Veprimet me thyesa. Në këtë artikull do të shikojmë shembuj, gjithçka në detaje me shpjegime. Ne do të shqyrtojmë thyesat e zakonshme. Do t'i shikojmë numrat dhjetorë më vonë. Unë rekomandoj ta shikoni të gjithë dhe ta studioni atë në vazhdimësi.

1. Shuma e thyesave, dallimi i thyesave.

Rregulla: kur mblidhen thyesa me emërues të barabartë, rezultati është një thyesë - emëruesi i së cilës mbetet i njëjtë, dhe numëruesi i tij do të jetë i barabartë me shumën e numëruesve të thyesave.

Rregulla: kur njehsohet diferenca e thyesave me emërues të njëjtë marrim një thyesë - emëruesi mbetet i njëjtë, dhe numëruesi i të dytit zbritet nga numëruesi i fraksionit të parë.

Shënimi zyrtar për shumën dhe ndryshimin e thyesave me emërues të barabartë:

Shembuj (1):

Është e qartë se kur jepen thyesat e zakonshme, atëherë gjithçka është e thjeshtë, por çfarë nëse ato përzihen? Asgjë e komplikuar...

opsioni 1– mund t’i shndërroni në të zakonshme dhe më pas t’i llogaritni.

Opsioni 2– mund të “punoni” veçmas me pjesët e plota dhe thyesore.

Shembuj (2):

Më shumë:

Dhe nëse diferenca e dy është dhënë thyesat e përziera dhe numëruesi i thyesës së parë do të jetë më i vogël se numëruesi i të dytës? Ju gjithashtu mund të veproni në dy mënyra.

Shembuj (3):

*Konvertuar në thyesa të zakonshme, llogaritur diferencën, konvertoi thyesën e papërshtatshme që rezulton në një fraksion të përzier.

*E ndamë atë në pjesë të plota dhe të pjesshme, morëm një tre, më pas paraqitëm 3 si shumën e 2 dhe 1, me një të përfaqësuar si 11/11, më pas gjetëm ndryshimin midis 11/11 dhe 7/11 dhe llogaritëm rezultatin . Kuptimi i shndërrimeve të mësipërme është të marrim (zgjedhim) një njësi dhe ta paraqesim në formë thyese me emëruesin që na nevojitet, pastaj mund të zbresim një tjetër nga kjo thyesë.

Një shembull tjetër:

Përfundim: ekziston një qasje universale - për të llogaritur shumën (diferencën) e fraksioneve të përziera me emërues të barabartë, ato gjithmonë mund të shndërrohen në të pahijshme, pastaj të kryeni veprimin e nevojshëm. Pas kësaj, nëse rezultati është një fraksion jo i duhur, ne e kthejmë atë në një fraksion të përzier.

Më sipër shikuam shembuj me thyesa që kanë emërues të barabartë. Po sikur emëruesit të jenë të ndryshëm? Në këtë rast, thyesat reduktohen në të njëjtin emërues dhe kryhet veprimi i specifikuar. Për të ndryshuar (transformuar) një thyesë përdoret vetia bazë e thyesës.

Le të shohim shembuj të thjeshtë:

Në këta shembuj, ne shohim menjëherë se si një nga thyesat mund të transformohet për të marrë emërues të barabartë.

Nëse përcaktojmë mënyra për të reduktuar thyesat në të njëjtin emërues, atëherë do ta quajmë këtë METODA E PARË.

Kjo do të thotë, menjëherë kur "vlerësoni" një fraksion, duhet të kuptoni nëse kjo qasje do të funksionojë - ne kontrollojmë nëse emëruesi më i madh është i pjesëtueshëm me atë më të vogël. Dhe nëse është i ndashëm, atëherë ne kryejmë transformimin - shumëzojmë numëruesin dhe emëruesin në mënyrë që emëruesit e të dy thyesave të bëhen të barabartë.

Tani shikoni këta shembuj:

Kjo qasje nuk është e zbatueshme për ta. Ka edhe mënyra për t'i reduktuar thyesat në një emërues të përbashkët;

Metoda e Dytë.

Ne shumëzojmë numëruesin dhe emëruesin e thyesës së parë me emëruesin e të dytës, dhe numëruesin dhe emëruesin e thyesës së dytë me emëruesin e së parës:

*Në fakt, ne i reduktojmë thyesat në formën kur emëruesit bëhen të barabartë. Më pas, ne përdorim rregullin për mbledhjen e thyesave me emërues të barabartë.

Shembull:

*Kjo metodë mund të quhet universale dhe funksionon gjithmonë. E vetmja negative është se pas llogaritjeve mund të përfundoni me një fraksion që do të duhet të zvogëlohet më tej.

Le të shohim një shembull:

Mund të shihet se numëruesi dhe emëruesi janë të pjesëtueshëm me 5:

Metoda e Tretë.

Ju duhet të gjeni shumëfishin më të vogël të përbashkët (LCM) të emëruesve. Kjo është ajo që do të ndodhë emërues i përbashkët. Çfarë lloj numri është ky? Kjo është më e pakta numri natyror, i cili pjesëtohet me secilin nga numrat.

Shikoni, këtu janë dy numra: 3 dhe 4, ka shumë numra që pjesëtohen me ta - këta janë 12, 24, 36, ... Më i vogli prej tyre është 12. Ose 6 dhe 15, ata janë të pjesëtueshëm me 30, 60, 90 .... Më e pakta është 30. Pyetja është - si të përcaktohet ky shumëfish më pak i zakonshëm?

Ekziston një algoritëm i qartë, por shpesh kjo mund të bëhet menjëherë pa llogaritje. Për shembull, sipas shembujve të mësipërm (3 dhe 4, 6 dhe 15) nuk nevojitet asnjë algoritëm, morëm numra të mëdhenj (4 dhe 15), i dyfishuam dhe pamë se janë të pjesëtueshëm me numrin e dytë, por çiftet e numrave mund të të jenë të tjerët, për shembull 51 dhe 119.

Algoritmi. Për të përcaktuar shumëfishin më të vogël të përbashkët të disa numrave, duhet:

- zbërthejë çdo numër në faktorë të THJESHTË

— shkruani zbërthimin e MË TË MËDHIT prej tyre

- shumëzojeni atë me faktorët që Mungojnë të numrave të tjerë

Le të shohim shembuj:

50 dhe 60 => 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5

në zbërthim më shumë mungon një pesë

=> LCM(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300

48 dhe 72 => 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3

në zgjerimin e një numri më të madh mungojnë dy dhe tre

=> LCM(48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144

* Shumëfishi më i vogël i përbashkët i dy numrave të thjeshtë është prodhimi i tyre

Pyetje! Pse është e dobishme gjetja e shumëfishit më të vogël të përbashkët, pasi mund të përdorni metodën e dytë dhe thjesht të zvogëloni fraksionin që rezulton? Po, është e mundur, por nuk është gjithmonë i përshtatshëm. Shikoni emëruesin për numrat 48 dhe 72 nëse thjesht i shumëzoni 48∙72 = 3456. Do të pajtoheni se është më e këndshme të punosh me numra më të vegjël.

Le të shohim shembuj:

*51 = 3∙17 119 = 7∙17

zgjerimit të një numri më të madh i mungon një trefish

=> NOC(51,119) = 3∙7∙17

Tani le të përdorim metodën e parë:

*Shikoni ndryshimin në llogaritjet, në rastin e parë ka një minimum prej tyre, por në të dytën duhet të punoni veçmas në një copë letër, madje edhe fraksioni që keni marrë duhet të zvogëlohet. Gjetja e LOC thjeshton ndjeshëm punën.

Më shumë shembuj:

*Në shembullin e dytë është e qartë se numri më i vogël e cila pjesëtohet me 40 dhe 60 është e barabartë me 120.

REZULTATE! ALGORITMI I PËRGJITHSHËM INFORMACION!

— i zvogëlojmë thyesat në ato të zakonshme nëse ka një pjesë të plotë.

- I sjellim thyesat në një emërues të përbashkët (së pari shikojmë nëse një emërues është i pjesëtueshëm me një tjetër; nëse është i pjesëtueshëm, atëherë shumëzojmë numëruesin dhe emëruesin e kësaj thyese tjetër; nëse nuk është i pjesëtueshëm, veprojmë duke përdorur metodat e tjera. treguar më sipër).

- Pasi kemi marrë thyesa me emërues të barabartë, kryejmë veprime (mbledhje, zbritje).

- nëse është e nevojshme, ne zvogëlojmë rezultatin.

- nëse është e nevojshme, atëherë zgjidhni të gjithë pjesën.

