Kəsrləri kəsrlərə necə bölmək olar. Adi kəsrlərin bölünməsi: qaydalar, nümunələr, həllər

§ 87. Kəsrlərin toplanması.

Kəsrlərin əlavə edilməsinin tam ədədlərin toplanması ilə çox oxşarlıqları var. Kəsrlərin toplanması, verilmiş bir neçə ədədin (şərtlərin) bir ədədə (cəm) birləşdirilməsindən ibarət olan hərəkətdir, bu da termin vahidlərinin bütün vahidlərini və kəsrlərini ehtiva edir.

Üç halı ardıcıl olaraq nəzərdən keçirəcəyik:

1. İlə kəsrlərin əlavə edilməsi eyni məxrəclər.
2. ilə kəsrlərin əlavə edilməsi müxtəlif məxrəclər.
3. Qarışıq ədədlərin toplanması.

1. Bənzər məxrəcli kəsrlərin toplanması.

Məsələni nəzərdən keçirək: 1/5 + 2/5.

AB seqmentini götürək (şəkil 17), onu bir kimi götürüb 5 bərabər hissəyə bölək, onda bu seqmentin AC hissəsi AB seqmentinin 1/5 hissəsinə, eyni CD seqmentinin hissəsi isə bərabər olacaq. 2/5 AB.

Rəsmdən aydın olur ki, AD seqmentini götürsək, 3/5 AB-ə bərabər olacaq; lakin AD seqmenti AC və CD seqmentlərinin cəmidir. Beləliklə, yaza bilərik:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

Bu şərtləri və yaranan cəmini nəzərə alsaq görərik ki, cəminin payı həddlərin paylarını toplamaqla alınmış, məxrəc isə dəyişməz qalmışdır.

Buradan aşağıdakı qaydanı alırıq: Eyni məxrəcləri olan kəsrləri əlavə etmək üçün onların paylarını əlavə edib eyni məxrəci tərk etmək lazımdır.

Bir misala baxaq:

2. Məxrəcləri müxtəlif olan kəsrlərin toplanması.

Fraksiyaları əlavə edək: 3/4 + 3/8 Əvvəlcə onları ən kiçiyə endirmək lazımdır. ortaq məxrəc:

Ara keçid 6/8 + 3/8 yazıla bilməz; aydınlıq üçün bura yazdıq.

Beləliklə, müxtəlif məxrəcləri olan kəsrləri toplamaq üçün əvvəlcə onları ən aşağı ortaq məxrəcə endirməli, onların saylarını əlavə etməli və ortaq məxrəci işarələməlisiniz.

Məsələni nəzərdən keçirək (uyğun fraksiyaların üstündə əlavə amillər yazacağıq):

3. Qarışıq ədədlərin toplanması.

Rəqəmləri əlavə edək: 2 3/8 + 3 5/6.

Əvvəlcə ədədlərimizin kəsr hissələrini ortaq məxrəcə gətirək və yenidən yazaq:

İndi ardıcıl olaraq tam və kəsr hissələri əlavə edirik:

§ 88. Kəsrlərin çıxılması.

Kəsrlərin çıxarılması tam ədədlərin çıxılması ilə eyni şəkildə müəyyən edilir. Bu, iki terminin və onlardan birinin cəmini nəzərə alaraq, başqa bir terminin tapıldığı bir hərəkətdir. Ardıcıl olaraq üç halı nəzərdən keçirək:

1. Bənzər məxrəcli kəsrlərin çıxılması.
2. Məxrəcləri müxtəlif olan kəsrlərin çıxılması.
3. Qarışıq ədədlərin çıxılması.

1. Bənzər məxrəcli kəsrlərin çıxılması.

Bir misala baxaq:

13 / 15 - 4 / 15

AB seqmentini götürək (şəkil 18), onu vahid kimi götürək və 15 bərabər hissəyə bölək; onda bu seqmentin AC hissəsi AB-nin 1/15 hissəsini, eyni seqmentin AD hissəsi isə 13/15 AB-yə uyğun olacaq. 4/15 AB-yə bərabər olan başqa bir ED seqmentini kənara qoyaq.

13/15-dən 4/15 kəsrini çıxarmalıyıq. Rəsmdə bu o deməkdir ki, ED seqmenti AD seqmentindən çıxılmalıdır. Nəticədə, AB seqmentinin 9/15 hissəsi olan AE seqmenti qalacaq. Beləliklə, yaza bilərik:

Verdiyimiz misal göstərir ki, fərqin payı sayları çıxmaqla alınmış, lakin məxrəc eyni qalmışdır.

Buna görə də, oxşar məxrəcləri olan kəsrləri çıxmaq üçün minuendin payından çıxılanın payını çıxarmaq və eyni məxrəci tərk etmək lazımdır.

2. Məxrəcləri müxtəlif olan kəsrlərin çıxılması.

Misal. 3/4 - 5/8

Əvvəlcə bu kəsrləri ən aşağı ortaq məxrəcə endirək:

6 / 8 - 5 / 8 ara keçid burada aydınlıq üçün yazılmışdır, lakin bundan sonra atlana bilər.

Beləliklə, kəsrdən kəsri çıxarmaq üçün əvvəlcə onları ən kiçik ortaq məxrəcə endirməli, sonra minuendin payını minuendin payından çıxarmalı və onların fərqinin altındakı ümumi məxrəcə işarə etməlisiniz.

Bir misala baxaq:

3. Qarışıq ədədlərin çıxılması.

Misal. 10 3/4 - 7 2/3.

Minuendin kəsr hissələrini azaldaq və ən aşağı ortaq məxrəcə çıxaraq:

Tamdan tamı, kəsirdən isə kəsri çıxardıq. Amma elə hallar olur ki, çıxarmanın kəsr hissəsi minuendin kəsir hissəsindən böyük olur. Belə hallarda, minuendin bütün hissəsindən bir vahid götürmək, kəsr hissəsinin ifadə olunduğu hissələrə bölmək və onu minuendin kəsr hissəsinə əlavə etmək lazımdır. Və sonra çıxma əvvəlki nümunədə olduğu kimi həyata keçiriləcək:

§ 89. Kəsrlərin vurulması.

Kəsrin vurulmasını öyrənərkən aşağıdakı sualları nəzərdən keçirəcəyik:

1. Kəsirin tam ədədə vurulması.
2. Verilmiş ədədin kəsirinin tapılması.
3. Tam ədədi kəsrə vurmaq.
4. Kəsirin kəsrə vurulması.
5. Qarışıq ədədlərin vurulması.
6. Maraq anlayışı.
7. Verilmiş ədədin faizini tapmaq. Onları ardıcıl olaraq nəzərdən keçirək.

1. Kəsirin tam ədədə vurulması.

Kəsri tam ədədə vurmaq tam ədədi tam ədədə vurmaqla eyni məna daşıyır. Kəsri (çoxluğu) tam ədədə (amillə) vurmaq hər bir həddi çarpana, hədlərin sayı isə çarpana bərabər olan eyni şərtlərin cəmini yaratmaq deməkdir.

