Arifmetik irəliləyişədədlər ardıcıllığını adlandırın (proqresiyanın şərtləri)

Hər bir sonrakı termin əvvəlkindən yeni bir terminlə fərqlənir ki, bu da adlanır addım və ya irəliləyiş fərqi.

Beləliklə, irəliləyiş addımını və onun birinci müddətini göstərərək, düsturdan istifadə edərək onun hər hansı elementini tapa bilərsiniz

Arifmetik irəliləyişin xassələri

1) Arifmetik irəliləyişin hər bir üzvü, ikinci nömrədən başlayaraq, irəliləyişin əvvəlki və sonrakı üzvlərinin arifmetik ortasıdır.

Bunun əksi də doğrudur. Əgər irəliləyişin bitişik tək (cüt) hədlərinin arifmetik ortası onların arasında duran terminə bərabərdirsə, onda bu ədədlər ardıcıllığı arifmetik irəliləyişdir. Bu ifadədən istifadə edərək istənilən ardıcıllığı yoxlamaq çox asandır.

Həmçinin, arifmetik irəliləyiş xüsusiyyətinə görə yuxarıdakı düstur aşağıdakılara ümumiləşdirilə bilər

Şərtləri bərabər işarəsinin sağına yazsanız, bunu yoxlamaq asandır

Problemlərdə hesablamaları sadələşdirmək üçün praktikada tez-tez istifadə olunur.

2) Arifmetik proqresiyanın ilk n üzvünün cəmi düsturdan istifadə etməklə hesablanır

Arifmetik irəliləyişin cəminin düsturunu yaxşı xatırlayın, bu, hesablamalarda əvəzolunmazdır və çox vaxt sadə həyat vəziyyətlərində tapılır.

3) Əgər bütün cəmini deyil, ardıcıllığın onun k-ci həddi ilə başlayan hissəsini tapmaq lazımdırsa, onda aşağıdakı cəmi düsturu sizin üçün faydalı olacaq.

4) k-ci ədəddən başlayaraq arifmetik irəliləyişin n üzvünün cəmini tapmaq praktiki maraq doğurur. Bunu etmək üçün formuladan istifadə edin

Bununla nəzəri materialı yekunlaşdırır və praktikada ümumi problemlərin həllinə keçir.

Nümunə 1. 4;7;... arifmetik irəliləyişin qırxıncı həddi tapın.

Həlli:

Bizdə olan şəraitə görə

Tərəqqi addımını müəyyən edək

Tanınmış bir düsturdan istifadə edərək, irəliləyişin qırxıncı həddini tapırıq

Misal 2.

Həlli:

Arifmetik irəliləyiş onun üçüncü və yeddinci hədləri ilə verilir. Proqresiyanın birinci həddi ilə onluğun cəmini tapın.

Düsturlardan istifadə edərək irəliləyişin verilmiş elementlərini yazaq

İkinci tənlikdən birincini çıxarırıq, nəticədə irəliləmə addımını tapırıq

Arifmetik irəliləyişin birinci həddini tapmaq üçün tapılan dəyəri hər hansı tənlikdə əvəz edirik.

Proqresiyanın ilk on şərtinin cəmini hesablayırıq

Misal 3. Arifmetik irəliləyiş məxrəc və onun şərtlərindən biri ilə verilir. Proqresiyanın birinci üzvünü, 50-dən başlayan 50 üzvünün cəmini və ilk 100-ün cəmini tapın.

Həlli:

Proqresiyanın yüzüncü elementinin düsturunu yazaq

və birincisini tapın

Birinciyə əsaslanaraq, irəliləyişin 50-ci dövrünü tapırıq

Proqresiyanın hissəsinin cəminin tapılması

və ilk 100-ün cəmi

İrəliləmə məbləği 250-dir.

Misal 4.

Arifmetik irəliləyişin hədlərinin sayını tapın, əgər:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Həlli:

Tənlikləri birinci həd və tərəqqi addımı baxımından yazıb müəyyən edək

Cəmdəki şərtlərin sayını müəyyən etmək üçün əldə edilmiş dəyərləri cəmi düsturla əvəz edirik

Biz sadələşdirmələr aparırıq

və kvadrat tənliyi həll edin

Tapılan iki dəyərdən yalnız 8 rəqəmi problem şərtlərinə uyğun gəlir. Beləliklə, irəliləyişin ilk səkkiz şərtinin cəmi 111-dir.

Misal 5.

Tənliyi həll edin

1+3+5+...+x=307.

Həlli: Bu tənlik arifmetik irəliləyişin cəmidir. Gəlin onun birinci şərtini yazaq və irəliləmə fərqini tapaq

Bəzi insanlar “tərəqqi” sözünə ehtiyatla yanaşır, ali riyaziyyatın qollarından çox mürəkkəb bir termindir. Və hələ də ən sadə arifmetik irəliləyiş- taksi sayğacının işi (hələ də qaldıqları yerdə). Bir neçə elementar anlayışı təhlil edərək arifmetik ardıcıllığın mahiyyətini (və riyaziyyatda “mahiyyəti dərk etməkdən” vacib heç nə yoxdur) başa düşmək o qədər də çətin deyil.

Riyazi ədədlər ardıcıllığı

Ədədi ardıcıllığa adətən hər birinin öz nömrəsi olan bir sıra nömrələr deyilir.

a 1 ardıcıllığın ilk üzvüdür;

və 2 ardıcıllığın ikinci şərtidir;

və 7 ardıcıllığın yeddinci üzvüdür;

n isə ardıcıllığın n-ci üzvüdür;

Bununla belə, heç bir ixtiyari nömrələr və rəqəmlər dəsti bizi maraqlandırmır. Diqqətimizi n-ci həddinin qiymətinin onun sıra nömrəsi ilə riyazi şəkildə aydın şəkildə ifadə oluna bilən əlaqə ilə əlaqəli olduğu ədədi ardıcıllığa yönəldəcəyik. Başqa sözlə: n-ci ədədin ədədi qiyməti n-in hansısa funksiyasıdır.

a ədədi ardıcıllığın üzvünün qiymətidir;

n onun seriya nömrəsidir;

f(n) funksiyadır, burada n ədədi ardıcıllıqdakı sıra nömrəsi arqumentdir.

Tərif

Arifmetik irəliləyiş adətən hər bir sonrakı terminin əvvəlkindən eyni sayda böyük (kiçik) olduğu ədədi ardıcıllıq adlanır. Arifmetik ardıcıllığın n-ci həddi üçün düstur aşağıdakı kimidir:

a n - arifmetik irəliləyişin cari üzvünün qiyməti;

a n+1 - növbəti ədədin düsturu;

d - fərq (müəyyən sayda).

Müəyyən etmək asandır ki, fərq müsbət olarsa (d>0), onda nəzərdən keçirilən silsilənin hər bir sonrakı üzvü əvvəlkindən böyük olacaq və belə arifmetik irəliləyiş artacaq.

Aşağıdakı qrafikdə nömrə ardıcıllığının niyə “artan” adlandırıldığını görmək asandır.

