Əsas triqonometrik funksiyalar - sinus, kosinus, tangens və kotangens arasındakı əlaqələr verilmişdir. triqonometrik düsturlar. Və triqonometrik funksiyalar arasında kifayət qədər çox əlaqə olduğundan, bu triqonometrik düsturların bolluğunu izah edir. Bəzi düsturlar eyni bucağın triqonometrik funksiyalarını əlaqələndirir, digərləri - çoxlu bucaq funksiyaları, digərləri - dərəcəni azaltmağa imkan verir, dördüncü - bütün funksiyaları yarım bucağın tangensi ilə ifadə edir və s.
Bu yazıda bütün əsasları sıra ilə sadalayacağıq triqonometrik düsturlar triqonometriya məsələlərinin böyük əksəriyyətini həll etmək üçün kifayətdir. Yadda saxlama və istifadə asanlığı üçün onları məqsədlərinə görə qruplaşdırıb cədvəllərə daxil edəcəyik.
Səhifə naviqasiyası.
Əsas triqonometrik eyniliklər
Əsas triqonometrik eyniliklər bir bucağın sinus, kosinus, tangens və kotangens arasındakı əlaqəni təyin edin. Onlar sinus, kosinus, tangens və kotangensin tərifindən, həmçinin vahid dairə anlayışından irəli gəlir. Onlar bir triqonometrik funksiyanı hər hansı digəri ilə ifadə etməyə imkan verir.
Bu triqonometriya düsturlarının ətraflı təsviri, onların əldə edilməsi və tətbiqi nümunələri üçün məqaləyə baxın.
Azaltma düsturları
Azaltma düsturları sinus, kosinus, tangens və kotangensin xassələrindən irəli gəlir, yəni triqonometrik funksiyaların dövrilik xassəsini, simmetriya xassəsini, habelə verilmiş bucaqla yerdəyişmə xassəsini əks etdirir. Bu triqonometrik düsturlar sizə ixtiyari bucaqlarla işləməkdən sıfırdan 90 dərəcəyə qədər olan bucaqlarla işləməyə keçməyə imkan verir.
Bu düsturların əsaslandırılması, onları yadda saxlamaq üçün mnemonik qayda və onların tətbiqi nümunələri məqalədə öyrənilə bilər.
Əlavə düsturlar
Triqonometrik əlavə düsturları iki bucağın cəminin və ya fərqinin triqonometrik funksiyalarının həmin bucaqların triqonometrik funksiyaları ilə necə ifadə olunduğunu göstərin. Bu düsturlar aşağıdakı triqonometrik düsturların alınması üçün əsas kimi xidmət edir.
Düsturlar ikiqat, üçlü və s. bucaq
Düsturlar ikiqat, üçlü və s. bucaq (bunlara çoxlu bucaq düsturları da deyilir) ikiqat, üçlü və s. triqonometrik funksiyaların necə yerinə yetirildiyini göstərir. bucaqlar () tək bucağın triqonometrik funksiyaları ilə ifadə edilir. Onların əldə edilməsi əlavə düsturlara əsaslanır.
Daha ətraflı məlumat ikiqat, üçlü və s. üçün məqalə düsturlarında toplanır. bucaq
Yarım bucaq düsturları
Yarım bucaq düsturları yarım bucağın triqonometrik funksiyalarının tam bucağın kosinusu ilə necə ifadə olunduğunu göstərin. Bu triqonometrik düsturlar ikiqat bucaq düsturlarından əmələ gəlir.
Onların nəticəsi və tətbiqi nümunələri məqalədə tapıla bilər.
Dərəcə azaldılması düsturları
Dərəcələri azaltmaq üçün triqonometrik düsturlar triqonometrik funksiyaların təbii güclərindən birinci dərəcəli sinuslara və kosinuslara keçidi asanlaşdırmaq üçün nəzərdə tutulmuşdur, lakin çoxlu açılar. Başqa sözlə, onlar triqonometrik funksiyaların səlahiyyətlərini birinciyə endirməyə imkan verir.
Triqonometrik funksiyaların cəmi və fərqi üçün düsturlar
Əsas məqsəd triqonometrik funksiyaların cəmi və fərqi üçün düsturlar triqonometrik ifadələri sadələşdirərkən çox faydalı olan funksiyaların hasilinə keçməkdir. Bu düsturlardan həlldə də geniş istifadə olunur triqonometrik tənliklər, çünki onlar sinus və kosinusların cəmini və fərqini hesablamağa imkan verir.
