Funksioni- kjo është një gjë që lidh dy (ose më shumë) variabla me njëri-tjetrin. Me fjalë të tjera, funksioni ndihmon për të gjetur një ndryshore nëse dimë vlerën e ndryshores së dytë. Për shembull, nëse kemi 100 rubla në xhep dhe një çokollatë kushton 50 rubla, atëherë mund të blejmë 2 çokollatë. Nëse kemi 200 rubla në xhep, atëherë mund të blejmë 4 çokollata. Në këtë rast, variabli i parë është sasia që kemi në xhep dhe variabli i dytë është numri i çokollatës që mund të blejmë. Kostoja e një çokollate është 50 rubla, nuk varet nga sa para kemi, kështu që kjo vlerë është konstante.
Ju mund të krijoni një funksion për këtë rast: y = 50X, Ku në- para në xhep, X- numri i çokollatave.
Natyrisht, funksionet mund të jenë më komplekse. Por për të zgjidhur detyrat e OGE në matematikë, mjafton të dimë se si duken grafikët e funksioneve bazë.
1. Funksioni i formës y = kx + b (drejtë)
Në këtë funksion k Dhe b këto janë numra. Funksioni mund të shkruhet në në forma të ndryshme: y = x,y = 2x, y = 3x – 4, y = -9x +44, y= etj. Karakteristika kryesoreështë prania e x ( X) te fuqia e parë (pra, të gjitha rastet kur nuk ndajmë me X).
Numri k në këtë rast, ajo përcakton se në cilin drejtim është e prirur linja. Nëse k > 0
, atëherë funksioni rritet djathtas. Nëse k < 0
, atëherë funksioni rritet në të majtë.
Numri b y. Nëse b >0
, atëherë grafiku pret boshtin y mbi origjinën, Nëse b < 0
- më poshtë.
2. Funksioni i formës y = ax 2 + bx +c (parabolë)
Në këtë funksion a, b, c- numrat. Funksioni mund të shkruhet në forma të ndryshme: y = x 2, y = 3x 2 + 8, y = 2x 2 -4x + 10,y = -x 2 – 9x +1,y=- 7, etj. Karakteristika kryesoreështë prania e x në katror ( x 2).
Numri A
është përgjegjës se në cilin drejtim (lart ose poshtë) drejtohen degët e parabolës (e quaj edhe buzëqeshje të lumtur dhe buzëqeshje të trishtuar). Nëse a > 0
, pastaj një buzëqeshje e gëzuar, Nëse a < 0
- e trishtuar.
Numri bështë përgjegjës për cilin drejtim (djathtas ose majtas) pika e fillimit të parabolës (pika e lakimit) është zhvendosur në lidhje me boshtin y. Nëse b > 0 , atëherë grafiku zhvendoset në të majtë, Nëse b < 0 - në të djathtë.
Numri c
– kjo është pika e prerjes së grafikut me boshtin y. Nëse c >0
, atëherë grafiku e pret boshtin y mbi origjinën, Nëse c < 0
- më poshtë.
3. Funksioni i formës y = k/x + b (hiperbola)
Ky funksion është i ngjashëm në pamje me funksionin e vijës së drejtë, me përjashtim të asaj Xështë në emërues. Kjo është pikërisht ajo tipar dallues. Numri k është përgjegjës për rregullimin e funksionit në tremujorë, Nëse k > 0 , atëherë degët e hiperbolës janë të vendosura në tremujorin e parë dhe të tretë, Nëse k < 0 , atëherë degët janë të vendosura në tremujorin e dytë dhe të katërt.
Numri A
është përgjegjës për zhvendosjen e të gjithë funksionit poshtë ( A < 0
) ose lart ( a > 0
).
4. Funksioni i formës y = a (i drejtpërdrejtë)
Në këtë rast funksioni duket si drejt, paralel me boshtin X . Për shembull në= 2, kjo është një vijë e drejtë që shkon paralelisht me boshtin X dhe kryqëzon boshtin në në pikën 2.
5. Funksioni i formës y = √x
Ky lloj gjendet rrallë në detyra, por është më mirë të mbani mend. Është praktikisht një parabolë, por e rrotulluar në drejtim të akrepave të orës me 90 0, dhe gjithashtu i mungon gjysma e poshtme e saj. Nëse nuk është e qartë, thjesht shikoni foton:
Derivati i një funksioni $y = f(x)$ në një pikë të caktuar $x_0$ është kufiri i raportit të rritjes së një funksioni me rritjen përkatëse të argumentit të tij, me kusht që ky i fundit të tentojë në zero:
$f"(x_0)=(lim)↙(△x→0)(△f(x_0))/(△x)$
Diferencimi është operacioni i gjetjes së derivatit.