2. Prodhimi i thyesave.

Rregulli është i thjeshtë. Gjatë shumëzimit të thyesave, numëruesit dhe emëruesit e tyre shumëzohen:

Shembuj:

Merrni parasysh thyesën $\frac63$. Vlera e tij është 2, pasi $\frac63 =6:3 = 2$. Çfarë ndodh nëse numëruesi dhe emëruesi shumëzohen me 2? $\frac63 \herë 2=\frac(12)(6)$. Natyrisht, vlera e fraksionit nuk ka ndryshuar, kështu që $\frac(12)(6)$ si y është gjithashtu e barabartë me 2. Ju mund të shumëzojnë numëruesin dhe emëruesin me 3 dhe merrni $\frac(18)(9)$, ose me 27 dhe merrni $\frac(162)(81)$, ose me 101 dhe merrni $\frac(606)(303)$. Në secilin prej këtyre rasteve, vlera e thyesës që marrim duke pjesëtuar numëruesin me emërues është 2. Kjo do të thotë se ajo nuk ka ndryshuar.

I njëjti model vërehet në rastin e fraksioneve të tjera. Nëse numëruesi dhe emëruesi i thyesës $\frac(120)(60)$ (e barabartë me 2) pjesëtohen me 2 (rezultati është $\frac(60)(30)$), ose me 3 (rezultati është $\frac(40)(20) $), ose me 4 (rezultati $\frac(30)(15)$) e kështu me radhë, atëherë në secilin rast vlera e fraksionit mbetet e pandryshuar dhe e barabartë me 2.

Ky rregull vlen edhe për thyesat që nuk janë të barabarta numër i plotë.

Nëse numëruesi dhe emëruesi i thyesës $\frac(1)(3)$ shumëzohen me 2, marrim $\frac(2)(6)$, domethënë vlera e thyesës nuk ka ndryshuar. Dhe në fakt, nëse e ndani byrekun në 3 pjesë dhe merrni njërën prej tyre, ose e ndani në 6 pjesë dhe merrni 2 pjesë, do të merrni të njëjtën sasi byreku në të dyja rastet. Prandaj, numrat $\frac(1)(3)$ dhe $\frac(2)(6)$ janë identikë. Le të formulojmë një rregull të përgjithshëm.

Numëruesi dhe emëruesi i çdo thyese mund të shumëzohen ose pjesëtohen me të njëjtin numër pa ndryshuar vlerën e thyesës.

Ky rregull rezulton të jetë shumë i dobishëm. Për shembull, lejon në disa raste, por jo gjithmonë, të shmangen operacionet me numra të mëdhenj.

Për shembull, ne mund të ndajmë numëruesin dhe emëruesin e thyesës $\frac(126)(189)$ me 63 dhe të marrim thyesën $\frac(2)(3)$, me të cilën llogaritet shumë më lehtë. Një shembull më shumë. Mund ta ndajmë numëruesin dhe emëruesin e thyesës $\frac(155)(31)$ me 31 dhe të marrim thyesën $\frac(5)(1)$ ose 5, pasi 5:1=5.

Në këtë shembull, ne fillimisht u ndeshën një thyesë, emëruesi i së cilës është 1. Fraksione të tilla luajnë një rol të rëndësishëm në llogaritjet. Duhet mbajtur mend se çdo numër mund të pjesëtohet me 1 dhe vlera e tij nuk do të ndryshojë. Domethënë, $\frac(273)(1)$ është e barabartë me 273; $\frac(509993)(1)$ është e barabartë me 509993 e kështu me radhë. Prandaj, nuk kemi pse t'i ndajmë numrat me , pasi çdo numër i plotë mund të përfaqësohet si një thyesë me emërues 1.

Me thyesa të tilla, emëruesi i të cilave është 1, mund të kryeni të njëjtat veprime aritmetike si me të gjitha thyesat e tjera: $\frac(15)(1)+\frac(15)(1)=\frac(30)(1 ) $, $\frac(4)(1) \times \frac(3)(1)=\frac(12)(1)$.

Ju mund të pyesni se çfarë dobie ka nëse përfaqësojmë një numër të plotë si një thyesë me një njësi nën vijë, pasi është më e përshtatshme të punohet me një numër të plotë. Por çështja është se përfaqësimi i një numri të plotë si thyesë na jep mundësinë për të kryer operacione të ndryshme në mënyrë më efikase kur kemi të bëjmë me numra të plotë dhe thyesa në të njëjtën kohë. Për shembull, për të mësuar mbledhin thyesa me emërues të ndryshëm. Supozoni se duhet të shtojmë $\frac(1)(3)$ dhe $\frac(1)(5)$.

Ne e dimë se mund të mbledhim vetëm thyesa, emëruesit e të cilëve janë të barabartë. Kjo do të thotë që ne duhet të mësojmë se si t'i reduktojmë thyesat në një formë ku emëruesit e tyre janë të barabartë. Në këtë rast, përsëri do të na duhet fakti që mund të shumëzojmë numëruesin dhe emëruesin e një thyese me të njëjtin numër pa ndryshuar vlerën e tij.

Së pari, shumëzojeni numëruesin dhe emëruesin e thyesës $\frac(1)(3)$ me 5. Marrim $\frac(5)(15)$, vlera e thyesës nuk ka ndryshuar. Pastaj shumëzojmë numëruesin dhe emëruesin e thyesës $\frac(1)(5)$ me 3. Marrim $\frac(3)(15)$, përsëri vlera e thyesës nuk ka ndryshuar. Prandaj, $\frac(1)(3)+\frac(1)(5)=\frac(5)(15)+\frac(3)(15)=\frac(8)(15)$.

Tani le të përpiqemi ta zbatojmë këtë sistem në mbledhjen e numrave që përmbajnë pjesë të plota dhe thyesore.

Duhet të shtojmë $3 + \frac(1)(3)+1\frac(1)(4)$. Së pari, le t'i konvertojmë të gjitha termat në thyesa dhe marrim: $\frac31 + \frac(1)(3)+\frac(5)(4)$. Tani duhet t'i sjellim të gjitha thyesat në një emërues të përbashkët, për këtë ne shumëzojmë numëruesin dhe emëruesin e thyesës së parë me 12, të dytën me 4 dhe të tretën me 3. Si rezultat, marrim $\frac(36 )(12) + \frac(4)(12)+\frac(15)(12)$, që është e barabartë me $\frac(55)(12)$. Nëse dëshironi të hiqni qafe thyesë e papërshtatshme, mund të shndërrohet në një numër të përbërë nga një numër i plotë dhe një thyesë: $\frac(55)(12) = \frac(48)(12)+\frac(7)(12)$ ose $4\frac(7 ) ( 12) $.

Të gjitha rregullat që lejojnë veprimet me thyesa, që sapo studiuam, vlejnë edhe në rastin e numrave negativë. Pra, -1: 3 mund të shkruhet si $\frac(-1)(3)$, dhe 1: (-3) si $\frac(1)(-3)$.

Meqenëse pjesëtimi i një numri negativ me një numër pozitiv dhe pjesëtimi i një numri pozitiv me një rezultat negativ rezulton në numra negativ, në të dyja rastet përgjigja do të jetë një numër negativ. Kjo eshte

$(-1) : 3 = \frac(1)(3)$ ose $1: (-3) = \frac(1)(-3)$. Shenja minus kur shkruhet në këtë mënyrë i referohet të gjithë thyesës, dhe jo veçmas numëruesit ose emëruesit.

Nga ana tjetër, (-1): (-3) mund të shkruhet si $\frac(-1)(-3)$, dhe meqenëse pjesëtimi i një numri negativ me një numër negativ jep një numër pozitiv, atëherë $\frac (-1 )(-3)$ mund të shkruhet si $+\frac(1)(3)$.

Mbledhja dhe zbritja e thyesave negative kryhet sipas të njëjtës skemë si mbledhja dhe zbritja e thyesave pozitive. Për shembull, çfarë është $1- 1\frac13$? Le t'i paraqesim të dy numrat si thyesa dhe të marrim $\frac(1)(1)-\frac(4)(3)$. Le t'i sjellim thyesat në një emërues të përbashkët dhe të marrim $\frac(1 \herë 3)(1 \herë 3)-\frac(4)(3)$, domethënë $\frac(3)(3)-\ frac(4) (3)$, ose $-\frac(1)(3)$.

§ 87. Mbledhja e thyesave.

Mbledhja e thyesave ka shumë ngjashmëri me mbledhjen e numrave të plotë. Mbledhja e thyesave është një veprim që konsiston në faktin se disa numra (termi) të dhënë kombinohen në një numër (shumë), që përmban të gjitha njësitë dhe thyesat e njësive të termave.

Ne do të shqyrtojmë tre raste në vazhdimësi:

1. Mbledhja e thyesave me emërues të ngjashëm.
2. Mbledhja e thyesave me emërues të ndryshëm.
3. Mbledhja e numrave të përzier.

1. Mbledhja e thyesave me emërues të ngjashëm.

Shqyrtoni një shembull: 1/5 + 2/5.

Le të marrim segmentin AB (Fig. 17), ta marrim si një dhe ta ndajmë në 5 pjesë të barabarta, atëherë pjesa AC e këtij segmenti do të jetë e barabartë me 1/5 e segmentit AB, dhe një pjesë e të njëjtit segment CD do të jetë e barabartë me 2/5 AB.