Sinusların, kosinusların və kosinusların hasilinin düsturları
Triqonometrik funksiyaların hasilindən cəmi və ya fərqə keçid sinusların, kosinusların və sinusların kosinuslarla hasilinin düsturlarından istifadə etməklə həyata keçirilir.
cleverstudent tərəfindən müəllif hüquqları
Bütün hüquqlar qorunur.
Müəllif hüquqları qanunu ilə qorunur. www.saytın heç bir hissəsi, o cümlədən daxili materiallar Və xarici dizayn, müəllif hüquqları sahibinin əvvəlcədən yazılı icazəsi olmadan heç bir formada çoxalda və ya istifadə edilə bilməz.
Triqonometrik eyniliklər- bunlar sinus, kosinus, tangens və bir bucağın kotangensi arasında əlaqə quran bərabərliklərdir ki, bu da hər hansı digərini bilmək şərtilə bu funksiyalardan hər hansı birini tapmağa imkan verir.
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)
tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1
Bu eynilik bir bucağın sinusunun kvadratının və bir bucağın kosinusunun kvadratının cəminin birə bərabər olduğunu söyləyir ki, bu da praktikada bir bucağın sinusunu onun kosinusu məlum olduqda və əksinə hesablamağa imkan verir. .
Triqonometrik ifadələri çevirərkən bu eynilik çox tez-tez istifadə olunur ki, bu da bir bucağın kosinusu və sinusunun kvadratlarının cəmini bir ilə əvəz etməyə və eyni zamanda tərs qaydada dəyişdirmə əməliyyatını yerinə yetirməyə imkan verir.
Sinus və kosinusdan istifadə edərək tangens və kotangensin tapılması
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace
Bu eyniliklər sinus, kosinus, tangens və kotangensin təriflərindən əmələ gəlir. Axı, ona baxsanız, tərifə görə y ordinatı sinusdur, absis x isə kosinusdur. Onda tangens nisbətə bərabər olacaq \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), və nisbət \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- kotangent olacaq.
Əlavə edək ki, yalnız onlara daxil olan triqonometrik funksiyaların məna kəsb etdiyi \alfa bucaqları üçün eyniliklər, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).
Məsələn: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)-dən fərqli olan \alpha bucaqları üçün etibarlıdır \frac(\pi)(2)+\pi z, A ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- \pi z-dən başqa \alfa bucağı üçün z tam ədəddir.
Tangens və kotangens arasındakı əlaqə
tg \alpha \cdot ctg \alpha=1
Bu eynilik yalnız fərqli olan \alpha bucaqları üçün etibarlıdır \frac(\pi)(2) z. Əks halda nə kotangens, nə də tangens təyin olunmayacaq.
Yuxarıdakı məqamlara əsaslanaraq, bunu əldə edirik tg \alpha = \frac(y)(x), A ctg \alpha=\frac(x)(y). Bundan belə çıxır tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Beləliklə, məna verdiyi eyni bucağın tangensi və kotangensi qarşılıqlı tərs ədədlərdir.
Tangens və kosinus, kotangens və sinus arasındakı əlaqələr
tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alfa)- \alpha və 1 bucağının tangensinin kvadratının cəmi bu bucağın kosinusunun tərs kvadratına bərabərdir. Bu identiklik bütün \alpha xaricində etibarlıdır \frac(\pi)(2)+ \pi z.
1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alfa)- 1-in cəmi və \alfa bucağının kotangentinin kvadratı verilmiş bucağın sinusunun tərs kvadratına bərabərdir. Bu eynilik \pi z-dən fərqli hər hansı \alpha üçün etibarlıdır.
Triqonometrik eyniliklərdən istifadə edərək problemlərin həlli ilə bağlı nümunələr
Misal 1
\sin \alpha və tg \alpha if tapın \cos \alpha=-\frac12 Və \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;
Həllini göstərin
Həll
\sin \alpha və \cos \alpha funksiyaları düsturla əlaqələndirilir \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Bu düsturla əvəz edilməsi \cos \alpha = -\frac12, alırıq:
\sin^(2)\alpha + \sol (-\frac12 \sağ)^2 = 1
Bu tənliyin 2 həlli var:
\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)
Şərtlə \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . İkinci rübdə sinus müsbətdir, buna görə də \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).
