Εκπαιδευτικό έργο "εξισώσεις σε εργασίες OGE"

Συμπλήρωσε τις προτάσεις: 1). Η εξίσωση είναι... 2). Η ρίζα της εξίσωσης είναι... 3). Η επίλυση μιας εξίσωσης σημαίνει...

I. Να λύσετε τις εξισώσεις προφορικά: 1). 2). 3). 4). 5). 6). 7). 8). 9). 6 x + 18=0 2 x + 5=0 5 x – 3=0 -3 x + 9=0 -5 x + 1=0 -2 x – 10=0 6 x – 7=5 x 9 x + 6 =10 x 5 x - 12=8 x

Ποια από τις παρακάτω εξισώσεις δεν έχει λύσεις: α). 2 x – 14 = x + 7 b). 2 x - 14 = 2(x – 7) γ). x – 7 = 2 x + 14 g). 2 x- 14 = 2 x + 7;

Ποια από τις εξισώσεις έχει άπειρες λύσεις: α). 4 x – 12 = x – 12 b). 4 x – 12 = 4 x + 12 c). 4(x – 3) = 4 x – 12 g). 4(x – 3) = x – 10;

ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ kx + b = 0, όπου τα k, b δίνονται αριθμοί, ΛΕΓΟΝΤΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ. Αλγόριθμος επίλυσης γραμμικών εξισώσεων: 1). ανοιχτές αγκύλες 2). μετακινήστε τους όρους που περιέχουν το άγνωστο στην αριστερή πλευρά και τους όρους που δεν περιέχουν το άγνωστο στη δεξιά πλευρά (το πρόσημο του μεταφερόμενου όρου αντιστρέφεται). 3). να φέρει παρόμοια μέλη? 4). διαιρέστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με τον συντελεστή του αγνώστου αν δεν είναι ίσος με μηδέν.

Λύστε σε τετράδια Ομάδα Ι: Αρ. 681 σελ. 63 6(4 -x)+3 x=3 Ομάδα III: Αρ. 767 σελ. 67 (x + 6)2 + (x + 3)2 = 2 x 2 εξισώσεις : II ομάδα: Αρ. 697 σελ. 63 x-1 +(x+2) = -4(-5 -x)-5

Μια εξίσωση της μορφής aх2 + bх + c =0, όπου a≠ 0, b, c είναι οποιοιδήποτε πραγματικοί αριθμοί, ονομάζεται τετραγωνική. Ημιτελείς εξισώσεις: aх2 + bх =0 (c=0), aх2 + c =0 (b=0).

II. Να λύσετε προφορικά δευτεροβάθμιες εξισώσεις, υποδεικνύοντας αν είναι πλήρεις ή ελλιπείς: 1). x2 + 15 x=0 2). -x2 +2 x = 0 3). x2 -25=0 4). -x2 +9 =0 5). -x2 - 16 =0 6). x2 - 8 x + 15=0 7). x2 + 5 x + 6=0 8). x2 + x - 12 =0 9). (-x-5)(-x+ 6)=0 10). x2 -4 x +4 =0

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ: 1). Ποια ιδιότητα των εξισώσεων χρησιμοποιήθηκε για την επίλυση ελλιπών τετραγωνικές εξισώσεις? 2). Ποιες μέθοδοι παραγοντοποίησης ενός πολυωνύμου χρησιμοποιήθηκαν για την επίλυση ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων; 3). Ποιος είναι ο αλγόριθμος για την επίλυση πλήρων τετραγωνικών εξισώσεων;

1). Το γινόμενο δύο παραγόντων είναι ίσο με μηδέν, αν ένας από αυτούς είναι μηδέν, ο δεύτερος δεν χάνει τη σημασία του: ab = 0 εάν a = 0 ή b = 0. 2). Αντικαθιστώντας έναν κοινό παράγοντα και ένα 2 - b 2 =(a – b)(a + b) είναι ο τύπος για τη διαφορά των τετραγώνων. 3). Πλήρης τετραγωνική εξίσωση ax2 + bx + c = o. D=b 2 – 4 ac, αν D>0, 2 ρίζες; D = 0, 1 ρίζα; ρε

Θεώρημα αντίστροφο προς το θεώρημα του Vieta: Αν οι αριθμοί a, b, c, x 1 και x 2 είναι τέτοιοι ώστε x 1 x 2 = x 1 + x 2 =, και x 2 είναι οι ρίζες της εξίσωσης a x 2 + bx + c = 0

ΛΥΣΤΕ ΤΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ: Ομάδα Ι: Νο 802 σελίδα 71 x2 - 5 x- 36 =0 Ομάδα II: Νο. 810 σελίδα 71 3 x2 - x + 21=5 x2 Ομάδα III: x4 -5 x2 - 36 =0

III. ΛΥΣΕ ΤΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ: Ομάδα I και II: Αρ. 860 Ομάδα III: =0 =0 Πώς ονομάζονται τέτοιες εξισώσεις; Ποια ιδιότητα χρησιμοποιείται για την επίλυσή τους;

Μια ορθολογική εξίσωση είναι μια εξίσωση της μορφής =0. Ένα κλάσμα ισούται με μηδέν αν ο αριθμητής είναι μηδέν και ο παρονομαστής δεν είναι μηδέν. =0, αν a = 0, b≠ 0.

Εν συντομία από την ιστορία των μαθηματικών Οι μαθηματικοί της Αρχαίας Αιγύπτου μπόρεσαν να λύσουν τετραγωνικές και γραμμικές εξισώσεις. Ο Πέρσης μεσαιωνικός επιστήμονας Al-Khwarizmi (9ος αιώνας) εισήγαγε για πρώτη φορά την άλγεβρα ως ανεξάρτητη επιστήμη του γενικές μεθόδουςλύσεις γραμμικών και τετραγωνικών εξισώσεων, έδωσαν μια ταξινόμηση αυτών των εξισώσεων. Μια νέα μεγάλη ανακάλυψη στα μαθηματικά συνδέεται με το όνομα του Γάλλου επιστήμονα Francois Vieta (XVI αιώνας). Ήταν αυτός που εισήγαγε τα γράμματα στην άλγεβρα. Είναι υπεύθυνος για το περίφημο θεώρημα για τις ρίζες των τετραγωνικών εξισώσεων. Και οφείλουμε την παράδοση να δηλώνουμε άγνωστες ποσότητες με τα τελευταία γράμματα του λατινικού αλφαβήτου (x, y, z) σε έναν άλλο Γάλλο μαθηματικό - τον Rene Descartes (XVII).

Εργασία για το σπίτι Εργασία με τοποθεσίες: - Ανοιχτή τράπεζα εργασιών OGE (μαθηματικά) http: //85. 142. 162. 126/os/xmodules/qprint/index. php; proj=DE 0 E 276 E 49 7 AB 3784 C 3 FC 4 CC 20248 DC 0 ; - «Θα λύσω το OGE» του D. Gushchin https: //oge. sdamgia. ru/ ; - Ιστοσελίδα του A. Larin (επιλογή 119) http: //alexlarin. καθαρά/. Φροντιστήρια: - Εγχειρίδιο Yu. M. Kolyagin «Άλγεβρα 9η τάξη», M., «Διαφωτισμός», 2014, σελ. 308 -310; - «3000 εργασίες» κάτω. επιμέλεια I. V. Yashchenko, M., "Exam", 2017, σελ. 5974.

Πληροφορίες για γονείς Σύστημα προετοιμασίας για το OGE στα μαθηματικά 1). Συνοδευτική επανάληψη στα μαθήματα 2). Τελική αναθεώρηση στο τέλος του έτους 3). Μαθήματα επιλογής(τα Σάββατα) 4). Σύστημα εργασιών για το σπίτι - δουλεύοντας με τους ιστότοπους θα ΛΥΣΩ OGE, OPEN BANK FIPI, SITE A. LARINA. 5). Ατομικές διαβουλεύσεις (τη Δευτέρα)

Η τέταρτη εργασία στην ενότητα άλγεβρας ελέγχει τη γνώση της χρήσης δυνάμεων και ριζικών εκφράσεων.

Κατά την ολοκλήρωση της εργασίας Νο. 4 του ΟΓΕ στα μαθηματικά, δεν ελέγχονται μόνο οι δεξιότητες υπολογισμού και μετασχηματισμού αριθμητικών παραστάσεων, αλλά και η ικανότητα μετατροπής αλγεβρικών παραστάσεων. Ίσως χρειαστεί να εκτελέσετε πράξεις με δυνάμεις με ακέραιο εκθέτη, με πολυώνυμα και πανομοιότυπους μετασχηματισμούς ορθολογικών παραστάσεων.

Σύμφωνα με τα υλικά της κύριας εξέτασης, μπορεί να υπάρχουν εργασίες που απαιτούν την εκτέλεση πανομοιότυπων μετασχηματισμών ορθολογικών παραστάσεων, παραγοντοποίηση πολυωνύμων, χρήση ποσοστών και αναλογιών και δοκιμών διαιρετότητας.

Η απάντηση στην εργασία 4 είναι ένας από τους αριθμούς 1. 2; 3; 4 που αντιστοιχεί στον αριθμό της προτεινόμενης απάντησης στην εργασία.

Θεωρία για την εργασία Νο. 4

Από θεωρητικό υλικό θα χρειαστούμε Κανόνες χειρισμού πτυχίων:

Κανόνες εργασίας με ριζοσπαστικές εκφράσεις:

Στις αναλυθείσες εκδόσεις μου, παρουσιάζονται αυτοί οι κανόνες - στην ανάλυση της πρώτης έκδοσης της τρίτης εργασίας, παρουσιάζονται οι κανόνες για το χειρισμό των πτυχίων και στη δεύτερη και τρίτη έκδοση, αναλύονται παραδείγματα εργασίας με ριζικές εκφράσεις.

Ανάλυση τυπικών επιλογών για την εργασία Νο. 4 ΟΓΕ στα μαθηματικά

Η πρώτη έκδοση της εργασίας

Ποια από τις παρακάτω εκφράσεις για οποιεσδήποτε τιμές του n είναι ίση με το γινόμενο 121 11 n;

121n
11n+2
11 2n
11n+3

Λύση:

Για να λύσετε αυτό το πρόβλημα, πρέπει να θυμάστε τα ακόλουθα κανόνες χειρισμού πτυχίων :

Όταν πολλαπλασιάζονται, οι δυνάμεις αθροίζονται
όταν προσθέτουμε μοίρες αφαιρούνται
Όταν ανεβάζετε μια ισχύ σε μια ισχύ, οι δυνάμεις πολλαπλασιάζονται
κατά την εξαγωγή της ρίζας, οι μοίρες χωρίζονται

Επιπλέον, για να το λύσουμε είναι απαραίτητο να αναπαραστήσουμε το 121 ως δύναμη του 11, που είναι ακριβώς 11 2.

121 11 n = 11 2 11 n

Λαμβάνοντας υπόψη τον κανόνα του πολλαπλασιασμού, προσθέτουμε τους βαθμούς:

11 2 11 n = 11 n+2

Επομένως, η δεύτερη απάντηση μας ταιριάζει.

