두 숫자의 최소 공배수를 찾는 방법. 최소 공배수를 찾는 방법, nok

최대공약수

정의 2

자연수 a가 자연수 $b$로 나누어지면 $b$를 $a$의 제수라고 하고 $a$를 $b$의 배수라고 합니다.

$a$와 $b$를 자연수로 둡니다. $c$라는 숫자가 호출됩니다. 공약수$a$ 및 $b$ 모두에 대해.

$a$와 $b$의 공약수 집합은 유한합니다. 왜냐하면 이들 제수 중 어느 것도 $a$보다 클 수 없기 때문입니다. 이는 이러한 제수 중에 가장 큰 것이 있다는 것을 의미하며, 이를 숫자 $a$와 $b$의 최대 공약수라고 하며 다음 표기법으로 표시합니다.

$GCD\(a;b)\ 또는 \D\(a;b)$

두 숫자의 최대 공약수를 찾으려면 다음이 필요합니다.

2단계에서 찾은 숫자의 곱을 찾습니다. 결과 숫자는 원하는 최대 공약수가 됩니다.

실시예 1

$121$과 $132.$의 gcd를 구하세요.

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

이 숫자의 확장에 포함된 숫자를 선택하세요.

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

2단계에서 찾은 숫자의 곱을 찾습니다. 결과 숫자는 원하는 최대 공약수가 됩니다.

$GCD=2\cdot 11=22$

실시예 2

단항식 $63$과 $81$의 gcd를 구합니다.

제시된 알고리즘에 따라 찾아보겠습니다. 이렇게 하려면:

숫자를 소인수로 분해해보자

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

우리는 이 숫자의 확장에 포함된 숫자를 선택합니다.

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

2단계에서 찾은 숫자의 곱을 찾아보겠습니다. 결과 숫자는 원하는 최대 공약수가 됩니다.

$GCD=3\cdot 3=9$

숫자의 제수 세트를 사용하여 다른 방법으로 두 숫자의 gcd를 찾을 수 있습니다.

실시예 3

$48$와 $60$의 gcd를 구합니다.

해결책:

$48$의 약수 집합을 찾아봅시다: $\left$(\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right$$

이제 $60$:$\ \left$(\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right$ 의 약수 집합을 찾아보겠습니다. $

$\left$(\rm 1,2,3,4,6,12)\right$$ - 이 세트는 숫자 $48$와 $60의 공약수 세트를 결정합니다. $. 이 세트에서 가장 큰 요소는 $12$라는 숫자입니다. 즉, $48$과 $60$의 최대 공약수는 $12$입니다.

NPL의 정의

정의 3

자연수의 공배수$a$ 및 $b$는 $a$와 $b$의 배수인 자연수입니다.

숫자의 공배수는 나머지 없이 원래 숫자로 나누어지는 숫자입니다. 예를 들어 $25$와 $50$의 경우 공배수는 $50,100,150,200$ 등이 됩니다.

가장 작은 공배수는 최소 공배수라고 하며 LCM$(a;b)$ 또는 K$(a;b).$로 표시됩니다.

두 숫자의 LCM을 찾으려면 다음을 수행해야 합니다.

숫자를 소인수로 분해
첫 번째 숫자의 일부인 요소를 적고 두 번째 숫자의 일부이고 첫 번째 숫자의 일부가 아닌 요소를 추가합니다.

실시예 4

$99$와 $77$의 최소공배수를 구하세요.

제시된 알고리즘에 따라 찾아보겠습니다. 이를 위해

숫자를 소인수로 분해

$99=3\cdot 3\cdot 11$

첫 번째에 포함된 요소를 적어보세요.

첫 번째의 일부가 아닌 두 번째의 일부인 승수를 추가하세요.

2단계에서 찾은 숫자의 곱을 찾습니다. 결과 숫자는 원하는 최소 공배수가 됩니다.

$NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

숫자의 제수 목록을 작성하는 것은 매우 노동 집약적인 작업인 경우가 많습니다. 유클리드 알고리즘이라는 GCD를 찾는 방법이 있습니다.

유클리드 알고리즘의 기반이 되는 진술:

$a$와 $b$가 자연수이고 $a\vdots b$이면 $D(a;b)=b$

$a$ 및 $b$가 $b와 같은 자연수인 경우

$D(a;b)= D(a-b;b)$를 사용하면 그 중 하나가 다른 숫자로 나누어지는 한 쌍의 숫자에 도달할 때까지 고려 중인 숫자를 연속적으로 줄일 수 있습니다. 그러면 이들 숫자 중 더 작은 숫자가 $a$ 및 $b$ 숫자에 대해 원하는 최대 공약수가 됩니다.