Bu o deməkdir ki, əgər 1/9-u 7-yə vurmaq lazımdırsa, bunu belə etmək olar:

Nəticəni asanlıqla əldə etdik, çünki hərəkət eyni məxrəcləri olan kəsrlərin əlavə edilməsinə qədər azaldıldı. Beləliklə,

Bu hərəkətin nəzərdən keçirilməsi göstərir ki, kəsri tam ədədə vurmaq bu kəsiri tam ədəddə olan vahidlərin sayı qədər artırmağa bərabərdir. Və bir kəsrin artırılması ya onun payını artırmaqla əldə edildiyi üçün

yaxud onun məxrəcini azaltmaqla , onda biz ya payı tam ədədə vura bilərik, ya da məxrəci ona bölə bilərik, əgər belə bölmə mümkündürsə.

Buradan qaydanı alırıq:

Kəsri tam ədədə vurmaq üçün siz payı həmin tam ədədə vurub məxrəci eyni qoyursunuz və ya mümkünsə məxrəci həmin ədədə bölərək, payı dəyişməz qoyursunuz.

Çoxaldıqda, qısaltmalar mümkündür, məsələn:

2. Verilmiş ədədin kəsirinin tapılması. Verilmiş ədədin bir hissəsini tapmalı və ya hesablamalı olduğunuz bir çox problem var. Bu problemlərin digərlərindən fərqi ondadır ki, onlar bəzi obyektlərin və ya ölçü vahidlərinin sayını verirlər və bu ədədin bir hissəsini tapmaq lazımdır ki, o da burada müəyyən bir kəsrlə göstərilir. Anlamağı asanlaşdırmaq üçün əvvəlcə bu cür problemlərə nümunələr verəcəyik, sonra isə onların həlli üsulunu təqdim edəcəyik.

Tapşırıq 1. 60 rublum var idi; Bu pulun 1/3-ni kitab almağa xərcləmişəm. Kitabların qiyməti nə qədərdi?

Tapşırıq 2. Qatar A və B şəhərləri arasında 300 km-ə bərabər məsafə qət etməlidir. O, artıq bu məsafənin 2/3 hissəsini qət edib. Bu neçə kilometrdir?

Tapşırıq 3. Kənddə 400 ev var, onun 3/4-ü kərpic, qalanı taxtadır. Ümumilikdə nə qədər kərpic evlər?

Bunlardan bəzilərini təqdim edirik çoxsaylı vəzifələr verilmiş ədədin rastlaşdığımız hissələrini tapmaq üçün. Onlar adətən verilmiş ədədin kəsirini tapmaq üçün problemlər adlanır.

Problemin həlli 1. 60 rubldan. 1/3-ni kitablara sərf etdim; Bu o deməkdir ki, kitabların qiymətini tapmaq üçün 60 rəqəmini 3-ə bölmək lazımdır:

Problemin həlli 2. Problemin mahiyyəti ondan ibarətdir ki, 300 km-in 2/3 hissəsini tapmaq lazımdır. Əvvəlcə 300-ün 1/3 hissəsini hesablayaq; buna 300 km-i 3-ə bölməklə nail olunur:

300: 3 = 100 (bu 300-dən 1/3-ə bərabərdir).

300-ün üçdə ikisini tapmaq üçün nəticədə alınan nisbəti ikiqat artırmalı, yəni 2-yə vurmalısınız:

100 x 2 = 200 (bu 300-dən 2/3-ə bərabərdir).

Problemin həlli 3. Burada 400-ün 3/4-ni təşkil edən kərpic evlərin sayını müəyyən etmək lazımdır. Gəlin əvvəlcə 400-ün 1/4 hissəsini tapaq,

400: 4 = 100 (bu 400-dən 1/4-ə bərabərdir).

400-ün dörddə üçünü hesablamaq üçün nəticədə əmsal üçqat, yəni 3-ə vurulmalıdır:

100 x 3 = 300 (bu 400-dən 3/4-ə bərabərdir).

Bu problemlərin həllinə əsaslanaraq aşağıdakı qaydanı əldə edə bilərik:

Verilmiş ədəddən kəsrin qiymətini tapmaq üçün bu ədədi kəsrin məxrəcinə bölmək və nəticədə yaranan hissəni onun payına vurmaq lazımdır.

3. Tam ədədi kəsrə vurmaq.

Əvvəllər (§ 26) müəyyən edilmişdir ki, tam ədədlərin vurulması dedikdə, eyni şərtlərin əlavə edilməsi başa düşülməlidir (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20). Bu bənddə (1-ci bənd) müəyyən edilmişdir ki, kəsri tam ədədə vurmaq bu kəsrə bərabər olan eyni hədlərin cəmini tapmaq deməkdir.

Hər iki halda vurma eyni şərtlərin cəminin tapılmasından ibarət idi.

İndi tam ədədi kəsrə vurmağa davam edirik. Burada, məsələn, çarpma ilə qarşılaşacağıq: 9 2 / 3. Aydındır ki, vurmanın əvvəlki tərifi bu işə aid deyil. Bu, bərabər ədədləri toplamaqla belə vurmanı əvəz edə bilməyəcəyimizdən aydın olur.

Bu səbəbdən biz vurmanın yeni tərifini verməli olacağıq, yəni kəsrə vurmaqla nə başa düşülməlidir, bu hərəkət necə başa düşülməlidir sualına cavab verməliyik.

Tam ədədi kəsrə vurmağın mənası aşağıdakı tərifdən aydın olur: tam ədədi (çoxluğu) kəsrə (çoxluq) vurmaq vurmanın bu hissəsini tapmaq deməkdir.

Yəni 9-u 2/3-ə vurmaq doqquz vahidin 2/3-ni tapmaq deməkdir. Əvvəlki paraqrafda belə problemlər həll edildi; ona görə də başa düşmək asandır ki, biz 6 ilə yekunlaşacağıq.

Amma indi maraqlı və vacib sual yaranır: niyə bərabər ədədlərin cəmini tapmaq və ədədin kəsrini tapmaq kimi bir-birindən fərqli görünən əməliyyatlar arifmetikada eyni “vurma” sözü ilə adlanır?

Bu ona görə baş verir ki, əvvəlki hərəkət (şərtlərlə ədədi bir neçə dəfə təkrarlamaq) və yeni hərəkət (ədədin kəsirini tapmaq) eynicinsli suallara cavab verir. Bu o deməkdir ki, biz burada homojen sualların və ya tapşırıqların eyni hərəkətlə həll olunduğu mülahizələrindən çıxış edirik.

Bunu başa düşmək üçün aşağıdakı problemi nəzərdən keçirək: “1 m parça 50 rubla başa gəlir. Belə bir parçanın 4 m-i nə qədər olacaq?

Bu problem rublun sayını (50) sayğacların sayına (4), yəni 50 x 4 = 200 (rubl) vurmaqla həll edilir.

Eyni problemi götürək, amma orada parça miqdarı kəsr kimi ifadə olunacaq: “1 m parça 50 rubla başa gəlir. Belə parçanın 3/4 m-i neçəyə başa gələcək?”

Bu problemi də rublun sayını (50) sayğacların sayına (3/4) vurmaqla həll etmək lazımdır.

Problemin mənasını dəyişdirmədən içindəki nömrələri bir neçə dəfə dəyişdirə bilərsiniz, məsələn, 9/10 m və ya 2 3/10 m və s.

Bu məsələlər eyni məzmuna malik olduğundan və yalnız ədədlərlə fərqləndiyindən onların həllində istifadə olunan hərəkətləri eyni söz - vurma adlandırırıq.