Δεύτερη έκδοση της εργασίας

Ποια από τις παρακάτω εκφράσεις έχει τη μεγαλύτερη αξία;

2√11
2√10

Λύση:

Για να λύσετε αυτήν την εργασία, πρέπει να φέρετε όλες τις εκφράσεις σε μια γενική μορφή - να παρουσιάσετε τις εκφράσεις με τη μορφή ριζικών εκφράσεων:

Μετακίνηση 3 στη ρίζα:

3√5 = √(3² 5) = √(9 5) = √45

Μετακίνηση 2 στη ρίζα:

2√11 = √(2² 11) = √(4 11) =√44

Μετακίνηση 2 στη ρίζα:

2√10 = √(2² 10) = √(4 10) =√40

Τετράγωνο 6,5:

6,5 = √(6,5²) = √42,25

Ας δούμε όλες τις επιλογές που προκύπτουν:

3√5 = √45
2√11 = √44
2√10 = √40
6,5 = √42,25

Επομένως, η σωστή απάντηση είναι πρώτη

Τρίτη έκδοση της εργασίας

Ποιος από αυτούς τους αριθμούς είναι ορθολογικός;

√810
√8,1
√0,81
όλοι αυτοί οι αριθμοί είναι παράλογοι

Λύση:

Για να λύσετε αυτό το πρόβλημα πρέπει να προχωρήσετε ως εξής:

Αρχικά, ας υπολογίσουμε την ισχύ του αριθμού που εξετάζεται σε αυτό το παράδειγμα - αυτός είναι ο αριθμός 9, καθώς το τετράγωνό του είναι 81 και αυτό είναι ήδη κάπως παρόμοιο με τις εκφράσεις στις απαντήσεις. Στη συνέχεια, ας δούμε τις μορφές του αριθμού 9 - αυτές μπορεί να είναι:

Εξετάστε καθένα από αυτά:

0,9 = √(0,9)² = √0,81

90 = √(90²) = √8100

Επομένως, ο αριθμός √0,81 είναι ρητός, ενώ οι υπόλοιποι αριθμοί

αν και παρόμοια με το 9 τετράγωνο σχήμα, δεν είναι ορθολογικά.

Έτσι, η σωστή απάντηση είναι τρίτη.

Τέταρτη έκδοση της εργασίας

Κατόπιν αιτήματος ενός συνδρομητή της κοινότητάς μου Έχει χαθεί Diana, εδώ είναι μια ανάλυση της ακόλουθης εργασίας Νο. 4:

Ποιος από τους παρακάτω αριθμούς είναι η τιμή της παράστασης;

Λύση:

Σημειώστε ότι ο παρονομαστής περιέχει μια διαφορά (4 - √14), την οποία πρέπει να απαλλαγούμε. Πώς να το κάνετε αυτό;

Για να το κάνετε αυτό, θυμηθείτε τον τύπο για τον συντομευμένο πολλαπλασιασμό, δηλαδή τη διαφορά των τετραγώνων! Για να το εφαρμόσετε σωστά σε αυτήν την εργασία, πρέπει να θυμάστε τους κανόνες για το χειρισμό των κλασμάτων. Σε αυτήν την περίπτωση, να θυμάστε ότι το κλάσμα δεν αλλάζει εάν ο αριθμητής και ο παρονομαστής πολλαπλασιαστούν με τον ίδιο αριθμό ή έκφραση. Για τη διαφορά των τετραγώνων, μας λείπει η έκφραση (4 + √14), που σημαίνει ότι πολλαπλασιάζουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με αυτήν.

Μετά από αυτό, παίρνουμε 4 + √14 στον αριθμητή και τη διαφορά των τετραγώνων στον παρονομαστή: 4² - (√14)². Μετά από αυτό, ο παρονομαστής υπολογίζεται εύκολα:

Συνολικά, οι ενέργειές μας μοιάζουν με αυτό:

Η πέμπτη έκδοση της εργασίας (έκδοση επίδειξης του OGE 2017)

Ποια έκφραση είναι ρητός αριθμός;

√6-3
√3 √5
(√5)²
(√6-3)²

Λύση:

Σε αυτή την εργασία, ελέγχονται οι δεξιότητές μας σε πράξεις με παράλογους αριθμούς.

Ας δούμε κάθε επιλογή απάντησης στη λύση:

Το √6 είναι ένας παράλογος αριθμός· για να λύσετε τέτοια προβλήματα, αρκεί να θυμάστε ότι μπορείτε να εξαγάγετε ορθολογικά τη ρίζα από τετράγωνα φυσικούς αριθμούς, για παράδειγμα, 4, 9, 16, 25...

Όταν αφαιρούμε από έναν άρρητο αριθμό οποιονδήποτε άλλο αριθμό εκτός από τον εαυτό του, θα οδηγήσει και πάλι σε έναν άρρητο αριθμό, επομένως, σε αυτήν την έκδοση, προκύπτει ένας άρρητος αριθμός.

Όταν πολλαπλασιάζουμε ρίζες, μπορούμε να εξαγάγουμε τη ρίζα από το γινόμενο ριζικών εκφράσεων, δηλαδή:

√3 √5 = √(3 5) = √15

Αλλά το √15 είναι παράλογο, επομένως αυτή η απάντηση δεν είναι κατάλληλη.

Κατά την κατασκευή τετραγωνική ρίζαστο τετράγωνο, παίρνουμε απλώς μια ριζική έκφραση (για την ακρίβεια, μια ριζική έκφραση modulo, αλλά στην περίπτωση ενός αριθμού, όπως σε αυτήν την έκδοση, αυτό δεν έχει σημασία), επομένως:

Αυτή η επιλογή απάντησης μας ταιριάζει.

Αυτή η έκφραση αντιπροσωπεύει τη συνέχεια του σημείου 1, αλλά αν το √6-3 είναι ένας άρρητος αριθμός, τότε δεν μπορεί να μετατραπεί σε ρητό αριθμό με οποιεσδήποτε πράξεις που μας είναι γνωστές.

Toylonov Argymai και Toylonov Erkei

Η μαθηματική εκπαίδευση που λαμβάνεται σε ένα ολοκληρωμένο σχολείο είναι ένα ουσιαστικό συστατικό γενική εκπαίδευσηκαι γενικού πολιτισμού ΣΥΓΧΡΟΝΟΣ ΑΝΘΡΩΠΟΣ. Σχεδόν όλα όσα περιβάλλουν τον σύγχρονο άνθρωπο είναι όλα κατά κάποιο τρόπο συνδεδεμένα με τα μαθηματικά. ΕΝΑ τελευταία επιτεύγματαστη φυσική, την τεχνολογία και ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ της ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣμην αφήνετε καμία αμφιβολία ότι στο μέλλον η κατάσταση των πραγμάτων θα παραμείνει η ίδια. Επομένως, η επίλυση πολλών πρακτικών προβλημάτων καταλήγει στην επίλυση διάφοροι τύποιεξισώσεις που πρέπει να μάθετε να λύνετε.

Και από το 2013, η πιστοποίηση στα μαθηματικά στο τέλος του βασικού σχολείου πραγματοποιείται με τη μορφή του ΟΓΕ. Όπως και το Unified State Exam, το Unified State Exam έχει σχεδιαστεί για να διεξάγει πιστοποίηση όχι μόνο στην άλγεβρα, αλλά και σε ολόκληρο το μάθημα των μαθηματικών του βασικού σχολείου.

Η μερίδα του λέοντος των εργασιών, με τον ένα ή τον άλλο τρόπο, καταλήγει στην κατάρτιση εξισώσεων και στις λύσεις τους. Για να προχωρήσουμε στη μελέτη αυτού του θέματος, χρειάστηκε να απαντήσουμε στις ερωτήσεις: «Τι τύποι εξισώσεων βρίσκονται στις εργασίες OGE; » και «Τι τρόποι υπάρχουν για να λυθούν αυτές οι εξισώσεις;»

Επομένως, υπάρχει ανάγκη μελέτης όλων των τύπων εξισώσεων που βρίσκονται σε εργασίες OGE. Όλα τα παραπάνω καθορίζουν

ΣκοπόςΗ εργασία είναι να συμπληρωθούν όλοι οι τύποι εξισώσεων που βρίσκονται στις εργασίες OGE ανά τύπο και να αναλυθούν οι κύριες μέθοδοι επίλυσης αυτών των εξισώσεων.

Για την επίτευξη αυτού του στόχου, έχουμε θέσει τα εξής καθήκοντα:

1) Εξερευνήστε τους κύριους πόρους για την προετοιμασία για τις κύριες κρατικές εξετάσεις.

2) Συμπληρώστε όλες τις εξισώσεις ανά τύπο.

3) Αναλύστε μεθόδους για την επίλυση αυτών των εξισώσεων.

4) Συγκεντρώστε μια συλλογή με όλους τους τύπους εξισώσεων και μεθόδους για την επίλυσή τους.

Αντικείμενο μελέτης:εξισώσεις

Αντικείμενο μελέτης:εξισώσεις σε εργασίες OGE.

Κατεβάστε:

Προεπισκόπηση:

Δημοτικό δημοσιονομικό εκπαιδευτικό ίδρυμα

"Γυμνάσιο Chibitskaya"

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΕΡΓΟ:

"ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ OGE"

Toylonov Erkey

μαθητές της 8ης τάξης

επιβλέπων: Nadezhda Vladimirovna Toilonova, καθηγήτρια μαθηματικών.

Χρονοδιάγραμμα υλοποίησης του έργου:

από 13/12/2017 έως 13/02. 2018

Εισαγωγή…………………………………………………………………………………..
Ιστορική αναφορά ………………………………………………………
Κεφάλαιο 1 Επίλυση εξισώσεων ………………………………………………
1.1 Επίλυση γραμμικών εξισώσεων………………………………………
1.2 Τετραγωνικές εξισώσεις………………………………………………
1.2.1 Ημιτελείς δευτεροβάθμιες εξισώσεις……………………………………	9-11
1.2.2 Πλήρεις τετραγωνικές εξισώσεις………………………………………	11-14
1.2.3 Ειδικές μέθοδοι επίλυσης δευτεροβάθμιων εξισώσεων…………….	14-15
1.3 Ορθολογικές εξισώσεις…………………………………….	15-17
Κεφάλαιο 2 Μιγαδικές Εξισώσεις………………………………………….	18-24
Συμπεράσματα ………………………………………………………………………
Κατάλογος αναφορών ……………………………………………………………
Παράρτημα 1 «Γραμμικές εξισώσεις» ………………………………….	26-27
Παράρτημα 2 «Ημιτελείς δευτεροβάθμιες εξισώσεις» …………………	28-30
Παράρτημα 3 «Πλήρες τετραγωνικές εξισώσεις» ………………………	31-33
Παράρτημα 4 «Ορθολογικές εξισώσεις» …………………………….	34-35
Παράρτημα 5 «Μιγαδικές εξισώσεις» ………………………………..	36-40

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Η μαθηματική εκπαίδευση που λαμβάνεται σε ένα ολοκληρωμένο σχολείο αποτελεί ουσιαστικό συστατικό της γενικής εκπαίδευσης και της γενικής κουλτούρας του σύγχρονου ανθρώπου. Σχεδόν όλα όσα περιβάλλουν τον σύγχρονο άνθρωπο είναι όλα κατά κάποιο τρόπο συνδεδεμένα με τα μαθηματικά. Και οι πρόσφατες εξελίξεις στη φυσική, τη μηχανική και την τεχνολογία πληροφοριών δεν αφήνουν καμία αμφιβολία ότι στο μέλλον η κατάσταση θα παραμείνει η ίδια. Επομένως, η επίλυση πολλών πρακτικών προβλημάτων καταλήγει στην επίλυση διαφόρων τύπων εξισώσεων που πρέπει να μάθετε πώς να λύνετε.

Επομένως, υπάρχει ανάγκη μελέτης όλων των τύπων εξισώσεων που βρίσκονται σε εργασίες OGE. Όλα τα παραπάνω καθορίζουνσυνάφεια του προβλήματος της εργασίας που εκτελείται.

Σκοπός Η εργασία είναι να συμπληρωθούν όλοι οι τύποι εξισώσεων που βρίσκονται στις εργασίες OGE ανά τύπο και να αναλυθούν οι κύριες μέθοδοι επίλυσης αυτών των εξισώσεων.

Για την επίτευξη αυτού του στόχου, έχουμε θέσει τα εξήςκαθήκοντα:

1) Εξερευνήστε τους κύριους πόρους για την προετοιμασία για τις κύριες κρατικές εξετάσεις.

