Si të gjeni shumëfishin më të vogël të përbashkët të dy numrave. Metodat për gjetjen e shumëfishit më të vogël të përbashkët, nok

Pjesëtuesi më i madh i përbashkët

Përkufizimi 2

Nëse një numër natyror a është i pjesëtueshëm me një numër natyror $b$, atëherë $b$ quhet pjesëtues i $a$ dhe $a$ quhet shumëfish i $b$.

Le të jenë numra natyrorë $a$ dhe $b$. Telefonohet numri $c$ pjesëtues i përbashkët si për $a$ ashtu edhe për $b$.

Bashkësia e pjesëtuesve të përbashkët të numrave $a$ dhe $b$ është e fundme, pasi asnjë nga këta pjesëtues nuk mund të jetë më i madh se $a$. Kjo do të thotë se midis këtyre pjesëtuesve ekziston një më i madhi, i cili quhet pjesëtuesi më i madh i përbashkët i numrave $a$ dhe $b$ dhe shënohet me shënimin e mëposhtëm:

$GCD\(a;b)\ ose \D\(a;b)$

Për të gjetur pjesëtuesin më të madh të përbashkët të dy numrave ju nevojiten:

Gjeni prodhimin e numrave të gjetur në hapin 2. Numri që rezulton do të jetë pjesëtuesi më i madh i përbashkët i dëshiruar.

Shembulli 1

Gjeni gcd-në e numrave $121$ dhe $132.$

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Zgjidhni numrat që përfshihen në zgjerimin e këtyre numrave

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Gjeni prodhimin e numrave të gjetur në hapin 2. Numri që rezulton do të jetë pjesëtuesi më i madh i përbashkët i dëshiruar.

$GCD=2\cdot 11=22$

Shembulli 2

Gjeni gcd-në e monomëve $63$ dhe $81$.

Do të gjejmë sipas algoritmit të paraqitur. Për këtë:

Le t'i faktorizojmë numrat në faktorë të thjeshtë

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Ne zgjedhim numrat që përfshihen në zgjerimin e këtyre numrave

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Le të gjejmë prodhimin e numrave të gjetur në hapin 2. Numri që rezulton do të jetë pjesëtuesi më i madh i përbashkët i dëshiruar.

$GCD=3\cdot 3=9$

Ju mund ta gjeni gcd-në e dy numrave në një mënyrë tjetër, duke përdorur një grup pjesëtuesish numrash.

Shembulli 3

Gjeni gcd-në e numrave $48$ dhe $60$.

Zgjidhja:

Le të gjejmë bashkësinë e pjesëtuesve të numrit $48$: $\majtas$(\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\djathtas$$

Tani le të gjejmë grupin e pjesëtuesve të numrit $60$:$\ \majtas$(\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\djathtas$ $

Le të gjejmë kryqëzimin e këtyre grupeve: $\left$(\rm 1,2,3,4,6,12)\right$$ - ky grup do të përcaktojë grupin e pjesëtuesve të përbashkët të numrave $48$ dhe $60 $. Elementi më i madh në këtë grup do të jetë numri $12$. Kjo do të thotë se pjesëtuesi më i madh i përbashkët i numrave $48$ dhe $60$ është $12$.

Përkufizimi i NPL

Përkufizimi 3

Shumëfisha të përbashkët të numrave natyrorë$a$ dhe $b$ është një numër natyror që është shumëfish i $a$ dhe $b$.

Shumëfishat e përbashkët të numrave janë numra që janë të pjesëtueshëm me numrat origjinalë pa mbetje Për shembull, për numrat 25$ dhe 50$, shumëfishat e përbashkët do të jenë numrat 50,100,150,200$, etj.

Shumëfishi më i vogël i përbashkët do të quhet shumëfishi më i vogël i përbashkët dhe do të shënohet LCM$(a;b)$ ose K$(a;b).$

Për të gjetur LCM-në e dy numrave, duhet:

Faktori i numrave në faktorë të thjeshtë
Shkruani faktorët që janë pjesë e numrit të parë dhe shtoni atyre faktorët që janë pjesë e të dytit dhe nuk janë pjesë e të parit.

Shembulli 4

Gjeni LCM-në e numrave $99$ dhe $77$.

