Bu yazıda biz ətraflı təhlil edəcəyik ədədin modulu. Biz ədədin modulunun müxtəlif təriflərini verəcəyik, qeydləri təqdim edəcəyik və qrafik təsvirlər təqdim edəcəyik. Eyni zamanda, düşünək müxtəlif nümunələr təriflə ədədin modulunun tapılması. Bundan sonra modulun əsas xüsusiyyətlərini sadalayacağıq və əsaslandıracağıq. Məqalənin sonunda kompleks ədədin modulunun necə təyin edildiyi və tapıldığı haqqında danışacağıq.

Səhifə naviqasiyası.

Nömrə modulu - tərif, qeyd və nümunələr

Əvvəlcə təqdim edirik ədəd modul təyini. a ədədinin modulunu olaraq yazacağıq, yəni ədədin soluna və sağına modul işarəsini yaratmaq üçün şaquli tire işarələri qoyacağıq. Bir-iki misal verək. Məsələn, −7 modulu belə yazıla bilər; modul 4.125 kimi yazılır və modulda forma qeydi var.

Modulun aşağıdakı tərifi həqiqi ədədlər çoxluğunun tərkib hissələri kimi , buna görə də , və tam ədədlərə, rasional və irrasional ədədlərə aiddir. Kompleks ədədin modulu haqqında danışacağıq.

Tərif.

a sayı modulu– bu ya a ədədinin özüdür, əgər a müsbət ədəddirsə, ya da a ədədinin əksi olan −a ədədidir, əgər a olarsa mənfi rəqəm, və ya 0 əgər a=0 .

Ədədin modulunun səsli tərifi çox vaxt aşağıdakı formada yazılır , bu giriş o deməkdir ki, əgər a>0 , əgər a=0 və əgər a<0 .

Rekord daha yığcam formada təqdim edilə bilər . Bu qeyd o deməkdir ki, əgər (a 0-dan böyük və ya bərabərdir) və əgər a<0 .

Girişi də var . Burada a=0 olduqda vəziyyəti ayrıca izah etməliyik. Bu halda bizdə var, lakin −0=0, çünki sıfır özünə əks olan ədəd hesab olunur.

verək ədədin modulunun tapılması nümunələri göstərilən tərifdən istifadə etməklə. Məsələn, 15 və rəqəmlərinin modullarını tapaq. tapmaqla başlayaq. 15 rəqəmi müsbət olduğundan onun modulu tərifinə görə bu ədədin özünə bərabərdir, yəni . Ədədin modulu nədir? Mənfi ədəd olduğundan onun modulu ədədin əksinə olan ədədə, yəni ədədə bərabərdir . Beləliklə, .

Bu fikri yekunlaşdırmaq üçün biz ədədin modulunu taparkən praktikada istifadə etmək çox rahat olan bir nəticəni təqdim edirik. Ədədin modulunun tərifindən belə çıxır ki ədədin modulu işarəsini nəzərə almadan modul işarəsinin altındakı ədədə bərabərdir, və yuxarıda müzakirə edilən nümunələrdən bu çox aydın görünür. Göstərilən bəyanatda nömrənin modulunun niyə çağırıldığı izah edilir ədədin mütləq dəyəri. Beləliklə, ədədin modulu və ədədin mütləq qiyməti bir və eynidir.

Məsafə kimi ədədin modulu

Həndəsi olaraq ədədin modulu kimi şərh edilə bilər məsafə. verək məsafə vasitəsilə ədədin modulunun müəyyən edilməsi.

Tərif.

a sayı modulu– bu, koordinat xəttindəki başlanğıcdan a rəqəminə uyğun gələn nöqtəyə qədər olan məsafədir.

Bu tərif birinci paraqrafda verilmiş ədədin modulunun tərifinə uyğundur. Bu məqama aydınlıq gətirək. Başlanğıcdan müsbət ədədə uyğun gələn nöqtəyə qədər olan məsafə bu ədədə bərabərdir. Sıfır mənşəyə uyğundur, buna görə də mənşədən koordinatı 0 olan nöqtəyə qədər olan məsafə sıfıra bərabərdir (bir vahid seqmentin hər hansı bir hissəsini təşkil edən bir seqmenti deyil, vahid seqmenti kənara qoymağa ehtiyac yoxdur. O nöqtəsindən koordinatı 0 olan nöqtəyə çatmaq üçün). Mənbədən koordinatı mənfi olan nöqtəyə qədər olan məsafə bu nöqtənin koordinatına əks olan ədədə bərabərdir, çünki o, başlanğıcdan koordinatı əks ədəd olan nöqtəyə qədər olan məsafəyə bərabərdir.

Məsələn, 9 rəqəminin modulu 9-a bərabərdir, çünki başlanğıcdan koordinatı 9 olan nöqtəyə qədər olan məsafə doqquza bərabərdir. Başqa bir misal verək. −3,25 koordinatlı nöqtə O nöqtəsindən 3,25 məsafədə yerləşir, ona görə də .

Ədədin modulunun qeyd olunan tərifi iki ədədin fərqinin modulunun müəyyənləşdirilməsinin xüsusi halıdır.

Tərif.

İki ədədin fərqinin modulu a və b koordinatları a və b olan koordinat xəttinin nöqtələri arasındakı məsafəyə bərabərdir.

Yəni A(a) və B(b) koordinat xəttində nöqtələr verilirsə, A nöqtəsindən B nöqtəsinə qədər olan məsafə a və b ədədləri arasındakı fərqin moduluna bərabərdir. O nöqtəsini (mənşəyi) B nöqtəsi kimi götürsək, onda bu paraqrafın əvvəlində verilmiş ədədin modulunun tərifini alarıq.

Arifmetik kvadrat kökdən istifadə edərək ədədin modulunun müəyyən edilməsi

Bəzən olur arifmetik kvadrat kök vasitəsilə modulun təyini.

Məsələn, −30 ədədlərinin modullarını hesablayaq və bu tərifə əsaslanaq. bizdə var. Eynilə, üçdə iki modulu hesablayırıq: .

Arifmetik kvadrat kök vasitəsilə ədədin modulunun tərifi də bu maddənin birinci bəndində verilmiş tərifə uyğundur. Gəlin onu göstərək. Qoy a müsbət ədəd, −a isə mənfi ədəd olsun. Sonra Və , əgər a=0 olarsa, onda .

Modul xüsusiyyətləri

Modul bir sıra xarakterik nəticələrə malikdir - modul xüsusiyyətləri. İndi onlardan əsas və ən çox istifadə olunanları təqdim edəcəyik. Bu xassələri əsaslandırarkən, məsafə baxımından ədədin modulunun tərifinə əsaslanacağıq.

Modulun ən bariz xüsusiyyətindən başlayaq - Ədədin modulu mənfi ədəd ola bilməz. Hərfi formada bu xassə istənilən a rəqəminin formasına malikdir. Bu xassəni əsaslandırmaq çox asandır: ədədin modulu məsafədir və məsafəni mənfi ədəd kimi ifadə etmək olmaz.

