sonra başlayırsa, məsələn, 2(71) = 2,7171... və ondalıq nöqtədən sonra nöqtədən əvvəlki rəqəmlər varsa, məsələn, 1,3(18) varsa, P. təmiz adlanır. Arifmetikada onluq kəsrlərin rolu onunla bağlıdır ki, rasional ədədlər, yəni adi (sadə) kəsrlər onluq kəsrlərlə təmsil olunduqda həmişə ya sonlu, ya da dövri kəsrlər alınır. Daha dəqiq desək: azaldılmayan sadə kəsrin məxrəcində 2 və 5-dən başqa sadə əmsallar olmadıqda yekun onluq kəsr alınır; bütün digər hallarda nəticə P. kəsrdir və üstəlik, verilmiş azaldılmayan kəsrin məxrəcində 2 və 5 faktorları ümumiyyətlə yoxdursa, o, təmizdir və bu amillərdən ən azı biri olduqda qarışıqdır. məxrəcdə. İstənilən P.D.-yə çevrilə bilər sadə kəsr(yəni hansısa rasional ədədə bərabərdir). Saf kəsr sadə kəsrə bərabərdir, onun payı dövrdür və məxrəc 9 rəqəmi ilə təmsil olunur, dövrdə nə qədər rəqəm varsa, o qədər yazılır; Qarışıq kəsri sadə kəsrə çevirərkən paylayıcı ikinci dövrdən əvvəlki ədədlərlə ifadə olunan ədədlə birinci dövrdən əvvəlki ədədlərlə ifadə olunan ədəd arasındakı fərqdir; Məxrəci tərtib etmək üçün 9 rəqəmini dövrdə nə qədər ədəd varsa, o qədər yazmalı və sağ tərəfə nöqtədən əvvəlki rəqəmlər qədər sıfır əlavə etməlisiniz. Bu qaydalar verilmiş P.-nin düzgün olduğunu, yəni bütöv vahidləri ehtiva etmədiyini güman edir; əks halda bütün hissəyə xüsusi diqqət yetirilir.

Verilmiş adi kəsrə uyğun gələn kəsrin dövrünün uzunluğunu təyin etmək qaydaları da məlumdur. Məsələn, bir kəsr üçün a/p, Harada r - sadə ədəd və 1 ≤ a ≤ p- 1, dövr uzunluğu böləndir r - 1. Beləliklə, bir ədədə məlum yaxınlaşmalar üçün (bax Pi) 22/7 və 355/113 dövrləri müvafiq olaraq 6 və 112-yə bərabərdir.

Böyük Sovet Ensiklopediyası. - M .: Sovet Ensiklopediyası. 1969-1978 .

Sinonimlər:

Digər lüğətlərdə "Dövri fraksiya" nın nə olduğuna baxın:

Müəyyən bir nöqtədən başlayaraq, müəyyən bir rəqəm qrupunun (dövrün) dövri olaraq təkrarlandığı sonsuz onluq kəsr, məsələn. 0,373737... təmiz dövri kəsr və ya 0,253737... qarışıq dövri kəsr... Böyük Ensiklopedik lüğət

Fraksiya, sonsuz kəsr Rus sinonimlərinin lüğəti. dövri fraksiya adı, sinonimlərin sayı: 2 sonsuz fraksiya (2) ... Sinonimlər lüğəti

Bir sıra rəqəmlərin eyni ardıcıllıqla təkrarlandığı onluq kəsr. Məsələn, 0,135135135... dövrü 135 olan və 135/999 = 5/37 sadə kəsirinə bərabər olan p.d. Rus dilinə daxil olan xarici sözlərin lüğəti. Pavlenkov F... Rus dilinin xarici sözlərin lüğəti

Onluq, məxrəci 10n olan kəsrdir, burada n natural ədəddir. Var xüsusi forma qeydlər: onluq say sistemində tam hissə, sonra vergül və sonra onluq say sistemində kəsr hissəsi və kəsr hissənin rəqəmlərinin sayı ... Wikipedia

Müəyyən bir nöqtədən başlayaraq müəyyən bir rəqəm qrupunun (dövrün) dövri olaraq təkrarlandığı sonsuz onluq kəsr; məsələn, 0,373737... təmiz dövri kəsr və ya 0,253737... qarışıq dövri kəsr. * * * DÖVRİ… … Ensiklopedik lüğət

Müəyyən bir yerdən başlayaraq tərifin vaxtaşırı təkrarlandığı sonsuz onluq kəsr. rəqəmlər qrupu (dövr); məsələn, 0,373737... təmiz P. d və ya 0,253737... qarışıq P. d. Təbiət elmi. Ensiklopedik lüğət

