Modul işarəsi bəlkə də ən çox biridir maraqlı hadisələr riyaziyyatda. Bununla əlaqədar, bir çox məktəblinin modulu olan funksiyaların qrafiklərini necə qurmaqla bağlı sualı var. Bu məsələyə ətraflı nəzər salaq.

1. Tərkibində modul olan funksiyaların qrafiklərinin çəkilməsi

Misal 1.

y = x 2 – 8|x| funksiyasının qrafikini çəkin + 12.

Həll.

Funksiyanın paritetini təyin edək. y(-x) üçün qiymət y(x) dəyəri ilə eynidir, ona görə də bu funksiya cütdür. Onda onun qrafiki Oy oxuna nisbətən simmetrikdir. x ≥ 0 üçün y = x 2 – 8x + 12 funksiyasının qrafikini çəkirik və mənfi x üçün Oy-a münasibətdə qrafiki simmetrik olaraq göstəririk (şək. 1).

Misal 2.

Aşağıdakı qrafik y = |x 2 – 8x + 12| kimi görünür.

– Təklif olunan funksiyanın dəyər diapazonu nədir? (y ≥ 0).

- Cədvəl necə yerləşdirilib? (X oxunun üstündə və ya toxunaraq).

Bu o deməkdir ki, funksiyanın qrafiki aşağıdakı kimi alınır: y = x 2 – 8x + 12 funksiyasının qrafikini çəkin, qrafikin Ox oxundan yuxarıda yerləşən hissəsini dəyişməz, qrafikin isə yerləşən hissəsini qoyun. absis oxunun altında Ox oxuna nisbətən simmetrik olaraq göstərilir (şək. 2).

Misal 3.

y = |x 2 – 8|x| funksiyasının qrafikini çəkmək üçün + 12| çevrilmələrin birləşməsini həyata keçirin:

y = x 2 – 8x + 12 → y = x 2 – 8|x| + 12 → y = |x 2 – 8|x| + 12|.

Cavab: Şəkil 3.

Nəzərə alınan çevrilmələr bütün növ funksiyalar üçün etibarlıdır. Gəlin bir cədvəl hazırlayaq:

2. Düsturda “iç-içə modullar” olan funksiyaların qrafiklərinin çəkilməsi

Biz artıq modulu ehtiva edən kvadrat funksiyanın nümunələrini görmüşük ümumi qaydalar y = f(|x|), y = |f(x)| formalı funksiyaların qrafiklərinin qurulması və y = |f(|x|)|. Aşağıdakı nümunəni nəzərdən keçirərkən bu çevrilmələr bizə kömək edəcəkdir.

Misal 4.

y = |2 – |1 – |x||| formasının funksiyasını nəzərdən keçirək. Funksiya ifadəsi "iç-içə modulları" ehtiva edir.

Həll.

Həndəsi çevrilmələr üsulundan istifadə edək.

Ardıcıl çevrilmələr zəncirini yazaq və müvafiq rəsm çəkək (şək. 4):

y = x → y = |x| → y = -|x| → y = -|x| + 1 → y = |-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1| + 2 → y = |2 –|1 – |x|||.

Qrafiklərin qurulması zamanı simmetriya və paralel tərcümə çevrilmələrinin əsas texnika olmadığı halları nəzərdən keçirək.

Misal 5.

y = (x 2 – 4)/√(x + 2) 2 formalı funksiyanın qrafikini qurun.

Həll.

Qrafik qurmazdan əvvəl funksiyanı təyin edən düsturu çevirib funksiyanın başqa analitik təyinatını alırıq (şək. 5).

y = (x 2 – 4)/√(x + 2) 2 = (x– 2)(x + 2)/|x + 2|.

Məxrəcdə modulu genişləndirək:

x > -2 üçün y = x – 2 və x üçün< -2, y = -(x – 2).

Domain D(y) = (-∞; -2)ᴗ(-2; +∞).

Dəyərlər diapazonu E(y) = (-4; +∞).

Qrafikin koordinat oxunu kəsdiyi nöqtələr: (0; -2) və (2; 0).

Funksiya (-∞; -2) intervalından bütün x üçün azalır, x üçün -2-dən +∞-ə qədər artır.

Burada biz modul işarəsini aşkar etməli və hər bir hal üçün funksiyanın qrafikini çəkməli olduq.

Misal 6.

y = |x + 1| funksiyasını nəzərdən keçirək – |x – 2|.

Həll.

Modulun işarəsini genişləndirərək, submodul ifadələrin əlamətlərinin hər bir mümkün birləşməsini nəzərə almaq lazımdır.

Dörd mümkün hal var:

(x + 1 – x + 2 = 3, x ≥ -1 və x ≥ 2 üçün;

(-x – 1 + x – 2 = -3, x-də< -1 и x < 2;

(x + 1 + x – 2 = 2x - 1, x ≥ -1 və x üçün< 2;

(-x – 1 – x + 2 = -2x + 1, x-də< -1 и x ≥ 2 – пустое множество.

Sonra orijinal funksiya belə görünəcək:

(3, x ≥ 2 üçün;

y = (-3, x-də< -1;

(2x – 1, -1 ≤ x ilə< 2.

Biz hissə-hissə verilmiş funksiyanı əldə etdik, onun qrafiki Şəkil 6-da göstərilmişdir.

3. Formanın funksiyalarının qrafiklərinin qurulması alqoritmi

y = a 1 |x – x 1 | + a 2 |x – x 2 | + … + a n |x – x n | + balta + b.

Əvvəlki nümunədə modul işarələrini aşkar etmək olduqca asan idi. Modulların daha çox məbləği varsa, submodul ifadələrin əlamətlərinin bütün mümkün birləşmələrini nəzərdən keçirmək problemlidir. Bu halda funksiyanın qrafikini necə qurmaq olar?

Qeyd edək ki, qrafik qırıq xəttdir, nöqtələrdə təpələri -1 və 2 absislərə malikdir. X = -1 və x = 2-də submodul ifadələr sıfıra bərabərdir. Praktikada belə qrafiklərin qurulması qaydasına yaxınlaşdıq:

y = a 1 |x – x 1 | formalı funksiyanın qrafiki + a 2 |x – x 2 | + … + a n |x – x n | + ax + b sonsuz ifrat əlaqələri olan qırıq xəttdir. Belə bir qırıq xətti qurmaq üçün onun bütün təpələrini (təpələrin absisləri submodul ifadələrin sıfırlarıdır) və sol və sağ sonsuz keçidlərdə bir nəzarət nöqtəsini bilmək kifayətdir.