2) Συμπληρώστε όλες τις εξισώσεις ανά τύπο.

3) Αναλύστε μεθόδους για την επίλυση αυτών των εξισώσεων.

4) Συγκεντρώστε μια συλλογή με όλους τους τύπους εξισώσεων και μεθόδους για την επίλυσή τους.

Αντικείμενο μελέτης:εξισώσεις

Αντικείμενο μελέτης:εξισώσεις σε εργασίες OGE.

Πρόγραμμα εργασίας έργου:

Διαμόρφωση του θέματος του έργου.
Επιλογή υλικού από επίσημες πηγές για ένα δεδομένο θέμα.
Επεξεργασία και συστηματοποίηση πληροφοριών.
Υλοποίηση σχεδίου.
Σχεδιασμός έργου.
Προστασία έργου.

Πρόβλημα : εμβαθύνετε την κατανόησή σας για τις εξισώσεις. Δείξτε τις κύριες μεθόδους για την επίλυση των εξισώσεων που παρουσιάζονται στις εργασίες OGE στο πρώτο και το δεύτερο μέρος.

Η εργασία αυτή είναι μια προσπάθεια γενίκευσης και συστηματοποίησης του μελετημένου υλικού και εκμάθησης νέων. Το έργο περιλαμβάνει: γραμμικές εξισώσεις με μεταφορά όρων από το ένα μέρος της εξίσωσης στο άλλο και τη χρήση των ιδιοτήτων των εξισώσεων, καθώς και προβλήματα που επιλύονται από την εξίσωση, όλους τους τύπους τετραγωνικών εξισώσεων και μεθόδους επίλυσης ορθολογικών εξισώσεων.

Τα μαθηματικά... αποκαλύπτουν τάξη, συμμετρία και βεβαιότητα,

και αυτά είναι τα πιο σημαντικά είδη ομορφιάς.

Αριστοτέλης.

Ιστορική αναφορά

Σε εκείνους τους μακρινούς χρόνους, όταν οι σοφοί άρχισαν να σκέφτονται για πρώτη φορά τις ισότητες που περιείχαν άγνωστες ποσότητες, πιθανότατα δεν υπήρχαν νομίσματα ή πορτοφόλια. Υπήρχαν όμως σωροί, καθώς και γλάστρες και καλάθια, που ήταν ιδανικά για τον ρόλο των κρυφών αποθήκευσης που μπορούσαν να χωρέσουν άγνωστο αριθμό αντικειμένων. «Ψάχνουμε έναν σωρό που μαζί με τα δύο τρίτα, το μισό και ένα έβδομο του κάνουν 37...», διδάσκεται τη 2η χιλιετία π.Χ. νέα εποχήΑιγύπτιος γραμματέας Αχμές. Στα αρχαία μαθηματικά προβλήματα της Μεσοποταμίας, της Ινδίας, της Κίνας, της Ελλάδας, άγνωστες ποσότητες εξέφραζαν τον αριθμό των παγωνιών στον κήπο, τον αριθμό των ταύρων στο κοπάδι και το σύνολο των πραγμάτων που λαμβάνονταν υπόψη κατά τη διαίρεση της περιουσίας. Γραμματείς, αξιωματούχοι και ιερείς μυημένοι στη μυστική γνώση, καλά εκπαιδευμένοι στην επιστήμη των λογαριασμών, αντιμετώπισαν τέτοια καθήκοντα με μεγάλη επιτυχία.

Πηγές που έφτασαν σε εμάς αναφέρουν ότι οι αρχαίοι επιστήμονες είχαν στην κατοχή τους μερικά γενικές τεχνικέςεπίλυση προβλημάτων με άγνωστες ποσότητες. Ωστόσο, ούτε ένας πάπυρος ή πήλινη ταμπλέτα δεν περιέχει περιγραφή αυτών των τεχνικών. Οι συγγραφείς παρείχαν μόνο περιστασιακά τους αριθμητικούς υπολογισμούς τους με πεζά σχόλια όπως: «Κοίτα!», «Κάνε αυτό!», «Βρήκες το σωστό». Υπό αυτή την έννοια, εξαίρεση αποτελεί η «Αριθμητική» του Έλληνα μαθηματικού Διόφαντου της Αλεξάνδρειας (III αιώνας) - μια συλλογή προβλημάτων για τη σύνθεση εξισώσεων με συστηματική παρουσίαση των λύσεών τους.

Ωστόσο, το πρώτο εγχειρίδιο για την επίλυση προβλημάτων που έγινε ευρέως γνωστό ήταν το έργο του επιστήμονα της Βαγδάτης του 9ου αιώνα. Μοχάμεντ μπιν Μούσα αλ Χουαρίζμι. Η λέξη "al-jabr" από το αραβικό όνομα αυτής της πραγματείας - "Kitab al-jaber wal-mukabala" ("Βιβλίο αποκατάστασης και αντίθεσης") - με την πάροδο του χρόνου μετατράπηκε στη γνωστή λέξη "άλγεβρα" και al- Το ίδιο το έργο του Χουαρίζμι υπηρέτησε το σημείο εκκίνησης στην ανάπτυξη της επιστήμης της επίλυσης εξισώσεων.

Ποια είναι λοιπόν η εξίσωση;

Υπάρχει μια εξίσωση δικαιωμάτων, μια εξίσωση χρόνου (μετάφραση του πραγματικού ηλιακού χρόνου σε μέσο όρο ηλιακός χρόνος, αποδεκτό στον ξενώνα και στην επιστήμη. αστρ.), κ.λπ..

Στα μαθηματικά είναι μια μαθηματική ισότητα που περιέχει μία ή περισσότερες άγνωστες ποσότητες και διατηρεί την εγκυρότητά της μόνο για ορισμένες τιμές αυτών των άγνωστων μεγεθών.

Στις εξισώσεις με μία μεταβλητή, το άγνωστο συνήθως συμβολίζεται με το γράμμα "Χ ". Η τιμή του "x" ", που ικανοποιεί αυτές τις συνθήκες, ονομάζεται ρίζα της εξίσωσης.

Υπάρχουν διαφορετικές εξισώσειςείδος:

τσεκούρι + b = 0. - Γραμμική εξίσωση.
τσεκούρι 2 + bx + c = 0. - Τετραγωνική εξίσωση.
τσεκούρι 4 + bx 2 + c = 0. - Διτετραγωνική εξίσωση.

– Ορθολογική εξίσωση.

– Παράλογη εξίσωση.
Υπάρχουν τέτοιατρόποι επίλυσης εξισώσεωνΠως: αλγεβρική, αριθμητική και γεωμετρική. Ας εξετάσουμε την αλγεβρική μέθοδο.

Λύστε την εξίσωση- αυτό είναι για να βρούμε τέτοιες τιμές του X που, όταν αντικατασταθούν στην αρχική έκφραση, θα μας δώσουν τη σωστή ισότητα ή θα αποδείξουν ότι δεν υπάρχουν λύσεις. Η επίλυση εξισώσεων, αν και δύσκολη, είναι συναρπαστική. Εξάλλου, είναι πραγματικά εκπληκτικό όταν μια ολόκληρη ροή αριθμών εξαρτάται από έναν άγνωστο αριθμό.

Στις εξισώσεις για να βρείτε το άγνωστο, πρέπει να μετασχηματίσετε και να απλοποιήσετε την αρχική έκφραση. Και έτσι κατά την αλλαγή εμφάνισηη ουσία της έκφρασης δεν άλλαξε. Τέτοιοι μετασχηματισμοί ονομάζονται πανομοιότυποι ή ισοδύναμοι.

Κεφάλαιο 1 Επίλυση Εξισώσεων

1.1 Επίλυση γραμμικών εξισώσεων.

Τώρα θα δούμε λύσεις γραμμικών εξισώσεων. Θυμηθείτε ότι μια εξίσωση της μορφήςλέγεται γραμμική εξίσωση ή εξίσωση πρώτου βαθμού αφού με τη μεταβλητή "Χ » το ανώτερο πτυχίο είναι στον πρώτο βαθμό.

Η λύση της γραμμικής εξίσωσης είναι πολύ απλή:

Παράδειγμα 1: Λύστε την εξίσωση 3 x +3=5 x

Μια γραμμική εξίσωση λύνεται μεταφέροντας όρους που περιέχουν άγνωστους στην αριστερή πλευρά του προσδίου ίσου, ελεύθερους συντελεστές στη δεξιά πλευρά του πρόσημου ίσου:

3 x – 5 x = – 3

2 x=-3

x =1,5

Η τιμή της μεταβλητής που μετατρέπει την εξίσωση σε αληθινή ισότητα ονομάζεταιρίζα της εξίσωσης.

Μετά από έλεγχο παίρνουμε:

Άρα το 1,5 είναι η ρίζα της εξίσωσης.

Απάντηση: 1.5.

Επίλυση εξισώσεων με τη μέθοδο μεταφοράς όρων από το ένα μέρος της εξίσωσης στο άλλο, στις οποίες το πρόσημο των όρων αλλάζει στο αντίθετο και χρησιμοποιείταιιδιότητες εξισώσεις - και οι δύο πλευρές μιας εξίσωσης μπορούν να πολλαπλασιαστούν (διαιρεθούν) με τον ίδιο μη μηδενικό αριθμό ή έκφραση, μπορούν να ληφθούν υπόψη κατά την επίλυση των παρακάτω εξισώσεων.

Παράδειγμα 2. Λύστε τις εξισώσεις:

α) 6 x +1=− 4 x ; β) 8+7 x =9 x +4; γ) 4(x −8)=− 5.

Λύση.

α) Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο μεταφοράς λύνουμε

6 x + 4 x = ─1;

10 x=─ 1;

x=─ 1:10;

x=─ 0,1.

Εξέταση:

Απάντηση: –0,1

β) Όπως και στο προηγούμενο παράδειγμα, λύνουμε χρησιμοποιώντας τη μέθοδο μεταφοράς:

Απάντηση: 2.

γ) Στην εξίσωση αυτή, είναι απαραίτητο να ανοίξουμε τις αγκύλες, εφαρμόζοντας την κατανεμητική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την πράξη πρόσθεσης.

Απάντηση: 6,75.

1.2 Τετραγωνικές εξισώσεις

Εξίσωση της φόρμας ονομάζεται τετραγωνική εξίσωση, όπουένα – ανώτερος συντελεστής,σι – μέσος συντελεστής, σ – ελεύθερος όρος.

Ανάλογα με τις πιθανότητεςα, β και γ – η εξίσωση μπορεί να είναι πλήρης ή ατελής, δεδομένη ή μη δεδομένη.

1.2.1 Ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις

Ας εξετάσουμε τρόπους επίλυσης ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων:

1) Ας αρχίσουμε να κατανοούμε τη λύση του πρώτου τύπου ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων για c=0 . Ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις της φόρμας a x 2 +b x=0 σας επιτρέπει να αποφασίσετεμέθοδος παραγοντοποίησης. Ειδικότερα, η μέθοδος bracketing.

Προφανώς, μπορούμε, που βρίσκεται στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης, για την οποία αρκεί να βγάλουμε τον κοινό παράγοντα εκτός παρενθέσεωνΧ . Αυτό μας επιτρέπει να μεταβούμε από την αρχική ημιτελή τετραγωνική εξίσωση σε μια ισοδύναμη εξίσωση της μορφής: x·(a·x+b)=0 .

Και αυτή η εξίσωση είναι ισοδύναμη με τον συνδυασμό δύο εξισώσεων x=0 ή x+b=0 , το τελευταίο από τα οποία είναι γραμμικό και έχει ρίζα x=− .

a x 2 +b x=0 έχει δύο ρίζες

x=0 και x=− .