Hissə baxın... Rus sinonimlərinin lüğəti və oxşar ifadələr. altında. red. N. Abramova, M.: Rus lüğətləri, 1999. fraksiya xırda, hissə; dust, top, yemək, buckshot; kəsr sayı Rus sinonimlərinin lüğəti. . Sinonimlər lüğəti

dövri onluq- - [L.G. Sumenko. İnformasiya texnologiyaları üzrə ingiliscə-rusca lüğət. M.: Dövlət Müəssisəsi TsNIIS, 2003.] Mövzular informasiya texnologiyasıümumiyyətlə EN dövriyyəli ondalıqtəkrarlanan ondalık dövri onluqdaxili dövri onluqdaxili onluq... Texniki Tərcüməçi Bələdçisi

Əgər bəzi a tam ədədi başqa b tam ədədinə bölünürsə, yəni bx = a şərtini ödəyən x ədədi axtarılırsa, onda iki hal yarana bilər: ya tam ədədlər silsiləsində bu şərti ödəyən x ədədi var, ya da o. çıxır,…… Ensiklopedik lüğət F.A. Brockhaus və I.A. Efron

Məxrəci 10-un tam qüvvəsi olan kəsr. Kəsrlər məxrəcsiz yazılır, məxrəcdə sıfır varsa, o qədər rəqəm sağda vergüllə ayrılır. Məsələn, belə bir qeyddə soldakı hissə...... Böyük Sovet Ensiklopediyası

Yadınızdadırsa, ondalıq hissələrlə bağlı ilk dərsdə ondalıq hissə kimi təqdim edilə bilməyən ədədi kəsrlərin olduğunu demişdim (“Onluqlar” dərsinə baxın)? 2 və 5-dən başqa rəqəmlərin olub-olmadığını görmək üçün kəsrlərin məxrəclərini faktorlara ayırmağı da öyrəndik.

Deməli: yalan danışmışam. Və bu gün biz tamamilə hər hansı bir ədədi kəsri ondalığa çevirməyi öyrənəcəyik. Eyni zamanda, sonsuz əhəmiyyətli hissəyə malik fraksiyaların bütün sinfi ilə tanış olacağıq.

Dövri onluq hər hansı bir onluqdur:

1. Əhəmiyyətli hissə sonsuz sayda rəqəmdən ibarətdir;
2. Müəyyən fasilələrlə əhəmiyyətli hissədəki rəqəmlər təkrarlanır.

Əhəmiyyətli hissəni təşkil edən təkrarlanan rəqəmlər çoxluğuna kəsrin dövri hissəsi, bu çoxluqdakı rəqəmlərin sayı isə kəsrin dövrü adlanır. Əhəmiyyətli hissənin təkrar olunmayan qalan hissəsi dövri olmayan hissə adlanır.

Çoxlu təriflər olduğundan, bu fraksiyalardan bir neçəsini ətraflı nəzərdən keçirməyə dəyər:

Bu fraksiya ən çox problemlərdə görünür. Qeyri-dövri hissə: 0; dövri hissə: 3; dövr uzunluğu: 1.

Qeyri-dövri hissə: 0,58; dövri hissə: 3; dövr uzunluğu: yenidən 1.

Qeyri-dövri hissə: 1; dövri hissə: 54; dövr uzunluğu: 2.

Qeyri-dövri hissə: 0; dövri hissə: 641025; dövr uzunluğu: 6. Rahatlıq üçün təkrarlanan hissələr bir-birindən boşluqla ayrılır - bu həlldə bu lazım deyil.

Qeyri-dövri hissə: 3066; dövri hissə: 6; dövr uzunluğu: 1.

Gördüyünüz kimi, dövri kəsrin tərifi anlayışa əsaslanır sayının əhəmiyyətli hissəsidir. Buna görə də, bunun nə olduğunu unutmusunuzsa, onu təkrarlamağı məsləhət görürəm - "" dərsinə baxın.

Dövri onluq kəsrə keçid

a /b formasının adi bir hissəsini nəzərdən keçirək. Onun məxrəcini əsas amillərə ayıraq. İki seçim var:

1. Genişlənmədə yalnız 2 və 5 faktorları var. Bu kəsrlər asanlıqla onluqlara çevrilir - “Onluqlar” dərsinə baxın. Bizi belə insanlar maraqlandırmır;
2. Genişlənmədə 2 və 5-dən başqa başqa bir şey də var. Bu halda kəsr onluq kəsr kimi göstərilə bilməz, lakin onu dövri ondalığa çevirmək olar.