Tam ədədi kəsrə necə vurmaq olar?

Son problemdə rast gəlinən rəqəmləri götürək:

Tərifə görə 50-nin 3/4-ni tapmalıyıq.Əvvəlcə 50-nin 1/4, sonra isə 3/4-ü tapaq.

50-nin 1/4-ü 50/4-dür;

50 ədədinin 3/4 hissəsi .

Beləliklə.

Başqa bir misala baxaq: 12 5/8 =?

12 rəqəminin 1/8 hissəsi 12/8-dir,

12 rəqəminin 5/8 hissəsidir.

Beləliklə,

Buradan qaydanı alırıq:

Tam ədədi kəsrə vurmaq üçün tam ədədi kəsrin payına vurmaq və bu hasili paya çevirmək və bu kəsrin məxrəcini məxrəc kimi imzalamaq lazımdır.

Bu qaydanı hərflərdən istifadə edərək yazaq:

Bu qaydanı tamamilə aydınlaşdırmaq üçün bir kəsirin bir hissə kimi qəbul edilə biləcəyini xatırlamaq lazımdır. Buna görə də, tapılmış qaydanı § 38-də göstərilən ədədi bölməyə vurma qaydası ilə müqayisə etmək faydalıdır.

Yadda saxlamaq lazımdır ki, vurma etməzdən əvvəl (mümkünsə) etməlisiniz. azalmalar, Məsələn:

4. Kəsirin kəsrə vurulması. Kəsri kəsrə vurmaq tam ədədi kəsrə vurmaqla eyni məna daşıyır, yəni bir kəsi kəsrə vurarkən birinci kəsirdən (vurmalı) əmsalda olan kəsri tapmaq lazımdır.

Yəni 3/4-ü 1/2-yə (yarım) vurmaq 3/4-ün yarısını tapmaq deməkdir.

Kəsiri kəsrə necə vurmaq olar?

Bir misal götürək: 3/4 5/7 ilə vurulur. Bu o deməkdir ki, 3/4-dən 5/7-ni tapmaq lazımdır. Əvvəlcə 3/4-ün 1/7 hissəsini, sonra isə 5/7-ni tapaq

3/4 ədədinin 1/7 hissəsi aşağıdakı kimi ifadə olunacaq:

5/7 rəqəmləri 3/4 aşağıdakı kimi ifadə olunacaq:

Beləliklə,

Başqa bir misal: 5/8 4/9 ilə vurulur.

5/8-in 1/9-u ,

5/8 rəqəminin 4/9 hissəsidir.

Beləliklə,

Bu nümunələrdən aşağıdakı qaydanı çıxarmaq olar:

Kəsiri kəsrə vurmaq üçün payı paya, məxrəci isə məxrəcə vurmalı və birinci hasilini paya, ikinci hasilini isə hasilin məxrəcinə çevirmək lazımdır.

Bu qaydada var ümumi görünüş belə yazmaq olar:

Çoxaldıqda (mümkünsə) azalmalar etmək lazımdır. Nümunələrə baxaq:

5. Qarışıq ədədlərin vurulması. Qarışıq ədədləri düzgün olmayan kəsrlərlə asanlıqla əvəz etmək mümkün olduğundan, bu hal adətən qarışıq ədədləri vurarkən istifadə olunur. Bu o deməkdir ki, çarpan və ya çarpan və ya hər iki amil qarışıq ədədlər kimi ifadə edildikdə, onlar düzgün olmayan kəsrlərlə əvəz olunur. Məsələn, qarışıq ədədləri çoxaldaq: 2 1/2 və 3 1/5. Gəlin onların hər birini düzgün olmayan kəsrə çevirək və sonra yaranan fraksiyaları kəsri kəsrə vurma qaydasına uyğun olaraq çoxaldaq:

Qayda. Qarışıq ədədləri çoxaltmaq üçün əvvəlcə onları düzgün olmayan kəsrlərə çevirməli və sonra kəsrləri kəsrlərə vurma qaydasına uyğun olaraq çoxaltmalısınız.

Qeyd.Əgər amillərdən biri tam ədəddirsə, onda vurma paylanma qanununa əsasən aşağıdakı kimi həyata keçirilə bilər:

6. Maraq anlayışı. Məsələləri həll edərkən və müxtəlif praktiki hesablamalar apararkən biz hər növ kəsrlərdən istifadə edirik. Ancaq nəzərə almaq lazımdır ki, bir çox kəmiyyətlər hər hansı bir bölməyə deyil, onlar üçün təbii olan bölmələrə icazə verir. Məsələn, rublun yüzdə birini (1/100) götürə bilərsiniz, bir qəpik olacaq, iki yüzdə biri 2 qəpik, üç yüzdə biri 3 qəpikdir. Rublun 1/10 hissəsini götürə bilərsiniz, bu "10 qəpik, ya on qəpiklik olacaq. Rublun dörddə biri, yəni 25 qəpik, yarım rubl, yəni 50 qəpik (əlli qəpik) ala bilərsiniz. Amma onlar praktiki olaraq götürmürlər, məsələn , rublun 2/7 hissəsi, çünki rubl yeddiyə bölünmür.

Çəki vahidi, yəni kiloqram, ilk növbədə, 1/10 kq və ya 100 q-a bölünməyə imkan verir və kiloqramın 1/6, 1/11, 1/13 kimi fraksiyaları ümumi deyil.

Ümumiyyətlə, bizim (metrik) ölçülərimiz ondalıkdır və onluq bölmələrə imkan verir.

Bununla belə, qeyd etmək lazımdır ki, kəmiyyətləri bölmək üçün eyni (vahid) üsuldan istifadə etmək çox müxtəlif hallarda son dərəcə faydalı və rahatdır. Çoxillik təcrübə göstərdi ki, belə əsaslandırılmış bölgü “yüzüncü” bölgüdür. İnsan praktikasının ən müxtəlif sahələrinə aid bir neçə nümunəni nəzərdən keçirək.

1. Kitabların qiyməti əvvəlki qiymətdən 12/100 ucuzlaşıb.

Misal. Kitabın əvvəlki qiyməti 10 rubl idi. 1 rubl azaldı. 20 qəpik

2. Əmanət kassaları əmanətçilərə il ərzində əmanət üçün qoyulan məbləğin 2/100 hissəsini ödəyir.

Misal. Kassaya 500 rubl qoyulur, il ərzində bu məbləğdən gəlir 10 rubl təşkil edir.

3. Bir məktəbi bitirənlərin sayı ümumi şagirdlərin 5/100 hissəsini təşkil edirdi.

NÜMUNƏ Məktəbdə cəmi 1200 şagird var idi, onlardan 60-ı bitirdi.

Ədədin yüzüncü hissəsi faiz adlanır.

"Faiz" sözü ondan götürülmüşdür latın dili kökü isə “cent” yüz deməkdir. Ön söz (pro centum) ilə birlikdə bu söz "yüz üçün" mənasını verir. Belə bir ifadənin mənası əvvəlcə içərisində olmasından irəli gəlir qədim Roma faiz borclunun borc verənə “hər yüz üçün” ödədiyi pul idi. “Sent” sözü belə tanış sözlərdə eşidilir: sentner (yüz kiloqram), santimetr (santimetr deyin).