Tan \alpha tapmaq üçün düsturdan istifadə edirik tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)
tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3
Misal 2
\cos \alpha və əgər və əgər ctg \alpha tapın \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .
Həllini göstərin
Həll
Formulda əvəz edilməsi \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1 verilmiş nömrə \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), alırıq \sol (\frac(\sqrt3)(2)\sağ)^(2) + \cos^(2) \alfa = 1. Bu tənliyin iki həlli var \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.
Şərtlə \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . İkinci rübdə kosinus mənfi olur, yəni \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.
ctg \alpha tapmaq üçün düsturdan istifadə edirik ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Müvafiq dəyərləri bilirik.
ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).
Eramızdan əvvəl V əsrdə qədim yunan filosofu Eleyalı Zenon məşhur aporiyalarını tərtib etdi, ən məşhuru "Axilles və Tısbağa" aporiyasıdır. Bu belə səslənir:Tutaq ki, Axilles tısbağadan on dəfə tez qaçır və ondan min addım arxadadır. Bu məsafəni qaçmaq üçün Axillesə lazım olan müddət ərzində tısbağa eyni istiqamətdə yüz addım sürünəcək. Axilles yüz addım qaçanda, tısbağa daha on addım sürünür və s. Proses sonsuza qədər davam edəcək, Axilles heç vaxt tısbağaya yetişməyəcək.
Bu mülahizə bütün sonrakı nəsillər üçün məntiqi sarsıntıya çevrildi. Aristotel, Diogen, Kant, Hegel, Hilbert... Hamısı bu və ya digər şəkildə Zenon aporiyasını hesab edirdilər. Sarsıntı o qədər güclü idi ki, " ...müzakirələr bu günə qədər davam edir, elmi ictimaiyyət hələ də paradoksların mahiyyəti ilə bağlı ortaq fikrə gələ bilməyib...məsələnin araşdırılmasına cəlb edilib; riyazi analiz, çoxluq nəzəriyyəsi, yeni fiziki və fəlsəfi yanaşmalar; onların heç biri problemin ümumi qəbul edilmiş həllinə çevrilmədi..."[Vikipediya, "Zenonun Aporiyası". Hər kəs aldandıqlarını başa düşür, amma aldatmağın nədən ibarət olduğunu heç kim başa düşmür.
Riyazi nöqteyi-nəzərdən Zenon öz aporiyasında kəmiyyətdən -ə keçidi aydın şəkildə nümayiş etdirdi. Bu keçid daimi olanlar əvəzinə tətbiqi nəzərdə tutur. Mən başa düşdüyüm kimi, dəyişən ölçü vahidlərindən istifadə üçün riyazi aparat ya hələ hazırlanmayıb, ya da Zenon aporiyasına tətbiq edilməyib. Adi məntiqimizi tətbiq etmək bizi tələyə salır. Biz təfəkkürün ətalətinə görə qarşılıqlı dəyərə sabit zaman vahidlərini tətbiq edirik. Fiziki nöqteyi-nəzərdən bu, Axillesin tısbağaya yetişdiyi anda tamamilə dayanana qədər yavaşlamağa bənzəyir. Zaman dayanarsa, Axilles daha tısbağadan qaça bilməz.
Adi məntiqimizi tərsinə çevirsək, hər şey öz yerinə düşür. Axilles sabit sürətlə qaçır. Onun yolunun hər bir sonrakı seqmenti əvvəlkindən on dəfə qısadır. Müvafiq olaraq, onu aradan qaldırmaq üçün sərf olunan vaxt əvvəlkindən on dəfə azdır. Bu vəziyyətdə “sonsuzluq” anlayışını tətbiq etsək, “Axilles sonsuz sürətlə tısbağaya yetişəcək” demək düzgün olardı.
Bu məntiqi tələdən necə qaçmaq olar? Sabit zaman vahidlərində qalın və qarşılıqlı vahidlərə keçməyin. Zenon dilində bu belə görünür:
Axillesin min addım qaçması lazım olan müddətdə, tısbağa eyni istiqamətdə yüz addım sürünəcək. Birinciyə bərabər olan növbəti vaxt intervalında Axilles daha min addım qaçacaq, tısbağa isə yüz addım sürünəcək. İndi Axilles tısbağadan səkkiz yüz addım qabaqdadır.
