Rəqəmlərin modulu qeyri-mənfidirsə bu ədədin özü, mənfi olduqda isə əks işarəli eyni ədəd deyilir.

Məsələn, 6 rəqəminin modulu 6, -6 rəqəminin modulu da 6-dır.

Yəni ədədin modulu dedikdə onun işarəsi nəzərə alınmadan bu ədədin mütləq qiyməti, mütləq qiyməti başa düşülür.

Aşağıdakı kimi təyin olunur: |6|, | X|, |A| və s.

(Ətraflı məlumat “Nömrə modulu” bölməsində).

Modulu olan tənliklər.

Misal 1 . Tənliyi həll edin|10 X - 5| = 15.

Həll.

Qaydaya görə, tənlik iki tənliyin birləşməsinə bərabərdir:

10X - 5 = 15
10X - 5 = -15

Qərar veririk:

10X = 15 + 5 = 20
10X = -15 + 5 = -10

X = 20: 10
X = -10: 10

X = 2
X = -1

Cavab verin: X 1 = 2, X 2 = -1.

Misal 2 . Tənliyi həll edin|2 X + 1| = X + 2.

Həll.

Modul mənfi olmayan ədəd olduğu üçün X+ 2 ≥ 0. Müvafiq olaraq:

X ≥ -2.

İki tənlik yaradaq:

2X + 1 = X + 2
2X + 1 = -(X + 2)

Qərar veririk:

2X + 1 = X + 2
2X + 1 = -X - 2

2X - X = 2 - 1
2X + X = -2 - 1

X = 1
X = -1

Hər iki ədəd -2-dən böyükdür. Beləliklə, hər ikisi tənliyin kökləridir.

Cavab verin: X 1 = -1, X 2 = 1.

Misal 3 . Tənliyi həll edin

|X + 3| - 1
————— = 4
X - 1

Həll.

Məxrəc sıfır deyilsə, tənlik məna kəsb edir - o deməkdir ki, əgər X≠ 1. Bu şərti nəzərə alaq. İlk hərəkətimiz sadədir - biz yalnız fraksiyadan qurtulmuruq, həm də modulu təmiz formada əldə etmək üçün onu dəyişdiririk:

|X+ 3| - 1 = 4 · ( X - 1),

|X + 3| - 1 = 4X - 4,

|X + 3| = 4X - 4 + 1,

|X + 3| = 4X - 3.

İndi tənliyin sol tərəfində modulun altında yalnız bir ifadəmiz var. Gəlin davam edək.
Ədədin modulu mənfi olmayan bir ədəddir - yəni sıfırdan böyük və ya sıfıra bərabər olmalıdır. Buna görə bərabərsizliyi həll edirik:

4X - 3 ≥ 0

4X ≥ 3

X ≥ 3/4

Beləliklə, ikinci şərtimiz var: tənliyin kökü ən azı 3/4 olmalıdır.

Qaydaya uyğun olaraq iki tənlik toplusunu tərtib edirik və onları həll edirik:

X + 3 = 4X - 3
X + 3 = -(4X - 3)

X + 3 = 4X - 3
X + 3 = -4X + 3

X - 4X = -3 - 3
X + 4X = 3 - 3

X = 2
X = 0

İki cavab aldıq. Onların orijinal tənliyin kökləri olub-olmadığını yoxlayaq.

Bizim iki şərtimiz var idi: tənliyin kökü 1-ə bərabər ola bilməz və ən azı 3/4 olmalıdır. Yəni X ≠ 1, X≥ 3/4. Alınan iki cavabdan yalnız biri bu şərtlərin hər ikisinə uyğun gəlir - 2 rəqəmi. Bu o deməkdir ki, yalnız bu, ilkin tənliyin köküdür.

Cavab verin: X = 2.

Modulu olan bərabərsizliklər.

Misal 1 . Bərabərsizliyi həll edin| X - 3| < 4

Həll.

Modul qaydasında deyilir:

|A| = A, Əgər A ≥ 0.

|A| = -A, Əgər A < 0.

Modul həm mənfi, həm də mənfi nömrələrə malik ola bilər. Beləliklə, hər iki halı nəzərdən keçirməliyik: X- 3 ≥ 0 və X - 3 < 0.

1) Nə vaxt X- 3 ≥ 0 ilkin bərabərsizliyimiz olduğu kimi qalır, yalnız modul işarəsi olmadan:
X - 3 < 4.