Do të gjejmë sipas algoritmit të paraqitur. Për këtë

Faktori i numrave në faktorë të thjeshtë

$99=3\cdot 3\cdot 11$

Shkruani faktorët e përfshirë në të parën

shtoni atyre shumëzues që janë pjesë e së dytës dhe jo pjesë e së parës

Gjeni prodhimin e numrave të gjetur në hapin 2. Numri që rezulton do të jetë shumëfishi më i vogël i zakonshëm i dëshiruar

$NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

Përpilimi i listave të pjesëtuesve të numrave është shpesh një detyrë shumë e vështirë. Ekziston një mënyrë për të gjetur GCD që quhet algoritmi Euklidian.

Deklaratat në të cilat bazohet algoritmi Euklidian:

Nëse $a$ dhe $b$ janë numra natyrorë, dhe $a\vdots b$, atëherë $D(a;b)=b$

Nëse $a$ dhe $b$ janë numra natyrorë të tillë që $b

Duke përdorur $D(a;b)= D(a-b;b)$, ne mund të zvogëlojmë në mënyrë të njëpasnjëshme numrat në shqyrtim derisa të arrijmë një çift numrash të tillë që njëri prej tyre të jetë i pjesëtueshëm me tjetrin. Atëherë, më i vogli nga këta numra do të jetë pjesëtuesi më i madh i përbashkët i dëshiruar për numrat $a$ dhe $b$.

Vetitë e GCD dhe LCM

Çdo shumëfish i përbashkët i $a$ dhe $b$ është i pjesëtueshëm me K$(a;b)$
Nëse $a\vdots b$ , atëherë К$(a;b)=a$

Nëse K$(a;b)=k$ dhe $m$ është një numër natyror, atëherë K$(am;bm)=km$

Nëse $d$ është një pjesëtues i zakonshëm për $a$ dhe $b$, atëherë K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $

Nëse $a\vdots c$ dhe $b\vdots c$, atëherë $\frac(ab)(c)$ është shumëfishi i përbashkët i $a$ dhe $b$

Për çdo numër natyror $a$ dhe $b$ barazia vlen

$D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$

Çdo pjesëtues i përbashkët i numrave $a$ dhe $b$ është pjesëtues i numrit $D(a;b)$

Shumëzim kryq

Metoda e pjesëtuesit të përbashkët

Detyrë. Gjeni kuptimin e shprehjeve:

Për të vlerësuar se sa ndryshim bën metoda e shumëfishtë më pak e zakonshme, provoni të llogaritni të njëjtët shembuj duke përdorur metodën e kryqëzuar.

Emëruesi i përbashkët i thyesave

Sigurisht, pa një kalkulator. Mendoj se pas kësaj komentet do të jenë të panevojshme.

Shiko gjithashtu:

Fillimisht doja të përfshija metodat e kastit emërues i përbashkët në rubrikën "Mbledhja dhe zbritja e thyesave". Por doli se kishte aq shumë informacione dhe rëndësia e tij është aq e madhe (në fund të fundit, jo vetëm fraksionet numerike kanë emërues të përbashkët), sa është më mirë ta studiojmë këtë çështje veç e veç.

Pra, le të themi se kemi dy thyesa me emërues të ndryshëm. Dhe ne duam të sigurohemi që emëruesit të bëhen të njëjtë. Vetia themelore e një fraksioni vjen në shpëtim, e cila, më lejoni t'ju kujtoj, tingëllon si kjo:

Një thyesë nuk do të ndryshojë nëse numëruesi dhe emëruesi i saj shumëzohen me të njëjtin numër të ndryshëm nga zero.

Kështu, nëse i zgjidhni saktë faktorët, emëruesit e thyesave do të bëhen të barabartë - ky proces quhet. Dhe numrat e kërkuar, "mbrëmje jashtë" emëruesit, thirren.

Pse duhet t'i reduktojmë thyesat në një emërues të përbashkët? Këtu janë vetëm disa arsye:

Mbledhja dhe zbritja e thyesave me emërues të ndryshëm. Nuk ka asnjë mënyrë tjetër për të kryer këtë operacion;
Krahasimi i thyesave. Ndonjëherë reduktimi në një emërues të përbashkët e thjeshton shumë këtë detyrë;
Zgjidhja e problemeve që përfshijnë thyesa dhe përqindje. Përqindjet janë në thelb shprehje të zakonshme që përmbajnë thyesa.

Ka shumë mënyra për të gjetur numra që, kur shumëzohen me ta, do t'i bëjnë emëruesit e thyesave të barabartë. Ne do të shqyrtojmë vetëm tre prej tyre - në mënyrë që të rritet kompleksiteti dhe, në një farë kuptimi, efektiviteti.