Məsələn, son bir ayda zavodun istehsal etdiyi bütün məhsulların 1/100-i qüsurludur demək əvəzinə, belə deyəcəyik: son bir ayda zavod bir faiz qüsur istehsal edib. Zavod müəyyən edilmiş plandan 4/100 çox məhsul istehsal etmək əvəzinə, deyəcəyik: zavod planı 4 faiz artıqlaması ilə yerinə yetirmişdir.

Yuxarıdakı nümunələr fərqli şəkildə ifadə edilə bilər:

1. Kitabların qiyməti əvvəlki qiymətdən 12 faiz ucuzlaşıb.

2. Əmanət kassaları əmanətçilərə əmanətə qoyulan məbləğdən ildə 2 faiz ödəyir.

3. Bir məktəbi bitirənlərin sayı bütün məktəb şagirdlərinin 5 faizini təşkil edirdi.

Hərfi qısaltmaq üçün “faiz” sözünün yerinə % simvolunun yazılması adətdir.

Bununla belə, yadda saxlamaq lazımdır ki, hesablamalarda % işarəsi adətən yazılmır, o, problem bəyanatında və yekun nəticədə yazıla bilər. Hesablamalar apararkən bu işarə ilə tam ədədin yerinə məxrəci 100 olan kəsr yazmaq lazımdır.

Göstərilən işarə ilə tam ədədi məxrəci 100 olan kəsrlə əvəz edə bilməlisiniz:

Əksinə, məxrəci 100 olan kəsrin əvəzinə göstərilən simvolu olan tam ədədi yazmağa alışmalısınız:

7. Verilmiş ədədin faizini tapmaq.

Tapşırıq 1. Məktəbə 200 kubmetr qaz verilib. m odun, ağcaqayın odunun 30%-ni təşkil edir. Nə qədər ağcaqayın odun var idi?

Bu problemin mənası ondan ibarətdir ki, ağcaqayın odunları məktəbə gətirilən odunların yalnız bir hissəsini təşkil edirdi və bu hissə 30/100 fraksiyasında ifadə edilir. Bu o deməkdir ki, bizim qarşımızda ədədin kəsirini tapmaq tapşırığı var. Onu həll etmək üçün 200-ü 30/100-ə vurmalıyıq (ədədin kəsirinin tapılması məsələləri ədədi kəsrə vurmaqla həll edilir.).

Bu o deməkdir ki, 200-ün 30%-i 60-a bərabərdir.

Bu problemdə rast gəlinən 30/100 fraksiyasını 10-a endirmək olar. Bu azalmanı lap əvvəldən etmək olardı; problemin həlli dəyişməzdi.

Tapşırıq 2. Düşərgədə müxtəlif yaşlarda olan 300 uşaq var idi. 11 yaşlı uşaqlar 21%, 12 yaşlı uşaqlar 61% və nəhayət 13 yaşlı uşaqlar 18% təşkil edib. Düşərgədə hər yaşda neçə uşaq var idi?

Bu problemdə üç hesablama aparmalısınız, yəni ardıcıl olaraq 11 yaşında, sonra 12 yaşında və nəhayət 13 yaşında olan uşaqların sayını tapmalısınız.

Bu o deməkdir ki, burada üç dəfə ədədin kəsirini tapmaq lazımdır. Gəlin bunu edək:

1) 11 yaşında neçə uşaq var idi?

2) 12 yaşında neçə uşaq var idi?

3) 13 yaşında neçə uşaq var idi?

Problemi həll etdikdən sonra tapılan nömrələri əlavə etmək faydalıdır; onların cəmi 300 olmalıdır:

63 + 183 + 54 = 300

Onu da qeyd etmək lazımdır ki, problem bəyanatında verilən faizlərin cəmi 100-dür:

21% + 61% + 18% = 100%

Bu onu deməyə əsas verir ümumi sayı düşərgədəki uşaqlar 100% olaraq qəbul edildi.

3 a d a h a 3.İşçi ayda 1200 rubl alırdı. Bunun 65 faizini yeməyə, 6 faizini mənzillərə və istiliyə, 4 faizini qaz, işıq və radioya, 10 faizini mədəni ehtiyaclara, 15 faizini isə qənaət edib. Problemdə göstərilən ehtiyaclara nə qədər vəsait xərclənib?

Bu məsələni həll etmək üçün 1200-ün 5 dəfə hissəsini tapmaq lazımdır.

1) Yemək üçün nə qədər pul xərcləndi? Problem deyir ki, bu xərc ümumi qazancın 65%-ni təşkil edir, yəni 1200 rəqəminin 65/100-üdür.

2) İstilikli mənzilə nə qədər pul ödəmisiniz? Əvvəlki ilə eyni şəkildə əsaslandıraraq, aşağıdakı hesablamaya gəlirik:

3) Qaz, işıq və radio üçün nə qədər pul ödəmisiniz?

4) Mədəni ehtiyaclara nə qədər pul xərclənib?

5) İşçi nə qədər pul yığdı?

Yoxlamaq üçün bu 5 sualda tapılan rəqəmləri toplamaq faydalıdır. Məbləğ 1200 rubl olmalıdır. Bütün qazanclar 100% kimi qəbul edilir, problem bəyanatında verilən faiz rəqəmlərini əlavə etməklə yoxlamaq asandır.

Üç problemi həll etdik. Baxmayaraq ki, bu problemlər müxtəlif məsələlərdən (məktəb üçün odun daşınması, müxtəlif yaşda olan uşaqların sayı, fəhlə xərcləri) məşğul olurdu. Bu ona görə baş verdi ki, bütün məsələlərdə verilmiş ədədlərin bir neçə faizini tapmaq lazım idi.

§ 90. Kəsrlərin bölünməsi.

Kəsrlərin bölünməsini öyrənərkən aşağıdakı sualları nəzərdən keçirəcəyik:

1. Tam ədədi tam ədədə bölün.
2. Kəsirin tam ədədə bölünməsi
3. Tam ədədin kəsrə bölünməsi.
4. Kəsirin kəsrə bölünməsi.
5. Qarışıq ədədlərin bölünməsi.
6. Verilmiş kəsrindən ədədin tapılması.
7. Ədədin faizinə görə tapılması.

Onları ardıcıl olaraq nəzərdən keçirək.

1. Tam ədədi tam ədədə bölün.

Tam ədədlər bölməsində göstərildiyi kimi, bölmə iki amilin (dividend) hasilini (bölən) və bu amillərdən birinin (bölən) hasilini nəzərə alaraq, başqa bir amilin tapılmasından ibarət olan hərəkətdir.

Tam ədədlər bölməsində tam ədədin tam ədədə bölünməsinə baxdıq. Orada iki bölmə halı ilə qarşılaşdıq: qalıqsız bölmə və ya “bütün” (150: 10 = 15) və qalıq ilə bölmə (100: 9 = 11 və 1 qalıq). Buna görə deyə bilərik ki, tam ədədlər sahəsində dəqiq bölmə həmişə mümkün olmur, çünki dividend həmişə bölənin tam ədədə hasili olmur. Kəsrə vurma tətbiq edildikdən sonra tam ədədlərin bölünməsinin istənilən halını mümkün hesab edə bilərik (yalnız sıfıra bölmə istisna olunur).