Fərqin mənfi olduğu hallarda (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Müəyyən edilmiş üzv dəyəri

Bəzən arifmetik irəliləyişin hər hansı ixtiyari a n-nin qiymətini təyin etmək lazımdır. Bu, birincidən istədiyinizə qədər arifmetik irəliləyişin bütün üzvlərinin dəyərlərini ardıcıl olaraq hesablamaqla edilə bilər. Lakin, məsələn, beş mininci və ya səkkiz milyonuncu terminin dəyərini tapmaq lazımdırsa, bu yol həmişə məqbul deyil. Ənənəvi hesablamalar çox vaxt aparacaq. Bununla belə, müəyyən arifmetik irəliləyiş müəyyən düsturlardan istifadə etməklə öyrənilə bilər. n-ci həd üçün də bir düstur var: arifmetik irəliləyişin hər hansı bir üzvünün qiyməti, irəliləyişin fərqi ilə irəliləyişin birinci həddinin cəmi kimi müəyyən edilə bilər, istədiyiniz hədd sayına vurulur, azalır. bir.

Formula irəliləyişin artması və azalması üçün universaldır.

Verilmiş bir terminin dəyərinin hesablanması nümunəsi

Arifmetik irəliləyişin n-ci üzvünün qiymətini tapmaq üçün aşağıdakı məsələni həll edək.

Şərt: parametrləri olan arifmetik irəliləyiş var:

Ardıcıllığın birinci həddi 3-dür;

Nömrələr seriyasındakı fərq 1,2-dir.

Tapşırıq: 214 şərtin qiymətini tapmaq lazımdır

Həlli: verilmiş terminin dəyərini müəyyən etmək üçün düsturdan istifadə edirik:

a(n) = a1 + d(n-1)

Problem ifadəsindəki məlumatları ifadəyə əvəz edərək, əldə edirik:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Cavab: Ardıcıllığın 214-cü həddi 258,6-ya bərabərdir.

Bu hesablama metodunun üstünlükləri göz qabağındadır - bütün həll 2 sətirdən çox deyil.

Verilmiş sayda terminlərin cəmi

Çox vaxt müəyyən bir arifmetik seriyada onun bəzi seqmentlərinin qiymətlərinin cəmini müəyyən etmək lazımdır. Bunu etmək üçün hər bir terminin dəyərlərini hesablamağa və sonra onları əlavə etməyə ehtiyac yoxdur. Bu üsul, cəmi tapılmalı olan terminlərin sayı az olduqda tətbiq edilir. Digər hallarda aşağıdakı düsturdan istifadə etmək daha rahatdır.

1-dən n-ə qədər olan arifmetik irəliləyişin hədlərinin cəmi birinci və n-ci hədlərin cəminə bərabərdir, n həddinin sayına vurulur və ikiyə bölünür. Düsturda n-ci həddin qiyməti məqalənin əvvəlki abzasındakı ifadə ilə əvəz edilərsə, alırıq:

Hesablama nümunəsi

Məsələn, aşağıdakı şərtlərlə problemi həll edək:

Ardıcıllığın birinci üzvü sıfırdır;

Fərq 0,5-dir.

Problem 56-dan 101-ə qədər seriyanın şərtlərinin cəminin müəyyən edilməsini tələb edir.

Həll. Proqresiyanın miqdarını təyin etmək üçün düsturdan istifadə edək:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Əvvəlcə problemimizin verilmiş şərtlərini düsturla əvəz etməklə irəliləyişin 101 şərtlərinin qiymətlərinin cəmini təyin edirik:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2,525

Aydındır ki, 56-dan 101-ə qədər irəliləyişin şərtlərinin cəmini tapmaq üçün S 101-dən S 55-i çıxarmaq lazımdır.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Beləliklə, bu nümunə üçün arifmetik irəliləyişin cəmi:

s 101 - s 55 = 2,525 - 742,5 = 1,782,5

Arifmetik proqresiyanın praktik tətbiqi nümunəsi

Məqalənin sonunda birinci abzasda verilən arifmetik ardıcıllıq nümunəsinə - taksimetrə (taksi avtomobili sayğacı) qayıdaq. Bu misalı nəzərdən keçirək.

Taksiyə minmək (buraya 3 km səyahət daxildir) 50 rubla başa gəlir. Hər bir sonrakı kilometr 22 rubl/km dərəcəsi ilə ödənilir. Səyahət məsafəsi 30 km-dir. Gəzintinin qiymətini hesablayın.

1. Qiyməti eniş qiymətinə daxil olan ilk 3 km-i ataq.

30 - 3 = 27 km.

2. Sonrakı hesablama arifmetik ədədlər seriyasını təhlil etməkdən başqa bir şey deyil.

Üzv sayı - səyahət edilmiş kilometrlərin sayı (mənfi ilk üç).

Üzvün dəyəri cəmidir.

Bu problemdə ilk müddət 1 = 50 rubla bərabər olacaqdır.

Tərəqqi fərqi d = 22 r.

bizi maraqlandıran rəqəm arifmetik proqresiyanın (27+1)-ci həddinin qiymətidir - 27-ci kilometrin sonunda sayğacın göstəricisi 27,999... = 28 km-dir.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

Özbaşına uzun müddət üçün təqvim məlumatlarının hesablamaları müəyyən ədədi ardıcıllıqları təsvir edən düsturlara əsaslanır. Astronomiyada orbitin uzunluğu həndəsi cəhətdən göy cisminin ulduza olan məsafəsindən asılıdır. Bundan əlavə, müxtəlif ədəd seriyaları statistikada və riyaziyyatın digər tətbiqi sahələrində uğurla istifadə olunur.

Say ardıcıllığının başqa bir növü həndəsidir

Həndəsi irəliləyiş arifmetik irəliləyişlə müqayisədə daha çox dəyişmə sürəti ilə xarakterizə olunur. Təsadüfi deyil ki, siyasətdə, sosiologiyada, tibbdə müəyyən bir hadisənin, məsələn, xəstəliyin epidemiya zamanı yüksək yayılma sürətini göstərmək üçün prosesin həndəsi irəliləyişlə inkişaf etdiyini deyirlər.

Həndəsi ədədlər seriyasının N-ci həddi əvvəlkindən onunla fərqlənir ki, o, hansısa sabit ədədə vurulur - məxrəc, məsələn, birinci hədd 1, məxrəc müvafiq olaraq 2-yə bərabərdir, onda:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - həndəsi proqresiyanın cari müddətinin qiyməti;

b n+1 - həndəsi proqresiyanın növbəti həddinin düsturu;

q həndəsi irəliləyişin məxrəcidir (sabit ədəd).