Nga vizatimi duket qartë se nëse marrim segmentin AD, ai do të jetë i barabartë me 3/5 AB; por segmenti AD është pikërisht shuma e segmenteve AC dhe CD. Kështu mund të shkruajmë:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

Duke marrë parasysh këto terma dhe shumën që rezulton, shohim se numëruesi i shumës është marrë duke shtuar numëruesit e termave dhe emëruesi ka mbetur i pandryshuar.

Nga kjo marrim rregullin e mëposhtëm: Për të shtuar thyesa me emërues të njëjtë, duhet të shtoni numëruesit e tyre dhe të lini të njëjtin emërues.

Le të shohim një shembull:

2. Mbledhja e thyesave me emërues të ndryshëm.

Le të shtojmë thyesat: 3 / 4 + 3 / 8 Së pari ato duhet të reduktohen në emëruesin më të ulët të përbashkët:

Lidhja e ndërmjetme 6/8 + 3/8 nuk mund të shkruhej; ne e kemi shkruar këtu për qartësi.

Kështu, për të shtuar thyesa me emërues të ndryshëm, së pari duhet t'i reduktoni në emëruesin më të ulët të përbashkët, të shtoni numëruesit e tyre dhe të emërtoni emëruesin e përbashkët.

Le të shqyrtojmë një shembull (ne do të shkruajmë faktorë shtesë mbi fraksionet përkatëse):

3. Mbledhja e numrave të përzier.

Le të mbledhim numrat: 2 3/8 + 3 5/6.

Le t'i sjellim së pari pjesët thyesore të numrave tanë në një emërues të përbashkët dhe t'i rishkruajmë ato përsëri:

Tani shtojmë pjesët e plota dhe të pjesshme në mënyrë sekuenciale:

§ 88. Zbritja e thyesave.

Zbritja e thyesave përcaktohet në të njëjtën mënyrë si zbritja e numrave të plotë. Ky është një veprim me ndihmën e të cilit, duke pasur parasysh shumën e dy termave dhe njërit prej tyre, gjendet një term tjetër. Le të shqyrtojmë tre raste me radhë:

1. Zbritja e thyesave me emërues të ngjashëm.
2. Zbritja e thyesave me emërues të ndryshëm.
3. Zbritja e numrave të përzier.

1. Zbritja e thyesave me emërues të ngjashëm.

Le të shohim një shembull:

13 / 15 - 4 / 15

Marrim segmentin AB (Fig. 18), e marrim si njësi dhe e ndajmë në 15 pjesë të barabarta; atëherë pjesa AC e këtij segmenti do të përfaqësojë 1/15 e AB, dhe pjesa AD e të njëjtit segment do të korrespondojë me 13/15 AB. Le të lëmë mënjanë një segment tjetër ED të barabartë me 4/15 AB.

Duhet të zbresim thyesën 4/15 nga 13/15. Në vizatim, kjo do të thotë se segmenti ED duhet të zbritet nga segmenti AD. Si rezultat, segmenti AE do të mbetet, i cili është 9/15 e segmentit AB. Kështu mund të shkruajmë:

Shembulli që bëmë tregon se numëruesi i diferencës është marrë duke zbritur numëruesit, por emëruesi ka mbetur i njëjtë.

Prandaj, për të zbritur thyesat me emërues të ngjashëm, duhet të zbrisni numëruesin e nëntrahendës nga numëruesi i minuendit dhe të lini të njëjtin emërues.

2. Zbritja e thyesave me emërues të ndryshëm.

Shembull. 3/4 - 5/8

Së pari, le t'i reduktojmë këto thyesa në emëruesin më të ulët të përbashkët:

Mesmeja 6 / 8 - 5 / 8 është shkruar këtu për qartësi, por mund të anashkalohet më vonë.

Kështu, për të zbritur një thyesë nga një thyesë, së pari duhet t'i reduktoni ato në emëruesin më të ulët të përbashkët, pastaj të zbrisni numëruesin e minuendit nga numëruesi i minuendit dhe të nënshkruani emëruesin e përbashkët nën ndryshimin e tyre.

Le të shohim një shembull:

3. Zbritja e numrave të përzier.

Shembull. 10 3/4 - 7 2/3.

Le t'i zvogëlojmë pjesët thyesore të minuend-it dhe subtrahend në emëruesin më të ulët të përbashkët:

Ne zbritëm një të tërë nga një e tërë dhe një thyesë nga një thyesë. Por ka raste kur pjesa thyesore e asaj që zbritet është më e madhe se pjesa thyesore e asaj që zvogëlohet. Në raste të tilla, ju duhet të merrni një njësi nga e gjithë pjesa e minuend-it, ta ndani në ato pjesë në të cilat shprehet pjesa thyesore dhe ta shtoni atë në pjesën thyesore të minuend-it. Dhe pastaj zbritja do të kryhet në të njëjtën mënyrë si në shembullin e mëparshëm:

§ 89. Shumëzimi i thyesave.

Kur studiojmë shumëzimin e thyesave, do të shqyrtojmë pyetjet e mëposhtme:

1. Shumëzimi i një thyese me një numër të plotë.
2. Gjetja e thyesës së një numri të dhënë.
3. Shumëzimi i një numri të plotë me një thyesë.
4. Shumëzimi i një thyese me një thyesë.
5. Shumëzimi i numrave të përzier.
6. Koncepti i interesit.
7. Gjetja e përqindjes së një numri të dhënë. Le t'i shqyrtojmë ato në mënyrë sekuenciale.

1. Shumëzimi i një thyese me një numër të plotë.

Shumëzimi i një thyese me një numër të plotë ka të njëjtin kuptim si shumëzimi i një numri të plotë me një numër të plotë. Të shumëzosh një fraksion (shumësues) me një numër të plotë (faktor) do të thotë të krijosh një shumë të termave identikë, në të cilin çdo term është i barabartë me shumëzuesin dhe numri i termave është i barabartë me shumëzuesin.

Kjo do të thotë që nëse duhet të shumëzoni 1/9 me 7, atëherë mund të bëhet kështu:

Ne e morëm lehtësisht rezultatin, pasi veprimi u reduktua në shtimin e thyesave me emërues të njëjtë. Prandaj,

Shqyrtimi i këtij veprimi tregon se shumëzimi i një thyese me një numër të plotë është i barabartë me rritjen e kësaj thyese aq herë sa ka njësi në numrin e plotë. Dhe meqenëse rritja e një thyese arrihet ose duke rritur numëruesin e saj

ose duke reduktuar emëruesin e tij , atëherë ne mund të shumëzojmë numëruesin me një numër të plotë ose të pjesëtojmë emëruesin me të, nëse një ndarje e tillë është e mundur.

Nga këtu marrim rregullin:

Për të shumëzuar një thyesë me një numër të plotë, ju shumëzoni numëruesin me atë numër të plotë dhe e lini emëruesin të njëjtë, ose, nëse është e mundur, pjesëtoni emëruesin me atë numër, duke e lënë numëruesin të pandryshuar.

Kur shumëzoni, shkurtesat janë të mundshme, për shembull:

2. Gjetja e thyesës së një numri të dhënë. Ka shumë probleme në të cilat ju duhet të gjeni, ose të llogaritni, një pjesë të një numri të caktuar. Dallimi midis këtyre problemeve dhe të tjerave është se ato japin numrin e disa objekteve ose njësive matëse dhe ju duhet të gjeni një pjesë të këtij numri, i cili gjithashtu tregohet këtu me një fraksion të caktuar. Për të lehtësuar kuptimin, fillimisht do të japim shembuj të problemeve të tilla dhe më pas do të prezantojmë një metodë për zgjidhjen e tyre.

Detyra 1. Unë kisha 60 rubla; Kam shpenzuar 1/3 e këtyre parave për blerjen e librave. Sa kushtuan librat?

Detyra 2. Treni duhet të përshkojë një distancë midis qyteteve A dhe B të barabartë me 300 km. Ai ka kaluar tashmë 2/3 e kësaj distance. Sa kilometra është kjo?

Detyra 3. Në fshat ka 400 shtëpi, 3/4 e tyre janë tulla, pjesa tjetër prej druri. Sa në total shtëpi me tulla?

Këtu janë disa nga ato detyra të shumta për të gjetur pjesë të një numri të caktuar që hasim. Zakonisht quhen problema për të gjetur thyesën e një numri të caktuar.

Zgjidhja e problemit 1. Nga 60 fshij. Kam shpenzuar 1/3 për libra; Kjo do të thotë që për të gjetur koston e librave duhet të ndani numrin 60 me 3:

Zgjidhja e problemit 2. Pika e problemit është se ju duhet të gjeni 2/3 e 300 km. Le të llogarisim fillimisht 1/3 e 300; Kjo arrihet duke pjesëtuar 300 km me 3:

300: 3 = 100 (kjo është 1/3 e 300).

Për të gjetur dy të tretat e 300, duhet të dyfishoni koeficientin që rezulton, d.m.th., të shumëzoni me 2:

100 x 2 = 200 (kjo është 2/3 e 300).