2) Nə vaxt X - 3 < 0 в исходном неравенстве надо поставить знак минус перед всем подмодульным выражением:

-(X - 3) < 4.

Mötərizələri açaraq əldə edirik:

-X + 3 < 4.

Beləliklə, bu iki şərtdən iki bərabərsizlik sisteminin birləşməsinə gəldik:

X - 3 ≥ 0
X - 3 < 4

X - 3 < 0
-X + 3 < 4

Gəlin onları həll edək:

X ≥ 3
X < 7

X < 3
X > -1

Beləliklə, cavabımız iki çoxluğun birləşməsidir:

3 ≤ X < 7 U -1 < X < 3.

Ən kiçikini təyin edin və ən yüksək dəyər. Bunlar -1 və 7-dir. Üstəlik X-1-dən böyük, lakin 7-dən kiçik.
Bundan başqa, X≥ 3. Bu o deməkdir ki, bərabərsizliyin həlli bu ekstremal ədədlər istisna olmaqla -1-dən 7-yə qədər olan bütün ədədlər toplusudur.

Cavab verin: -1 < X < 7.

Və ya: X ∈ (-1; 7).

Əlavələr.

1) Bərabərsizliyimizi həll etməyin daha sadə və qısa yolu var - qrafik. Bunu etmək üçün üfüqi bir ox çəkmək lazımdır (şəkil 1).

İfadə | X - 3| < 4 означает, что расстояние от точки X 3-cü bənd dörd vahiddən azdır. Oxda 3 rəqəmini qeyd edirik və onun solunda və sağında 4 bölmə sayırıq. Solda -1 nöqtəsinə, sağda - 7 nöqtəsinə gələcəyik. Beləliklə, nöqtələr X biz onları sadəcə hesablamadan gördük.

Üstəlik, bərabərsizlik şərtinə görə -1 və 7-nin özləri həllər çoxluğuna daxil edilmir. Beləliklə, cavabı alırıq:

1 < X < 7.

2) Ancaq qrafik metoddan daha sadə olan başqa bir həll yolu var. Bunun üçün bərabərsizliyimiz aşağıdakı formada təqdim edilməlidir:

4 < X - 3 < 4.

Axı modul qaydasına görə belədir. Mənfi olmayan 4 rəqəmi və oxşar mənfi ədəd -4 bərabərsizliyin həlli üçün sərhədlərdir.

4 + 3 < X < 4 + 3

1 < X < 7.

Misal 2 . Bərabərsizliyi həll edin| X - 2| ≥ 5

Həll.

Bu nümunə əvvəlkindən əhəmiyyətli dərəcədə fərqlənir. Sol tərəf 5-dən böyük və ya 5-ə bərabərdir. C həndəsi nöqtə Bu baxımdan bərabərsizliyin həlli 2-ci nöqtədən 5 vahid və ya daha çox məsafədə olan bütün ədədlərdir (şək. 2). Qrafik göstərir ki, bunlar -3-dən kiçik və ya bərabər və 7-dən böyük və ya bərabər olan bütün ədədlərdir. Bu o deməkdir ki, biz artıq cavabı almışıq.

Cavab verin: -3 ≥ X ≥ 7.

Yolda sərbəst termini əks işarə ilə sola və sağa yenidən təşkil etməklə eyni bərabərsizliyi həll edirik:

5 ≥ X - 2 ≥ 5

5 + 2 ≥ X ≥ 5 + 2

Cavab eynidir: -3 ≥ X ≥ 7.

Və ya: X ∈ [-3; 7]

Nümunə həll olunur.

Misal 3 . Bərabərsizliyi həll edin 6 X 2 - | X| - 2 ≤ 0

Həll.

Nömrə X müsbət ədəd, mənfi ədəd və ya sıfır ola bilər. Ona görə də hər üç halı nəzərə almalıyıq. Bildiyiniz kimi, onlar iki bərabərsizlikdə nəzərə alınır: X≥ 0 və X < 0. При X≥ 0, yalnız modul işarəsi olmadan orijinal bərabərsizliyimizi olduğu kimi yenidən yazırıq:

6x 2 - X - 2 ≤ 0.

İndi ikinci hal haqqında: əgər X < 0. Модулем mənfi rəqəməks işarə ilə eyni ədəddir. Yəni modulun altına rəqəmi əks işarə ilə yazırıq və yenidən modul işarəsindən azad oluruq:

6X 2 - (-X) - 2 ≤ 0.