Bu yanaşma heç bir məntiqi paradoks olmadan reallığı adekvat şəkildə təsvir edir. Ancaq bu problemin tam həlli deyil. Eynşteynin işıq sürətinin qarşısıalınmazlığı ilə bağlı ifadəsi Zenonun “Axilles və Tısbağa” aporiyasına çox bənzəyir. Biz hələ də bu problemi öyrənməli, yenidən düşünməli və həll etməliyik. Və həlli sonsuz sayda deyil, ölçü vahidlərində axtarmaq lazımdır.
Zenonun başqa bir maraqlı aporiyası uçan oxdan bəhs edir:
Uçan ox hərəkətsizdir, çünki zamanın hər anında dincəlməkdədir və hər an istirahətdə olduğu üçün həmişə sükunətdədir.
Bu aporiyada məntiqi paradoks çox sadə şəkildə aradan qaldırılır - hər an uçan oxun kosmosun müxtəlif nöqtələrində sükunətdə olduğunu aydınlaşdırmaq kifayətdir ki, bu da əslində hərəkətdir. Burada başqa bir məqamı da qeyd etmək lazımdır. Yolda olan bir avtomobilin bir fotoşəkilindən onun nə hərəkət faktını, nə də ona olan məsafəni müəyyən etmək mümkün deyil. Avtomobilin hərəkət edib-etmədiyini müəyyən etmək üçün eyni nöqtədən zamanın müxtəlif nöqtələrində çəkilmiş iki fotoşəkil lazımdır, lakin siz onlardan məsafəni təyin edə bilməzsiniz. Avtomobilə olan məsafəni müəyyən etmək üçün bir anda kosmosun müxtəlif nöqtələrindən çəkilmiş iki fotoşəkil lazımdır, lakin onlardan hərəkət faktını müəyyən edə bilməzsiniz (əlbəttə ki, hesablamalar üçün hələ də əlavə məlumat lazımdır, triqonometriya sizə kömək edəcəkdir ). Nəyi qeyd etmək istəyirəm xüsusi diqqət, zamanın iki nöqtəsi və kosmosun iki nöqtəsi fərqli şeylərdir ki, onları qarışdırmaq olmaz, çünki onlar tədqiqat üçün müxtəlif imkanlar verir.
Çərşənbə, 4 iyul 2018-ci il
Set və multiset arasındakı fərqlər Vikipediyada çox yaxşı təsvir edilmişdir. Gəlin görək.
Gördüyünüz kimi, "bir çoxluqda iki eyni element ola bilməz", lakin çoxluqda eyni elementlər varsa, belə çoxluğa "multiset" deyilir. Ağıllı varlıqlar heç vaxt belə absurd məntiqi başa düşməyəcəklər. Bu, danışan tutuquşuların və öyrədilmiş meymunların səviyyəsidir, onlar "tamamilə" sözündən heç bir zəkaya sahib deyillər. Riyaziyyatçılar adi təlimçilər kimi çıxış edərək öz absurd fikirlərini bizə təbliğ edirlər.
Bir vaxtlar körpünü tikən mühəndislər körpünü sınaqdan keçirərkən körpünün altında qayıqda olublar. Körpü dağılırsa, orta səviyyəli mühəndis yaratdığının dağıntıları altında ölür. Əgər körpü yükə tab gətirə bilsəydi, istedadlı mühəndis başqa körpülər də tikdi.
Riyaziyyatçılar “mənə fikir ver, mən evdəyəm”, daha doğrusu, “riyaziyyat mücərrəd anlayışları öyrənir” ifadəsinin arxasında nə qədər gizlənsələr də, onları reallıqla ayrılmaz şəkildə birləşdirən bir göbək bağı var. Bu göbək bağı puldur. Riyazi çoxluqlar nəzəriyyəsini riyaziyyatçıların özlərinə tətbiq edək.