Arifmetik irəliləyişin qrafiki düz xəttdirsə, həndəsi irəliləyiş bir qədər fərqli bir şəkil çəkir:

Arifmetikada olduğu kimi, həndəsi irəliləyişdə də ixtiyari bir müddətin qiyməti üçün bir düstur var. Həndəsi irəliləyişin hər hansı n-ci həddi birinci hədisin hasilinə və n-in gücünə bir azalmış irəliləyişin məxrəcinə bərabərdir:

Misal. Birinci həddi 3-ə, məxrəci isə 1,5-ə bərabər olan həndəsi irəliləyişimiz var. Proqresiyanın 5-ci həddini tapaq

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875

Verilmiş sayda terminlərin cəmi də xüsusi düsturla hesablanır. Həndəsi proqresiyanın ilk n hədlərinin cəmi, irəliləyişin n-ci həddi ilə onun məxrəci ilə irəliləyişin birinci həddi arasındakı fərqin bir azalmış məxrəcə bölünməsinə bərabərdir:

Əgər b n yuxarıda müzakirə olunan düsturla əvəz edilərsə, nəzərdən keçirilən ədəd seriyasının ilk n şərtlərinin cəminin qiyməti aşağıdakı formanı alacaq:

Misal. Həndəsi irəliləyiş 1-ə bərabər olan birinci həddlə başlayır. Məxrəc 3-ə təyin edilir. İlk səkkiz üzvün cəmini tapaq.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Giriş səviyyəsi

Arifmetik irəliləyiş. Nümunələrlə ətraflı nəzəriyyə (2019)

Nömrə ardıcıllığı

Beləliklə, oturaq və bir neçə rəqəm yazmağa başlayaq. Məsələn:
İstənilən rəqəmləri yaza bilərsiniz və onların sayı istədiyiniz qədər ola bilər (bizim vəziyyətimizdə onlar var). Nə qədər rəqəm yazsaq da, hər zaman hansının birinci, hansının ikinci olduğunu və s. sonuncuya qədər deyə bilərik, yəni nömrələyə bilərik. Bu nömrə ardıcıllığına bir nümunədir:

Nömrə ardıcıllığı
Məsələn, ardıcıllığımız üçün:

Təyin edilmiş nömrə ardıcıllıqla yalnız bir nömrəyə xasdır. Başqa sözlə, ardıcıllıqda üç saniyəlik rəqəm yoxdur. İkinci nömrə (ci nömrə kimi) həmişə eynidir.
Nömrəsi olan ədədə ardıcıllığın üçüncü üzvü deyilir.

Biz adətən bütün ardıcıllığı hansısa hərflə çağırırıq (məsələn,) və bu ardıcıllığın hər bir üzvü indeksi bu üzvün sayına bərabər olan eyni hərfdir: .

Bizim vəziyyətimizdə:

Tutaq ki, qonşu ədədlər arasındakı fərq eyni və bərabər olan bir sıra ardıcıllığımız var.
Məsələn:

və s.
Bu ədəd ardıcıllığına arifmetik irəliləyiş deyilir.
“Tərəqqi” termini hələ 6-cı əsrdə Roma müəllifi Boethius tərəfindən təqdim edilmişdir və daha geniş mənada sonsuz ədədi ardıcıllıq kimi başa düşülürdü. "Arifmetika" adı qədim yunanlar tərəfindən öyrənilən davamlı nisbətlər nəzəriyyəsindən köçürüldü.

Bu, hər bir üzvü eyni nömrəyə əlavə olunan əvvəlki birinə bərabər olan bir sıra ardıcıllığıdır. Bu ədəd arifmetik irəliləyişin fərqi adlanır və təyin olunur.

Hansı ədəd ardıcıllığının arifmetik irəliləyiş olduğunu və hansının olmadığını müəyyən etməyə çalışın:

a)
b)
c)
d)

Anladım? Cavablarımızı müqayisə edək:
edir arifmetik irəliləyiş - b, c.
deyil arifmetik irəliləyiş - a, d.

Verilmiş irəliləyişə () qayıdaq və onun ci üzvünün qiymətini tapmağa çalışaq. Mövcuddur iki tapmaq yolu.

1. Metod

Biz irəliləyişin 3-cü müddətinə çatana qədər irəliləyiş nömrəsini əvvəlki dəyərə əlavə edə bilərik. Yaxşı ki, ümumiləşdirəcək çox şeyimiz yoxdur - yalnız üç dəyər:

Deməli, təsvir olunan arifmetik irəliləyişin üçüncü həddi bərabərdir.

2. Metod

Əgər irəliləyişin ci həddinin qiymətini tapmaq lazım gəlsə nə etməli? Toplama bizə bir saatdan çox vaxt aparacaq və rəqəmlər əlavə edərkən səhv etməyəcəyimiz fakt deyil.
Təbii ki, riyaziyyatçılar elə bir üsul tapıblar ki, arifmetik irəliləyişin fərqini əvvəlki qiymətə əlavə etmək lazım deyil. Çəkilmiş şəklə daha yaxından baxın... Şübhəsiz ki, siz artıq müəyyən bir naxış görmüsünüz, yəni:

Məsələn, bu arifmetik irəliləyişin ci həddinin qiymətinin nədən ibarət olduğunu görək:

Başqa sözlə:

Verilmiş arifmetik irəliləyişin üzvünün qiymətini özünüz tapmağa çalışın.

Siz hesabladınız? Qeydlərinizi cavabla müqayisə edin:

Nəzərə alın ki, arifmetik irəliləyişin şərtlərini ardıcıl olaraq əvvəlki dəyərə əlavə etdikdə əvvəlki üsulda olduğu kimi eyni nömrəni aldınız.
Gəlin bu düsturu “şəxsiləşdirməyə” çalışaq - gəlin onu ümumi formada qoyaq və əldə edək:

Arifmetik irəliləyiş tənliyi.

Arifmetik irəliləyişlər artan və ya azalan ola bilər.

Artan- şərtlərin hər bir sonrakı dəyərinin əvvəlkindən böyük olduğu irəliləyişlər.
Məsələn:

Azalan- şərtlərin hər bir sonrakı dəyərinin əvvəlkindən az olduğu irəliləyişlər.
Məsələn:

Alınmış düstur arifmetik irəliləyişin həm artan, həm də azalan şərtlərində terminlərin hesablanmasında istifadə olunur.
Bunu praktikada yoxlayaq.
Bizə aşağıdakı ədədlərdən ibarət arifmetik irəliləyiş verilir: Gəlin onu hesablamaq üçün düsturumuzdan istifadə etsək, bu arifmetik irəliləyişin ci nömrəsinin neçə olacağını yoxlayaq:

O vaxtdan bəri:

Beləliklə, biz əmin olduq ki, düstur həm azalan, həm də artan arifmetik irəliləyişdə işləyir.
Bu arifmetik irəliləyişin ci və ci şərtlərini özünüz tapmağa çalışın.

Nəticələri müqayisə edək:

Arifmetik irəliləyiş xassəsi

Məsələni mürəkkəbləşdirək - arifmetik irəliləmənin xassəsini çıxaracağıq.
Tutaq ki, bizə aşağıdakı şərt verilib:
- arifmetik irəliləyiş, qiyməti tapın.
Asan, deyirsən və artıq bildiyin düsturla saymağa başlayırsan:

Qoy, ah, onda:

Tamamilə doğrudur. Belə çıxır ki, biz əvvəlcə tapırıq, sonra onu birinci nömrəyə əlavə edirik və axtardığımızı əldə edirik. Əgər irəliləyiş kiçik qiymətlərlə təmsil olunursa, onda bunda mürəkkəb bir şey yoxdur, bəs şərtdə bizə ədədlər verilsə nə olar? Razılaşın, hesablamalarda səhv etmək ehtimalı var.
İndi düşünün, hər hansı bir düsturdan istifadə edərək bu problemi bir addımda həll etmək mümkündürmü? Əlbəttə ki, bəli və indi ortaya çıxarmağa çalışacağımız budur.