Shumëzim kryq

Më e thjeshta dhe mënyrë të besueshme, e cila garantohet të barazojë emëruesit. Ne do të veprojmë "në mënyrë të pandërprerë": ne shumëzojmë thyesën e parë me emëruesin e thyesës së dytë dhe të dytën me emëruesin e të parës. Si rezultat, emëruesit e të dy thyesave do të bëhen të barabartë me produktin e emëruesit origjinal. Hidhi nje sy:

Detyrë. Gjeni kuptimin e shprehjeve:

Si faktorë shtesë, merrni parasysh emëruesit e thyesave fqinje. Ne marrim:

Po, është kaq e thjeshtë. Nëse sapo keni filluar të studioni fraksionet, është më mirë të punoni duke përdorur këtë metodë - në këtë mënyrë do të siguroheni nga shumë gabime dhe do të jeni të garantuar të merrni rezultatin.

E vetmja pengesë këtë metodë- duhet të numëroni shumë, sepse emëruesit shumëzohen "përgjatë", dhe rezultati mund të jetë shumë numra të mëdhenj. Ky është çmimi që duhet paguar për besueshmërinë.

Metoda e pjesëtuesit të përbashkët

Kjo teknikë ndihmon për të reduktuar ndjeshëm llogaritjet, por, për fat të keq, përdoret mjaft rrallë. Metoda është si më poshtë:

Përpara se të shkoni drejt përpara (d.m.th., duke përdorur metodën e kryqëzuar), hidhini një sy emëruesve. Ndoshta njëri prej tyre (ai që është më i madh) është i ndarë në tjetrin.
Numri që rezulton nga kjo pjesëtim do të jetë një faktor shtesë për thyesën me emërues më të vogël.
Në këtë rast, një fraksion me një emërues të madh nuk ka nevojë të shumëzohet me asgjë - këtu qëndrojnë kursimet. Në të njëjtën kohë, probabiliteti i gabimit zvogëlohet ndjeshëm.

Detyrë. Gjeni kuptimin e shprehjeve:

Vini re se 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Meqenëse në të dyja rastet njëri emërues ndahet pa mbetje me tjetrin, ne përdorim metodën e faktorëve të përbashkët. Ne kemi:

Vini re se thyesa e dytë nuk u shumëzua fare me asgjë. Në fakt, ne e përgjysmojmë sasinë e llogaritjes!

Nga rruga, unë nuk i mora rastësisht thyesat në këtë shembull. Nëse jeni të interesuar, provoni t'i numëroni duke përdorur metodën e kryqëzuar. Pas reduktimit, përgjigjet do të jenë të njëjta, por do të ketë shumë më tepër punë.

Kjo është fuqia e metodës së pjesëtuesve të përbashkët, por, përsëri, mund të përdoret vetëm kur njëri prej emërtuesve është i pjesëtueshëm me tjetrin pa mbetje. Gjë që ndodh mjaft rrallë.

Metoda më pak e zakonshme e shumëfishtë

Kur i reduktojmë thyesat në një emërues të përbashkët, në thelb po përpiqemi të gjejmë një numër që është i pjesëtueshëm me secilin prej emëruesit. Pastaj sjellim emëruesit e të dy thyesave në këtë numër.

Ka shumë numra të tillë, dhe më i vogli prej tyre nuk do të jetë domosdoshmërisht i barabartë me produktin e drejtpërdrejtë të emëruesve të thyesave origjinale, siç supozohet në metodën "kryq".

Për shembull, për emëruesit 8 dhe 12, numri 24 është mjaft i përshtatshëm, pasi 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Ky numër është shumë më i vogël se prodhimi 8 12 = 96.

Numri më i vogël që pjesëtohet me secilin prej emërtuesve quhet i tyre (LCM).

Shënim: Shumëfishi më i vogël i përbashkët i a dhe b shënohet LCM(a; b). Për shembull, LCM(16, 24) = 48; LCM(8; 12) = 24.

Nëse arrini të gjeni një numër të tillë, shuma totale e llogaritjeve do të jetë minimale. Shikoni shembujt:

Si të gjeni emëruesin më të ulët të përbashkët

Gjeni kuptimin e shprehjeve:

Vini re se 234 = 117 2; 351 = 117 · 3. Faktorët 2 dhe 3 janë të përbashkët (nuk kanë faktorë të përbashkët përveç 1), dhe faktori 117 është i zakonshëm. Prandaj LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.

Po kështu, 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. Faktorët 3 dhe 4 janë të dyfishtë, dhe faktori 5 është i zakonshëm. Prandaj LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.

