दो संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक कैसे ज्ञात करें। लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने की विधियाँ, एनओके

महत्तम सामान्य भाजक

परिभाषा 2

यदि एक प्राकृतिक संख्या a, एक प्राकृतिक संख्या $b$ से विभाज्य है, तो $b$ को $a$ का भाजक कहा जाता है, और $a$ को $b$ का गुणज कहा जाता है।

मान लीजिए $a$ और $b$ प्राकृतिक संख्याएँ हैं। संख्या $c$ को कॉल किया जाता है सामान्य विभाजक$a$ और $b$ दोनों के लिए।

$a$ और $b$ संख्याओं के सामान्य भाजक का सेट सीमित है, क्योंकि इनमें से कोई भी भाजक $a$ से बड़ा नहीं हो सकता है। इसका मतलब यह है कि इन विभाजकों में से एक सबसे बड़ा विभाजक है, जिसे संख्याओं $a$ और $b$ का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक कहा जाता है और इसे निम्नलिखित नोटेशन द्वारा दर्शाया जाता है:

$GCD\(a;b)\ या \D\(a;b)$

दो संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक ज्ञात करने के लिए आपको चाहिए:

चरण 2 में प्राप्त संख्याओं का गुणनफल ज्ञात करें। परिणामी संख्या वांछित सबसे बड़ा सामान्य भाजक होगी।

उदाहरण 1

$121$ और $132.$ संख्याओं की gcd ज्ञात कीजिए

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

उन संख्याओं को चुनें जो इन संख्याओं के विस्तार में शामिल हैं

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

चरण 2 में मिली संख्याओं का गुणनफल ज्ञात करें। परिणामी संख्या वांछित सबसे बड़ा सामान्य भाजक होगी।

$GCD=2\cdot 11=22$

उदाहरण 2

एकपदी $63$ और $81$ की gcd ज्ञात कीजिए।

हम प्रस्तुत एल्गोरिथम के अनुसार पाएंगे। यह करने के लिए:

आइए संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करें

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

हम उन संख्याओं का चयन करते हैं जो इन संख्याओं के विस्तार में शामिल हैं

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

आइए चरण 2 में प्राप्त संख्याओं का गुणनफल ज्ञात करें। परिणामी संख्या वांछित सबसे बड़ा सामान्य भाजक होगी।

$GCD=3\cdot 3=9$

आप संख्याओं के विभाजक के एक सेट का उपयोग करके, दो संख्याओं की जीसीडी दूसरे तरीके से पा सकते हैं।

उदाहरण 3

$48$ और $60$ संख्याओं की gcd ज्ञात कीजिए।

समाधान:

आइए $48$ संख्या के विभाजकों का समुच्चय ज्ञात करें: $\left$(\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right$$

आइए अब संख्या के भाजक का समुच्चय ज्ञात करें $60$:$\ \left$(\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right$ $

आइए इन सेटों का प्रतिच्छेदन खोजें: $\left$(\rm 1,2,3,4,6,12)\right$$ - यह सेट संख्याओं $48$ और $60 के सामान्य विभाजक के सेट को निर्धारित करेगा $. इस सेट में सबसे बड़ा तत्व संख्या $12$ होगी। इसका मतलब यह है कि संख्याओं $48$ और $60$ का सबसे बड़ा सामान्य भाजक $12$ है।

एनपीएल की परिभाषा

परिभाषा 3

प्राकृतिक संख्याओं के सामान्य गुणज$a$ और $b$ एक प्राकृतिक संख्या है जो $a$ और $b$ दोनों का गुणज है।

संख्याओं के सामान्य गुणज वे संख्याएँ हैं जो बिना किसी शेषफल के मूल संख्याओं से विभाज्य होती हैं। उदाहरण के लिए, संख्याओं $25$ और $50$ के लिए, सामान्य गुणज संख्याएँ $50,100,150,200$ आदि होंगी।

सबसे छोटे समापवर्त्य को लघुत्तम समापवर्तक कहा जाएगा और उसे LCM$(a;b)$ या K$(a;b).$ दर्शाया जाएगा।

दो संख्याओं का LCM ज्ञात करने के लिए, आपको यह करना होगा:

गुणनखंड संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में बदलें
उन कारकों को लिखें जो पहली संख्या का हिस्सा हैं और उनमें उन कारकों को जोड़ें जो दूसरे का हिस्सा हैं और पहले का हिस्सा नहीं हैं

उदाहरण 4

$99$ और $77$ संख्याओं का LCM ज्ञात करें।

हम प्रस्तुत एल्गोरिथम के अनुसार पाएंगे। इसके लिए

गुणनखंड संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में बदलें

$99=3\cdot 3\cdot 11$

पहले में शामिल कारकों को लिखिए

उनमें ऐसे गुणक जोड़ें जो दूसरे का हिस्सा हों और पहले का हिस्सा न हों

चरण 2 में प्राप्त संख्याओं का गुणनफल ज्ञात करें। परिणामी संख्या वांछित लघुत्तम समापवर्तक होगी

$NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

संख्याओं के विभाजकों की सूची संकलित करना अक्सर बहुत श्रमसाध्य कार्य होता है। जीसीडी को खोजने का एक तरीका है जिसे यूक्लिडियन एल्गोरिदम कहा जाता है।

वे कथन जिन पर यूक्लिडियन एल्गोरिथम आधारित है:

यदि $a$ और $b$ प्राकृतिक संख्याएँ हैं, और $a\vdots b$, तो $D(a;b)=b$

यदि $a$ और $b$ प्राकृतिक संख्याएँ हैं जैसे कि $b

$D(a;b)= D(a-b;b)$ का उपयोग करके, हम विचाराधीन संख्याओं को क्रमिक रूप से कम कर सकते हैं जब तक कि हम संख्याओं की एक जोड़ी तक नहीं पहुंच जाते, ताकि उनमें से एक दूसरे से विभाज्य हो। फिर इन संख्याओं में से छोटी संख्या $a$ और $b$ के लिए वांछित सबसे बड़ा सामान्य भाजक होगा।

जीसीडी और एलसीएम के गुण

$a$ और $b$ का कोई भी उभयनिष्ठ गुणज K$(a;b)$ से विभाज्य है
यदि $a\vdots b$ , तो К$(a;b)=a$

यदि K$(a;b)=k$ और $m$ एक प्राकृतिक संख्या है, तो K$(am;bm)=km$

यदि $d$, $a$ और $b$ के लिए एक सामान्य भाजक है, तो K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d )$

यदि $a\vdots c$ और $b\vdots c$ , तो $\frac(ab)(c)$ $a$ और $b$ का सामान्य गुणज है

किसी भी प्राकृतिक संख्या $a$ और $b$ के लिए समानता कायम है

$D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$

$a$ और $b$ संख्याओं का कोई भी सामान्य भाजक संख्या $D(a;b)$ का भाजक होता है

आड़ा-तिरछा गुणन

सामान्य भाजक विधि

काम। भावों के अर्थ खोजें:

यह समझने के लिए कि लघुत्तम समापवर्त्य विधि कितना अंतर लाती है, क्रिस-क्रॉस विधि का उपयोग करके इन्हीं उदाहरणों की गणना करने का प्रयास करें।

भिन्नों का सामान्य हर

बेशक, बिना कैलकुलेटर के। मुझे लगता है कि इसके बाद टिप्पणियाँ अनावश्यक हो जाएंगी.

यह भी देखें:

प्रारंभ में मैं कास्ट विधियाँ शामिल करना चाहता था आम विभाजकअनुभाग में "भिन्नों को जोड़ना और घटाना।" लेकिन इतनी अधिक जानकारी निकली, और इसका महत्व इतना महान है (आखिरकार, न केवल संख्यात्मक अंशों में सामान्य भाजक होते हैं), कि इस मुद्दे का अलग से अध्ययन करना बेहतर है।

तो मान लीजिए कि हमारे पास दो भिन्न हैं विभिन्न भाजक. और हम यह सुनिश्चित करना चाहते हैं कि हर एक समान हो जाएं। अंश की मूल संपत्ति बचाव के लिए आती है, जो, मैं आपको याद दिला दूं, इस तरह लगती है:

यदि भिन्न के अंश और हर को शून्य के अलावा एक ही संख्या से गुणा किया जाए तो कोई भिन्न नहीं बदलेगा।

इस प्रकार, यदि आप गुणनखंडों को सही ढंग से चुनते हैं, तो भिन्नों के हर बराबर हो जाएंगे - इस प्रक्रिया को कहा जाता है। और आवश्यक संख्याएँ, हर को "संध्या बाहर" कहा जाता है।

हमें भिन्नों को एक सामान्य हर में कम करने की आवश्यकता क्यों है? यहाँ केवल कुछ कारण हैं:

विभिन्न हरों के साथ भिन्नों को जोड़ना और घटाना। इस ऑपरेशन को करने का कोई अन्य तरीका नहीं है;
भिन्नों की तुलना करना। कभी-कभी एक सामान्य विभाजक को कम करने से यह कार्य बहुत सरल हो जाता है;
भिन्न और प्रतिशत से संबंधित समस्याओं को हल करना। प्रतिशत मूलतः सामान्य अभिव्यक्तियाँ हैं जिनमें भिन्न होते हैं।

संख्याओं को खोजने के कई तरीके हैं, जिन्हें उनसे गुणा करने पर भिन्नों के हर बराबर हो जाएंगे। हम उनमें से केवल तीन पर विचार करेंगे - बढ़ती जटिलता के क्रम में और, एक अर्थ में, प्रभावशीलता के अनुसार।

आड़ा-तिरछा गुणन

सबसे सरल और विश्वसनीय तरीका, जो हरों को बराबर करने की गारंटी देता है। हम "सिर झुकाकर" कार्य करेंगे: हम पहले भिन्न को दूसरे भिन्न के हर से गुणा करते हैं, और दूसरे को पहले भिन्न के हर से गुणा करते हैं। परिणामस्वरूप, दोनों भिन्नों के हर मूल हर के गुणनफल के बराबर हो जाएंगे। नज़र रखना:

काम। भावों के अर्थ खोजें:

अतिरिक्त कारकों के रूप में, पड़ोसी भिन्नों के हरों पर विचार करें। हम पाते हैं:

हाँ, यह इतना आसान है. यदि आप अभी भिन्नों का अध्ययन शुरू कर रहे हैं, तो इस पद्धति का उपयोग करके काम करना बेहतर है - इस तरह आप कई गलतियों के खिलाफ खुद को सुरक्षित कर लेंगे और परिणाम प्राप्त करने की गारंटी देंगे।

एकमात्र कमी यह विधि- आपको बहुत कुछ गिनना होगा, क्योंकि हर को "संपूर्ण" से गुणा किया जाता है, और परिणाम बहुत हो सकता है बड़ी संख्या. यह विश्वसनीयता के लिए चुकाई जाने वाली कीमत है।

सामान्य भाजक विधि

यह तकनीक गणनाओं को काफी कम करने में मदद करती है, लेकिन, दुर्भाग्य से, इसका उपयोग बहुत कम ही किया जाता है। विधि इस प्रकार है:

इससे पहले कि आप सीधे आगे बढ़ें (यानी, क्रिस-क्रॉस विधि का उपयोग करके), हर पर एक नज़र डालें। शायद उनमें से एक (जो बड़ा है) दूसरे में विभाजित है।
इस विभाजन से प्राप्त संख्या छोटे हर वाले भिन्न के लिए एक अतिरिक्त कारक होगी।
इस मामले में, बड़े हर वाले अंश को किसी भी चीज़ से गुणा करने की आवश्यकता नहीं है - यही वह जगह है जहां बचत निहित है। साथ ही, त्रुटि की संभावना तेजी से कम हो जाती है।

काम। भावों के अर्थ खोजें:

ध्यान दें कि 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. चूँकि दोनों ही मामलों में एक हर को दूसरे से बिना किसी शेषफल के विभाजित किया जाता है, हम सामान्य गुणनखंडों की विधि का उपयोग करते हैं। हमारे पास है:

ध्यान दें कि दूसरे भिन्न को किसी भी चीज़ से गुणा नहीं किया गया था। वास्तव में, हमने गणना की मात्रा आधी कर दी है!

वैसे, मैंने इस उदाहरण में भिन्नों को संयोग से नहीं लिया है। यदि आप रुचि रखते हैं, तो क्रिस-क्रॉस विधि का उपयोग करके उन्हें गिनने का प्रयास करें। कटौती के बाद जवाब वही होंगे, लेकिन काम बहुत ज्यादा होगा.

यह सामान्य विभाजक विधि की शक्ति है, लेकिन, फिर से, इसका उपयोग केवल तभी किया जा सकता है जब एक हर को बिना किसी शेष के दूसरे से विभाजित किया जाता है। जो कि बहुत ही कम होता है.

कम से कम सामान्य एकाधिक विधि

जब हम भिन्नों को एक सामान्य हर में घटाते हैं, तो हम अनिवार्य रूप से एक ऐसी संख्या खोजने का प्रयास कर रहे होते हैं जो प्रत्येक हर से विभाज्य हो। फिर हम दोनों भिन्नों के हरों को इस संख्या में लाते हैं।

ऐसी बहुत सारी संख्याएँ हैं, और उनमें से सबसे छोटी आवश्यक रूप से मूल भिन्नों के हर के प्रत्यक्ष उत्पाद के बराबर नहीं होगी, जैसा कि "क्रिस-क्रॉस" विधि में माना जाता है।

उदाहरण के लिए, हर 8 और 12 के लिए, संख्या 24 काफी उपयुक्त है, क्योंकि 24:8 = 3; 24: 12 = 2. यह संख्या गुणनफल 8 12 = 96 से बहुत कम है।

प्रत्येक हर से विभाज्य सबसे छोटी संख्या उनका (एलसीएम) कहलाती है।

संकेतन: a और b के लघुत्तम समापवर्त्य को LCM(a; b) से दर्शाया जाता है। उदाहरण के लिए, एलसीएम(16, 24) = 48; एलसीएम(8; 12) = 24.

यदि आप ऐसी संख्या ढूंढने में कामयाब हो जाते हैं, तो गणना की कुल राशि न्यूनतम होगी। उदाहरण की तरफ देखो:

न्यूनतम सामान्य भाजक कैसे ज्ञात करें

भावों के अर्थ खोजें:

ध्यान दें कि 234 = 117 2; 351 = 117 · 3. कारक 2 और 3 सहअभाज्य हैं (1 के अलावा कोई सामान्य कारक नहीं है), और कारक 117 सामान्य है। इसलिए एलसीएम(234, 351) = 117 2 3 = 702।

इसी प्रकार, 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. कारक 3 और 4 सहअभाज्य हैं, और कारक 5 उभयनिष्ठ है। इसलिए एलसीएम(15, 20) = 5 3 4 = 60।

आइए अब भिन्नों को सामान्य हरों पर लाएँ:

ध्यान दें कि मूल हरों का गुणनखंड करना कितना उपयोगी था:

समान कारकों की खोज करने के बाद, हम तुरंत कम से कम सामान्य गुणक पर पहुंच गए, जो आम तौर पर एक गैर-तुच्छ समस्या है;
परिणामी विस्तार से आप पता लगा सकते हैं कि प्रत्येक अंश में कौन से कारक "गायब" हैं। उदाहरण के लिए, 234 · 3 = 702, इसलिए, पहले भिन्न के लिए अतिरिक्त गुणनखंड 3 है।

यह मत सोचिए कि वास्तविक उदाहरणों में ऐसे जटिल भिन्न नहीं होंगे। वे हर समय मिलते रहते हैं, और उपरोक्त कार्य सीमा नहीं हैं!