Zgjidhja e problemit 3. Këtu ju duhet të përcaktoni numrin e shtëpive me tulla që përbëjnë 3/4 e 400. Le të gjejmë fillimisht 1/4 e 400,

400: 4 = 100 (kjo është 1/4 e 400).

Për të llogaritur tre të katërtat e 400, herësi që rezulton duhet të trefishohet, pra të shumëzohet me 3:

100 x 3 = 300 (kjo është 3/4 e 400).

Bazuar në zgjidhjen e këtyre problemeve, mund të nxjerrim rregullin e mëposhtëm:

Për të gjetur vlerën e një thyese nga një numër i caktuar, duhet ta pjesëtoni këtë numër me emëruesin e thyesës dhe të shumëzoni herësin që rezulton me numëruesin e tij.

3. Shumëzimi i një numri të plotë me një thyesë.

Më herët (§ 26) u konstatua se shumëzimi i numrave të plotë duhet kuptuar si shtim i termave identikë (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20). Në këtë paragraf (pika 1) u vërtetua se shumëzimi i një thyese me një numër të plotë nënkupton gjetjen e shumës së termave identikë të barabartë me këtë thyesë.

Në të dyja rastet, shumëzimi konsistonte në gjetjen e shumës së termave identikë.

Tani kalojmë në shumëzimin e një numri të plotë me një thyesë. Këtu do të hasim, për shembull, shumëzimin: 9 2 / 3. Është e qartë se përkufizimi i mëparshëm i shumëzimit nuk vlen për këtë rast. Kjo është e dukshme nga fakti se ne nuk mund ta zëvendësojmë një shumëzim të tillë duke shtuar numra të barabartë.

Për shkak të kësaj, do të duhet të japim një përkufizim të ri të shumëzimit, d.m.th., me fjalë të tjera, t'i përgjigjemi pyetjes se çfarë duhet kuptuar me shumëzimin me një fraksion, si duhet kuptuar ky veprim.

Kuptimi i shumëzimit të një numri të plotë me një thyesë është i qartë nga përkufizimi i mëposhtëm: shumëzimi i një numri të plotë (shumëfishues) me një thyesë (shumëfishues) do të thotë gjetja e kësaj fraksioni të shumëzuesit.

Përkatësisht, shumëzimi i 9 me 2/3 do të thotë të gjesh 2/3 e nëntë njësive. Në paragrafin e mëparshëm, probleme të tilla u zgjidhën; kështu që është e lehtë të kuptojmë se do të përfundojmë me 6.

Por tani lind një pyetje interesante dhe e rëndësishme: pse veprime të tilla në dukje të ndryshme, si gjetja e shumës së numrave të barabartë dhe gjetja e pjesës së një numri, quhen në aritmetikë me të njëjtën fjalë "shumëzimi"?

Kjo ndodh sepse veprimi i mëparshëm (përsëritja e një numri me terma disa herë) dhe veprimi i ri (gjetja e thyesës së një numri) u japin përgjigje pyetjeve homogjene. Kjo do të thotë se ne vijojmë këtu nga konsideratat se pyetjet ose detyrat homogjene zgjidhen me të njëjtin veprim.

Për ta kuptuar këtë, merrni parasysh problemin e mëposhtëm: “1 m leckë kushton 50 rubla. Sa do të kushtojnë 4 m pëlhurë e tillë?

Ky problem zgjidhet duke shumëzuar numrin e rublave (50) me numrin e metrave (4), d.m.th. 50 x 4 = 200 (rubla).

Le të marrim të njëjtin problem, por në të sasia e leckës do të shprehet si fraksion: "1 m leckë kushton 50 rubla. Sa do të kushtojnë 3/4 m nga një leckë e tillë?”

Ky problem gjithashtu duhet të zgjidhet duke shumëzuar numrin e rublave (50) me numrin e metrave (3/4).

Ju mund t'i ndryshoni numrat në të edhe disa herë, pa ndryshuar kuptimin e problemit, për shembull, merrni 9/10 m ose 2 3/10 m, etj.

Meqenëse këto probleme kanë të njëjtën përmbajtje dhe ndryshojnë vetëm në numra, veprimet e përdorura në zgjidhjen e tyre i quajmë të njëjtën fjalë - shumëzim.

Si të shumëzoni një numër të plotë me një thyesë?

Le të marrim numrat e hasur në problemin e fundit:

Sipas përkufizimit, duhet të gjejmë 3/4 e 50. Le të gjejmë fillimisht 1/4 e 50 dhe më pas 3/4.

1/4 e 50 është 50/4;

3/4 e numrit 50 është .

Prandaj.

Le të shqyrtojmë një shembull tjetër: 12 5 / 8 =?

1/8 e numrit 12 është 12/8,

5/8 e numrit 12 është .

Prandaj,

Nga këtu marrim rregullin:

Për të shumëzuar një numër të plotë me një thyesë, duhet të shumëzoni numrin e plotë me numëruesin e thyesës dhe ta bëni këtë produkt numërues dhe të nënshkruani emëruesin e kësaj thyese si emërues.

Le ta shkruajmë këtë rregull duke përdorur shkronja:

Për ta bërë plotësisht të qartë këtë rregull, duhet të mbahet mend se një thyesë mund të konsiderohet si një herës. Prandaj, është e dobishme të krahasohet rregulli i gjetur me rregullin për shumëzimin e një numri me një herës, i cili u parashtrua në § 38

Është e rëndësishme të mbani mend se përpara se të kryeni shumëzimin, duhet të bëni (nëse është e mundur) reduktimet, Për shembull:

4. Shumëzimi i një thyese me një thyesë. Shumëzimi i një thyese me një thyesë ka të njëjtin kuptim si shumëzimi i një numri të plotë me një thyesë, d.m.th., kur shumëzoni një thyesë me një thyesë, duhet të gjeni thyesën që është në faktorin nga thyesa e parë (shumëzimi).

Domethënë, shumëzimi i 3/4 me 1/2 (gjysma) do të thotë të gjesh gjysmën e 3/4.

Si të shumëzoni një thyesë me një thyesë?

Le të marrim një shembull: 3/4 shumëzuar me 5/7. Kjo do të thotë që ju duhet të gjeni 5/7 e 3/4. Le të gjejmë fillimisht 1/7 e 3/4 dhe më pas 5/7

1/7 e numrit 3/4 do të shprehet si më poshtë:

Numrat 5/7 3/4 do të shprehen si më poshtë:

Kështu,

Një shembull tjetër: 5/8 shumëzuar me 4/9.

1/9 e 5/8 është,

4/9 e numrit 5/8 është .

Kështu,

Nga këta shembuj mund të nxirret rregulli i mëposhtëm:

Për të shumëzuar një thyesë me një thyesë, duhet të shumëzoni numëruesin me numëruesin, dhe emëruesin me emëruesin, dhe produktin e parë ta bëni numëruesin dhe produktin e dytë emërues të produktit.

Ky është rregulli në pamje e përgjithshme mund të shkruhet kështu:

Gjatë shumëzimit, është e nevojshme të bëhen (nëse është e mundur) reduktime. Le të shohim shembuj:

5. Shumëzimi i numrave të përzier. Meqenëse numrat e përzier mund të zëvendësohen lehtësisht nga thyesat e papërshtatshme, kjo rrethanë zakonisht përdoret kur shumëzohen numra të përzier. Kjo do të thotë se në rastet kur shumëzuesi, ose shumëzuesi, ose të dy faktorët shprehen si numra të përzier, ato zëvendësohen me thyesa të papërshtatshme. Le të shumëzojmë, për shembull, numrat e përzier: 2 1/2 dhe 3 1/5. Le ta kthejmë secilën prej tyre në një fraksion të papërshtatshëm dhe më pas të shumëzojmë thyesat që rezultojnë sipas rregullit për shumëzimin e një fraksioni me një thyesë:

Rregulli. Për të shumëzuar numrat e përzier, së pari duhet t'i konvertoni në thyesat e papërshtatshme dhe më pas shumohen sipas rregullit të shumëzimit të thyesave me thyesa.

Shënim. Nëse një nga faktorët është një numër i plotë, atëherë shumëzimi mund të kryhet bazuar në ligjin e shpërndarjes si më poshtë:

6. Koncepti i interesit. Kur zgjidhim probleme dhe kryejmë llogaritje të ndryshme praktike, përdorim të gjitha llojet e thyesave. Por duhet pasur parasysh se shumë sasi lejojnë jo çdo, por ndarje natyrore për to. Për shembull, ju mund të merrni një të qindtën (1/100) të një rubla, do të jetë një kopeck, dy të qindtat janë 2 kopekë, tre të qindtat janë 3 kopekë. Mund të marrësh 1/10 e rublës, do të jetë "10 kopekë, ose një copë dhjetë kopekë. Mund të marrësh një çerek rubla, d.m.th. 25 kopekë, gjysmë rubla, d.m.th. 50 kopekë (pesëdhjetë kopekë). Por ata praktikisht nuk e marrin atë, për shembull, 2/7 e një rubla, sepse rubla nuk ndahet në të shtatat.