Tapşırıq.

y = |x| funksiyasının qrafikini çəkin + |x – 1| + |x + 1| və onun ən kiçik qiymətini tapın.

Həlli:

Submodul ifadələrin sıfırları: 0; -1; 1. Qırıq xəttin təpələri (0; 2); (-1; 3); (1; 3). Nəzarət nöqtəsi sağda (2; 6), solda (-2; 6). Qrafik qururuq (şək. 7). min f(x) = 2.

Hələ suallarınız var? Modulu olan funksiyanın qrafikini necə çəkəcəyinizi bilmirsiniz?
Repetitordan kömək almaq üçün qeydiyyatdan keçin.

vebsayt, materialı tam və ya qismən köçürərkən mənbəyə keçid tələb olunur.

Dərs 5. Qrafiklərin modullarla çevrilməsi (isteğe bağlı dərs)

Hədəf: qrafikləri modullarla çevirmək üçün əsas bacarıqlara yiyələnmək.

I. Dərsin mövzusunun və məqsədinin bildirilməsi

II . Təqdim olunan materialın təkrarlanması və möhkəmləndirilməsi

1. Ev tapşırığı üzrə suallara cavablar (həll edilməmiş məsələlərin təhlili).

2. Materialın mənimsənilməsinə nəzarət (yazılı sorğu).

Seçim 1

f (x), y = funksiyasının qrafikini çəkin f(-x) + 2?

2. Funksiyanın qrafiki:

Seçim 2

1. Necə, y = funksiyasının qrafikini bilmək f (x), y = - funksiyasının qrafikini çəkin f(x) - 1?

2. Funksiyanın qrafiki:

III. Yeni materialın öyrənilməsi

Əvvəlki dərsdəki materialdan aydın olur ki, qrafiklərin çevrilməsi üsulları onları qurarkən son dərəcə faydalıdır. Buna görə də modulları ehtiva edən qrafikləri çevirməyin əsas üsullarını nəzərdən keçirəcəyik. Bu üsullar universaldır və istənilən funksiya üçün uyğundur. Quraşdırmanın sadəliyi üçün hissə-hissə xətti funksiyanı nəzərdən keçirəcəyik f (x) domen ilə D(f ), qrafiki şəkildə təqdim olunur. Modullarla qrafiklərin üç standart çevrilməsini nəzərdən keçirək.

1) y = | funksiyasının qrafikinin çəkilməsi f(x)|

f /(x), əgər Dx)>0,

Modulun tərifinə görə alırıq:Bu o deməkdir ki, y = | funksiyasının qrafikini çəkmək üçün f(x )| y = funksiyasının qrafikinin bir hissəsini saxlamalıyıq f(x ), bunun üçün y ≥ 0. y = funksiyasının qrafikinin həmin hissəsi f (x), bunun üçün y< 0, надо симметрично отразить вверх относительно оси абсцисс.

2) y = funksiyasının qrafikinin çəkilməsi f(|x|)

G/O), əgər Dx)>0,

Modulu genişləndirək və əldə edək:Buna görə də y = funksiyasının qrafikini çəkmək üçün f(|x |) y = funksiyasının qrafikinin bir hissəsini saxlamalıyıq f (x), bunun üçün x ≥ 0. Bundan əlavə, bu hissə ordinata nisbətən sola simmetrik şəkildə əks olunmalıdır.

3) |y| tənliyinin qrafikinin çəkilməsi = f(x)

Modulun tərifinə görə, bizdə nə vaxt var f (x) ≥ 0 iki funksiyanın qrafiklərini qurmaq lazımdır: y = f (x) və y = - f (X). Bu o deməkdir ki, |y| tənliyinin qrafikini çəkmək = f (x) y = funksiyasının qrafikinin bir hissəsini saxlamaq lazımdır f (x), bunun üçün y ≥ 0. Bundan əlavə, bu hissə x oxuna nisbətən simmetrik olaraq aşağıya doğru əks olunmalıdır.

Qeyd edək ki, |y| asılılığı = f (x) funksiyanı təyin etmir, yəni x-də∈ (-2.6; 1.4) hər bir x dəyəri iki y qiymətinə uyğundur. Buna görə də şəkildə |y| tənliyinin qrafiki tam olaraq göstərilir = f(x).

Daha mürəkkəb funksiyaların və tənliklərin qrafiklərini qurmaq üçün qrafikləri modullarla çevirmək üçün nəzərdən keçirilən üsullardan istifadə edirik.

Misal 1

Gəlin funksiyanın qrafikini çəkək

Bu funksiyanın bütün hissəsini vurğulayaqBelə bir qrafik y = -1/ funksiyasının qrafikini yerdəyişdirməklə alınır. x 2 ədəd sağa, 1 ədəd aşağıya. Bu funksiyanın qrafiki hiperboladır.

Misal 2

Gəlin funksiyanın qrafikini çəkək

Metod 1-ə uyğun olaraq, 1-ci misaldan qrafikin y ≥ 0 olan hissəsini saxlayırıq. Qrafikin y olan hissəsi< 0, симметрично отразим вверх относительно оси абсцисс.

Misal 3

Gəlin funksiyanın qrafikini çəkək

Metod 2-dən istifadə edərək, biz 1-ci misaldakı qrafikin x ≥ 0 olan hissəsini saxlayacağıq. Bundan əlavə, biz bu saxlanmış hissəni y oxuna nisbətən sola əks etdirəcəyik. Ordinat oxuna görə simmetrik olan funksiyanın qrafikini alırıq.

Misal 4

Gəlin tənliyi quraq

Metod 3-ə uyğun olaraq, 1-ci misaldakı qrafikin y ≥ 0 olan hissəsini saxlayacağıq. Bundan əlavə, bu saxlanmış hissəni x oxuna nisbətən simmetrik şəkildə aşağı əks etdirəcəyik. Bu tənliyin qrafikini alırıq.

Əlbəttə ki, qrafikləri çevirmək üçün nəzərdən keçirilən üsullar da birlikdə istifadə edilə bilər.

Misal 5

Gəlin funksiyanın qrafikini çəkək

Biz funksiyanın qrafikindən istifadə edirik3-cü misalda tikilmişdir. Qurmaq bu cədvəl, 3-cü qrafikin y ≥ 0 olan hissələrini yadda saxlayaq. Qrafik 3-ün y olan hissələrini< 0, симметрично отразим вверх относительно оси абсцисс.

Modulların fərqli şəkildə asılı olduğu hallarda (1-3-cü üsullardan fərqli olaraq) bu modulları genişləndirmək lazımdır.

