문장 완성: 1). 방정식은... 2). 방정식의 근은... 3). 방정식을 푸는 것은...

I. 방정식을 구두로 풀기: 1). 2). 삼). 4). 5). 6). 7). 8). 9). 6 x + 18=0 2 x + 5=0 5 x – 3=0 -3 x + 9=0 -5 x + 1=0 -2 x – 10=0 6 x – 7=5 x 9 x + 6 \u003d 10 x 5 x-12 \u003d 8 x

다음 중 해가 없는 방정식은 무엇입니까? a). 2 x-14 \u003d x + 7 b). 2 x-14 \u003d 2 (x-7) c). x-7 \u003d 2 x + 14g). 2 x-14 \u003d 2 x + 7?

해가 무한히 많은 방정식은 무엇입니까? a). 4 x - 12 = x - 12 b). 4 x-12 \u003d 4 x + 12c). 4(x - 3) = 4 x - 12g). 4 (x-3) \u003d x-10?

관점의 방정식 kx + b = 0, 여기서 k, b는 숫자로 주어지며 선형이라고 합니다. 선형 방정식을 푸는 알고리즘: 1). 여는 괄호 2). 미지수를 포함하는 용어를 왼쪽으로 이동하고 미지수를 포함하지 않는 용어를 오른쪽으로 이동합니다(이동된 구성원의 부호가 반전됨). 삼). 같은 회원을 데려 오십시오. 4). 0이 아닌 경우 미지의 계수로 방정식의 양쪽을 나눕니다.

노트북에서 해결 그룹 I: 681 페이지 63 6 (4 -x) + 3 x \u003d 3 그룹 III: 767 페이지 67 (x + 6) 2 + (x + 3) 2 \u003d 2 x 2 방정식 : II 그룹 : 697 페이지 63 x-1 + (x + 2) \u003d -4 (-5 -x) -5

ax2 + bx + c \u003d 0 형식의 방정식, 여기서 a ≠ 0, b, c는 실수입니다. 불완전 방정식: ax2 + bx =0 (c=0), ax2 + c =0 (b=0).

II. 구두로 이차 방정식을 풀고 완전한지 불완전한지 나타냅니다. 1). x2 + 15 x=0 2). -x2 +2 x = 0 3). x2 -25=0 4). -х2 +9 =0 5). -x2 - 16 \u003d 0 6). x2 - 8 x + 15=0 7). x2 + 5 x + 6=0 8). x2 + x - 12 =0 9). (-x-5)(-x+ 6)=0 10). x2 -4 x +4 =0

질문: 1). 불완전한 이차 방정식을 풀기 위해 방정식의 어떤 속성이 사용되었습니까? 2). 불완전한 이차 방정식을 풀기 위해 다항식을 인수분해하는 방법은 무엇입니까? 삼). 완전한 이차 방정식을 풀기 위한 알고리즘은 무엇입니까?

1). 두 요소의 곱은 그중 하나가 0이면 0이고 두 번째 요소는 의미를 잃지 않습니다. a = 0 또는 b = 0이면 ab = 0입니다. 2). 공약수와 a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b) - 제곱의 차이 공식을 꺼냅니다. 삼). 완전한 이차 방정식 ax2 + bx + c = o. D=b 2 – 4 ac, D>0이면 2근; D = 0, 1 루트; 디

정리는 Vieta의 정리와 반대입니다. 숫자 a, b, c, x 1 및 x 2가 x 1 x 2 \u003d x 1 + x 2 \u003d이고 x 2가 방정식 a x 2 + bx의 근인 경우 + c \u003d 0

방정식 풀기: 그룹 I: 번호 802 p. 71 x2 - 5 x- 36 = 0 그룹 II: 번호 810 페이지 71 3 x2 - x + 21 = 5 x2 그룹 III: x4 -5 x2 - 36 = 0

III. 방정식 풀기: 그룹 I 및 II: No. 860 그룹 III: =0 =0 이러한 방정식을 무엇이라고 합니까? 이를 해결하기 위해 어떤 속성이 사용됩니까?

유리 방정식은 =0 형식의 방정식입니다. 분자가 0이고 분모가 0이 아니면 분수는 0입니다. =0이면 a = 0, b≠ 0입니다.

수학의 역사에서 간략하게 2차방정식과 1차방정식은 고대 이집트의 수학자들도 풀 수 있었습니다. 페르시아 중세 과학자 Al-Khwarizmi (IX 세기)는 선형 및 이차 방정식을 푸는 일반적인 방법에 대한 독립 과학으로 대수학을 처음 도입했으며 이러한 방정식을 분류했습니다. 수학의 새로운 위대한 돌파구는 프랑스 과학자 Francois Vieta (XVI 세기)의 이름과 관련이 있습니다. 대수학에 문자를 도입한 사람은 바로 그 사람이었습니다. 그는 이차 방정식의 근에 대한 잘 알려진 정리를 소유하고 있습니다. 그리고 우리는 라틴 알파벳의 마지막 문자(x, y, z)로 미지의 양을 표시하는 전통을 또 다른 프랑스 수학자 르네 데카르트(XVII)에게 빚지고 있습니다.

숙제 사이트 작업: - OGE(수학) http: //85. 142.162.126/os/xmodules/qprint/index.html php? proj=DE 0 E 276 E 49 7 AB 3784 C 3 FC 4 CC 20248 DC 0 ; - D. Gushchin의 "OGE를 풀겠습니다" https: //oge. sdamgia. 루/ ; - A. Larin 웹사이트(옵션 119) http: //alexlarin. 그물/. 교재: - Yu.M. Kolyagin 교과서 "대수학 9학년", M., "Enlightenment", 2014, p. 308-310; - "3000 작업" 아래. I. V. Yashchenko, M., "시험", 2017, p. 5974.

학부모를 위한 정보 수학 OGE 준비 시스템 1). 수업 2)에서 수반되는 반복. 연말에 최종 반복 3). 선택수업(토요일) 4). 숙제 시스템 - 사이트 작업 DECIDE OGE, OPEN BANK FIPI, A. LARIN SITE. 5). 개별 상담(월요일)

대수학 모듈의 네 번째 작업은 처리 능력 및 급진적 표현 분야의 지식을 테스트합니다.

수학에서 OGE의 4 번 과제를 완료하면 계산 수행 및 수치 표현 변환 능력뿐만 아니라 대수식 변환 능력도 확인됩니다. 정수 지수, 다항식, 유리식의 동일한 변환을 사용하여 각도로 연산을 수행해야 할 수도 있습니다.

주요 시험의 자료에 따라 합리적 표현의 동일한 변환 구현, 다항식을 요인으로 분해, 백분율 및 비율 사용, 가분성 기호를 구현해야하는 작업이있을 수 있습니다.

과제 4의 답은 숫자 1 중 하나입니다. 2; 삼; 작업에 대한 제안된 답변의 번호에 해당하는 4.

작업 번호 4에 대한 이론

이론적 자료에서 우리는 필요합니다 학위를 다루는 규칙:

작업 규칙 뿌리 표현:

내 분석 옵션에서 이러한 규칙이 제시됩니다. 세 번째 작업의 첫 번째 옵션 분석에서는 학위 처리 규칙이 제시되고 두 번째 및 세 번째 옵션에서는 급진적 표현 작업의 예가 분석됩니다.

수학에서 작업 번호 4 OGE에 대한 일반적인 옵션 분석

과제의 첫 번째 버전

n의 값에 대한 다음 표현 중 121 11 n의 곱과 같은 것은 무엇입니까?

1. 121n
2. 11n+2
3. 112n
4. 11n+3

해결책:

이 문제를 해결하려면 다음을 기억하십시오. 학위 규칙 :

• 곱하면 지수가 추가됩니다.
• 분할도를 뺍니다.
• 힘을 거듭제곱하면 힘이 배가됩니다.
• 근을 추출할 때 정도가 나뉩니다.

또한 솔루션의 경우 121을 11의 거듭제곱으로 나타내야 합니다. 즉, 이것은 11 2 입니다.

12111n = 11211n

곱셈 규칙을 고려하여 도를 추가합니다.

11 2 11n = 11n+2

따라서 두 번째 대답이 우리에게 적합합니다.

작업의 두 번째 버전

다음 중 값이 가장 큰 표현식은 무엇입니까?

1. 2√11
2. 2√10

해결책:

이 작업을 해결하려면 모든 표현을 공통 형식으로 가져와야 합니다. 급진적 표현 형식으로 표현을 제시해야 합니다.

루트 아래에서 3을 이동합니다.

3√5 = √(3² 5) = √(9 5) = √45

루트 아래에서 2를 이동합니다.