Njësia e peshës, d.m.th kilogrami, lejon kryesisht ndarjet dhjetore, për shembull 1/10 kg, ose 100 g dhe fraksione të tilla të një kilogrami si 1/6, 1/11, 1/13 nuk janë të zakonshme.

Në përgjithësi, masat tona (metrike) janë dhjetore dhe lejojnë ndarjet dhjetore.

Megjithatë, duhet të theksohet se është jashtëzakonisht e dobishme dhe e përshtatshme në një shumëllojshmëri të gjerë rastesh të përdoret e njëjta metodë (uniforme) e nënndarjes së sasive. Përvoja shumëvjeçare ka treguar se një ndarje e tillë e justifikuar është ndarja e "qindës". Le të shqyrtojmë disa shembuj në lidhje me fushat më të ndryshme të praktikës njerëzore.

1. Çmimi i librave është ulur me 12/100 të çmimit të mëparshëm.

Shembull. Çmimi i mëparshëm i librit ishte 10 rubla. U ul me 1 rubla. 20 kopekë

2. Bankat e kursimeve u paguajnë depozituesve 2/100 e shumës së depozituar për kursime gjatë vitit.

Shembull. 500 rubla depozitohen në arkë, të ardhurat nga kjo shumë për vitin janë 10 rubla.

3. Numri i të diplomuarve nga një shkollë ishte 5/100 e numrit të përgjithshëm të nxënësve.

SHEMBULL Në shkollë kishte vetëm 1200 nxënës, nga të cilët 60 të diplomuar.

Pjesa e qindta e një numri quhet përqindje.

Fjala "përqindje" është huazuar nga gjuha latine dhe rrënja e saj "cent" do të thotë njëqind. Së bashku me parafjalën (pro centum), kjo fjalë do të thotë "për njëqind". Kuptimi i një shprehjeje të tillë rrjedh nga fakti se fillimisht në Roma e lashtë interesi ishte paratë që debitori i paguante huadhënësit "për çdo njëqind". Fjala "cent" dëgjohet me fjalë të tilla të njohura: centner (njëqind kilogramë), centimetër (thonë centimetër).

Për shembull, në vend që të themi se gjatë muajit të kaluar fabrika prodhoi 1/100 e të gjitha produkteve të prodhuara prej saj ishte me defekt, do të themi këtë: gjatë muajit të kaluar fabrika prodhoi një për qind të defekteve. Në vend që të themi: uzina prodhoi 4/100 produkte më shumë se plani i përcaktuar, do të themi: uzina e ka tejkaluar planin me 4 për qind.

Shembujt e mësipërm mund të shprehen ndryshe:

1. Çmimi i librave është ulur me 12 për qind ndaj çmimit të mëparshëm.

2. Bankat e kursimeve u paguajnë depozituesve 2 për qind në vit mbi shumën e depozituar në kursime.

3. Numri i të diplomuarve nga një shkollë ishte 5 për qind e të gjithë nxënësve të shkollës.

Për të shkurtuar shkronjën, është zakon të shkruhet simboli % në vend të fjalës "përqindje".

Sidoqoftë, duhet të mbani mend se në llogaritjet shenja % zakonisht nuk shkruhet në deklaratën e problemit dhe në rezultatin përfundimtar. Kur kryeni llogaritjet, duhet të shkruani një thyesë me emërues 100 në vend të një numri të plotë me këtë simbol.

Ju duhet të jeni në gjendje të zëvendësoni një numër të plotë me ikonën e treguar me një fraksion me një emërues 100:

Në të kundërt, duhet të mësoheni të shkruani një numër të plotë me simbolin e treguar në vend të një fraksioni me emërues 100:

7. Gjetja e përqindjes së një numri të dhënë.

Detyra 1. Shkolla mori 200 metër kub. m dru zjarri, me dru zjarri thupër që zë 30%. Sa dru zjarri thupër kishte?

Kuptimi i këtij problemi është se drutë e zjarrit të thuprës përbënin vetëm një pjesë të druve të zjarrit që i janë dorëzuar shkollës dhe kjo pjesë shprehet në thyesën 30/100. Kjo do të thotë se ne kemi një detyrë për të gjetur një thyesë të një numri. Për ta zgjidhur atë, duhet të shumëzojmë 200 me 30/100 (problemet e gjetjes së thyesës së një numri zgjidhen duke shumëzuar numrin me thyesën.).

Kjo do të thotë se 30% e 200 është e barabartë me 60.

Thyesa 30/100 e hasur në këtë problem mund të zvogëlohet me 10. Do të ishte e mundur të bëhej ky reduktim që në fillim; zgjidhja e problemit nuk do të kishte ndryshuar.

Detyra 2. Në kamp ishin 300 fëmijë të moshave të ndryshme. Fëmijët 11 vjeç përbënin 21%, fëmijët 12 vjeç përbënin 61% dhe në fund fëmijët 13 vjeç përbënin 18%. Sa fëmijë të çdo moshe ishin në kamp?

Në këtë problem ju duhet të bëni tre llogaritje, pra të gjeni në mënyrë sekuenciale numrin e fëmijëve 11 vjeç, më pas 12 vjeç dhe në fund 13 vjeç.

Kjo do të thotë se këtu do t'ju duhet të gjeni tre herë thyesën e numrit. Le ta bejme:

1) Sa fëmijë 11 vjeç ishin atje?

2) Sa fëmijë 12 vjeç ishin atje?

3) Sa fëmijë 13 vjeç ishin atje?

Pas zgjidhjes së problemit, është e dobishme të shtoni numrat e gjetur; shuma e tyre duhet të jetë 300:

63 + 183 + 54 = 300

Duhet gjithashtu të theksohet se shuma e përqindjeve të dhëna në deklaratën e problemit është 100:

21% + 61% + 18% = 100%

Kjo sugjeron që numri total fëmijët në kamp u morën si 100%.

3 a d a h 3. Punëtori merrte 1200 rubla në muaj. Nga kjo shpenzoi 65% për ushqim, 6% për banesa dhe ngrohje, 4% për gaz, rrymë dhe radio, 10% për nevoja kulturore dhe 15% kursime. Sa para janë shpenzuar për nevojat e treguara në problem?

Për të zgjidhur këtë problem ju duhet të gjeni fraksionin 1200 5 herë.

1) Sa para janë shpenzuar për ushqim? Problemi thotë se ky shpenzim është 65% e të ardhurave totale, pra 65/100 e numrit 1200.

2) Sa lekë keni paguar për një apartament me ngrohje? Duke arsyetuar në mënyrë të ngjashme me atë të mëparshme, arrijmë në llogaritjen e mëposhtme:

3) Sa para keni paguar për gazin, energjinë elektrike dhe radion?

4) Sa para janë shpenzuar për nevojat kulturore?

5) Sa para ka kursyer punëtori?

Për të kontrolluar, është e dobishme të mblidhni numrat që gjenden në këto 5 pyetje. Shuma duhet të jetë 1200 rubla. Të gjitha fitimet merren si 100%, gjë që është e lehtë për t'u kontrolluar duke shtuar numrat e përqindjes të dhëna në deklaratën e problemit.

Ne zgjidhëm tre probleme. Pavarësisht se këto probleme kishin të bënin me gjëra të ndryshme (dërgimi i druve të zjarrit për shkollën, numri i fëmijëve të moshave të ndryshme, shpenzimet e punëtorit), ato u zgjidhën në të njëjtën mënyrë. Kjo ndodhi sepse në të gjitha problemet ishte e nevojshme të gjendeshin disa për qind të numrave të dhënë.

§ 90. Pjesëtimi i thyesave.

Ndërsa studiojmë ndarjen e thyesave, do të shqyrtojmë pyetjet e mëposhtme:

1. Ndani një numër të plotë me një numër të plotë.
2. Pjesëtimi i një thyese me një numër të plotë
3. Pjesëtimi i një numri të plotë me një thyesë.
4. Pjesëtimi i një thyese me një thyesë.
5. Pjesëtimi i numrave të përzier.
6. Gjetja e një numri nga thyesa e tij e dhënë.
7. Gjetja e një numri sipas përqindjes së tij.

Le t'i shqyrtojmë ato në mënyrë sekuenciale.

1. Ndani një numër të plotë me një numër të plotë.

Siç u theksua në departamentin e numrave të plotë, ndarja është veprimi që konsiston në faktin se, duke pasur parasysh produktin e dy faktorëve (dividend) dhe njërit prej këtyre faktorëve (pjesëtuesi), gjendet një faktor tjetër.

Ne shikuam ndarjen e një numri të plotë me një numër të plotë në seksionin mbi numrat e plotë. Aty hasëm dy raste të pjesëtimit: pjesëtimin pa mbetje, ose “tërësisht” (150: 10 = 15) dhe pjesëtimin me mbetje (100: 9 = 11 dhe 1 mbetje). Prandaj mund të themi se në fushën e numrave të plotë, pjesëtimi i saktë nuk është gjithmonë i mundur, sepse dividenti nuk është gjithmonë produkt i pjesëtuesit me numrin e plotë. Pas futjes së shumëzimit me një thyesë, ne mund të konsiderojmë çdo rast të ndarjes së numrave të plotë si të mundshëm (përjashtohet vetëm pjesëtimi me zero).