Misal 6

Gəlin funksiyanın qrafikini çəkək

İfadələr x - 1 və x + 2, modul işarələri altına daxil edilir, x = 1 və nöqtələrində işarələrini dəyişdirin x müvafiq olaraq = -2. Bu nöqtələri koordinat xəttində qeyd edək. Onu üç intervala bölürlər. Modul təriflərindən istifadə edərək, hər bir intervalda modulları genişləndiririk.

Biz əldə edirik:

1. Nə vaxt

2. Nə vaxt

3. Nə vaxt

Modulun əlamətlərinin aşkar edildiyi x dəyişəni üçün intervalları nəzərə alaraq bu funksiyaların qrafiklərini quraq. Biz qırıq düz xətt alırıq.

Çox vaxt modullarla tənliklərin qrafiklərini qurarkən onları aşkar etmək üçün koordinat müstəvisindən istifadə olunur. Bunu aşağıdakı misalla izah edək.

Misal 7

Gəlin tənliyi quraq

y - x ifadəsi y = x düz xəttində işarəsini dəyişir. Bu düz xətti - birinci və üçüncü koordinat bucaqlarının bissektrisasını quraq. Bu düz xətt təyyarənin nöqtələrini iki sahəyə ayırır: 1 - y – x düz xəttinin üstündə yerləşən nöqtələr; 2 - bu xəttin altında yerləşən nöqtələr. Belə sahələrdə modulu genişləndirək. 1-ci sahədə, məsələn, idarəetmə nöqtəsini götürün (0; 5). Görürük ki, bu nöqtə üçün y - x > 0 ifadəsi var. Modulu genişləndirərək alırıq: y - x + y + x = 4 və ya y = 2. Birinci rayon daxilində belə düz xətt qururuq. Aydındır ki, 2-ci bölgədə y - x ifadəsi< 0. Раскрывая модуль, имеем: -(у - х) + у + х = 4 или х = 2. Строим эту прямую в пределах области 2. Получаем график данного уравнения.

3. Kəsr qrafiki qurun xətti funksiya və tənliklər:

4. Funksiya, tənlik, bərabərsizliyin qrafikini çəkin:

VIII. Dərsi yekunlaşdırmaq

Transkript

1 “Riyaziyyatın tətbiqi və fundamental məsələləri” mövzusunda 6-11-ci sinif şagirdlərinin tədris və tədqiqat işlərinin regional elmi-praktik konfransı Metodoloji aspektlər riyaziyyatı öyrənmək modulu olan funksiyaların qrafiklərinin qurulması Gabova Angela Yurievna, 10-cu sinif, MOBU "Gimnaziya 3" Kudymkar, Pikuleva Nadejda İvanovna, MOBU "Gymnasium 3" riyaziyyat müəllimi Kudymkar Perm, 2016

2 Mündəricat: Giriş...3 səh I. Əsas hissə...6 s Tarixi fon.. 6 səhifə 2. Funksiyaların əsas tərifləri və xassələri səhifə 2.1 Kvadrat funksiya.. 7 səhifə 2.2 Xətti funksiya... 8 səhifə 2.3 Kəsr-rasional funksiya 8 səhifə 3. Modulla qrafiklərin qurulması alqoritmləri 9 səhifə 3.1 Modulun tərifi .. 9 səhifə 3.2 Modullu xətti funksiyanın qrafikinin qurulması alqoritmi...9 səhifə 3.3 Düsturda “iç-içə modullar” olan funksiyaların qrafiklərinin qurulması.10 səh 3.4 y = formalı funksiyaların qrafiklərinin qurulması alqoritmi. a 1 x x 1 + a 2 x a n x x n + ax + b...13 s. 3.5 Modulu olan kvadrat funksiyanın qrafikinin qurulması alqoritmi. 15 səh. 4. Mütləq qiymətin işarəsinin yerindən asılı olaraq kvadrat funksiyanın qrafikində baş verən dəyişikliklər..17s. II. Nəticə...26 s. III. İstinadların və mənbələrin siyahısı...27 səh IV. Əlavə....28s. 2

3 Giriş Qrafikləşdirmə funksiyaları bunlardan biridir ən maraqlı mövzular məktəb riyaziyyatında. Dövrümüzün ən böyük riyaziyyatçısı İsrael Moiseeviç Gelfand yazırdı: “Qrafiklərin qurulması prosesi düsturları və təsvirləri həndəsi təsvirlərə çevirmək üsuludur. Bu qrafik formulları və funksiyaları görmək və bu funksiyaların necə dəyişdiyini görmək vasitəsidir. Məsələn, y =x 2 yazılıbsa, onda siz dərhal parabola görürsünüz; y = x 2-4 olarsa, dörd vahid aşağı salınmış parabolanı görürsünüz; əgər y = -(x 2 4), onda siz əvvəlki parabolanın aşağı çevrildiyini görürsünüz. Formulu və onun həndəsi şərhini dərhal görmək bacarığı təkcə riyaziyyatı öyrənmək üçün deyil, həm də digər fənlər üçün vacibdir. Bu, velosiped sürmək, mətn yazmaq və ya avtomobil sürmək kimi ömür boyu sizinlə qalacaq bir bacarıqdır." Tənliklərin modullarla həllinin əsasları 6-7-ci siniflərdə əldə edilmişdir. Bu xüsusi mövzunu seçdim, çünki bunun daha dərin və hərtərəfli araşdırma tələb etdiyinə inanıram. Mən ədədlərin modulu haqqında daha çox məlumat əldə etmək istəyirəm, müxtəlif yollarla mütləq dəyərin işarəsini ehtiva edən qrafiklərin qurulması. Modul işarəsi xətlərin, parabolaların və hiperbolaların “standart” tənliklərinə daxil edildikdə, onların qrafikləri qeyri-adi və hətta gözəl olur. Bu cür qrafiklərin necə qurulacağını öyrənmək üçün əsas fiqurların qurulması üsullarını mənimsəməli, həmçinin ədədin modulunun tərifini dəqiq bilməli və başa düşməlisiniz. Məktəbin riyaziyyat kursunda modullu qrafiklər kifayət qədər dərindən müzakirə olunmur, ona görə də bu mövzuda biliklərimi genişləndirmək və öz araşdırmalarımı aparmaq istədim. Modulun tərifini bilmədən, mütləq dəyəri olan ən sadə qrafiki belə qurmaq mümkün deyil. Xarakterik xüsusiyyət modul işarəli ifadələri ehtiva edən funksiyaların qrafikləri, 3

4 modul işarəsi altındakı ifadənin işarəsini dəyişdiyi nöqtələrdə əyilmələrin olmasıdır. İşin məqsədi: modul işarəsi altında dəyişəni ehtiva edən xətti, kvadrat və kəsr rasional funksiyaların qrafikinin qurulmasını nəzərdən keçirmək. Məqsədlər: 1) Xətti, kvadrat və kəsr rasional funksiyaların mütləq qiymətinin xassələrinə dair ədəbiyyatı öyrənmək. 2) Mütləq qiymətin işarəsinin yerindən asılı olaraq funksiya qrafiklərindəki dəyişiklikləri araşdırın. 3) Tənliklərin qrafikini öyrənin. Tədqiqatın obyekti: xətti, kvadrat və kəsr rasional funksiyaların qrafikləri. Tədqiqatın predmeti: mütləq qiymətin işarəsinin yerindən asılı olaraq xətti, kvadrat və kəsr rasional funksiyaların qrafikində dəyişikliklər. İşimin praktiki əhəmiyyəti ondan ibarətdir: 1) bu mövzu üzrə əldə edilmiş biliklərdən istifadə etmək, həmçinin onu dərinləşdirmək və digər funksiya və tənliklərə tətbiq etmək; 2) bacarıqların istifadəsində tədqiqat işi sonrakı təhsil fəaliyyətlərində. Uyğunluq: Qrafik tapşırıqları ənənəvi olaraq riyaziyyatın ən çətin mövzularından biridir. Məzunlarımız Dövlət İmtahanı və Vahid Dövlət İmtahanını uğurla vermək problemi ilə üzləşirlər. Tədqiqat problemi: GİA-nın ikinci hissəsindən modul işarəsi olan funksiyaların qrafiklərinin qurulması. Tədqiqat fərziyyəsi: tətbiqi əsasında hazırlanmışdır ümumi üsullar modulun işarəsini ehtiva edən funksiyaların qrafiklərinin qurulması, GİA-nın ikinci hissəsində tapşırıqların həlli üsulları tələbələrə bu vəzifələri həll etməyə imkan verəcək 4

5 şüurlu əsasda, ən rasional həll üsulunu seçin, tətbiq edin müxtəlif üsullar qərar verib Dövlət İmtahanından daha uğurla keçsinlər. İşdə istifadə olunan tədqiqat üsulları: 1. Bu mövzu ilə bağlı riyazi ədəbiyyatın və internet resurslarının təhlili. 2. Öyrənilən materialın reproduktiv reproduksiyası. 3. İdrak və axtarış fəaliyyəti. 4.Problemlərin həlli yollarının axtarışında verilənlərin təhlili və müqayisəsi. 5. Fərziyyələrin ifadəsi və onların yoxlanılması. 6. Riyazi faktların müqayisəsi və ümumiləşdirilməsi. 7. Alınan nəticələrin təhlili. Bu işi yazarkən aşağıdakı mənbələrdən istifadə edilmişdir: İnternet resursları, OGE testləri, riyazi ədəbiyyat. 5

6 I. Əsas hissə 1.1 Tarixi məlumat. 17-ci əsrin birinci yarısında bir dəyişənin digərindən asılılığı kimi funksiya ideyası yaranmağa başladı. Beləliklə, fransız riyaziyyatçıları Pyer Ferma () və Rene Dekart () funksiyanı əyri üzərindəki nöqtənin ordinatının onun absissindən asılılığı kimi təsəvvür edirdilər. İngilis alimi İsaak Nyuton () funksiyanı zamandan asılı olaraq dəyişən hərəkət edən nöqtənin koordinatı kimi başa düşdü. “Funksiya” termini (latınca funksiyanın icrası, yerinə yetirilməsi) ilk dəfə alman riyaziyyatçısı Qotfrid Leybniz (Gotfried Leibniz) tərəfindən təqdim edilmişdir. O, funksiyanı həndəsi təsvirlə (funksiyanın qrafiki) əlaqələndirdi. Sonradan isveçrəli riyaziyyatçı Johann Bernoulli (və üzvü Sankt-Peterburq Akademiyası elmlər üzrə 18-ci əsrin məşhur riyaziyyatçısı Leonard Eyler () funksiyanı analitik ifadə kimi qəbul etmişdir. Euler var və ümumi anlayış bir dəyişənin digərindən asılılığı kimi fəaliyyət göstərir. “Modul” sözü latınca “ölçü” mənasını verən “modulus” sözündəndir. Bu, çox mənalı sözdür (homonim) çox məna daşıyır və təkcə riyaziyyatda deyil, həm də memarlıq, fizika, texnologiya, proqramlaşdırma və digər dəqiq elmlərdə istifadə olunur. Memarlıqda bu, müəyyən bir ölçü üçün qurulmuş orijinal ölçü vahididir memarlıq quruluşu və onun tərkib elementlərinin çoxsaylı nisbətlərini ifadə etməyə xidmət edir. Texnologiyada bu, istifadə olunan bir termindir müxtəlif sahələr universal mənası olmayan və müxtəlif əmsalları və kəmiyyətləri təyin etməyə xidmət edən texnologiya, məsələn, nişan modulu, elastik modul və s. 6

7 Kütləvi modul (fizikada) materialdakı normal gərginliyin nisbi uzanmaya nisbətidir. 2. Funksiyaların əsas tərifləri və xassələri Funksiya ən mühüm riyazi anlayışlardan biridir. Funksiya y dəyişəninin x dəyişənindən elə asılılığıdır ki, x dəyişəninin hər bir qiyməti y dəyişəninin vahid qiymətinə uyğun olsun. Funksiyanı təyin etmək üsulları: 1) analitik metod (funksiya riyazi düsturdan istifadə etməklə müəyyən edilir); 2) cədvəl metodu (funksiya cədvəldən istifadə etməklə müəyyən edilir); 3) təsviri üsul (funksiya şifahi təsvirlə müəyyən edilir); 4) qrafik metod (funksiya qrafikdən istifadə etməklə müəyyən edilir). Funksiya qrafiki, absisləri arqumentin qiymətinə, ordinatları isə funksiyanın müvafiq qiymətlərinə bərabər olan koordinat müstəvisinin bütün nöqtələrinin çoxluğudur. 2.1 Kvadrat funksiya y = ax 2 + in + c düsturu ilə müəyyən edilən funksiya, burada x və y dəyişənlər, a, b və c parametrləri isə istənilən həqiqi ədədlərdir və a = 0, kvadrat adlanır. y=ax 2 +in+c funksiyasının qrafiki paraboladır; y=ax 2 +in+c parabolunun simmetriya oxu düz xəttdir, a>0 üçün parabolanın “budaqları” yuxarı, a üçün<0 вниз. Чтобы построить график квадратичной функции, нужно: 1) найти координаты вершины параболы и отметить её в координатной плоскости; 2) построить ещё несколько точек, принадлежащих параболе; 3) соединить отмеченные точки плавной линией.,. 2.2Линейная функция функция вида 7

8 (bir dəyişənli funksiyalar üçün). Xətti funksiyaların əsas xüsusiyyəti: funksiyanın artımı arqumentin artımına mütənasibdir. Yəni funksiya düz mütənasibliyin ümumiləşdirilməsidir. Xətti funksiyanın qrafiki onun adının gəldiyi yer olan düz xəttdir. Bu, bir real dəyişənin real funksiyasına aiddir. 1) Düz xətt absis oxunun müsbət istiqaməti ilə iti bucaq əmələ gətirdikdə. 2) Düz xətt x oxunun müsbət istiqaməti ilə küt bucaq əmələ gətirdikdə. 3) xəttin ordinat oxu ilə kəsişmə nöqtəsinin ordinat göstəricisidir. 4) Nə zaman düz xətt başlanğıcdan keçir. , 2.3 Kəsir-rasional funksiya say və məxrəci çoxhədli olan kəsrə deyilir. İstənilən sayda dəyişəndə ​​polinomların olduğu formaya malikdir. Xüsusi hal bir dəyişənin rasional funksiyalarıdır:, burada və polinomlardır. 1) Dörd arifmetik əməliyyatdan istifadə etməklə dəyişənlərdən əldə edilə bilən hər hansı ifadə rasional funksiyadır. 8

9 2) Arifmetik əməllər və kompozisiya əməliyyatı altında rasional funksiyalar çoxluğu bağlanır. 3) İstənilən rasional funksiya sadə fraksiyaların cəmi kimi göstərilə bilər - bu, analitik inteqrasiyada istifadə olunur.. , 3. Modulu olan qrafiklərin qurulması alqoritmləri 3.1 Modulun tərifi Həqiqi a ədədinin modulu a ədədinin özüdür, əgər qeyri-mənfidir və a əksi olan ədəd mənfidirsə. a = 3.2 Modulu olan xətti funksiyanın qrafikinin qurulması alqoritmi y = x funksiyalarının qrafiklərini qurmaq üçün bilmək lazımdır ki, müsbət x üçün bizdə x = x var. Bu o deməkdir ki, arqumentin müsbət qiymətləri üçün y= x qrafiki y=x qrafiki ilə üst-üstə düşür, yəni qrafikin bu hissəsi absis oxuna 45 dərəcə bucaq altında başlanğıcdan çıxan şüadır. . x-də< 0 имеем x = -x; значит, для отрицательных x график y= x совпадает с биссектрисой второго координатного угла. Впрочем, вторую половину графика (для отрицательных X) легко получить из первой, если заметить, что функция y= x чётная, так как -a = a. Значит, график функции y= x симметричен относительно оси Oy, и вторую половину графика можно приобрести, отразив относительно оси ординат часть, начерченную для положительных x. Получается график:y= x 9

10 Qurmaq üçün (-2; 2) (-1; 1) (0; 0) (1; 1) (2; 2) nöqtələrini götürürük. İndi y= x-1 qrafiki quraqsa, A y= x koordinatları olan (a; a) qrafikindəki nöqtədirsə, onda Y ordinatının eyni qiyməti olan y= x-1 qrafasının nöqtəsi olacaqdır. A1(a+1; a) nöqtəsi olsun. İkinci qrafikin bu nöqtəsini Ox oxuna paralel olaraq sağa sürüşdürməklə birinci qrafikin A(a; a) nöqtəsindən almaq olar. Bu o deməkdir ki, y= x-1 funksiyasının bütöv qrafiki y= x funksiyasının qrafikindən Ox oxuna paralel 1-ə qədər sağa sürüşərək alınır. Qrafikləri quraq: y= x-1 qurmaq üçün. , (-2; 3) (-1; 2) (0; 1) (1; 0) (2; 1) nöqtələrini götürün. 3.3 Düsturda “iç-içə modullar” olan funksiyaların qrafiklərinin qurulması Konkret misaldan istifadə edərək tikinti alqoritmini nəzərdən keçirək Funksiya qrafikini qurun: 10

11 y=i-2-ix+5ii 1. Funksiyanın qrafikini qurun. 2. Aşağı yarımmüstəvinin OX oxuna nisbətən yuxarıya doğru simmetrik olaraq qrafikini göstəririk və funksiyanın qrafikini alırıq. 11

12 3. Funksiyanın qrafikini OX oxuna nisbətən simmetrik olaraq aşağıya doğru göstəririk və funksiyanın qrafikini alırıq. 4. Funksiyanın qrafikini OX oxuna nisbətən simmetrik olaraq aşağıya doğru göstəririk və 5 funksiyasının qrafikini alırıq. OX oxuna nisbətən funksiyanın qrafikini ekrana çıxarıb qrafiki alırıq. 12

13 6. Nəticədə funksiyanın qrafiki belə görünür 3.4. y = a 1 x x 1 + a 2 x x a n x x n + ax + b formalı funksiyaların qrafiklərinin qurulması alqoritmi. Əvvəlki nümunədə modul işarələrini aşkar etmək olduqca asan idi. Əgər modulların daha çox məbləği varsa, submodul ifadələrin əlamətlərinin bütün mümkün birləşmələrini nəzərdən keçirmək problemlidir. Bu halda funksiyanın qrafikini necə qurmaq olar? Qeyd edək ki, qrafik qırıq xəttdir, nöqtələrdə təpələri -1 və 2 absislərə malikdir. X = -1 və x = 2-də submodul ifadələr sıfıra bərabərdir. Praktikada belə qrafiklərin qurulması qaydasına yaxınlaşdıq: y = a 1 x x 1 + a 2 x x a n x x n + ax + b formalı funksiyanın qrafiki sonsuz ifrat həlqələrə malik qırıq xəttdir. Belə bir qırıq xətti qurmaq üçün onun bütün təpələrini (təpələrin absisləri submodul ifadələrin sıfırlarıdır) və sol və sağ sonsuz keçidlərdə bir nəzarət nöqtəsini bilmək kifayətdir. 13