Dövri onluq kəsri təyin etmək üçün onun dövri və qeyri-dövri hissələrini tapmaq lazımdır. Necə? Kəsiri düzgün olmayan kəsrə çevirin və sonra küncdən istifadə edərək payı məxrəcə bölün.

Aşağıdakılar baş verəcək:

1. Əvvəlcə bölünəcək bütün hissəsi, əgər varsa;
2. Onluq nöqtəsindən sonra bir neçə rəqəm ola bilər;
3. Bir müddət sonra nömrələr başlayacaq təkrarlayın.

Budur! Onluq nöqtəsindən sonra təkrarlanan ədədlər dövri hissə ilə, qarşısındakılar isə qeyri-dövri hissə ilə işarələnir.

Tapşırıq. Adi kəsrləri dövri onluqlara çevirin:

Tam hissəsi olmayan bütün fraksiyalar, ona görə də biz sadəcə olaraq payı məxrəcə “künc”lə bölürük:

Gördüyünüz kimi, qalıqlar təkrarlanır. Kəsiri “düzgün” formada yazaq: 1,733 ... = 1,7(3).

Nəticə bir hissədir: 0,5833 ... = 0,58(3).

Normal formada yazırıq: 4.0909 ... = 4,(09).

Kəsiri alırıq: 0,4141 ... = 0.(41).

Dövri onluq kəsrdən adi kəsrə keçid

X = abc (a 1 b 1 c 1) dövri onluq kəsri nəzərdən keçirək. Onu klassik “iki mərtəbəli” birinə çevirmək tələb olunur. Bunu etmək üçün dörd sadə addımı yerinə yetirin:

1. Kəsrin dövrünü tapın, yəni. dövri hissədə neçə rəqəm olduğunu hesablayın. Bu k ədədi olsun;
2. X · 10 k ifadəsinin qiymətini tapın. Bu, tam nöqtəni sağa keçirməyə bərabərdir - "Onluqların vurulması və bölünməsi" dərsinə baxın;
3. Yaranan ədəddən orijinal ifadə çıxılmalıdır. Bu vəziyyətdə, dövri hissə "yandırılır" və qalır adi fraksiya;
4. Yaranan tənlikdə X-i tapın. Bütün onluq kəsrləri adi kəsrlərə çeviririk.

Tapşırıq. Adi vəziyyətə salın düzgün olmayan fraksiya nömrələr:

• 9,(6);
• 32,(39);
• 0,30(5);
• 0,(2475).

Birinci fraksiya ilə işləyirik: X = 9, (6) = 9.666 ...

Mötərizədə yalnız bir rəqəm var, ona görə də dövr k = 1-dir. Sonra bu kəsri 10 k = 10 1 = 10-a vururuq. Bizdə:

10X = 10 9,6666... ​​= 96,666...

Orijinal kəsri çıxarın və tənliyi həll edin:

10X − X = 96,666 ... − 9,666 ... = 96 − 9 = 87;
9X = 87;
X = 87/9 = 29/3.

İndi ikinci hissəyə baxaq. Beləliklə, X = 32, (39) = 32,393939...

Dövr k = 2, buna görə də hər şeyi 10 k = 10 2 = 100-ə vurun:

100X = 100 · 32.393939 ... = 3239.3939 ...

Orijinal kəsri yenidən çıxarın və tənliyi həll edin:

100X − X = 3239,3939 ... − 32,3939 ... = 3239 − 32 = 3207;
99X = 3207;
X = 3207/99 = 1069/33.

Üçüncü fraksiyaya keçək: X = 0.30(5) = 0.30555 ... Diaqram eynidir, ona görə də sadəcə hesablamaları verim:

Dövr k = 1 ⇒ hər şeyi 10 k = 10-a vurun 1 = 10;

10X = 10 0,30555... = 3,05555...
10X - X = 3,0555 ... - 0,305555 ... = 2,75 = 11/4;
9X = 11/4;
X = (11/4) : 9 = 11/36.

Nəhayət, sonuncu fraksiya: X = 0,(2475) = 0,2475 2475... Yenə də rahatlıq üçün dövri hissələr bir-birindən boşluqlarla ayrılır. Bizdə:

k = 4 ⇒ 10 k = 10 4 = 10.000;
10,000X = 10,000 0,2475 2475 = 2475,2475 ...
10,000X - X = 2475,2475 ... - 0,2475 2475 ... = 2475;
9999X = 2475;
X = 2475: 9999 = 25/101.