Növbəti modul xassəsinə keçək. Ədədin modulu yalnız və yalnız bu ədəd sıfır olduqda sıfırdır. Sıfır modulu tərifinə görə sıfırdır. Sıfır koordinat xəttində heç bir başqa nöqtəyə uyğun gəlmir, çünki hər bir real ədəd koordinat xəttində bir nöqtə ilə əlaqələndirilir. Eyni səbəbdən, sıfırdan başqa hər hansı bir rəqəm mənşədən fərqli bir nöqtəyə uyğun gəlir. Və başlanğıcdan O nöqtəsindən başqa hər hansı bir nöqtəyə qədər olan məsafə sıfır deyil, çünki iki nöqtə arasındakı məsafə yalnız və yalnız bu nöqtələr üst-üstə düşərsə, sıfırdır. Yuxarıdakı mülahizə sübut edir ki, yalnız sıfırın modulu sıfıra bərabərdir.

Gəlin davam edək. Qarşılıqlı ədədlərin modulları bərabərdir, yəni istənilən a ədədi üçün. Həqiqətən də koordinat xəttində koordinatları əks ədədlər olan iki nöqtə mənbədən eyni məsafədə yerləşir, yəni əks ədədlərin modulları bərabərdir.

Modulun aşağıdakı xüsusiyyəti: İki ədədin hasilinin modulu bu ədədlərin modullarının hasilinə bərabərdir, yəni, . Tərifinə görə, a və b ədədlərinin hasilinin modulu ya a·b olduqda, ya da −(a·b) olduqda bərabərdir. Həqiqi ədədlərin vurulması qaydalarından belə çıxır ki, a və b ədədlərinin modullarının hasili ya a·b, , ya da −(a·b) if -ə bərabərdir ki, bu da sözügedən xassəni sübut edir.

B-yə bölünən a bölməsinin modulu, ədədin modulunun b moduluna bölünən hissəsinə bərabərdir., yəni, . Modulun bu xassəsini əsaslandıraq. Kəmiyyət məhsula bərabər olduğundan, deməli. Əvvəlki mülkiyyətimizə görə . Yalnız ədədin modulunun tərifinə görə etibarlı olan bərabərlikdən istifadə etmək qalır.

Modulun aşağıdakı xassəsi bərabərsizlik kimi yazılır: , a , b və c ixtiyari həqiqi ədədlərdir. Yazılı bərabərsizlik başqa bir şey deyil üçbucaq bərabərsizliyi. Bunu aydınlaşdırmaq üçün koordinat xəttinin A(a), B(b), C(c) nöqtələrini götürək və təpələri eyni xətt üzərində yerləşən degenerativ ABC üçbucağını nəzərdən keçirək. Tərifə görə, fərqin modulu AB seqmentinin uzunluğuna, - AC seqmentinin uzunluğuna və - CB seqmentinin uzunluğuna bərabərdir. Üçbucağın hər hansı tərəfinin uzunluğu digər iki tərəfin uzunluqlarının cəmindən çox olmadığı üçün bərabərsizlik doğrudur. , buna görə də bərabərsizlik də doğrudur.

İndicə sübut edilmiş bərabərsizlik formada daha çox yayılmışdır . Yazılı bərabərsizlik adətən aşağıdakı formula ilə modulun ayrıca xassəsi kimi qəbul edilir: “ İki ədədin cəminin modulu bu ədədlərin modullarının cəmindən çox deyil" Lakin b əvəzinə −b qoyub c=0 alsaq, bərabərsizlik birbaşa bərabərsizlikdən irəli gəlir.

Kompleks ədədin modulu

verək kompleks ədədin modulunun tərifi. Bizə nəsib olsun kompleks ədəd, cəbri formada yazılmışdır, burada x və y bəzi həqiqi ədədlərdir, müvafiq olaraq verilmiş kompleks ədəd z-nin həqiqi və xəyali hissələrini təmsil edir və xəyali vahiddir.

Təlimatlar

Əgər modul davamlı funksiya kimi təqdim edilirsə, onda onun arqumentinin qiyməti müsbət və ya mənfi ola bilər: |x| = x, x ≥ 0; |x| = - x, x

z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2);
z1 - z2 = (x1 - x2) + i(y1 - y2);

Mürəkkəb ədədlərin toplanması və çıxılmasının toplama və ilə eyni qaydaya əməl etdiyini görmək asandır.

İki mürəkkəb ədədin hasili bərabərdir:

z1*z2 = (x1 + iy1)*(x2 + iy2) = x1*x2 + i*y1*x2 + i*x1*y2 + (i^2)*y1*y2.

i^2 = -1 olduğundan, yekun nəticə:

(x1*x2 - y1*y2) + i(x1*y2 + x2*y1).

Kompleks ədədlər üçün eksponentasiya və kök çıxarma əməliyyatları həqiqi ədədlər üçün olduğu kimi müəyyən edilir. Bununla belə, kompleks bölgədə istənilən ədəd üçün tam olaraq n ədəd b elə b^n = a, yəni n-ci dərəcəli n kök var.

Xüsusilə, bu o deməkdir ki, bir dəyişəni olan n dərəcəli hər hansı cəbri tənliyin tam olaraq n mürəkkəb kökü var, bəziləri də ola bilər.

Mövzu ilə bağlı video

Mənbələr:

• 2019-cu ildə "Kompleks ədədlər" mühazirəsi

Kök, nömrənin tapılmasının riyazi əməliyyatını ifadə edən bir işarədir, onun kök işarəsinin qarşısında göstərilən gücə yüksəldilməsi bu işarənin altında göstərilən rəqəmi verməlidir. Çox vaxt kökləri əhatə edən problemləri həll etmək üçün sadəcə dəyəri hesablamaq kifayət deyil. Əlavə əməliyyatlar yerinə yetirmək lazımdır, onlardan biri kök işarəsi altında rəqəm, dəyişən və ya ifadə daxil etməkdir.

Təlimatlar

Kök eksponentini təyin edin. Eksponent, kökün hesablanmasının nəticəsinin radikal ifadəni (bu kökün çıxarıldığı nömrə) əldə etmək üçün qaldırılmalı olduğu gücü göstərən tam ədəddir. Kök piktoqramından əvvəl yuxarı işarə kimi kök eksponent. Əgər bu göstərilməyibsə, gücü iki olan kvadrat kökdür. Məsələn, √3 kökünün göstəricisi iki, ³√3-ün göstəricisi üç, ⁴√3 kökünün göstəricisi dörddür və s.

Kökün işarəsi altında daxil etmək istədiyiniz ədədi əvvəlki addımda müəyyən etdiyiniz bu kökün eksponentinə bərabər gücə qaldırın. Məsələn, ⁴√3 kökünün işarəsi altında 5 rəqəmini daxil etmək lazımdırsa, o zaman kök dərəcəsinin indeksi dörddür və 5-i dördüncü dərəcəyə yüksəltməyin nəticəsi 5⁴=625 lazımdır. Bunu özünüz üçün əlverişli olan hər hansı bir şəkildə edə bilərsiniz - başınızda, kalkulyatordan və ya yerləşdirilən müvafiq xidmətlərdən istifadə edərək.

Əvvəlki addımda alınan dəyəri kök işarəsi altında radikal ifadənin çarpanı kimi daxil edin. Əvvəlki addımda kök altına ⁴√3 5 (5*⁴√3) əlavə etməklə istifadə edilən nümunə üçün bu hərəkəti belə etmək olar: 5*⁴√3=⁴√(625*3).

Mümkünsə, ortaya çıxan radikal ifadəni sadələşdirin. Əvvəlki addımlardan bir nümunə üçün, sadəcə kök işarəsi altındakı rəqəmləri çoxaltmaq lazımdır: 5*⁴√3=⁴√(625*3)=⁴√1875. Bu, kök altındakı nömrənin daxil edilməsi əməliyyatını tamamlayır.