14 Problem. y = x + x 1 + x + 1 funksiyasının qrafikini çəkin və onun ən kiçik qiymətini tapın. Həlli: 1. Submodul ifadələrin sıfırları: 0; -1; Polixəttin təpələri (0; 2); (-1; 3); (1; 3) (tənlikdə submodul ifadələrin sıfırlarını əvəz edirik) 3 Sağda (2; 6), solda (-2; 6). Qrafik qururuq (şək. 7), funksiyanın ən kiçik qiyməti modulu ilə kvadrat funksiyanın qrafikinin qurulması alqoritmi Funksiya qrafiklərinin çevrilməsi üçün alqoritmlərin tərtibi. 1. y= f(x) funksiyasının qrafikinin çəkilməsi. Modulun tərifinə görə bu funksiya iki funksiya dəstinə bölünür. Deməli, y= f(x) funksiyasının qrafiki iki qrafikdən ibarətdir: y= f(x) sağ yarımmüstəvidə, y= f(-x) sol yarımmüstəvidə. Buna əsasən bir qayda (alqoritm) tərtib edilə bilər. y= f(x) funksiyasının qrafikindən y= f(x) funksiyasının qrafiki aşağıdakı kimi alınır: x 0-da qrafik qorunur, x-də isə qrafik.< 0полученная часть графика отображается симметрично относительно оси ОУ. 2.Построение графика функции y= f(x). а). Строим график функции y= f(x). б). Часть графика y= f(x), лежащая над осью ОХ, сохраняется, часть его, лежащая под осью ОХ, отображается симметрично относительно оси ОХ. 14

15 3. y= f(x) funksiyasının qrafikini qurmaq üçün əvvəlcə x> 0, sonra x üçün y= f(x) funksiyasının qrafikini qurmaq lazımdır.< 0 построить изображение, симметричное ему относительно оси ОУ, а затем на интервалах, где f(x) <0,построить изображение, симметричное графику y= f(x) относительно оси ОХ. 4.Для построения графиков вида y = f(x)достаточно построить график функции y= f(x) для тех х из области определения, при которых f(х) 0, и отобразить полученную часть графика симметрично относительно оси абсцисс. Пример Построим график функции у = х 2 6х +5. Сначала построим параболу у= х 2 6х +5. Чтобы получить из неё график функции у = х 2-6х + 5, нужно каждую точку параболы с отрицательной ординатой заменить точкой с той же абсциссой, но с противоположной (положительной) ординатой. Иными словами, часть параболы, расположенную ниже оси Ох, нужно заменить линией, ей симметричной относительно оси Ох (Рис.1). Рис Алгоритм построения графика дробно рациональной функции с модулем 1. Начнем с построения графика В основе его лежит график функции и все мы знаем, как он выглядит: Теперь построим график 15

16 Bu qrafiki əldə etmək üçün əvvəllər əldə edilmiş qrafiki üç vahid sağa sürüşdürmək kifayətdir. Qeyd edək ki, kəsrin məxrəcində x + 3 ifadəsi varsa, onda biz qrafiki sola keçirərdik: İndi funksiyanın qrafikini almaq üçün bütün ordinatları ikiyə vurmalıyıq iki vahid: Etməli olduğumuz son şey, modul işarəsi altında verilmiş funksiyanın qrafikini çəkməkdir. Bunun üçün biz qrafikin ordinatları mənfi olan bütün hissəsini (x oxundan aşağıda yerləşən hissəni) simmetrik olaraq yuxarıya doğru əks etdiririk: Şəkil 4 16

17 4.Mütləq qiymətin işarəsinin yerindən asılı olaraq kvadrat funksiyanın qrafikində baş verən dəyişikliklər. y = x 2 - x -3 funksiyasının qrafikini qurun 1) x 0 üçün x = x olduğundan, tələb olunan qrafik y = 0,25 x 2 - x - 3 parabolası ilə üst-üstə düşür. Əgər x olarsa<0, то поскольку х 2 = х 2, х =-х и требуемый график совпадает с параболой у=0,25 х 2 + х) Если рассмотрим график у=0,25 х 2 - х - 3 при х 0 и отобразить его относительно оси ОУ мы получим тот же самый график. (0; - 3) координаты точки пересечения графика функции с осью ОУ. у =0, х 2 -х -3 = 0 х 2-4х -12 = 0 Имеем, х 1 = - 2; х 2 = 6. (-2; 0) и (6; 0) - координаты точки пересечения графика функции с осью ОХ. Если х<0, ордината точки требуемого графика такая же, как и у точки параболы, но с положительной абсциссой, равной х. Такие точки симметричны относительно оси ОУ(например, вершины (2; -4) и -(2; -4). Значит, часть требуемого графика, соответствующая значениям х<0, симметрична относительно оси ОУ его же части, соответствующей значениям х>0. b) Buna görə də x üçün konstruksiyanı tamamlayıram<0 часть графика, симметричную построенной относительно оси ОУ. 17

18 Şek. 4 y = f (x) funksiyasının qrafiki arqumentin qeyri-mənfi qiymətləri dəstindəki y = f (x) funksiyasının qrafiki ilə üst-üstə düşür və onun oxuna nisbətən ona simmetrikdir. Arqumentin mənfi dəyərlərinin çoxluğunda OU. Sübut: Əgər x 0 olarsa, onda f (x) = f (x), yəni. arqumentin mənfi olmayan qiymətləri çoxluğunda y = f (x) və y = f (x) funksiyalarının qrafikləri üst-üstə düşür. y = f (x) cüt funksiya olduğu üçün onun qrafiki op-ampa görə simmetrikdir. Beləliklə, y = f (x) funksiyasının qrafikindən y = f (x) funksiyasının qrafikini aşağıdakı kimi almaq olar: 1. x>0 üçün y = f (x) funksiyasının qrafikini qurun; 2. x üçün<0, симметрично отразить построенную часть относительно оси ОУ. Вывод: Для построения графика функции у = f (х) 1. построить график функции у = f(х) для х>0; 2. x üçün<0, симметрично отразить построенную часть относительно оси ОУ. Построить график функции у = х 2-2х Освободимся от знака модуля по определению Если х 2-2х 0, т.е. если х 0 и х 2, то х 2-2х = х 2-2х Если х 2-2х<0, т.е. если 0<х< 2, то х 2-2х =- х 2 + 2х Видим, что на множестве х 0 и х 2 графики функции у = х 2-2х и у = х 2-2х совпадают, а на множестве (0;2) графики функции у = -х 2 + 2х и у = х 2-2х совпадают. Построим их. График функции у = f (х) состоит из части графика функции у = f(х) при у?0 и симметрично отражённой части у = f(х) при у <0 относительно оси ОХ. Построить график функции у = х 2 - х -6 1) Если х 2 - х -6 0, т.е. если х -2 и х 3, то х 2 - х -6 = х 2 - х