GCD 및 LCM의 속성

$a$와 $b$의 공배수는 K$(a;b)$로 나눌 수 있습니다.
$a\vdots b$ 이면 К$(a;b)=a$

K$(a;b)=k$이고 $m$이 자연수이면 K$(am;bm)=km$

$d$가 $a$와 $b$의 공약수이면 K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $

$a\vdots c$ 및 $b\vdots c$ 이면 $\frac(ab)(c)$는 $a$ 및 $b$의 공배수입니다.

모든 자연수 $a$ 및 $b$에 대해 동일성이 유지됩니다.

$D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$

$a$와 $b$의 공약수는 $D(a;b)$의 약수입니다.

십자형 곱셈

공약수법

일. 표현의 의미를 찾으십시오.

최소 공배수 방법이 얼마나 큰 차이를 가져오는지 이해하려면 십자형 방법을 사용하여 동일한 예를 계산해 보세요.

분수의 공통분모

물론 계산기 없이 말입니다. 이 댓글 이후에는 불필요할 것 같습니다.

참조:

처음에는 캐스트 방법을 포함하고 싶었습니다. 공통분모"분수 덧셈과 뺄셈" 섹션에서. 그러나 정보가 너무 많고 그 중요성이 너무 커서 (결국 숫자 분수에만 공통 분모가있는 것이 아니라)이 문제를 별도로 연구하는 것이 좋습니다.

그럼 우리가 두 개의 분수를 가지고 있다고 가정해 봅시다. 다른 분모. 그리고 우리는 분모가 동일해지기를 원합니다. 분수의 기본 속성이 구출됩니다. 이는 다음과 같이 들립니다.

분수의 분자와 분모에 0이 아닌 동일한 숫자를 곱하면 분수는 변하지 않습니다.

따라서 인수를 올바르게 선택하면 분수의 분모가 동일해집니다. 이 프로세스를 호출합니다. 그리고 필요한 숫자, 즉 분모를 "균등화"하는 숫자가 호출됩니다.

분수를 공통분모로 줄여야 하는 이유는 무엇입니까? 다음은 몇 가지 이유입니다.

분모가 다른 분수를 더하고 뺍니다. 이 작업을 수행하는 다른 방법은 없습니다.
분수를 비교합니다. 때로는 공통 분모로 축소하면 이 작업이 크게 단순화됩니다.
분수와 백분율과 관련된 문제를 해결합니다. 백분율은 본질적으로 분수를 포함하는 일반적인 표현입니다.

곱하면 분수의 분모가 같아지는 숫자를 찾는 방법에는 여러 가지가 있습니다. 복잡성이 증가하고 어떤 의미에서는 효율성이 높아지는 순서로 그 중 세 가지만 고려할 것입니다.

십자형 곱셈

가장 간단하고 믿을 수 있는 방법, 이는 분모의 균등화를 보장합니다. 우리는 "무모한 방식으로" 행동할 것입니다. 첫 번째 분수에 두 번째 분수의 분모를 곱하고 두 번째 분수에 첫 번째 분수의 분모를 곱합니다. 결과적으로 두 분수의 분모는 원래 분모의 곱과 같아집니다. 살펴보세요:

일. 표현의 의미를 찾으십시오.

추가 요소로 인접한 분수의 분모를 고려하십시오. 우리는 다음을 얻습니다:

예, 아주 간단합니다. 방금 분수 공부를 시작했다면 이 방법을 사용하는 것이 더 좋습니다. 이렇게 하면 많은 실수로부터 자신을 보호하고 결과를 얻을 수 있습니다.

유일한 단점 이 방법- 분모가 "전체적으로" 곱해지기 때문에 많이 계산해야 하며 결과는 매우 다를 수 있습니다. 큰 숫자. 이는 신뢰성에 대한 대가입니다.

공약수법

이 기술은 계산을 크게 줄이는 데 도움이 되지만 불행히도 거의 사용되지 않습니다. 방법은 다음과 같습니다.