Arifmetik irəliləyişin tələb olunan müddətini belə işarə edək ki, onu tapmaq üçün düstur bizə məlumdur - bu, əvvəldən əldə etdiyimiz düsturdur:
, Sonra:

irəliləyişin əvvəlki müddəti:
irəliləyişin növbəti müddəti:

Proqresiyanın əvvəlki və sonrakı şərtlərini ümumiləşdirək:

Belə çıxır ki, irəliləyişin əvvəlki və sonrakı hədlərinin cəmi onların arasında yerləşən irəliləyiş termininin ikiqat qiymətidir. Başqa sözlə desək, əvvəlki və ardıcıl qiymətləri məlum olan irəliləyiş termininin qiymətini tapmaq üçün onları əlavə edib bölmək lazımdır.

Düzdü, eyni nömrəni aldıq. Materialı qoruyaq. Tərəqqinin dəyərini özünüz hesablayın, bu heç də çətin deyil.

Əla! Siz inkişaf haqqında demək olar ki, hər şeyi bilirsiniz! Əfsanəyə görə, bütün zamanların ən böyük riyaziyyatçılarından biri, “riyaziyyatçıların kralı” Karl Qauss tərəfindən asanlıqla çıxarılan yalnız bir düstur tapmaq qalır...

Carl Gauss 9 yaşında olanda, digər siniflərdə şagirdlərin işini yoxlamaqla məşğul olan müəllim sinifdə aşağıdakı tapşırığı soruşdu: "Bütün natural ədədlərin cəmini (digər mənbələrə görə) daxil olmaqla hesablayın." Tələbələrindən biri (bu, Karl Qauss idi) bir dəqiqə sonra tapşırığa düzgün cavab verəndə, cəsarətli sinif yoldaşlarının çoxu uzun hesablamalardan sonra səhv nəticə alanda müəllimin təəccübünü təsəvvür edin...

Gənc Carl Gauss sizin də asanlıqla fərq edə biləcəyiniz müəyyən bir nümunə gördü.
Tutaq ki, --ci həddlərdən ibarət arifmetik irəliləyişimiz var: Arifmetik irəliləyişin bu üzvlərinin cəmini tapmaq lazımdır. Əlbəttə ki, biz bütün dəyərləri əl ilə cəmləyə bilərik, lakin əgər tapşırıq Qaussun axtardığı kimi onun şərtlərinin cəmini tapmağı tələb edirsə, onda necə?

Bizə verilən irəliləyişi təsvir edək. Vurğulanmış nömrələrə diqqətlə baxın və onlarla müxtəlif riyazi əməliyyatlar aparmağa çalışın.

Siz cəhd etmisiniz? Nə fərq etdiniz? Doğru! Onların məbləğləri bərabərdir

İndi mənə deyin, bizə verilən irəliləyişdə cəmi neçə belə cüt var? Əlbəttə ki, bütün nömrələrin tam yarısı, yəni.
Arifmetik irəliləyişin iki üzvünün cəminin bərabər və oxşar cütlərin bərabər olmasına əsaslanaraq, ümumi cəmin bərabər olduğunu alırıq:
.
Beləliklə, hər hansı arifmetik irəliləyişin ilk üzvlərinin cəminin düsturu belə olacaq:

Bəzi məsələlərdə biz ci termini bilmirik, lakin irəliləyişin fərqini bilirik. Cəm düsturunda ci həddin düsturunu əvəz etməyə çalışın.
Nə aldınız?

Əla! İndi isə qayıdaq Karl Qaussa verilən məsələyə: özünüz hesablayın ki, ci-dən başlayan ədədlərin cəmi nəyə bərabərdir və ci-dən başlayan rəqəmlərin cəmi nəyə bərabərdir.

Nə qədər aldınız?
Qauss tapdı ki, şərtlərin cəmi bərabərdir və şərtlərin cəmi. Siz belə qərar verdiniz?

Əslində, arifmetik irəliləyişin hədlərinin cəminin düsturunu hələ III əsrdə qədim yunan alimi Diofant sübut etmiş və bu müddət ərzində hazırcavab insanlar arifmetik irəliləyişin xüsusiyyətlərindən tam istifadə etmişlər.
Məsələn, Qədim Misiri və o dövrün ən böyük tikinti layihəsini - piramidanın tikintisini təsəvvür edin... Şəkildə onun bir tərəfi göstərilir.

Burada irəliləyiş haradadır, deyirsiniz? Diqqətlə baxın və piramida divarının hər cərgəsindəki qum bloklarının sayında bir nümunə tapın.

Niyə arifmetik irəliləyiş olmasın? Blok kərpiclər bazaya qoyularsa, bir divar qurmaq üçün neçə blok lazım olduğunu hesablayın. Ümid edirəm ki, barmağınızı monitorda hərəkət etdirərkən saymayacaqsınız, son düstur və arifmetik irəliləyiş haqqında dediyimiz hər şeyi xatırlayırsınız?

Bu halda irəliləmə belə görünür: .
Arifmetik irəliləyiş fərqi.
Arifmetik irəliləyişin şərtlərinin sayı.
Məlumatlarımızı sonuncu düsturlara əvəz edək (blokların sayını 2 yolla hesablayın).

Metod 1.

Metod 2.

İndi monitorda hesablaya bilərsiniz: əldə edilmiş dəyərləri piramidamızda olan blokların sayı ilə müqayisə edin. Anladım? Əla, siz arifmetik proqresiyanın n-ci hədlərinin cəmini mənimsədiniz.
Əlbəttə ki, təməldəki bloklardan bir piramida qura bilməzsiniz, amma nədən? Bu şərtlə divar qurmaq üçün nə qədər qum kərpicinin lazım olduğunu hesablamağa çalışın.
idarə etdin?
Düzgün cavab bloklardır:

Təlim

Tapşırıqlar:

Maşa yay üçün forma alır. Hər gün çömbəlmə sayını artırır. Maşa ilk məşqdə çömbəlmə etdisə, həftədə neçə dəfə çömbələcək?
İçindəki bütün tək ədədlərin cəmi nədir.
Günlükləri saxlayarkən, loggerlər onları elə yığırlar ki, hər üst təbəqə əvvəlkindən bir log az olsun. Əgər hörgü təməli loglardırsa, bir hörgüdə neçə log var?

Cavablar:

Arifmetik irəliləyişin parametrlərini təyin edək. Bu halda
(həftələr = günlər).
Cavab:İki həftə ərzində Maşa gündə bir dəfə squats etməlidir.
İlk tək nömrə, son nömrə.
Arifmetik irəliləyiş fərqi.
Tək ədədlərin sayı yarıya bərabərdir, lakin arifmetik irəliləyişin üçüncü həddini tapmaq üçün düsturdan istifadə edərək bu faktı yoxlayaq:
Rəqəmlər tək ədədləri ehtiva edir.
Mövcud məlumatları düsturla əvəz edək:
Cavab:İçindəki bütün tək ədədlərin cəmi bərabərdir.
Piramidalarla bağlı problemi xatırlayaq. Bizim vəziyyətimiz üçün a , hər bir üst təbəqə bir log ilə azaldığından, cəmi bir dəstə təbəqə var, yəni.
Verilənləri düsturla əvəz edək:
Cavab: Hörgüdə loglar var.