2) Ας δούμε τώρα πώς λύνονται ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις, στις οποίες ο συντελεστής b είναι μηδέν και c≠0 , δηλαδή εξισώσεις της μορφής a x 2 +c=0 . Γνωρίζουμε ότι η μετακίνηση ενός όρου από τη μια πλευρά της εξίσωσης στην άλλη με το αντίθετο πρόσημο, καθώς και η διαίρεση και των δύο πλευρών της εξίσωσης με έναν μη μηδενικό αριθμό, δίνει μια ισοδύναμη εξίσωση. Επομένως, μπορούμε να πραγματοποιήσουμε τους ακόλουθους ισοδύναμους μετασχηματισμούς της ημιτελούς τετραγωνικής εξίσωσης a x 2 +c=0 :

μεταφέρω από στη δεξιά πλευρά, που δίνει την εξίσωση a x 2 =−c,
και διαιρέστε και τα δύο μέρη μεα , παίρνουμε.

Η εξίσωση που προκύπτει μας επιτρέπει να βγάλουμε συμπεράσματα για τις ρίζες της.

Εάν ο αριθμός – είναι αρνητικό, τότε η εξίσωση δεν έχει ρίζες. Αυτή η δήλωση προκύπτει από το γεγονός ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε αριθμού είναι ένας μη αρνητικός αριθμός.

Αν είναι θετικός αριθμός, τότε η κατάσταση με τις ρίζες της εξίσωσης είναι διαφορετική. Σε αυτή την περίπτωση, πρέπει να θυμάστε ότι υπάρχει μια ρίζα της εξίσωσης, είναι ένας αριθμός. Η ρίζα της εξίσωσης υπολογίζεται σύμφωνα με το ακόλουθο σχήμα:

Είναι γνωστό ότι η αντικατάσταση στην εξίσωση αντί γιαΧ οι ρίζες του μετατρέπουν την εξίσωση σε αληθινή ισότητα.

Ας συνοψίσουμε τις πληροφορίες σε αυτήν την παράγραφο. Ημιτελής τετραγωνική εξίσωση a x 2 +c=0 ισοδυναμεί με την εξίσωση, οι οποίες

3) Λύσεις ημιτελών δευτεροβάθμιων εξισώσεων στις οποίες οι συντελεστέςβ και γ ισούνται με μηδέν, δηλαδή με εξισώσεις της μορφής a x 2 =0. Η εξίσωση a x 2 =0 ακολουθεί x 2 =0 , το οποίο προκύπτει από το πρωτότυπο διαιρώντας και τα δύο μέρη με έναν μη μηδενικό αριθμόένα . Προφανώς, η ρίζα της εξίσωσης x 2 =0 είναι μηδέν, αφού 0 2 =0 . Αυτή η εξίσωση δεν έχει άλλες ρίζες.

Άρα, η ημιτελής τετραγωνική εξίσωση a x 2 =0 έχει μια ενιαία ρίζα x=0.

Παράδειγμα 3. Λύστε τις εξισώσεις: α) x 2 = 5x, αν η εξίσωση έχει πολλές ρίζες, τότε υποδείξτε τη μικρότερη από αυτές στην απάντησή σας;

β) , αν η εξίσωση έχει πολλές ρίζες, τότε υποδείξτε τη μεγαλύτερη από αυτές στην απάντησή σας;

γ) x 2 −9=0, αν η εξίσωση έχει πολλές ρίζες, τότε να αναφέρετε τη μικρότερη από αυτές στην απάντησή σας.

Λύση.

Έχουμε λάβει μια ημιτελή τετραγωνική εξίσωση για την οποία δεν υπάρχει ελεύθερος όρος. Λύνουμε χρησιμοποιώντας τη μέθοδο bracketing.

U Η εξίσωση μπορεί να γίνει με δύο ρίζες, η μικρότερη από τις οποίες είναι 0.

Απάντηση: 0.

σι) . Παρόμοια με το προηγούμενο παράδειγμα, χρησιμοποιούμε τη μέθοδο bracketing

Η απάντηση πρέπει να δείχνει τη μεγαλύτερη από τις ρίζες. Αυτός είναι ο αριθμός 2.

Απάντηση: 2.

V) . Αυτή η εξίσωση είναι μια ημιτελής τετραγωνική εξίσωση που δεν έχει μέσο συντελεστή.

Η μικρότερη από αυτές τις ρίζες είναι ο αριθμός - 3.

Απάντηση: -3.

1.2.2 Πλήρεις τετραγωνικές εξισώσεις.

1. Διακριτικός, βασικός τύπος για τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης

Υπάρχει ένας τύπος ρίζας.

Ας το γράψουμε τύπος για τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης βήμα προς βήμα:

1) D=b 2 −4 a γ - τα λεγόμενα.

α) αν Δ

β) αν D>0, τότε η εξίσωσηδεν έχει μία ρίζα:

γ) αν Δ δεν έχει δύο ρίζες:

Αλγόριθμος επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων με χρήση ριζικών τύπων

Στην πράξη, κατά την επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε αμέσως τον τύπο ρίζας για να υπολογίσετε τις τιμές τους. Αλλά αυτό σχετίζεται περισσότερο με την εύρεση πολύπλοκων ριζών.

Ωστόσο, σε ένα σχολικό μάθημα άλγεβρας συνήθως δεν μιλάμε για σύνθετες, αλλά για πραγματικές ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης. Σε αυτήν την περίπτωση, καλό είναι, πριν χρησιμοποιήσετε τους τύπους για τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης, να βρείτε πρώτα το διαχωριστικό, βεβαιωθείτε ότι είναι μη αρνητικό (διαφορετικά, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες). και μόνο τότε υπολογίστε τις τιμές των ριζών.

Ο παραπάνω συλλογισμός μας επιτρέπει να γράψουμεαλγόριθμος για την επίλυση τετραγωνικής εξίσωσης. Για να λύσετε μια δευτεροβάθμια εξίσωση a x 2 +b x+c=0 , χρειάζεστε:

σύμφωνα με τον τύπο διάκρισης D=b 2 −4 a γ υπολογίστε την αξία του.
Καταλήξτε στο συμπέρασμα ότι μια τετραγωνική εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες εάν η διάκριση είναι αρνητική.
υπολογίστε τη μοναδική ρίζα της εξίσωσης χρησιμοποιώντας τον τύπο αν D=0 ;
Βρείτε δύο πραγματικές ρίζες μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης χρησιμοποιώντας τον τύπο της ρίζας εάν η διάκριση είναι θετική.

2. Διακριτικός, ο δεύτερος τύπος για τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης (με άρτιο δεύτερο συντελεστή).

Να λύσουμε δευτεροβάθμιες εξισώσεις της φόρμας, με άρτιο συντελεστή b=2k υπάρχει άλλη φόρμουλα.

Ας ηχογραφήσουμε ένα νέο τύπος για τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης στο:

1) D’=k 2 −a γ - τα λεγόμεναδιάκριση μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης.

α) αν Δ' δεν έχει πραγματικές ρίζες.

β) αν D’>0, τότε η εξίσωσηδεν έχει μία ρίζα:

γ) αν Δ' δεν έχει δύο ρίζες:

Παράδειγμα 4. Λύστε την 2x εξίσωση 2 −3x+1=0.. Αν η εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, γράψτε τη μεγαλύτερη ρίζα ως απάντησή σας.

Λύση. Στην πρώτη περίπτωση, έχουμε τους ακόλουθους συντελεστές της δευτεροβάθμιας εξίσωσης: a=2 , b=-3 και c=1 D=b 2 −4·a·c=(-3) 2 −4·2·1=9-8=1 . Από 1>0

Εχουμε Πήραμε δύο ρίζες, η μεγαλύτερη από τις οποίες είναι ο αριθμός 1.

Απάντηση: 1.

Παράδειγμα 5. Λύστε την εξίσωση x 2 −21=4x.

Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, γράψτε τη μεγαλύτερη ρίζα ως απάντηση.

Λύση. Κατ' αναλογία με το προηγούμενο παράδειγμα, μετακινούμαστε 4h στην αριστερή πλευρά του πρόσημου ίσου και παίρνουμε:

Στην περίπτωση αυτή έχουμε τους ακόλουθους συντελεστές της δευτεροβάθμιας εξίσωσης: a=1, k=-2 και c=−21 . Σύμφωνα με τον αλγόριθμο, πρέπει πρώτα να υπολογίσετε τη διάκριση D’=k 2 −a·c=(-2) 2 −1·(−21)=4+21=25 . Αριθμός 25>0 , δηλαδή η διάκριση είναι μεγαλύτερη από το μηδέν, τότε η τετραγωνική εξίσωση έχει δύο πραγματικές ρίζες. Ας τα βρούμε χρησιμοποιώντας τον τύπο ρίζας

Απάντηση: 7.

1.2.3 Ειδικές μέθοδοι επίλυσης δευτεροβάθμιων εξισώσεων.

1) Η σχέση μεταξύ των ριζών και των συντελεστών μιας τετραγωνικής εξίσωσης. Το θεώρημα του Βιέτα.

Ο τύπος για τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης εκφράζει τις ρίζες της εξίσωσης μέσω των συντελεστών της. Με βάση τον τύπο ρίζας, μπορείτε να αποκτήσετε άλλες σχέσεις μεταξύ ριζών και συντελεστών.

Ο πιο διάσημος και εφαρμόσιμος τύπος ονομάζεται Θεώρημα Vieta.

Θεώρημα: Έστω - ρίζες της δεδομένης δευτεροβάθμιας εξίσωσης. Τότε το γινόμενο των ριζών είναι ίσο με τον ελεύθερο όρο και το άθροισμα των ριζών είναι ίσο με την αντίθετη τιμή του δεύτερου συντελεστή:

Χρησιμοποιώντας τους ήδη γραμμένους τύπους, μπορείτε να αποκτήσετε έναν αριθμό άλλων συνδέσεων μεταξύ των ριζών και των συντελεστών της τετραγωνικής εξίσωσης. Για παράδειγμα, μπορείτε να εκφράσετε το άθροισμα των τετραγώνων των ριζών μιας τετραγωνικής εξίσωσης ως προς τους συντελεστές της.

Παράδειγμα 6. α) Λύστε την εξίσωση x 2

β) Λύστε την εξίσωση x 2

γ) Να λύσετε την εξίσωση x 2

Λύση.

α) Λύστε την εξίσωση x 2 −6x+5=0. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, σημειώστε τη μικρότερη ρίζα ως απάντησή σας.

Επιλέγοντας τη μικρότερη από τις ρίζες

Απάντηση: 1

β) Λύστε την εξίσωση x 2 +7x+10=0. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, γράψτε τη μεγαλύτερη ρίζα ως απάντηση.

Εφαρμόζοντας το θεώρημα του Vieta, γράφουμε τύπους για τις ρίζες

Συλλογιζόμενοι λογικά, συμπεραίνουμε ότι. Επιλέγοντας τη μεγαλύτερη από τις ρίζες

Απάντηση: ─2.

γ) Να λύσετε την εξίσωση x 2 ─5x─14=0. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, γράψτε τη μεγαλύτερη ρίζα ως απάντηση.

Εφαρμόζοντας το θεώρημα του Vieta, γράφουμε τύπους για τις ρίζες

Συλλογιζόμενοι λογικά, συμπεραίνουμε ότι. Επιλέγοντας τη μικρότερη από τις ρίζες

Απάντηση: ─2.

1.3 Ορθολογικές εξισώσεις

Αν σας δοθεί μια εξίσωση με κλάσματα της μορφήςμε μια μεταβλητή στον αριθμητή ή στον παρονομαστή, τότε μια τέτοια έκφραση ονομάζεται ορθολογική εξίσωση. Ορθολογική εξίσωση είναι κάθε εξίσωση που περιλαμβάνει τουλάχιστον μία ορθολογική έκφραση. Οι ορθολογικές εξισώσεις λύνονται με τον ίδιο τρόπο όπως οποιαδήποτε εξίσωση: οι ίδιες πράξεις εκτελούνται και στις δύο πλευρές της εξίσωσης μέχρι να απομονωθεί η μεταβλητή στη μία πλευρά της εξίσωσης. Ωστόσο, υπάρχουν 2 μέθοδοι για την επίλυση ορθολογικών εξισώσεων.