Əgər problem naməlum dəyişənləri ehtiva edirsə, o zaman yuxarıda təsvir edilən addımlar ümumi formada həyata keçirilə bilər. Məsələn, dördüncü kök kökün altına naməlum x dəyişənini daxil etmək lazımdırsa və radikal ifadə 5/x³ olarsa, bütün hərəkətlər ardıcıllığı aşağıdakı kimi yazıla bilər: x*⁴√(5/x³)=⁴ √(x⁴*5/x³)= ⁴√(x*5).

Mənbələr:

• kök işarəsi nə adlanır?

Hər hansı kvadrat tənliyi həll etmək üçün həqiqi ədədlər kifayət deyil. Həqiqi ədədlər arasında kökü olmayan ən sadə kvadrat tənlik x^2+1=0-dır. Onu həll edərkən belə çıxır ki, x=±sqrt(-1) və elementar cəbr qanunlarına görə mənfidən cüt dərəcənin kökünü çıxarın. nömrələr qadağandır.

Modul hər kəsin eşitdiyi, amma əslində heç kimin anlamadığı şeylərdən biridir. Buna görə də, bu gün modullarla tənliklərin həllinə həsr olunmuş böyük bir dərs olacaq.

Dərhal deyəcəyəm: dərs çətin olmayacaq. Və ümumiyyətlə, modullar nisbətən sadə mövzudur. “Bəli, əlbəttə ki, mürəkkəb deyil! Ağlımı uçurur!” - çox tələbə deyəcək, amma bütün bu beyin qırılmaları əksər insanların beynində bilik yox, bir növ cəfəngiyat olması səbəbindən baş verir. Və bu dərsin məqsədi boşboğazlığı biliyə çevirməkdir. :)

Bir az nəzəriyyə

Beləliklə, gedək. Ən vacib şeydən başlayaq: modul nədir? Nəzərinizə çatdırım ki, ədədin modulu sadəcə olaraq eyni ədəddir, lakin mənfi işarəsi olmadan götürülür. Yəni, məsələn, $\left| -5 \sağ|=5$. Və ya $\sol| -129,5 \right|=$129,5.

Bu qədər sadədir? Bəli, sadə. Bəs müsbət ədədin mütləq qiyməti nədir? Burada daha sadədir: müsbət ədədin modulu bu ədədin özünə bərabərdir: $\left| 5 \right|=5$; $\sol| 129,5 \right|=$129,5 və s.

Maraqlı bir şey ortaya çıxır: fərqli nömrələr eyni modula sahib ola bilər. Məsələn: $\left| -5 \sağ|=\sol| 5 \right|=5$; $\sol| -129,5 \sağ|=\sol| 129,5\sağ|=$129,5. Eyni modullara malik olanların hansı nömrələr olduğunu görmək asandır: bu nömrələr əksdir. Beləliklə, əks ədədlərin modullarının bərabər olduğunu özümüz üçün qeyd edirik:

\[\sol| -a \sağ|=\sol| a\sağ|\]

Başqa bir vacib fakt: modul heç vaxt mənfi deyil. Hansı rəqəmi götürsək də - istər müsbət, istərsə də mənfi - onun modulu həmişə müsbət (və ya həddindən artıq hallarda sıfır) olur. Buna görə modul tez-tez ədədin mütləq qiyməti adlanır.

Bundan əlavə, əgər biz müsbət və mənfi ədəd üçün modulun tərifini birləşdirsək, bütün ədədlər üçün modulun qlobal tərifini əldə edirik. Məhz: ədədin modulu, əgər ədəd müsbətdirsə (və ya sıfırdırsa) ədədin özünə bərabərdir və ya ədəd mənfidirsə, əks ədədə bərabərdir. Bunu düstur kimi yaza bilərsiniz:

Sıfır modulu da var, lakin həmişə sıfıra bərabərdir. Bundan əlavə, sıfır əksi olmayan yeganə rəqəmdir.

Beləliklə, $y=\left| funksiyasını nəzərə alsaq x \right|$ və onun qrafikini çəkməyə çalışsanız, belə bir şey əldə edəcəksiniz:

Modul qrafiki və tənliyin həlli nümunəsi

Bu şəkildən dərhal aydın olur ki, $\left| -m \right|=\sol| m \right|$ və modul qrafiki heç vaxt x oxundan aşağı düşmür. Ancaq bu, hamısı deyil: qırmızı xətt $y=a$ düz xəttini qeyd edir, müsbət $a$ üçün bizə eyni anda iki kök verir: $((x)_(1))$ və $((x) _(2)) $, amma bu barədə sonra danışacağıq :)

Sırf cəbri tərifdən əlavə, həndəsi bir də var. Tutaq ki, ədəd xəttində iki nöqtə var: $((x)_(1))$ və $((x)_(2))$. Bu halda $\left| ifadəsi ((x)_(1))-((x)_(2)) \right|$ sadəcə olaraq göstərilən nöqtələr arasındakı məsafədir. Və ya istəsəniz, bu nöqtələri birləşdirən seqmentin uzunluğu:

Modul say xəttindəki nöqtələr arasındakı məsafədir

Bu tərif həm də modulun həmişə mənfi olmadığını nəzərdə tutur. Ancaq kifayət qədər təriflər və nəzəriyyələr - real tənliklərə keçək :)

Əsas düstur

Yaxşı, biz tərifi sıraladıq. Ancaq bu, işi asanlaşdırmadı. Bu modulu ehtiva edən tənlikləri necə həll etmək olar?

Sakit, sadəcə sakit. Ən sadə şeylərdən başlayaq. Buna bənzər bir şey düşünün:

\[\sol| x\right|=3\]

Beləliklə, $x$-ın modulu 3-dür. $x$ nəyə bərabər ola bilər? Tərifə əsasən, biz $x=3$-dan çox razıyıq. Həqiqətən:

\[\sol| 3\sağ|=3\]

Başqa nömrələr varmı? Cap, deyəsən, var olduğuna işarə edir. Məsələn, $x=-3$ həm də $\left|-dir -3 \right|=3$, yəni. tələb olunan bərabərlik təmin edilir.

Odur ki, bəlkə axtarıb düşünsək, daha çox rəqəm taparıq? Amma gəlin etiraf edək: artıq rəqəmlər yoxdur. $\left| tənliyi x \right|=3$ yalnız iki kökə malikdir: $x=3$ və $x=-3$.

İndi tapşırığı bir az çətinləşdirək. $f\left(x \right)$ funksiyası $x$ dəyişəninin əvəzinə modul işarəsi altında qalsın və sağdakı üçlün yerinə ixtiyari $a$ rəqəmi qoyun. Tənliyi alırıq:

\[\sol| f\sol(x \sağ) \sağ|=a\]

Bəs siz bunu necə həll edirsiniz? Xatırladım: $f\left(x \right)$ ixtiyari funksiyadır, $a$ istənilən ədəddir. Bunlar. Ümumiyyətlə hər şey! Məsələn:

\[\sol| 2x+1 \sağ|=5\]

\[\sol| 10x-5 \sağ|=-65\]

İkinci tənliyə diqqət yetirək. Onun haqqında dərhal deyə bilərsiniz: onun kökü yoxdur. Niyə? Hər şey düzgündür: çünki modulun mənfi ədədə bərabər olmasını tələb edir, bu heç vaxt baş vermir, çünki modulun həmişə müsbət ədəd və ya ekstremal hallarda sıfır olduğunu artıq bilirik.