एकमात्र समस्या यह है कि इस एनओसी को कैसे खोजा जाए। कभी-कभी सब कुछ कुछ ही सेकंड में पाया जा सकता है, शाब्दिक रूप से "आंख से", लेकिन सामान्य तौर पर यह एक जटिल कम्प्यूटेशनल कार्य है जिस पर अलग से विचार करने की आवश्यकता होती है। हम यहां उस पर बात नहीं करेंगे.

यह भी देखें:

भिन्नों को एक सामान्य हर में कम करना

मैं मूल रूप से भिन्नों को जोड़ने और घटाने वाले अनुभाग में सामान्य विभाजक तकनीकों को शामिल करना चाहता था। लेकिन इतनी अधिक जानकारी निकली, और इसका महत्व इतना महान है (आखिरकार, न केवल संख्यात्मक अंशों में सामान्य भाजक होते हैं), कि इस मुद्दे का अलग से अध्ययन करना बेहतर है।

तो, मान लीजिए कि हमारे पास अलग-अलग हर वाले दो भिन्न हैं। और हम यह सुनिश्चित करना चाहते हैं कि हर एक समान हो जाएं। अंश की मूल संपत्ति बचाव के लिए आती है, जो, मैं आपको याद दिला दूं, इस तरह लगती है:

हमें भिन्नों को एक सामान्य हर में कम करने की आवश्यकता क्यों है?

सामान्य विभाजक, अवधारणा और परिभाषा।

यहाँ केवल कुछ कारण हैं:

विभिन्न हरों के साथ भिन्नों को जोड़ना और घटाना। इस ऑपरेशन को करने का कोई अन्य तरीका नहीं है;
भिन्नों की तुलना करना। कभी-कभी एक सामान्य विभाजक को कम करने से यह कार्य बहुत सरल हो जाता है;
भिन्न और प्रतिशत से संबंधित समस्याओं को हल करना। प्रतिशत मूलतः सामान्य अभिव्यक्तियाँ हैं जिनमें भिन्न होते हैं।

आड़ा-तिरछा गुणन

सबसे सरल और सबसे विश्वसनीय तरीका, जो हर को बराबर करने की गारंटी देता है। हम "सिर झुकाकर" कार्य करेंगे: हम पहले भिन्न को दूसरे भिन्न के हर से गुणा करते हैं, और दूसरे को पहले भिन्न के हर से गुणा करते हैं। परिणामस्वरूप, दोनों भिन्नों के हर मूल हर के गुणनफल के बराबर हो जाएंगे। नज़र रखना:

काम। भावों के अर्थ खोजें:

इस पद्धति का एकमात्र दोष यह है कि आपको बहुत अधिक गिनना पड़ता है, क्योंकि हर को "सभी तरह से" गुणा किया जाता है, और परिणाम बहुत बड़ी संख्या हो सकता है। यह विश्वसनीयता के लिए चुकाई जाने वाली कीमत है।

सामान्य भाजक विधि

इससे पहले कि आप सीधे आगे बढ़ें (यानी, क्रिस-क्रॉस विधि का उपयोग करके), हर पर एक नज़र डालें। शायद उनमें से एक (जो बड़ा है) दूसरे में विभाजित है।
इस विभाजन से प्राप्त संख्या छोटे हर वाले भिन्न के लिए एक अतिरिक्त कारक होगी।
इस मामले में, बड़े हर वाले अंश को किसी भी चीज़ से गुणा करने की आवश्यकता नहीं है - यही वह जगह है जहां बचत निहित है। साथ ही, त्रुटि की संभावना तेजी से कम हो जाती है।

काम। भावों के अर्थ खोजें:

कम से कम सामान्य एकाधिक विधि

प्रत्येक हर से विभाज्य सबसे छोटी संख्या उनका (एलसीएम) कहलाती है।

काम। भावों के अर्थ खोजें:

आइए अब भिन्नों को सामान्य हरों पर लाएँ:

ध्यान दें कि मूल हरों का गुणनखंड करना कितना उपयोगी था:

समान कारकों की खोज करने के बाद, हम तुरंत कम से कम सामान्य गुणक पर पहुंच गए, जो आम तौर पर एक गैर-तुच्छ समस्या है;
परिणामी विस्तार से आप पता लगा सकते हैं कि प्रत्येक अंश में कौन से कारक "गायब" हैं। उदाहरण के लिए, 234 · 3 = 702, इसलिए, पहले भिन्न के लिए अतिरिक्त गुणनखंड 3 है।

यह समझने के लिए कि लघुत्तम समापवर्त्य विधि कितना अंतर लाती है, क्रिस-क्रॉस विधि का उपयोग करके इन्हीं उदाहरणों की गणना करने का प्रयास करें। बेशक, बिना कैलकुलेटर के। मुझे लगता है कि इसके बाद टिप्पणियाँ अनावश्यक हो जाएंगी.