Për shembull, pjesëtimi i 7 me 12 do të thotë gjetja e një numri prodhimi i të cilit me 12 do të ishte i barabartë me 7. Një numër i tillë është thyesa 7/12 sepse 7/12 12 = 7. Një shembull tjetër: 14: 25 = 14 / 25, sepse 14 / 25 25 = 14.

Kështu, për të pjesëtuar një numër të plotë me një numër të plotë, duhet të krijoni një thyesë, numëruesi i së cilës është i barabartë me dividentin dhe emëruesi është i barabartë me pjesëtuesin.

2. Pjesëtimi i një thyese me një numër të plotë.

Pjesëtojmë thyesën 6/7 me 3. Sipas përkufizimit të pjesëtimit të dhënë më sipër, kemi këtu prodhimin (6/7) dhe një nga faktorët (3); kërkohet të gjendet një faktor i dytë që, kur shumëzohet me 3, do të jepte produktin e dhënë 6/7. Natyrisht, ai duhet të jetë tre herë më i vogël se ky produkt. Kjo do të thotë se detyra e vendosur para nesh ishte zvogëlimi i fraksionit 6/7 me 3 herë.

Ne tashmë e dimë se zvogëlimi i një thyese mund të bëhet ose duke zvogëluar numëruesin e saj ose duke rritur emëruesin e saj. Prandaj mund të shkruani:

Në këtë rast, numëruesi 6 pjesëtohet me 3, kështu që numëruesi duhet të zvogëlohet me 3 herë.

Le të marrim një shembull tjetër: 5/8 pjesëtuar me 2. Këtu numëruesi 5 nuk pjesëtohet me 2, që do të thotë se emëruesi do të duhet të shumëzohet me këtë numër:

Bazuar në këtë, mund të bëhet një rregull: Për të pjesëtuar një thyesë me një numër të plotë, duhet të pjesëtoni numëruesin e thyesës me atë numër të plotë.(nëse është e mundur), duke lënë të njëjtin emërues, ose shumëzojeni emëruesin e thyesës me këtë numër, duke lënë të njëjtin numërues.

3. Pjesëtimi i një numri të plotë me një thyesë.

Le të jetë e nevojshme të pjesëtohet 5 me 1/2, d.m.th., të gjendet një numër që, pasi të shumëzohet me 1/2, do të japë produktin 5. Natyrisht, ky numër duhet të jetë më i madh se 5, pasi 1/2 është një pjesë e duhur. , dhe kur shumëzohet një numër prodhimi i një thyese të duhur duhet të jetë më i vogël se prodhimi që shumëzohet. Për ta bërë këtë më të qartë, le të shkruajmë veprimet tona si më poshtë: 5: 1 / 2 = X , që do të thotë x 1/2 = 5.

Ne duhet të gjejmë një numër të tillë X , e cila, nëse shumëzohet me 1/2, do të jepte 5. Meqenëse shumëzimi i një numri të caktuar me 1/2 do të thotë të gjesh 1/2 e këtij numri, atëherë, pra, 1/2 e numrit të panjohur. X është e barabartë me 5, dhe numri i plotë X dy herë më shumë, pra 5 2 = 10.

Pra 5: 1 / 2 = 5 2 = 10

Le të kontrollojmë:

Le të shohim një shembull tjetër. Le të themi se dëshironi të pjesëtoni 6 me 2/3. Le të përpiqemi fillimisht të gjejmë rezultatin e dëshiruar duke përdorur vizatimin (Fig. 19).

Fig.19

Le të vizatojmë një segment AB të barabartë me 6 njësi dhe ta ndajmë secilën njësi në 3 pjesë të barabarta. Në çdo njësi, tre të tretat (3/3) e të gjithë segmentit AB janë 6 herë më të mëdha, d.m.th. e. 18/3. Duke përdorur kllapa të vogla, ne lidhim 18 segmentet që rezultojnë prej 2; Do të ketë vetëm 9 segmente. Kjo do të thotë se fraksioni 2/3 përmbahet në 6 njësi 9 herë, ose, me fjalë të tjera, fraksioni 2/3 është 9 herë më i vogël se 6 njësi të plota. Prandaj,

Si ta merrni këtë rezultat pa një vizatim duke përdorur vetëm llogaritjet? Le të arsyetojmë kështu: duhet të pjesëtojmë 6 me 2/3, d.m.th. duhet t'i përgjigjemi pyetjes sa herë 2/3 përmbahet në 6. Le të zbulojmë së pari: sa herë 1/3 përmbahet në 6? Në një njësi të tërë janë 3 të tretat, dhe në 6 njësi janë 6 herë më shumë, pra 18 të tretat; për të gjetur këtë numër duhet të shumëzojmë 6 me 3. Kjo do të thotë që 1/3 përmbahet në b njësi 18 herë, dhe 2/3 përmbahet në b njësi jo 18 herë, por gjysma e shumëfishtë, pra 18: 2 = 9 Prandaj, kur pjesëtojmë 6 me 2/3 kemi bërë si më poshtë:

Nga këtu marrim rregullin për pjesëtimin e një numri të plotë me një thyesë. Për të pjesëtuar një numër të plotë me një thyesë, duhet ta shumëzoni këtë numër të plotë me emëruesin e thyesës së dhënë dhe, duke e bërë këtë produkt numërues, ta pjesëtoni atë me numëruesin e thyesës së dhënë.

Le të shkruajmë rregullin duke përdorur shkronja:

Për ta bërë plotësisht të qartë këtë rregull, duhet të mbahet mend se një thyesë mund të konsiderohet si një herës. Prandaj, është e dobishme të krahasohet rregulli i gjetur me rregullin për pjesëtimin e një numri me një herës, i cili u parashtrua në § 38. Ju lutemi vini re se e njëjta formulë u mor atje.

Kur ndani, shkurtesat janë të mundshme, për shembull:

4. Pjesëtimi i një thyese me një thyesë.

Le të themi se duhet të ndajmë 3/4 me 3/8. Çfarë do të thotë numri që rezulton nga pjesëtimi? Ai do t'i përgjigjet pyetjes se sa herë thyesa 3/8 gjendet në thyesën 3/4. Për të kuptuar këtë çështje, le të bëjmë një vizatim (Fig. 20).

Marrim një segment AB, e marrim si një, e ndajmë në 4 pjesë të barabarta dhe shënojmë 3 pjesë të tilla. Segmenti AC do të jetë i barabartë me 3/4 e segmentit AB. Tani le ta ndajmë secilin nga katër segmentet origjinale në gjysmë, atëherë segmenti AB do të ndahet në 8 pjesë të barabarta dhe secila pjesë e tillë do të jetë e barabartë me 1/8 e segmentit AB. Le të lidhim 3 segmente të tillë me harqe, atëherë secili nga segmentet AD dhe DC do të jetë i barabartë me 3/8 e segmentit AB. Vizatimi tregon se një segment i barabartë me 3/8 është i përfshirë në një segment të barabartë me 3/4 saktësisht 2 herë; Kjo do të thotë se rezultati i ndarjes mund të shkruhet si më poshtë:

3 / 4: 3 / 8 = 2

Le të shohim një shembull tjetër. Le të themi se duhet të ndajmë 15/16 me 3/32:

Mund të arsyetojmë kështu: duhet të gjejmë një numër që, kur shumëzohet me 3/32, do të japë një prodhim të barabartë me 15/16. Le t'i shkruajmë llogaritjet si kjo:

15 / 16: 3 / 32 = X

3 / 32 X = 15 / 16

3/32 numër i panjohur X janë 15/16

1/32 e një numri të panjohur X është,

Numrat 32/32 X make up .

Prandaj,

Kështu, për të pjesëtuar një thyesë me një thyesë, duhet të shumëzoni numëruesin e fraksionit të parë me emëruesin e të dytës, dhe të shumëzoni emëruesin e fraksionit të parë me numëruesin e të dytës, dhe ta bëni produktin e parë numërues, dhe i dyti emëruesi.

Le të shkruajmë rregullin duke përdorur shkronja:

Kur ndani, shkurtesat janë të mundshme, për shembull:

5. Pjesëtimi i numrave të përzier.

Kur ndani numra të përzier, së pari duhet t'i shndërroni ato në thyesa të pahijshme dhe më pas t'i ndani thyesat që rezultojnë sipas rregullave të ndarjes. numrat thyesorë. Le të shohim një shembull:

Le t'i kthejmë numrat e përzier në thyesa jo të duhura:

Tani le të ndajmë:

Kështu, për të ndarë numrat e përzier, duhet t'i shndërroni ato në thyesa të papërshtatshme dhe më pas të ndani duke përdorur rregullin për pjesëtimin e thyesave.