Gəlin ümumiləşdirək

- qonşu ədədlər arasındakı fərqin eyni və bərabər olduğu ədəd ardıcıllığı. Artan və ya azalan ola bilər.
Düsturun tapılması Arifmetik irəliləyişin ci hədi - düsturu ilə yazılır, burada proqressiyadakı ədədlərin sayıdır.
Arifmetik proqresiyanın üzvlərinin xassəsi- - irəliləyişdə olan ədədlərin sayı haradadır.
Arifmetik irəliləyişin şərtlərinin cəmi iki yolla tapıla bilər:

, qiymətlərin sayı haradadır.

ARİFMETİK PROQRESSİYA. ORTA SƏVİYYƏ

Nömrə ardıcıllığı

Gəlin oturaq və bir neçə rəqəm yazmağa başlayaq. Məsələn:

İstənilən rəqəmləri yaza bilərsiniz və onlardan istədiyiniz qədər çox ola bilər. Amma biz həmişə deyə bilərik ki, hansı birincidir, hansı ikincidir və s., yəni biz onları nömrələyə bilərik. Bu ədəd ardıcıllığının bir nümunəsidir.

Nömrə ardıcıllığı hər birinə unikal nömrə təyin edilə bilən nömrələr toplusudur.

Başqa sözlə, hər bir nömrə müəyyən bir natural ədədlə və unikal bir nömrə ilə əlaqələndirilə bilər. Və biz bu nömrəni bu dəstdən heç bir başqa nömrəyə təyin etməyəcəyik.

Nömrəsi olan ədəd ardıcıllığın ci üzvü adlanır.

Biz adətən bütün ardıcıllığı hansısa hərflə çağırırıq (məsələn,) və bu ardıcıllığın hər bir üzvü indeksi bu üzvün sayına bərabər olan eyni hərfdir: .

Ardıcıllığın üçüncü müddəti hansısa düsturla təyin oluna bilsə, çox rahatdır. Məsələn, formula

ardıcıllığı təyin edir:

Və düstur aşağıdakı ardıcıllıqdır:

Məsələn, arifmetik irəliləyiş ardıcıllıqdır (burada birinci üzv bərabərdir, fərq isə belədir). Və ya (, fərq).

n-ci müddətli düstur

Biz düsturu təkrarlayan adlandırırıq, burada ikinci termini tapmaq üçün əvvəlki və ya bir neçə əvvəlkiləri bilmək lazımdır:

Məsələn, bu düsturdan istifadə edərək irəliləyişin ci dövrünü tapmaq üçün əvvəlki doqquzu hesablamalıyıq. Məsələn, qoy. Sonra:

Yaxşı, indi aydın oldumu ki, formula nədir?

Hər bir sətirdə hansısa ədədə vurularaq əlavə edirik. Hansı biri? Çox sadə: bu, cari üzvün sayı minusdur:

İndi daha rahatdır, elə deyilmi? Yoxlayırıq:

Özünüz üçün qərar verin:

Arifmetik irəliləyişdə n-ci həd üçün düstur tapın və yüzüncü həddi tapın.

Həlli:

Birinci termin bərabərdir. Fərq nədir? Budur:

(Buna görə də irəliləyişin ardıcıl hədlərinin fərqinə bərabər olduğu üçün fərq adlanır).

Beləliklə, formula:

Onda yüzüncü hədd bərabərdir:

Bütün natural ədədlərin cəmi neçəyə bərabərdir?

Rəvayətə görə, böyük riyaziyyatçı Karl Qauss 9 yaşlı uşaq ikən bu məbləği bir neçə dəqiqəyə hesablayıb. Diqqət etdi ki, birinci və sonuncu ədədlərin cəmi bərabərdir, ikinci və sondan əvvəlkilərin cəmi eynidir, sondan üçüncü və üçüncü rəqəmlərin cəmi eynidir və s. Cəmi neçə belə cüt var? Düzdür, bütün nömrələrin tam yarısı, yəni. Belə ki,

Hər hansı arifmetik irəliləyişin ilk üzvlərinin cəmi üçün ümumi düstur belə olacaq:

Misal:
Bütün ikirəqəmli çarpanların cəmini tapın.

Həlli:

İlk belə rəqəm budur. Hər bir sonrakı nömrə əvvəlki nömrəyə əlavə edilməklə əldə edilir. Beləliklə, bizi maraqlandıran ədədlər birinci hədd və fərqlə arifmetik irəliləyiş əmələ gətirir.

Bu irəliləyiş üçün üçüncü terminin düsturu:

Əgər onların hamısı ikirəqəmli olmalıdırsa, irəliləyişdə neçə termin var?

Çox asan: .

Proqresiyanın son müddəti bərabər olacaq. Sonra cəmi:

Cavab: .

İndi özünüz qərar verin:

İdmançı hər gün əvvəlki gündən daha çox metr qaçır. Birinci gündə km m qaçsa, həftədə cəmi neçə kilometr qaçar?
Velosipedçi hər gün əvvəlki günə nisbətən daha çox kilometr qət edir. İlk gün o, km qət etdi. Bir kilometri qət etmək üçün neçə gün getməlidir? Səyahətinin son günündə neçə kilometr yol qət edəcək?
Mağazada soyuducunun qiyməti hər il eyni məbləğdə ucuzlaşır. Rublla satışa çıxarılan soyuducunun qiyməti altı il sonra rubla satılıbsa, onun qiymətinin hər il nə qədər azaldığını müəyyənləşdirin.

Cavablar:

Burada ən vacibi arifmetik irəliləyişi tanımaq və onun parametrlərini təyin etməkdir. Bu halda, (həftələr = günlər). Bu irəliləyişin ilk şərtlərinin cəmini təyin etməlisiniz:
.
Cavab:
Burada verilir: , tapılmalıdır.
Aydındır ki, əvvəlki problemdə olduğu kimi eyni cəmi düsturundan istifadə etməlisiniz:
.
Dəyərləri əvəz edin:
Kök açıq şəkildə uyğun gəlmir, buna görə də cavab budur.
Gəlin, son gün ərzində qət edilən yolu ci həddin düsturundan istifadə edərək hesablayaq:
(km).
Cavab:
Verildi: . Tapın: .
Daha sadə ola bilməzdi:
(rub).
Cavab:

ARİFMETİK PROQRESSİYA. ƏSAS ŞEYLƏR HAQQINDA QISA

Bu, qonşu ədədlər arasındakı fərqin eyni və bərabər olduğu bir sıra ardıcıllığıdır.

Arifmetik irəliləyiş artan () və azalan () ola bilər.

Məsələn:

Arifmetik irəliləyişin n-ci həddini tapmaq üçün düstur

düsturu ilə yazılır, burada irəliləyən ədədlərin sayıdır.

Arifmetik proqresiyanın üzvlərinin xassəsi

Qonşu şərtləri məlumdursa, bu, bir irəliləyişin müddətini asanlıqla tapmağa imkan verir - irəliləyişdəki nömrələrin sayı haradadır.

Arifmetik irəliləyişin şərtlərinin cəmi

Məbləği tapmaq üçün iki yol var:

Dəyərlərin sayı haradadır.

Diqqət!
Əlavə var
555-ci Xüsusi Bölmədəki materiallar.
Çox "çox deyil..." olanlar üçün.
Və "çox..." olanlar üçün)

Arifmetik irəliləyiş, hər bir ədədin əvvəlkindən eyni miqdarda böyük (və ya az) olduğu bir sıra ədədlərdir.