Ancaq ilk tənliklə hər şey daha əyləncəlidir. İki variant var: ya modul işarəsinin altında müsbət ifadə var, sonra isə $\left| 2x+1 \right|=2x+1$, ya da bu ifadə hələ də mənfidir, sonra isə $\left| 2x+1 \sağ|=-\sol(2x+1 \sağ)=-2x-1$. Birinci halda, tənliyimiz aşağıdakı kimi yenidən yazılacaq:

\[\sol| 2x+1 \sağ|=5\Sağ ox 2x+1=5\]

Və birdən məlum olur ki, $2x+1$ submodul ifadəsi həqiqətən müsbətdir - 5 rəqəminə bərabərdir. bu tənliyi etibarlı şəkildə həll edə bilərik - nəticədə kök cavabın bir parçası olacaq:

Xüsusilə inamsız olanlar tapılan kökü orijinal tənliklə əvəz etməyə cəhd edə və modulun altında həqiqətən müsbət rəqəm olduğuna əmin ola bilərlər.

İndi mənfi submodul ifadə halına baxaq:

\[\left\( \begin(align)& \left| 2x+1 \right|=5 \\& 2x+1 \lt 0 \\\end(align) \sağa.\Sağ ox -2x-1=5 \Sağ ox 2x+1=-5\]

Vay! Yenə də hər şey aydındır: biz $2x+1 \lt 0$ olduğunu fərz etdik və nəticədə $2x+1=-5$ aldıq - doğrudan da, bu ifadə sıfırdan kiçikdir. Tapılan kökün bizə uyğun olacağını artıq dəqiq bildiyimiz halda ortaya çıxan tənliyi həll edirik:

Ümumilikdə yenə iki cavab aldıq: $x=2$ və $x=3$. Bəli, hesablamaların məbləği çox sadə $\left| tənliyindən bir qədər böyük oldu. x \right|=3$, lakin əsaslı olaraq heç nə dəyişməyib. Beləliklə, bəlkə bir növ universal alqoritm var?

Bəli, belə bir alqoritm mövcuddur. İndi biz bunu təhlil edəcəyik.

Modul işarəsindən qurtulmaq

Bizə $\left| tənliyi verilsin f\left(x \right) \right|=a$, və $a\ge 0$ (əks halda, artıq bildiyimiz kimi, köklər yoxdur). Sonra aşağıdakı qaydadan istifadə edərək modul işarəsindən xilas ola bilərsiniz:

\[\sol| f\sol(x \sağ) \sağ|=a\Sağ ox f\sol(x \sağ)=\pm a\]

Beləliklə, modullu tənliyimiz ikiyə bölünür, lakin modulsuz. Bütün texnologiya budur! Gəlin bir neçə tənliyi həll etməyə çalışaq. Bundan başlayaq

\[\sol| 5x+4 \sağ|=10\Sağ ox 5x+4=\pm 10\]

Sağda on artı olanda ayrıca, mənfi olduqda isə ayrıca nəzərdən keçirək. Bizdə:

\[\begin(align)& 5x+4=10\Rightarrow 5x=6\Rightarrow x=\frac(6)(5)=1,2; \\& 5x+4=-10\Sağ ox 5x=-14\Sağ ox x=-\frac(14)(5)=-2.8. \\\end(hizalayın)\]

Budur! İki kök aldıq: $x=1.2$ və $x=-2.8$. Bütün həll sözün həqiqi mənasında iki xətt çəkdi.

Yaxşı, sual yoxdur, gəlin bir az daha ciddi bir şeyə baxaq:

\[\sol| 7-5x\sağ|=13\]

Yenə modulu artı və mənfi ilə açırıq:

\[\begin(align)& 7-5x=13\Rightarrow -5x=6\Rightarrow x=-\frac(6)(5)=-1,2; \\& 7-5x=-13\Sağ ox -5x=-20\Sağ ox x=4. \\\end(hizalayın)\]

Yenə bir neçə sətir - və cavab hazırdır! Dediyim kimi, modullarda mürəkkəb bir şey yoxdur. Yalnız bir neçə qaydanı xatırlamaq lazımdır. Buna görə də davam edirik və həqiqətən daha mürəkkəb tapşırıqlarla başlayırıq.

Sağ tərəf dəyişəninin işi

İndi bu tənliyi nəzərdən keçirin:

\[\sol| 3x-2 \sağ|=2x\]

Bu tənlik bütün əvvəlkilərdən əsaslı şəkildə fərqlənir. Necə? Bərabər işarənin sağında isə $2x$ ifadəsinin olması faktı var və onun müsbət və ya mənfi olduğunu əvvəlcədən bilə bilmərik.

Bu halda nə etməli? Birincisi, biz bunu birdəfəlik başa düşməliyik tənliyin sağ tərəfi mənfi olarsa, onda tənliyin kökləri olmayacaq- biz artıq bilirik ki, modul mənfi ədədə bərabər ola bilməz.

İkincisi, əgər sağ hissə hələ də müsbətdirsə (və ya sıfıra bərabərdir), onda siz əvvəlki kimi eyni şəkildə hərəkət edə bilərsiniz: sadəcə modulu ayrıca bir artı işarəsi ilə və ayrıca mənfi işarəsi ilə açın.

Beləliklə, $f\left(x \right)$ və $g\left(x \right)$ ixtiyari funksiyaları üçün qayda formalaşdırırıq:

\[\sol| f\sol(x \sağ) \sağ|=g\sol(x \sağ)\Sağ ox \sol\( \başlamaq(align)& f\left(x \sağ)=\pm g\sol(x \sağ) ), \\& g\left(x \sağ)\ge 0. \\\end(düzləşdirin) \sağa.\]

Tənliyimizə münasibətdə alırıq:

\[\sol| 3x-2 \right|=2x\Rightarrow \left\( \begin(align)& 3x-2=\pm 2x, \\& 2x\ge 0. \\\end(align) \sağa.\]

Yaxşı, biz bir şəkildə $2x\ge 0$ tələbinin öhdəsindən gələcəyik. Sonda biz axmaqcasına birinci tənlikdən aldığımız kökləri əvəz edə və bərabərsizliyin olub-olmadığını yoxlaya bilərik.