1) Διασταυρούμενος πολλαπλασιασμός.Εάν είναι απαραίτητο, ξαναγράψτε την εξίσωση που σας δόθηκε έτσι ώστε να υπάρχει ένα κλάσμα (μία ορθολογική έκφραση) σε κάθε πλευρά. μόνο σε αυτή την περίπτωση μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο διασταυρούμενου πολλαπλασιασμού.

Πολλαπλασιάστε τον αριθμητή του αριστερού κλάσματος με τον παρονομαστή του δεξιού. Επαναλάβετε αυτό με τον αριθμητή του δεξιού κλάσματος και τον παρονομαστή του αριστερού.

Ο σταυρός πολλαπλασιασμός βασίζεται σε βασικές αλγεβρικές αρχές. Σε ορθολογικές εκφράσεις και άλλα κλάσματα, μπορείτε να απαλλαγείτε από τον αριθμητή πολλαπλασιάζοντας αναλόγως τους αριθμητές και τους παρονομαστές των δύο κλασμάτων.
Εξισώστε τις παραστάσεις που προκύπτουν και απλοποιήστε τις.
Λύστε την εξίσωση που προκύπτει, δηλαδή βρείτε το "x". Εάν το "x" βρίσκεται και στις δύο πλευρές της εξίσωσης, απομονώστε το στη μία πλευρά της εξίσωσης.

2) Ελάχιστα κοινό παρονομαστήΤο (NOZ) χρησιμοποιείται για την απλοποίηση αυτής της εξίσωσης.Αυτή η μέθοδος χρησιμοποιείται όταν δεν μπορείτε να γράψετε μια δεδομένη εξίσωση με μια ορθολογική έκφραση σε κάθε πλευρά της εξίσωσης (και να χρησιμοποιήσετε τη σταυρωτή μέθοδο πολλαπλασιασμού). Αυτή η μέθοδος χρησιμοποιείται όταν σας δίνεται μια ορθολογική εξίσωση με 3 ή περισσότερα κλάσματα (στην περίπτωση δύο κλασμάτων, είναι καλύτερο να χρησιμοποιήσετε διασταυρούμενο πολλαπλασιασμό).

Βρείτε τον μικρότερο κοινό παρονομαστή των κλασμάτων (ή το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο).NOZ είναι μικρότερος αριθμός, το οποίο διαιρείται ομοιόμορφα με κάθε παρονομαστή.
Πολλαπλασιάστε και τον αριθμητή και τον παρονομαστή κάθε κλάσματος με έναν αριθμό ίσο με το αποτέλεσμα της διαίρεσης του NOC με τον αντίστοιχο παρονομαστή κάθε κλάσματος.
Βρείτε το x. Τώρα που έχετε μειώσει τα κλάσματα σε κοινό παρονομαστή, μπορείτε να απαλλαγείτε από τον παρονομαστή. Για να το κάνετε αυτό, πολλαπλασιάστε κάθε πλευρά της εξίσωσης με τον κοινό παρονομαστή. Στη συνέχεια, λύστε την εξίσωση που προκύπτει, δηλαδή βρείτε το "x". Για να το κάνετε αυτό, απομονώστε τη μεταβλητή στη μία πλευρά της εξίσωσης.

Παράδειγμα 7. Λύστε τις εξισώσεις: α); προ ΧΡΙΣΤΟΥ) .

Λύση.

ΕΝΑ) . Χρησιμοποιούμε τη μέθοδο του σταυρωτού πολλαπλασιασμού.

Ανοίγουμε τις αγκύλες και παρουσιάζουμε παρόμοιους όρους.

πήρε μια γραμμική εξίσωση με έναν άγνωστο

Απάντηση: ─10.

σι) , όπως και στο προηγούμενο παράδειγμα, εφαρμόζουμε τη μέθοδο πολλαπλασιασμού cross-by-cross.

Απάντηση: ─1.9.

V) , χρησιμοποιούμε τη μέθοδο του ελάχιστου κοινού παρονομαστή (LCD).

Σε αυτό το παράδειγμα, ο κοινός παρονομαστής θα ήταν 12.

Απάντηση: 5.

Κεφάλαιο 2 Μιγαδικές Εξισώσεις

Οι εξισώσεις που ανήκουν στην κατηγορία των μιγαδικών εξισώσεων μπορούν να συνδυάσουν διάφορες μεθόδους και τεχνικές επίλυσης. Αλλά, με τον ένα ή τον άλλο τρόπο, όλες οι εξισώσεις με τη μέθοδο του λογικού συλλογισμού και των ισοδύναμων ενεργειών οδηγούν σε εξισώσεις που είχαν μελετηθεί προηγουμένως.

Παράδειγμα 7. Λύστε την εξίσωση ( x +3) 2 =(x +8) 2 .

Λύση. Χρησιμοποιώντας τους συντομευμένους τύπους πολλαπλασιασμού, θα ανοίξουμε τις αγκύλες:

Μεταφέρουμε όλους τους όρους πέρα από το πρόσημο ίσου και φέρνουμε παρόμοιους,

Απάντηση: 5.5.

Παράδειγμα 8. Λύστε τις εξισώσεις: α)(− 5 x +3)(− x +6)=0, β) (x +2)(− x +6)=0.

Λύση.

α)(− 5 x +3)(− x +6)=0; Ας ανοίξουμε τις αγκύλες και ας παρουσιάσουμε παρόμοιους όρους

έχουμε αποκτήσει μια πλήρη τετραγωνική εξίσωση, την οποία θα λύσουμε μέσω του πρώτου τύπου διάκρισης

η εξίσωση έχει δύο ρίζες

Απάντηση: 0,6 και 6.

β) (x +2)(− x +6)=0, για αυτήν την εξίσωση θα κάνουμε λογικό συλλογισμό (το γινόμενο είναι ίσο με μηδέν όταν ένας από τους παράγοντες είναι ίσος με μηδέν). Που σημαίνει

Απάντηση: ─2 και 6.

Παράδειγμα 9. Λύστε τις εξισώσεις:, β) .

Λύση. Ας βρούμε τον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή

Ας γράψουμε με φθίνουσα σειρά βαθμών της μεταβλητής

; έλαβε μια πλήρη τετραγωνική εξίσωση με άρτιο δεύτερο συντελεστή

Η εξίσωση έχει δύο πραγματικές ρίζες

Απάντηση: .

σι) . Ο συλλογισμός είναι παρόμοιος με το α). Εύρεση NPD

Ανοίγουμε τις αγκύλες και παρουσιάζουμε παρόμοιους όρους

να λύσετε την πλήρη τετραγωνική εξίσωση μέσω του γενικού τύπου

Απάντηση: .

Παράδειγμα 10. Λύστε τις εξισώσεις:

Λύση.

ΕΝΑ) , Σημειώνουμε ότι στην αριστερή πλευρά, η έκφραση μέσα στις αγκύλες αντιπροσωπεύει τον τύπο του συντετμημένου πολλαπλασιασμού, πιο συγκεκριμένα το τετράγωνο του αθροίσματος δύο παραστάσεων. Ας το μεταμορφώσουμε

; μετακινήστε τους όρους αυτής της εξίσωσης στη μία πλευρά

ας το βάλουμε εκτός παρένθεσης

Το γινόμενο είναι μηδέν όταν ένας από τους παράγοντες είναι μηδέν. Που σημαίνει,

Απάντηση: ─2, ─1 και 1.

σι) Συλλογίζουμε με τον ίδιο τρόπο όπως για παράδειγμα α)

, από το θεώρημα του Vieta

Απάντηση:

Παράδειγμα 11. Λύστε εξισώσεις α)

Λύση.

ΕΝΑ) ; [στην αριστερή και δεξιά πλευρά της εξίσωσης μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο αφαίρεσης αγκύλων και στην αριστερή πλευρά θα βγάλουμε, και στη δεξιά πλευρά βάζουμε τον αριθμό 16.]

[ας μετακινήσουμε τα πάντα στη μία πλευρά και ας εφαρμόσουμε ξανά τη μέθοδο bracketing. Θα βγάλουμε τον κοινό παράγοντα]

[το γινόμενο είναι μηδέν όταν ένας από τους παράγοντες είναι μηδέν.]

Απάντηση:

σι) . [Αυτή η εξίσωση είναι παρόμοια με την εξίσωση α). Επομένως, σε αυτήν την περίπτωση, εφαρμόζουμε τη μέθοδο ομαδοποίησης]

Απάντηση:

Παράδειγμα 12. Λύστε την εξίσωση=0.

Λύση.

0 [διτετραγωνική εξίσωση. Επιλύεται με αλλαγή μεταβλητής μεθόδου].

0; [Εφαρμόζοντας το θεώρημα του Vieta παίρνουμε τις ρίζες]

. [επιστροφή στις προηγούμενες μεταβλητές]

Απάντηση:

Παράδειγμα 13. Λύστε την εξίσωση

Λύση. [διτετραγωνική εξίσωση, απαλλαγούμε από ζυγές δυνάμεις χρησιμοποιώντας πρόσημα συντελεστή.]

[λάβαμε δύο τετραγωνικές εξισώσεις, τις οποίες λύνουμε χρησιμοποιώντας τον βασικό τύπο για τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης]

καμία εξίσωση πραγματικών ριζών δεν έχει δύο ρίζες

Απάντηση:

Παράδειγμα 14. Λύστε την εξίσωση

Λύση.

ODZ:

[μεταφέρετε όλους τους όρους της εξίσωσης στην αριστερή πλευρά και φέρτε παρόμοιους όρους]

[Πήραμε τη μειωμένη τετραγωνική εξίσωση, η οποία λύνεται εύκολα χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta]

Ο αριθμός – 1 δεν ικανοποιεί το ODZ της δεδομένης εξίσωσης, επομένως δεν μπορεί να είναι η ρίζα αυτής της εξίσωσης. Αυτό σημαίνει ότι μόνο ο αριθμός 7 είναι η ρίζα.

Απάντηση: 7.

Παράδειγμα 15. Λύστε την εξίσωση

Λύση.

Το άθροισμα των τετραγώνων δύο παραστάσεων μπορεί να είναι ίσο με μηδέν μόνο εάν οι παραστάσεις είναι ίσες με μηδέν ταυτόχρονα. Και συγκεκριμένα

[Λύνουμε κάθε εξίσωση ξεχωριστά]

Με το θεώρημα του Vieta

Η σύμπτωση των ριζών ίση με –5 θα είναι η ρίζα της εξίσωσης.

Απάντηση: – 5.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ

Συνοψίζοντας τα αποτελέσματα της εργασίας που έγινε, μπορούμε να συμπεράνουμε: οι εξισώσεις παίζουν τεράστιο ρόλο στην ανάπτυξη των μαθηματικών. Συστηματοποιήσαμε τη γνώση που αποκτήθηκε και συνοψίσαμε το υλικό που καλύφθηκε. Αυτή η γνώση μπορεί να μας προετοιμάσει για τις επερχόμενες εξετάσεις.

Η δουλειά μας δίνει τη δυνατότητα να ρίξουμε μια διαφορετική ματιά στις εργασίες που μας θέτουν τα μαθηματικά.

στο τέλος του έργου, συστηματοποιήσαμε και γενικεύσαμε τις μεθόδους επίλυσης εξισώσεων που μελετήθηκαν προηγουμένως.
εξοικειώθηκε με νέους τρόπους επίλυσης εξισώσεων και ιδιότητες εξισώσεων.