यह भी देखें:

भिन्नों को एक सामान्य हर में कम करना

विभिन्न हरों के साथ भिन्नों को जोड़ना और घटाना। इस ऑपरेशन को करने का कोई अन्य तरीका नहीं है;
भिन्नों की तुलना करना। कभी-कभी एक सामान्य विभाजक को कम करने से यह कार्य बहुत सरल हो जाता है;
भिन्न और प्रतिशत से संबंधित समस्याओं को हल करना। प्रतिशत मूलतः सामान्य अभिव्यक्तियाँ हैं जिनमें भिन्न होते हैं।

आड़ा-तिरछा गुणन

नज़र रखना:

काम। भावों के अर्थ खोजें:

सामान्य भाजक विधि

इससे पहले कि आप सीधे आगे बढ़ें (यानी, क्रिस-क्रॉस विधि का उपयोग करके), हर पर एक नज़र डालें। शायद उनमें से एक (जो बड़ा है) दूसरे में विभाजित है।
इस विभाजन से प्राप्त संख्या छोटे हर वाले भिन्न के लिए एक अतिरिक्त कारक होगी।
इस मामले में, बड़े हर वाले अंश को किसी भी चीज़ से गुणा करने की आवश्यकता नहीं है - यही वह जगह है जहां बचत निहित है। साथ ही, त्रुटि की संभावना तेजी से कम हो जाती है।

काम। भावों के अर्थ खोजें:

कम से कम सामान्य एकाधिक विधि

प्रत्येक हर से विभाज्य सबसे छोटी संख्या उनका (एलसीएम) कहलाती है।

काम। भावों के अर्थ खोजें:

आइए अब भिन्नों को सामान्य हरों पर लाएँ:

ध्यान दें कि मूल हरों का गुणनखंड करना कितना उपयोगी था:

समान कारकों की खोज करने के बाद, हम तुरंत कम से कम सामान्य गुणक पर पहुंच गए, जो आम तौर पर एक गैर-तुच्छ समस्या है;
परिणामी विस्तार से आप पता लगा सकते हैं कि प्रत्येक अंश में कौन से कारक "गायब" हैं। उदाहरण के लिए, 234 · 3 = 702, इसलिए, पहले भिन्न के लिए अतिरिक्त गुणनखंड 3 है।

यह भी देखें:

भिन्नों को एक सामान्य हर में कम करना

विभिन्न हरों के साथ भिन्नों को जोड़ना और घटाना। इस ऑपरेशन को करने का कोई अन्य तरीका नहीं है;
भिन्नों की तुलना करना। कभी-कभी एक सामान्य विभाजक को कम करने से यह कार्य बहुत सरल हो जाता है;
भिन्न और प्रतिशत से संबंधित समस्याओं को हल करना। प्रतिशत मूलतः सामान्य अभिव्यक्तियाँ हैं जिनमें भिन्न होते हैं।

आड़ा-तिरछा गुणन

काम। भावों के अर्थ खोजें:

इस पद्धति का एकमात्र दोष यह है कि आपको बहुत अधिक गिनना पड़ता है, क्योंकि हर को "सभी तरह से" गुणा किया जाता है, और परिणाम बहुत बड़ी संख्या हो सकता है।

भिन्नों को एक सामान्य हर में कम करना

यह विश्वसनीयता के लिए चुकाई जाने वाली कीमत है।

सामान्य भाजक विधि

इससे पहले कि आप सीधे आगे बढ़ें (यानी, क्रिस-क्रॉस विधि का उपयोग करके), हर पर एक नज़र डालें। शायद उनमें से एक (जो बड़ा है) दूसरे में विभाजित है।
इस विभाजन से प्राप्त संख्या छोटे हर वाले भिन्न के लिए एक अतिरिक्त कारक होगी।
इस मामले में, बड़े हर वाले अंश को किसी भी चीज़ से गुणा करने की आवश्यकता नहीं है - यही वह जगह है जहां बचत निहित है। साथ ही, त्रुटि की संभावना तेजी से कम हो जाती है।

काम। भावों के अर्थ खोजें:

कम से कम सामान्य एकाधिक विधि

प्रत्येक हर से विभाज्य सबसे छोटी संख्या उनका (एलसीएम) कहलाती है।

काम। भावों के अर्थ खोजें:

आइए अब भिन्नों को सामान्य हरों पर लाएँ:

ध्यान दें कि मूल हरों का गुणनखंड करना कितना उपयोगी था:

समान कारकों की खोज करने के बाद, हम तुरंत कम से कम सामान्य गुणक पर पहुंच गए, जो आम तौर पर एक गैर-तुच्छ समस्या है;
परिणामी विस्तार से आप पता लगा सकते हैं कि प्रत्येक अंश में कौन से कारक "गायब" हैं। उदाहरण के लिए, 234 · 3 = 702, इसलिए, पहले भिन्न के लिए अतिरिक्त गुणनखंड 3 है।