19 Əgər x 2 - x -6 olarsa<0, т.е. если -2<х< 3, то х 2 - х -6 = -х 2 + х +6. Построим их. 2) Построим у = х 2 - х -6. Нижнюю часть графика симметрично отбражаем относительно ОХ. Сравнивая 1) и 2), видим что графики одинаковые. Работа на тетрадях. Докажем, что график функции у = f (х) совпадает с графиком функции у = f (х) для f(х) >0 və y nöqtəsində simmetrik əks olunan y = f(x) hissəsi<0 относительно оси ОХ. Действительно, по определению абсолютной величины, можно данную функцию рассмотреть как совокупность двух линий: у = f(х), если f(х) 0; у = - f(х), если f(х) <0 Для любой функции у = f(х), если f(х) >0, onda f (x) = f (x), bu o deməkdir ki, bu hissədə y = f (x) funksiyasının qrafiki y = f (x) funksiyasının özünün qrafiki ilə üst-üstə düşür. Əgər f(x)<0, то f (х) = - f(х),т.е. точка (х; - f(х)) симметрична точке (х; f (х)) относительно оси ОХ. Поэтому для получения требуемого графика отражаем симметрично относительно оси ОХ "отрицательную" часть графика у = f(х). Вывод: действительно для построения графика функции у = f(х) достаточно: 1.Построить график функции у = f(х) ; 2. На участках, где график расположен в нижней полуплоскости, т.е., где f(х) <0, симметрично отражаем относительно оси абсцисс. (Рис.5) 19

20 Şəkil.5 Nəticə: y= f(x) funksiyasının qrafikini qurmaq üçün 1. y=f(x) funksiyasının qrafikini qurun; 2. Qrafikin aşağı yarımmüstəvidə yerləşdiyi sahələrdə, yəni f(x)<0, строим кривые, симметричные построенным графикам относительно оси абсцисс. (Рис.6, 7.) 20

21 y = f (x) funksiyasının qrafiklərinin qurulması üzrə tədqiqat işi Mütləq qiymətin tərifindən və əvvəllər müzakirə olunmuş nümunələrdən istifadə edərək funksiyanın qrafiklərini quracağıq: y = 2 x - 3 y = x 2-5 x y = x 2 -2 və nəticə çıxarın. y = f (x) funksiyasının qrafikini qurmaq üçün sizə lazımdır: 1. x>0 üçün y = f (x) funksiyasının qrafikini qurmaq. 2. Qrafikin ikinci hissəsini qurun, yəni qurulmuş qrafiki op-ampa nisbətən simmetrik şəkildə əks etdirin, çünki Bu funksiya bərabərdir. 3. Alınan qrafikin aşağı yarımmüstəvidə yerləşən hissələrini OX oxuna simmetrik olaraq yuxarı yarımmüstəviyə çevirin. y = 2 x - 3 funksiyasının qrafikini qurun (modulu təyin etmək üçün 1-ci üsul) 1. y = 2 x - 3 qurun, 2 x - 3 > 0, x >1,5 yəni. X< -1,5 и х>1.5 a) y = 2x - 3, x>0 üçün b) x üçün<0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОУ. 2. Строим у = -2 х + 3, для 2 х - 3 < 0. т.е. -1,5<х<1,5 а) у = -2х + 3, для х>0 b) x üçün<0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОУ. У = 2 х - 3 1) Строим у = 2х-3, для х>0. 2) Op-ampın oxuna nisbətən qurulmuşa simmetrik olan düz xətt qururuq. 3) OX oxuna nisbətən simmetrik olaraq aşağı yarımmüstəvidə yerləşən qrafikin hissələrini göstərirəm. Hər iki qrafiki müqayisə etdikdə onların eyni olduğunu görürük. 21

22 Məsələlərin nümunələri Nümunə 1. y = x 2 6x +5 funksiyasının qrafikini nəzərdən keçirək. x ədədinin işarəsindən asılı olmayaraq x kvadrat olduğundan, kvadratlaşdırdıqdan sonra müsbət olacaqdır. Buradan belə çıxır ki, y = x 2-6x +5 funksiyasının qrafiki y = x 2-6x +5 funksiyasının qrafiki ilə eyni olacaq, yəni. tərkibində mütləq qiymət işarəsi olmayan funksiyanın qrafiki (şək. 2). Şəkil.2 Nümunə 2. y = x 2 6 x +5 funksiyasının qrafikini nəzərdən keçirək. Ədədin modulunun tərifindən istifadə edərək y = x 2 6 x +5 düsturunu əvəz edirik. İndi bizə tanış olan hissə-hissə asılılıq tapşırığı ilə məşğul oluruq. Belə bir qrafik quracağıq: 1) y = x 2-6x +5 parabola qurun və 22 olan hissəni dairə edin.

23, x-in mənfi olmayan qiymətlərinə uyğundur, yəni. Oy oxunun sağında yerləşən hissə. 2) eyni koordinat müstəvisində y = x 2 +6x +5 parabola qurun və onun x-in mənfi qiymətlərinə uyğun olan hissəsini dairə edin, yəni. Oy oxunun solunda yerləşən hissə. Parabolaların dairəvi hissələri birlikdə y = x 2-6 x +5 funksiyasının qrafikini əmələ gətirir (şək. 3). Şəkil.3 Nümunə 3. y = x 2-6 x +5 funksiyasının qrafikini nəzərdən keçirək. Çünki y = x 2 6x +5 tənliyinin qrafiki modul işarəsi olmayan funksiyanın qrafiki ilə eynidir (2-ci misalda müzakirə olunur), buradan belə nəticə çıxır ki, y = x 2 6 x +5 funksiyasının qrafiki eynidir. 2-ci misalda nəzərdən keçirilən y = x 2 6 x +5 funksiyasının qrafikinə (şək. 3). Misal 4. y = x 2 6x +5 funksiyasının qrafikini quraq. Bunun üçün y = x 2-6x funksiyasının qrafikini quraq. Ondan y = x 2-6x funksiyasının qrafikini almaq üçün parabolanın hər bir nöqtəsini mənfi ordinatla eyni absissalı, lakin əks (müsbət) ordinata malik nöqtə ilə əvəz etmək lazımdır. Başqa sözlə, parabolanın x oxundan aşağıda yerləşən hissəsi x oxuna nisbətən ona simmetrik olan xəttlə əvəz edilməlidir. Çünki y = x 2-6x +5 funksiyasının qrafikini qurmalıyıq, onda y = x 2-6x hesab etdiyimiz funksiyanın qrafikini sadəcə olaraq y oxu boyunca 5 vahid yuxarı qaldırmaq lazımdır (şək. 4). ). 23