Mötərizənin genişləndirilməsi:

6X 2 + X - 2 ≤ 0.

Beləliklə, iki tənlik sistemi əldə etdik:

6X 2 - X - 2 ≤ 0
X ≥ 0

6X 2 + X - 2 ≤ 0
X < 0

Sistemlərdəki bərabərsizlikləri həll etməliyik - bu o deməkdir ki, biz iki kvadrat tənliyin köklərini tapmalıyıq. Bunun üçün bərabərsizliklərin sol tərəflərini sıfıra bərabərləşdiririk.

Birincidən başlayaq:

6X 2 - X - 2 = 0.

Kvadrat tənliyi necə həll etmək olar - "Kvadrat tənlik" bölməsinə baxın. Dərhal cavabı adlandıracağıq:

X 1 = -1/2, x 2 = 2/3.

Birinci bərabərsizliklər sistemindən əldə edirik ki, ilkin bərabərsizliyin həlli -1/2-dən 2/3-ə qədər olan bütün ədədlər toplusudur. Həlllərin birliyini yazırıq X ≥ 0:
[-1/2; 2/3].

İndi ikinci kvadrat tənliyi həll edək:

6X 2 + X - 2 = 0.

Onun kökləri:

X 1 = -2/3, X 2 = 1/2.

Nəticə: nə vaxt X < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от -2/3 до 1/2.

Gəlin iki cavabı birləşdirək və yekun cavabı alaq: həll yolu bu ifrat ədədlər də daxil olmaqla -2/3-dən 2/3-ə qədər olan bütün ədədlər toplusudur.

Cavab verin: -2/3 ≤ X ≤ 2/3.

Və ya: X ∈ [-2/3; 2/3].

Riyaziyyat elmin müdrikliyinin simvoludur,

elmi ciddilik və sadəlik modeli,

elmdə mükəmməllik və gözəllik standartı.

Rus filosofu, professor A.V. Voloşinov

Modulu olan bərabərsizliklər

Məktəb riyaziyyatında həlli ən çətin məsələlər bərabərsizliklərdir, modul işarəsi altında dəyişənləri ehtiva edir. Bu cür bərabərsizlikləri uğurla həll etmək üçün modulun xassələrini yaxşı bilməli və onlardan istifadə etmək bacarığına malik olmalısınız.

Əsas anlayışlar və xassələr

Həqiqi ədədin modulu (mütləq qiymət). ilə işarələnir və aşağıdakı kimi müəyyən edilir:

TO sadə xassələri moduluna aşağıdakı əlaqələr daxildir:

VƏ .

Qeyd, son iki xassə istənilən cüt dərəcə üçün etibarlıdır.

Üstəlik, əgər, harada, onda və

Daha çox kompleks xassələri modul, modullarla tənlik və bərabərsizliklərin həlli zamanı səmərəli istifadə oluna bilər, aşağıdakı teoremlər vasitəsilə tərtib edilir:

Teorem 1.İstənilən analitik funksiyalar üçün Və bərabərsizlik doğrudur.

Teorem 2. Bərabərlik bərabərsizliyə bərabərdir.

Teorem 3. Bərabərlik bərabərsizliyə bərabərdir.

Məktəb riyaziyyatında ən çox rast gəlinən bərabərsizliklər, modul işarəsi altında naməlum dəyişənləri ehtiva edir, formanın bərabərsizlikləridir və , harada bəzi müsbət sabit.

Teorem 4. Bərabərsizlik ikiqat bərabərsizliyə bərabərdir, və bərabərsizliyin həllibərabərsizliklər toplusunun həllinə qədər azaldır Və .

Bu teorem 6 və 7-ci teoremlərin xüsusi halıdır.

Daha mürəkkəb bərabərsizliklər, modulu ehtiva edən formanın bərabərsizlikləridir, Və .

Belə bərabərsizliklərin həlli üsulları aşağıdakı üç teoremdən istifadə etməklə tərtib edilə bilər.

Teorem 5. Bərabərsizlik iki bərabərsizlik sisteminin birləşməsinə bərabərdir

mən (1)

Sübut. O vaxtdan

Bu (1)-in etibarlılığını nəzərdə tutur.

Teorem 6. Bərabərsizlik bərabərsizliklər sisteminə ekvivalentdir

Sübut.Çünki, sonra bərabərsizlikdən bundan irəli gəlir . Bu şərtlə bərabərsizlikvə bu halda ikinci bərabərsizliklər sistemi (1) uyğunsuz olacaq.