विभिन्न हरों के साथ बीजगणितीय भिन्नों को जोड़ने और घटाने पर, भिन्नों को सबसे पहले आगे बढ़ाया जाता है आम विभाजक. इसका मतलब यह है कि वे एक हर पाते हैं जो दिए गए अभिव्यक्ति में शामिल प्रत्येक बीजीय भिन्न के मूल हर से विभाजित होता है।

जैसा कि आप जानते हैं, यदि किसी भिन्न के अंश और हर को शून्य के अलावा उसी संख्या से गुणा (या विभाजित) किया जाए, तो भिन्न का मान नहीं बदलेगा। यह भिन्न का मुख्य गुण है। इसलिए, जब भिन्नों को एक सामान्य हर में घटा दिया जाता है, तो वे अनिवार्य रूप से एक सामान्य हर प्राप्त करने के लिए प्रत्येक भिन्न के मूल हर को लुप्त कारक से गुणा करते हैं। इस मामले में, आपको भिन्न के अंश को इस कारक से गुणा करना होगा (यह प्रत्येक भिन्न के लिए अलग है)।

उदाहरण के लिए, बीजीय भिन्नों का निम्नलिखित योग दिया गया है:

व्यंजक को सरल बनाने के लिए, अर्थात् दो बीजगणितीय भिन्नों को जोड़ने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, सबसे पहले, आपको भिन्न पदों को एक सामान्य हर में लाना होगा। पहला कदम एक ऐसा एकपदी ढूंढना है जो 3x और 2y दोनों से विभाज्य हो। इस मामले में, यह वांछनीय है कि यह सबसे छोटा हो, अर्थात 3x और 2y के लिए लघुत्तम समापवर्तक (LCM) ज्ञात करें।

संख्यात्मक गुणांकों और चरों के लिए, एलसीएम को अलग से खोजा जाता है। एलसीएम(3, 2) = 6, और एलसीएम(x, y) = xy. इसके बाद, पाए गए मानों को गुणा किया जाता है: 6xy।

अब हमें यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि 6xy प्राप्त करने के लिए हमें किस कारक से 3x को गुणा करना होगा:
6xy ÷ 3x = 2y

इसका मतलब यह है कि पहले बीजगणितीय अंश को एक सामान्य हर में कम करते समय, इसके अंश को 2y से गुणा किया जाना चाहिए (एक सामान्य हर को कम करते समय हर को पहले ही गुणा किया जा चुका है)। दूसरे अंश के अंश के लिए गुणक को इसी प्रकार देखा जाता है। यह 3x के बराबर होगा.

इस प्रकार हमें मिलता है:

तब आप भिन्नों की तरह कार्य कर सकते हैं समान भाजक: अंशों को जोड़ा जाता है, और एक सामान्य हर लिखा जाता है:

परिवर्तनों के बाद, एक सरलीकृत अभिव्यक्ति प्राप्त होती है, जो एक है बीजगणितीय अंश, जो दो मूल का योग है:

मूल व्यंजक में बीजगणितीय भिन्नों में ऐसे हर शामिल हो सकते हैं जो एकपदी के बजाय बहुपद हों (जैसा कि ऊपर दिए गए उदाहरण में है)। इस मामले में, एक सामान्य हर की खोज करने से पहले, आपको हरों का गुणनखंड करना चाहिए (यदि संभव हो तो)। इसके बाद, सामान्य विभाजक को विभिन्न कारकों से एकत्र किया जाता है। यदि गुणक कई मूल हरों में है, तो इसे एक बार लिया जाता है। यदि गुणक की मूल हर में अलग-अलग शक्तियाँ हैं, तो इसे बड़े के साथ लिया जाता है। उदाहरण के लिए:

यहां बहुपद a 2 – b 2 को गुणनफल (a – b)(a + b) के रूप में दर्शाया जा सकता है। कारक 2a – 2b को 2(a – b) के रूप में विस्तारित किया गया है। इस प्रकार, उभयनिष्ठ हर 2(a – b)(a + b) होगा।

भिन्नों को न्यूनतम सामान्य हर तक कम करने के लिए, आपको यह करना होगा: 1) दिए गए भिन्नों के हरों का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करें, यह सबसे छोटा सामान्य हर होगा। 2) प्रत्येक भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणनखंड ढूंढें, विभाजित क्यों करें नया भाजकप्रत्येक भिन्न के हर को. 3) प्रत्येक भिन्न के अंश और हर को उसके अतिरिक्त गुणनखंड से गुणा करें।

उदाहरण. निम्नलिखित भिन्नों को उनके न्यूनतम उभयनिष्ठ हर तक घटाएँ।

हम हर का सबसे छोटा समापवर्तक ज्ञात करते हैं: LCM(5; 4) = 20, क्योंकि 20 सबसे छोटी संख्या है जो 5 और 4 दोनों से विभाज्य है। पहले भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणनखंड 4 खोजें (20) : 5=4). दूसरे भिन्न के लिए अतिरिक्त गुणनखंड 5 (20) है : 4=5). हम पहली भिन्न के अंश और हर को 4 से गुणा करते हैं, और दूसरी भिन्न के अंश और हर को 5 से गुणा करते हैं। हमने इन भिन्नों को सबसे कम सामान्य हर में घटा दिया है ( 20 ).