Bu mövzu çox vaxt mürəkkəb və anlaşılmaz görünür. Hərflərin indeksləri, irəliləyişin n-ci həddi, irəliləyiş fərqi - bunların hamısı bir növ çaşqınlıq yaradır, bəli... Arifmetik irəliləyişin mənasını anlayaq və hər şey dərhal düzələcək.)

Arifmetik irəliləyiş anlayışı.

Arifmetik irəliləyiş çox sadə və aydın anlayışdır. Şübhələriniz varmı? Əbəs yerə.) Özünüz baxın.

Yarımçıq nömrələr silsiləsi yazacam:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Bu seriyanı uzatmaq olar? Beşdən sonra hansı rəqəmlər gələcək? Hamı... uh... bir sözlə hamı başa düşəcək ki, 6, 7, 8, 9 və s. rəqəmlər gələcək.

Tapşırığı çətinləşdirək. Mən sizə yarımçıq nömrələr seriyasını verirəm:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Siz nümunəni tuta, seriyanı genişləndirə və ad verə biləcəksiniz yeddinci sıra nömrəsi?

Bu rəqəmin 20 olduğunu başa düşdünüzsə, təbrik edirik! Yalnız hiss etmədin arifmetik irəliləyişin əsas nöqtələri, həm də onları biznesdə uğurla istifadə etdi! Əgər başa düşməmisinizsə, oxuyun.

İndi əsas məqamları hisslərdən riyaziyyata çevirək.)

Birinci əsas məqam.

Arifmetik irəliləyiş ədədlər silsiləsi ilə məşğul olur. Bu, əvvəlcə çaşqınlıq yaradır. Biz tənlikləri həll etməyə, qrafiklər çəkməyə və bütün bunlara öyrəşmişik... Amma burada seriyanı genişləndiririk, sıraların sayını tapırıq...

Hər şey qaydasındadır. Sadəcə olaraq, irəliləyişlər riyaziyyatın yeni sahəsi ilə ilk tanışlıqdır. Bölmə "Serial" adlanır və xüsusi olaraq rəqəmlər və ifadələr seriyası ilə işləyir. Buna alışın.)

İkinci əsas məqam.

Arifmetik irəliləyişdə istənilən ədəd əvvəlkindən fərqlidir eyni miqdarda.

Birinci misalda bu fərq birdir. Hansı nömrəni götürsəniz, əvvəlkindən bir artıqdır. İkincidə - üç. İstənilən nömrə əvvəlkindən üç çoxdur. Əslində, bu an bizə nümunəni qavramaq və sonrakı nömrələri hesablamaq imkanı verir.

Üçüncü əsas məqam.

Bu məqam diqqəti çəkən deyil, bəli... Amma çox, çox vacibdir. Budur: Hər bir irəliləyiş nömrəsi öz yerindədir. Birinci nömrə var, yeddinci var, qırx beşinci var və s. Onları təsadüfi qarışdırsanız, nümunə yox olacaq. Arifmetik irəliləyiş də yox olacaq. Qalan yalnız bir sıra nömrələrdir.

Bütün məsələ budur.

Təbii ki, yeni mövzuda yeni terminlər, təyinatlar yaranır. Onları bilmək lazımdır. Əks halda tapşırığı başa düşməyəcəksiniz. Məsələn, belə bir şeyə qərar verməli olacaqsınız:

Arifmetik irəliləyişin (a n) ilk altı həddini yazın, əgər a 2 = 5, d = -2,5 olarsa.

İlham verir?) Məktublar, bəzi indekslər... Və vəzifə, yeri gəlmişkən, daha sadə ola bilməzdi. Siz sadəcə terminlərin və təyinatların mənasını başa düşməlisiniz. İndi biz bu məsələyə yiyələnib vəzifəmizə qayıdacağıq.

Şərtlər və təyinatlar.

Arifmetik irəliləyiş hər bir nömrənin əvvəlkindən fərqli olduğu nömrələr silsiləsi eyni miqdarda.

Bu miqdar deyilir . Bu konsepsiyaya daha ətraflı baxaq.

Arifmetik irəliləyiş fərqi.

Arifmetik irəliləyiş fərqi hər hansı bir irəliləyiş nömrəsi olan məbləğdir daha çoxəvvəlki.

Bir vacib məqam. Sözə diqqət yetirin "daha çox". Riyazi olaraq bu o deməkdir ki, hər bir irəliləyiş nömrəsidir əlavə etməklə arifmetik proqresiyanın əvvəlki ədədə fərqi.

Hesablamaq üçün deyək ikinci seriya nömrələri lazımdır birinci nömrə əlavə edin arifmetik irəliləyişin bu fərqi. Hesablama üçün beşinci- fərq lazımdır əlavə edin Kimə dördüncü, yaxşı və s.

Arifmetik irəliləyiş fərqi ola bilər müsbət, onda seriyadakı hər bir nömrə real olacaq əvvəlkindən daha çox. Bu irəliləyiş adlanır artır. Məsələn:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Burada hər bir nömrə alınır əlavə etməklə müsbət rəqəm, əvvəlkinə +5.

Fərq ola bilər mənfi, sonra seriyadakı hər nömrə olacaq əvvəlkindən azdır. Bu irəliləyiş adlanır (inanmayacaqsan!) azalan.

Məsələn:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Burada hər bir nömrə də əldə edilir əlavə etməkləəvvəlki, lakin artıq mənfi bir rəqəm, -5.

Yeri gəlmişkən, irəliləyişlə işləyərkən onun təbiətini dərhal müəyyən etmək çox faydalıdır - onun artdığını və ya azaldığını. Bu, çox gec olmadan qərar qəbul etmək, səhvlərinizi aşkar etmək və onları düzəltmək üçün çox kömək edir.

Arifmetik irəliləyiş fərqi adətən hərflə işarələnir d.

Necə tapmaq olar d? Çox sadə. Seriyadakı istənilən ədəddən çıxmaq lazımdır əvvəlki nömrə. Çıxar. Yeri gəlmişkən, çıxmanın nəticəsi "fərq" adlanır.)

Məsələn, müəyyən edək d arifmetik irəliləməni artırmaq üçün:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Biz silsilədə istədiyimiz rəqəmi götürürük, məsələn, 11. Ondan çıxırıq əvvəlki nömrə olanlar. 8:

Bu düzgün cavabdır. Bu arifmetik irəliləyiş üçün fərq üçdür.

Siz götürə bilərsiniz istənilən irəliləyiş nömrəsi,çünki müəyyən bir irəliləyiş üçün d-həmişə eyni. Heç olmasa cərgənin əvvəlində, heç olmasa ortada, heç olmasa hər yerdə. Yalnız ilk nömrəni götürə bilməzsiniz. Sadəcə olaraq ilk nömrə olduğu üçün əvvəlki yoxdur.)

Yeri gəlmişkən, bunu bilərək d=3, bu irəliləyişin yeddinci sayını tapmaq çox sadədir. Beşinci ədədə 3-ü əlavə edək - altıncısını alırıq, 17 olacaq. Altıncı rəqəmə üçü əlavə edək, yeddinci ədədi alırıq - iyirmi.

müəyyən edək d azalan arifmetik irəliləyiş üçün:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Xatırladıram ki, əlamətlərindən asılı olmayaraq, müəyyən etmək d istənilən nömrədən lazımdır əvvəlkini götür.İstənilən irəliləyiş nömrəsini seçin, məsələn -7. Onun əvvəlki sayı -2-dir. Sonra:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

Arifmetik irəliləyişin fərqi istənilən ədəd ola bilər: tam, kəsr, irrasional, istənilən ədəd.