Məsələn, 7-nin 12-yə bölünməsi hasilinin 12-yə bərabər olacağı bir ədədin tapılması deməkdir. Belə bir ədəd 7/12 kəsridir, çünki 7/12 12 = 7. Başqa bir misal: 14: 25 = 14/25, çünki 14/25 25 = 14.

Beləliklə, tam ədədi tam ədədə bölmək üçün payı dividendlərə, məxrəci isə bölənə bərabər olan kəsr yaratmaq lazımdır.

2. Kəsirin tam ədədə bölünməsi.

6/7 kəsrini 3-ə bölün. Yuxarıda verilmiş bölmənin tərifinə əsasən, burada hasil (6/7) və amillərdən biri (3) var; 3-ə vurulduqda verilmiş hasili 6/7 verəcək ikinci amili tapmaq tələb olunur. Aydındır ki, bu məhsuldan üç dəfə kiçik olmalıdır. Bu o deməkdir ki, qarşımıza qoyulan vəzifə 6/7 kəsri 3 dəfə azaltmaq idi.

Biz artıq bilirik ki, kəsri azaltmaq ya onun payını azaltmaqla, ya da məxrəci artırmaqla edilə bilər. Buna görə yaza bilərsiniz:

Bu halda 6 ədədi 3-ə bölünür, ona görə də pay 3 dəfə azaldılmalıdır.

Başqa bir misal götürək: 5/8 2-yə bölünür. Burada 5 ədədi 2-yə bölünmür, yəni məxrəci bu ədədə vurmaq lazım gələcək:

Buna əsaslanaraq bir qayda tərtib edilə bilər: Kəsiri tam ədədə bölmək üçün kəsrin payını həmin tam ədədə bölmək lazımdır.(mümkünsə), eyni məxrəci tərk edərək və ya kəsrin məxrəcini bu ədədə vuraraq eyni payı qoyub.

3. Tam ədədin kəsrə bölünməsi.

5-i 1/2-yə bölmək lazım gəlsin, yəni 1/2-yə vurduqdan sonra hasili 5-i verəcək ədəd tapılsın. Aydındır ki, bu rəqəm 5-dən çox olmalıdır, çünki 1/2 düzgün kəsrdir. , və ədədi vurarkən düzgün kəsrin hasili vurulan hasildən az olmalıdır. Bunu daha aydın etmək üçün hərəkətlərimizi belə yazaq: 5: 1/2 = X , bu x 1/2 = 5 deməkdir.

Biz belə bir rəqəm tapmalıyıq X , bu, 1/2-yə vurulsa, 5 verəcəkdir. Müəyyən bir ədədi 1/2-yə vurmaq bu ədədin 1/2 hissəsini tapmaq deməkdir, deməli, naməlum ədədin 1/2-i X 5-ə və tam ədədə bərabərdir X iki dəfə çox, yəni 5 2 = 10.

Beləliklə, 5: 1/2 = 5 2 = 10

yoxlayaq:

Başqa bir misala baxaq. Tutaq ki, siz 6-nı 2/3-ə bölmək istəyirsiniz. Əvvəlcə rəsmdən istifadə edərək istədiyiniz nəticəni tapmağa çalışaq (şək. 19).

Şəkil 19

6 vahidə bərabər AB seqmentini çəkək və hər bir vahidi 3 bərabər hissəyə bölək. Hər bir vahiddə bütün AB seqmentinin üçdə üçü (3/3) 6 dəfə böyükdür, yəni. e. 18/3. Kiçik mötərizələrdən istifadə edərək, nəticədə 2-nin 18 seqmentini birləşdiririk; Cəmi 9 seqment olacaq. Bu o deməkdir ki, 2/3 kəsr 6 vahiddə 9 dəfə olur və ya başqa sözlə, 2/3 kəsir 6 tam vahiddən 9 dəfə azdır. Beləliklə,

Yalnız hesablamalardan istifadə edərək rəsm çəkmədən bu nəticəni necə əldə etmək olar? Gəlin belə əsaslandıraq: 6-nı 2/3-ə bölmək lazımdır, yəni 6-da 2/3-ün neçə dəfə olduğu sualına cavab verməliyik. Əvvəlcə öyrənək: 6-da 1/3 neçə dəfədir? Bütöv vahiddə üçdə 3, 6 vahiddə isə 6 dəfə çox, yəni üçdə 18; bu rəqəmi tapmaq üçün 6-nı 3-ə vurmalıyıq. Bu o deməkdir ki, 1/3 b vahidlərində 18 dəfə, 2/3 isə b vahidlərində 18 dəfə deyil, yarısı qədərdir, yəni 18: 2 = 9 Beləliklə, 6-nı 2/3-ə bölərkən aşağıdakıları etdik:

Buradan tam ədədi kəsrə bölmə qaydasını alırıq. Tam ədədi kəsrə bölmək üçün bu tam ədədi verilmiş kəsrin məxrəcinə vurmalı və bu hasili saya çevirərək onu verilmiş kəsrin payına bölmək lazımdır.

Hərflərdən istifadə edərək qaydanı yazaq:

Bu qaydanı tamamilə aydınlaşdırmaq üçün bir kəsirin bir hissə kimi qəbul edilə biləcəyini xatırlamaq lazımdır. Buna görə də, tapılmış qaydanı § 38-də göstərilən ədədi bölməyə bölmək qaydası ilə müqayisə etmək faydalıdır. Nəzərə alın ki, eyni düstur orada da alınıb.

Bölmə zamanı ixtisarlar mümkündür, məsələn:

4. Kəsirin kəsrə bölünməsi.

Tutaq ki, 3/4-ü 3/8-ə bölmək lazımdır. Bölünmə nəticəsində yaranan rəqəm nə deməkdir? Bu, 3/4 kəsrində 3/8 kəsirinin neçə dəfə olduğu sualına cavab verəcəkdir. Bu məsələni başa düşmək üçün bir rəsm çəkək (şək. 20).

AB seqmentini götürək, onu bir kimi götürək, 4 bərabər hissəyə bölək və 3 belə hissəni qeyd edək. AC seqmenti AB seqmentinin 3/4 hissəsinə bərabər olacaq. İndi dörd orijinal seqmentin hər birini yarıya bölək, onda AB seqmenti 8 bərabər hissəyə bölünəcək və hər belə hissə AB seqmentinin 1/8 hissəsinə bərabər olacaqdır. 3 belə seqmenti qövslərlə birləşdirək, onda AD və DC seqmentlərinin hər biri AB seqmentinin 3/8 hissəsinə bərabər olacaqdır. Rəsm göstərir ki, 3/8-ə bərabər bir seqment 3/4-ə bərabər olan seqmentdə tam olaraq 2 dəfə yer alır; Bu o deməkdir ki, bölmənin nəticəsi aşağıdakı kimi yazıla bilər:

3 / 4: 3 / 8 = 2

Başqa bir misala baxaq. Tutaq ki, 15/16-nı 3/32-yə bölmək lazımdır:

Bunu belə əsaslandıra bilərik: 3/32-yə vurduqdan sonra 15/16-ya bərabər məhsul verəcək bir ədəd tapmaq lazımdır. Hesablamaları belə yazaq:

15 / 16: 3 / 32 = X

3 / 32 X = 15 / 16

3/32 naməlum nömrə X 15/16-dır

Naməlum nömrənin 1/32-si X ,

32/32 nömrələr X makiyaj etmək.