6. Gjetja e një numri nga thyesa e tij e dhënë.

Ndër detyra të ndryshme në thyesa, ndonjëherë ka nga ato në të cilat jepet vlera e një fraksioni të një numri të panjohur dhe ju duhet ta gjeni këtë numër. Ky lloj problemi do të jetë anasjellta e problemit të gjetjes së thyesës së një numri të caktuar; atje ishte dhënë një numër dhe kërkohej të gjendej një pjesë e këtij numri, këtu ishte dhënë një thyesë e një numri dhe kërkohej që të gjehej vetë ky numër. Kjo ide do të bëhet edhe më e qartë nëse i drejtohemi zgjidhjes së këtij lloj problemi.

Detyra 1. Ditën e parë, xhamatorët xhamarinë 50 dritare, që është 1/3 e të gjitha dritareve të shtëpisë së ndërtuar. Sa dritare ka në këtë shtëpi?

Zgjidhje. Problemi thotë se 50 dritare me xham përbëjnë 1/3 e të gjitha dritareve të shtëpisë, që do të thotë se ka 3 herë më shumë dritare në total, d.m.th.

Shtëpia kishte 150 dritare.

Detyra 2. Dyqani shiste 1500 kg miell, që është 3/8 e totalit të stokut të miellit që kishte dyqani. Cili ishte furnizimi fillestar i dyqanit me miell?

Zgjidhje. Nga kushtet e problemit del qartë se 1500 kg miell i shitur përbën 3/8 e stokut total; Kjo do të thotë që 1/8 e kësaj rezerve do të jetë 3 herë më pak, d.m.th për ta llogaritur atë duhet të zvogëloni 1500 me 3 herë:

1500: 3 = 500 (kjo është 1/8 e rezervës).

Natyrisht, e gjithë furnizimi do të jetë 8 herë më i madh. Prandaj,

500 8 = 4000 (kg).

Stoku fillestar i miellit në dyqan ishte 4000 kg.

Nga shqyrtimi i këtij problemi, mund të nxirret rregulli i mëposhtëm.

Për të gjetur një numër nga një vlerë e dhënë e thyesës së tij, mjafton që kjo vlerë të pjesëtohet me numëruesin e thyesës dhe rezultati të shumëzohet me emëruesin e thyesës.

Ne zgjidhëm dy problema për gjetjen e një numri duke pasur parasysh thyesën e tij. Probleme të tilla, siç shihet veçanërisht qartë nga kjo e fundit, zgjidhen me dy veprime: pjesëtimi (kur gjendet një pjesë) dhe shumëzimi (kur gjendet numri i plotë).

Megjithatë, pasi të kemi mësuar pjesëtimin e thyesave, problemet e mësipërme mund të zgjidhen me një veprim, përkatësisht: pjesëtimi me një thyesë.

Për shembull, detyra e fundit mund të zgjidhet në një veprim si ky:

Në të ardhmen, ne do të zgjidhim problemet e gjetjes së një numri nga thyesa e tij me një veprim - pjesëtim.

7. Gjetja e një numri sipas përqindjes së tij.

Në këto probleme do t'ju duhet të gjeni një numër duke ditur disa përqind të atij numri.

Detyra 1. Në fillim të këtij viti mora 60 rubla nga banka e kursimeve. të ardhura nga shuma që kam vënë në kursime një vit më parë. Sa para kam vënë në bankën e kursimeve? (Tavolinat e parave të gatshme u japin depozituesve një kthim prej 2% në vit.)

Çështja e problemit është se kam futur një shumë parash në një bankë kursimi dhe kam qëndruar atje për një vit. Pas një viti, mora 60 rubla prej saj. të ardhura, që janë 2/100 e parave që kam depozituar. Sa para futa?

Rrjedhimisht, duke ditur një pjesë të këtyre parave, të shprehura në dy mënyra (në rubla dhe fraksione), duhet të gjejmë të gjithë shumën, ende të panjohur. Ky është një problem i zakonshëm i gjetjes së një numri duke pasur parasysh thyesën e tij. Problemet e mëposhtme zgjidhen me ndarje:

Kjo do të thotë se 3000 rubla janë depozituar në bankën e kursimeve.

Detyra 2. Peshkatarët realizuan planin mujor me 64% në dy javë, duke korrur 512 tonë peshk. Cili ishte plani i tyre?

Nga kushtet e problemit bëhet e ditur se peshkatarët kanë përfunduar një pjesë të planit. Kjo pjesë është e barabartë me 512 tonë, që është 64% e planit. Nuk e dimë se sa ton peshk duhen përgatitur sipas planit. Gjetja e këtij numri do të jetë zgjidhja e problemit.

Probleme të tilla zgjidhen me ndarje:

Kjo do të thotë se sipas planit duhet të përgatiten 800 tonë peshk.

Detyra 3. Treni shkoi nga Riga në Moskë. Kur ai kaloi kilometrin e 276-të, një nga pasagjerët pyeti një konduktor që kalonte se sa nga udhëtimi kishin kaluar tashmë. Për këtë konduktori u përgjigj: "Ne kemi mbuluar tashmë 30% të të gjithë udhëtimit." Sa është distanca nga Riga në Moskë?

Nga kushtet problematike është e qartë se 30% e rrugës nga Riga në Moskë është 276 km. Ne duhet të gjejmë të gjithë distancën midis këtyre qyteteve, d.m.th., për këtë pjesë, të gjejmë të gjithë:

§ 91. Numrat reciprokë. Zëvendësimi i pjesëtimit me shumëzim.

Le të marrim thyesën 2/3 dhe të zëvendësojmë numëruesin në vend të emëruesit, marrim 3/2. Ne morëm inversin e kësaj thyese.

Për të marrë një thyesë që është e kundërta e një thyese të caktuar, duhet të vendosni numëruesin e saj në vend të emëruesit dhe emëruesin në vend të numëruesit. Në këtë mënyrë mund të marrim reciprokun e çdo thyese. Për shembull:

3/4, anasjelltas 4/3; 5/6, anasjelltas 6/5

Dy thyesat që kanë vetinë që numëruesi i të parit të jetë emëruesi i të dytit dhe emëruesi i të parit është numëruesi i të dytit quhen. reciprokisht anasjelltas.

Tani le të mendojmë se cila thyesë do të jetë reciproke e 1/2. Natyrisht, do të jetë 2 / 1, ose vetëm 2. Duke kërkuar për fraksionin e anasjelltë të atij të dhënë, kemi marrë një numër të plotë. Dhe ky rast nuk është i izoluar; përkundrazi, për të gjitha thyesat me numërues 1 (një), reciprokët do të jenë numra të plotë, për shembull:

1/3, anasjelltas 3; 1/5, anasjelltas 5

Meqenëse në gjetjen e thyesave reciproke kemi hasur edhe numra të plotë, në vijim nuk do të flasim për thyesat reciproke, por për numrat reciprokë.

Le të kuptojmë se si të shkruajmë inversin e një numri të plotë. Për thyesat, kjo mund të zgjidhet thjesht: duhet të vendosni emëruesin në vend të numëruesit. Në të njëjtën mënyrë, ju mund të merrni inversin e një numri të plotë, pasi çdo numër i plotë mund të ketë një emërues 1. Kjo do të thotë se anasjellta e 7 do të jetë 1/7, sepse 7 = 7/1; për numrin 10 anasjellta do të jetë 1/10, pasi 10 = 10/1

Kjo ide mund të shprehet ndryshe: reciproku i një numri të dhënë fitohet duke pjesëtuar një me një numër të caktuar. Ky pohim është i vërtetë jo vetëm për numrat e plotë, por edhe për thyesat. Në fakt, nëse duhet të shkruajmë inversin e thyesës 5/9, atëherë mund të marrim 1 dhe ta ndajmë me 5/9, d.m.th.

Tani le të theksojmë një gjë prone numrat reciprokë, të cilët do të jenë të dobishëm për ne: prodhimi i numrave reciprokë është i barabartë me një. Me të vërtetë:

Duke përdorur këtë veti, ne mund të gjejmë numra reciprokë në mënyrën e mëposhtme. Le të themi se duhet të gjejmë inversin e 8.

Le ta shënojmë me shkronjë X , pastaj 8 X = 1, pra X = 1/8. Le të gjejmë një numër tjetër që është inversi i 7/12 dhe ta shënojmë me shkronjë X , pastaj 7/12 X = 1, pra X = 1: 7 / 12 ose X = 12 / 7 .

Kemi prezantuar këtu konceptin e numrave reciprokë në mënyrë që të plotësojmë pak informacionin rreth pjesëtimit të thyesave.

Kur e ndajmë numrin 6 me 3/5, bëjmë si më poshtë:

Ju lutemi paguani Vëmendje e veçantë ndaj shprehjes dhe krahasoje me atë të dhënë: .

Nëse e marrim shprehjen veç e veç, pa lidhje me atë të mëparshmen, atëherë është e pamundur të zgjidhet pyetja se nga erdhi: nga pjesëtimi i 6 me 3/5 ose nga shumëzimi i 6 me 5/3. Në të dyja rastet ndodh e njëjta gjë. Prandaj mund të themi se pjesëtimi i një numri me një tjetër mund të zëvendësohet duke shumëzuar dividentin me inversin e pjesëtuesit.