Beləliklə, tənliyin özünü həll edək:

\[\begin(align)& 3x-2=2\Rightarrow 3x=4\Rightarrow x=\frac(4)(3); \\& 3x-2=-2\Rightarrow 3x=0\Rightarrow x=0. \\\end(hizalayın)\]

Yaxşı, bu iki kökdən hansı $2x\ge 0$ tələbini ödəyir? Bəli hər ikisi! Buna görə də cavab iki ədəd olacaq: $x=(4)/(3)\;$ və $x=0$. Çözüm budur :)

Tələbələrdən bəzilərinin artıq cansıxıcı olduğuna şübhə edirəm? Gəlin daha mürəkkəb bir tənliyə baxaq:

\[\sol| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-((x)^(3))\]

Pis görünsə də, əslində o, “modul funksiyaya bərabərdir” formasının eyni tənliyidir:

\[\sol| f\sol(x \sağ) \sağ|=g\sol(x \sağ)\]

Və tamamilə eyni şəkildə həll olunur:

\[\sol| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \sağ|=x-((x)^(3))\Sağ ox \sol\( \begin(align)& ( (x)^(3))-3((x)^(2))+x=\pm \left(x-((x)^(3)) \sağ), \\& x-((x) )^(3))\ge 0. \\\end(align) \sağa.\]

Bərabərsizliklə daha sonra məşğul olacağıq - bu, bir növ çox pisdir (əslində, bu sadədir, amma həll etməyəcəyik). Hələlik nəticədə yaranan tənliklərlə məşğul olmaq daha yaxşıdır. Birinci halı nəzərdən keçirək - modul artı işarəsi ilə genişləndirildikdə:

\[((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3))\]

Yaxşı, hər şeyi soldan toplamaq, oxşarlarını gətirmək və nə baş verdiyinə baxmaq lazımdır. Və belə olur:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3)); \\& 2((x)^(3))-3((x)^(2))=0; \\\end(hizalayın)\]

Mötərizədə $((x)^(2))$ ümumi amilini çıxarırıq və çox sadə tənlik alırıq:

\[((x)^(2))\left(2x-3 \sağ)=0\Sağ ox \left[ \begin(align)& ((x)^(2))=0 \\& 2x-3 =0 \\\sonu(düzləşdirin) \sağa.\]

\[((x)_(1))=0;\dört ((x)_(2))=\frac(3)(2)=1.5.\]

Burada biz məhsulun vacib bir xüsusiyyətindən istifadə etdik, bunun üçün ilkin çoxhədlini faktorlara ayırdıq: amillərdən ən azı biri sıfıra bərabər olduqda məhsul sıfıra bərabərdir.

İndi modulu mənfi işarə ilə genişləndirməklə əldə edilən ikinci tənliklə eyni şəkildə məşğul olaq:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-\left(x-((x)^(3)) \sağ); \\& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-x+((x)^(3)); \\& -3((x)^(2))+2x=0; \\& x\left(-3x+2 \sağ)=0. \\\end(hizalayın)\]

Yenə eyni şey: amillərdən ən azı biri sıfıra bərabər olduqda məhsul sıfıra bərabərdir. Bizdə:

\[\left[ \begin(align)& x=0 \\& -3x+2=0 \\\end(align) \sağa.\]

Yaxşı, üç kök aldıq: $x=0$, $x=1.5$ və $x=(2)/(3)\;$. Yaxşı, bu dəstdən hansı son cavaba daxil olacaq? Bunu etmək üçün bərabərsizlik şəklində əlavə bir məhdudiyyətimiz olduğunu unutmayın:

Bu tələbi necə nəzərə almaq olar? Tapılan kökləri əvəz edək və bu $x$ üçün bərabərsizliyin olub-olmadığını yoxlayaq. Bizdə:

\[\begin(align)& x=0\Rightarrow x-((x)^(3))=0-0=0\ge 0; \\& x=1,5\Sağ ox x-((x)^(3))=1,5-((1,5)^(3)) \lt 0; \\& x=\frac(2)(3)\Sağ ox x-((x)^(3))=\frac(2)(3)-\frac(8)(27)=\frac(10) (27)\ge 0; \\\end(hizalayın)\]

Beləliklə, $x=1.5$ kökü bizə uyğun gəlmir. Və cavab olaraq yalnız iki kök olacaq:

\[((x)_(1))=0;\dört ((x)_(2))=\frac(2)(3).\]

Gördüyünüz kimi, hətta bu vəziyyətdə mürəkkəb bir şey yox idi - modulları olan tənliklər həmişə bir alqoritmdən istifadə edərək həll olunur. Sadəcə çoxhədliləri və bərabərsizlikləri yaxşı başa düşmək lazımdır. Buna görə də, daha mürəkkəb vəzifələrə keçirik - artıq bir deyil, iki modul olacaq.

İki modullu tənliklər

İndiyə qədər biz yalnız ən sadə tənlikləri öyrənmişik - bir modul və başqa bir şey var idi. Biz bu “başqa bir şeyi” bərabərsizliyin başqa bir hissəsinə, moduldan uzaqda göndərdik ki, sonda hər şey $\left| formasının tənliyinə endirilsin. f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$ və ya daha sadə $\left| f\sol(x \sağ) \sağ|=a$.

Ancaq uşaq bağçası bitdi - daha ciddi bir şey düşünməyin vaxtı gəldi. Bu kimi tənliklərlə başlayaq:

\[\sol| f\left(x \right) \right|=\left| g\sol(x \sağ) \sağ|\]

Bu, “modul modula bərabərdir” formasının tənliyidir. Prinsipcə vacib bir məqam, digər şərtlərin və amillərin olmamasıdır: solda yalnız bir modul, sağda daha bir modul - və başqa heç nə.

İndi kimsə düşünəcək ki, bu cür tənlikləri həll etmək indiyə qədər öyrəndiklərimizdən daha çətindir. Ancaq yox: bu tənlikləri həll etmək daha asandır. Budur formula:

\[\sol| f\left(x \right) \right|=\left| g\sol(x \sağ) \sağ|\Sağ ox f\sol(x \sağ)=\pm g\sol(x \sağ)\]

Hamısı! Sadəcə olaraq, onlardan birinin qarşısında artı və ya mənfi işarəsi qoymaqla submodul ifadələri bərabərləşdiririk. Və sonra ortaya çıxan iki tənliyi həll edirik - və köklər hazırdır! Əlavə məhdudiyyətlər, bərabərsizliklər və s. Çox sadədir.

Bu problemi həll etməyə çalışaq:

\[\sol| 2x+3 \sağ|=\sol| 2x-7 \sağ|\]

İbtidai sinif, Watson! Modulların genişləndirilməsi:

\[\sol| 2x+3 \sağ|=\sol| 2x-7 \sağ|\Sağ ox 2x+3=\pm \sol(2x-7 \sağ)\]

Hər bir işi ayrıca nəzərdən keçirək:

\[\begin(align)& 2x+3=2x-7\Rightarrow 3=-7\Rightarrow \emptyset ; \\& 2x+3=-\sol(2x-7 \sağ)\Sağ ox 2x+3=-2x+7. \\\end(hizalayın)\]

Birinci tənliyin kökləri yoxdur. Çünki $3=-7$ nə vaxt olur? $x$-ın hansı dəyərlərində? “$x$ nə cəhənnəmdir? daşlandın? Orada ümumiyyətlə $x$ yoxdur” deyirsiniz. Və haqlı olacaqsan. Biz $x$ dəyişənindən asılı olmayan bərabərlik əldə etdik və eyni zamanda bərabərliyin özü də düzgün deyil. Buna görə də kök yoxdur :)

İkinci tənliklə hər şey bir az daha maraqlıdır, həm də çox, çox sadədir:

Gördüyünüz kimi, hər şey sözün həqiqi mənasında bir neçə sətirdə həll edildi - xətti tənlikdən başqa heç nə gözləmirdik.

Nəticə olaraq, son cavab belədir: $x=1$.