Biz riyaziyyatı çox yaxşı oxumuşuq və indi kassada oturub maaş veririk. Beləliklə, bir riyaziyyatçı pulu üçün bizə gəlir. Bütün məbləği ona hesablayırıq və eyni nominallı əskinasları qoyduğumuz müxtəlif yığınlarda masamıza qoyuruq. Sonra hər yığından bir veksel götürürük və riyaziyyatçıya onun “riyazi əmək haqqı dəstini” veririk. Riyaziyyatçıya başa salaq ki, o, yalnız eyni elementləri olmayan çoxluğun eyni elementli çoxluğa bərabər olmadığını sübut etdikdə qalan əskinasları alacaq. Əyləncə burada başlayır.
İlk növbədə deputatların məntiqi işləyəcək: “Bunu başqalarına şamil etmək olar, mənə yox!”. Sonra bizi əmin etməyə başlayacaqlar ki, eyni nominallı əskinasların müxtəlif əskinas nömrələri var, yəni onları eyni elementlər hesab etmək olmaz. Yaxşı, maaşları sikkələrlə hesablayaq - sikkələrdə rəqəmlər yoxdur. Burada riyaziyyatçı çılğınlıqla fizikanı xatırlamağa başlayacaq: müxtəlif sikkələr var müxtəlif miqdarlar Hər sikkənin çirki, kristal quruluşu və atom düzülüşü unikaldır...
İndi isə ən çox məndə var maraqlı sual: çoxlu çoxluğun elementlərinin çoxluğun elementlərinə və əksinə çevrildiyi xətt haradadır? Belə bir xətt yoxdur - hər şeyi şamanlar həll edir, elm burada yatmağa belə yaxın deyil.
Bura baxın. Biz seçirik futbol stadionları eyni sahə ilə. Sahələrin sahələri eynidir - bu o deməkdir ki, bizim multisetimiz var. Amma bu eyni stadionların adlarına nəzər salsaq, adları fərqli olduğu üçün çoxunu alırıq. Gördüyünüz kimi, eyni elementlər dəsti həm çoxluq, həm də multisetdir. Hansı düzgündür? Və burada riyaziyyatçı-şaman-kəskin qolundan bir kozır çıxarır və bizə ya dəst, ya da multiset haqqında danışmağa başlayır. Hər halda o, bizi haqlı olduğuna inandıracaq.
Müasir şamanların çoxluq nəzəriyyəsi ilə necə işlədiyini, onu reallığa bağladığını başa düşmək üçün bir suala cavab vermək kifayətdir: bir çoxluğun elementləri digər çoxluğun elementlərindən nə ilə fərqlənir? Mən sizə göstərəcəyəm, heç bir "tək bir bütöv olaraq düşünülə bilməz" və ya "tək bir bütöv olaraq düşünülə bilməz".
Bazar günü, 18 mart 2018-ci il
Ədədin rəqəmlərinin cəmi riyaziyyatla heç bir əlaqəsi olmayan şamanların qavalla rəqsidir. Bəli, riyaziyyat dərslərində bizə ədədin rəqəmlərinin cəmini tapıb ondan istifadə etməyi öyrədirlər, amma buna görə də onlar şamandırlar, öz nəsillərinə öz bacarıqlarını və hikmətlərini öyrətmək, əks halda şamanlar sadəcə olaraq öləcəklər.
Sizə sübut lazımdır? Vikipediyanı açın və "Rəqəmlərin cəmi" səhifəsini tapmağa çalışın. O, mövcud deyil. Riyaziyyatda hər hansı bir ədədin rəqəmlərinin cəmini tapmaq üçün istifadə edilə bilən düstur yoxdur. Axı, nömrələr rəqəmləri yazdığımız qrafik simvollardır və riyaziyyatın dilində tapşırıq belə səslənir: "İstənilən rəqəmi təmsil edən qrafik simvolların cəmini tapın." Riyaziyyatçılar bu problemi həll edə bilməzlər, lakin şamanlar bunu asanlıqla həll edə bilərlər.
Verilmiş ədədin rəqəmlərinin cəmini tapmaq üçün nə və necə etdiyimizi anlayaq. Beləliklə, 12345 rəqəminə sahib olaq. Bu ədədin rəqəmlərinin cəmini tapmaq üçün nə etmək lazımdır? Bütün addımları ardıcıllıqla nəzərdən keçirək.
1. Nömrəni bir kağız parçasına yazın. Biz nə etmişik? Biz rəqəmi qrafik rəqəm simvoluna çevirdik. Bu riyazi əməliyyat deyil.