24 Şəkil.4 Nümunə 5. y = x 2-6x+5 funksiyasının qrafikini çəkək. Bunu etmək üçün biz məşhur parça funksiyasından istifadə edəcəyik. y = 6x +5 6x + 5 = 0 funksiyasının sıfırlarını tapaq. İki halı nəzərdən keçirək: 1) Əgər, onda tənlik y = x 2 6x -5 formasını alacaq. Bu parabolanı quraq və buradakı hissəni dairəyə çəkək. 2) Əgər, onda tənlik y = x 2 + 6x +5 formasını alır. Gəlin bu parabola dayanaq və onun koordinatları olan nöqtənin solunda yerləşən hissəsini çevrəyə çəkək (şək. 5). 24

25 Şəkil 5 Nümunə 6. y = x 2 6 x +5 funksiyasının qrafikini quraq. Bunun üçün y = x 2-6 x +5 funksiyasının qrafikini quracağıq. Biz bu qrafiki Nümunə 3-də qurmuşuq. Funksiyamız tamamilə modul işarəsi altında olduğundan y = x 2 6 x +5 funksiyasının qrafikini qurmaq üçün bizə y = x 2 funksiyasının qrafikinin hər bir nöqtəsi lazımdır. Mənfi ordinata malik 6 x + 5 eyni absis ilə bir nöqtə ilə əvəz edilməlidir, lakin əks (müsbət) ordinat ilə, yəni. parabolanın Ox oxundan aşağıda yerləşən hissəsi Ox oxuna nisbətən ona simmetrik olan xəttlə əvəz edilməlidir (şək. 6). Şəkil 6 25

26 II Nəticə “Riyazi informasiyadan yalnız yaradıcılıqla mənimsənildikdə məharətlə və faydalı istifadə oluna bilər ki, şagird ona öz gücü ilə necə gələ biləcəyini görsün”. A.N. Kolmoqorov. Bu problemlər IX sinif şagirdlərinin böyük marağına səbəb olur, çünki onlar OGE testlərində çox rast gəlinir. Funksiyaların məlumat qrafiklərini qurmaq bacarığı sizə imtahandan daha uğurla keçməyə imkan verəcək. Fransız riyaziyyatçıları Pyer Ferma () və Rene Dekart () funksiyanı əyri üzərindəki nöqtənin ordinatının onun absissindən asılılığı kimi təsəvvür edirdilər. İngilis alimi İsaak Nyuton () funksiyanı zamandan asılı olaraq dəyişən hərəkət edən nöqtənin koordinatı kimi başa düşdü. 26

27 III. Ədəbiyyat və mənbələrin siyahısı 1. Qalitski M. L., Qoldman A. M., Zvaviç L. İ. 8-9-cu siniflər üçün cəbrdən məsələlər toplusu: Dərslik. məktəb şagirdləri üçün dərslik. və qabaqcıl siniflər oxudu Riyaziyyat 2-ci nəşr. M.: Maarifləndirmə, Dorofeev G.V. Cəbr. Funksiyalar. Məlumatların təhlili. 9-cu sinif: m34 Təhsil. ümumi təhsil tədqiqatları üçün. təsis 2-ci nəşr, stereotip. M.: Bustard, Solomonik V.S. Riyaziyyatdan suallar və problemlər toplusu M.: "Ali məktəb", Yashchenko I.V. GİA. Riyaziyyat: standart imtahan variantları: Variantlar haqqında.m.: “Milli Təhsil”, səh. 5. Yaşçenko İ.V. OGE. Riyaziyyat: standart imtahan variantları: Variantlar haqqında.m.: “Milli Təhsil”, səh. 6. Yaşçenko İ.V. OGE. Riyaziyyat: standart imtahan variantları: Seçimlər haqqında.m.: “Milli Təhsil”, ilə

28 Əlavə 28

29 Nümunə 1. y = x 2 funksiyasının qrafikini çəkin 8 x Həlli. Funksiyanın paritetini təyin edək. y(-x) üçün qiymət y(x) dəyəri ilə eynidir, ona görə də bu funksiya cütdür. Onda onun qrafiki Oy oxuna nisbətən simmetrikdir. x 0 üçün y = x 2 8x + 12 funksiyasının qrafikini çəkirik və mənfi x üçün Oy-a nisbətdə qrafiki simmetrik olaraq göstəririk (şək. 1). Nümunə 2. Aşağıdakı y = x 2 8x formalı qrafik Bu o deməkdir ki, funksiyanın qrafiki aşağıdakı kimi alınır: y = x 2 8x + 12 funksiyasının qrafikini qurun, qrafikin yuxarıda yerləşən hissəsini buraxın. Ox oxu dəyişməz və qrafikin absis oxunun altında yerləşən və Ox oxuna nisbətən simmetrik şəkildə göstərilən hissəsi (şək. 2). Nümunə 3. y = x 2 8 x + 12 funksiyasının qrafikini çəkmək üçün çevrilmələrin kombinasiyası aparılır: y = x 2 8x + 12 y = x 2 8 x + 12 y = x 2 8 x Cavab: Şəkil 3. Nümunə 4 Modul işarəsi altında ifadə, x=2/3 nöqtəsində işarəni dəyişir. x-də<2/3 функция запишется так: 29

30 x>2/3 üçün funksiya belə yazılacaq: Yəni x=2/3 nöqtəsi koordinat müstəvimizi iki sahəyə bölür, onlardan birində (sağda) funksiya qururuq, digərində isə. (solda) funksiyanın qrafikini qururuq: Nümunə 5 Bundan sonra qrafik də pozulmuşdur, lakin modul işarələri altında iki ifadə ehtiva etdiyi üçün iki qırılma nöqtəsi var: Görək submodul ifadələr hansı nöqtələrdə işarəni dəyişir: Gəlin koordinat xəttində submodul ifadələr üçün işarələri düzün: 30

31 Birinci interval üzrə modulları genişləndiririk: İkinci intervalda: Üçüncü intervalda: Beləliklə, (- ; 1.5] intervalında birinci tənliklə yazılmış qrafik, intervalda ikinci tənliklə yazılmış qrafik var. , və intervalda)