Teorem sübut edilmişdir.

Teorem 7. Bərabərsizlik bir bərabərsizliyin və iki bərabərsizlik sisteminin birləşməsinə bərabərdir

mən (3)

Sübut., sonra bərabərsizlik həmişə icra olunur, Əgər .

Qoy sonra bərabərsizlikbərabərsizliyə bərabər olacaqdır, ondan iki bərabərsizlik çoxluğu gəlir Və .

Teorem sübut edilmişdir.

Gəlin nəzərdən keçirək tipik nümunələr“Bərabərsizliklər” mövzusunda məsələlərin həlli, modul işarəsi altında dəyişənləri ehtiva edir."

Modulla bərabərsizliklərin həlli

Ən çox sadə üsul modullu bərabərsizliklərin həlli üsuludur, modulun genişləndirilməsinə əsaslanır. Bu üsul universaldır, lakin ümumi halda onun istifadəsi çox çətin hesablamalara səbəb ola bilər. Buna görə də tələbələr bu cür bərabərsizliklərin həlli üçün digər (daha effektiv) üsul və üsulları bilməlidirlər. Xüsusilə, teoremləri tətbiq etmək bacarığına malik olmaq lazımdır, bu məqalədə verilmişdir.

Misal 1.Bərabərsizliyi həll edin

. (4)

Həll.Biz bərabərsizliyi (4) “klassik” metoddan – modulların aşkarlanması üsulundan istifadə edərək həll edəcəyik. Bu məqsədlə ədəd oxunu bölürük nöqtələr və intervallara bölün və üç halı nəzərdən keçirin.

1. Əgər , onda , , , və bərabərsizlik (4) formasını alır və ya .

İş burada nəzərdən keçirildiyi üçün bərabərsizliyin həllidir (4).

2. Əgər, onda (4) bərabərsizliyindən alırıq və ya . Intervalların kəsişməsindən bəri Və boşdur, onda baxılan həllərin intervalında bərabərsizlik yoxdur (4).

3. Əgər, onda (4) bərabərsizlik formasını alır və ya . Aydındır ki bərabərsizliyin də həllidir (4).

Cavab: , .

Misal 2. Bərabərsizliyi həll edin.

Həll. Fərz edək ki. Çünki, onda verilmiş bərabərsizlik şəklini alır və ya . O vaxtdan və buradan irəli gəlir və ya .

Bununla belə, buna görə də və ya.

Misal 3. Bərabərsizliyi həll edin

. (5)

Həll.Çünki, onda (5) bərabərsizlik bərabərsizliklərə bərabərdir və ya . Buradan, 4-cü teoremə görə, bir sıra bərabərsizliklərimiz var Və .

Cavab: , .

Misal 4.Bərabərsizliyi həll edin

. (6)

Həll. işarə edək. Onda (6) bərabərsizliyindən , və ya bərabərsizliklərini alırıq.

Buradan, interval metodundan istifadə etməklə, alırıq. Çünki, onda burada bərabərsizliklər sistemimiz var

(7) sisteminin birinci bərabərsizliyinin həlli iki intervalın birləşməsidir Və , ikinci bərabərsizliyin həlli isə ikiqat bərabərsizlikdir. Bundan belə çıxır ki, (7) bərabərsizliklər sisteminin həlli iki intervalın birləşməsidir Və .

Cavab: ,

Misal 5.Bərabərsizliyi həll edin

. (8)

Həll. (8) bərabərsizliyini aşağıdakı kimi çevirək:

Və ya .

Interval metodundan istifadə, bərabərsizliyin həllini alırıq (8).

Cavab: .

Qeyd. Əgər və 5-ci teorem şərtlərinə qoysaq, alarıq.

Misal 6. Bərabərsizliyi həll edin

. (9)

Həll. (9) bərabərsizliyindən belə çıxır. (9) bərabərsizliyini aşağıdakı kimi çevirək:

Və ya

O vaxtdan bəri və ya.

Cavab: .

Misal 7.Bərabərsizliyi həll edin

. (10)

Həll. Bundan sonra və , sonra və ya .

Bu baxımdan və bərabərsizlik (10) formasını alır

Və ya

. (11)

Bundan sonra və ya. olduğundan, (11) bərabərsizliyi də və ya nəzərdə tutur.