इन भिन्नों का सबसे छोटा सामान्य हर संख्या 8 है, क्योंकि 8, 4 और स्वयं से विभाज्य है। पहली भिन्न के लिए कोई अतिरिक्त गुणनखंड नहीं होगा (या हम कह सकते हैं कि यह एक के बराबर है), दूसरी भिन्न के लिए अतिरिक्त गुणनखंड 2 (8) है : 4=2). हम दूसरी भिन्न के अंश और हर को 2 से गुणा करते हैं। हमने इन भिन्नों को सबसे कम सामान्य हर में घटा दिया है ( 8 ).

ये अंश अप्रासंगिक नहीं हैं।

आइए पहले भिन्न को 4 से कम करें, और दूसरे भिन्न को 2 से कम करें। ( साधारण भिन्नों को कम करने के उदाहरण देखें: साइटमैप → 5.4.2. सामान्य भिन्नों को कम करने के उदाहरण). LOC(16) खोजें ; 20)=2 4 · 5=16· 5=80. पहले अंश के लिए अतिरिक्त गुणक 5 (80) है : 16=5). दूसरे भिन्न के लिए अतिरिक्त गुणनखंड 4 (80) है : 20=4). हम पहली भिन्न के अंश और हर को 5 से गुणा करते हैं, और दूसरी भिन्न के अंश और हर को 4 से गुणा करते हैं। हमने इन भिन्नों को सबसे कम सामान्य हर में घटा दिया है ( 80 ).

हम सबसे कम सामान्य भाजक एनसीडी(5) पाते हैं ; 6 और 15)=NOK(5 ; 6 और 15)=30. प्रथम भिन्न का अतिरिक्त गुणनखंड 6 (30) है : 5=6), दूसरे भिन्न का अतिरिक्त गुणनखंड 5 (30) है : 6=5), तीसरी भिन्न का अतिरिक्त गुणनखंड 2 (30) है : 15=2). हम पहली भिन्न के अंश और हर को 6 से गुणा करते हैं, दूसरी भिन्न के अंश और हर को 5 से, तीसरी भिन्न के अंश और हर को 2 से गुणा करते हैं। हमने इन भिन्नों को सबसे कम सामान्य हर में घटा दिया है ( 30 ).

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यह लेख बताता है न्यूनतम सामान्य भाजक कैसे ज्ञात करेंऔर भिन्नों को एक सामान्य हर में कैसे कम करें. सबसे पहले, भिन्नों के उभयनिष्ठ हर और लघुत्तम समापवर्तक की परिभाषाएँ दी गई हैं, और यह दिखाया गया है कि भिन्नों का उभयनिष्ठ हर कैसे ज्ञात किया जाए। नीचे भिन्नों को एक सामान्य हर में कम करने का नियम दिया गया है और इस नियम के अनुप्रयोग के उदाहरणों पर विचार किया गया है। निष्कर्ष में, तीन या अधिक भिन्नों को एक सामान्य हर में लाने के उदाहरणों पर चर्चा की गई है।

पेज नेविगेशन.

भिन्नों को एक सामान्य हर में कम करना क्या कहलाता है?

अब हम कह सकते हैं कि भिन्नों को एक सामान्य हर में कम करना क्या होता है। भिन्नों को एक सामान्य हर में कम करना- यह दिए गए भिन्नों के अंशों और हरों को ऐसे अतिरिक्त कारकों से गुणा करना है जिसके परिणामस्वरूप समान हर वाले भिन्न प्राप्त होते हैं।

सामान्य विभाजक, परिभाषा, उदाहरण

अब भिन्नों के उभयनिष्ठ हर को परिभाषित करने का समय आ गया है।

दूसरे शब्दों में, साधारण भिन्नों के एक निश्चित समूह का सामान्य हर कोई प्राकृतिक संख्या होती है जो इन भिन्नों के सभी हरों से विभाज्य होती है।

बताई गई परिभाषा से यह पता चलता है कि भिन्नों के एक दिए गए सेट में अनंत रूप से कई सामान्य हर होते हैं, क्योंकि भिन्नों के मूल सेट के सभी हरों के सामान्य गुणकों की एक अनंत संख्या होती है।

भिन्नों के उभयनिष्ठ हर को निर्धारित करने से आप दिए गए भिन्नों के उभयनिष्ठ हर को ढूंढ सकते हैं। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि भिन्न 1/4 और 5/6 दिए गए हैं, तो उनके हर क्रमशः 4 और 6 हैं। संख्या 4 और 6 के धनात्मक उभयनिष्ठ गुणज संख्याएँ 12, 24, 36, 48, हैं... इनमें से कोई भी संख्या भिन्न 1/4 और 5/6 का एक उभयनिष्ठ हर है।

सामग्री को समेकित करने के लिए, निम्नलिखित उदाहरण के समाधान पर विचार करें।

उदाहरण।

क्या भिन्नों 2/3, 23/6 और 7/12 को 150 के सामान्य हर में घटाया जा सकता है?