Beləliklə,

Beləliklə, kəsri kəsrə bölmək üçün birinci kəsrin payını ikincinin məxrəcinə vurmaq, birinci kəsrin məxrəcini ikincinin payına vurmaq və birinci hasili pay etmək lazımdır, ikincisi isə məxrəcdir.

Hərflərdən istifadə edərək qaydanı yazaq:

Bölmə zamanı ixtisarlar mümkündür, məsələn:

5. Qarışıq ədədlərin bölünməsi.

Qarışıq ədədləri bölərkən əvvəlcə onları çevirmək lazımdır düzgün olmayan fraksiyalar və sonra yaranan kəsrləri kəsrlərin bölünməsi qaydalarına uyğun olaraq bölün. Bir misala baxaq:

Qarışıq ədədləri düzgün olmayan kəsrlərə çevirək:

İndi bölünək:

Beləliklə, qarışıq ədədləri bölmək üçün onları düzgün olmayan kəsrlərə çevirməli və sonra kəsrlərin bölünməsi qaydasından istifadə edərək bölmək lazımdır.

6. Verilmiş kəsrindən ədədin tapılması.

arasında müxtəlif vəzifələr kəsrlərdə, bəzən naməlum ədədin bəzi hissəsinin dəyərinin verildiyi və bu rəqəmi tapmaq lazım olanlar var. Bu tip məsələ verilmiş ədədin kəsrini tapmaq məsələsinin tərsi olacaq; orada bir ədəd verilmişdi və bu ədədin bir hissəsini tapmaq tələb olunurdu, burada ədədin bir hissəsi verilmişdir və bu ədədin özünü tapmaq tələb olunurdu. Bu tip problemin həllinə müraciət etsək, bu fikir daha da aydınlaşacaq.

Tapşırıq 1.İlk gün şüşəçilər 50 pəncərəni şüşələyiblər ki, bu da tikilmiş evin bütün pəncərələrinin 1/3 hissəsidir. Bu evdə neçə pəncərə var?

Həll. Problem deyir ki, 50 şüşəli pəncərə evin bütün pəncərələrinin 1/3-ni təşkil edir, yəni cəmi 3 dəfə çox pəncərə var, yəni.

Evin 150 pəncərəsi var idi.

Tapşırıq 2. Mağazada 1500 kq un satılıb ki, bu da mağazada olan ümumi un ehtiyatının 3/8-ni təşkil edir. Mağazanın ilkin un ehtiyatı nə qədər idi?

Həll. Problemin şərtlərindən aydın olur ki, satılan 1500 kq un ümumi ehtiyatın 3/8-ni təşkil edir; Bu o deməkdir ki, bu ehtiyatın 1/8 hissəsi 3 dəfə az olacaq, yəni onu hesablamaq üçün 1500-ü 3 dəfə azaltmaq lazımdır:

1500: 3 = 500 (bu ehtiyatın 1/8 hissəsidir).

Aydındır ki, bütün tədarük 8 dəfə çox olacaq. Beləliklə,

500 8 = 4000 (kq).

Mağazada ilkin un ehtiyatı 4000 kq olub.

Bu problemi nəzərə alaraq aşağıdakı qaydanı çıxarmaq olar.

Onun kəsirinin verilmiş qiymətindən ədəd tapmaq üçün bu dəyəri kəsrin payına bölmək və nəticəni kəsrin məxrəcinə vurmaq kifayətdir.

Kəsri verilmiş ədədin tapılması ilə bağlı iki məsələni həll etdik. Bu cür məsələlər, xüsusilə sonuncudan aydın göründüyü kimi, iki hərəkətlə həll olunur: bölmə (bir hissə tapıldıqda) və vurma (tam ədəd tapıldıqda).

Ancaq kəsrlərin bölünməsini öyrəndikdən sonra yuxarıda göstərilən problemləri bir hərəkətlə həll etmək olar, yəni: kəsrə bölmə.

Məsələn, sonuncu vəzifəni belə bir hərəkətlə həll etmək olar:

Gələcəkdə onun kəsrindən ədədin tapılması məsələlərini bir hərəkətlə - bölmə ilə həll edəcəyik.

7. Ədədin faizinə görə tapılması.

Bu problemlərdə siz bu rəqəmin bir neçə faizini bilən bir nömrə tapmalısınız.

Tapşırıq 1. Bu ilin əvvəlində əmanət bankından 60 rubl aldım. bir il əvvəl əmanətə qoyduğum məbləğdən gəlir. Əmanət kassasına nə qədər pul qoymuşam? (Kassalar əmanətçilərə ildə 2% gəlir verir.)

Problemin mənası odur ki, mən müəyyən məbləğdə pulu əmanət kassasına qoydum və bir il orada qaldım. Bir ildən sonra mən ondan 60 rubl aldım. əmanət qoyduğum pulun 2/100 hissəsi olan gəlir. Nə qədər pul qoymuşdum?

Nəticə etibarilə, bu pulun iki şəkildə ifadə olunan bir hissəsini (rubl və fraksiya ilə) bilə-bilə, hələlik məlum olmayan bütün məbləği tapmalıyıq. Bu, kəsri verilmiş ədədi tapmaq üçün adi bir problemdir. Bölmə yolu ilə aşağıdakı problemlər həll olunur:

Bu o deməkdir ki, əmanət kassasına 3000 rubl qoyulub.

Tapşırıq 2. Balıqçılar iki həftədə 512 ton balıq yığaraq aylıq planı 64 faiz yerinə yetirmişlər. Onların planı nə idi?

Problemin şərtlərindən məlum olur ki, balıqçılar planın bir hissəsini yerinə yetiriblər. Bu hissə 512 tona bərabərdir ki, bu da planın 64 faizini təşkil edir. Plana görə neçə ton balıq hazırlamaq lazım olduğunu bilmirik. Bu nömrəni tapmaq problemin həlli olacaq.

Bu cür problemlər bölmə ilə həll olunur:

Bu o deməkdir ki, plana görə 800 ton balıq hazırlamaq lazımdır.

Tapşırıq 3. Qatar Riqadan Moskvaya gedib. 276-cı kilometri keçəndə sərnişinlərdən biri yoldan keçən konduktordan artıq yolun nə qədərini qət etdiklərini soruşdu. Buna dirijor cavab verdi: "Biz artıq bütün səyahətin 30%-ni keçdik." Riqa şəhəri Moskva şəhərindən hansı məsafədə yerləşir?

Problemli şərtlərdən aydın olur ki, Riqadan Moskvaya marşrutun 30%-i 276 km-dir. Bu şəhərlər arasındakı bütün məsafəni tapmalıyıq, yəni bu hissə üçün tamı tapmalıyıq:

§ 91. Qarşılıqlı ədədlər. Bölməni vurma ilə əvəz etmək.

2/3 kəsri götürək və məxrəc yerinə payı əvəz edək, 3/2 alırıq. Bu kəsrin tərsini aldıq.

Verilmiş kəsrin tərsi olan kəsri əldə etmək üçün onun payını məxrəc yerinə, məxrəci isə pay yerinə qoymaq lazımdır. Bu yolla istənilən kəsrin əksini əldə edə bilərik. Məsələn:

3/4, tərs 4/3; 5/6, tərs 6/5

Birincinin payının ikincinin məxrəci, birincinin məxrəcinin ikincinin payı olması xassəsinə malik iki kəsr adlanır. qarşılıqlı tərs.