Bəs necə? Çətin? Əlbəttə yox. Gəlin başqa bir şeyə cəhd edək:

\[\sol| x-1 \sağ|=\sol| ((x)^(2))-3x+2 \sağ|\]

Yenə $\left| formasında bir tənliyə sahibik f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|$. Buna görə modul işarəsini ortaya çıxararaq dərhal onu yenidən yazırıq:

\[((x)^(2))-3x+2=\pm \sol(x-1 \sağ)\]

Bəlkə indi kimsə soruşacaq: “Ay, nə cəfəngiyyatdır? Niyə “plus-minus” solda yox, sağ ifadədə görünür?” Sakit ol, indi hər şeyi izah edəcəyəm. Həqiqətən, yaxşı bir şəkildə tənliyimizi aşağıdakı kimi yenidən yazmalıydıq:

Sonra mötərizələri açmalı, bütün şərtləri bərabər işarənin bir tərəfinə köçürməlisiniz (çünki tənlik, açıq-aydın, hər iki halda kvadrat olacaq) və sonra kökləri tapmalısınız. Ancaq etiraf etməlisiniz: "plus-minus" üç termindən əvvəl görünəndə (xüsusilə bu terminlərdən biri kvadrat ifadə olduqda), bu, yalnız iki termindən əvvəl "plus-minus" göründüyü vəziyyətdən daha mürəkkəb görünür.

Ancaq heç bir şey bizə orijinal tənliyi aşağıdakı kimi yenidən yazmağa mane olmur:

\[\sol| x-1 \sağ|=\sol| ((x)^(2))-3x+2 \sağ|\Sağ ox \sol| ((x)^(2))-3x+2 \sağ|=\sol| x-1 \sağ|\]

Nə oldu? Xüsusi bir şey yoxdur: sadəcə sol və sağ tərəfləri dəyişdirdilər. Həyatımızı bir az da asanlaşdıracaq kiçik bir şey :)

Ümumiyyətlə, müsbət və mənfi variantları nəzərə alaraq bu tənliyi həll edirik:

\[\begin(align)& ((x)^(2))-3x+2=x-1\Sağ ox ((x)^(2))-4x+3=0; \\& ((x)^(2))-3x+2=-\sol(x-1 \sağ)\Sağ ox ((x)^(2))-2x+1=0. \\\end(hizalayın)\]

Birinci tənliyin kökləri $x=3$ və $x=1$. İkincisi ümumiyyətlə dəqiq kvadratdır:

\[((x)^(2))-2x+1=((\sol(x-1 \sağ))^(2))\]

Buna görə də onun yalnız bir kökü var: $x=1$. Amma biz bu kökü daha əvvəl əldə etmişik. Beləliklə, son cavaba yalnız iki rəqəm daxil olacaq:

\[((x)_(1))=3;\dört ((x)_(2))=1.\]

Missiya yerinə yetirildi! Rəfdən piroq götürüb yeyə bilərsiniz. Onlardan 2-si var, ortası sizindir. :)

Vacib Qeyd. Modulun genişlənməsinin müxtəlif variantları üçün eyni köklərin olması o deməkdir ki, ilkin çoxhədlilər faktorlara bölünür və bu amillər arasında mütləq ümumi olan da olacaqdır. Həqiqətən:

\[\begin(align)& \left| x-1 \sağ|=\sol| ((x)^(2))-3x+2 \sağ|; \\& \sol| x-1 \sağ|=\sol| \left(x-1 \right)\left(x-2 \right) \right|. \\\end(hizalayın)\]

Modul xüsusiyyətlərindən biri: $\left| a\cdot b \right|=\sol| a \sağ|\cdot \sol| b \right|$ (yəni məhsulun modulu modulların məhsuluna bərabərdir), buna görə də orijinal tənliyi aşağıdakı kimi yenidən yazmaq olar:

\[\sol| x-1 \sağ|=\sol| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \sağ|\]

Gördüyünüz kimi, həqiqətən də ortaq bir amilimiz var. İndi bütün modulları bir tərəfə yığsanız, bu faktoru mötərizədən çıxara bilərsiniz:

\[\begin(align)& \left| x-1 \sağ|=\sol| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \sağ|; \\& \sol| x-1 \sağ|-\sol| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \right|=0; \\& \sol| x-1 \right|\cdot \left(1-\left| x-2 \right| \right)=0. \\\end(hizalayın)\]

Yaxşı, indi yadda saxlayın ki, amillərdən ən azı biri sıfıra bərabər olduqda məhsul sıfıra bərabərdir:

\[\left[ \begin(align)& \left| x-1 \right|=0, \\& \sol| x-2 \sağ|=1. \\\sonu(düzləşdirin) \sağa.\]

Beləliklə, iki modullu orijinal tənlik dərsin əvvəlində danışdığımız iki ən sadə tənliyə endirildi. Bu cür tənlikləri bir neçə sətirdə həll etmək olar :)

Bu qeyd lazımsız dərəcədə mürəkkəb və praktikada tətbiq olunmaz görünə bilər. Ancaq reallıqda siz bu gün baxdığımız problemlərdən daha mürəkkəb problemlərlə qarşılaşa bilərsiniz. Onlarda modullar çoxhədlilər, arifmetik köklər, loqarifmlər və s. ilə birləşdirilə bilər. Və belə vəziyyətlərdə mötərizədə bir şey çıxararaq tənliyin ümumi dərəcəsini aşağı salmaq çox faydalı ola bilər :)

İndi mən ilk baxışdan dəli görünə bilən başqa bir tənliyi təhlil etmək istərdim. Bir çox tələbə, hətta modulları yaxşı başa düşdüklərini düşünənlər belə, buna ilişib qalırlar.

Ancaq bu tənliyi həll etmək əvvəllər baxdığımızdan daha asandır. Əgər bunun səbəbini başa düşsəniz, modullarla tənlikləri tez həll etmək üçün başqa bir hiylə əldə edəcəksiniz.

Beləliklə, tənlik belədir:

\[\sol| x-((x)^(3)) \sağ|+\sol| ((x)^(2))+x-2 \sağ|=0\]

Xeyr, bu yazı səhvi deyil: modullar arasında bir artıdır. Və biz tapmalıyıq ki, hansı $x$-da iki modulun cəmi sıfıra bərabərdir :)

Onsuz da problem nədir? Amma problem ondadır ki, hər bir modul müsbət rəqəmdir və ya ekstremal hallarda sıfırdır. İki müsbət ədəd əlavə etsəniz nə olar? Aydındır ki, yenə müsbət rəqəm:

\[\begin(align)& 5+7=12 \gt 0; \\& 0,004+0,0001=0,0041 \gt 0; \\& 5+0=5 \gt 0. \\\end(align)\]

Sonuncu sətir sizə bir fikir verə bilər: modulların cəmi sıfır olduqda yeganə vaxt hər modul sıfırdır:

\[\sol| x-((x)^(3)) \sağ|+\sol| ((x)^(2))+x-2 \sağ|=0\Sağ ox \sol\( \begin(align)& \left| x-((x)^(3)) \sağ|=0, \\& \sol|. ((x)^(2))+x-2 \sağ|=0

Və modul nə vaxt sıfıra bərabərdir? Yalnız bir halda - submodul ifadəsi sıfıra bərabər olduqda:

\[((x)^(2))+x-2=0\Sağ ox \sol(x+2 \sağ)\left(x-1 \sağ)=0\Sağ ox \sol[ \başlamaq(align)& x=-2 \\& x=1 \\\end(hizalayın) \sağa.\]

Beləliklə, birinci modulun sıfırlandığı üç nöqtəmiz var: 0, 1 və −1; eləcə də ikinci modulun sıfıra salındığı iki nöqtə: −2 və 1. Bununla belə, hər iki modulun eyni vaxtda sıfırlanması lazımdır, ona görə də tapılan nömrələr arasından daxil olanları seçməliyik. hər iki dəst. Aydındır ki, yalnız bir belə rəqəm var: $x=1$ - bu son cavab olacaq.