2. Yaranan bir şəkli fərdi nömrələrdən ibarət bir neçə şəkilə kəsin. Şəklin kəsilməsi riyazi əməliyyat deyil.
3. Fərdi qrafik simvolları rəqəmlərə çevirin. Bu riyazi əməliyyat deyil.
4. Yaranan rəqəmləri əlavə edin. İndi bu riyaziyyatdır.
12345 rəqəminin rəqəmlərinin cəmi 15-dir. Bunlar riyaziyyatçıların istifadə etdikləri şamanların öyrətdiyi “kəsmə və tikiş kursları”dır. Ancaq bu, hamısı deyil.
Riyazi nöqteyi-nəzərdən ədədi hansı say sistemində yazmağımızın fərqi yoxdur. Beləliklə, in müxtəlif sistemlər Hesablamada eyni ədədin rəqəmlərinin cəmi fərqli olacaq. Riyaziyyatda say sistemi rəqəmin sağında alt yazı kimi göstərilir. İLƏ böyük rəqəm 12345 Başımı aldatmaq istəmirəm, haqqında məqalədən 26 nömrəsinə baxaq. Bu ədədi ikilik, səkkizlik, onluq və onaltılıq say sistemlərində yazaq. Biz hər addıma mikroskop altında baxmayacağıq; Nəticəyə baxaq.
Göründüyü kimi müxtəlif say sistemlərində eyni ədədin rəqəmlərinin cəmi fərqli olur. Bu nəticənin riyaziyyatla heç bir əlaqəsi yoxdur. Düzbucaqlının sahəsini metr və santimetrlə təyin etsəniz, tamamilə fərqli nəticələr əldə edəcəksiniz.
Sıfır bütün say sistemlərində eyni görünür və rəqəmlərin cəmi yoxdur. Bu, bunun lehinə başqa bir arqumentdir. Riyaziyyatçılar üçün sual: riyaziyyatda rəqəm olmayan bir şey necə təyin olunur? Nə, riyaziyyatçılar üçün rəqəmlərdən başqa heç nə yoxdur? Mən buna şamanlar üçün icazə verə bilərəm, amma alimlər üçün yox. Reallıq təkcə rəqəmlərdən ibarət deyil.
Alınan nəticə say sistemlərinin ədədlər üçün ölçü vahidləri olduğuna sübut kimi qəbul edilməlidir. Axı biz ədədləri müxtəlif ölçü vahidləri ilə müqayisə edə bilmərik. Eyni kəmiyyətin müxtəlif ölçü vahidləri ilə eyni hərəkətlər səbəb olarsa fərqli nəticələr onları müqayisə etdikdən sonra bunun riyaziyyatla heç bir əlaqəsi yoxdur.
Əsl riyaziyyat nədir? Bu, riyazi əməliyyatın nəticəsinin rəqəmin ölçüsündən, istifadə olunan ölçü vahidindən və bu hərəkəti kimin yerinə yetirməsindən asılı olmadığı zamandır.
Oh! Bura qadın tualeti deyilmi?
- Gənc qadın! Bu, ruhların cənnətə yüksəlişləri zamanı onların qeyri-adi müqəddəsliyini öyrənmək üçün laboratoriyadır! Üstdə halo və yuxarı ox. Başqa hansı tualet?
Qadın... Üstündəki halo və aşağı ox kişidir.
Əgər gündə bir neçə dəfə gözünüzün qarşısında belə bir şey yanıb-sönürsə dizayn sənəti,
Sonra avtomobilinizdə birdən qəribə bir simvol tapmağınız təəccüblü deyil:
Şəxsən mən nəcis edən insanda mənfi dörd dərəcə görməyə çalışıram (bir şəkil) (bir neçə şəkildən ibarət kompozisiya: mənfi işarə, dörd rəqəm, dərəcə təyinatı). Və mən bu qızın fizikanı bilməyən axmaq olduğunu düşünmürəm. O, sadəcə olaraq qrafik şəkilləri qəbul etməkdə güclü stereotipə malikdir. Riyaziyyatçılar bunu bizə hər zaman öyrədirlər. Budur bir nümunə.
1A “mənfi dörd dərəcə” və ya “bir a” deyil. Bu, "pooping man" və ya onaltılıq qeyddə "iyirmi altı" rəqəmidir. Daim bu say sistemində işləyən insanlar avtomatik olaraq rəqəmi və hərfi bir qrafik simvol kimi qəbul edirlər.