Digər terminlər və təyinatlar.

Seriyadakı hər bir nömrə çağırılır arifmetik irəliləyişin üzvü.

Tərəqqinin hər bir üzvü öz nömrəsi var. Rəqəmlər heç bir hiylə olmadan ciddi şəkildə sıralanır. Birinci, ikinci, üçüncü, dördüncü və s. Məsələn, 2, 5, 8, 11, 14, ... iki birinci hədddir, beş ikinci, on bir dördüncüdür, yaxşı başa düşürsən...) Zəhmət olmasa, aydın başa düş - nömrələrin özləri tamamilə hər şey ola bilər, tam, kəsr, mənfi, nə olursa olsun, lakin nömrələrin nömrələnməsi- ciddi qaydada!

İrəliləməni necə yazmaq olar ümumi görünüş? Sual yoxdur! Bir sıradakı hər bir nömrə hərf kimi yazılır. Arifmetik irəliləyişi ifadə etmək üçün adətən hərfdən istifadə olunur a. Üzv nömrəsi sağ altda indekslə göstərilir. Vergül (və ya nöqtəli vergül) ilə ayrılmış şərtləri belə yazırıq:

1, 2, 3, 4, 5, .....

a 1- bu ilk rəqəmdir, a 3- üçüncü və s. Qəşəng bir şey yoxdur. Bu seriyanı qısaca belə yazmaq olar: (a n).

Tərəqqilər baş verir sonlu və sonsuz.

Son irəliləyiş məhdud sayda üzvə malikdir. Beş, otuz səkkiz, nə olursa olsun. Ancaq bu, sonlu bir rəqəmdir.

Sonsuz irəliləmə - təxmin etdiyiniz kimi sonsuz sayda üzvə malikdir.)

Son gedişatı belə bir sıra, bütün şərtlər və sonunda nöqtə ilə yaza bilərsiniz:

1, 2, 3, 4, 5.

Və ya bu kimi, çoxlu üzvlər varsa:

1, 2, ... 14, 15.

Qısa girişdə siz üzvlərin sayını əlavə olaraq qeyd etməli olacaqsınız. Məsələn (iyirmi üzv üçün), bu kimi:

(a n), n = 20

Sonsuz irəliləyiş, bu dərsdəki nümunələrdə olduğu kimi, cərgənin sonundakı ellips vasitəsilə tanınır.

İndi vəzifələri həll edə bilərsiniz. Tapşırıqlar sadədir, sırf arifmetik irəliləyişin mənasını başa düşmək üçündür.

Arifmetik irəliləyiş üzrə tapşırıqların nümunələri.

Yuxarıda verilmiş tapşırığa ətraflı nəzər salaq:

1. Arifmetik irəliləyişin (a n) ilk altı həddini yazın, əgər a 2 = 5, d = -2,5 olarsa.

Tapşırığı başa düşülən dilə tərcümə edirik. Sonsuz arifmetik irəliləyiş verilir. Bu irəliləyişin ikinci sayı məlumdur: a 2 = 5. Proqnoz fərqi məlumdur: d = -2,5. Bu irəliləyişin birinci, üçüncü, dördüncü, beşinci və altıncı hədlərini tapmalıyıq.

Aydınlıq üçün problemin şərtlərinə uyğun silsilə yazacam. İlk altı şərt, ikinci müddət beşdir:

1, 5, 3, 4, 5, 6,...

a 3 = a 2 + d

İfadə ilə əvəz edin a 2 = 5 Və d = -2,5. Minusları unutma!

a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Üçüncü müddət ikincidən daha kiçik oldu. Hər şey məntiqlidir. Əgər rəqəm əvvəlkindən çox olarsa mənfi dəyər, yəni nömrənin özü əvvəlkindən az olacaq. Tərəqqi azalır. Yaxşı, nəzərə alaq.) Silsilənin dördüncü bəndini hesablayırıq:

a 4 = a 3 + d

a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

a 5 = a 4 + d

a 5=0+(-2,5)= - 2,5

a 6 = a 5 + d

a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Beləliklə, üçüncüdən altıncıya qədər olan müddətlər hesablandı. Nəticə aşağıdakı seriyadır:

a 1, 5, 2.5, 0, -2.5, -5, ....

Birinci termini tapmaq qalır a 1 tanınmış ikinciyə görə. Bu, digər istiqamətə, sola bir addımdır.) Deməli, arifmetik irəliləyişin fərqi dəlavə edilməməlidir a 2, A götürmək:

a 1 = a 2 - d

a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

bu qədər. Tapşırıq cavabı:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Yeri gəlmişkən qeyd etmək istərdim ki, biz bu vəzifəni həll etdik təkrarlanan yol. Bu dəhşətli söz yalnız irəliləyişin bir üzvünün axtarışı deməkdir əvvəlki (bitişik) nömrəyə görə. Aşağıda irəliləyişlə işləməyin digər yollarına baxacağıq.

Bu sadə tapşırıqdan mühüm bir nəticə çıxarmaq olar.

Unutmayın:

Ən azı bir hədd və arifmetik irəliləyişin fərqini bilsək, bu irəliləyişin istənilən həddi tapa bilərik.

yadınızdadır? Bu sadə nəticə bu mövzuda məktəb kursunun problemlərinin əksəriyyətini həll etməyə imkan verir. Bütün vəzifələr üç əsas parametr ətrafında fırlanır: arifmetik proqresiyanın üzvü, irəliləyişin fərqi, irəliləyişin üzvünün sayı. Hamısı.

Əlbəttə ki, bütün əvvəlki cəbr ləğv edilmir.) Proqressiyaya bərabərsizliklər, tənliklər və başqa şeylər əlavə olunur. Amma irəliləyişin özünə görə- hər şey üç parametr ətrafında fırlanır.

Nümunə olaraq, bu mövzuda bəzi məşhur vəzifələrə baxaq.

2. n=5, d = 0,4 və a 1 = 3,6 olarsa, sonlu arifmetik proqressiyanı sıra kimi yazın.

Burada hər şey sadədir. Artıq hər şey verilib. Arifmetik irəliləyişin şərtlərinin necə hesablandığını xatırlamalı, onları saymalı və yazmalısınız. Tapşırıq şərtlərində sözləri qaçırmamaq məsləhətdir: "son" və " n=5". Üzünüz tamamilə mavi olana qədər saymamaq üçün.) Bu irəliləyişdə cəmi 5 (beş) üzv var:

a 2 = a 1 + d = 3,6 + 0,4 = 4

a 3 = a 2 + d = 4 + 0,4 = 4,4

a 4 = a 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8

a 5 = a 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2

Cavabı yazmaq qalır:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Başqa bir vəzifə:

3. 7 rəqəminin arifmetik irəliləyişin (a n) üzvü olub-olmadığını müəyyən edin, əgər a 1 = 4,1; d = 1.2.

Hmm... Kim bilir? Bir şeyi necə müəyyən etmək olar?