2√11 = √(2² 11) = √(4 11) =√44

루트 아래에서 2를 이동합니다.

2√10 = √(2² 10) = √(4 10) =√40

제곱 6.5:

6.5 = √(6.5²) = √42.25

모든 결과 옵션을 살펴보겠습니다.

1. 3√5 = √45
2. 2√11 = √44
3. 2√10 = √40
4. 6,5 = √42,25

따라서 정답은 첫 번째입니다.

작업의 세 번째 버전

다음 중 합리적인 숫자는 무엇입니까?

1. √810
2. √8,1
3. √0,81
4. 이 모든 숫자는 비합리적입니다

해결책:

이 문제를 해결하려면 다음과 같이 조치해야 합니다.

먼저이 예에서 숫자가 고려되는 정도를 알아 봅시다. 이것은 제곱이 81이기 때문에 숫자 9이고 이것은 이미 답변의 표현과 다소 유사합니다. 다음으로 숫자 9의 형식을 고려하십시오. 다음과 같을 수 있습니다.

각각을 고려하십시오.

0.9 = √(0.9)² = √0.81

90 = √(90²) = √8100

따라서 숫자 √0.81은 유리수이고 다른 숫자는

9제곱 모양과 비슷하지만 합리적이지 않습니다.

따라서 정답은 세 번째입니다.

네 번째 옵션

커뮤니티 회원의 요청에 따라 가라앉다 Diana, 다음 작업 번호 4에 대한 분석을 제공합니다.

다음 숫자 중 표현식의 값은 무엇입니까?

해결책:

제거해야 하는 분모에 차이(4 - √14)가 있음에 유의하십시오. 그것을하는 방법?

이를 위해 약식 곱셈의 공식, 즉 제곱의 차이를 상기합니다! 이 작업에 올바르게 적용하려면 분수 처리 규칙을 기억해야 합니다. 이 경우 분자와 분모에 같은 수나 식을 곱하면 분수는 변하지 않는다는 것을 기억하십시오. 제곱의 차이에 대해서는 (4 + √14)라는 표현이 부족합니다. 즉, 분자와 분모를 곱한다는 의미입니다.

그 후 분자에서 4 + √14를 얻고 분모에서 제곱의 차이를 얻습니다. 4² - (√14)². 그런 다음 분모를 쉽게 계산할 수 있습니다.

전체적으로 우리의 행동은 다음과 같습니다.

다섯 번째 옵션 (OGE 2017의 데모 버전)

어느 식의 값이 유리수입니까?

1. √6-3
2. √3 √5
3. (√5)²
4. (√6-3)²

해결책:

이 작업에서는 무리수로 작업 기술을 테스트합니다.

솔루션의 각 답변을 분석해 보겠습니다.

√6 자체는 비합리적인 숫자입니다. 이러한 문제를 해결하려면 예를 들어 4, 9, 16, 25와 같이 자연수의 제곱에서 근을 추출하는 것이 합리적이라는 것을 기억하면 충분합니다.

무리수에서 자신 이외의 숫자를 빼면 다시 무리수로 이어지므로 이 버전에서는 무리수를 얻습니다.

근을 곱할 때 급진적 표현의 곱에서 근을 추출할 수 있습니다.

√3 √5 = √(3 5) = √15

하지만 √15는 무리수이므로 답이 맞지 않습니다.

제곱근을 제곱하면 급진적 표현만 얻습니다(더 정확하게는 모듈로 급진적 표현이지만 이 버전에서와 같이 숫자의 경우에는 중요하지 않습니다).

이 답변은 우리에게 적합합니다.

이 표현은 단락 1의 연속을 나타내지만 √6-3이 무리수라면 우리에게 알려진 어떤 연산으로도 유리수로 변환할 수 없습니다.

Toylonov Argymai 및 Toylonov Erkey

일반교육학교에서 받는 수학교육은 현대인의 일반교육과 일반교양의 필수요소이다. 현대인을 둘러싼 거의 모든 것이 어떤 식으로든 수학과 연결되어 있습니다. 그리고 물리학, 공학 및 정보 기술의 최신 발전은 미래에도 상황이 동일하게 유지될 것이라는 데 의심의 여지가 없습니다. 따라서 많은 실제 문제의 솔루션은 해결하기 위해 학습해야 하는 다양한 유형의 방정식을 해결하는 것으로 축소됩니다.

그리고 2013년부터 기본 학교 졸업 시 수학 인증을 OGE 형식으로 실시하고 있습니다. 통합 상태 시험과 마찬가지로 OGE는 대수학뿐만 아니라 본교의 전체 수학 과정에서도 인증을 수행하도록 설계되었습니다.

어떤 식으로든 사자의 작업 몫은 방정식과 그 솔루션을 작성하는 것입니다. 이 주제에 대한 연구를 진행하려면 다음 질문에 답해야 했습니다. “OGE 작업에서 어떤 유형의 방정식이 발견됩니까? ” 및 “이 방정식을 푸는 방법은 무엇입니까?”

따라서 OGE 작업에서 발견되는 모든 유형의 방정식을 연구할 필요가 있습니다. 위의 모든 정의

목표작업은 OGE의 작업에서 찾은 모든 유형의 방정식을 유형별로 완성하고 이러한 방정식을 해결하는 주요 방법을 분석하는 것입니다.

이 목표를 달성하기 위해 다음과 같이 설정했습니다. 작업:

1) 주요 주 시험을 준비하기 위한 기본 리소스를 배웁니다.

2) 유형별로 모든 방정식을 완성하십시오.

3) 이 방정식을 푸는 방법을 분석하십시오.

4) 모든 유형의 방정식과 이를 해결하는 방법으로 컬렉션을 컴파일합니다.

연구 대상:방정식.

연구 주제: OGE 작업의 방정식.

다운로드:

시사:

시 예산 교육 기관

"치빗 중학교"

교육 프로젝트:

"OGE 작업의 방정식"

토일로노프 에르키

8학년 학생

감독자: Toylonova Nadezhda Vladimirovna, 수학 교사.

프로젝트 구현 일정:

2017년 12월 13일부터 2017년 2월 13일까지. 2018년

소개 ………………………………………………………………..
역사적 참고 자료 ..................................................................
1장 방정식 풀기 ..................................................................
1.1 선형 방정식 풀기 ..................................................
1.2 이차방정식 ..................................................
1.2.1 불완전한 이차 방정식	9-11
1.2.2 완전한 이차방정식	11-14
1.2.3 이차방정식을 푸는 특별한 방법	14-15
1.3 합리적 방정식	15-17
2장 복잡한 방정식	18-24
결론 ..................................................................................
사용 문헌 목록 ..................................................
부록 1 "선형 방정식" ......................................................	26-27
부록 2 "불완전 2차 방정식" …………………	28-30
부록 3 "완전 2차 방정식" ……………………	31-33
부록 4 "합리 방정식" ......................................	34-35
부록 5 "복잡한 방정식" ………………………………..	36-40

소개

일반교육학교에서 받는 수학교육은 현대인의 일반교육과 일반교양의 필수요소이다. 현대인을 둘러싼 거의 모든 것이 어떤 식으로든 수학과 연결되어 있습니다. 그리고 물리학, 기술 및 정보 기술의 최신 발전은 미래에도 상황이 동일하게 유지될 것이라는 데 의심의 여지가 없습니다. 따라서 많은 실제 문제의 솔루션은 해결하기 위해 학습해야 하는 다양한 유형의 방정식을 해결하는 것으로 축소됩니다.

그리고 2013년부터 기본 학교 졸업 시 수학 인증을 OGE 형식으로 실시하고 있습니다. 통합 상태 시험과 마찬가지로 OGE는 대수학뿐만 아니라 본교의 전체 수학 과정에서도 인증을 수행하도록 설계되었습니다.

어떤 식으로든 사자의 작업 몫은 방정식과 그 솔루션을 작성하는 것입니다. 이 주제에 대한 연구를 진행하려면 다음 질문에 답해야 했습니다. “OGE 작업에서 어떤 유형의 방정식이 발견됩니까? ” 및 “이 방정식을 푸는 방법은 무엇입니까?”

따라서 OGE 작업에서 발견되는 모든 유형의 방정식을 연구할 필요가 있습니다. 위의 모든 정의수행한 작업의 문제의 관련성.

목표 작업은 OGE의 작업에서 찾은 모든 유형의 방정식을 유형별로 완성하고 이러한 방정식을 해결하는 주요 방법을 분석하는 것입니다.

이 목표를 달성하기 위해 다음과 같이 설정했습니다.작업:

1) 주요 주 시험을 준비하기 위한 기본 리소스를 배웁니다.

2) 유형별로 모든 방정식을 완성하십시오.

3) 이 방정식을 푸는 방법을 분석하십시오.

4) 모든 유형의 방정식과 이를 해결하는 방법으로 컬렉션을 컴파일합니다.

연구 대상:방정식.

연구 주제:OGE 작업의 방정식.

프로젝트 작업 계획:

1. 프로젝트 주제의 공식화.
2. 주어진 주제에 대한 공식 출처의 자료 선택.
3. 정보의 처리 및 체계화.
4. 프로젝트 구현.
5. 프로젝트 디자인.
6. 프로젝트 보호.

문제 : 방정식에 대한 이해를 깊게 합니다. 첫 번째 부분과 두 번째 부분에서 OGE 작업에 제시된 방정식을 푸는 주요 방법을 보여줍니다.

본 연구는 연구한 자료를 일반화, 체계화하고 새로운 연구를 하려는 시도이다. 이 프로젝트에는 방정식의 한 부분에서 다른 부분으로 용어를 전송하고 방정식의 속성을 사용하는 선형 방정식과 방정식으로 해결되는 문제, 모든 유형의 이차 방정식 및 합리적인 방정식을 푸는 방법이 포함됩니다.

수학은... 질서, 대칭, 확실성을 보여줍니다.

그리고 이것들은 아름다움의 가장 중요한 종류입니다.

아리스토텔레스.

역사적 참조

동방박사들이 양을 알 수 없는 평등에 대해 처음 생각하기 시작한 그 먼 시대에는 아직 동전이나 지갑이 없었을 것입니다. 그러나 다른 한편으로는 알 수없는 수의 항목을 포함하는 캐시 스토어의 역할에 완벽한 힙과 냄비, 바구니가있었습니다. "우리는 2/3, 1/2 및 1/7과 함께 37 ..."인 더미를 찾고 있습니다. 이집트 서기관 Ahmes는 기원전 2 천년에 가르쳤습니다. 메소포타미아, 인도, 중국, 그리스의 고대 수학 문제에서 알 수 없는 양은 정원에 있는 공작새의 수, 무리에 있는 황소의 수, 재산을 나눌 때 고려되는 총체를 나타냅니다. 계산 과학에 정통한 서기관, 관리 및 사제는 비밀 지식에 입문하여 그러한 작업에 매우 성공적으로 대처했습니다.

우리에게 내려온 출처는 고대 과학자들이 양을 알 수 없는 문제를 해결하기 위한 몇 가지 일반적인 방법을 가지고 있었음을 나타냅니다. 그러나 하나의 파피루스도 아니고 하나의 점토판도 이러한 기술에 대한 설명을 제공하지 않습니다. 저자는 "봐!", "해봐!", "올바른 것을 찾았습니다." 이런 의미에서 그리스 수학자 알렉산드리아의 디오판토스(3세기)의 "산술"은 예외입니다.

그러나 9세기 바그다드 학자의 저서는 널리 알려지게 된 문제 해결을 위한 최초의 매뉴얼이 되었다. 무함마드 빈 무사 알콰리즈미. 이 논문의 아랍어 제목 "Kitab al-jaber wal-muqabala"( "복원 및 대조의 책")에서 "al-jabr"이라는 단어는 시간이 지남에 따라 모든 사람에게 잘 알려진 "대수학"이라는 단어로 바뀌었고 al-Khwarizmi의 작업 자체가 방정식을 푸는 과학의 발전에서 출발점이 되었습니다.

방정식이란 무엇입니까?

권리 방정식, 시간 방정식(진태양시를 평균 태양시로 변환, 호스텔과 과학에서 허용됨, aster) 등이 있습니다.

수학에서 하나 이상의 미지수를 포함하고 이러한 미지수의 특정 값에 대해서만 유효한 수학 방정식입니다.

변수가 하나인 방정식에서 미지수는 일반적으로 문자 "엑스 ". "x의 값 이러한 조건을 만족하는 를 방정식의 근이라고 합니다.

방정식이 다릅니다.종 :

도끼 + b = 0. - 일차 방정식.
도끼 2 + bx + c = 0. - 이차 방정식.
도끼 4 + bx 2 + c = 0. - 2차 방정식.

– 합리적인 방정식.

– 무리수 방정식.
그런 것들이 있다방정식을 푸는 방법어떻게: 대수, 산술 및 기하학. 대수적 방법을 고려하십시오.

방정식을 풀다x의 값을 원래 식으로 대체할 때 올바른 평등을 제공하거나 솔루션이 없음을 증명하는 값을 찾는 것입니다. 아무리 어려워도 방정식을 푸는 것은 흥미진진합니다. 결국, 숫자의 전체 흐름이 하나의 알려지지 않은 숫자에 의존한다는 것은 정말 놀라운 일입니다.

방정식에서 미지수를 찾으려면 원래 식을 변환하고 단순화해야 합니다. 그리고 외모를 바꿀 때 표현의 본질이 바뀌지 않도록. 이러한 변환을 동일하거나 등가라고 합니다.

1장 방정식 풀이

1.1 선형 방정식 풀기.

이제 우리는 선형 방정식의 솔루션을 고려할 것입니다. 다음 형식의 방정식을 기억하십시오.변수 "엑스 » 가장 높은 등급은 1등급입니다.

선형 방정식의 해는 매우 간단합니다.

예제 1: 방정식 3 풀기엑스+3=5엑스

선형 방정식은 미지수를 포함하는 항을 등호 왼쪽에, 자유 계수를 등호 오른쪽에 전달하는 방법으로 해결됩니다.

3 x – 5 x = – 3

2x=-3

x=1.5

방정식을 진정한 평등으로 바꾸는 변수의 값을 호출합니다.방정식의 근원.

확인한 후 다음을 얻습니다.

따라서 1.5는 방정식의 근입니다.

답변: 1.5.

방정식의 한 부분에서 다른 부분으로 항을 전송하여 방정식을 풀고 항의 부호는 반대로 변경되고 적용됩니다.속성 방정식 - 방정식의 두 부분을 0이 아닌 동일한 숫자 또는 표현식으로 곱(나누기)할 수 있으며 다음 방정식을 풀 때 고려할 수 있습니다.

예 2. 방정식 풀기:

a) 6×+1=- 4×; b) 8 + 7 x \u003d 9 x +4; c) 4(x - 8)=- 5.

해결책.

a) 우리가 해결하는 전송 방법으로

6x + 4x = -1;

10x=─ 1;

x=─ 1:10;

x=─0.1.

시험:

답변: -0.1

b) 이전 예와 유사하게 전송 방법으로 해결합니다.

답변: 2.

c) 이 방정식에서 덧셈 연산에 대해 곱셈의 분배 특성을 적용하여 괄호를 열 필요가 있습니다.

답: 6.75.

1.2 이차방정식

유형 방정식 이차방정식이라고 하는데, 여기서ㅏ - 시니어 계수,비 평균 계수이고 c는 자유 항입니다.

계수에 따라 a, b 및 c - 방정식은 완전하거나 불완전하거나 축소되거나 축소되지 않을 수 있습니다.

1.2.1 불완전한 이차방정식

불완전한 이차 방정식을 푸는 방법을 고려하십시오.

1) 다음에 대한 불완전한 이차 방정식의 첫 번째 유형의 솔루션을 다루기 시작하겠습니다. c=0 . 다음 형식의 불완전한 이차 방정식 x 2 +b x=0 해결할 수 있게 해줍니다인수분해 방법. 특히, 괄호 방법.

분명히 우리는 방정식의 왼쪽에 위치할 수 있으며 괄호에서 공약수를 빼는 것으로 충분합니다.엑스 . 이렇게 하면 원래의 불완전한 이차 방정식에서 다음 형식의 등가 방정식으로 이동할 수 있습니다. x·(a·x+b)=0 .

그리고 이 방정식은 두 방정식의 조합과 동일합니다. x=0 또는 x+b=0 , 마지막은 선형이고 루트가 있습니다. x=− .

a x 2 +b x=0에는 근이 두 개 있습니다.

x=0 및 x=− .

2) 이제 계수가 다음인 불완전한 이차 방정식이 어떻게 해결되는지 고려하십시오. b는 0이고 c≠0 , 즉 형식의 방정식 x 2 +c=0 . 우리는 방정식의 한 쪽에서 반대 부호가 있는 다른 쪽으로 항을 옮기고 방정식의 양쪽을 0이 아닌 숫자로 나누면 등가 방정식이 된다는 것을 알고 있습니다. 따라서 불완전한 이차 방정식의 다음과 같은 등가 변환을 수행할 수 있습니다. x 2 +c=0 :

• 이동 c 방정식을 제공하는 오른쪽으로 x 2 =-c ,
• 두 부분을, 우리는 얻는다.

결과 방정식을 통해 근에 대한 결론을 도출할 수 있습니다.

숫자인 경우 음수이면 방정식에 근이 없습니다. 이 진술은 모든 숫자의 제곱이 음수가 아닌 숫자라는 사실에서 따릅니다.

만약에 가 양수이면 방정식의 근이 있는 상황이 다릅니다. 이 경우 방정식의 근이 있다는 것을 기억해야 합니다. 그것은 숫자입니다. 방정식의 근은 다음 체계에 따라 계산됩니다.

대신 방정식에 대입하는 것으로 알려져 있습니다.엑스 그 뿌리는 방정식을 진정한 평등으로 바꿉니다.

이 단락의 정보를 요약해 보겠습니다. 불완전한 이차 방정식 x 2 +c=0 방정식과 동일합니다, 어느

3) 계수가 다음과 같은 불완전한 이차 방정식의 솔루션 b와 c 0과 같습니다. 즉, 형식의 방정식에서 x 2 \u003d 0. 방정식 a x 2 =0은 x 2 =0을 따릅니다. , 원본의 두 부분을 0이 아닌 숫자로 나누어 원본에서 얻습니다.ㅏ . 분명히, 방정식의 근원 x2=0 0이기 때문에 0 2 =0 . 이 방정식에는 다른 근이 없습니다.

따라서 불완전한 이차방정식× 2 \u003d 0 뿌리가 하나다 x=0 .

예 3 방정식 풀기: a)엑스 2 \u003d 5x, 방정식에 여러 개의 근이 있으면 답에 더 작은 것을 나타냅니다.;

나) , 방정식에 여러 근이 있으면 답에 가장 큰 근을 나타냅니다.;

다) × 2 −9=0, 방정식에 여러 개의 근이 있는 경우 답에 더 작은 것을 표시하십시오.

해결책.

우리는 자유 항이 없는 불완전한 이차 방정식을 얻었습니다. 괄호를 빼는 방법으로 해결합니다.

~에 방정식은 두 개의 근을 가질 수 있으며 그 중 작은 것은 0입니다.

답변: 0.

비) . 이전 예와 마찬가지로 브라케팅 방법을 적용합니다.

답에는 가장 큰 근을 표시해야 합니다. 그것이 숫자 2입니다.

답변: 2.

V) . 이 방정식은 평균 계수가 없는 불완전한 2차 방정식입니다.

이 근 중 가장 작은 것은 숫자 - 3입니다.

답변: -3.

1.2.2 완전한 이차방정식.

1. 판별식, 이차 방정식의 근에 대한 기본 공식

루트 공식이 있습니다.

적어보자 이차 방정식의 근의 공식을 단계별로:

1) D=b2-4ac -소위.

가) 만약 D

b) D>0이면 방정식하나의 루트가 없습니다:

c) 만약 D 두 개의 루트가 없습니다.

근 공식을 사용하여 이차방정식을 푸는 알고리즘

실제로 이차 방정식을 풀 때 값을 계산하는 데 사용되는 근 공식을 즉시 사용할 수 있습니다. 그러나 이것은 복잡한 뿌리를 찾는 것에 관한 것입니다.

그러나 학교 대수학 과정에서 우리는 일반적으로 복잡한 것이 아니라 이차 방정식의 실근에 대해 이야기합니다. 이 경우 이차 방정식의 근에 대한 공식을 사용하기 전에 먼저 판별식을 찾고 음수가 아닌지 확인한 다음(그렇지 않으면 방정식에 실근이 없다고 결론을 내릴 수 있음) 그 후에 판별식을 찾는 것이 좋습니다. 근의 값을 계산하십시오.

위의 추론을 통해 우리는 다음을 작성할 수 있습니다.이차 방정식을 풀기 위한 알고리즘. 이차 방정식을 풀려면 a x 2 +b x+c=0 , 다음이 필요합니다.

• 판별식에 의해 D=비2-4에씨 그 가치를 계산하십시오.
• 판별식이 음수이면 이차 방정식에 실근이 없다고 결론을 내립니다.
• 다음과 같은 경우 공식으로 방정식의 유일한 근을 계산합니다. D=0;
• 판별식이 양수이면 근 공식을 사용하여 이차 방정식의 두 실근을 찾으십시오.

2. Discriminant, 이차 방정식 근의 두 번째 공식(짝수 두 번째 계수의 경우).

다음 형식의 이차 방정식을 풀려면, 짝수 계수 b=2k 또 다른 공식이 있습니다.

새로 쓰자 에 대한 이차 방정식의 근에 대한 공식:

1) D'=k 2 -ac -소위이차 방정식의 판별식.

가) 만약 D' 실제 뿌리가 없습니다.

b) D'>0이면 방정식하나의 루트가 없습니다:

c) 만약 D' 두 개의 루트가 없습니다.

예 4 방정식 2x 풀기 2 −3x+1=0.. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 응답에서 더 큰 근을 기록합니다.

해결책. 첫 번째 경우에는 다음과 같은 이차 방정식의 계수가 있습니다. a=2 , b=-3 및 c=1 D=b 2 −4 a c=(-3) 2 −4 2 1=9-8=1 . 1>0 이후

우리는 두 개의 근을 얻었고 그 중 가장 큰 것이 숫자 1입니다.

답변: 1.

실시예 5 방정식 x 풀기 2 -21=4x.

방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 큰 것을 기록하십시오.

해결책. 이전 예와 유사하게 등호 왼쪽으로 4h 이동하고 다음을 얻습니다.

이 경우 이차 방정식의 계수는 다음과 같습니다. a=1 , k=-2 및 c=-21 . 알고리즘에 따르면 먼저 판별식을 계산해야 합니다. D'=k 2 −a c=(-2) 2 −1 (−21)=4+21=25 . 번호 25>0 , 즉 판별식이 0보다 크면 이차 방정식은 두 개의 실근을 갖습니다. 루트 공식으로 찾아보자

답: 7.

1.2.3 이차방정식을 푸는 특별한 방법

1) 2차방정식의 근과 계수의 관계. 비에타의 정리.

이차 방정식의 근에 대한 공식은 방정식의 근을 계수로 표현합니다. 근의 공식을 기반으로 근과 계수 사이의 다른 관계를 얻을 수 있습니다.

가장 유명하고 적용 가능한 공식은 Vieta의 정리입니다.

정리: 하자 - 축소된 이차 방정식의 근. 그런 다음 근의 곱은 자유 항과 같고 근의 합은 두 번째 계수의 반대 값과 같습니다.

이미 작성된 공식을 사용하여 이차 방정식의 근과 계수 사이에 다른 여러 관계를 얻을 수 있습니다. 예를 들어 2차 방정식의 근의 제곱합을 해당 계수로 표현할 수 있습니다.

실시예 6 a) 방정식 x를 풉니다. 2

b) 방정식 x를 풉니다. 2

c) 방정식 x를 풉니다. 2

해결책.

a) 방정식 x를 풉니다. 2 -6x+5=0. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 작은 것을 기록하십시오.

가장 작은 뿌리를 선택하십시오.

답변: 1

b) 방정식 x를 풉니다. 2 +7x+10=0. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 큰 것을 기록하십시오.

Vieta 정리를 적용하여 근에 대한 공식을 작성합니다.

논리적으로 우리는 다음과 같이 결론을 내립니다.. 가장 큰 뿌리를 선택하십시오.

답: ─2.

c) 방정식 x를 풉니다. 2 ─5x─14=0. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 큰 것을 기록하십시오.

Vieta 정리를 적용하여 근에 대한 공식을 작성합니다.

논리적으로 우리는 다음과 같이 결론을 내립니다.. 가장 작은 뿌리를 선택하십시오.

답: ─2.

1.3 유리 방정식

다음 형식의 분수가 포함된 방정식이 주어진 경우분자 또는 분모에 변수가 있는 경우 이러한 식을 합리적 방정식이라고 합니다. 유리 방정식은 적어도 하나의 유리 표현식을 포함하는 방정식입니다. 유리 방정식은 모든 방정식과 동일한 방식으로 해결됩니다. 변수가 방정식의 한쪽에서 분리될 때까지 방정식의 양쪽에서 동일한 작업이 수행됩니다. 그러나 유리 방정식을 푸는 방법에는 두 가지가 있습니다.

1) 십자형 곱셈.필요한 경우 각 변에 하나의 분수(하나의 유리식)가 있도록 주어진 방정식을 다시 작성하십시오. 그래야만 교차 곱셈 방법을 사용할 수 있습니다.

왼쪽 분수의 분자에 오른쪽 분수의 분모를 곱합니다. 오른쪽 분수의 분자와 왼쪽 분수의 분모로 이것을 반복하십시오.

• 십자 곱셈은 기본 대수학 원리를 기반으로 합니다. 유리식 및 기타 분수에서는 두 분수의 분자와 분모를 적절하게 곱하여 분자를 없앨 수 있습니다.
• 결과 식을 동일시하고 단순화합니다.
• 결과 방정식을 풉니다. 즉, "x"를 찾으십시오. "x"가 방정식의 양쪽에 있으면 방정식의 한쪽으로 분리하십시오.

2) 최소 공통 분모(LCD)는 이 방정식을 단순화하는 데 사용됩니다.이 방법은 방정식의 양변에 하나의 유리식으로 주어진 방정식을 쓸 수 없을 때(교차 곱셈 방법 사용) 사용됩니다. 이 방법은 분수가 3개 이상인 유리 방정식이 주어졌을 때 사용합니다(분수가 2개인 경우 교차 곱셈이 더 좋음).

• 분수의 최소 공분모(또는 최소 공배수)를 찾습니다.NOZ는 각 분모로 균등하게 나눌 수 있는 가장 작은 숫자입니다.
• NOZ를 각 분수의 해당 분모로 나눈 결과와 동일한 숫자로 각 분수의 분자와 분모를 모두 곱합니다.
• x를 찾으십시오. 이제 분수를 공통 분모로 줄였으므로 분모를 제거할 수 있습니다. 이렇게 하려면 방정식의 각 변에 공통 분모를 곱하십시오. 그런 다음 결과 방정식을 풉니다. 즉, "x"를 찾으십시오. 이렇게 하려면 방정식의 한쪽에 있는 변수를 분리하십시오.

실시예 7 방정식 풀기: a); 나) 다).

해결책.

ㅏ) . 교차 곱셈 방법을 사용합니다.

괄호를 열고 같은 용어를 추가합니다.

하나의 미지의 선형 방정식을 얻었다

답: ─10.

비) , 이전 예와 유사하게 십자 곱셈 방법을 적용합니다.

답: ─1.9.

V) , 우리는 최소 공통 분모 (LCD) 방법을 사용합니다.

이 예에서 공통 분모는 12입니다.

답변: 5.

2장 복소 방정식

복잡한 방정식의 범주에 속하는 방정식은 해결을 위해 다양한 방법과 기술을 결합할 수 있습니다. 그러나 어떤 식 으로든 논리적 추론 방법과 동등한 행동에 의한 모든 방정식은 이전에 연구 된 방정식으로 이어집니다.

실시예 7 방정식( x +3) 2 =(x +8) 2 .

해결책. 약식 곱셈 공식에 따라 괄호를 엽니다.

우리는 등호 너머의 모든 용어를 양도하고 유사한 것을 제공합니다.

답변: 5.5.

실시예 8 방정식 풀기: a)(− 5 x +3)(− x +6)=0, b) (x +2)(− x +6)=0.

해결책.

a)(− 5 x +3)(− x +6)=0; 괄호를 열고 같은 용어를 제공

판별식의 첫 번째 공식을 통해 해결할 완전한 이차 방정식을 얻었습니다.

방정식에는 두 개의 근이 있습니다

답: 0.6과 6.

b) (x +2)(− x +6)=0, 이 방정식에 대해 논리적 추론을 할 것입니다(요인 중 하나가 0일 때 제품은 0과 같습니다). 수단

답: ─2와 6.

실시예 9 방정식을 풉니다., b).

해결책. 가장 낮은 공통 분모 찾기

우리는 변수의 거듭제곱의 내림차순으로 씁니다.

; 두 번째 계수가 짝수인 완전한 이차 방정식을 얻었습니다.

방정식에는 두 개의 실근이 있습니다.

답변: .

비) . 추론은 유사합니다). 노즈를 찾아서

괄호를 열고 같은 용어를 부여하십시오.

우리는 일반 공식을 통해 완전한 이차 방정식을 풉니다.

답변: .

실시예 10 방정식을 풉니다.

해결책.

ㅏ) , 왼쪽에서 괄호 안의 표현식은 약식 곱셈의 공식, 더 정확하게는 두 표현식의 합의 제곱임을 알 수 있습니다. 변신시키자

; 이 방정식의 항을 한 방향으로 이동

괄호에서 꺼내

요인 중 하나가 0이면 제품은 0입니다. 수단,

답: ─2, ─1, 1.

비) 예를 들어 a)와 같은 방식으로 주장합니다.

, Vieta의 정리에 의해

답변:

예 11. 방정식 풀기 a)

해결책.

ㅏ) ; [등식의 좌변과 우변에는 브라케팅 방식을 적용할 수 있고, 좌변에는 빼기로 하겠습니다., 오른쪽에서 숫자 16을 꺼냅니다.]

[모두 한쪽으로 치우고 브라케팅 방식을 다시 한 번 적용해 보자. 우리는 공통 요소를 꺼낼 것입니다]

[요인 중 하나가 0일 때 제품은 0입니다.]

답변:

비) . [이 방정식은 방정식 a)와 유사합니다. 따라서 이 경우 그룹핑 방식이 적용됩니다.]

답변:

예 12. 방정식 풀기=0.

해결책.

0 [2차 방정식. 변수 방식 변경으로 해결].

0; [비에타 정리를 적용하면 근을 얻는다]

. [이전 변수로 돌아가기]

답변:

실시예 13 방정식 풀기

해결책. [2차방정식, 모듈로 부호를 적용하여 짝수차수를 없애라.]

[두 개의 이차방정식을 얻었는데, 이를 이차방정식의 근의 기본공식을 통해 풀었습니다.]

실근이 없습니다. 방정식에는 두 개의 근이 있습니다.

답변:

실시예 14 방정식 풀기

해결책.

오즈:

[방정식의 모든 항을 왼쪽으로 옮기고 같은 항을 가져옵니다]

[비에타 정리로 쉽게 풀 수 있는 축소된 이차방정식을 얻었습니다.]

숫자 - 1은 주어진 방정식의 ODZ를 만족하지 않으므로 이 방정식의 근이 될 수 없습니다. 따라서 루트는 숫자 7뿐입니다.

답: 7.

실시예 15 방정식 풀기

해결책.

두 표현식의 제곱의 합은 표현식이 동시에 0과 같은 경우에만 0이 될 수 있습니다. 즉

[각 방정식을 개별적으로 풀기]

Vieta의 정리에 따르면

-5와 같은 근의 일치가 방정식의 근이 됩니다.

답변: - 5.

결론

작업 결과를 요약하면 방정식이 수학 발전에 큰 역할을 한다는 결론을 내릴 수 있습니다. 습득 한 지식을 체계화하고 다루는 자료를 요약했습니다. 이 지식은 다가오는 시험에 대비할 수 있습니다.

우리의 작업은 수학이 우리 앞에 놓인 문제를 다른 시각으로 바라볼 수 있도록 합니다.

• 프로젝트가 끝나면 이전에 연구한 방정식 해결 방법을 체계화하고 일반화했습니다.
• 방정식과 방정식의 속성을 푸는 새로운 방법에 대해 알게 되었습니다.

• 첫 번째 부분과 두 번째 부분 모두에서 OGE의 작업에 있는 모든 유형의 방정식을 고려했습니다.
• 체계적인 컬렉션 "OGE 작업의 방정식"을 만들었습니다.

우리는 수학의 주요 주 시험 과제에서 모든 유형의 방정식을 고려하기 위해 우리 앞에 설정된 목표를 달성했다고 믿습니다.

사용된 문헌 목록:

1. B.V. Gnedenko "현대 세계의 수학". 모스크바 "계몽"1980

2. Ya.I. Perelman "재미있는 대수학". 모스크바 "과학"1978

6. http://tutorial.math.lamar.edu

7. http://www.regentsprep.org

8. http://www.fipi.ru

부록 1

선형 방정식

1. 방정식의 근 찾기

2. 방정식의 근 찾기

3. 방정식의 근 찾기

부록 2

불완전한 이차 방정식

1. x 방정식 풀기 2 =5배. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 작은 것을 기록하십시오.

2. 방정식 2x 풀기 2 =8x. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 작은 것을 기록하십시오.

3. 방정식 3x 풀기 2 =9x. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 작은 것을 기록하십시오.

4. 방정식 4x 풀기 2 =20배. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 작은 것을 기록하십시오.

5. 방정식 5x 풀기 2 =35배. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 작은 것을 기록하십시오.

6. 방정식 6x 풀기 2 =36배. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 작은 것을 기록하십시오.

7. 방정식 7x 풀기 2 =42배. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 작은 것을 기록하십시오.

8. 방정식 8x 풀기 2 =72배. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 작은 것을 기록하십시오.

9. 방정식 9x 풀기 2 =54배. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 작은 것을 기록하십시오.

10. 방정식 10x 풀기2 =80배. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 작은 것을 기록하십시오.

11. 방정식 5x 풀기2 -10x=0. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 큰 것을 기록하십시오.

12. 방정식 3x 풀기2 -9x=0. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 큰 것을 기록하십시오.

13. 방정식 4x 풀기2 -16x=0. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 큰 것을 기록하십시오.

14. 방정식 5x 풀기2 +15x=0. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 작은 것을 기록하십시오.

15. 방정식 3x 풀기2 +18x=0. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 작은 것을 기록하십시오.

16. 방정식 6x 풀기2 +24x=0. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 작은 것을 기록하십시오.

17. 방정식 4x 풀기2 -20x=0. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 큰 것을 기록하십시오.

18. 방정식 5x 풀기2 +20x=0. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 작은 것을 기록하십시오.

19. 방정식 7x 풀기2 -14x=0. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 큰 것을 기록하십시오.

20. 방정식 3x 풀기2 +12x=0. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 작은 것을 기록하십시오.

21. x 방정식 풀기2 -9=0. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 작은 것을 기록하십시오.

22. x 방정식 풀기2 -121=0. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 작은 것을 기록하십시오.

23. x 방정식 풀기2 -16=0. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 작은 것을 기록하십시오.

24. x 방정식 풀기2 -25=0. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 작은 것을 기록하십시오.

25. 방정식 x 풀기2 -49=0. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 작은 것을 기록하십시오.

26. x 방정식 풀기2 -81=0. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 작은 것을 기록하십시오.

27. x 방정식 풀기2 -4=0. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 작은 것을 기록하십시오.

28. 방정식 x 풀기2 -64=0. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 작은 것을 기록하십시오.

29. x 방정식 풀기2 -36=0. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 작은 것을 기록하십시오.

30. 방정식 x 풀기2 -144=0. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 작은 것을 기록하십시오.

31. x 방정식 풀기2 -9=0. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 큰 것을 기록하십시오.

32. x 방정식 풀기2 -121=0. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 큰 것을 기록하십시오.

33. x 방정식 풀기2 -16=0. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 큰 것을 기록하십시오.

34. x 방정식 풀기2 -25=0. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 큰 것을 기록하십시오.

35. 방정식 x 풀기2 -49=0. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 큰 것을 기록하십시오.

36. 방정식 x 풀기2 -81=0. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 큰 것을 기록하십시오.

37. x 방정식 풀기2 -4=0. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 큰 것을 기록하십시오.

38. 방정식 x 풀기2 -64=0. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 큰 것을 기록하십시오.

39. x 방정식 풀기2 -36=0. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 큰 것을 기록하십시오.

40. 방정식 x 풀기2 -144=0. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 큰 것을 기록하십시오.

부록 3

완전한 이차방정식

1. x 방정식 풀기2 +3x=10. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 큰 것을 기록하십시오.

2. 방정식 x 풀기2 +7x=18. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 큰 것을 기록하십시오.

3. 방정식 x 풀기2 +2x=15. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 작은 것을 기록하십시오.

4. 방정식 x 풀기2 -6x=16. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 작은 것을 기록하십시오.

5. 방정식 x 풀기2 -3x=18. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 큰 것을 기록하십시오.

6. 방정식 x 풀기2 −18=7x. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 큰 것을 기록하십시오.

7. 방정식 x 풀기2 +4x=21. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 작은 것을 기록하십시오.

8. 방정식 x 풀기2 −21=4x. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 큰 것을 기록하십시오.

9. 방정식 x 풀기2 -15=2x. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 작은 것을 기록하십시오.

10. 방정식 x 풀기2 -5x=14. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 큰 것을 기록하십시오.

11. 방정식 x 풀기2 +6=5배. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 작은 것을 기록하십시오.

12. 방정식 x 풀기2 +4=5배. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 큰 것을 기록하십시오.

13. 방정식 x 풀기2 -x=12. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 큰 것을 기록하십시오.

14. 방정식 x 풀기2 +4x=5. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 작은 것을 기록하십시오.

15. 방정식 x 풀기2 -7x=8. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 큰 것을 기록하십시오.

16. 방정식 x 풀기2 +7=8배. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 작은 것을 기록하십시오.

17. 방정식 x 풀기2 +18=9배. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 작은 것을 기록하십시오.

18. 방정식 x 풀기2 +10=7배. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 큰 것을 기록하십시오.

19. x 방정식 풀기2 -20=엑스. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 큰 것을 기록하십시오.

20. x 방정식 풀기2 −35=2x. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 작은 것을 기록하십시오.

21. 방정식 2x 풀기2 -3x+1=0. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 작은 것을 기록하십시오.

22. 방정식 5x 풀기2 +4x−1=0. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 큰 것을 기록하십시오.

23. 방정식 2x 풀기2 +5x-7=0. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 작은 것을 기록하십시오.

24. 방정식 5x 풀기2 -12x+7=0. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 큰 것을 기록하십시오.

25. 방정식 5x 풀기2 -9x+4=0. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 작은 것을 기록하십시오.

26. 방정식 8x 풀기2 -12x+4=0. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 작은 것을 기록하십시오.

27. 방정식 8x 풀기2 -10x+2=0. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 작은 것을 기록하십시오.

28. 방정식 6x 풀기2 -9x+3=0. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 작은 것을 기록하십시오.

29. 방정식 5x 풀기2 +9x+4=0. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 큰 것을 기록하십시오.

30. 방정식 5x 풀기2 +8x+3=0. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 큰 것을 기록하십시오.

31. x 방정식 풀기2 -6x+5=0. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 작은 것을 기록하십시오.

32. x 방정식 풀기2 -7x+10=0. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 작은 것을 기록하십시오.

33. x 방정식 풀기2 -9x+18=0. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 작은 것을 기록하십시오.

34. x 방정식 풀기2 -10x+24=0. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 작은 것을 기록하십시오.

35. 방정식 x 풀기2 -11x+30=0. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 작은 것을 기록하십시오.

36. 방정식 x 풀기2 -8x+12=0. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 큰 것을 기록하십시오.

37. x 방정식 풀기2 -10x+21=0. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 큰 것을 기록하십시오.

38. 방정식 x 풀기2 -9x+8=0. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 큰 것을 기록하십시오.

39. x 방정식 풀기2 -11x+18=0. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 큰 것을 기록하십시오.

40. 방정식 x 풀기2 -12x+20=0. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 큰 것을 기록하십시오.

부록 4

합리적인 방정식.

1. 방정식의 근 찾기

2. 방정식의 근 찾기

3. 방정식의 근 찾기

4. 방정식의 근 찾기

5. 방정식의 근 찾기

6. 방정식의 근 찾기.

7. 방정식의 근 찾기

8. 방정식의 근 찾기

9. 방정식의 근 찾기.

10. 방정식의 근 찾기

11. 방정식의 근 찾기.

12. 방정식의 근 찾기

13. 방정식의 근 찾기

14. 방정식의 근 찾기

15. 방정식의 근 찾기

16. 방정식의 근 찾기

17. 방정식의 근 찾기

18. 방정식의 근 찾기

19. 방정식의 근 찾기

20. 방정식의 근 찾기

21. 방정식의 근 찾기

22. 방정식의 근 찾기

23. 방정식의 근 찾기

부록 5

복잡한 방정식.

1. 방정식의 근 찾기 (x+3)2 =(x+8)2 .

2. 방정식(x−5)의 근을 찾으십시오.2 =(x+10)2 .

3. 방정식의 근을 찾으십시오(x+9).2 =(x+6)2 .

4. 방정식의 근을 찾으십시오(x+10).2 =(엑스-9)2 .

5. 방정식(x−5)의 근을 찾으십시오.2 =(엑스-8)2 .

6. 방정식의 근 찾기.

7. 방정식의 근 찾기.

8. 방정식의 근 찾기.

9. 방정식의 근 찾기.

10. 방정식의 근 찾기.

11. 방정식 (x+2)(− x+6)=0을 풉니다. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 작은 것을 기록하십시오.

12. 방정식 (x+3)(− x−2)=0을 풉니다. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 작은 것을 기록하십시오.

13. 방정식 (x−11)(− x+9)=0을 풉니다. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 작은 것을 기록하십시오.

14. 방정식 (x−1)(− x−4)=0을 풉니다. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 작은 것을 기록하십시오.

15. 방정식 (x−2)(− x−1)=0을 풉니다. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 작은 것을 기록하십시오.

16. 방정식 (x+20)(− x+10)=0을 풉니다. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 큰 것을 기록하십시오.

17. 방정식 (x−2)(− x−3)=0을 풉니다. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 큰 것을 기록하십시오.

18. 방정식 (x−7)(− x+2)=0을 풉니다. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 큰 것을 기록하십시오.

19. 방정식 (x−5)(− x−10)=0을 풉니다. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 큰 것을 기록하십시오.

20. 방정식 (x+10)(− x−8)=0을 풉니다. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 큰 것을 기록하십시오.

21. 방정식 (− 5x+3)(− x+6)=0을 풉니다. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 작은 것을 기록하십시오.

22. 방정식 (− 2x+1)(− 2x−7)=0을 풉니다. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 작은 것을 기록하십시오.

23. 방정식 (− x−4)(3x+3)=0을 풉니다. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 큰 것을 기록하십시오.

24. 방정식 (x−6)(4x−6)=0을 풉니다. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 작은 것을 기록하십시오.

25. 방정식 (− 5x−3)(2x−1)=0을 풉니다. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 작은 것을 기록하십시오.

26. 방정식 (x−2)(− 2x−3)=0을 풉니다. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 작은 것을 기록하십시오.

27. 방정식 (5x+2)(− x−4)=0을 풉니다. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 큰 것을 기록하십시오.

28. 방정식 (x−6)(− 5x−9)=0을 풉니다. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 작은 것을 기록하십시오.

29. 방정식 (6x−3)(− x+3)=0을 풉니다. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 큰 것을 기록하십시오.

30. 방정식 (5x−2)(− x+3)=0을 풉니다. 방정식에 하나 이상의 근이 있는 경우 답으로 근 중 더 작은 것을 기록하십시오.

31. 방정식 풀기

32. 방정식 풀기

33. 방정식 풀기

34. 방정식 풀기

35. 방정식 풀기

36. 방정식 풀기

37. 방정식 풀기

38. 방정식 풀기

39. 방정식 풀기

40 방정식 풀기

41. 방정식 풀기 x(엑스2 +2x+1)=2(x+1).

42. 방정식 풀기 (x−1)(x2 +4x+4)=4(x+2).

43. 방정식 풀기 엑스(엑스2 +6x+9)=4(x+3).

44. 방정식 풀기 (x−1)(x2 +8x+16)=6(x+4).

45. 방정식 풀기 엑스(엑스2 +2x+1)=6(x+1).

46. ​​방정식 풀기 (x−1)(x2 +6x+9)=5(x+3).

47. 방정식 풀기 (x−2)(x2 +8x+16)=7(x+4).

48. 방정식 풀기 엑스(엑스2 +4x+4)=3(x+2).

49. 방정식 풀기 (x−2)(x2 +2x+1)=4(x+1).

50. 방정식 풀기 (x−2)(x2 +6x+9)=6(x+3).

51. 방정식 풀기 (x+2)4 -4(x+2)2 −5=0.

52. 방정식 풀기 (x+1)4 +(x+1)2 −6=0.

53. 방정식 풀기 (x+3)4 +2(x+3)2 −8=0.

54. 방정식 (x−1)을 풉니다.4 -2(x-1)2 −3=0.

55. 방정식 풀기 (x−2)4 −(엑스−2)2 −6=0.

56. 방정식 풀기 (x−3)4 -3(x-3)2 −10=0.

57. 방정식 풀기 (x+4)4 -6(x+4)2 −7=0.
58. 방정식 풀기 (x−4)4 -4(x-4)2 −21=0.

59. 방정식 풀기 (x+2)4 +(x+2)2 −12=0.

60. 방정식 풀기 (x−2)4 +3(x−2)2 −10=0.

61. 방정식 x 풀기3 +3배2 =16x+48.

62. 방정식 x 풀기3 +4배2 =4x+16.

63. 방정식 x 풀기3 +6배2 =4x+24.

64. 방정식 x 풀기3 +6배2 =9x+54.

65. 방정식 x 풀기3 +3배2 =4x+12.

66. 방정식 x 풀기3 +2배2 =9x+18.

67. 방정식 x 풀기3 +7배2 =4x+28.

68. 방정식 x 풀기3 +4배2 =9x+36.

69. 방정식 x 풀기3 +5배2 =4x+20.

70. 방정식 x 풀기3 +5배2 =9x+45.

71. 방정식 x 풀기3 +3배2 -x-3=0.

72. 방정식 x 풀기3 +4배2 -4x-16=0.

73. 방정식 x 풀기3 +5배2 -x-5=0.

74. 방정식 x 풀기3 +2배2 -x-2=0.

75. 방정식 x 풀기3 +3배2 -4x-12=0.

76. 방정식 x 풀기3 +2배2 -9x-18=0.

77. 방정식 x 풀기3 +4배2 -x-4=0.

78. 방정식 x 풀기3 +4배2 -9x-36=0.

79. 방정식 x 풀기3 +5배2 -4x-20=0.
80. 방정식 x 풀기3 +5배2 -9x-45=0.

81. 방정식 x 풀기4 =(x-20)2 .

82. 방정식 x 풀기4 =(2x-15)2 .

83. 방정식 x 풀기4 =(3x-10)2 .

84. 방정식 x 풀기4 =(4x−5)2 .

85. 방정식 x 풀기4 =(엑스-12)2 .

86. 방정식 x 풀기4 =(2x−8)2 .

87. 방정식 x 풀기4 =(3x-4)2 .

88. 방정식 x 풀기4 =(엑스-6)2 .

89. 방정식 x 풀기4 =(2x−3)2 .

90. 방정식 x 풀기4 =(엑스-2)2 .

91. 방정식 풀기

92. 방정식 풀기

93. 방정식 풀기

94. 방정식 풀기

95. 방정식 풀기

96. 방정식 풀기

97. 방정식 풀기

98. 방정식 풀기

99. 방정식 풀기

100. 방정식 풀기

101. 방정식 풀기.

102. 방정식 풀기

103. 방정식 풀기

104. 방정식 풀기

105. 방정식 풀기

106. 방정식 풀기

107. 방정식 풀기

108. 방정식 풀기

109. 방정식 풀기

110. 방정식 풀기

! 이론에서 실천으로;

! 단순한 것에서 복잡한 것으로

MAOU "Platoshinskaya 중등 학교",

수학 교사 Melekhina G.V.

선형 방정식의 일반 보기: 도끼 + 비 = 0 ,

어디 ㅏ그리고 비– 숫자(계수).

• 만약에 a = 0그리고 b = 0, 저것 0x+ 0 = 0 - 무한히 많은 뿌리;
• 만약에 a = 0그리고 b ≠ 0, 저것 0x+ b = 0- 솔루션 없음
• 만약에 ≠ 0그리고 비 = 0 , 저것 도끼 + 0 = 0 – 하나의 근, x = 0;
• 만약에 ≠ 0그리고 비 ≠ 0 , 저것 도끼 + 비 = 0 - 하나의 뿌리

! X가 1승이고 분모에 포함되지 않으면 이것은 선형 방정식입니다.

! 선형 방정식이 복잡한 :

! 왼쪽에 X가 있는 항, 오른쪽에 X가 없는 항.

! 이 방정식은 또한 선형 .

! 비율의 주요 속성(십자형).

! 왼쪽에 X가 있고 오른쪽에 X가 없는 여는 괄호.

• 계수가 a = 1, 방정식이 호출됩니다 주어진 :

• 계수가 비 = 0 또는 (그리고) 씨 = 0, 방정식이 호출됩니다 불완전한 :

! 기본 공식

! 더 많은 수식

2차 방정식형식의 방정식이라고합니다. 도끼 4 +bx 2 + c = 0 .

이차방정식은 다음과 같이 감소합니다. 이차 방정식대체하여

이차 방정식을 얻습니다.

뿌리를 찾고 교체로 돌아갑니다.

예 1:

방정식 x 풀기 4 + 5배 2 – 36 = 0.

해결책:

대체: x 2 = t.

t 2 + 5t - 36 = 0. 방정식 t 1 = -9 및 t 2 = 4의 근.

x 2 \u003d -9 또는 x 2 \u003d 4.

대답: 첫 번째 방정식에는 두 번째 방정식의 근이 없습니다. x \u003d ± 2.

예 2:

방정식을 풀다 (2x - 1) 4 - 25 (2x - 1) 2 + 144 = 0.

해결책:

대체: (2x - 1) 2 = t.

t 2 - 25t + 144 = 0. 방정식의 근은 t 1 = 9 및 t 2 = 16입니다.

(2x - 1) 2 = 9 또는 (2x - 1) 2 = 16.

2x - 1 = ±3 또는 2x - 1 = ±4.

첫 번째 방정식에는 x \u003d 2 및 x \u003d -1의 두 근이 있고 두 번째 방정식에는 x \u003d 2.5 및 x \u003d -1.5의 두 근이 있습니다.

답변: -1.5; -1; 2; 2.5.

1) 엑스 4 - 9 엑스 2 = 0; 2) 4 엑스 4 - x 2 \u003d 0;

1) 엑스 4 +엑스 2 - 2 = 0;

2) 엑스 4 - 3 엑스 2 - 4 = 0; 3) 9 엑스 4 + 8 엑스 2 - 1 = 0; 4) 20 엑스 4 - 엑스 2 - 1 = 0.

좌변에서 추출하여 방정식 풀기 풀 스퀘어 :

1) 엑스 4 - 20 엑스 2 + 64 = 0; 2) 엑스 4 - 13 엑스 2 + 36 = 0; 3) 엑스 4 - 4 엑스 2 + 1 = 0; 4) 엑스 4 + 2 엑스 2 +1 = 0.

! 합계의 제곱과 차이의 제곱을 기억하십시오.

합리적 표현숫자와 변수로 구성된 대수식 엑스덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈 및 지수 연산을 자연 지수와 함께 사용합니다.

만약에 r(엑스)가 유리식이면 방정식 r(엑스)=0합리적인 방정식이라고합니다.

유리 방정식을 풀기 위한 알고리즘:

1. 방정식의 모든 항을 한 부분으로 옮깁니다.

2. 방정식의 이 부분을 대수 분수의 형태로 변환합니다. p(엑스)/q(엑스)

3. 방정식을 풀다 p(엑스)=0

4. 방정식의 각 근에 대해 p(엑스)=0조건에 맞는지 확인 큐(엑스)≠0아니면. 그렇다면 이것은 주어진 방정식의 근입니다. 그렇지 않은 경우 외부 루트이므로 응답에 포함되지 않아야 합니다.

! 분수 합리적 방정식의 해를 상기하십시오.

! 방정식을 풀려면 약식 곱셈 공식을 기억하는 것이 좋습니다.

방정식이 제곱근 부호 아래에 변수를 포함하는 경우 방정식을 호출합니다. 비합리적인 .

방정식의 양변을 제곱하는 방법- 무리수 방정식을 푸는 주요 방법.

결과 유리 방정식을 풀면 다음이 필요합니다. 확인하다 , 가능한 외부 뿌리를 선별합니다.

답변: 5; 4

다른 예시:

시험:

표현이 말이 안됩니다.

답변:해결책이 없습니다.

방정식의 해

OGE 준비

9학년

상트 페테르부르크 Putrova Marina Nikolaevna의 Nevsky 지역 GBOU 14 번 학교 수학 교사가 준비했습니다.

문장을 완성하시오:

1). 방정식은...

2). 방정식의 근은...

삼). 방정식을 푸는 것은...

I. 구두로 방정식을 풉니다.

• 1). 6x + 18=0
• 2). 2배 + 5=0
• 삼). 5배 - 3=0
• 4). -3x + 9=0
• 5). -5x + 1=0
• 6). -2x - 10=0
• 7). 6배 - 7=5배
• 8). 9배 + 6=10배
• 9). 5배 - 12=8배

다음 중 해가 없는 방정식은 무엇입니까?

ㅏ). 2x - 14 = x + 7

비). 2x - 14 = 2(x - 7)

V). x-7 \u003d 2x + 14

G). 2x-14 = 2x + 7?

해가 무한히 많은 방정식은 무엇입니까?

ㅏ). 4x - 12 = 엑스 - 12

비). 4x - 12 = 4x + 12

V). 4(x - 3) = 4x - 12

G). 4 (x-3) \u003d x-10?

관점의 방정식

kx + b = 0

선형이라고합니다.

선형 방정식을 푸는 알고리즘 :

1). 미지수를 포함하는 용어를 왼쪽으로 이동하고 미지수를 포함하지 않는 용어를 오른쪽으로 이동합니다(이동된 구성원의 부호가 반전됨).

2). 같은 회원을 데려 오십시오.

3) 0이 아닌 경우 방정식의 양변을 미지의 계수로 나눕니다.

노트북에서 방정식 풀기 :

II군: 697호 p.63

x-1 +(x+2) = -4(-5-x)-5

나는 그룹:

№ 681p.63

6(4x)+3x=3

III군: 767호 67면

(엑스 + 6) 2 + (엑스 + 3) 2 = 2배 2

유형 방정식

아 2 + bx + c \u003d 0,

여기서 a≠0, b, c – 모든 실수를 제곱이라고 합니다.

불완전한 방정식:

아 2 + bx =0(c=0),

아 2 + c=0(b=0).

II. 완전한지 또는 불완전한지 나타내는 이차방정식을 구두로 풉니다.

1). 5배 2 + 15x=0

2). -엑스 2 +2x = 0

삼). 엑스 2 -25=0

4). -엑스 2 +9 =0

5). -엑스 2 - 16 =0

6). 엑스 2 - 8배 + 15=0

7 ) . 엑스 2 + 5x + 6=0

8). 엑스 2 + 엑스 - 12 = 0

9).(-x-5)(-x+ 6)=0

질문:

1). 불완전한 이차 방정식을 풀기 위해 방정식의 어떤 속성이 사용되었습니까?

2). 불완전한 이차 방정식을 풀기 위해 다항식을 인수분해하는 방법은 무엇입니까?

삼). 완전한 이차 방정식을 풀기 위한 알고리즘은 무엇입니까 ?

0.2 뿌리; D = 0, 1 루트; D X 1.2 = "너비 = 640"

1). 두 인수 중 하나가 0이면 두 요소의 곱은 0과 같고 두 번째 요소는 의미를 잃지 않습니다. ab = 0 , 만약에 a = 0 또는 b = 0 .

2). 공약수를 빼고

ㅏ 2 -비 2 =(a - b)(a + b) - 제곱의 차이에 대한 공식.

삼). 완전 이차 방정식 ah 2 + bx + c = 오.

디=비 2 – 4ac 경우 D0, 2루트;

D = 0, 1 루트;

엑스 1,2 =

방정식 풀기 :

그룹 I: 802호 71면 엑스 2 - 5x- 36 = 0

II군: 810호 71면 3배 2 - x + 21=5x 2

III 그룹: 엑스 4 -5배 2 - 36 =0

III. 방정식 풀기 :

I 및 II 그룹: 번호 860 = 0

III 그룹: =0

그러한 방정식은 무엇입니까? 이를 해결하기 위해 어떤 속성이 사용됩니까?

유리 방정식은 다음 형식의 방정식입니다.

분자가 0이고 분모가 0이 아니면 분수는 0입니다. a = 0이면 =0, b≠0.

수학의 간략한 역사

• 고대 이집트의 수학자들은 2차 방정식과 1차 방정식을 푸는 방법을 알고 있었습니다.

• 페르시아 중세 과학자 Al-Khwarizmi (IX 세기)는 선형 및 이차 방정식을 푸는 일반적인 방법에 대한 독립 과학으로 대수학을 처음 도입했으며 이러한 방정식을 분류했습니다.

• 수학의 새로운 위대한 돌파구는 프랑스 과학자 Francois Vieta (XVI 세기)의 이름과 관련이 있습니다. 대수학에 문자를 도입한 사람은 바로 그 사람이었습니다. 그는 이차 방정식의 근에 대한 잘 알려진 정리를 소유하고 있습니다.

• 그리고 우리는 라틴 알파벳의 마지막 문자(x, y, z)로 미지의 양을 표시하는 전통을 또 다른 프랑스 수학자 르네 데카르트(XVII)에게 빚지고 있습니다.

알콰리즈미

프랑수아 비엣

르네 데카르트

숙제

사이트 작업 :

- 개방형 작업 은행 OGE(수학) http://85.142.162.126/os/xmodules/qprint/index.php?proj=DE0E276E497AB3784C3FC4CC20248DC0 ;

- D. Gushchin의 "OGE를 풀겠습니다" https://oge.sdamgia.ru/ ;

- A. Larin 웹사이트(옵션 119) http://alexlarin.net/ .

튜토리얼:

- Yu.M. Kolyagin 교과서 "Algebra Grade 9", M., "Enlightenment", 2014, p. 308-310;

- "3000 작업" 아래. I.V. Yashchenko, M., "시험", 2017, pp.59-74.