Cavab: .

Qeyd. 1-ci teoremi bərabərsizliyin sol tərəfinə tətbiq etsək (10), onda alırıq . Bundan və bərabərsizlikdən (10) belə çıxır, nə və ya . Çünki, onda (10) bərabərsizlik formasını alır və ya .

Misal 8. Bərabərsizliyi həll edin

. (12)

Həll. O vaxtdan və bərabərsizlikdən (12) belə çıxır və ya . Bununla belə, buna görə də və ya. Buradan alırıq və ya .

Cavab: .

Misal 9. Bərabərsizliyi həll edin

. (13)

Həll. 7-ci teoremə görə (13) bərabərsizliyinin həlli və ya .

Qoy indi olsun. Bu halda və bərabərsizlik (13) formasını alır və ya .

Əgər intervalları birləşdirsəniz Və , onda formanın (13) bərabərsizliyinin həllini alırıq.

Misal 10. Bərabərsizliyi həll edin

. (14)

Həll.(14) bərabərsizliyini ekvivalent formada yenidən yazaq: . Bu bərabərsizliyin sol tərəfinə 1-ci teoremi tətbiq etsək, bərabərsizliyi əldə edirik.

Buradan və 1-ci Teoremdən belə çıxır, (14) bərabərsizliyi istənilən qiymət üçün ödənilir.

Cavab: istənilən nömrə.

Misal 11. Bərabərsizliyi həll edin

. (15)

Həll. Teorem 1-in bərabərsizliyin sol tərəfinə tətbiqi (15), alırıq . Bu və (15) bərabərsizliyi tənliyi verir, forması olan.

3-cü teoremə görə, tənliyi bərabərsizliyə bərabərdir. Buradan alırıq.

Misal 12.Bərabərsizliyi həll edin

. (16)

Həll. (16) bərabərsizlikdən 4-cü teoremə görə bərabərsizliklər sistemini alırıq

Bərabərsizliyi həll edərkən6-cı teoremdən istifadə edək və bərabərsizliklər sistemi əldə edəkondan irəli gəlir.

Bərabərsizliyi nəzərdən keçirin. 7-ci teoremə görə, bərabərsizliklər toplusunu alırıq Və . İkinci əhali bərabərsizliyi istənilən real üçün etibarlıdır.

Beləliklə, (16) bərabərsizliyinin həlli.

Misal 13.Bərabərsizliyi həll edin

. (17)

Həll. 1-ci teoremə görə yaza bilərik

(18)

Bərabərsizliyi (17) nəzərə alaraq belə nəticəyə gəlirik ki, hər iki bərabərsizlik (18) bərabərliyə çevrilir, yəni. tənliklər sistemi mövcuddur

Teorem 3 ilə bu sistem tənliklər bərabərsizliklər sisteminə ekvivalentdir

və ya

Misal 14.Bərabərsizliyi həll edin

. (19)

Həll. O vaxtdan bəri. Gəlin bərabərsizliyin hər iki tərəfini (19) hər hansı bir dəyər üçün yalnız götürən ifadə ilə çarpaq. müsbət dəyərlər. Sonra formanın (19) bərabərsizliyinə ekvivalent olan bərabərsizlik əldə edirik

Buradan və ya, haradan alırıq. O vaxtdan və onda (19) bərabərsizliyinin həlli olur Və .

Cavab: , .

Modulla bərabərsizliklərin həlli üsullarını daha dərindən öyrənmək üçün dərsliklərə müraciət etməyi məsləhət görürük., tövsiyə olunan ədəbiyyat siyahısında verilmişdir.

1. Kolleclərə qəbul olan abituriyentlər üçün riyaziyyatdan məsələlər toplusu / Red. M.İ. Skanavi. – M.: Sülh və Təhsil, 2013. – 608 s.

2. Suprun V.P. Orta məktəb şagirdləri üçün riyaziyyat: bərabərsizliklərin həlli və sübutu üsulları. – M.: Lenand / URSS, 2018. – 264 s.

3. Suprun V.P. Orta məktəb şagirdləri üçün riyaziyyat: qeyri-standart üsullar problemin həlli. – M.: CD “Librocom” / URSS, 2017. – 296 s.

Hələ suallarınız var?

Repetitordan kömək almaq üçün qeydiyyatdan keçin.

vebsayt, materialı tam və ya qismən köçürərkən mənbəyə keçid tələb olunur.