Εξετάσαμε όλους τους τύπους εξισώσεων που περιλαμβάνονται στις εργασίες του OGE τόσο στο πρώτο μέρος όσο και στο δεύτερο μέρος.
Δημιουργήσαμε μια μεθοδολογική συλλογή «Εξισώσεις σε εργασίες OGE».

Πιστεύουμε ότι ο στόχος που έχει τεθεί για εμάς είναι να εξετάσουμε όλους τους τύπους εξισώσεων στις εργασίες του κύριου κρατική εξέτασηστα μαθηματικά έχουμε πετύχει.

Λίστα χρησιμοποιημένης βιβλιογραφίας:

1. B.V. Gnedenko «Τα μαθηματικά στο σύγχρονος κόσμος" Μόσχα "Διαφωτισμός" 1980

2. Ya.I. Perelman "Διασκεδαστική άλγεβρα." Μόσχα "Επιστήμη" 1978

6. http://tutorial.math.lamar.edu

7. http://www.regentsprep.org

8. http://www.fipi.ru

Παράρτημα 1

Γραμμικές εξισώσεις

1. Βρείτε τη ρίζα της εξίσωσης

2. Βρείτε τη ρίζα της εξίσωσης

3. Βρείτε τη ρίζα της εξίσωσης

Παράρτημα 2

Ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις

1. Λύστε την εξίσωση x 2 =5x. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, σημειώστε τη μικρότερη ρίζα ως απάντησή σας.

2. Λύστε την εξίσωση 2x 2 =8x. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, σημειώστε τη μικρότερη ρίζα ως απάντησή σας.

3. Λύστε την 3x εξίσωση 2 =9x. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, σημειώστε τη μικρότερη ρίζα ως απάντησή σας.

4. Λύστε την 4x εξίσωση 2 =20x. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, σημειώστε τη μικρότερη ρίζα ως απάντησή σας.

5. Λύστε την εξίσωση 5x 2 =35x. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, σημειώστε τη μικρότερη ρίζα ως απάντησή σας.

6. Λύστε την εξίσωση 6x 2 =36x. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, σημειώστε τη μικρότερη ρίζα ως απάντησή σας.

7. Λύστε την εξίσωση 7x 2 =42x. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, σημειώστε τη μικρότερη ρίζα ως απάντησή σας.

8. Λύστε την εξίσωση 8x 2 =72x. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, σημειώστε τη μικρότερη ρίζα ως απάντησή σας.

9. Λύστε την εξίσωση 9x 2 =54x. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, σημειώστε τη μικρότερη ρίζα ως απάντησή σας.

10. Λύστε την εξίσωση 10x2 =80x. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, σημειώστε τη μικρότερη ρίζα ως απάντησή σας.

11. Λύστε την 5x εξίσωση2 −10x=0. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, γράψτε τη μεγαλύτερη ρίζα ως απάντηση.

12. Λύστε την 3x εξίσωση2 −9x=0. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, γράψτε τη μεγαλύτερη ρίζα ως απάντηση.

13. Λύστε την 4x εξίσωση2 −16x=0. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, γράψτε τη μεγαλύτερη ρίζα ως απάντηση.

14. Λύστε την 5x εξίσωση2 +15x=0. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, σημειώστε τη μικρότερη ρίζα ως απάντησή σας.

15. Λύστε την 3x εξίσωση2 +18x=0. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, σημειώστε τη μικρότερη ρίζα ως απάντησή σας.

16. Λύστε την εξίσωση 6x2 +24x=0. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, σημειώστε τη μικρότερη ρίζα ως απάντησή σας.

17. Λύστε την 4x εξίσωση2 −20x=0. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, γράψτε τη μεγαλύτερη ρίζα ως απάντηση.

18. Λύστε την 5x εξίσωση2 +20x=0. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, σημειώστε τη μικρότερη ρίζα ως απάντησή σας.

19. Λύστε την εξίσωση 7x2 −14x=0. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, γράψτε τη μεγαλύτερη ρίζα ως απάντηση.

20. Λύστε την 3x εξίσωση2 +12x=0. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, σημειώστε τη μικρότερη ρίζα ως απάντησή σας.

21. Λύστε την εξίσωση x2 −9=0. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, σημειώστε τη μικρότερη ρίζα ως απάντησή σας.

22. Λύστε την εξίσωση x2 −121=0. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, σημειώστε τη μικρότερη ρίζα ως απάντησή σας.

23. Λύστε την εξίσωση x2 −16=0. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, σημειώστε τη μικρότερη ρίζα ως απάντησή σας.

24. Λύστε την εξίσωση x2 −25=0. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, σημειώστε τη μικρότερη ρίζα ως απάντησή σας.

25. Λύστε την εξίσωση x2 −49=0. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, σημειώστε τη μικρότερη ρίζα ως απάντησή σας.

26. Λύστε την εξίσωση x2 −81=0. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, σημειώστε τη μικρότερη ρίζα ως απάντησή σας.

27. Λύστε την εξίσωση x2 −4=0. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, σημειώστε τη μικρότερη ρίζα ως απάντησή σας.

28. Λύστε την εξίσωση x2 −64=0. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, σημειώστε τη μικρότερη ρίζα ως απάντησή σας.

29. Λύστε την εξίσωση x2 −36=0. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, σημειώστε τη μικρότερη ρίζα ως απάντησή σας.

30. Λύστε την εξίσωση x2 −144=0. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, σημειώστε τη μικρότερη ρίζα ως απάντησή σας.

31. Λύστε την εξίσωση x2 −9=0. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, γράψτε τη μεγαλύτερη ρίζα ως απάντηση.

32. Λύστε την εξίσωση x2 −121=0. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, γράψτε τη μεγαλύτερη ρίζα ως απάντηση.

33. Λύστε την εξίσωση x2 −16=0. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, γράψτε τη μεγαλύτερη ρίζα ως απάντηση.

34. Λύστε την εξίσωση x2 −25=0. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, γράψτε τη μεγαλύτερη ρίζα ως απάντηση.

35. Λύστε την εξίσωση x2 −49=0. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, γράψτε τη μεγαλύτερη ρίζα ως απάντηση.

36. Λύστε την εξίσωση x2 −81=0. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, γράψτε τη μεγαλύτερη ρίζα ως απάντηση.

37. Λύστε την εξίσωση x2 −4=0. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, γράψτε τη μεγαλύτερη ρίζα ως απάντηση.

38. Λύστε την εξίσωση x2 −64=0. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, γράψτε τη μεγαλύτερη ρίζα ως απάντηση.

39. Λύστε την εξίσωση x2 −36=0. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, γράψτε τη μεγαλύτερη ρίζα ως απάντηση.

40. Λύστε την εξίσωση x2 −144=0. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, γράψτε τη μεγαλύτερη ρίζα ως απάντηση.

Παράρτημα 3

Πλήρεις τετραγωνικές εξισώσεις

1. Λύστε την εξίσωση x2 +3x=10. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, γράψτε τη μεγαλύτερη ρίζα ως απάντηση.

2. Λύστε την εξίσωση x2 +7x=18. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, γράψτε τη μεγαλύτερη ρίζα ως απάντηση.

3. Λύστε την εξίσωση x2 +2x=15. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, σημειώστε τη μικρότερη ρίζα ως απάντησή σας.

4. Λύστε την εξίσωση x2 −6x=16. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, σημειώστε τη μικρότερη ρίζα ως απάντησή σας.

5. Λύστε την εξίσωση x2 −3x=18. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, γράψτε τη μεγαλύτερη ρίζα ως απάντηση.

6. Λύστε την εξίσωση x2 −18=7x. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, γράψτε τη μεγαλύτερη ρίζα ως απάντηση.

7. Λύστε την εξίσωση x2 +4x=21. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, σημειώστε τη μικρότερη ρίζα ως απάντησή σας.

8. Λύστε την εξίσωση x2 −21=4x. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, γράψτε τη μεγαλύτερη ρίζα ως απάντηση.

9. Λύστε την εξίσωση x2 −15=2x. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, σημειώστε τη μικρότερη ρίζα ως απάντησή σας.

10. Λύστε την εξίσωση x2 −5x=14. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, γράψτε τη μεγαλύτερη ρίζα ως απάντηση.

11. Λύστε την εξίσωση x2 +6=5x. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, σημειώστε τη μικρότερη ρίζα ως απάντησή σας.

12. Λύστε την εξίσωση x2 +4=5x. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, γράψτε τη μεγαλύτερη ρίζα ως απάντηση.

13. Λύστε την εξίσωση x2 −x=12. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, γράψτε τη μεγαλύτερη ρίζα ως απάντηση.

14. Λύστε την εξίσωση x2 +4x=5. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, σημειώστε τη μικρότερη ρίζα ως απάντησή σας.

15. Λύστε την εξίσωση x2 −7x=8. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, γράψτε τη μεγαλύτερη ρίζα ως απάντηση.

16. Λύστε την εξίσωση x2 +7=8x. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, σημειώστε τη μικρότερη ρίζα ως απάντησή σας.

17. Λύστε την εξίσωση x2 +18=9x. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, σημειώστε τη μικρότερη ρίζα ως απάντησή σας.

18. Λύστε την εξίσωση x2 +10=7x. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, γράψτε τη μεγαλύτερη ρίζα ως απάντηση.

19. Λύστε την εξίσωση x2 −20=x. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, γράψτε τη μεγαλύτερη ρίζα ως απάντηση.

20. Λύστε την εξίσωση x2 −35=2x. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, σημειώστε τη μικρότερη ρίζα ως απάντησή σας.

21. Λύστε την εξίσωση 2x2 −3x+1=0. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, σημειώστε τη μικρότερη ρίζα ως απάντησή σας.

22. Λύστε την 5x εξίσωση2 +4x−1=0. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, γράψτε τη μεγαλύτερη ρίζα ως απάντηση.

23. Λύστε την εξίσωση 2x2 +5x−7=0. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, σημειώστε τη μικρότερη ρίζα ως απάντησή σας.

24. Λύστε την εξίσωση 5x2 −12x+7=0. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, γράψτε τη μεγαλύτερη ρίζα ως απάντηση.

25. Λύστε την 5x εξίσωση2 −9x+4=0. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, σημειώστε τη μικρότερη ρίζα ως απάντησή σας.

26. Λύστε την εξίσωση 8x2 −12x+4=0. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, σημειώστε τη μικρότερη ρίζα ως απάντησή σας.

27. Λύστε την εξίσωση 8x2 −10x+2=0. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, σημειώστε τη μικρότερη ρίζα ως απάντησή σας.

28. Λύστε την εξίσωση 6x2 −9x+3=0. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, σημειώστε τη μικρότερη ρίζα ως απάντησή σας.

29. Λύστε την 5x εξίσωση2 +9x+4=0. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, γράψτε τη μεγαλύτερη ρίζα ως απάντηση.

30. Λύστε την 5x εξίσωση2 +8x+3=0. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, γράψτε τη μεγαλύτερη ρίζα ως απάντηση.

31. Λύστε την εξίσωση x2 −6x+5=0. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, σημειώστε τη μικρότερη ρίζα ως απάντησή σας.

32. Λύστε την εξίσωση x2 −7x+10=0. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, σημειώστε τη μικρότερη ρίζα ως απάντησή σας.

33. Λύστε την εξίσωση x2 −9x+18=0. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, σημειώστε τη μικρότερη ρίζα ως απάντησή σας.

34. Λύστε την εξίσωση x2 −10x+24=0. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, σημειώστε τη μικρότερη ρίζα ως απάντησή σας.

35. Λύστε την εξίσωση x2 −11x+30=0. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, σημειώστε τη μικρότερη ρίζα ως απάντησή σας.

36. Λύστε την εξίσωση x2 −8x+12=0. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, γράψτε τη μεγαλύτερη ρίζα ως απάντηση.

37. Λύστε την εξίσωση x2 −10x+21=0. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, γράψτε τη μεγαλύτερη ρίζα ως απάντηση.