Məqalədə əsas triqonometrik eyniliklər ətraflı təsvir olunur. Bir funksiya məlumdursa, onun vasitəsilə digər funksiyanı tapmaq olar.
Bu məqalədə nəzərə alınacaq triqonometrik eyniliklər. Aşağıda izahatla onların törəmə nümunəsini göstəririk.
sin 2 α + cos 2 α = 1 t g α = sin α cos α , c t g α = cos α sin α t g α c t g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α
Yandex.RTB R-A-339285-1
Triqonometriyanın əsası sayılan mühüm triqonometrik eynilikdən danışaq.
sin 2 α + cos 2 α = 1
Verilmiş t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α, 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α bərabərlikləri əsas hissədən hər iki hissəni sin 2 α və cos 2 α-ya bölmək yolu ilə alınır. Bundan sonra t g α = sin α cos α, c t g α = cos α sin α və t g α · c t g α = 1 alırıq - bu, sinus, kosinus, tangens və kotangensin təriflərinin nəticəsidir.
sin 2 α + cos 2 α = 1 bərabərliyi əsas triqonometrik eynilikdir. Bunu sübut etmək üçün vahid dairənin mövzusuna müraciət etmək lazımdır.
α bucağı ilə fırlanandan sonra A 1 nöqtəsinə çevrilən A (1, 0) nöqtəsinin koordinatları verilsin. Sin və cos tərifinə əsasən, A 1 nöqtəsi koordinatları (cos α, sin α) alacaq. A 1 vahid dairənin daxilində yerləşdiyinə görə, bu o deməkdir ki, koordinatlar bu dairənin x 2 + y 2 = 1 şərtini təmin etməlidir. cos 2 α + sin 2 α = 1 ifadəsi etibarlı olmalıdır. Bunun üçün əsası sübut etmək lazımdır triqonometrik eynilik bütün fırlanma bucaqları üçün α.
Triqonometriyada sin 2 α + cos 2 α = 1 ifadəsi triqonometriyada Pifaqor teoremi kimi istifadə olunur. Bunu etmək üçün ətraflı sübutu nəzərdən keçirin.
Vahid çevrədən istifadə edərək, koordinatları (1, 0) olan A nöqtəsini mərkəzi O nöqtəsi ətrafında α bucağı ilə döndəririk. Fırlanmadan sonra nöqtə koordinatlarını dəyişir və A 1-ə (x, y) bərabər olur. A 1 nöqtəsindən A 1 H perpendikulyar xəttini O x-ə endiririk.
Şəkil açıq şəkildə göstərir ki, O A 1 N düzbucaqlı üçbucaq əmələ gəlib. O A 1 N və O N ayaqlarının modulu bərabərdir, giriş aşağıdakı formanı alacaq: | A 1 H | = | y | , | O N | = | x | . O A 1 hipotenuzası vahid dairənin radiusuna bərabər qiymətə malikdir, | O A 1 | = 1. Bu ifadədən istifadə edərək Pifaqor teoremindən istifadə edərək bərabərliyi yaza bilərik: | A 1 N | 2 + | O N | 2 = | O A 1 | 2. Bu bərabərliyi | kimi yazaq y | 2 + | x | 2 = 1 2, yəni y 2 + x 2 = 1.
sin α = y və cos α = x tərifindən istifadə edərək, nöqtələrin koordinatlarının əvəzinə bucaq məlumatlarını əvəz edirik və sin 2 α + cos 2 α = 1 bərabərsizliyinə keçirik.
Bucağın sin və cos arasındakı əsas əlaqə bu triqonometrik eynilik vasitəsilə mümkündür. Beləliklə, məlum cos ilə bucağın günahını və əksinə hesablaya bilərik. Bunun üçün sin 2 α + cos 2 = 1-i sin və cos-a münasibətdə həll etmək lazımdır, sonra sin α = ± 1 - cos 2 α və cos α = ± 1 - sin 2 α formasının ifadələrini alırıq. , müvafiq olaraq. α bucağının böyüklüyü ifadənin kökünün qarşısındakı işarəni təyin edir. Ətraflı izahat üçün triqonometrik düsturlardan istifadə edərək sinus, kosinus, tangens və kotangensin hesablanması bölməsini oxumaq lazımdır.