İndi fikirləşək ki, 1/2-nin əksi hansı kəsr olacaq. Aydındır ki, 2/1 və ya sadəcə 2 olacaq. Verilənin tərs hissəsini axtararaq tam ədəd əldə etdik. Və bu iş tək deyil; əksinə, sayı 1 (bir) olan bütün kəsrlər üçün əkslər tam ədədlər olacaq, məsələn:

1/3, tərs 3; 1/5, tərs 5

Qarşılıqlı kəsrlərin tapılmasında tam ədədlərlə də qarşılaşdığımız üçün bundan sonra biz qarşılıqlı kəsrlərdən deyil, əks ədədlərdən danışacağıq.

Tam ədədin tərsini necə yazacağımızı anlayaq. Kəsrlər üçün bu, sadəcə olaraq həll edilə bilər: payın yerinə məxrəci qoymaq lazımdır. Eyni şəkildə, siz tam ədədin tərsini ala bilərsiniz, çünki istənilən tam ədədin məxrəci 1 ola bilər. Bu o deməkdir ki, 7-nin tərsi 1/7 olacaq, çünki 7 = 7/1; 10 rəqəmi üçün tərs 1/10 olacaq, çünki 10 = 10/1

Bu fikri fərqli ifadə etmək olar: verilmiş ədədin əksi birini verilmiş ədədə bölmək yolu ilə alınır. Bu ifadə təkcə tam ədədlər üçün deyil, həm də kəsrlər üçün də doğrudur. Əslində, 5/9 kəsirinin tərsini yazmaq lazımdırsa, onda 1-i götürüb 5/9-a bölmək olar, yəni.

İndi bir şeyi qeyd edək əmlak bizim üçün faydalı olacaq qarşılıqlı nömrələr: qarşılıqlı ədədlərin hasili birə bərabərdir.Əslində:

Bu xassədən istifadə edərək qarşılıqlı ədədləri aşağıdakı şəkildə tapa bilərik. Tutaq ki, 8-in tərsini tapmalıyıq.

Onu hərflə qeyd edək X , sonra 8 X = 1, deməli X = 1/8. 7/12-nin tərsi olan başqa bir ədəd tapaq və onu hərflə işarə edək X , sonra 7/12 X = 1, deməli X = 1: 7/12 və ya X = 12 / 7 .

Bölmə kəsrləri haqqında məlumatı bir az əlavə etmək üçün burada qarşılıqlı ədədlər anlayışını təqdim etdik.

6 ədədini 3/5-ə böldükdə aşağıdakıları edirik:

Zəhmət olmasa ödəyin xüsusi diqqət ifadəsinə və verilmiş ifadə ilə müqayisə edin: .

Əgər ifadəni əvvəlki ilə əlaqəsi olmadan ayrıca götürsək, onda onun haradan gəldiyi sualını həll etmək mümkün deyil: 6-nı 3/5-ə bölməkdən və ya 6-nı 5/3-ə vurmaqla. Hər iki halda eyni şey baş verir. Ona görə də deyə bilərik ki, bir ədədi digərinə bölmək dividendləri bölənin tərsinə vurmaqla əvəz edilə bilər.

Aşağıda verdiyimiz nümunələr bu qənaəti tam təsdiq edir.

) və məxrəcə görə məxrəc (məxrəcin məxrəcini alırıq).

Kəsrləri çoxaltmaq üçün düstur:

Məsələn:

Numeratorları və məxrəcləri vurmağa başlamazdan əvvəl, kəsri azaltmaq mümkün olub olmadığını yoxlamaq lazımdır. Əgər kəsri azalda bilsəniz, əlavə hesablamalar aparmağınız daha asan olacaq.

Adi kəsri kəsrə bölmək.

Natural ədədləri əhatə edən kəsrlərin bölünməsi.

Göründüyü qədər qorxulu deyil. Əlavədə olduğu kimi, tam ədədi məxrəcində bir olan kəsrə çeviririk. Məsələn:

Qarışıq fraksiyaların vurulması.

Kəsrlərin vurulması qaydaları (qarışıq):

qarışıq fraksiyaları düzgün olmayan kəsrlərə çevirmək;
kəsrlərin say və məxrəclərinin vurulması;
fraksiyanı azaltmaq;
Əgər düzgün olmayan kəsr əldə edirsinizsə, onda düzgün olmayan kəsri qarışıq kəsrə çeviririk.

Diqqət edin!Çoxaltmaq qarışıq fraksiya başqa qarışıq kəsrə, əvvəlcə onları düzgün olmayan kəsrlər formasına çevirməli və sonra adi fraksiyaları vurma qaydasına uyğun olaraq onları çoxaltmalısınız.

Kəsiri natural ədədə vurmağın ikinci yolu.

Adi kəsri ədədə vurmaq üçün ikinci üsuldan istifadə etmək daha rahat ola bilər.

Diqqət edin! Kəsiri vurmaq üçün natural ədəd Kəsrin məxrəcini bu ədədə bölmək və payı dəyişməz qoymaq lazımdır.

Yuxarıda verilmiş misaldan aydın olur ki, kəsrin məxrəci qalıqsız natural ədədə bölündükdə bu variantdan istifadə etmək daha əlverişlidir.

Çoxmərtəbəli fraksiyalar.

Orta məktəbdə üç mərtəbəli (və ya daha çox) kəsrlərə tez-tez rast gəlinir. Misal:

Belə bir kəsri adi formaya gətirmək üçün 2 nöqtəyə bölmədən istifadə edin:

Diqqət edin! Kəsrləri bölərkən bölmə sırası çox vacibdir. Ehtiyatlı olun, burada çaşmaq asandır.

Qeyd edin Məsələn:

Biri hər hansı bir kəsrə böldükdə nəticə eyni kəsr olacaq, yalnız ters çevrilir:

Kəsrləri çoxaltmaq və bölmək üçün praktiki məsləhətlər:

1. Kəsr ifadələrlə işləyərkən ən vacib şey dəqiqlik və diqqətlilikdir. Bütün hesablamaları diqqətlə və dəqiq, konsentrə və aydın şəkildə aparın. Qaralamada bir neçə əlavə sətir yazmaq zehni hesablamalarda itməkdən daha yaxşıdır.

2. Müxtəlif növ kəsrlər olan tapşırıqlarda adi kəsrlərin növünə keçin.

3. Artıq azaltmaq mümkün olmayana qədər bütün fraksiyaları azaldırıq.

4. Çoxsəviyyəli kəsr ifadələrini 2 nöqtəyə bölmədən istifadə edərək adi ifadələrə çeviririk.

5. Başınızdakı vahidi kəsrə bölün, sadəcə olaraq kəsri çevirin.

Bölmə də daxil olmaqla, kəsrlərlə hər şeyi edə bilərsiniz. Bu məqalə adi fraksiyaların bölünməsini göstərir. Təriflər veriləcək və nümunələr müzakirə olunacaq. Gəlin kəsrlərin natural ədədlərə və əksinə bölünməsi üzərində ətraflı dayanaq. Adi kəsri qarışıq ədədə bölmək müzakirə olunacaq.

Bölmə fraksiyaları

Bölmə vurmanın tərsidir. Bölmə zamanı naməlum amil başqa bir amilin məlum hasili ilə tapılır, burada onun verilmiş mənası adi kəsrlərlə qorunur.

A b-ni c d-yə bölmək lazımdırsa, belə bir ədədi müəyyən etmək üçün c d böləninə vurmaq lazımdır, bu, nəticədə dividend a b verəcəkdir. Nömrəni əldə edib onu a b · d c yazaq, burada d c c d ədədinin tərsidir. Bərabərliklər vurmanın xassələrindən istifadə etməklə yazıla bilər, yəni: a b · d c · c d = a b · d c · c d = a b · 1 = a b, burada a b · d c ifadəsi a b-nin c d-yə bölünməsi əmsalıdır.

Buradan adi kəsrlərin bölünməsi qaydasını əldə edirik və formullaşdırırıq:

Tərif 1

A b-ni c d-yə bölmək üçün dividendləri bölənin əks hissəsinə vurmaq lazımdır.

Qaydanı ifadə şəklində yazaq: a b: c d = a b · d c

Bölmə qaydaları çoxalmağa gəlir. Bununla bağlı qalmaq üçün fraksiyaları çoxaltmağı yaxşı başa düşməlisiniz.

Adi kəsrlərin bölünməsinin nəzərdən keçirilməsinə keçək.

Misal 1

9 7-ni 5 3-ə bölün. Nəticəni kəsr kimi yazın.

Həll

5 3 rəqəmi 3 5-in əks hissəsidir. Adi kəsrlərin bölünməsi qaydasından istifadə etmək lazımdır. Bu ifadəni aşağıdakı kimi yazırıq: 9 7: 5 3 = 9 7 · 3 5 = 9 · 3 7 · 5 = 27 35.

Cavab: 9 7: 5 3 = 27 35 .

Kəsrləri azaldarkən, əgər pay məxrəcdən böyükdürsə, bütün hissəni ayırın.

Misal 2

8 15-ə bölün: 24 65. Cavabı kəsr kimi yazın.

Həll

Həll etmək üçün bölmədən vurmağa keçmək lazımdır. Onu bu formada yazaq: 8 15: 24 65 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9

İxtisar etmək lazımdır və bu belə edilir: 8 65 15 24 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9

Bütün hissəni seçin və 13 9 = 1 4 9 alın.

Cavab: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .

Qeyri-adi kəsri natural ədədə bölmək

Kəsiri natural ədədə bölmək qaydasından istifadə edirik: a b-ni n natural ədədinə bölmək üçün məxrəci n-ə vurmaq kifayətdir. Buradan ifadəni alırıq: a b: n = a b · n.

Bölmə qaydası vurma qaydasının nəticəsidir. Buna görə də natural ədədi kəsr kimi göstərmək bu tip bərabərliyi verəcəkdir: a b: n = a b: n 1 = a b · 1 n = a b · n.

Kəsirin ədədə bu bölünməsini nəzərdən keçirək.

Misal 3

16 45 kəsrini 12 rəqəminə bölün.

Həll

Kəsirin ədədə bölünməsi qaydasını tətbiq edək. 16 45: 12 = 16 45 · 12 formasının ifadəsini alırıq.

Kəsiri azaldaq. 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 3 5 = 4 135 alırıq.

Cavab: 16 45: 12 = 4 135 .

Natural ədədin kəsrə bölünməsi

Bölmə qaydası oxşardır O natural ədədi adi kəsrə bölmə qaydası: natural ədədi n adi a b kəsrə bölmək üçün n ədədini a b kəsrinin əksinə vurmaq lazımdır.

Qaydaya əsasən, bizdə n var: a b = n · b a və natural ədədi adi kəsrə vurma qaydası sayəsində ifadəmizi n şəklində alırıq: a b = n · b a. Bu bölgüyə misal ilə baxmaq lazımdır.

Misal 4

25-i 15-ə 28-ə bölün.

Həll

Bölmədən vurmağa keçmək lazımdır. Onu 25: 15 28 = 25 28 15 = 25 28 15 ifadəsi şəklində yazaq. Kəsri azaldaq və nəticəni 46 2 3 kəsr şəklində alaq.

Cavab: 25: 15 28 = 46 2 3 .

Kəsirin qarışıq ədədə bölünməsi

Adi kəsri qarışıq ədədə bölərkən, sadə kəsrləri asanlıqla bölməyə başlaya bilərsiniz. Qarışıq ədədi düzgün olmayan kəsrə çevirmək lazımdır.

Misal 5

35 16 kəsrini 3 1 8-ə bölün.

Həll

3 1 8 qarışıq ədəd olduğundan onu düzgün olmayan kəsr kimi təqdim edək. Onda 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8 alırıq. İndi kəsrləri bölək. 35 16 alırıq: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10

Cavab: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .

Qarışıq ədədin bölünməsi adi ədədlərlə eyni şəkildə aparılır.

Mətndə xəta görsəniz, onu vurğulayın və Ctrl+Enter düymələrini basın

Kəsr bütövün bir və ya bir neçə hissəsidir və adətən bir (1) kimi qəbul edilir. Natural ədədlərdə olduğu kimi, siz kəsrlərlə bütün əsas hesab əməliyyatlarını (toplama, çıxma, bölmə, vurma) yerinə yetirə bilərsiniz, bunun üçün kəsrlərlə işləməyin xüsusiyyətlərini bilmək və onların növlərini ayırd etmək lazımdır; Kəsrin bir neçə növü var: onluq və adi və ya sadə. Hər bir kəsr növünün özünəməxsus xüsusiyyətləri var, lakin onları necə idarə edəcəyinizi hərtərəfli başa düşdükdən sonra, kəsrlərlə arifmetik hesablamaların aparılmasının əsas prinsiplərini bildiyiniz üçün kəsrlərlə istənilən nümunələri həll edə biləcəksiniz. İstifadə edərək kəsri tam ədədə bölmək nümunələrinə baxaq müxtəlif növlər fraksiyalar

Sadə kəsri natural ədədə necə bölmək olar?
Adi və ya sadə kəsrlər ədədlərin nisbəti şəklində yazılan kəsrlərdir ki, orada dividend (sayı) kəsrin yuxarı hissəsində, kəsrin bölən (məxrəc) isə aşağıda göstərilmişdir. Belə bir kəsri tam ədədə necə bölmək olar? Bir nümunəyə baxaq! Tutaq ki, 8/12-ni 2-yə bölmək lazımdır.

Bunu etmək üçün bir sıra hərəkətləri yerinə yetirməliyik:

Beləliklə, bir kəsri tam ədədə bölmək vəzifəsi ilə qarşılaşsaq, həll diaqramı belə görünəcəkdir:

Bənzər şəkildə, istənilən adi (sadə) kəsri tam ədədə bölmək olar.

Onluğu tam ədədə necə bölmək olar?
Onluq kəsr vahidi on, min və s. hissələrə bölmək yolu ilə əldə edilən kəsirdir. Onluqlarla arifmetik əməliyyatlar olduqca sadədir.

Bir kəsri tam ədədə bölmək nümunəsinə baxaq. Tutaq ki, 0,925 onluq kəsri 5 natural ədədinə bölmək lazımdır.