Sonsuz dövri kəsri adi kəsr kimi təqdim edin. "Ədədi sonsuz dövri ondalıq kimi necə yazmaq olar" etiketli yazılar

Rasional m/n ədədini onluq kəsr kimi yazmaq üçün payı məxrəcə bölmək lazımdır. Bu halda bölgü sonlu və ya sonsuz onluq kəsr kimi yazılır.

Bu ədədi onluq kəsr kimi yazın.

Həll. Hər kəsrin payını məxrəcə görə sütuna bölün: A) 6-nı 25-ə bölmək; b) 2-ni 3-ə bölmək; V) 1-i 2-yə bölün və sonra yaranan kəsri birinə əlavə edin - bu qarışıq ədədin tam hissəsi.

Azalmaz adi fraksiyalar, məxrəclərində başqa əsas amilləri ehtiva etməyən 2 Və 5 , son onluq kəsr kimi yazılır.

IN misal 1 halda A) məxrəc 25=5·5; halda V) məxrəc 2-dir, ona görə də finalı aldıq ondalıklar 0,24 və 1,5. halda b) məxrəc 3-dür, ona görə də nəticə sonlu onluq kimi yazıla bilməz.

Məxrəcində 2 və 5-dən başqa bölənlər olmayan belə adi kəsri uzun bölmə olmadan onluq kəsrə çevirmək mümkündürmü? Gəlin bunu anlayaq! Hansı kəsr onluq adlanır və kəsr sətri olmadan yazılır? Cavab: məxrəci 10 olan kəsr; 100; 1000 və s. Və bu nömrələrin hər biri bir məhsuldur bərabərdir iki və beşlərin sayı. Əslində: 10=2 ·5 ; 100=2 ·5 ·2 ·5 ; 1000=2 ·5 ·2 ·5 ·2 ·5 və s.

Nəticə etibarilə, azaldılmayan adi kəsrin məxrəcini “iki” və “beş”in hasili kimi təqdim etmək, sonra “iki” və “beşlər” bərabər olması üçün 2 və (və ya) 5-ə vurmaq lazımdır. Onda kəsrin məxrəci 10 və ya 100 və ya 1000-ə bərabər olacaq və s. Kəsrin qiymətinin dəyişməməsini təmin etmək üçün kəsrin payını məxrəci vurduğumuz ədədə vururuq.

Aşağıdakı ümumi kəsrləri ondalıq hissələrlə ifadə edin:

Həll. Bu fraksiyaların hər biri azalmazdır. Hər kəsrin məxrəcini sadə amillərə ayıraq.

20=2·2·5. Nəticə: bir "A" yoxdur.

8=2·2·2. Nəticə: üç “A” əskikdir.

25=5·5. Nəticə: iki "iki" çatışmır.

Şərh. Təcrübədə onlar çox vaxt məxrəcin faktorlara bölünməsindən istifadə etmirlər, sadəcə olaraq sual verirlər: məxrəci nə qədər çoxaltmaq lazımdır ki, nəticə sıfırlarla bir olsun (10 və ya 100 və ya 1000 və s.). Və sonra ədəd eyni ədədə vurulur.

Beləliklə, hər halda A)(nümunə 2) 20 rəqəmindən 5-ə vurmaqla 100 əldə edə bilərsiniz, buna görə də pay və məxrəci 5-ə vurmalısınız.

halda b)(nümunə 2) 8 rəqəmindən 100 rəqəmi alınmayacaq, lakin 125-ə vurulmaqla 1000 ədədi alınacaq. Kəsirin həm payı (3), həm də məxrəci (8) 125-ə vurulur.

halda V)(nümunə 2) 25-dən 4-ə vursan 100 alacaqsan. Bu o deməkdir ki, 8 ədədini 4-ə vurmaq lazımdır.

Bir və ya bir neçə rəqəmin dəyişməz olaraq eyni ardıcıllıqla təkrarlandığı sonsuz onluq kəsr adlanır. dövri onluq kimi. Təkrarlanan rəqəmlər çoxluğuna bu kəsrin dövrü deyilir. Qısalıq üçün kəsrin dövrü mötərizədə bir dəfə yazılır.

halda b)(misal 1) yalnız bir təkrarlanan rəqəm var və 6-ya bərabərdir. Buna görə də 0,66... nəticəmiz belə yazılacaq: 0,(6) . Oxuyurlar: sıfır nöqtəsi, altı nöqtə.

Əgər ondalık nöqtə ilə birinci dövr arasında bir və ya daha çox təkrar olunmayan rəqəm varsa, onda belə dövri kəsr qarışıq dövri kəsr adlanır.

Məxrəci olan azalmayan ümumi kəsr başqaları ilə birlikdəçarpan çarpan ehtiva edir 2 və ya 5 , çevrilir qarışıq dövri fraksiya.

Rəqəmləri onluq kəsr kimi yazın:

İstənilən rasional ədəd sonsuz dövri onluq kəsr kimi yazıla bilər.

Rəqəmləri sonsuz dövri kəsr kimi yazın.

Dövri fraksiya

müəyyən bir nöqtədən başlayaraq, yalnız vaxtaşırı təkrarlanan müəyyən bir rəqəm qrupu olan sonsuz onluq kəsr. Məsələn, 1,3181818...; Bir sözlə, bu kəsr belə yazılır: 1.3(18), yəni nöqtəni mötərizədə qoyurlar (və deyirlər: “Dövrdə 18”). Əgər dövr onluq nöqtədən dərhal sonra başlayırsa, məsələn, 2(71) = 2,7171... və ondalıq nöqtədən sonra nöqtədən əvvəlki rəqəmlər varsa, məsələn, 1,3(18) varsa, P. təmiz adlanır. Arifmetikada onluq kəsrlərin rolu onunla bağlıdır ki, rasional ədədlər, yəni adi (sadə) kəsrlər onluq kəsrlərlə təmsil olunduqda həmişə ya sonlu, ya da dövri kəsrlər alınır. Daha dəqiq desək: azaldılmayan sadə kəsrin məxrəcində 2 və 5-dən başqa sadə əmsallar olmadıqda yekun onluq kəsr alınır; bütün digər hallarda nəticə P. kəsrdir və üstəlik, verilmiş azaldılmayan kəsrin məxrəcində 2 və 5 faktorları ümumiyyətlə yoxdursa, o, təmizdir və bu amillərdən ən azı biri olduqda qarışıqdır. məxrəcdə. İstənilən P.D.-yə çevrilə bilər sadə kəsr(yəni hansısa rasional ədədə bərabərdir). Saf kəsr sadə kəsrə bərabərdir, onun payı dövrdür və məxrəc 9 rəqəmi ilə təmsil olunur, dövrdə nə qədər rəqəm varsa, o qədər yazılır; Qarışıq kəsri sadə kəsrə çevirərkən paylayıcı ikinci dövrdən əvvəlki ədədlərlə ifadə olunan ədədlə birinci dövrdən əvvəlki ədədlərlə ifadə olunan ədəd arasındakı fərqdir; Məxrəci tərtib etmək üçün 9 rəqəmini dövrdəki ədədlər qədər yazmalı və sağ tərəfə nöqtədən əvvəlki rəqəmlər qədər sıfır əlavə etməlisiniz. Bu qaydalar verilmiş P.-nin düzgün olduğunu, yəni bütöv vahidləri ehtiva etmədiyini güman edir; əks halda bütün hissəyə xüsusi diqqət yetirilir.

Verilmiş adi kəsrə uyğun gələn kəsrin dövrünün uzunluğunu təyin etmək qaydaları da məlumdur. Məsələn, bir kəsir üçün a/p, Harada r - sadə ədəd və 1 ≤ a ≤ p- 1, dövr uzunluğu böləndir r - 1. Beləliklə, bir ədədə məlum yaxınlaşmalar üçün (bax Pi) 22/7 və 355/113 dövrləri müvafiq olaraq 6 və 112-yə bərabərdir.

Böyük Sovet Ensiklopediyası. - M.: Sovet Ensiklopediyası. 1969-1978 .

Sinonimlər:

Digər lüğətlərdə "Dövri fraksiya" nın nə olduğuna baxın:

Müəyyən bir yerdən başlayaraq müəyyən bir rəqəm qrupunun (dövrün) dövri olaraq təkrarlandığı sonsuz onluq kəsr, məsələn. 0,373737... təmiz dövri kəsr və ya 0,253737... qarışıq dövri kəsr... Böyük Ensiklopedik lüğət

Fraksiya, sonsuz kəsr Rus sinonimlərinin lüğəti. dövri fraksiya adı, sinonimlərin sayı: 2 sonsuz fraksiya (2) ... Sinonimlər lüğəti

Bir sıra rəqəmlərin eyni ardıcıllıqla təkrarlandığı onluq kəsr. Məsələn, 0,135135135... dövrü 135 olan və 135/999 = 5/37 sadə kəsirinə bərabər olan p.d. Rus dilinə daxil olan xarici sözlərin lüğəti. Pavlenkov F... Rus dilinin xarici sözlərin lüğəti

Onluq, məxrəci 10n olan kəsrdir, burada n natural ədəddir. Var xüsusi forma qeydlər: onluq say sistemində tam hissə, sonra vergül və sonra onluq say sistemində kəsr hissəsi və kəsr hissənin rəqəmlərinin sayı ... Wikipedia

Müəyyən bir nöqtədən başlayaraq müəyyən bir rəqəm qrupunun (dövrün) dövri olaraq təkrarlandığı sonsuz onluq kəsr; məsələn, 0,373737... təmiz dövri kəsr və ya 0,253737... qarışıq dövri kəsr. * * * DÖVRİ… … Ensiklopedik lüğət

Müəyyən bir yerdən başlayaraq tərifin vaxtaşırı təkrarlandığı sonsuz onluq kəsr. rəqəmlər qrupu (dövr); məsələn, 0,373737... təmiz P. d və ya 0,253737... qarışıq P. d. Təbiət elmi. Ensiklopedik lüğət

Hissə baxın... Rus sinonimlərinin lüğəti və oxşar ifadələr. altında. red. N. Abramova, M.: Rus lüğətləri, 1999. fraksiya xırda, hissə; dust, top, yemək, buckshot; kəsr sayı Rus sinonimlərinin lüğəti. . Sinonimlər lüğəti

dövri onluq- - [L.G. Sumenko. İnformasiya texnologiyaları üzrə ingiliscə-rusca lüğət. M.: Dövlət Müəssisəsi TsNIIS, 2003.] Mövzular informasiya texnologiyasıümumiyyətlə EN dövriyyəli ondalıqtəkrarlanan onluq dövri onluqdaxili dövri onluqdaxili onluq... Texniki Tərcüməçi Bələdçisi

Əgər bəzi a tam ədədi başqa b tam ədədinə bölünürsə, yəni bx = a şərtini ödəyən x ədədi axtarılırsa, onda iki hal yarana bilər: ya tam ədədlər silsiləsində bu şərti ödəyən x ədədi var, ya da o. çıxır,…… Ensiklopedik lüğət F.A. Brockhaus və İ.A. Efron

Məxrəci 10-un tam qüvvəsi olan kəsr. Kəsrlər məxrəcsiz yazılır, məxrəcdə sıfır varsa, o qədər rəqəm sağda vergüllə ayrılır. Məsələn, belə bir qeyddə soldakı hissə...... Böyük Sovet Ensiklopediyası

Sonsuz onluqlar

Onluq nöqtəsindən sonrakı ondalıq ədədlər sonsuz sayda rəqəmdən ibarət ola bilər.

Sonsuz onluqlar- bunlar sonsuz sayda rəqəmləri ehtiva edən onluq kəsrlərdir.

Sonsuz onluq kəsri tamamilə yazmaq demək olar ki, qeyri-mümkündür, buna görə də onları yazarkən, ondalık nöqtədən sonra yalnız müəyyən sonlu rəqəmlərlə məhdudlaşırlar, bundan sonra sonsuz davam edən rəqəmlər ardıcıllığını göstərən ellips qoyurlar.

Misal 1

Məsələn, $0,443340831\dots ; 3.1415935432\nöqtələr; 135.126730405\nöqtələr; 4.33333333333\nöqtələr; 676.68349349\nöqtə $.

Son iki sonsuz ondalığa baxaq. $4.33333333333\dots$ kəsirində $3$ rəqəmi sonsuz, $676.68349349\dots$ kəsirində isə $3$, $4$ və $9$ rəqəmləri qrupu üçüncü onluq yerindən təkrarlanır. Belə sonsuz onluq kəsrlərə dövri deyilir.

Dövri onluq ədədlər

Dövri onluq ədədlər(və ya dövri fraksiyalar) sonsuz onluq kəsrlərdir, onların qeydində kəsrin dövrü adlanan bəzi ədəd və ya ədədlər qrupu müəyyən onluq yerdən sonsuzca təkrarlanır).

Misal 2

Məsələn, $4.33333333333\dots$ dövri kəsrinin dövrü $3$ rəqəmidir və $676.68349349\dots$ kəsirinin dövrü $349$ rəqəmləri qrupudur.

Sonsuz dövri onluq kəsrlərin yazılmasında qısalıq üçün dövrü mötərizədə bir dəfə yazmaq adətdir. Məsələn, $4.33333333333\dots$ dövri kəsr $4,(3)$, dövri kəsr $676.68349349\dots$ $676.68(349)$ yazılır.

Sonsuz dövri onluq kəsrlər məxrəclərində $2$ və $5$-dan başqa sadə amilləri ehtiva edən ümumi kəsrləri onluq kəsrlərə çevirməklə əldə edilir.

İstənilən sonlu onluq kəsr (və tam ədəd) sağa sonsuz sayda $0$ rəqəmləri əlavə etməklə dövri kəsr kimi yazıla bilər.

Misal 3

Məsələn, sonlu onluq kəsr $45.12 $45.12(0)$ kimi dövri kəsr kimi yazıla bilər və sonsuz dövri decimal kimi $(74)$ tam ədədi $74(0)$ olacaq.

9 dövrə malik olan dövri fraksiyalar vəziyyətində, $0$ dövrü olan dövri kəsrin başqa qeydinə keçiddən istifadə edin. Yalnız bu məqsədlə 9-cu dövr $0$ dövrü ilə əvəz olunur və növbəti ən yüksək rəqəmin dəyəri $1$ artırılır.

Misal 4

Məsələn, $7.45(9)$ dövri kəsr $7.46(0)$ dövri kəsr və ya $7.46$ ekvivalent onluq kəsr ilə əvəz edilə bilər.

Sonsuz onluq dövri kəsrlər təmsil olunur rasional ədədlər. Başqa sözlə desək, istənilən dövri kəsr adi kəsrə çevrilə bilər və istənilən sadə kəsr dövri kəsr kimi təqdim edilə bilər.

Kəsrin sonlu və sonsuz dövri onluqlara çevrilməsi

Yalnız $10, 100, \dots$ məxrəci olan adi kəsrləri onluq kəsrə çevirmək olmaz.

Bəzi hallarda, orijinal ümumi kəsr asanlıqla $10$, $100$ və ya $1\000$ məxrəcə endirilə bilər, bundan sonra yaranan kəsr onluq kəsr kimi təqdim edilə bilər.

Misal 5

$\frac(3)(5)$ kəsrini məxrəci $10$ olan kəsrə çevirmək üçün kəsrin payını və məxrəcini $2$-a vurmaq lazımdır, bundan sonra $\frac(6)( alırıq. 10)$, $0.6$ onluq kəsrinə çevirmək çətin deyil.

Digər hallarda, ümumi kəsri ondalığa çevirməyin başqa bir üsulu istifadə olunur):

paylayıcı onluq kəsrdən sonra istənilən sayda sıfır olan onluq kəsrlə əvəz edilməlidir;

kəsrin payını məxrəcə bölün (bölmə natural ədədlərin sütuna bölünməsi kimi həyata keçirilir və bölmədə dividendlərin bütün hissəsinin bölünməsi bitdikdən sonra onluq nöqtə qoyulur).

Misal 6

$\frac(621)(4)$ kəsrini ondalığa çevirin.

Həll.

Nömrədə $621$ rəqəmini onluq kəsr kimi təqdim edək. Bunu etmək üçün ondalık nöqtə və başlanğıc üçün ondan sonra iki sıfır əlavə edin. Sonra, lazım gələrsə, daha çox sıfır əlavə edə bilərsiniz. Beləliklə, biz $621.00$ aldıq.

Gəlin $621.00$ rəqəmini $4$-a bölək:

Şəkil 1.

Bölmə dividenddə onluq nöqtəyə çatdı, qalan isə sıfıra bərabər deyildi. Bu halda, hissədə onluq nöqtə qoyulur və vergüldən asılı olmayaraq bölmə sütunda davam edir:

Şəkil 2.

Qalan sıfırdır, yəni bölmə bitmişdir.

Cavab verin: $155,25$.

Ola bilsin ki, adi kəsrin pay və məxrəcini böləndə qalıq $0$-la nəticələnməsin. Bu halda bölgü qeyri-müəyyən müddətə davam etdirilə bilər. Müəyyən bir andan başlayaraq, bölgüdən qalanlar vaxtaşırı təkrarlanır, yəni hissədəki ədədlər də təkrarlanır. Buradan belə nəticəyə gələ bilərik ki, bu adi kəsr sonsuz dövri onluq kəsrə çevriləcək.

Misal 7

$\frac(19)(44)$ kəsrini ondalığa çevirin.

Həll.)

Adi kəsri ondalığa çevirmək üçün uzun bölməni yerinə yetirin:

Şəkil 3.

Bölmədə $8$ və $36$ qalıqları təkrarlanır, hissədə isə $1$ və $8$ ədədləri də təkrarlanır. Beləliklə, ilkin adi kəsr $\frac(19)(44)$ dövri kəsrə $\frac(19)(44)=0,43181818\dots =0,43(18)$ çevrildi.

Cavab: $0,43(18)$.

Adi kəsrlərin ondalığa çevrilməsi ilə bağlı ümumi nəticə:

məxrəci sadə amillərə parçalamaq olarsa, onların arasında yalnız $2$ və $5$ rəqəmləri olacaq, onda belə kəsr son onluq kəsrə çevrilə bilər;

əgər $2$ və $5$ rəqəmlərindən əlavə məxrəcin genişlənməsi digər sadə ədədləri ehtiva edirsə, onda belə kəsr sonsuz onluq dövri kəsrə çevrilir.

Əgər onlar seriyalar nəzəriyyəsini bilirlərsə, onsuz heç bir metamatik anlayışlar təqdim edilə bilməz. Üstəlik, bu insanlar ondan geniş istifadə etməyən hər kəsin cahil olduğuna inanırlar. Bu insanların fikirlərini vicdanlarına buraxaq. Sonsuz dövri kəsrin nə olduğunu daha yaxşı anlayaq və biz, heç bir məhdudiyyət bilməyən savadsız insanlar bununla necə məşğul olmalıyıq.

237-ni 5-ə bölək. Xeyr, Kalkulyatoru işə salmağa ehtiyac yoxdur. Orta məktəbi (və ya hətta ibtidai?) daha yaxşı xatırlayaq və onu sadəcə bir sütuna ayıraq:

Yaxşı, xatırladın? Sonra işə başlaya bilərsiniz.

Riyaziyyatda “kəsr” anlayışının iki mənası var:

Tam olmayan ədəd.
Tam olmayan forma.

İki növ kəsr var - mənada tam olmayan ədədlərin yazılmasının iki forması:

Sadə (və ya şaquli) kəsrlər, məsələn, 1/2 və ya 237/5.
Ondalıq kəsrlər, məsələn, 0,5 və ya 47,4.

Qeyd edək ki, ümumiyyətlə fraksiya qeydinin istifadəsi yazılanların kəsr ədədi olması demək deyil, məsələn 3/3 və ya 7.0 - sözün birinci mənasında kəsr deyil, ikincisi, əlbəttə ki, , kəsrlər.

Riyaziyyatda, ümumiyyətlə, ondalık sayma həmişə qəbul edilmişdir və buna görə də onluq kəsrlər sadə olanlardan, yəni onluq məxrəcli kəsrdən daha əlverişlidir (Vladimir Dal. Lüğət yaşayan böyük rus dili. "On").

Əgər belədirsə, onda mən hər şaquli kəsri onluq ("üfüqi") etmək istəyirəm. Bunu etmək üçün, sadəcə olaraq, payı məxrəcə bölmək lazımdır. Məsələn, 1/3 kəsri götürək və ondan onluq təşkil etməyə çalışaq.

Hətta tamamilə savadsız adam da fərqinə varacaq: nə qədər vaxt aparsa da, o, ayrılmayacaq: üçəmlər sonsuza qədər görünməyə davam edəcəklər. Odur ki, onu yazaq: 0,33... “1-i 3-ə böldükdə əldə edilən ədədi” və ya qısaca “üçdə biri”ni nəzərdə tuturuq. Təbii ki, üçdə biri sözün birinci mənasında kəsr, “1/3” və “0,33...” isə sözün ikinci mənasında kəsrdir, yəni. giriş formaları say xəttində sıfırdan elə bir məsafədə yerləşən bir ədəd ki, onu üç dəfə kənara qoysanız, bir alınar.

İndi 5-i 6-ya bölməyə çalışaq:

Yenidən yazaq: 0,833... “5-i 6-ya böldükdə əldə etdiyiniz ədədi” və ya qısacası “altıda beşi” nəzərdə tuturuq. Ancaq burada çaşqınlıq yaranır: bu, 0,83333 (sonra üçlüklər təkrarlanır) və ya 0,833833 (sonra 833 təkrarlanır) deməkdir. Buna görə də, ellipsis ilə qeyd bizə uyğun deyil: təkrarlanan hissənin haradan başladığı aydın deyil (buna "dövr" deyilir). Buna görə də, nöqtəni mötərizədə belə qoyacağıq: 0, (3); 0,8(3).

0, (3) asan deyil bərabərdirüçdə biri, yəni varüçdə biri, çünki biz bu rəqəmi onluq kəsr kimi təqdim etmək üçün xüsusi olaraq bu qeydi icad etmişik.

Bu giriş adlanır sonsuz dövri kəsr, və ya sadəcə dövri fraksiya.

Nə vaxt bir ədədi digərinə bölsək, sonlu kəsr əldə etməsək, sonsuz dövri kəsr alırıq, yəni nə vaxtsa ədədlərin ardıcıllığı mütləq təkrarlanmağa başlayacaq. Bunun niyə belə olduğunu sütun bölgüsü alqoritminə diqqətlə baxaraq sırf spekulyativ olaraq başa düşmək olar:

Yoxlama ilə qeyd olunan yerlərdə hər zaman nəticə əldə edə bilməzsiniz fərqli cütlərədədlər (çünki, prinsipcə, belə cütlərin sonlu sayı var). Və orada artıq mövcud olan belə bir cüt görünən kimi fərq də eyni olacaq - və sonra bütün proses təkrarlanmağa başlayacaq. Bunu yoxlamağa ehtiyac yoxdur, çünki eyni hərəkətləri təkrarlasanız, nəticələr eyni olacaq.

İndi yaxşı başa düşürük mahiyyəti dövri kəsr, gəlin üçdə birini üçə vurmağa çalışaq. Bəli, əlbəttə ki, birini alacaqsınız, amma gəlin bu kəsri onluq formada yazaq və onu bir sütuna vuraq (onluq nöqtədən sonrakı bütün rəqəmlər eyni olduğu üçün burada ellipsisə görə qeyri-müəyyənlik yaranmır):

Və yenə də görürük ki, doqquz, doqquz və doqquz hər zaman ondalık nöqtədən sonra görünəcək. Yəni tərs mötərizə qeydindən istifadə edərək 0,(9) alırıq. Üçdə bir və üçünün hasilinin bir olduğunu bildiyimiz üçün 0.(9) bir yazmağın çox gözəl bir üsuludur. Bununla belə, bu qeyd formasından istifadə etmək yersizdir, çünki vahid nöqtədən istifadə etmədən mükəmməl şəkildə yazıla bilər, məsələn: 1.

Gördüyünüz kimi, 0,(9) tam ədədin 3/3 və ya 7.0 kimi kəsr şəklində yazıldığı hallardan biridir. Yəni, 0,(9) yalnız sözün ikinci mənasında kəsrdir, birincidə deyil.

Beləliklə, heç bir məhdudiyyət və ya sıra olmadan biz 0.(9)-un nə olduğunu və onunla necə məşğul olacağımızı anladıq.

Ancaq yenə də xatırlayaq ki, biz əslində ağıllıyıq və təhlili öyrənmişik. Doğrudan da, bunu inkar etmək çətindir:

Ancaq bəlkə də heç kim bununla mübahisə etməyəcək:

Bütün bunlar, əlbəttə ki, doğrudur. Həqiqətən, 0,(9) həm azaldılmış sıraların cəmi, həm də göstərilən bucağın qoşa sinusu və Eyler ədədinin natural loqarifmidir.

Amma nə biri, nə digəri, nə də üçüncüsü tərif deyil.

0,(9) sonsuz 9/(10 n) sırasının cəmidir və n birə bərabərdir demək, sinusun sonsuz Teylor seriyasının cəmi olduğunu söyləməklə eynidir:

Bu tamamilə doğru, və bu, hesablama riyaziyyatı üçün ən vacib faktdır, lakin tərif deyil və ən əsası, insanı dərk etməyə daha da yaxınlaşdırmır. mahiyyətcə sinus Müəyyən bir bucağın sinusunun mahiyyəti ondan ibarətdir ki sadəcə hər şey bucağın əksinə olan ayağın hipotenuzaya nisbəti.