Çox vaxt əsas düstur triqonometrik ifadələri çevirmək və ya sadələşdirmək üçün istifadə olunur. Sinus və kosinusun kvadratlarının cəmini 1 ilə əvəz etmək mümkündür. Şəxsiyyətin dəyişdirilməsi birbaşa və ya tərs qaydada ola bilər: vahid sinus və kosinusun kvadratlarının cəminin ifadəsi ilə əvəz olunur.
Sinus və kosinus vasitəsilə tangens və kotangens
Kosinus və sinus, tangens və kotangensin tərifindən aydın olur ki, onlar bir-biri ilə bağlıdır, bu da lazımi kəmiyyətləri ayrıca çevirməyə imkan verir.
t g α = sin α cos α c t g α = cos α sin α
Tərifdən sinus y-nin ordinatıdır, kosinus isə x-in absisidir. Tangens ordinat və absis arasındakı əlaqədir. Beləliklə, bizdə:
t g α = y x = sin α cos α və kotangent ifadəsi əks məna daşıyır, yəni.
c t g α = x y = cos α sin α .
Buradan belə nəticə çıxır ki, nəticədə t g α = sin α cos α və c t g α = cos α sin α eynilikləri sin və cos bucaqlarından istifadə etməklə dəqiqləşdirilir. Tangens sinusun aralarındakı bucağın kosinusuna nisbəti hesab edilir, kotangens isə əksinədir.
Qeyd edək ki, t g α = sin α cos α və c t g α = cos α sin α dəyərləri diapazona daxil olan α bucağının istənilən dəyəri üçün doğrudur. t g α = sin α cos α düsturundan α bucağının qiyməti π 2 + π · z-dən fərqlidir və c t g α = cos α sin α π · z-dən fərqli α bucağının qiymətini alır, z bucağın qiymətini alır. istənilən tam ədədin dəyəri.
Tangens və kotangens arasındakı əlaqə
Tangens və kotangens vasitəsilə bucaqlar arasındakı əlaqəni göstərən bir düstur var. Bu triqonometrik eynilik triqonometriyada vacibdir və t g α · c t g α = 1 kimi işarələnir. π 2 · z-dən başqa istənilən qiymətə malik α üçün məna kəsb edir, əks halda funksiyalar müəyyən edilməyəcək.
t g α · c t g α = 1 düsturu sübutda özünəməxsus xüsusiyyətlərə malikdir. Tərifdən əldə edirik ki, t g α = y x və c t g α = x y, deməli, t g α · c t g α = y x · x y = 1 alırıq. İfadəsini çevirərək t g α = sin α cos α və c t g α = cos α sin α əvəz edərək, t g α · c t g α = sin α cos α · cos α sin α = 1 alırıq.
Onda tangens və kotangensin ifadəsi nəticədə qarşılıqlı tərs ədədlər əldə etdiyimiz zaman mənasını verir.
Tangens və kosinus, kotangens və sinus
Əsas eynilikləri dəyişdirərək belə nəticəyə gəlirik ki, tangens kosinus, kotangens isə sinus vasitəsilə əlaqələndirilir. Bunu t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α, 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α düsturlarından görmək olar.
Tərif aşağıdakı kimidir: bucağın və 1-in tangensinin kvadratının cəmi kəsrə bərabərdir, burada payda 1, məxrəcdə isə verilmiş bucağın kosinusunun kvadratı və cəmi var. bucağın kotangentinin kvadratının əksidir. sin 2 α + cos 2 α = 1 triqonometrik eyniliyi sayəsində biz uyğun tərəfləri cos 2 α-ya bölmək və t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α ala bilərik, burada cos 2 α dəyəri bərabər olmamalıdır. sıfır. sin 2 α-ya böldükdə 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α eyniliyini əldə edirik, burada sin 2 α-nın qiyməti sıfıra bərabər olmamalıdır.
Yuxarıdakı ifadələrdən biz tapdıq ki, t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α eyniliyi π 2 + π · z-ə aid olmayan α bucağının bütün qiymətləri üçün doğrudur və 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 π · z intervalına aid olmayan α qiymətləri üçün α.
Mətndə xəta görsəniz, onu vurğulayın və Ctrl+Enter düymələrini basın