Kəsmə üsulu

Yaxşı, biz artıq bir çox problemləri əhatə etdik və bir çox texnika öyrəndik. Sizcə, hamısı budur? Amma yox! İndi biz son texnikaya baxacağıq - və eyni zamanda ən vacib. Biz modullu tənlikləri bölmək haqqında danışacağıq. Hətta nədən danışacağıq? Bir az geriyə qayıdıb sadə tənliyə baxaq. Məsələn, bu:

\[\sol| 3x-5 \sağ|=5-3x\]

Prinsipcə, biz artıq belə bir tənliyi necə həll edəcəyimizi bilirik, çünki o, $\left| formasının standart konstruksiyasıdır. f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$. Amma gəlin bu tənliyə bir az fərqli bucaqdan baxmağa çalışaq. Daha dəqiq desək, modul işarəsi altındakı ifadəni nəzərdən keçirək. Nəzərinizə çatdırım ki, istənilən ədədin modulu ədədin özünə bərabər ola bilər və ya bu ədədin əksinə ola bilər:

\[\sol| a \right|=\left\( \begin(align)& a,\quad a\ge 0, \\& -a,\quad a \lt 0. \\\end(align) \right.\]

Əslində, bu qeyri-müəyyənlik bütün problemdir: modulun altındakı rəqəm dəyişdiyindən (dəyişəndən asılıdır), bunun müsbət və ya mənfi olması bizə aydın deyil.

Bəs əvvəlcə bu rəqəmin müsbət olmasını tələb etsəniz nə olacaq? Məsələn, tələb edək ki, $3x-5 \gt 0$ - bu halda modul işarəsi altında müsbət ədəd alacağımıza zəmanət verilir və biz bu moduldan tamamilə xilas ola bilərik:

Beləliklə, tənliyimiz asanlıqla həll edilə bilən xətti tənliyə çevriləcək:

Düzdür, bütün bu düşüncələr yalnız $3x-5 \gt 0$ şərti altında məna kəsb edir - modulu birmənalı şəkildə açmaq üçün bu tələbi özümüz təqdim etdik. Ona görə də tapılan $x=\frac(5)(3)$-ı bu şərtlə əvəz edək və yoxlayaq:

Belə çıxır ki, göstərilən $x$ dəyəri üçün bizim tələbimiz yerinə yetirilmir, çünki ifadənin sıfıra bərabər olduğu ortaya çıxdı və biz onun sıfırdan ciddi şəkildə böyük olmasını tələb edirik. Kədərli :(

Amma eybi yoxdur! Axı, başqa variant var $3x-5 \lt 0$. Üstəlik: $3x-5=0$ halı da var - bunu da nəzərə almaq lazımdır, əks halda həll yarımçıq olacaq. Beləliklə, $3x-5 \lt 0$ məsələsini nəzərdən keçirin:

Aydındır ki, modul mənfi işarə ilə açılacaq. Ancaq sonra qəribə bir vəziyyət yaranır: orijinal tənlikdə həm solda, həm də sağda eyni ifadə görünəcək:

Maraqlıdır, $5-3x$ ifadəsi hansı $x$-da $5-3x$ ifadəsinə bərabər olacaq? Hətta Captain Obviousness belə tənliklərdən tüpürcəyini boğardı, amma biz bilirik: bu tənlik bir şəxsiyyətdir, yəni. dəyişənin istənilən dəyəri üçün doğrudur!

Bu o deməkdir ki, istənilən $x$ bizə uyğun olacaq. Bununla belə, bizim məhdudiyyətimiz var:

Başqa sözlə, cavab tək bir rəqəm deyil, tam bir interval olacaq:

Nəhayət, nəzərdən keçirilməli daha bir hal var: $3x-5=0$. Burada hər şey sadədir: modulun altında sıfır olacaq və sıfır modulu da sıfıra bərabərdir (bu, birbaşa tərifdən irəli gəlir):

Lakin sonra orijinal tənlik $\left| 3x-5 \right|=5-3x$ aşağıdakı kimi yenidən yazılacaq:

Biz bu kökü yuxarıda $3x-5 \gt 0$ halını nəzərdən keçirərkən əldə etmişik. Üstəlik, bu kök $3x-5=0$ tənliyinin həllidir - bu, modulu sıfırlamaq üçün özümüzün tətbiq etdiyimiz məhdudiyyətdir :).

Beləliklə, intervala əlavə olaraq, bu intervalın ən sonunda yatan rəqəmlə də kifayətlənəcəyik:

Modul tənliklərində köklərin birləşdirilməsi

Ümumi yekun cavab: $x\in \left(-\infty ;\frac(5)(3) \right]$ Modulu olan kifayət qədər sadə (əslində xətti) tənliyin cavabında belə axmaqlığı görmək çox yaygın deyil, Doğrudanmı, buna öyrəşin: modulun çətinliyi ondadır ki, belə tənliklərdəki cavablar tamamilə gözlənilməz ola bilər.

Başqa bir şey daha vacibdir: biz indi modullu tənliyin həlli üçün universal alqoritmi təhlil etdik! Və bu alqoritm aşağıdakı addımlardan ibarətdir:

1. Tənlikdəki hər modulu sıfıra bərabərləşdirin. Bir neçə tənlik alırıq;
2. Bütün bu tənlikləri həll edin və kökləri ədəd xəttində qeyd edin. Nəticədə, düz xətt bir neçə intervala bölünəcək, hər birində bütün modullar unikal şəkildə aşkarlanır;
3. Hər bir interval üçün orijinal tənliyi həll edin və cavablarınızı birləşdirin.

Budur! Yalnız bir sual qalır: 1-ci addımda əldə edilən köklərlə nə etmək lazımdır? Tutaq ki, bizim iki kökümüz var: $x=1$ və $x=5$. Onlar rəqəm xəttini 3 hissəyə böləcəklər:

Nöqtələrdən istifadə edərək say xəttini intervallara bölmək

Beləliklə, intervallar nədir? Onların üçü olduğu aydındır:

1. Ən solda olan: $x \lt 1$ — vahidin özü intervala daxil deyil;
2. Mərkəzi: $1\le x \lt 5$ - burada biri intervala daxil edilir, lakin beş daxil edilmir;
3. Ən sağda: $x\ge 5$ - beş yalnız buraya daxildir!

Düşünürəm ki, siz artıq nümunəni başa düşürsünüz. Hər bir interval sol ucunu ehtiva edir və sağı daxil etmir.

İlk baxışdan belə bir giriş əlverişsiz, məntiqsiz və ümumiyyətlə bir növ dəli görünə bilər. Ancaq mənə inanın: bir az təcrübədən sonra bu yanaşmanın ən etibarlı olduğunu və modulların birmənalı şəkildə açılmasına mane olmadığını görəcəksiniz. Hər dəfə düşünməkdənsə, belə bir sxemdən istifadə etmək daha yaxşıdır: sol/sağ ucunu cari intervala verin və ya onu növbəti birinə “atın”.

Məxfiliyinizi qorumaq bizim üçün vacibdir. Bu səbəbdən biz sizin məlumatlarınızı necə istifadə etdiyimizi və saxladığımızı təsvir edən Məxfilik Siyasəti hazırlamışıq. Zəhmət olmasa məxfilik təcrübələrimizi nəzərdən keçirin və hər hansı sualınız varsa, bizə bildirin.