Necə-necə... Proqnozu silsilə şəklində yazın və görün orada yeddi olacaq, ya yox! Biz sayırıq:

a 2 = a 1 + d = 4.1 + 1.2 = 5.3

a 3 = a 2 + d = 5,3 + 1,2 = 6,5

a 4 = a 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

İndi aydın görünür ki, biz cəmi yeddiyik sürüşüb keçdi 6,5 ilə 7,7 arasında! Yeddi bizim nömrələr seriyamıza daxil deyil və buna görə də yeddi verilmiş irəliləyişin üzvü olmayacaq.

Cavab: yox.

Və burada GIA-nın real versiyasına əsaslanan bir problem var:

4. Arifmetik irəliləyişin bir neçə ardıcıl həddi yazılır:

...; 15; X; 9; 6; ...

Budur, sonu və başlanğıcı olmadan yazılmış bir seriya. Üzvlərin sayı, fərqi yoxdur d. Hər şey qaydasındadır. Problemi həll etmək üçün arifmetik irəliləyişin mənasını başa düşmək kifayətdir. Gəlin baxaq və nəyin mümkün olduğunu görək bilmək bu serialdan? Üç əsas parametr hansılardır?

Üzv nömrələri? Burada bir ədəd də yoxdur.

Ancaq üç rəqəm var və - diqqət! - söz "ardıcıl" vəziyyətdə. Bu o deməkdir ki, nömrələr ciddi şəkildə ardıcıldır, boşluqlar yoxdur. Bu sırada iki nəfər var? qonşu məlum rəqəmlər? Bəli, məndə var! Bunlar 9 və 6-dır. Ona görə də arifmetik irəliləyişin fərqini hesablaya bilərik! Altıdan çıxarın əvvəlki nömrə, yəni. doqquz:

Sadəcə xırda şeylər qalıb. X üçün əvvəlki rəqəm hansı olacaq? On beş. Bu o deməkdir ki, X sadə əlavə etməklə asanlıqla tapıla bilər. Arifmetik irəliləyişin fərqini 15-ə əlavə edin:

bu qədər. Cavab: x=12

Aşağıdakı problemləri özümüz həll edirik. Qeyd: bu problemlər düsturlara əsaslanmır. Sırf arifmetik irəliləyişin mənasını başa düşmək üçün.) Sadəcə bir sıra rəqəmlər və hərflər yazırıq, baxıb anlayırıq.

5. a 5 = -3 olarsa, arifmetik irəliləyişin birinci müsbət həddini tapın; d = 1.1.

6. Məlumdur ki, 5,5 rəqəmi arifmetik irəliləyişin (a n) üzvüdür, burada a 1 = 1,6; d = 1.3. Bu üzvün n sayını təyin edin.

7. Məlumdur ki, arifmetik irəliləyişdə a 2 = 4; a 5 = 15.1. 3 tapın.

8. Arifmetik irəliləyişin bir neçə ardıcıl həddi yazılır:

...; 15.6; X; 3.4; ...

X hərfi ilə göstərilən irəliləyişin müddətini tapın.

9. Qatar sürəti dəqiqədə 30 metrə bərabər artıraraq stansiyadan hərəkət etməyə başladı. Beş dəqiqədən sonra qatarın sürəti nə qədər olacaq? Cavabınızı km/saatla bildirin.

10. Məlumdur ki, arifmetik irəliləyişdə a 2 = 5; a 6 = -5. 1 tapın.

Cavablar (səliqəsiz): 7.7; 7.5; 9.5; 9; 0,3; 4.

Hər şey alındı? Heyrətamiz! Aşağıdakı dərslərdə arifmetik irəliləyişləri daha yüksək səviyyədə mənimsəyə bilərsiniz.

Hər şey alınmadı? Problem yoxdur. 555-ci Xüsusi Bölmədə bütün bu problemlər hissə-hissə sıralanır.) Və təbii ki, bu cür tapşırıqların həllini bir baxışda aydın, aydın şəkildə vurğulayan sadə praktik texnika təsvir edilmişdir!

Yeri gəlmişkən, qatar tapmacasında insanların tez-tez büdrədiyi iki problem var. Biri sırf irəliləyiş baxımından, ikincisi isə riyaziyyat və fizikanın hər hansı problemi üçün ümumidir. Bu ölçülərin birindən digərinə tərcüməsidir. Bu problemlərin necə həll edilməli olduğunu göstərir.

Bu dərsdə biz arifmetik irəliləyişin elementar mənasını və onun əsas parametrlərini nəzərdən keçirdik. Bu, bu mövzuda demək olar ki, bütün problemləri həll etmək üçün kifayətdir. Əlavə et d rəqəmlərə, silsilə yaz, hər şey həll olunacaq.

Barmaq həlli, bu dərsdəki nümunələrdə olduğu kimi, çox qısa bir sıra parçaları üçün yaxşı işləyir. Seriya daha uzun olarsa, hesablamalar daha da mürəkkəbləşir. Məsələn, sualda 9-cu məsələdə biz əvəz edirik "beş dəqiqə" haqqında "otuz beş dəqiqə" problem əhəmiyyətli dərəcədə pisləşəcək.)

Və mahiyyətcə sadə, lakin hesablamalar baxımından absurd olan vəzifələr də var, məsələn:

Arifmetik irəliləyiş (a n) verilmişdir. a 1 =3 və d=1/6 olarsa, 121-i tapın.

Bəs nə, biz 1/6-nı çox, dəfələrlə əlavə edəcəyik?! Özünü öldürə bilərsən!?

Siz edə bilərsiniz.) Əgər bu cür tapşırıqları bir dəqiqə ərzində həll edə biləcəyiniz sadə düstur bilmirsinizsə. Bu düstur növbəti dərsdə olacaq. Və bu problem orada həll olunur. Bir dəqiqədən sonra.)

Bu saytı bəyənirsinizsə...

Yeri gəlmişkən, sizin üçün daha bir neçə maraqlı saytım var.)

Nümunələrin həllində məşq edə və səviyyənizi öyrənə bilərsiniz. Ani yoxlama ilə sınaq. Gəlin öyrənək - maraqla!)

Funksiyalar və törəmələrlə tanış ola bilərsiniz.

Ədəd ardıcıllığı anlayışı hər bir natural ədədin hansısa real qiymətə uyğun olduğunu nəzərdə tutur. Belə bir sıra nömrələr ya ixtiyari ola bilər, ya da müəyyən xüsusiyyətlərə malik ola bilər - irəliləyiş. Sonuncu halda, ardıcıllığın hər bir sonrakı elementi (üzvü) əvvəlkindən istifadə etməklə hesablana bilər.

Arifmetik irəliləyiş, qonşu üzvlərinin bir-birindən eyni sayda fərqləndiyi ədədi dəyərlər ardıcıllığıdır (2-cidən başlayaraq seriyanın bütün elementləri oxşar xüsusiyyətə malikdir). Bu ədəd - əvvəlki və sonrakı şərtlər arasındakı fərq - sabitdir və irəliləmə fərqi adlanır.

Tərəqqi fərqi: tərif

j qiymətlərindən ibarət ardıcıllığı nəzərdən keçirək A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j N natural ədədlər çoxluğuna aiddir. Arifmetik Proqressiya, tərifinə görə, a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – ardıcıllığıdır. a(j-1) = d. D dəyəri bu irəliləyişin istənilən fərqidir.

d = a(j) – a(j-1).

Vurğulayın: