Hər natural ədəd üçün n real rəqəmə uyğundur a n , sonra deyirlər ki, verilir nömrə ardıcıllığı :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Beləliklə, ədəd ardıcıllığı təbii arqumentin funksiyasıdır.

Nömrə a 1 çağırdı ardıcıllığın birinci müddəti , nömrə a 2 — ardıcıllığın ikinci müddəti , nömrə a 3 — üçüncü və s. Nömrə a n çağırdı n-ci dövr ardıcıllıqlar , və natural ədəd n — onun nömrəsi .

İki qonşu üzvdən a n Və a n +1 ardıcıllıq üzvü a n +1 çağırdı sonrakı (nisbi a n ), A a n — əvvəlki (nisbi a n +1 ).

Ardıcıllığı müəyyən etmək üçün istənilən nömrə ilə ardıcıllığın üzvünü tapmağa imkan verən metodu təyin etməlisiniz.

Çox vaxt ardıcıllıq istifadə edərək müəyyən edilir n-ci dövr düsturları , yəni ardıcıllığın üzvünü onun nömrəsinə görə təyin etməyə imkan verən düstur.

Məsələn,

düsturla müsbət tək ədədlər ardıcıllığı verilə bilər

a n= 2n- 1,

və dəyişmə ardıcıllığı 1 Və -1 - formula

b n = (-1)n +1 . ◄

Ardıcıllığı müəyyən etmək olar təkrarlanan formula, yəni bəzilərindən başlayaraq ardıcıllığın istənilən üzvünü əvvəlki (bir və ya bir neçə) üzv vasitəsilə ifadə edən düstur.

Məsələn,

Əgər a 1 = 1 , A a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Əgər a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , sonra ədədi ardıcıllığın ilk yeddi üzvü aşağıdakı kimi qurulur:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Ardıcıllıq ola bilər final Və sonsuz .

Ardıcıllıq deyilir son , əgər onun məhdud sayda üzvləri varsa. Ardıcıllıq deyilir sonsuz , əgər onun sonsuz sayda üzvü varsa.

Məsələn,

ikirəqəmli natural ədədlərin ardıcıllığı:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

final.

Sadə ədədlərin ardıcıllığı:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

sonsuz. ◄

Ardıcıllıq deyilir artır , əgər onun üzvlərinin hər biri, ikincidən başlayaraq, əvvəlkindən böyükdürsə.

Ardıcıllıq deyilir azalan , əgər onun üzvlərinin hər biri ikincidən başlayaraq əvvəlkindən azdırsa.

Məsələn,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . - artan ardıcıllıq;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . - azalan ardıcıllıq. ◄

Elementləri sayı artdıqca azalmayan və ya əksinə artmayan ardıcıllığa deyilir. monoton ardıcıllıq .

Xüsusilə monoton ardıcıllıqlar artan ardıcıllıqlar və azalan ardıcıllıqlardır.

Arifmetik irəliləyiş

Arifmetik irəliləyiş ikincidən başlayaraq hər bir üzvün əvvəlkinə bərabər olduğu, eyni nömrənin əlavə olunduğu ardıcıllıqdır.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .

varsa arifmetik irəliləyişdir natural ədəd n şərt yerinə yetirilir:

a n +1 = a n + d,

Harada d - müəyyən bir rəqəm.

Beləliklə, verilmiş arifmetik irəliləyişin sonrakı və əvvəlki şərtləri arasındakı fərq həmişə sabitdir:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

Nömrə d çağırdı arifmetik irəliləyiş fərqi.

Quraşdırmaq üçün arifmetik irəliləyiş, onun birinci terminini və fərqini göstərmək kifayətdir.

Məsələn,

Əgər a 1 = 3, d = 4 , onda ardıcıllığın ilk beş şərtini aşağıdakı kimi tapırıq:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Birinci hədd ilə arifmetik irəliləyiş üçün a 1 və fərq d onun n

a n = a 1 + (n- 1)d.

Məsələn,

arifmetik irəliləyişin otuzuncu həddini tapın

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

a 30 = a 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = a 1 + (n- 2)d,

a n= a 1 + (n- 1)d,

a n +1 = a 1 + nd,

sonra açıq-aydın

İkincidən başlayaraq arifmetik irəliləyişin hər bir üzvü əvvəlki və sonrakı üzvlərin arifmetik ortasına bərabərdir.

a, b və c ədədləri bəzi arifmetik proqresiyanın ardıcıl həddləridir, o halda ki, onlardan biri digər ikisinin arifmetik ortasına bərabər olsun.

Məsələn,

a n = 2n- 7 , arifmetik irəliləyişdir.

Yuxarıdakı ifadədən istifadə edək. Bizdə:

a n = 2n- 7,

a n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Beləliklə,

◄

Qeyd edək ki n Arifmetik irəliləyişin üçüncü hədini təkcə vasitəsilə tapmaq olmaz a 1 , həm də hər hansı əvvəlki a k

a n = a k + (n- k)d.

Məsələn,

üçün a 5 yazmaq olar

a 5 = a 1 + 4d,

a 5 = a 2 + 3d,

a 5 = a 3 + 2d,

a 5 = a 4 + d. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n+k - kd,

sonra açıq-aydın

arifmetik proqresiyanın hər hansı üzvü, ikincidən başlayaraq, bu arifmetik irəliləyişin ondan bərabər məsafədə olan üzvlərinin cəminin yarısına bərabərdir.

Bundan əlavə, hər hansı arifmetik irəliləyiş üçün aşağıdakı bərabərlik yerinə yetirilir:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Məsələn,

arifmetik irəliləyişdə

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = a 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, çünki

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ a n,

birinci n arifmetik irəliləyişin şərtləri ekstremal həddlərin və hədlərin sayının cəminin yarısının hasilinə bərabərdir:

Buradan, xüsusilə, şərtləri cəmləmək lazımdırsa, belə çıxır

a k, a k +1 , . . . , a n,

onda əvvəlki düstur öz strukturunu saxlayır:

Məsələn,

arifmetik irəliləyişdə 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Arifmetik irəliləyiş verilirsə, onda kəmiyyətlər a 1 , a n, d, n VəS n iki düsturla əlaqələndirilir:

Buna görə də, bu kəmiyyətlərdən üçünün qiymətləri verilirsə, digər iki kəmiyyətin müvafiq dəyərləri bu düsturlardan müəyyən edilir, iki naməlum olan iki tənlik sisteminə birləşdirilir.

Arifmetik irəliləyiş monoton bir ardıcıllıqdır. Bu halda:

• Əgər d > 0 , sonra artır;
• Əgər d < 0 , sonra azalır;
• Əgər d = 0 , onda ardıcıllıq stasionar olacaq.

Həndəsi irəliləmə

Həndəsi irəliləmə ikincidən başlayaraq hər bir üzvün əvvəlki ilə eyni ədədə vurulduğu ardıcıllıqdır.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

hər hansı natural ədəd üçün həndəsi irəliləyişdir n şərt yerinə yetirilir:

b n +1 = b n · q,

Harada q ≠ 0 - müəyyən bir rəqəm.

Beləliklə, verilmiş həndəsi irəliləyişin sonrakı dövrünün əvvəlki birinə nisbəti sabit ədəddir:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Nömrə q çağırdı həndəsi irəliləmənin məxrəci.

Həndəsi irəliləyişi təyin etmək üçün onun birinci həddi və məxrəcini göstərmək kifayətdir.

Məsələn,

Əgər b 1 = 1, q = -3 , onda ardıcıllığın ilk beş şərtini aşağıdakı kimi tapırıq:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 və məxrəc q onun n Müddəti düsturla tapmaq olar:

b n = b 1 · qn -1 .

Məsələn,

həndəsi proqresiyanın yeddinci həddi tapın 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · qn -2 ,

b n = b 1 · qn -1 ,

b n +1 = b 1 · qn,

sonra açıq-aydın

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

ikincidən başlayaraq həndəsi proqresiyanın hər bir üzvü əvvəlki və sonrakı üzvlərin həndəsi ortasına (mütənasib) bərabərdir.

Bunun əksi də doğru olduğundan, aşağıdakı ifadə doğrudur:

a, b və c ədədləri bəzi həndəsi proqresiyanın ardıcıl hədləridir, o halda ki, onlardan birinin kvadratı digər ikisinin hasilinə bərabər olsun, yəni ədədlərdən biri digər ikisinin həndəsi ortası olsun.

Məsələn,

Düsturla verilmiş ardıcıllığın olduğunu sübut edək b n= -3 2 n , həndəsi irəliləyişdir. Yuxarıdakı ifadədən istifadə edək. Bizdə:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Beləliklə,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

bu, arzu olunan ifadəni sübut edir. ◄

Qeyd edək ki n Həndəsi proqresiyanın üçüncü hədini təkcə vasitəsilə tapmaq olmaz b 1 , həm də hər hansı əvvəlki üzv b k , bunun üçün formuldan istifadə etmək kifayətdir

b n = b k · qn - k.

Məsələn,

üçün b 5 yazmaq olar

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · qn - k,

b n = b n - k · q k,

sonra açıq-aydın

b n 2 = b n - k· b n + k

ikincidən başlayaraq həndəsi proqresiyanın hər hansı bir üzvünün kvadratı bu irəliləyişin bərabər məsafəli üzvlərinin hasilinə bərabərdir.

Bundan əlavə, hər hansı həndəsi irəliləyiş üçün bərabərlik doğrudur:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Məsələn,

həndəsi irəliləyişdə

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , çünki

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

birinci n məxrəcli həndəsi proqresiyanın üzvləri q ≠ 0 düsturla hesablanır:

Və nə vaxt q = 1 - düstura görə

S n= nb 1

Qeyd edək ki, şərtləri cəmləmək lazımdırsa

b k, b k +1 , . . . , b n,

sonra formula istifadə olunur:

Məsələn,

həndəsi irəliləyişdə 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Həndəsi irəliləyiş verilirsə, onda kəmiyyətlər b 1 , b n, q, n Və S n iki düsturla əlaqələndirilir:

Buna görə də, bu kəmiyyətlərdən hər hansı üçünün qiyməti verilirsə, digər iki kəmiyyətin müvafiq dəyərləri iki naməlum olan iki tənlik sisteminə birləşdirilərək bu düsturlardan müəyyən edilir.

Birinci hədd ilə həndəsi irəliləyiş üçün b 1 və məxrəc q aşağıdakılar baş verir monotonluğun xüsusiyyətləri :

• Aşağıdakı şərtlərdən biri yerinə yetirildikdə irəliləmə artır:

b 1 > 0 Və q> 1;

b 1 < 0 Və 0 < q< 1;

• Aşağıdakı şərtlərdən biri yerinə yetirildikdə irəliləyiş azalır:

b 1 > 0 Və 0 < q< 1;

b 1 < 0 Və q> 1.

Əgər q< 0 , onda həndəsi irəliləyiş bir-birini əvəz edir: onun tək ədədləri olan şərtləri birinci həddi ilə eyni işarəyə, cüt ədədləri isə əks işarəyə malikdir. Aydındır ki, dəyişən həndəsi irəliləyiş monoton deyil.

Birincinin məhsulu n Həndəsi irəliləyişin üzvləri düsturla hesablana bilər:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Məsələn,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Sonsuz azalan həndəsi irəliləyiş

Sonsuz azalan həndəsi irəliləyiş məxrəc modulu kiçik olan sonsuz həndəsi irəliləyiş adlanır 1 , yəni

|q| < 1 .

Nəzərə alın ki, sonsuz azalan həndəsi irəliləyiş azalan ardıcıllıq olmaya bilər. Bu vəziyyətə uyğundur

1 < q< 0 .

Belə bir məxrəclə ardıcıllıq növbələşir. Məsələn,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Sonsuz azalan həndəsi irəliləmənin cəmi birincilərin cəminin məhdudiyyətsiz yaxınlaşdığı ədədi adlandırın n sayının qeyri-məhdud artması ilə bir irəliləyişin üzvləri n . Bu ədəd həmişə sonludur və düsturla ifadə edilir

Məsələn,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Arifmetik və həndəsi irəliləmələr arasında əlaqə

Arifmetika və həndəsi irəliləyiş sıx bağlıdırlar. Gəlin yalnız iki misala baxaq.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , Bu

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Məsələn,

1, 3, 5, . . . - fərqlə arifmetik irəliləyiş 2 Və

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - məxrəcli həndəsi irəliləyiş 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - məxrəcli həndəsi irəliləyiş q , Bu

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . - fərqlə arifmetik irəliləyiş log aq .

Məsələn,

2, 12, 72, . . . - məxrəcli həndəsi irəliləyiş 6 Və

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - fərqlə arifmetik irəliləyiş lg 6 . ◄

Arifmetik irəliləyişlə bağlı problemlər hələ qədim zamanlarda mövcud idi. Praktiki ehtiyacları olduğu üçün ortaya çıxıb həllini tələb etdilər.

Beləliklə, Qədim Misirin riyazi məzmuna malik papiruslarından biri olan Rhind papirusunda (e.ə. 19-cu əsr) belə bir tapşırıq var: on ölçü çörəyi on nəfər arasında bölüşdürün, bu şərtlə ki, onların hər biri arasındakı fərq səkkizdə biri olsun. tədbir.”

Qədim yunanların riyazi əsərlərində isə arifmetik irəliləyişlə bağlı nəfis teoremlər var. Beləliklə, İsgəndəriyyə Hypsicles (2-ci əsr, bir çox maraqlı məsələləri tərtib edən və on dördüncü kitabı Evklidin elementlərinə əlavə etdi) fikrini belə ifadə etdi: “Çift sayda hədləri olan arifmetik proqresiyada II yarının üzvlərinin cəmi. üzvlərinin sayının 1/2 kvadratında 1-ci şərtlərin cəmindən böyükdür."

Ardıcıllıq bir ilə işarələnir. Ardıcıllığın nömrələri onun üzvləri adlanır və adətən bu üzvün seriya nömrəsini göstərən indeksləri olan hərflərlə təyin olunur (a1, a2, a3 ... oxuyun: “a 1-ci”, “a 2-ci”, “a 3-cü” və s.).

Ardıcıllıq sonsuz və ya sonlu ola bilər.

Arifmetik irəliləyiş nədir? Bununla biz irəliləyişin fərqi olan eyni d ədədi ilə əvvəlki (n) həddi əlavə etməklə əldə ediləni nəzərdə tuturuq.

Əgər d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, onda bu irəliləyiş artan hesab olunur.

Arifmetik irəliləyiş onun yalnız ilk bir neçə üzvü nəzərə alınarsa, sonlu adlanır. Çox sayda üzvlə bu, artıq sonsuz bir irəliləyişdir.

İstənilən arifmetik irəliləyiş aşağıdakı düsturla müəyyən edilir:

an =kn+b, b və k isə bəzi ədədlərdir.

Əks müddəa tamamilə doğrudur: əgər ardıcıllıq oxşar düsturla verilirsə, deməli bu, aşağıdakı xüsusiyyətlərə malik olan arifmetik irəliləyişdir:

1. Proqresiyanın hər bir termini əvvəlki və sonrakı terminin arifmetik ortasıdır.
2. Əksinə: əgər 2-cidən başlayaraq hər bir termin əvvəlki və sonrakı terminin arifmetik ortasıdırsa, yəni. şərt yerinə yetirilərsə, bu ardıcıllıq arifmetik irəliləyişdir. Bu bərabərlik eyni zamanda irəliləyişin əlamətidir, buna görə də adətən irəliləyişin xarakterik xüsusiyyəti adlanır.
   Eyni şəkildə, bu xassəni əks etdirən teorem doğrudur: ardıcıllıq yalnız o halda arifmetik irəliləyişdir ki, bu bərabərlik 2-cidən başlayaraq ardıcıllığın hər hansı şərti üçün doğru olsun.

Arifmetik irəliləyişin istənilən dörd ədədi üçün xarakterik xassəni an + am = ak + al düsturu ilə ifadə etmək olar, əgər n + m = k + l olarsa (m, n, k progressiya ədədləridir).

Arifmetik irəliləyişdə istənilən zəruri (N-ci) termini aşağıdakı düsturdan istifadə etməklə tapmaq olar:

Məsələn: arifmetik irəliləyişdə birinci hədd (a1) verilir və üçə bərabərdir, fərq (d) isə dördə bərabərdir. Bu irəliləyişin qırx beşinci şərtini tapmaq lazımdır. a45 = 1+4(45-1)=177

an = ak + d(n - k) düsturu müəyyən etməyə imkan verir n-ci dövr onun k-ci hədlərindən hər hansı biri ilə arifmetik irəliləyiş, bu şərtlə ki, məlum olsun.

Arifmetik irəliləyişin şərtlərinin cəmi (sonlu irəliləyişin ilk n üzvü nəzərdə tutulur) aşağıdakı kimi hesablanır:

Sn = (a1+an) n/2.

1-ci müddət də məlumdursa, başqa bir düstur hesablama üçün əlverişlidir:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

N hədddən ibarət arifmetik irəliləyişin cəmi aşağıdakı kimi hesablanır:

Hesablamalar üçün düsturların seçimi problemlərin şərtlərindən və ilkin məlumatlardan asılıdır.

İstənilən ədədlərin təbii sıraları, məsələn, 1,2,3,...,n,...- ən sadə misal arifmetik irəliləyiş.

Arifmetik irəliləyişlə yanaşı, öz xassələri və xüsusiyyətləri olan həndəsi irəliləyiş də var.

Bəzi insanlar “tərəqqi” sözünə ehtiyatla yanaşır, ali riyaziyyatın budaqlarından çox mürəkkəb bir termindir. Bu vaxt, ən sadə arifmetik irəliləyiş taksi sayğacının işidir (onların hələ də mövcud olduğu yerdə). Bir neçə elementar anlayışı təhlil edərək arifmetik ardıcıllığın mahiyyətini (və riyaziyyatda “mahiyyəti əldə etməkdən” vacib heç nə yoxdur) başa düşmək o qədər də çətin deyil.

Riyazi ədədlər ardıcıllığı

Ədədi ardıcıllığa adətən hər birinin öz nömrəsi olan nömrələr seriyası deyilir.

a 1 ardıcıllığın ilk üzvüdür;

və 2 ardıcıllığın ikinci şərtidir;

və 7 ardıcıllığın yeddinci üzvüdür;

n isə ardıcıllığın n-ci üzvüdür;

Bununla belə, heç bir ixtiyari rəqəmlər və rəqəmlər dəsti bizi maraqlandırmır. Diqqətimizi n-ci həddinin qiymətinin onun sıra nömrəsi ilə riyazi şəkildə aydın şəkildə ifadə oluna bilən əlaqə ilə əlaqəli olduğu ədədi ardıcıllığa yönəldəcəyik. Başqa sözlə: n-ci ədədin ədədi qiyməti n-in hansısa funksiyasıdır.

a ədədi ardıcıllığın üzvünün qiymətidir;

n onun seriya nömrəsidir;

f(n) funksiyadır, burada n ədədi ardıcıllıqdakı sıra nömrəsi arqumentdir.

Tərif

Arifmetik irəliləyiş adətən hər bir sonrakı terminin əvvəlkindən eyni sayda böyük (kiçik) olduğu ədədi ardıcıllıq adlanır. Arifmetik ardıcıllığın n-ci həddi üçün düstur aşağıdakı kimidir:

a n - arifmetik irəliləyişin cari üzvünün qiyməti;

a n+1 - növbəti ədədin düsturu;

d - fərq (müəyyən sayda).

Müəyyən etmək asandır ki, fərq müsbət olarsa (d>0), onda nəzərdən keçirilən silsilənin hər bir sonrakı üzvü əvvəlkindən böyük olacaq və belə arifmetik irəliləyiş artacaq.

Aşağıdakı qrafikdə nömrə ardıcıllığının niyə “artan” adlandırıldığını görmək asandır.

Fərqin mənfi olduğu hallarda (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Müəyyən edilmiş üzv dəyəri

Bəzən arifmetik irəliləyişin hər hansı ixtiyari a n-nin qiymətini təyin etmək lazımdır. Bu, birincidən istədiyinizə qədər arifmetik irəliləyişin bütün üzvlərinin dəyərlərini ardıcıl olaraq hesablamaqla edilə bilər. Lakin, məsələn, beş minlik və ya səkkiz milyonuncu terminin dəyərini tapmaq lazımdırsa, bu yol həmişə məqbul deyil. Ənənəvi hesablamalar çox vaxt aparacaq. Bununla belə, müəyyən arifmetik irəliləyiş müəyyən düsturlardan istifadə etməklə öyrənilə bilər. n-ci həd üçün də bir düstur var: arifmetik irəliləyişin hər hansı bir üzvünün qiyməti, irəliləyişin fərqi ilə irəliləyişin birinci həddinin cəmi kimi müəyyən edilə bilər, istədiyiniz hədd sayına vurulur, azalır. bir.

Formula irəliləyişin artması və azalması üçün universaldır.

Verilmiş bir terminin dəyərinin hesablanması nümunəsi

Arifmetik proqresiyanın n-ci üzvünün qiymətini tapmaq üçün aşağıdakı məsələni həll edək.

Şərt: parametrləri olan arifmetik irəliləyiş var:

Ardıcıllığın birinci həddi 3-dür;

Nömrə seriyasındakı fərq 1.2-dir.

Tapşırıq: 214 şərtin qiymətini tapmaq lazımdır

Həlli: verilmiş terminin dəyərini müəyyən etmək üçün düsturdan istifadə edirik:

a(n) = a1 + d(n-1)

Problem ifadəsindəki məlumatları ifadəyə əvəz edərək, əldə edirik:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Cavab: Ardıcıllığın 214-cü həddi 258,6-ya bərabərdir.

Bu hesablama metodunun üstünlükləri göz qabağındadır - bütün həll 2 sətirdən çox deyil.

Verilmiş sayda terminlərin cəmi

Çox vaxt müəyyən bir arifmetik seriyada onun bəzi seqmentlərinin qiymətlərinin cəmini müəyyən etmək lazımdır. Bunu etmək üçün hər bir terminin dəyərlərini hesablamağa və sonra onları əlavə etməyə ehtiyac yoxdur. Bu üsul, cəmi tapılmalı olan terminlərin sayı az olduqda tətbiq edilir. Digər hallarda aşağıdakı düsturdan istifadə etmək daha rahatdır.

1-dən n-ə qədər olan arifmetik irəliləyişin hədlərinin cəmi birinci və n-ci hədlərin cəminə bərabərdir, n həddinin sayına vurulur və ikiyə bölünür. Düsturda n-ci həddin qiyməti məqalənin əvvəlki abzasındakı ifadə ilə əvəz edilərsə, alırıq:

Hesablama nümunəsi

Məsələn, aşağıdakı şərtlərlə problemi həll edək:

Ardıcıllığın birinci üzvü sıfırdır;

Fərq 0,5-dir.

Problem 56-dan 101-ə qədər seriyanın şərtlərinin cəminin müəyyən edilməsini tələb edir.

Həll. Proqresiyanın miqdarını təyin etmək üçün düsturdan istifadə edək:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Əvvəlcə problemimizin verilmiş şərtlərini düsturla əvəz etməklə irəliləyişin 101 şərtlərinin qiymətlərinin cəmini təyin edirik:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2,525

Aydındır ki, 56-dan 101-ə qədər irəliləyişin şərtlərinin cəmini tapmaq üçün S 101-dən S 55-i çıxarmaq lazımdır.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Beləliklə, bu nümunə üçün arifmetik irəliləyişin cəmi:

s 101 - s 55 = 2,525 - 742,5 = 1,782,5

Arifmetik proqresiyanın praktik tətbiqi nümunəsi

Məqalənin sonunda birinci abzasda verilən arifmetik ardıcıllıq nümunəsinə - taksimetrə (taksi avtomobili sayğacı) qayıdaq. Bu misalı nəzərdən keçirək.

Taksiyə minmək (buraya 3 km səyahət daxildir) 50 rubla başa gəlir. Hər bir sonrakı kilometr 22 rubl/km nisbətində ödənilir. Səyahət məsafəsi 30 km-dir. Gəzintinin qiymətini hesablayın.

1. Qiyməti eniş qiymətinə daxil olan ilk 3 km-i ataq.

30 - 3 = 27 km.

2. Sonrakı hesablama arifmetik ədədlər seriyasını təhlil etməkdən başqa bir şey deyil.

Üzv sayı - səyahət edilmiş kilometrlərin sayı (mənfi ilk üç).

Üzvün dəyəri cəmidir.

Bu problemdə ilk müddət 1 = 50 rubla bərabər olacaqdır.

Tərəqqi fərqi d = 22 r.

bizi maraqlandıran rəqəm arifmetik proqresiyanın (27+1)-ci həddinin qiymətidir - 27-ci kilometrin sonunda sayğacın göstəricisi 27,999... = 28 km-dir.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

Özbaşına uzun müddət üçün təqvim məlumatlarının hesablamaları müəyyən ədədi ardıcıllıqları təsvir edən düsturlara əsaslanır. Astronomiyada orbitin uzunluğu həndəsi cəhətdən göy cisminin ulduza olan məsafəsindən asılıdır. Bundan əlavə, müxtəlif ədəd seriyaları statistikada və riyaziyyatın digər tətbiqi sahələrində uğurla istifadə olunur.

Say ardıcıllığının başqa bir növü həndəsidir

Həndəsi irəliləyiş arifmetik irəliləyişlə müqayisədə daha çox dəyişmə sürəti ilə xarakterizə olunur. Təsadüfi deyil ki, siyasətdə, sosiologiyada, tibbdə müəyyən bir hadisənin, məsələn, xəstəliyin epidemiya zamanı yüksək yayılma sürətini göstərmək üçün prosesin həndəsi irəliləyişlə inkişaf etdiyini deyirlər.

Həndəsi ədədlər seriyasının N-ci həddi əvvəlkindən onunla fərqlənir ki, o, hansısa sabit ədədə vurulur - məxrəc, məsələn, birinci hədd 1, məxrəc müvafiq olaraq 2-yə bərabərdir, onda:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - həndəsi proqresiyanın cari müddətinin qiyməti;

b n+1 - həndəsi proqresiyanın növbəti həddinin düsturu;

q həndəsi irəliləyişin məxrəcidir (sabit ədəd).

Arifmetik irəliləyişin qrafiki düz xəttdirsə, həndəsi irəliləyiş bir qədər fərqli bir şəkil çəkir:

Arifmetikada olduğu kimi, həndəsi irəliləyişdə də ixtiyari bir müddətin qiyməti üçün bir düstur var. Həndəsi irəliləyişin hər hansı n-ci həddi birinci hədisin hasilinə və n-in gücünə bir azalmış irəliləyişin məxrəcinə bərabərdir:

Misal. Birinci həddi 3-ə, məxrəci isə 1,5-ə bərabər olan həndəsi irəliləyişimiz var. Proqresiyanın 5-ci həddini tapaq

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875

Verilmiş sayda terminlərin cəmi də xüsusi düsturla hesablanır. Həndəsi proqresiyanın ilk n hədlərinin cəmi, irəliləyişin n-ci həddi ilə onun məxrəci ilə irəliləyişin birinci həddi arasındakı fərqin bir azalmış məxrəcə bölünməsinə bərabərdir:

Əgər b n yuxarıda müzakirə olunan düsturla əvəz edilərsə, nəzərdən keçirilən ədəd seriyasının ilk n şərtlərinin cəminin qiyməti aşağıdakı formanı alacaq:

Misal. Həndəsi irəliləyiş 1-ə bərabər olan birinci həddlə başlayır. Məxrəc 3-ə qoyulur. İlk səkkiz üzvün cəmini tapaq.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Arifmetik irəliləyişədədlər ardıcıllığını adlandırın (proqresiyanın şərtləri)

Hər bir sonrakı termin əvvəlkindən yeni bir terminlə fərqlənir ki, bu da adlanır addım və ya irəliləyiş fərqi.

Beləliklə, irəliləyiş addımını və onun birinci müddətini göstərərək, düsturdan istifadə edərək onun hər hansı elementini tapa bilərsiniz

Arifmetik irəliləyişin xassələri

1) İkinci nömrədən başlayaraq arifmetik irəliləyişin hər bir üzvü, irəliləyişin əvvəlki və sonrakı üzvlərinin arifmetik ortasıdır.

Bunun əksi də doğrudur. Əgər irəliləyişin bitişik tək (cüt) hədlərinin arifmetik ortası onların arasında duran terminə bərabərdirsə, onda bu ədədlər ardıcıllığı arifmetik irəliləyişdir. Bu ifadədən istifadə edərək istənilən ardıcıllığı yoxlamaq çox asandır.

Həmçinin, arifmetik proqresiyanın xassəsinə görə yuxarıdakı düstur aşağıdakılara ümumiləşdirilə bilər

Şərtləri bərabər işarəsinin sağına yazsanız, bunu yoxlamaq asandır

Problemlərdə hesablamaları sadələşdirmək üçün praktikada tez-tez istifadə olunur.

2) Arifmetik proqresiyanın ilk n üzvünün cəmi düsturdan istifadə etməklə hesablanır

Arifmetik irəliləyişin cəminin düsturunu yaxşı xatırlayın, bu, hesablamalarda əvəzolunmazdır və çox vaxt sadə həyat vəziyyətlərində tapılır.

3) Əgər bütün cəmini deyil, ardıcıllığın onun k-ci həddi ilə başlayan hissəsini tapmaq lazımdırsa, onda aşağıdakı cəmi düsturu sizin üçün faydalı olacaq.

4) k-ci ədəddən başlayaraq arifmetik irəliləyişin n üzvünün cəmini tapmaq praktiki maraq doğurur. Bunu etmək üçün formuladan istifadə edin

Bununla nəzəri materialı yekunlaşdırır və praktikada ümumi problemlərin həllinə keçir.

Nümunə 1. 4;7;... arifmetik irəliləyişin qırxıncı həddi tapın.

Həlli:

Bizdə olan şəraitə görə

Tərəqqi addımını müəyyən edək

Məlum bir düsturdan istifadə edərək, irəliləyişin qırxıncı həddi tapırıq

Misal 2.

Həlli:

Arifmetik irəliləyiş onun üçüncü və yeddinci hədləri ilə verilir. Proqresiyanın birinci həddi ilə onluğun cəmini tapın.

Düsturlardan istifadə edərək irəliləyişin verilmiş elementlərini yazaq

İkinci tənlikdən birincini çıxarırıq, nəticədə irəliləmə addımını tapırıq

Arifmetik irəliləyişin birinci həddini tapmaq üçün tapılan dəyəri hər hansı tənlikdə əvəz edirik.

Proqresiyanın ilk on şərtinin cəmini hesablayırıq

Misal 3. Arifmetik irəliləyiş məxrəc və onun şərtlərindən biri ilə verilir. Proqresiyanın birinci üzvünü, 50-dən başlayan 50 üzvünün cəmini və ilk 100-ün cəmini tapın.

Həlli:

Proqresiyanın yüzüncü elementinin düsturunu yazaq

və birincisini tapın

Birinciyə əsaslanaraq, irəliləyişin 50-ci dövrünü tapırıq

Proqresiyanın hissəsinin cəminin tapılması

və ilk 100-ün cəmi

İrəliləmə məbləği 250-dir.

Misal 4.

Arifmetik irəliləyişin hədlərinin sayını tapın, əgər:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Həlli:

Tənlikləri birinci həd və tərəqqi addımı baxımından yazıb müəyyən edək

Cəmdəki şərtlərin sayını müəyyən etmək üçün əldə edilmiş dəyərləri cəmi düsturla əvəz edirik

Biz sadələşdirmələr aparırıq

və kvadrat tənliyi həll edin

Tapılan iki dəyərdən yalnız 8 rəqəmi problem şərtlərinə uyğun gəlir. Beləliklə, irəliləyişin ilk səkkiz şərtinin cəmi 111-dir.

Misal 5.

Tənliyi həll edin

1+3+5+...+x=307.

Həlli: Bu tənlik arifmetik irəliləyişin cəmidir. Gəlin onun birinci şərtini yazaq və irəliləyişdəki fərqi tapaq

I. V. Yakovlev | Riyaziyyat materialları | MathUs.ru

Arifmetik irəliləyiş

Arifmetik irəliləyiş xüsusi bir ardıcıllıq növüdür. Buna görə də, arifmetik (və sonra həndəsi) proqressiyanın tərifini verməzdən əvvəl, nömrə ardıcıllığının vacib anlayışını qısaca müzakirə etməliyik.

Ardıcıllıq

Ekranda müəyyən nömrələrin bir-birinin ardınca göründüyü bir cihaz təsəvvür edin. Tutaq ki, 2; 7; 13; 1; 6; 0; 3; : : : Bu ədədlər toplusu dəqiq ardıcıllığın nümunəsidir.

Tərif. Nömrə ardıcıllığı hər bir nömrəyə unikal nömrə təyin edilə bilən (yəni tək natural nömrə ilə əlaqəli) nömrələr toplusudur. n ədədi ardıcıllığın n-ci üzvü adlanır.

Beləliklə, yuxarıdakı misalda birinci rəqəm 2-dir, bu, a1 ilə işarələnə bilən ardıcıllığın birinci üzvüdür; beş rəqəmi 6 rəqəminə malikdir, a5 ilə işarələnə bilən ardıcıllığın beşinci üzvüdür. Ümumiyyətlə, ardıcıllığın n-ci həddi bir (və ya bn, cn və s.) ilə işarələnir.

Çox əlverişli vəziyyət, ardıcıllığın n-ci həddi hansısa düsturla təyin oluna bildiyi zamandır. Məsələn, an = 2n 3 düsturu ardıcıllığı təyin edir: 1; 1; 3; 5; 7; : : : an = (1)n düsturu ardıcıllığı təyin edir: 1; 1; 1; 1; : : :

Hər nömrə dəsti ardıcıllıq deyil. Beləliklə, seqment ardıcıllıq deyil; o, yenidən nömrələnəcək "çox" nömrələri ehtiva edir. Bütün həqiqi ədədlərin R çoxluğu da ardıcıllıq deyil. Bu faktlar riyazi analiz zamanı sübut olunur.

Arifmetik irəliləyiş: əsas təriflər

İndi biz arifmetik irəliləyiş təyin etməyə hazırıq.

Tərif. Arifmetik irəliləyiş hər bir üzvün (ikincidən başlayaraq) əvvəlki hədd və bəzi sabit ədədin (arifmetik irəliləyişin fərqi adlanır) cəminə bərabər olduğu ardıcıllıqdır.

Məsələn, ardıcıllıq 2; 5; 8; 11; : : : birinci həddi 2 və fərqi 3 olan arifmetik irəliləyişdir. Ardıcıllıq 7; 2; 3; 8; : : : birinci həd 7 və fərqi 5 olan arifmetik irəliləyişdir. Ardıcıllıq 3; 3; 3; : : : fərqi sıfıra bərabər olan arifmetik irəliləyişdir.

Ekvivalent tərif: an+1 an fərqi sabit qiymətdirsə (n-dən asılı olmayaraq) an ardıcıllığı arifmetik irəliləmə adlanır.

Arifmetik irəliləyiş, fərqi müsbət olduqda artan, mənfi olduqda isə azalan adlanır.

1 Lakin burada daha qısa tərif var: ardıcıllıq natural ədədlər çoxluğunda müəyyən edilmiş funksiyadır. Məsələn, həqiqi ədədlər ardıcıllığı f funksiyasıdır: N ! R.

Varsayılan olaraq, ardıcıllıqlar sonsuz hesab olunur, yəni sonsuz sayda ədədləri ehtiva edir. Lakin heç kim bizi sonlu ardıcıllıqları nəzərdən keçirmək üçün narahat etmir; əslində istənilən sonlu ədədlər toplusunu sonlu ardıcıllıq adlandırmaq olar. Məsələn, bitmə ardıcıllığı 1-dir; 2; 3; 4; 5 beş rəqəmdən ibarətdir.

Arifmetik irəliləyişin n-ci həddi üçün düstur

Arifmetik irəliləyişin tamamilə iki rəqəmlə təyin olunduğunu başa düşmək asandır: birinci hədd və fərq. Buna görə də sual yaranır: birinci həddi və fərqi bilməklə arifmetik irəliləyişin ixtiyari müddətini necə tapmaq olar?

Arifmetik irəliləyişin n-ci həddi üçün tələb olunan düsturu almaq çətin deyil. Qoy bir

Məsələ 1. Arifmetik irəliləyişdə 2; 5; 8; 11; : : : n-ci həd üçün düstur tapın və yüzüncü həddi hesablayın.

Həll. Formula (1) görə bizdə:

an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

Arifmetik irəliləyişin xassəsi və işarəsi

Arifmetik irəliləyişin xassəsi. Arifmetik irəliləyişdə hər hansı bir üçün

Başqa sözlə, arifmetik proqresiyanın hər bir üzvü (ikincidən başlayaraq) onun qonşu üzvlərinin arifmetik ortasıdır.

tələb olunan budur.

Daha ümumi olaraq arifmetik irəliləyiş bərabərliyi təmin edir

a n = a n k+ a n+k

istənilən n > 2 və istənilən təbii k üçün< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Belə çıxır ki, (2) düstur ardıcıllığın arifmetik irəliləyiş olması üçün təkcə zəruri deyil, həm də kafi şərt kimi çıxış edir.

Arifmetik irəliləyiş işarəsi. Əgər (2) bərabərliyi bütün n > 2 üçün uyğundursa, o zaman an ardıcıllığı arifmetik irəliləyişdir.

Sübut. (2) düsturu aşağıdakı kimi yenidən yazaq:

a na n 1= a n+1a n:

Buradan görə bilərik ki, an+1 an fərqi n-dən asılı deyil və bu, dəqiq olaraq an ardıcıllığının arifmetik irəliləyiş olduğunu bildirir.

Arifmetik irəliləyişin xassəsi və işarəsi bir ifadə şəklində tərtib edilə bilər; Rahatlıq üçün bunu üç nömrə üçün edəcəyik (bu, problemlərdə tez-tez baş verən vəziyyətdir).

Arifmetik irəliləyişin xarakteristikası. Üç ədəd a, b, c arifmetik irəliləyiş yaradır və yalnız 2b = a + c olduqda.

Məsələ 2. (MDU, İqtisadiyyat Fakültəsi, 2007) Göstərilən ardıcıllıqla üç ədəd 8x, 3x2 və 4 azalan arifmetik irəliləyiş əmələ gətirir. x tapın və bu irəliləyişin fərqini göstərin.

Həll. Arifmetik irəliləyişin xassəsinə görə biz:

2(3 x2 ) = 8x 4 , 2x2 + 8x 10 = 0 , x2 + 4x 5 = 0 , x = 1; x = 5:

Əgər x = 1 olarsa, onda biz 6 fərqlə 8, 2, 4 azalan irəliləyiş alırıq. Əgər x = 5 olarsa, onda 40, 22, 4 artan irəliləyiş alırıq; bu hal uyğun deyil.

Cavab: x = 1, fərq 6-dır.

Arifmetik irəliləyişin ilk n üzvünün cəmi

Rəvayətə görə, bir gün müəllim uşaqlara 1-dən 100-ə qədər rəqəmlərin cəmini tapmağı tapşırıb və sakitcə oturub qəzeti oxuyur. Ancaq bir neçə dəqiqə keçməmişdi ki, bir oğlan problemi həll etdiyini söylədi. Bu, sonralar tarixin ən böyük riyaziyyatçılarından biri olan 9 yaşlı Karl Fridrix Qauss idi.

Kiçik Qaussun ideyası belə idi. Qoy

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

Bu məbləği tərs ardıcıllıqla yazaq:

S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;

və bu iki düstur əlavə edin:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Mötərizədə hər bir termin 101-ə bərabərdir və buna görə də cəmi 100 belə termin var

2S = 101 100 = 10100;

Bu fikirdən cəmi düsturunu əldə etmək üçün istifadə edirik

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

Əgər n-ci həddi an = a1 + (n 1)d düsturunu ona əvəz etsək (3) düsturunun faydalı modifikasiyası əldə edilir:

Məsələ 3. 13-ə bölünən bütün müsbət üçrəqəmli ədədlərin cəmini tapın.

Həll. 13-ün qatları olan üçrəqəmli ədədlər birinci həddi 104, fərqi isə 13 olmaqla arifmetik irəliləyiş əmələ gətirir; Bu irəliləyişin n-ci həddi aşağıdakı formaya malikdir:

an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:

Gəlin bizim irəliləyişimizin neçə termindən ibarət olduğunu öyrənək. Bunun üçün bərabərsizliyi həll edək:

6 999; 91 + 13n 6 999;

n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:

Beləliklə, bizim irəliləyişimizdə 69 üzv var. Formula (4) istifadə edərək, tələb olunan məbləği tapırıq:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2