Beləliklə, dövri kəsrdir sadəcə hər şey zaman əldə edilən onluq kəsr sütuna bölərkən eyni nömrələr dəsti təkrarlanacaq. Burada təhlildən əsər-əlamət yoxdur.

Və burada sual yaranır: bu haradan gəlir? ümumiyyətlə 0,(9) rəqəmini götürdük? Onu almaq üçün sütunla nəyi nəyə bölürük? Həqiqətən, elə rəqəmlər yoxdur ki, bir sütuna bölündükdə sonsuz doqquz görünsün. Bəs biz sütunla 0,(3)-ü 3-ə vuraraq bu rəqəmi əldə edə bildik? Həqiqətən yox. Axı, rəqəmlərin köçürülməsini düzgün nəzərə almaq üçün sağdan sola çoxalmaq lazımdır və biz bunu soldan sağa etdik, hər halda köçürmələrin heç bir yerdə baş verməməsindən hiyləgərliklə istifadə etdik. Odur ki, 0,(9)-un yazılmasının qanunauyğunluğu sütunla belə çoxalmanın qanuniliyini tanıyıb-tanımamağımızdan asılıdır.

Buna görə də biz ümumiyyətlə deyə bilərik ki, 0,(9) qeydi səhvdir - və müəyyən dərəcədə doğrudur. Lakin a ,(b ) qeydi qəbul edildiyi üçün b = 9 olduqda ondan imtina etmək sadəcə olaraq çirkindir; Belə bir girişin nə demək olduğuna qərar vermək daha yaxşıdır. Deməli, 0,(9) işarəsini ümumiyyətlə qəbul etsək, bu qeyd, təbii ki, bir nömrə deməkdir.

Yalnız əlavə etmək qalır ki, məsələn, üçlü say sistemindən istifadə etsək, onda bir (1 3) sütununu üçə (10 3) bölməkdə 0,1 3 ("sıfır nöqtəsi üçdə bir" oxuyun) alacağıq), və Biri ikiyə böldükdə 0,(1) 3 olar.

Deməli, kəsr ədədinin dövriliyi kəsr ədədinin bəzi obyektiv xarakteristikası deyil, sadəcə olaraq yan təsir bu və ya digər say sistemindən istifadə etməklə.

§ 114. Adi kəsrin ondalığa çevrilməsi.

Adi kəsri ondalığa çevirmək, verilmiş ümumi kəsrə bərabər olan onluq kəsri tapmaq deməkdir. Adi kəsrləri ondalığa çevirərkən iki halla qarşılaşacağıq:

1) adi kəsrləri ondalığa çevirmək mümkün olduqda tam olaraq;

2) adi kəsrlər yalnız ondalığa çevrildikdə təxminən. Bu halları ardıcıl olaraq nəzərdən keçirək.

1. Adi azalmayan kəsri ondalığa necə çevirmək və ya başqa sözlə, adi kəsri ona bərabər onluq kəsrlə necə əvəz etmək olar?

Adi fraksiyaların ola biləcəyi halda tam olaraq ondalığa çevrilir, var iki yol belə müalicə.

Gəlin bir kəsri birinciyə bərabər olan digər kəsrlə necə əvəz edəcəyimizi və ya birincinin qiymətini dəyişmədən bir kəsrdən digər kəsrə keçməyi xatırlayaq. Biz bunu kəsrləri ortaq məxrəcə endirdikdə etdik (§86). Kəsrləri ortaq məxrəcə endirdikdə aşağıdakı kimi hərəkət edirik: tapırıq ortaq məxrəc verilmiş kəsrlər üçün hər kəsr üçün əlavə əmsal hesablayırıq və sonra hər kəsrin payını və məxrəcini bu əmsala vururuq.

Buna diqqət yetirərək, 3/20 azalmayan kəsri götürək və onu ondalığa çevirməyə çalışaq. Bu kəsrin məxrəci 20-dir, lakin onu başqa bir məxrəcə gətirmək lazımdır, hansı ki, sıfırlarla biri ilə təmsil olunacaq. Birdən sonra sıfırların gələn ən kiçik məxrəcini axtaracağıq.

Birinci yol kəsri ondalığa çevirmək məxrəcin əsas amillərə parçalanmasına əsaslanır.

Məhsulun birdən sonra sıfırla ifadə olunması üçün 20-ni hansı rəqəmə vurmalı olduğunuzu öyrənməlisiniz. Bunu öyrənmək üçün əvvəlcə bir və sıfır ilə təmsil olunan ədədlərin hansı əsas amillərə parçalandığını xatırlamaq lazımdır. Bunlar parçalanmalardır:

10 = 2 5,
100 = 2 2 5 . 5,
1 000 = 2 2 2 5 5 5,
10 000 = 2 2 2 2 5 5 5 5.

Biz görürük ki, sıfırlarla bir ilə təmsil olunan ədəd yalnız ikiyə və beşliyə parçalanır və genişlənmədə başqa amillər yoxdur. Bundan əlavə, ikiliklər və beşlər eyni sayda genişlənməyə daxildir. Və nəhayət, ayrı-ayrılıqda həmin və digər amillərin sayı verilmiş ədədin şəklindən sonrakı sıfırların sayına bərabərdir.

İndi görək 20-nin sadə amillərə necə parçalanmasına baxaq: 20 = 2 2 5. Buradan aydın olur ki, 20 ədədinin parçalanmasında iki ikilik və bir beşlik olur. Bu o deməkdir ki, bu amillərə bir beş əlavə etsək, sıfırları olan bir ilə təmsil olunan bir ədəd alacağıq. Başqa sözlə desək, məxrəcdə 20 əvəzinə sıfırlarla bir ilə təmsil olunan ədədin olması üçün 20-ni 5-ə, kəsrin qiymətinin dəyişməməsi üçün isə onun payını 5-ə vurmaq lazımdır. , yəni.

Beləliklə, adi bir kəsri ondalığa çevirmək üçün bu adi kəsrin məxrəcini əsas amillərə ayırmalı və sonra içindəki iki və beşlərin sayını bərabərləşdirməlisiniz (və əlbəttə ki, saya daxil edin). ) tələb olunan sayda çatışmayan amillər.

Gəlin bu qənaəti bəzi kəsrlərə tətbiq edək.

3/50-ni ondalığa çevirin. Bu kəsrin məxrəci aşağıdakı kimi genişləndirilir:

Bu o deməkdir ki, onun bir ikiliyi yoxdur. Əlavə edək:

7/40-ı ondalığa çevirin.

Bu kəsrin məxrəci aşağıdakı kimi parçalanır: 40 = 2 2 2 5, yəni iki beşlik yoxdur. Onları pay və məxrəcə faktor kimi daxil edək:

Deyilənlərdən hansı adi kəsrlərin tam olaraq ondalığa çevrildiyi qənaətinə gəlmək çətin deyil. Tamamilə aydındır ki, məxrəcində 2 və 5-dən başqa heç bir sadə əmsal olmayan azaldılmayan adi kəsr tam olaraq ondalığa çevrilir. Bəzi adi kəsri tərsinə çevirməklə əldə edilən onluq kəsr, azaldılmasından sonra adi kəsrin məxrəcinə ədədi üstünlük təşkil edən 2 və ya 5 əmsalı daxil olduqdan sonra neçə onluq yer tutacaq.

9/40 kəsrini götürsək, onda birincisi, ondalığa çevriləcək, çünki onun məxrəcinə 2 2 2 5 faktorları daxildir, ikincisi, yaranan onluq kəsrdə 3 onluq yer olacaq, çünki ədədi dominant əmsalı 2 üç dəfə genişlənməyə daxil olur. Əslində:

İkinci yol(hissəni məxrəcə bölməklə).

Tutaq ki, siz 3/4-ü onluq kəsrə çevirmək istəyirsiniz. Biz bilirik ki, 3/4 3-ün 4-ə bölünməsidir. Bu nisbəti 3-ü 4-ə bölməklə tapa bilərik. Bunu edək:

Beləliklə, 3/4 = 0,75.

Başqa bir misal: 5/8-i onluq kəsrə çevirin.

Beləliklə, 5/8 = 0,625.

Beləliklə, kəsri ondalığa çevirmək üçün kəsrin payını məxrəcə bölmək kifayətdir.

2. İndi paraqrafın əvvəlində göstərilən hallardan ikincisini, yəni adi kəsri dəqiq ondalığa çevirmək mümkün olmayan halı nəzərdən keçirək.

Məxrəcində 2 və 5-dən başqa hər hansı sadə amil olan adi azaldılmayan kəsr tam olaraq ondalığa çevrilə bilməz. Əslində, məsələn, 8/15 kəsri ondalığa çevrilə bilməz, çünki onun məxrəci 15 iki amilə bölünür: 3 və 5.

Məxrəcdən üçlüyü aradan qaldıra bilmərik və tam ədəd seçə bilmərik ki, verilmiş məxrəci ona vurduqdan sonra hasil bir və ardınca sıfırlarla ifadə edilsin.

Belə hallarda biz ancaq danışa bilərik yaxınlaşma adi kəsrlərdən onluqlara.

Bu necə edilir? Bu, ortaq kəsrin payını məxrəcə bölmək yolu ilə həyata keçirilir, yəni bu halda ümumi kəsri ondalığa çevirməyin ikinci üsulu istifadə olunur. Bu o deməkdir ki, bu üsul həm dəqiq, həm də təxmini rəftar üçün istifadə olunur.

Əgər kəsr tam olaraq ondalığa çevrilirsə, onda bölmə son onluq kəsr yaradır.

Adi kəsr dəqiq ondalığa çevrilmirsə, bölmə sonsuz onluq kəsr yaradır.

Sonsuz bölünmə prosesini həyata keçirə bilmədiyimiz üçün bölməni hansısa onluq yerində dayandırmalıyıq, yəni təxmini bölmə aparmalıyıq. Biz, məsələn, birinci onluqda bölməyi dayandıra bilərik, yəni özümüzü onda biri ilə məhdudlaşdıra bilərik; lazım gələrsə, ikinci onluqda dayana bilərik, yüzlükləri əldə edirik və s. Bu hallarda sonsuz onluq kəsri yuvarlaqlaşdırdığımızı deyirik. Yuvarlaqlaşdırma bu problemin həlli üçün tələb olunan dəqiqliklə aparılır.

§ 115. Dövri kəsr anlayışı.

Bir və ya bir neçə rəqəmin dəyişməz olaraq eyni ardıcıllıqla təkrarlandığı əbədi onluq kəsrə dövri onluq kəsr deyilir. Məsələn:

0,33333333...; 1,12121212...; 3,234234234...

Təkrarlanan nömrələr toplusu adlanır dövr bu fraksiya. Yuxarıda yazılmış kəsrlərdən birincinin dövrü 3, ikinci kəsrin dövrü 12, üçüncü kəsrin dövrü 234. Bu o deməkdir ki, dövr bir neçə rəqəmdən ibarət ola bilər - bir, iki, üç və s. Təkrarlanan rəqəmlərin ilk dəsti birinci dövr, ikincisi cəmi - ikinci dövr və s., yəni.

Dövri fraksiyalar təmiz və ya qarışıq ola bilər. Dövri kəsr, ondalıq nöqtədən dərhal sonra başlayırsa, təmiz adlanır. Bu o deməkdir ki, yuxarıda yazılmış dövri kəsrlər təmiz olacaqdır. Əksinə, ondalık nöqtə ilə birinci dövr arasında bir və ya daha çox təkrarlanmayan rəqəm varsa, dövri kəsr qarışıq adlanır, məsələn:

2,5333333...; 4,1232323232...; 0,2345345345345... 160

Hərfi qısaltmaq üçün dövr rəqəmlərini mötərizədə bir dəfə yaza bilərsiniz və mötərizədə mötərizədə ellips qoymayın, yəni 0,33 əvəzinə... 0,(3) yaza bilərsiniz; 2.515151 əvəzinə... 2,(51) yaza bilərsiniz; 0,2333 əvəzinə... 0,2(3) yaza bilərsiniz; 0,8333 əvəzinə... 0,8(3) yaza bilərsiniz.

Dövri fraksiyalar belə oxunur:

0,(3) - 0 tam ədəd, 3 müddətdə.

7,2(3) - 7 tam ədəd, dövrdən əvvəl 2, dövrdə 3.

5.00(17) - 5 tam ədəd, dövrdən əvvəl iki sıfır, dövrdə 17.

Dövri fraksiyalar necə yaranır? Artıq gördük ki, kəsrləri ondalığa çevirərkən iki hal ola bilər.

Birincisi, adi azalmayan kəsrin məxrəcində 2 və 5-dən başqa heç bir əmsal yoxdur; bu halda adi kəsr yekun ondalığa çevrilir.

İkincisi, adi azalmayan kəsrin məxrəcində 2 və 5-dən başqa hər hansı sadə əmsal var; bu halda adi kəsr yekun ondalığa çevrilmir. Bu sonuncu halda, payı məxrəcə bölmək yolu ilə kəsri ondalığa çevirmək cəhdi həmişə dövri olacaq sonsuz kəsrlə nəticələnir.

Bunu görmək üçün bir nümunəyə baxaq. 18/7 kəsrini ondalığa çevirməyə çalışaq.

Biz, əlbəttə ki, əvvəlcədən bilirik ki, belə bir məxrəcli kəsr son ondalığa çevrilə bilməz və biz yalnız təxmini çevrilmədən danışırıq. 18 ədədini məxrəcə 7 bölün.

Kəmiyyətdə səkkiz onluq yer aldıq. Bölməni daha da davam etdirməyə ehtiyac yoxdur, çünki onsuz da bitməyəcək. Ancaq buradan aydın olur ki, bölmə qeyri-müəyyən müddətə davam etdirilə bilər və beləliklə bölmədə yeni ədədlər əldə edilə bilər. Bu yeni nömrələr yaranacaq, çünki bizdə həmişə qalıqlar olacaq; lakin heç bir qalıq bizim üçün 7 olan böləndən böyük ola bilməz.

Gəlin görək hansı balanslarımız var idi: 4; 5; 1; 3; 2; b, yəni bunlar 7-dən kiçik rəqəmlər idi. Aydındır ki, altıdan çox ola bilməz və bölmənin davamı ilə onlar təkrarlanmalı olacaq və onlardan sonra hissənin rəqəmləri təkrarlanacaq. Yuxarıdakı misal bu fikri təsdiqləyir: hissədəki onluq yerlər bu ardıcıllıqladır: 571428 və bundan sonra yenidən 57 rəqəmləri göründü, bu, birinci dövrünün bitdiyini və ikincinin başladığını bildirir.

Beləliklə, sadə kəsri tərsinə çevirməklə əldə edilən sonsuz onluq kəsr həmişə dövri olacaqdır.

Əgər məsələnin həlli zamanı dövri kəsrə rast gəlinirsə, o zaman məsələnin şərtlərinin tələb etdiyi dəqiqliklə götürülür (onluğa, yüzə, minə və s.).

§ 116. Adi və onluq kəsrlərlə birgə hərəkətlər.

Qərar verərkən müxtəlif vəzifələr Problemin həm adi, həm də onluq kəsrləri əhatə etdiyi hallarla qarşılaşacağıq.

Bu hallarda müxtəlif yollarla gedə bilərsiniz.

1. Bütün kəsrləri ondalığa çevirin. Bu rahatdır, çünki onluq kəsrlərlə hesablamalar adi kəsrlərlə müqayisədə daha asandır. Məsələn,