समाधान।

प्रश्न का उत्तर देने के लिए हमें यह पता लगाना होगा कि क्या संख्या 150 हर 3, 6 और 12 का एक सामान्य गुणज है। ऐसा करने के लिए, आइए देखें कि क्या 150 इनमें से प्रत्येक संख्या से विभाज्य है (यदि आवश्यक हो, तो प्राकृतिक संख्याओं को विभाजित करने के नियम और उदाहरण देखें, साथ ही प्राकृतिक संख्याओं को शेषफल से विभाजित करने के नियम और उदाहरण देखें): 150:3=50 , 150:6=25, 150:12=12 (शेष 6)।

इसलिए, 150, 12 से समान रूप से विभाज्य नहीं है, इसलिए 150, 3, 6 और 12 का सामान्य गुणज नहीं है। इसलिए, संख्या 150 मूल भिन्नों का उभयनिष्ठ हर नहीं हो सकती।

उत्तर:

यह वर्जित है।

न्यूनतम सामान्य भाजक, इसे कैसे खोजें?

संख्याओं के समूह में जो दी गई भिन्नों के उभयनिष्ठ हर होते हैं, एक सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या होती है, जिसे सबसे छोटा सामान्य हर कहा जाता है। आइए हम इन भिन्नों के निम्नतम उभयनिष्ठ हर की परिभाषा तैयार करें।

परिभाषा।

न्यूनतम सामान्य भाजकइन भिन्नों के सभी सामान्य हरों में से सबसे छोटी संख्या है।

यह इस प्रश्न से निपटना बाकी है कि न्यूनतम सामान्य भाजक कैसे ज्ञात किया जाए।

चूँकि किसी दिए गए संख्याओं के समूह का सबसे छोटा सकारात्मक सामान्य विभाजक है, दिए गए भिन्नों के हर का एलसीएम दिए गए भिन्नों के सबसे छोटे सामान्य हर का प्रतिनिधित्व करता है।

इस प्रकार, भिन्नों का न्यूनतम सामान्य हर ज्ञात करने से उन भिन्नों के हर प्राप्त होते हैं। आइए उदाहरण के समाधान पर नजर डालें।

उदाहरण।

भिन्नों 3/10 और 277/28 का न्यूनतम उभयनिष्ठ हर ज्ञात कीजिए।

समाधान।

इन भिन्नों के हर 10 और 28 हैं। वांछित न्यूनतम सामान्य विभाजक संख्या 10 और 28 के एलसीएम के रूप में पाया जाता है। हमारे मामले में यह आसान है: चूंकि 10=2·5, और 28=2·2·7, तो एलसीएम(15, 28)=2·2·5·7=140।

उत्तर:

140 .

भिन्नों को एक सामान्य हर में कैसे कम करें? नियम, उदाहरण, समाधान

आम तौर पर सामान्य भिन्ननिम्नतम सामान्य भाजक की ओर ले जाएं। अब हम एक नियम लिखेंगे जो बताता है कि भिन्नों को उनके न्यूनतम सामान्य हर तक कैसे कम किया जाए।

भिन्नों को न्यूनतम सामान्य हर तक कम करने का नियमइसमें तीन चरण होते हैं:

सबसे पहले, भिन्नों का सबसे छोटा सामान्य हर ज्ञात करें।
दूसरा, प्रत्येक अंश के लिए एक अतिरिक्त कारक की गणना प्रत्येक अंश के हर द्वारा सबसे कम सामान्य हर को विभाजित करके की जाती है।
तीसरा, प्रत्येक भिन्न के अंश और हर को उसके अतिरिक्त गुणनखंड से गुणा किया जाता है।

आइए निम्नलिखित उदाहरण को हल करने के लिए बताए गए नियम को लागू करें।

उदाहरण।

भिन्नों 5/14 और 7/18 को उनके न्यूनतम उभयनिष्ठ हर तक घटाएँ।

समाधान।

आइए भिन्नों को न्यूनतम सामान्य हर तक कम करने के लिए एल्गोरिथम के सभी चरणों का पालन करें।

सबसे पहले हम लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करते हैं, जो संख्या 14 और 18 के लघुत्तम समापवर्तक के बराबर है। चूँकि 14=2·7 और 18=2·3·3, तो एलसीएम(14, 18)=2·3·3·7=126।

अब हम अतिरिक्त गुणनखंडों की गणना करते हैं जिनकी सहायता से भिन्न 5/14 और 7/18 को हर 126 में घटा दिया जाएगा। भिन्न 5/14 के लिए अतिरिक्त गुणनखंड 126:14=9 है, और भिन्न 7/18 के लिए अतिरिक्त गुणनखंड 126:18=7 है।

भिन्न 5/14 और 7/18 के अंश और हर को क्रमशः अतिरिक्त गुणनखंड 9 और 7 से गुणा करना बाकी है। हमारे पास है और .