Modullarla bərabərsizliklərin aşkarlanması üsulları (qaydaları) submodul funksiyaların sabit işarəsi intervallarından istifadə etməklə modulların ardıcıl açıqlanmasından ibarətdir. Son variantda problemin şərtlərini ödəyən interval və ya intervalların tapıldığı bir neçə bərabərsizlik əldə edilir.

Gəlin praktikada ümumi nümunələrin həllinə keçək.

Modullarla xətti bərabərsizliklər

Xətti dedikdə dəyişənin xətti olaraq tənliyə daxil olduğu tənlikləri nəzərdə tuturuq.

Misal 1. Bərabərsizliyin həllini tapın

Həlli:
Məsələnin şərtlərindən belə çıxır ki, modullar x=-1 və x=-2-də sıfıra çevrilir.

Bu nöqtələr say xəttini intervallara bölür

Bu intervalların hər birində verilmiş bərabərsizliyi həll edirik. Bunun üçün ilk növbədə submodul funksiyaların daimi işarəsi olan sahələrin qrafik təsvirlərini tərtib edirik. Onlar funksiyaların hər birinin əlamətləri olan sahələr kimi təsvir edilmişdir

və ya bütün funksiyaların işarələri olan intervallar.

İlk intervalda modulları genişləndiririk

Hər iki tərəfi mənfi birə vururuq və bərabərsizlikdəki işarə əks tərəfə dəyişəcək. Əgər bu qayda sizə öyrəşməkdə çətinlik çəkirsə, mənfidən xilas olmaq üçün hər bir hissəni işarənin arxasına keçirə bilərsiniz. Sonda alacaqsınız

x>-3 çoxluğunun tənliklərin həll olunduğu sahə ilə kəsişməsi (-3;-2) intervalı olacaqdır. Həll yollarını tapmaq asan olanlar üçün bu sahələrin kəsişməsini qrafik olaraq çəkə bilərsiniz

Sahələrin ümumi kəsişməsi həll yolu olacaqdır. Ciddi qeyri-bərabərdirsə, kənarlar daxil edilmir. Ciddi deyilsə, əvəz etməklə yoxlayın.

İkinci intervalda alırıq

Kesiti interval (-2;-5/3) olacaq.

Qrafik olaraq həll belə görünəcəkÜçüncü intervalda alırıq

Bu şərt

istədiyiniz domendə həllər təmin etmir. Tapılan iki həll (-3;-2) və (-2;-5/3) x=-2 nöqtəsində sərhəd olduğundan onu da yoxlayırıq. Beləliklə, x=-2 nöqtəsi həlldir.

Ümumi həll
bunu nəzərə alsaq (-3;5/3) kimi görünəcək.

Həlli:
Misal 2. Bərabərsizliyin həllini tapın

|x-2|-|x-3|>=|x-4|

Submodul funksiyaların sıfırları x=2, x=3, x=4 nöqtələri olacaqdır.

Bu nöqtələrdən az olan arqument dəyərləri üçün submodul funksiyalar mənfi, daha böyük dəyərlər üçün isə müsbətdir.

Nöqtələr həqiqi oxu dörd intervala bölür. Modulları sabit işarəli intervallara görə genişləndiririk və bərabərsizlikləri həll edirik.

1) Birinci intervalda bütün submodul funksiyalar mənfi olur, ona görə də modulları genişləndirərkən işarəni əksinə dəyişirik.

3) x=3 və x=4 nöqtələri arasındakı intervalda birinci və ikinci submodul funksiyalar müsbət, üçüncüsü isə mənfidir. Buna əsaslanaraq əldə edirik

Bu şərt göstərir ki, bütün interval modullarla bərabərsizliyi ödəyəcək.

4) x>4 qiymətləri üçün bütün funksiyalar müsbət işarələrə malikdir. Modulları genişləndirərkən biz onların işarəsini dəyişmirik.

Aralığın kəsişməsində tapılan şərt aşağıdakı həllər toplusunu verir

Bərabərsizlik bütün intervallarda həll olunduğundan, x-in tapılan bütün qiymətlərinin ümumi dəyərini tapmaq qalır.