Şəxsi məlumatların toplanması və istifadəsi

Şəxsi məlumat müəyyən bir şəxsi müəyyən etmək və ya əlaqə saxlamaq üçün istifadə edilə bilən məlumatlara aiddir.

İstənilən vaxt bizimlə əlaqə saxladığınız zaman sizdən şəxsi məlumatlarınızı təqdim etməyiniz tələb oluna bilər.

Aşağıda toplaya biləcəyimiz şəxsi məlumat növlərinə və bu cür məlumatlardan necə istifadə edə biləcəyimizə dair bəzi nümunələr verilmişdir.

Hansı şəxsi məlumatları toplayırıq:

• Saytda ərizə təqdim etdiyiniz zaman biz müxtəlif məlumatlar, o cümlədən adınız, telefon nömrəniz, e-poçt ünvanınız və s.

Şəxsi məlumatlarınızı necə istifadə edirik:

• Topladığımız şəxsi məlumatlar bizə unikal təkliflər, promosyonlar və digər tədbirlər və qarşıdan gələn tədbirlərlə bağlı sizinlə əlaqə saxlamağa imkan verir.
• Zaman-zaman biz sizin şəxsi məlumatlarınızdan vacib bildirişlər və kommunikasiyalar göndərmək üçün istifadə edə bilərik.
• Təqdim etdiyimiz xidmətləri təkmilləşdirmək və sizə xidmətlərimizlə bağlı tövsiyələr vermək üçün auditlər, məlumatların təhlili və müxtəlif araşdırmalar aparmaq kimi şəxsi məlumatlardan daxili məqsədlər üçün də istifadə edə bilərik.
• Əgər siz uduş tirajında, müsabiqədə və ya oxşar təşviqatda iştirak edirsinizsə, biz bu cür proqramları idarə etmək üçün təqdim etdiyiniz məlumatdan istifadə edə bilərik.

Üçüncü tərəflərə məlumatların açıqlanması

Sizdən alınan məlumatları üçüncü şəxslərə açıqlamırıq.

İstisnalar:

• Zəruri hallarda - qanuna uyğun olaraq, məhkəmə qaydasında, məhkəmə prosesində və/və ya ictimai sorğular və ya Rusiya Federasiyasının ərazisində dövlət orqanlarının sorğuları əsasında - şəxsi məlumatlarınızı açıqlamaq. Bu cür açıqlamanın təhlükəsizlik, hüquq-mühafizə və ya digər ictimai əhəmiyyət kəsb edən məqsədlər üçün zəruri və ya uyğun olduğunu müəyyən etsək, sizinlə bağlı məlumatları da açıqlaya bilərik.
• Yenidən təşkil etmə, birləşmə və ya satış halında, biz topladığımız şəxsi məlumatları müvafiq varis üçüncü tərəfə ötürə bilərik.

Şəxsi məlumatların qorunması

Biz şəxsi məlumatlarınızı itkidən, oğurluqdan və sui-istifadədən, habelə icazəsiz daxil olmaqdan, açıqlamadan, dəyişdirilməkdən və məhv olmaqdan qorumaq üçün inzibati, texniki və fiziki tədbirləri görürük.

Şirkət səviyyəsində məxfiliyinizə hörmət etmək

Şəxsi məlumatlarınızın təhlükəsiz olmasını təmin etmək üçün biz əməkdaşlarımıza məxfilik və təhlükəsizlik standartlarını çatdırırıq və məxfilik təcrübələrini ciddi şəkildə tətbiq edirik.

Modullu tənliklərin və bərabərsizliklərin həlli tez-tez çətinliklər yaradır. Ancaq bunun nə olduğunu yaxşı başa düşsəniz ədədin modulu, Və modul işarəsi olan ifadələri necə düzgün genişləndirmək olar, sonra tənlikdə mövcudluq modul işarəsi altında ifadə, onun həllinə maneə olmaqdan çıxır.

Bir az nəzəriyyə. Hər bir rəqəmin iki xüsusiyyəti var: ədədin mütləq qiyməti və işarəsi.

Məsələn, +5 və ya sadəcə 5 rəqəminin "+" işarəsi və mütləq dəyəri 5-dir.

-5 rəqəminin "-" işarəsi və mütləq dəyəri 5-dir.

5 və -5 rəqəmlərinin mütləq qiymətləri 5-dir.

X ədədinin mütləq qiyməti ədədin modulu adlanır və |x| ilə işarələnir.

Gördüyümüz kimi, ədədin modulu, əgər bu ədəd sıfırdan böyük və ya sıfırdırsa, ədədin özünə, əgər bu ədəd mənfi olarsa, əks işarəli bu ədədə bərabərdir.

Eyni şey modul işarəsi altında görünən hər hansı ifadələrə aiddir.

Modulun genişləndirilməsi qaydası belə görünür:

|f(x)|= f(x) f(x) ≥ 0 olarsa və

|f(x)|= - f(x), əgər f(x)< 0

Məsələn, |x-3|=x-3, əgər x-3≥0 və |x-3|=-(x-3)=3-x, əgər x-3 olarsa<0.

Modul işarəsi altında ifadəni ehtiva edən tənliyi həll etmək üçün əvvəlcə etməlisiniz modulun genişləndirilməsi qaydasına uyğun olaraq modulu genişləndirin.

Sonra tənliyimiz və ya bərabərsizliyimiz olur iki fərqli ədədi intervalda mövcud olan iki fərqli tənliyə çevrilir.

Modul işarəsi altındakı ifadənin mənfi olmadığı ədədi intervalda bir tənlik mövcuddur.

İkinci tənlik isə modul işarəsi altında ifadənin mənfi olduğu intervalda mövcuddur.

Sadə bir misala baxaq.

Tənliyi həll edək:

|x-3|=-x 2 +4x-3

1. Modulu açaq.

|x-3|=x-3, əgər x-3≥0 olarsa, yəni. əgər x≥3

|x-3|=-(x-3)=3-x əgər x-3<0, т.е. если х<3

2. Biz iki ədədi interval aldıq: x≥3 və x<3.

Hər bir intervalda orijinal tənliyin hansı tənliklərə çevrildiyini nəzərdən keçirək:

A) x≥3 |x-3|=x-3 üçün və yaramız aşağıdakı formaya malikdir:

Diqqət! Bu tənlik yalnız x≥3 intervalında mövcuddur!

Mötərizələri açıb oxşar terminləri təqdim edək:

və bu tənliyi həll edin.

Bu tənliyin kökləri var:

x 1 =0, x 2 =3

Diqqət! x-3=-x 2 +4x-3 tənliyi yalnız x≥3 intervalında mövcud olduğu üçün bizi yalnız bu intervala aid olan köklər maraqlandırır. Bu şərt yalnız x 2 =3 ilə təmin edilir.

B) x nöqtəsində<0 |x-3|=-(x-3) = 3-x, и наше уравнение приобретает вид:

Diqqət! Bu tənlik yalnız x intervalında mövcuddur<3!

Mötərizələri açıb oxşar terminləri təqdim edək. Tənliyi alırıq:

x 1 =2, x 2 =3

Diqqət! çünki 3-x=-x 2 +4x-3 tənliyi yalnız x intervalında mövcuddur<3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х 1 =2.

Beləliklə: birinci intervaldan yalnız x=3 kökünü, ikincidən isə x=2 kökünü alırıq.