Tabela e derivateve të disa funksioneve elementare
| Funksioni | Derivat |
| $c$ | $0$ |
| $x$ | $1$ |
| $x^n$ | $nx^(n-1)$ |
| $(1)/(x)$ | $-(1)/(x^2)$ |
| $√x$ | $(1)/(2√x)$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $lnx$ | $(1)/(x)$ |
| $sinx$ | $cosx$ |
| $cosx$ | $-sinx$ |
| $tgx$ | $(1)/(cos^2x)$ |
| $ctgx$ | $-(1)/(sin^2x)$ |
Rregullat themelore të diferencimit
1. Derivati i shumës (diferencës) është i barabartë me shumën (diferencën) e derivateve.
$(f(x) ± g(x))"= f"(x)±g"(x)$
Gjeni derivatin e funksionit $f(x)=3x^5-cosx+(1)/(x)$
Derivati i një shume (diferencë) është i barabartë me shumën (diferencën) e derivateve.
$f"(x) = (3x^5)"-(cos x)" + ((1)/(x))" = 15x^4 + sinx - (1)/(x^2)$
2. Derivat i produktit
$(f(x) g(x)"= f"(x) g(x)+ f(x) g(x)"$
Gjeni derivatin $f(x)=4x cosx$
$f"(x)=(4x)"·cosx+4x·(cosx)"=4·cosx-4x·sinx$
3. Derivati i herësit
$((f(x))/(g(x)))"=(f"(x) g(x)-f(x) g(x)")/(g^2(x)) $
Gjeni derivatin $f(x)=(5x^5)/(e^x)$
$f"(x)=((5x^5)"·e^x-5x^5·(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4·e^x- 5x^5 e^x)/((e^x)^2)$
4. Derivati i një funksioni kompleks është i barabartë me prodhimin e derivatit funksioni i jashtëm te derivati i funksionit të brendshëm
$f(g(x))"=f"(g(x)) g"(x)$
$f"(x)=cos"(5x)·(5x)"=-sin(5x)·5= -5sin(5x)$
Kuptimi fizik i derivatit
Nëse një pikë materiale lëviz drejtvizore dhe koordinata e saj ndryshon në varësi të kohës sipas ligjit $x(t)$, atëherë shpejtësia e menjëhershme e kësaj pike është e barabartë me derivatin e funksionit.
Pika lëviz përgjatë vijës së koordinatave sipas ligjit $x(t)= 1.5t^2-3t + 7$, ku $x(t)$ është koordinata në kohën $t$. Në cilën pikë kohore shpejtësia e pikës do të jetë e barabartë me 12$?
1. Shpejtësia është derivati i $x(t)$, kështu që le të gjejmë derivatin e funksionit të dhënë
$v(t) = x"(t) = 1,5 2t -3 = 3t -3$
2. Për të gjetur se në cilën pikë të kohës $t$ shpejtësia ishte e barabartë me $12$, ne krijojmë dhe zgjidhim ekuacionin:
Kuptimi gjeometrik i derivatit
Kujtojmë se ekuacioni i një drejtëze që nuk është paralele me boshtet e koordinatave mund të shkruhet në formën $y = kx + b$, ku $k$ është pjerrësia e drejtëzës. Koeficienti $k$ është i barabartë me tangjenten e këndit të prirjes ndërmjet drejtëzës dhe drejtimit pozitiv të boshtit $Ox$.
Derivati i funksionit $f(x)$ në pikën $х_0$ është i barabartë me pjerrësinë $k$ të tangjentes me grafikun në këtë pikë:
Prandaj, ne mund të krijojmë një barazi të përgjithshme:
$f"(x_0) = k = tanα$
Në figurë rritet tangjentja e funksionit $f(x)$, pra koeficienti $k > 0$. Meqenëse $k > 0$, atëherë $f"(x_0) = tanα > 0$. Këndi $α$ ndërmjet tangjentes dhe drejtimit pozitiv $Ox$ është akut.
Në figurë, tangjentja e funksionit $f(x)$ zvogëlohet, pra koeficienti $k< 0$, следовательно, $f"(x_0) = tgα < 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением оси $Ох$ тупой.
Në figurë, tangjentja e funksionit $f(x)$ është paralele me boshtin $Ox$, pra koeficienti $k = 0$, pra, $f"(x_0) = tan α = 0$. pika $x_0$ në të cilën thirret $f "(x_0) = 0$ ekstreme.
Figura tregon një grafik të funksionit $y=f(x)$ dhe një tangjente me këtë grafik të vizatuar në pikën me abshisën $x_0$. Gjeni vlerën e derivatit të funksionit $f(x)$ në pikën $x_0$.
Tangjentja e grafikut rritet, prandaj, $f"(x_0) = tan α > 0$
Për të gjetur $f"(x_0)$, gjejmë tangjentën e këndit të prirjes ndërmjet tangjentës dhe drejtimit pozitiv të boshtit $Ox$. Për ta bërë këtë, ndërtojmë tangjenten me trekëndëshin $ABC$.