Həll iki interval olacaq

Bu nümunəni yekunlaşdırır.
Misal 3. Bərabərsizliyin həllini tapın

Həlli:
||x-1|-5|>3-2x

Moduldan modul ilə bərabərsizliyimiz var. Bu cür bərabərsizliklər modullar daha dərində yerləşənlərdən başlayaraq iç-içə yerləşdikdə aşkarlanır. X-1 submodul funksiyası x=1-də sıfıra çevrilir. 1-dən yuxarı kiçik dəyərlər üçün mənfi və x>1 üçün müsbətdir. Buna əsaslanaraq açıqlayırıq daxili modul

və intervalların hər biri üzrə bərabərsizliyi nəzərdən keçirin.

Əvvəlcə mənfi sonsuzluqdan birinə qədər olan intervalı nəzərdən keçirin<-4:

Submodul funksiyası x=-4-də sıfırdır. Kiçik dəyərlərdə müsbət, böyük dəyərlərdə mənfi olur. X üçün modulu genişləndirək

Nəzərdən keçirdiyimiz sahə ilə kəsişmədə bir sıra həllər əldə edirik

Növbəti addım modulu (-4;1) intervalında genişləndirməkdir.

Modulun genişlənmə sahəsini nəzərə alaraq, həll intervalını əldə edirik

UNUTMAYIN: modullarla bu cür pozuntularda ümumi bir nöqtə ilə həmsərhəd olan iki interval əldə edirsinizsə, bir qayda olaraq, bu da bir həlldir.

Bunu etmək üçün sadəcə yoxlamaq lazımdır.

Bu halda x=-4 nöqtəsini əvəz edirik.
Beləliklə, x=-4 həlldir.

Daxili modulu x>1 üçün genişləndirək<6.
Submodul funksiyası x üçün mənfi

Aldığımız modulu genişləndirərək

(1;6) intervalı olan bölmədəki bu şərt boş həllər toplusunu verir.

x>6 üçün bərabərsizliyi əldə edirik
Həmçinin həll edərək boş dəst əldə etdik.

Yuxarıda göstərilənlərin hamısını nəzərə alaraq, modullarla bərabərsizliyin yeganə həlli aşağıdakı interval olacaqdır.

Kvadrat tənlikləri ehtiva edən modulları olan bərabərsizliklər
Misal 4. Bərabərsizliyin həllini tapın

Həlli:
|x^2+3x|>=2-x^2

Submodul funksiyası x=0, x=-3 nöqtələrində yox olur.
Mənfi birin sadə əvəzi

(-3;0) intervalında sıfırdan kiçik, ondan kənarda isə müsbət olduğunu müəyyən edirik. Submodul funksiyasının müsbət olduğu sahələrdə modulu genişləndirək

Rahatlıq üçün (-2;1/2) intervalına aid olan x=0 nöqtəsini əvəz edirik.

Bu intervalda funksiya mənfidir, yəni həll aşağıdakı x dəstləri olacaqdır

Burada həlləri olan sahələrin kənarları mötərizələrlə göstərilir, bu, aşağıdakı qayda nəzərə alınmaqla qəsdən edilmişdir;

UNUTMAYIN: Əgər modullu bərabərsizlik və ya sadə bərabərsizlik ciddidirsə, onda tapılan sahələrin kənarları həllər deyil, bərabərsizliklər ciddi deyilsə (), kənarlar həllərdir (kvadrat mötərizə ilə işarələnir).

Bu qaydadan bir çox müəllim istifadə edir: əgər ciddi bərabərsizlik verilirsə və hesablamalar zamanı həlldə kvadrat mötərizə ([,]) yazsanız, onlar avtomatik olaraq bunu səhv cavab hesab edəcəklər. Həmçinin, sınaq zamanı modullarla qeyri-ciddi bərabərsizlik verilirsə, onda həllər arasında kvadrat mötərizə olan sahələri axtarın.

Modulu genişləndirərək (-3;0) intervalda funksiyanın işarəsini əksinə dəyişirik.

Bərabərsizliyin açıqlanma sahəsini nəzərə alaraq, həll formasına sahib olacaqdır

Əvvəlki sahə ilə birlikdə bu, iki yarım interval verəcəkdir
Misal 5. Bərabərsizliyin həllini tapın

Həlli:
9x^2-|x-3|>=9x-2<3.

X=3 nöqtəsində submodul funksiyası sıfıra bərabər olan qeyri-ciddi bərabərsizlik verilir.

Kiçik dəyərlər üçün mənfi, daha böyük dəyərlər üçün müsbətdir. X intervalında modulu genişləndirin

Tənliyin diskriminantının tapılması