직진하기 전에(예: 십자형 방법 사용) 분모를 살펴보세요. 아마도 그 중 하나(더 큰 것)가 다른 것으로 나누어져 있을 것입니다.
이 나눗셈으로 인한 숫자는 분모가 더 작은 분수에 대한 추가 요소가 됩니다.
이 경우 분모가 큰 분수에는 어떤 것도 곱할 필요가 없습니다. 이것이 바로 절약 효과입니다. 동시에 오류 가능성이 급격히 감소합니다.

일. 표현의 의미를 찾으십시오.

84: 21 = 4; 72: 12 = 6. 두 경우 모두 하나의 분모가 나머지 없이 다른 분모로 나누어지기 때문에 우리는 공약수 방법을 사용합니다. 우리는:

두 번째 분수에는 아무 것도 곱해지지 않았습니다. 실제로 계산량이 절반으로 줄었습니다!

그건 그렇고, 나는 이 예에서 분수를 우연히 취한 것이 아닙니다. 관심이 있으시면 십자형 방법을 사용하여 숫자를 세어보세요. 축소 후에도 답변은 동일하지만 작업이 훨씬 더 많아집니다.

이것이 공약수법의 위력이지만, 분모 중 하나를 나머지 없이 다른 분모로 나눌 때만 사용할 수 있습니다. 아주 드물게 발생합니다.

최소공배수법

분수를 공통 분모로 줄이는 것은 본질적으로 각 분모로 나누어지는 숫자를 찾으려고 노력하는 것입니다. 그런 다음 두 분수의 분모를 이 숫자로 가져옵니다.

그러한 숫자가 많이 있으며, "십자형" 방법에서 가정하는 것처럼 그 중 가장 작은 숫자가 반드시 원래 분수의 분모의 직접 곱과 같지는 않습니다.

예를 들어, 분모 8과 12의 경우 24: 8 = 3이므로 숫자 24가 매우 적합합니다. 24: 12 = 2. 이 숫자는 곱 8 12 = 96보다 훨씬 적습니다.

각 분모로 나누어지는 가장 작은 수를 LCM(분모)이라고 합니다.

표기법: a와 b의 최소 공배수는 LCM(a; b)로 표시됩니다. 예를 들어, LCM(16, 24) = 48; LCM(8; 12) = 24.

그러한 숫자를 찾으면 총 계산량이 최소화됩니다. 예제를 살펴보세요:

최저 공통 분모를 찾는 방법

표현의 의미를 찾으십시오.

234 = 117 2; 351 = 117 · 3. 인수 2와 3은 서로소(1 외에 공통 인수가 없음)이고 인수 117은 공통입니다. 따라서 LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702입니다.

마찬가지로 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. 인자 3과 4는 서로소이고, 인자 5는 공통입니다. 따라서 LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60입니다.

이제 분수를 공통 분모로 가져오겠습니다.

원래 분모를 인수분해하는 것이 얼마나 유용한지 확인하세요.

동일한 인수를 발견한 후 우리는 즉시 최소 공배수에 도달했습니다. 이는 일반적으로 사소한 문제가 아닙니다.
결과 확장을 통해 각 분수에서 어떤 요소가 "누락"되었는지 확인할 수 있습니다. 예를 들어, 234 · 3 = 702이므로 첫 번째 분수의 경우 추가 인수는 3입니다.

실제 예에서는 그렇게 복잡한 분수가 없을 것이라고 생각하지 마십시오. 그들은 항상 만나고 위의 작업에는 제한이 없습니다!

유일한 문제는 바로 이 NOC를 찾는 방법입니다. 때로는 문자 그대로 "눈으로" 몇 초 안에 모든 것을 찾을 수 있지만 일반적으로 이는 별도의 고려가 필요한 복잡한 계산 작업입니다. 여기서는 이에 대해 다루지 않겠습니다.

참조:

분수를 공통 분모로 줄이기

나는 원래 분수 덧셈과 뺄셈 섹션에 공통분모 기술을 포함시키고 싶었습니다. 그러나 정보가 너무 많고 그 중요성이 너무 커서 (결국 숫자 분수에만 공통 분모가있는 것이 아니라)이 문제를 별도로 연구하는 것이 좋습니다.

자, 분모가 다른 두 개의 분수가 있다고 가정해 보겠습니다. 그리고 우리는 분모가 동일해지기를 원합니다. 분수의 기본 속성이 구출됩니다. 이는 다음과 같이 들립니다.

분수의 분자와 분모에 0이 아닌 동일한 숫자를 곱하면 분수는 변하지 않습니다.