38. Λύστε την εξίσωση x2 −9x+8=0. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, γράψτε τη μεγαλύτερη ρίζα ως απάντηση.

39. Λύστε την εξίσωση x2 −11x+18=0. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, γράψτε τη μεγαλύτερη ρίζα ως απάντηση.

40. Λύστε την εξίσωση x2 −12x+20=0. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, γράψτε τη μεγαλύτερη ρίζα ως απάντηση.

Παράρτημα 4.

Ορθολογικές εξισώσεις.

1. Βρείτε τη ρίζα της εξίσωσης

2. Βρείτε τη ρίζα της εξίσωσης

3. Βρείτε τη ρίζα της εξίσωσης

4. Βρείτε τη ρίζα της εξίσωσης

5. Βρείτε τη ρίζα της εξίσωσης

6. Βρείτε τη ρίζα της εξίσωσης.

7. Βρείτε τη ρίζα της εξίσωσης

8. Βρείτε τη ρίζα της εξίσωσης

9. Να βρείτε τη ρίζα της εξίσωσης.

10. Να βρείτε τη ρίζα της εξίσωσης

11. Να βρείτε τη ρίζα της εξίσωσης.

12. Να βρείτε τη ρίζα της εξίσωσης

13. Να βρείτε τη ρίζα της εξίσωσης

14. Να βρείτε τη ρίζα της εξίσωσης

15. Να βρείτε τη ρίζα της εξίσωσης

16. Να βρείτε τη ρίζα της εξίσωσης

17. Να βρείτε τη ρίζα της εξίσωσης

18. Να βρείτε τη ρίζα της εξίσωσης

19. Να βρείτε τη ρίζα της εξίσωσης

20. Να βρείτε τη ρίζα της εξίσωσης

21. Να βρείτε τη ρίζα της εξίσωσης

22. Να βρείτε τη ρίζα της εξίσωσης

23. Να βρείτε τη ρίζα της εξίσωσης

Παράρτημα 5

Μιγαδικές εξισώσεις.

1. Βρείτε τη ρίζα της εξίσωσης (x+3)2 =(x+8)2 .

2. Να βρείτε τη ρίζα της εξίσωσης (x−5)2 =(x+10)2 .

3. Βρείτε τη ρίζα της εξίσωσης (x+9)2 =(x+6)2 .

4. Βρείτε τη ρίζα της εξίσωσης (x+10)2 =(x−9)2 .

5. Να βρείτε τη ρίζα της εξίσωσης (x−5)2 =(x−8)2 .

6. Βρείτε τη ρίζα της εξίσωσης.

7.Βρείτε τη ρίζα της εξίσωσης.

8. Βρείτε τη ρίζα της εξίσωσης.

9. Να βρείτε τη ρίζα της εξίσωσης.

10. Να βρείτε τη ρίζα της εξίσωσης.

11. Λύστε την εξίσωση (x+2)(− x+6)=0. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, σημειώστε τη μικρότερη ρίζα ως απάντησή σας.

12. Λύστε την εξίσωση (x+3)(− x−2)=0. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, σημειώστε τη μικρότερη ρίζα ως απάντησή σας.

13. Λύστε την εξίσωση (x−11)(− x+9)=0. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, σημειώστε τη μικρότερη ρίζα ως απάντησή σας.

14. Λύστε την εξίσωση (x−1)(− x−4)=0. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, σημειώστε τη μικρότερη ρίζα ως απάντησή σας.

15. Λύστε την εξίσωση (x−2)(− x−1)=0. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, σημειώστε τη μικρότερη ρίζα ως απάντησή σας.

16. Λύστε την εξίσωση (x+20)(− x+10)=0. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, γράψτε τη μεγαλύτερη ρίζα ως απάντηση.

17. Λύστε την εξίσωση (x−2)(− x−3)=0. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, γράψτε τη μεγαλύτερη ρίζα ως απάντηση.

18. Λύστε την εξίσωση (x−7)(− x+2)=0. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, γράψτε τη μεγαλύτερη ρίζα ως απάντηση.

19. Λύστε την εξίσωση (x−5)(− x−10)=0. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, γράψτε τη μεγαλύτερη ρίζα ως απάντηση.

20. Λύστε την εξίσωση (x+10)(− x−8)=0. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, γράψτε τη μεγαλύτερη ρίζα ως απάντηση.

21. Λύστε την εξίσωση (− 5x+3)(− x+6)=0. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, σημειώστε τη μικρότερη ρίζα ως απάντησή σας.

22. Λύστε την εξίσωση (− 2x+1)(− 2x−7)=0. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, σημειώστε τη μικρότερη ρίζα ως απάντησή σας.

23. Λύστε την εξίσωση (− x−4)(3x+3)=0. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, γράψτε τη μεγαλύτερη ρίζα ως απάντηση.

24. Λύστε την εξίσωση (x−6)(4x−6)=0. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, σημειώστε τη μικρότερη ρίζα ως απάντησή σας.

25. Λύστε την εξίσωση (− 5x−3)(2x−1)=0. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, σημειώστε τη μικρότερη ρίζα ως απάντησή σας.

26. Λύστε την εξίσωση (x−2)(− 2x−3)=0. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, σημειώστε τη μικρότερη ρίζα ως απάντησή σας.

27. Λύστε την εξίσωση (5x+2)(− x−4)=0. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, γράψτε τη μεγαλύτερη ρίζα ως απάντηση.

28. Λύστε την εξίσωση (x−6)(− 5x−9)=0. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, σημειώστε τη μικρότερη ρίζα ως απάντησή σας.

29. Λύστε την εξίσωση (6x−3)(− x+3)=0. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, γράψτε τη μεγαλύτερη ρίζα ως απάντηση.

30. Λύστε την εξίσωση (5x−2)(− x+3)=0. Εάν μια εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, σημειώστε τη μικρότερη ρίζα ως απάντησή σας.

31. Λύστε την εξίσωση

32. Λύστε την εξίσωση

33. Λύστε την εξίσωση

34. Λύστε την εξίσωση

35. Λύστε την εξίσωση

36. Λύστε την εξίσωση

37. Λύστε την εξίσωση

38. Λύστε την εξίσωση

39. Λύστε την εξίσωση

40 Λύστε την εξίσωση

41. Λύστε την εξίσωση x(x2 +2x+1)=2(x+1).

42. Λύστε την εξίσωση (x−1)(x2 +4x+4)=4(x+2).

43. Λύστε την εξίσωση x(x2 +6x+9)=4(x+3).

44. Λύστε την εξίσωση (x−1)(x2 +8x+16)=6(x+4).

45. Λύστε την εξίσωση x(x2 +2x+1)=6(x+1).

46. Λύστε την εξίσωση (x−1)(x2 +6x+9)=5(x+3).

47. Λύστε την εξίσωση (x−2)(x2 +8x+16)=7(x+4).

48. Λύστε την εξίσωση x(x2 +4x+4)=3(x+2).

49. Λύστε την εξίσωση (x−2)(x2 +2x+1)=4(x+1).

50. Λύστε την εξίσωση (x−2)(x2 +6x+9)=6(x+3).

51. Λύστε την εξίσωση (x+2)4 −4(x+2)2 −5=0.

52. Λύστε την εξίσωση (x+1)4 +(x+1)2 −6=0.

53. Λύστε την εξίσωση (x+3)4 +2(x+3)2 −8=0.

54. Λύστε την εξίσωση (x−1)4 −2(x−1)2 −3=0.

55. Λύστε την εξίσωση (x−2)4 −(x−2)2 −6=0.

56. Λύστε την εξίσωση (x−3)4 −3(x−3)2 −10=0.

57. Λύστε την εξίσωση (x+4)4 −6(x+4)2 −7=0.
58. Λύστε την εξίσωση (x−4)4 −4(x−4)2 −21=0.

59. Λύστε την εξίσωση (x+2)4 +(x+2)2 −12=0.

60. Λύστε την εξίσωση (x−2)4 +3(x−2)2 −10=0.

61. Λύστε την εξίσωση x3 +3x2 =16x+48.

62. Λύστε την εξίσωση x3 +4x2 =4x+16.

63. Λύστε την εξίσωση x3 +6x2 =4x+24.

64. Λύστε την εξίσωση x3 +6x2 =9x+54.

65. Λύστε την εξίσωση x3 +3x2 =4x+12.

66. Λύστε την εξίσωση x3 +2x2 =9x+18.

67. Λύστε την εξίσωση x3 +7x2 =4x+28.

68. Λύστε την εξίσωση x3 +4x2 =9x+36.

69. Λύστε την εξίσωση x3 +5x2 =4x+20.

70. Λύστε την εξίσωση x3 +5x2 =9x+45.

71. Λύστε την εξίσωση x3 +3x2 −x−3=0.

72. Λύστε την εξίσωση x3 +4x2 −4x−16=0.

73. Λύστε την εξίσωση x3 +5x2 −x−5=0.

74. Λύστε την εξίσωση x3 +2x2 −x−2=0.

75. Λύστε την εξίσωση x3 +3x2 −4x−12=0.

76. Λύστε την εξίσωση x3 +2x2 −9x−18=0.

77. Λύστε την εξίσωση x3 +4x2 −x−4=0.

78. Λύστε την εξίσωση x3 +4x2 −9x−36=0.

79. Λύστε την εξίσωση x3 +5x2 −4x−20=0.
80. Λύστε την εξίσωση x3 +5x2 −9x−45=0.

81. Λύστε την εξίσωση x4 =(x−20)2 .

82. Λύστε την εξίσωση x4 =(2x−15)2 .

83. Λύστε την εξίσωση x4 =(3x−10)2 .

84. Λύστε την εξίσωση x4 =(4x−5)2 .

85. Λύστε την εξίσωση x4 =(x−12)2 .

86. Λύστε την εξίσωση x4 =(2x−8)2 .

87. Λύστε την εξίσωση x4 =(3x−4)2 .

88. Λύστε την εξίσωση x4 =(x−6)2 .

89. Λύστε την εξίσωση x4 =(2x−3)2 .

90. Λύστε την εξίσωση x4 =(x−2)2 .

91. Λύστε την εξίσωση

92. Λύστε την εξίσωση

93. Λύστε την εξίσωση

94. Λύστε την εξίσωση

95. Λύστε την εξίσωση

96. Λύστε την εξίσωση

97. Λύστε την εξίσωση

98. Λύστε την εξίσωση

99. Λύστε την εξίσωση

100. Λύστε την εξίσωση

101. Λύστε την εξίσωση.

102. Λύστε την εξίσωση

103. Λύστε την εξίσωση

104. Λύστε την εξίσωση

105. Λύστε την εξίσωση

106. Λύστε την εξίσωση

107. Λύστε την εξίσωση

108. Λύστε την εξίσωση

109. Λύστε την εξίσωση

110. Λύστε την εξίσωση

! Από τη θεωρία στην πράξη.

! Από απλό σε σύνθετο

MAOU "Γυμνάσιο Platoshin",

καθηγήτρια μαθηματικών, Melekhina G.V.

Γενική μορφήγραμμική εξίσωση: τσεκούρι + σι = 0 ,

Οπου έναΚαι σι– αριθμοί (συντελεστές).

Αν a = 0Και b = 0, Οτι 0x + 0 = 0 – άπειρες ρίζες.
Αν a = 0Και b ≠ 0, Οτι 0x + b = 0– δεν υπάρχουν λύσεις.
Αν a ≠ 0Και σι = 0 , Οτι τσεκούρι + 0 = 0 – μία ρίζα, x = 0;
Αν a ≠ 0Και σι ≠ 0 , Οτι τσεκούρι + σι = 0 - μια ρίζα,

! Αν το Χ είναι στην πρώτη δύναμη και δεν είναι στον παρονομαστή, τότε είναι γραμμική εξίσωση

! Και αν η γραμμική εξίσωση είναι συγκρότημα :

! Οι όροι με Χ πηγαίνουν προς τα αριστερά, χωρίς Χ - προς τα δεξιά.