Shembujt që japim më poshtë konfirmojnë plotësisht këtë përfundim.

Llogaritësi i fraksioneve projektuar për llogaritjen e shpejtë të veprimeve me thyesa, do t'ju ndihmojë të shtoni, shumëzoni, pjesëtoni ose zbritni me lehtësi thyesat.

Nxënësit modernë fillojnë të studiojnë fraksione tashmë në klasën e 5-të, dhe ushtrimet me to bëhen më të ndërlikuara çdo vit. Termat dhe sasitë matematikore që mësojmë në shkollë rrallë mund të jenë të dobishme për ne në jetë. jeta e rritur. Sidoqoftë, fraksionet, ndryshe nga logaritmet dhe fuqitë, gjenden mjaft shpesh në jetën e përditshme (matja e distancave, peshimi i mallrave, etj.). Llogaritësi ynë është krijuar për operacione të shpejta me fraksione.

Së pari, le të përcaktojmë se çfarë janë thyesat dhe çfarë janë ato. Thyesat janë raporti i një numri me tjetrin, ai është një numër i përbërë nga një numër i plotë i thyesave të një njësie.

Llojet e thyesave:

• E zakonshme
• dhjetore
• Të përziera

Shembull thyesat e zakonshme:

Vlera e sipërme është numëruesi, pjesa e poshtme është emëruesi. Viza na tregon se numri i sipërm është i pjesëtueshëm me pjesën e poshtme. Në vend të këtij formati shkrimi, kur viza është horizontale, mund të shkruani ndryshe. Ju mund të vendosni një vijë të prirur, për shembull:

1/2, 3/7, 19/5, 32/8, 10/100, 4/1

Dhjetoret janë lloji më i popullarizuar i thyesave. Ato përbëhen nga një pjesë e plotë dhe një pjesë e pjesshme, të ndara me presje.

Shembull i thyesave dhjetore:

0,2 ose 6,71 ose 0,125

Përbëhet nga një numër i plotë dhe një pjesë thyesore. Për të zbuluar vlerën e kësaj thyese, duhet të shtoni numrin e plotë dhe thyesën.

Shembull i thyesave të përziera:

Llogaritësi i fraksioneve në faqen tonë të internetit është në gjendje të kryejë shpejt çdo operacion matematikor me fraksione në internet:

• Shtesa
• Zbritja
• Shumëzimi
• Divizioni

Për të kryer llogaritjen, duhet të futni numra në fusha dhe të zgjidhni një veprim. Për thyesat, duhet të plotësoni numëruesin dhe emëruesin, mund të mos shkruhet numri i plotë (nëse thyesa është e zakonshme). Mos harroni të klikoni në butonin "e barabartë".

Shtë e përshtatshme që kalkulatori të sigurojë menjëherë procesin për zgjidhjen e një shembulli me thyesa, dhe jo vetëm një përgjigje të gatshme. Falë zgjidhjes së detajuar mund ta përdorni këtë material për të zgjidhur problemet e shkollës dhe për të zotëruar më mirë materialin e mbuluar.

Ju duhet të kryeni llogaritjen e shembullit:

Pas futjes së treguesve në fushat e formularit, marrim:

Për të bërë llogaritjen tuaj, vendosni të dhënat në formular.

Llogaritësi i fraksioneve

Shkruani dy thyesa:

		+ - * :

Seksione të ngjashme.

Ky mësim do të përfshijë mbledhjen dhe zbritjen. thyesat algjebrike me emërues të ndryshëm. Ne tashmë dimë se si të mbledhim dhe zbresim thyesat e përbashkëta me emërues të ndryshëm. Për ta bërë këtë, thyesat duhet të reduktohen në një emërues të përbashkët. Rezulton se thyesat algjebrike ndjekin të njëjtat rregulla. Në të njëjtën kohë, ne tashmë dimë se si t'i reduktojmë thyesat algjebrike në një emërues të përbashkët. Mbledhja dhe zbritja e thyesave me emërues të ndryshëm është një nga temat më të rëndësishme dhe më të vështira në klasën e 8-të. Për më tepër, kjo temë do të shfaqet në shumë tema në kursin e algjebrës që do të studioni në të ardhmen. Si pjesë e mësimit, ne do të studiojmë rregullat për mbledhjen dhe zbritjen e thyesave algjebrike me emërues të ndryshëm, si dhe do të analizojmë një numër shembujsh tipikë.

Le të shqyrtojmë shembulli më i thjeshtë për thyesat e zakonshme.

Shembulli 1. Shtoni thyesat: .

Zgjidhja:

Le të kujtojmë rregullin për mbledhjen e thyesave. Për të filluar, thyesat duhet të reduktohen në një emërues të përbashkët. Emëruesi i përbashkët për thyesat e zakonshme është shumëfishi më pak i zakonshëm(LCM) të emërtuesve origjinal.

Përkufizimi

Numri më i vogël natyror që pjesëtohet me të dy numrat dhe .

Për të gjetur LCM, ju duhet të faktorizoni emëruesit në faktorë kryesorë dhe më pas të zgjidhni të gjithë faktorët kryesorë që përfshihen në zgjerimin e të dy emëruesve.

; . Atëherë LCM e numrave duhet të përfshijë dy dyshe dhe dy treshe: .

Pasi të keni gjetur emëruesin e përbashkët, duhet të gjeni një faktor shtesë për secilën thyesë (në fakt, ndani emëruesin e përbashkët me emëruesin e fraksionit përkatës).

Më pas, çdo fraksion shumëzohet me faktorin shtesë që rezulton. Marrim thyesa me emërues të njëjtë, të cilët kemi mësuar t'i mbledhim dhe t'i zbresim në mësimet e mëparshme.

Ne marrim: .

Përgjigje:.

Le të shqyrtojmë tani mbledhjen e thyesave algjebrike me emërues të ndryshëm. Së pari, le të shohim thyesat, emëruesit e të cilëve janë numra.

Shembulli 2. Shtoni thyesat: .

Zgjidhja:

Algoritmi i zgjidhjes është absolutisht i ngjashëm me shembullin e mëparshëm. Është e lehtë të gjesh emëruesin e përbashkët të këtyre thyesave: dhe faktorë shtesë për secilën prej tyre.

.

Përgjigje:.

Pra, le të formulojmë algoritmi për mbledhjen dhe zbritjen e thyesave algjebrike me emërues të ndryshëm:

1. Gjeni emëruesin më të ulët të përbashkët të thyesave.

2. Gjeni faktorë shtesë për secilën nga thyesat (duke pjesëtuar emëruesin e përbashkët me emëruesin e thyesës së dhënë).

3. Shumëzoni numëruesit me faktorët shtesë përkatës.

4. Shtoni ose zbritni thyesat duke përdorur rregullat për mbledhjen dhe zbritjen e thyesave me emërues të ngjashëm.

Le të shqyrtojmë tani një shembull me thyesa, emëruesi i të cilave përmban shprehje shkronjash.

Shembulli 3. Shtoni thyesat: .

Zgjidhja:

Meqenëse shprehjet e shkronjave në të dy emëruesit janë të njëjta, duhet të gjeni një emërues të përbashkët për numrat. Emëruesi i përbashkët përfundimtar do të duket si: . Kështu, zgjidhja për këtë shembull duket si:.

Përgjigje:.

Shembulli 4. Zbrit thyesat: .

Zgjidhja:

Nëse nuk mund të "mashtroni" kur zgjidhni një emërues të përbashkët (nuk mund ta faktorizoni atë ose të përdorni formula të shkurtuara të shumëzimit), atëherë duhet të merrni produktin e emëruesve të të dy thyesave si emërues të përbashkët.

Përgjigje:.

Në përgjithësi, kur zgjidhen shembuj të tillë, detyra më e vështirë është të gjesh një emërues të përbashkët.

Le të shohim një shembull më kompleks.

Shembulli 5. Thjeshtoni: .

Zgjidhja:

Kur gjeni një emërues të përbashkët, së pari duhet të përpiqeni të faktorizoni emëruesit e thyesave origjinale (për të thjeshtuar emëruesin e përbashkët).

Në këtë rast të veçantë:

Atëherë është e lehtë të përcaktohet emëruesi i përbashkët: .

Ne përcaktojmë faktorë shtesë dhe zgjidhim këtë shembull:

Përgjigje:.

Tani le të vendosim rregullat për mbledhjen dhe zbritjen e thyesave me emërues të ndryshëm.

Shembulli 6. Thjeshtoni: .

Zgjidhja:

Përgjigje:.

Shembulli 7. Thjeshtoni: .

Zgjidhja:

.

Përgjigje:.

Le të shqyrtojmë tani një shembull në të cilin shtohen jo dy, por tre thyesa (në fund të fundit, rregullat e mbledhjes dhe zbritjes për një numër më të madh thyesash mbeten të njëjta).

Shembulli 8. Thjeshtoni: .