분수를 공통분모로 줄여야 하는 이유는 무엇입니까?

공통분모, 개념 및 정의.

다음은 몇 가지 이유입니다.

분모가 다른 분수를 더하고 뺍니다. 이 작업을 수행하는 다른 방법은 없습니다.
분수를 비교합니다. 때로는 공통 분모로 축소하면 이 작업이 크게 단순화됩니다.
분수와 백분율과 관련된 문제를 해결합니다. 백분율은 본질적으로 분수를 포함하는 일반적인 표현입니다.

십자형 곱셈

분모 균등화를 보장하는 가장 간단하고 안정적인 방법입니다. 우리는 "무모한 방식으로" 행동할 것입니다. 첫 번째 분수에 두 번째 분수의 분모를 곱하고 두 번째 분수에 첫 번째 분수의 분모를 곱합니다. 결과적으로 두 분수의 분모는 원래 분모의 곱과 같아집니다. 살펴보세요:

일. 표현의 의미를 찾으십시오.

추가 요소로 인접한 분수의 분모를 고려하십시오. 우리는 다음을 얻습니다:

이 방법의 유일한 단점은 분모에 "완전히" 곱해지고 결과가 매우 커질 수 있기 때문에 많이 계산해야 한다는 것입니다. 이는 신뢰성에 대한 대가입니다.

공약수법

이 기술은 계산을 크게 줄이는 데 도움이 되지만 불행히도 거의 사용되지 않습니다. 방법은 다음과 같습니다.

직진하기 전에(예: 십자형 방법 사용) 분모를 살펴보세요. 아마도 그 중 하나(더 큰 것)가 다른 것으로 나누어져 있을 것입니다.
이 나눗셈으로 인한 숫자는 분모가 더 작은 분수에 대한 추가 요소가 됩니다.
이 경우 분모가 큰 분수에는 어떤 것도 곱할 필요가 없습니다. 이것이 바로 절약 효과입니다. 동시에 오류 가능성이 급격히 감소합니다.

일. 표현의 의미를 찾으십시오.

84: 21 = 4; 72: 12 = 6. 두 경우 모두 하나의 분모가 나머지 없이 다른 분모로 나누어지기 때문에 우리는 공약수 방법을 사용합니다. 우리는:

두 번째 분수에는 아무 것도 곱해지지 않았습니다. 실제로 계산량이 절반으로 줄었습니다!

이것이 공약수법의 위력이지만, 분모 중 하나를 나머지 없이 다른 분모로 나눌 때만 사용할 수 있습니다. 아주 드물게 발생합니다.

최소공배수법

그러한 숫자가 많이 있으며, "십자형" 방법에서 가정하는 것처럼 그 중 가장 작은 숫자가 반드시 원래 분수의 분모의 직접 곱과 같지는 않습니다.

예를 들어, 분모 8과 12의 경우 24: 8 = 3이므로 숫자 24가 매우 적합합니다. 24: 12 = 2. 이 숫자는 곱 8 12 = 96보다 훨씬 적습니다.

각 분모로 나누어지는 가장 작은 수를 LCM(분모)이라고 합니다.

표기법: a와 b의 최소 공배수는 LCM(a; b)로 표시됩니다. 예를 들어, LCM(16, 24) = 48; LCM(8; 12) = 24.

그러한 숫자를 찾으면 총 계산량이 최소화됩니다. 예제를 살펴보세요:

일. 표현의 의미를 찾으십시오.

234 = 117 2; 351 = 117 · 3. 인수 2와 3은 서로소(1 외에 공통 인수가 없음)이고 인수 117은 공통입니다. 따라서 LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702입니다.

마찬가지로 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. 인자 3과 4는 서로소이고, 인자 5는 공통입니다. 따라서 LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60입니다.

이제 분수를 공통 분모로 가져오겠습니다.

원래 분모를 인수분해하는 것이 얼마나 유용한지 확인하세요.

동일한 인수를 발견한 후 우리는 즉시 최소 공배수에 도달했습니다. 이는 일반적으로 사소한 문제가 아닙니다.
결과 확장을 통해 각 분수에서 어떤 요소가 "누락"되었는지 확인할 수 있습니다. 예를 들어, 234 · 3 = 702이므로 첫 번째 분수의 경우 추가 인수는 3입니다.