! Αυτές οι εξισώσεις είναι επίσης γραμμικό .

! Η κύρια ιδιότητα της αναλογίας (σταυροειδώς).

! Ανοίξτε τις αγκύλες, με το Χ προς τα αριστερά, χωρίς το Χ προς τα δεξιά.

αν ο συντελεστής α = 1, τότε καλείται η εξίσωση δεδομένος :

αν ο συντελεστής σι = 0 ή/και c = 0, τότε καλείται η εξίσωση ατελής :

! Βασικοί τύποι

! Περισσότερες φόρμουλες

Διτετραγωνική εξίσωση- ονομάζεται εξίσωση της μορφής τσεκούρι 4 +bx 2 + c = 0 .

Η διτετραγωνική εξίσωση μειώνεται σε τετραγωνική εξίσωσηχρησιμοποιώντας αντικατάσταση, λοιπόν

Παίρνουμε μια τετραγωνική εξίσωση:

Ας βρούμε τις ρίζες και ας επιστρέψουμε στην αντικατάσταση:

Παράδειγμα 1:

Λύστε την εξίσωση x 4 + 5x 2 – 36 = 0.

Λύση:

Αντικατάσταση: x 2 = t.

t 2 + 5t – 36 = 0. Οι ρίζες της εξίσωσης είναι t 1 = -9 και t 2 = 4.

x 2 = -9 ή x 2 = 4.

Απάντηση: Δεν υπάρχουν ρίζες στην πρώτη εξίσωση, αλλά στη δεύτερη: x = ±2.

Παράδειγμα 2:

Λύστε την εξίσωση (2x – 1) 4 – 25 (2x – 1) 2 + 144 = 0.

Λύση:

Αλλαγή: (2x – 1) 2 = t.

t 2 – 25t + 144 = 0. Οι ρίζες της εξίσωσης είναι t 1 = 9 και t 2 = 16.

(2x – 1) 2 = 9 ή (2x – 1) 2 = 16.

2x – 1 = ±3 ή 2x – 1 = ±4.

Η πρώτη εξίσωση έχει δύο ρίζες: x = 2 και x = -1, η δεύτερη έχει επίσης δύο ρίζες: x = 2,5 και x = -1,5.

Απάντηση: -1,5; -1; 2; 2.5.

1) Χ 4 - 9 Χ 2 = 0; 2) 4 Χ 4 - x 2 = 0;

1) Χ 4 + x 2 - 2 = 0;

2) Χ 4 - 3 Χ 2 - 4 = 0; 3) 9 Χ 4 + 8 Χ 2 - 1 = 0; 4) 20 Χ 4 - Χ 2 - 1 = 0.

Λύστε εξισώσεις επιλέγοντας από την αριστερή πλευρά πλήρες τετράγωνο :

1) Χ 4 - 20 Χ 2 + 64 = 0; 2) Χ 4 - 13 Χ 2 + 36 = 0; 3) Χ 4 - 4 Χ 2 + 1 = 0; 4) Χ 4 + 2 Χ 2 +1 = 0.

! Θυμηθείτε το τετράγωνο του αθροίσματος και το τετράγωνο της διαφοράς

Ορθολογική έκφρασηείναι μια αλγεβρική έκφραση που αποτελείται από αριθμούς και μια μεταβλητή Χχρησιμοποιώντας τις πράξεις πρόσθεσης, αφαίρεσης, πολλαπλασιασμού, διαίρεσης και εκθέσεως με φυσικό εκθέτη.

Αν r(x)είναι μια ορθολογική έκφραση, τότε η εξίσωση r(x)=0ονομάζεται ορθολογική εξίσωση.

Αλγόριθμος για την επίλυση ορθολογικής εξίσωσης:

1. Μετακινήστε όλους τους όρους της εξίσωσης στη μία πλευρά.

2. Μετατρέψτε αυτό το μέρος της εξίσωσης στη μορφή αλγεβρικό κλάσμα p(x)/q(x)

3. Λύστε την εξίσωση p(x)=0

4. Για κάθε ρίζα της εξίσωσης p(x)=0ελέγξτε αν ικανοποιεί την προϋπόθεση q(x)≠0ή όχι. Εάν ναι, τότε αυτή είναι η ρίζα της δεδομένης εξίσωσης. αν όχι, τότε είναι μια ξένη ρίζα και δεν πρέπει να περιλαμβάνεται στην απάντηση.

! Ας θυμηθούμε τη λύση της κλασματικής ορθολογικής εξίσωσης:

! Για την επίλυση των εξισώσεων, είναι χρήσιμο να υπενθυμίσουμε τους συντομευμένους τύπους πολλαπλασιασμού:

Εάν μια εξίσωση περιέχει μια μεταβλητή κάτω από το πρόσημο της τετραγωνικής ρίζας, τότε η εξίσωση καλείται παράλογος .

Μέθοδος τετραγωνισμού και των δύο πλευρών μιας εξίσωσης- η κύρια μέθοδος επίλυσης παράλογων εξισώσεων.

Έχοντας λύσει την προκύπτουσα ορθολογική εξίσωση, είναι απαραίτητο να έλεγχος , εξαλείφοντας πιθανές ξένες ρίζες.

Απάντηση: 5; 4

Ενα άλλο παράδειγμα:

Εξέταση:

Η έκφραση δεν έχει νόημα.

Απάντηση:χωρίς λύσεις.

ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

προετοιμασία για την OGE

9η τάξη

προετοιμάστηκε από την καθηγήτρια μαθηματικών GBOU σχολείο Νο. 14 της περιοχής Nevsky της Αγίας Πετρούπολης Putrova Marina Nikolaevna

Συμπληρώστε τις προτάσεις:

1). Η εξίσωση είναι...

2). Η ρίζα της εξίσωσης είναι...

3). Η επίλυση μιας εξίσωσης σημαίνει...

I. Να λύσετε τις εξισώσεις προφορικά:

1). 6x + 18=0
2). 2x + 5=0
3). 5x – 3=0
4). -3x + 9=0
5). -5x + 1=0
6). -2х – 10=0
7). 6x – 7=5x
8). 9x + 6=10x
9). 5x - 12=8x

Ποια από τις παρακάτω εξισώσεις δεν έχει λύσεις:

ΕΝΑ). 2x – 14 = x + 7

σι). 2x - 14 = 2 (x – 7)

V). x – 7 = 2x + 14

ΣΟΛ). 2x- 14 = 2x + 7;

Ποια εξίσωση έχει άπειρες λύσεις:

ΕΝΑ). 4x – 12 = x – 12

σι). 4x – 12 = 4x + 12

V). 4(x – 3) = 4x – 12

ΣΟΛ). 4(x – 3) = x – 10;

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΕΙΔΟΥΣ

kx + b = 0

ΛΕΓΟΝΤΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ.

Αλγόριθμος επίλυσης γραμμικών εξισώσεων :

1). μετακινήστε τους όρους που περιέχουν το άγνωστο στην αριστερή πλευρά και τους όρους που δεν περιέχουν το άγνωστο στη δεξιά πλευρά (το πρόσημο του μεταφερόμενου όρου αντιστρέφεται).

2). να φέρει παρόμοια μέλη?

3).διαιρέστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με τον συντελεστή του αγνώστου αν δεν είναι ίσος με μηδέν.

Λύστε εξισώσεις στα τετράδιά σας :

Ομάδα II: Αρ.697 σελ.63

x-1 +(x+2) = -4(-5-x)-5

Ομάδα Ι:

№ 681 σελίδα 63

6(4x)+3x=3

III ομάδα: Αρ. 767 σελ. 67

(x + 6) 2 + (x + 3) 2 = 2 x 2

Εξίσωση της φόρμας

αχ 2 + bх + c =0,

όπου a≠0, b, c – Κάθε πραγματικός αριθμός λέγεται τετράγωνο.

Ημιτελείς εξισώσεις:

αχ 2 + bх =0 (c=0),

αχ 2 + c =0 (b=0).

II. Να λύσετε προφορικά δευτεροβάθμιες εξισώσεις, υποδεικνύοντας αν είναι πλήρεις ή ελλιπείς:

1). 5x 2 + 15x=0

2). -Χ 2 +2x = 0

3). Χ 2 -25=0

4). -Χ 2 +9 =0

5). -Χ 2 - 16 =0

6). Χ 2 - 8x + 15=0

7 ) . Χ 2 + 5x + 6=0

8). Χ 2 + x - 12 =0

9).(-x-5)(-x+ 6)=0

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ:

1). Ποια ιδιότητα των εξισώσεων χρησιμοποιήθηκε για την επίλυση ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων;

2). Ποιες μέθοδοι παραγοντοποίησης ενός πολυωνύμου χρησιμοποιήθηκαν για την επίλυση ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων;

3). Ποιος είναι ο αλγόριθμος για την επίλυση πλήρων τετραγωνικών εξισώσεων ?

0,2 ρίζες; D = 0, 1 ρίζα; D X 1,2 =" πλάτος = 640"

1). Το γινόμενο δύο παραγόντων είναι ίσο με μηδέν, αν ένας από αυτούς είναι ίσος με μηδέν, ο δεύτερος δεν χάνει το νόημά του: ab = 0 , Αν a = 0 ή b = 0 .

2). Αντικατάσταση κοινού πολλαπλασιαστή και

ένα 2 -σι 2 =(α – β)(α + β) - τύπος διαφοράς τετραγώνων.

3). Πλήρης τετραγωνική εξίσωση ah 2 + bx + c = ο.

D=b 2 – 4ac αν D0, 2 ρίζες;

D = 0, 1 ρίζα;

Χ 1,2 =

ΛΥΣΤΕ ΤΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ :

Ομάδα Ι: Αρ. 802 σελ. 71 Χ 2 - 5x- 36 =0

Ομάδα II: Αρ. 810 σελ. 71 3x 2 - x + 21=5x 2

III ομάδα: Χ 4 -5x 2 - 36 =0

III. ΛΥΣΤΕ ΤΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ :

Ομάδα Ι και ΙΙ: Αρ. 860 = 0

III ομάδα: =0

Πώς ονομάζονται τέτοιες εξισώσεις; Ποια ιδιότητα χρησιμοποιείται για την επίλυσή τους;

Μια ορθολογική εξίσωση είναι μια εξίσωση της μορφής

Ένα κλάσμα ισούται με μηδέν αν ο αριθμητής είναι μηδέν και ο παρονομαστής δεν είναι μηδέν. =0, εάν a = 0, b≠0.

Σύντομη ιστορία των μαθηματικών

Οι μαθηματικοί της Αρχαίας Αιγύπτου μπόρεσαν να λύσουν τετραγωνικές και γραμμικές εξισώσεις.

Ο Πέρσης μεσαιωνικός επιστήμονας Al-Khorezmi (9ος αιώνας) εισήγαγε για πρώτη φορά την άλγεβρα ως ανεξάρτητη επιστήμη σχετικά με τις γενικές μεθόδους για την επίλυση γραμμικών και τετραγωνικών εξισώσεων και έδωσε μια ταξινόμηση αυτών των εξισώσεων.

Μια νέα μεγάλη ανακάλυψη στα μαθηματικά συνδέεται με το όνομα του Γάλλου επιστήμονα Francois Vieta (XVI αιώνας). Ήταν αυτός που εισήγαγε τα γράμματα στην άλγεβρα. Είναι υπεύθυνος για το περίφημο θεώρημα για τις ρίζες των τετραγωνικών εξισώσεων.

Και οφείλουμε την παράδοση να δηλώνουμε άγνωστες ποσότητες με τα τελευταία γράμματα του λατινικού αλφαβήτου (x, y, z) σε έναν άλλο Γάλλο μαθηματικό - τον Rene Descartes (XVII).