Le të gjejmë tangjenten e këndit $BAC$. (Tangjentja e një këndi akut në një trekëndësh kënddrejtë është raporti i anës së kundërt me anën ngjitur.)
$tg BAC = (BC)/(AC) = (3)/(12)= (1)/(4) = 0,25$
$f"(x_0) = tg BAC = 0,25$
Përgjigje: 0,25 $
Derivati përdoret gjithashtu për të gjetur intervalet e funksioneve rritëse dhe zvogëluese:
Nëse $f"(x) > 0$ në një interval, atëherë funksioni $f(x)$ po rritet në këtë interval.
Nëse $f"(x)< 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.
Figura tregon grafikun e funksionit $y = f(x)$. Gjeni midis pikave $х_1,х_2,х_3...х_7$ ato pika në të cilat derivati i funksionit është negativ.
Si përgjigje, shkruani numrin e këtyre pikave.
Në figurë paraqitet grafiku i funksionit y = f(x) dhe tangjentja me të në pikën me abshisë x 0. Gjeni vlerën e derivatit të funksionit f(x) në pikën x 0. K 0 K = -0,5 K = 0,5 0 K = -0,5 K = 0,5"> 0 K = -0,5 K = 0,5"> 0 K = -0,5 K = 0,5" title="Në foto paraqitet grafiku i funksionit y = f(x ) dhe tangjenten me të në pikën me abshisën x 0. Gjeni vlerën e derivatit të funksionit f(x) në pikën x 0. K 0 K = -0,5 K = 0,5"> title="Në figurë paraqitet grafiku i funksionit y = f(x) dhe tangjentja me të në pikën me abshisë x 0. Gjeni vlerën e derivatit të funksionit f(x) në pikën x 0. K 0 K = -0,5 K = 0,5"> !}
Në figurë është paraqitur grafiku i derivatit të funksionit f(x), i përcaktuar në intervalin (-1;17). Gjeni intervalet e zvogëlimit të funksionit f(x). Në përgjigjen tuaj, tregoni gjatësinë e më të madhit prej tyre. f(x) 
0 në interval, pastaj funksioni f(x)" title="Figura tregon një grafik të funksionit y = f(x). Gjeni midis pikave x 1, x 2, x 3, x 4 , x 5, x 6 dhe x 7 janë pikat në të cilat derivati i funksionit f(x) është pozitiv Si përgjigje, shkruani numrin e pikave të gjetura, atëherë funksioni f(x)" class="link_thumb"> 8 !} Figura tregon një grafik të funksionit y = f(x). Gjeni midis pikave x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 dhe x 7 ato pika në të cilat derivati i funksionit f(x) është pozitiv. Si përgjigje, shkruani numrin e pikave të gjetura. Nëse f (x) > 0 në një interval, atëherë funksioni f (x) rritet në këtë interval Përgjigje: 2 0 në interval, pastaj funksioni f(x)"> 0 në interval, pastaj funksioni f(x) rritet në këtë interval Përgjigje: 2"> 0 në interval, pastaj funksioni f(x)" titull= "On Figura tregon grafikun e funksionit y = f(x). Gjeni midis pikave x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 dhe x 7 ato pika në të cilat Derivati i funksionit f(x) është pozitiv. Shkruani numrin e pikave të gjetura."> title="Figura tregon një grafik të funksionit y = f(x). Gjeni midis pikave x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 dhe x 7 ato pika në të cilat derivati i funksionit f(x) është pozitiv. Si përgjigje, shkruani numrin e pikave të gjetura. Nëse f (x) > 0 në një interval, atëherë funksioni f(x)"> !}
Figura tregon një grafik të derivatit të funksionit f(x), të përcaktuar në intervalin (-9; 2). Në cilën pikë të segmentit -8; -4 funksioni f(x) merr vlera më e lartë? Në segmentin -8; -4 f(x) 
Funksioni y = f(x) përcaktohet në intervalin (-5; 6). Figura tregon një grafik të funksionit y = f(x). Gjeni ndër pikat x 1, x 2, ..., x 7 ato pika në të cilat derivati i funksionit f(x) është i barabartë me zero. Si përgjigje, shkruani numrin e pikave të gjetura. Përgjigje: 3 pikë x 1, x 4, x 6 dhe x 7 janë pika ekstreme. Në pikën x 4 nuk ka f (x)
Letërsia 4 Algjebra dhe fillimi i orës së analizës. Libër shkollor për institucionet e arsimit të përgjithshëm, niveli bazë / Sh.A. Alimov dhe të tjerët, - M.: Edukimi, Semenov A. L. Provimi i Unifikuar i Shtetit: 3000 probleme në matematikë. – M.: Shtëpia Botuese “Provimi”, Gendenshtein L. E., Ershova A. P., Ershova A. S. Një udhëzues pamor për algjebrën dhe fillimet e analizës me shembuj për klasat 7-11. - M.: Ilexa, Burim elektronik Banka e hapur e detyrave të Provimit të Unifikuar të Shtetit.