최소 공배수 방법이 얼마나 큰 차이를 가져오는지 이해하려면 십자형 방법을 사용하여 동일한 예를 계산해 보세요. 물론 계산기 없이 말입니다. 이 댓글 이후에는 불필요할 것 같습니다.

실제 예에서는 그렇게 복잡한 분수가 없을 것이라고 생각하지 마십시오. 그들은 항상 만나고 위의 작업에는 제한이 없습니다!

참조:

분수를 공통 분모로 줄이기

분수의 분자와 분모에 0이 아닌 동일한 숫자를 곱하면 분수는 변하지 않습니다.

분수를 공통분모로 줄여야 하는 이유는 무엇입니까? 다음은 몇 가지 이유입니다.

분모가 다른 분수를 더하고 뺍니다. 이 작업을 수행하는 다른 방법은 없습니다.
분수를 비교합니다. 때로는 공통 분모로 축소하면 이 작업이 크게 단순화됩니다.
분수와 백분율과 관련된 문제를 해결합니다. 백분율은 본질적으로 분수를 포함하는 일반적인 표현입니다.

십자형 곱셈

분모 균등화를 보장하는 가장 간단하고 안정적인 방법입니다. 우리는 "무모한 방식으로" 행동할 것입니다. 첫 번째 분수에 두 번째 분수의 분모를 곱하고 두 번째 분수에 첫 번째 분수의 분모를 곱합니다. 결과적으로 두 분수의 분모는 원래 분모의 곱과 같아집니다.

살펴보세요:

일. 표현의 의미를 찾으십시오.

추가 요소로 인접한 분수의 분모를 고려하십시오. 우리는 다음을 얻습니다:

공약수법

이 기술은 계산을 크게 줄이는 데 도움이 되지만 불행히도 거의 사용되지 않습니다. 방법은 다음과 같습니다.

직진하기 전에(예: 십자형 방법 사용) 분모를 살펴보세요. 아마도 그 중 하나(더 큰 것)가 다른 것으로 나누어져 있을 것입니다.
이 나눗셈으로 인한 숫자는 분모가 더 작은 분수에 대한 추가 요소가 됩니다.
이 경우 분모가 큰 분수에는 어떤 것도 곱할 필요가 없습니다. 이것이 바로 절약 효과입니다. 동시에 오류 가능성이 급격히 감소합니다.

일. 표현의 의미를 찾으십시오.

84: 21 = 4; 72: 12 = 6. 두 경우 모두 하나의 분모가 나머지 없이 다른 분모로 나누어지기 때문에 우리는 공약수 방법을 사용합니다. 우리는:

두 번째 분수에는 아무 것도 곱해지지 않았습니다. 실제로 계산량이 절반으로 줄었습니다!

이것이 공약수법의 위력이지만, 분모 중 하나를 나머지 없이 다른 분모로 나눌 때만 사용할 수 있습니다. 아주 드물게 발생합니다.

최소공배수법

그러한 숫자가 많이 있으며, "십자형" 방법에서 가정하는 것처럼 그 중 가장 작은 숫자가 반드시 원래 분수의 분모의 직접 곱과 같지는 않습니다.

예를 들어, 분모 8과 12의 경우 24: 8 = 3이므로 숫자 24가 매우 적합합니다. 24: 12 = 2. 이 숫자는 곱 8 12 = 96보다 훨씬 적습니다.

각 분모로 나누어지는 가장 작은 수를 LCM(분모)이라고 합니다.

표기법: a와 b의 최소 공배수는 LCM(a; b)로 표시됩니다. 예를 들어, LCM(16, 24) = 48; LCM(8; 12) = 24.

그러한 숫자를 찾으면 총 계산량이 최소화됩니다. 예제를 살펴보세요:

일. 표현의 의미를 찾으십시오.

234 = 117 2; 351 = 117 · 3. 인수 2와 3은 서로소(1 외에 공통 인수가 없음)이고 인수 117은 공통입니다. 따라서 LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702입니다.

마찬가지로 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. 인자 3과 4는 서로소이고, 인자 5는 공통입니다. 따라서 LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60입니다.

이제 분수를 공통 분모로 가져오겠습니다.

원래 분모를 인수분해하는 것이 얼마나 유용한지 확인하세요.

동일한 인수를 발견한 후 우리는 즉시 최소 공배수에 도달했습니다. 이는 일반적으로 사소한 문제가 아닙니다.
결과 확장을 통해 각 분수에서 어떤 요소가 "누락"되었는지 확인할 수 있습니다. 예를 들어, 234 · 3 = 702이므로 첫 번째 분수의 경우 추가 인수는 3입니다.

실제 예에서는 그렇게 복잡한 분수가 없을 것이라고 생각하지 마십시오. 그들은 항상 만나고 위의 작업에는 제한이 없습니다!

참조:

분수를 공통 분모로 줄이기

분수의 분자와 분모에 0이 아닌 동일한 숫자를 곱하면 분수는 변하지 않습니다.

분수를 공통분모로 줄여야 하는 이유는 무엇입니까? 다음은 몇 가지 이유입니다.

분모가 다른 분수를 더하고 뺍니다. 이 작업을 수행하는 다른 방법은 없습니다.
분수를 비교합니다. 때로는 공통 분모로 축소하면 이 작업이 크게 단순화됩니다.
분수와 백분율과 관련된 문제를 해결합니다. 백분율은 본질적으로 분수를 포함하는 일반적인 표현입니다.

십자형 곱셈

일. 표현의 의미를 찾으십시오.

추가 요소로 인접한 분수의 분모를 고려하십시오. 우리는 다음을 얻습니다:

이 방법의 유일한 단점은 분모에 "완전히" 곱해지고 결과가 매우 커질 수 있기 때문에 많이 계산해야 한다는 것입니다.

분수를 공통 분모로 줄이기

이는 신뢰성에 대한 대가입니다.

공약수법

이 기술은 계산을 크게 줄이는 데 도움이 되지만 불행히도 거의 사용되지 않습니다. 방법은 다음과 같습니다.

직진하기 전에(예: 십자형 방법 사용) 분모를 살펴보세요. 아마도 그 중 하나(더 큰 것)가 다른 것으로 나누어져 있을 것입니다.
이 나눗셈으로 인한 숫자는 분모가 더 작은 분수에 대한 추가 요소가 됩니다.
이 경우 분모가 큰 분수에는 어떤 것도 곱할 필요가 없습니다. 이것이 바로 절약 효과입니다. 동시에 오류 가능성이 급격히 감소합니다.

일. 표현의 의미를 찾으십시오.

84: 21 = 4; 72: 12 = 6. 두 경우 모두 하나의 분모가 나머지 없이 다른 분모로 나누어지기 때문에 우리는 공약수 방법을 사용합니다. 우리는:

두 번째 분수에는 아무 것도 곱해지지 않았습니다. 실제로 계산량이 절반으로 줄었습니다!

이것이 공약수법의 위력이지만, 분모 중 하나를 나머지 없이 다른 분모로 나눌 때만 사용할 수 있습니다. 아주 드물게 발생합니다.

최소공배수법

그러한 숫자가 많이 있으며, "십자형" 방법에서 가정하는 것처럼 그 중 가장 작은 숫자가 반드시 원래 분수의 분모의 직접 곱과 같지는 않습니다.

예를 들어, 분모 8과 12의 경우 24: 8 = 3이므로 숫자 24가 매우 적합합니다. 24: 12 = 2. 이 숫자는 곱 8 12 = 96보다 훨씬 적습니다.

각 분모로 나누어지는 가장 작은 수를 LCM(분모)이라고 합니다.

표기법: a와 b의 최소 공배수는 LCM(a; b)로 표시됩니다. 예를 들어, LCM(16, 24) = 48; LCM(8; 12) = 24.

그러한 숫자를 찾으면 총 계산량이 최소화됩니다. 예제를 살펴보세요:

일. 표현의 의미를 찾으십시오.

234 = 117 2; 351 = 117 · 3. 인수 2와 3은 서로소(1 외에 공통 인수가 없음)이고 인수 117은 공통입니다. 따라서 LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702입니다.

마찬가지로 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. 인자 3과 4는 서로소이고, 인자 5는 공통입니다. 따라서 LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60입니다.

이제 분수를 공통 분모로 가져오겠습니다.

원래 분모를 인수분해하는 것이 얼마나 유용한지 확인하세요.

동일한 인수를 발견한 후 우리는 즉시 최소 공배수에 도달했습니다. 이는 일반적으로 사소한 문제가 아닙니다.
결과 확장을 통해 각 분수에서 어떤 요소가 "누락"되었는지 확인할 수 있습니다. 예를 들어, 234 · 3 = 702이므로 첫 번째 분수의 경우 추가 인수는 3입니다.

실제 예에서는 그렇게 복잡한 분수가 없을 것이라고 생각하지 마십시오. 그들은 항상 만나고 위의 작업에는 제한이 없습니다!

분모가 다른 대수 분수를 더하고 뺄 때 분수는 먼저 다음으로 이어집니다. 공통분모. 이는 주어진 수식에 포함된 각 대수 분수의 원래 분모로 나누어진 하나의 분모를 찾는 것을 의미합니다.

아시다시피, 분수의 분자와 분모에 0이 아닌 동일한 숫자를 곱하거나 나누어도 분수의 값은 변하지 않습니다. 이것이 분수의 주요 속성입니다. 따라서 분수를 공통 분모로 줄이면 본질적으로 각 분수의 원래 분모에 누락된 요소를 곱하여 공통 분모를 얻습니다. 이 경우 분수의 분자에 이 인수를 곱해야 합니다(분수마다 다릅니다).

예를 들어, 대수 분수의 합이 다음과 같이 주어진다면:

표현을 단순화하는 것, 즉 두 개의 대수 분수를 추가하는 것이 필요합니다. 그러기 위해서는 먼저 분수항을 공통분모로 가져와야 합니다. 첫 번째 단계는 3x와 2y로 나누어지는 단항식을 찾는 것입니다. 이 경우에는 3x와 2y에 대해 가장 작은 것, 즉 최소공배수(LCM)를 구하는 것이 바람직하다.

수치계수와 변수의 경우 LCM을 별도로 검색합니다. LCM(3, 2) = 6, LCM(x, y) = xy입니다. 다음으로 찾은 값에 6xy를 곱합니다.

이제 6xy를 얻기 위해 3x를 곱해야 하는 요소를 결정해야 합니다.
6xy ¼ 3x = 2y

이는 첫 번째 대수 분수를 공통 분모로 줄일 때 분자에 2y를 곱해야 함을 의미합니다(공통 분모로 줄일 때 분모는 이미 곱해졌습니다). 두 번째 분수의 분자에 대한 승수도 비슷하게 찾습니다. 3배와 같습니다.

따라서 우리는 다음을 얻습니다:

그런 다음 분수를 사용하여 진행할 수 있습니다. 같은 분모: 분자가 추가되고 하나의 공통 분모가 작성됩니다.

변환 후에는 다음과 같은 단순화된 표현식이 얻어집니다. 대수 분수, 이는 두 개의 원래 항목의 합입니다.

원래 표현식의 대수 분수에는 단항식이 아닌 다항식인 분모가 포함될 수 있습니다(위의 예에서와 같이). 이 경우 공통분모를 찾기 전에 (가능한 경우) 분모를 인수분해해야 합니다. 다음으로, 공통분모는 다양한 요소로부터 수집됩니다. 승수가 여러 원래 분모에 있으면 한 번만 사용됩니다. 승수가 원래 분모에서 다른 거듭제곱을 갖는 경우 더 큰 분모로 사용됩니다. 예를 들어:

여기서 다항식 a 2 – b 2는 곱(a – b)(a + b)으로 표현될 수 있습니다. 인수 2a – 2b는 2(a – b)로 확장됩니다. 따라서 공통 분모는 2(a – b)(a + b)가 됩니다.

분수를 가장 낮은 공통 분모로 줄이려면 다음을 수행해야 합니다. 1) 주어진 분수의 분모의 최소 공배수를 찾으면 가장 낮은 공통 분모가 됩니다. 2) 각 분수에 대한 추가 요소를 찾으십시오. 나누는 이유는 무엇입니까? 새로운 분모각 분수의 분모에. 3) 각 분수의 분자와 분모에 추가 요소를 곱합니다.

예. 다음 분수를 가장 낮은 공통 분모로 줄이세요.

우리는 분모의 최소 공배수를 찾습니다: LCM(5; 4) = 20, 왜냐하면 20은 5와 4로 나누어지는 가장 작은 숫자이기 때문입니다. 첫 번째 분수에 대해 추가 인수 4(20)를 찾습니다. : 5=4). 두 번째 부분의 경우 추가 요소는 5(20)입니다. : 4=5). 첫 번째 분수의 분자와 분모에 4를 곱하고 두 번째 분수의 분자와 분모에 5를 곱합니다. 이 분수를 가장 낮은 공통 분모로 줄였습니다( 20 ).

이 분수의 최소 공통 분모는 숫자 8입니다. 8은 4와 그 자체로 나누어지기 때문입니다. 첫 번째 분수에는 추가 요소가 없습니다(또는 1과 같다고 말할 수 있음). 두 번째 분수의 경우 추가 요소는 2(8)입니다. : 4=2). 두 번째 분수의 분자와 분모에 2를 곱합니다. 이 분수를 가장 낮은 공통 분모로 줄였습니다( 8 ).

이 분수는 환원 불가능하지 않습니다.

첫 번째 분수를 4로 줄이고 두 번째 분수를 2로 줄이겠습니다. ( 일반 분수를 줄이는 방법에 대한 예를 참조하세요. 사이트맵 → 5.4.2. 공통 분수를 줄이는 예). LOC 찾기(16 ; 20)=2 4 · 5=16· 5=80. 첫 번째 부분에 대한 추가 승수는 5(80)입니다. : 16=5). 두 번째 부분의 추가 요소는 4(80)입니다. : 20=4). 첫 번째 분수의 분자와 분모에 5를 곱하고 두 번째 분수의 분자와 분모에 4를 곱합니다. 이 분수를 가장 낮은 공통 분모로 줄였습니다( 80 ).

우리는 가장 낮은 공통 분모 NCD(5)를 찾습니다. ; 6과 15)=NOK(5 ; 6 및 15)=30. 첫 번째 분수에 대한 추가 요소는 6(30)입니다. : 5=6), 두 번째 분수에 대한 추가 요소는 5(30)입니다. : 6=5), 세 번째 분수에 대한 추가 요소는 2(30)입니다. : 15=2). 첫 번째 분수의 분자와 분모에 6을 곱하고, 두 번째 분수의 분자와 분모에 5를, 세 번째 분수의 분자와 분모에 2를 곱합니다. 이 분수를 최소 공통 분모로 줄였습니다( 30 ).

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이 기사에서는 설명합니다. 최소 공통 분모를 찾는 방법그리고 분수를 공통 분모로 줄이는 방법. 먼저, 분수의 공통분모와 최소공분모의 정의를 제시하고, 분수의 공통분모를 구하는 방법을 제시한다. 다음은 분수를 공통 분모로 줄이는 규칙이며 이 규칙을 적용한 예를 고려합니다. 결론적으로 세 개 이상의 분수를 공통 분모로 가져오는 예를 논의합니다.

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분수를 공통분모로 줄이는 것을 무엇이라고 하나요?

이제 우리는 분수를 공통 분모로 줄이는 것이 무엇인지 말할 수 있습니다. 분수를 공통 분모로 줄이기- 이것은 주어진 분수의 분자와 분모에 추가 요소를 곱하여 결과가 동일한 분모를 가진 분수가 되는 것입니다.

공통 분모, 정의, 예

이제 분수의 공통분모를 정의할 차례입니다.

즉, 특정 일반 분수 집합의 공통 분모는 이러한 분수의 모든 분모로 나누어지는 자연수입니다.

명시된 정의에 따르면 원래 분수 집합의 모든 분모에 대한 공배수가 무한하므로 주어진 분수 집합에는 무한히 많은 공통 분모가 있습니다.

분수의 공통 분모를 결정하면 주어진 분수의 공통 분모를 찾을 수 있습니다. 예를 들어 분수 1/4과 5/6이 주어지면 분모는 각각 4와 6이 됩니다. 숫자 4와 6의 양의 공배수는 숫자 12, 24, 36, 48, ...입니다. 이 숫자 중 하나는 분수 1/4과 5/6의 공통 분모입니다.

자료를 통합하려면 다음 예에 대한 솔루션을 고려하십시오.

예.

분수 2/3, 23/6, 7/12를 공통분모 150으로 줄일 수 있나요?

해결책.

이 질문에 답하려면 숫자 150이 분모 3, 6, 12의 공배수인지 알아내야 합니다. 이를 위해 150이 각 숫자로 나누어지는지 확인하겠습니다(필요한 경우 자연수를 나누는 규칙과 예, 자연수를 나머지로 나누는 규칙과 예 참조). 150:3=50 , 150:6=25, 150:12=12 (나머지 6개) .

그래서, 150은 12로 균등하게 나누어지지 않으므로 150은 3, 6, 12의 공배수가 아닙니다. 따라서 숫자 150은 원래 분수의 공통 분모가 될 수 없습니다.

답변:

그것은 금지되어 있습니다.