Tani le t'i reduktojmë thyesat në emërues të përbashkët:

Vini re se sa i dobishëm ishte faktorizimi i emëruesve origjinal:

Pasi zbuluam faktorë të njëjtë, arritëm menjëherë te shumëfishi më i vogël i përbashkët, i cili, në përgjithësi, është një problem jo i parëndësishëm;
Nga zgjerimi që rezulton mund të zbuloni se cilët faktorë "mungojnë" në secilën fraksion. Për shembull, 234 · 3 = 702, prandaj, për fraksionin e parë faktori shtesë është 3.

Mos mendoni se nuk do të ketë thyesa kaq komplekse në shembujt realë. Ata takohen gjatë gjithë kohës, dhe detyrat e mësipërme nuk janë kufiri!

Problemi i vetëm është se si ta gjejmë këtë NOC. Ndonjëherë gjithçka gjendet në disa sekonda, fjalë për fjalë "me sy", por në përgjithësi kjo është një detyrë komplekse llogaritëse që kërkon shqyrtim të veçantë. Ne nuk do ta prekim atë këtu.

Shiko gjithashtu:

Reduktimi i thyesave në një emërues të përbashkët

Fillimisht doja të përfshija teknikat e emëruesve të përbashkët në seksionin Shtimi dhe Zbritja e Thyjeve. Por doli se kishte aq shumë informacione dhe rëndësia e tij është aq e madhe (në fund të fundit, jo vetëm fraksionet numerike kanë emërues të përbashkët), sa është më mirë ta studiojmë këtë çështje veç e veç.

Një thyesë nuk do të ndryshojë nëse numëruesi dhe emëruesi i saj shumëzohen me të njëjtin numër të ndryshëm nga zero.

Kështu, nëse i zgjidhni saktë faktorët, emëruesit e thyesave do të bëhen të barabartë - ky proces quhet. Dhe numrat e kërkuar, "mbrëmje jashtë" emëruesit, thirren.

Pse duhet t'i reduktojmë thyesat në një emërues të përbashkët?

Emëruesi i përbashkët, koncepti dhe përkufizimi.

Këtu janë vetëm disa arsye:

Mbledhja dhe zbritja e thyesave me emërues të ndryshëm. Nuk ka asnjë mënyrë tjetër për të kryer këtë operacion;
Krahasimi i thyesave. Ndonjëherë reduktimi në një emërues të përbashkët e thjeshton shumë këtë detyrë;
Zgjidhja e problemeve që përfshijnë thyesa dhe përqindje. Përqindjet janë në thelb shprehje të zakonshme që përmbajnë thyesa.

Shumëzim kryq

Metoda më e thjeshtë dhe më e besueshme, e cila garantohet të barazojë emëruesit. Ne do të veprojmë "në mënyrë të pandërprerë": ne shumëzojmë thyesën e parë me emëruesin e thyesës së dytë dhe të dytën me emëruesin e të parës. Si rezultat, emëruesit e të dy thyesave do të bëhen të barabartë me produktin e emëruesve origjinal. Hidhi nje sy:

Detyrë. Gjeni kuptimin e shprehjeve:

Si faktorë shtesë, merrni parasysh emëruesit e thyesave fqinje. Ne marrim:

E vetmja pengesë e kësaj metode është se ju duhet të numëroni shumë, sepse emëruesit shumëzohen "deri në fund", dhe rezultati mund të jetë numra shumë të mëdhenj. Ky është çmimi që duhet paguar për besueshmërinë.

Metoda e pjesëtuesit të përbashkët

Kjo teknikë ndihmon për të reduktuar ndjeshëm llogaritjet, por, për fat të keq, përdoret mjaft rrallë. Metoda është si më poshtë:

Përpara se të shkoni drejt përpara (d.m.th., duke përdorur metodën e kryqëzuar), hidhini një sy emëruesve. Ndoshta njëri prej tyre (ai që është më i madh) është i ndarë në tjetrin.
Numri që rezulton nga kjo pjesëtim do të jetë një faktor shtesë për thyesën me emërues më të vogël.
Në këtë rast, një fraksion me një emërues të madh nuk ka nevojë të shumëzohet me asgjë - këtu qëndrojnë kursimet. Në të njëjtën kohë, probabiliteti i gabimit zvogëlohet ndjeshëm.

Detyrë. Gjeni kuptimin e shprehjeve:

Vini re se 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Meqenëse në të dyja rastet njëri emërues ndahet pa mbetje me tjetrin, ne përdorim metodën e faktorëve të përbashkët. Ne kemi:

Vini re se thyesa e dytë nuk u shumëzua fare me asgjë. Në fakt, ne e përgjysmojmë sasinë e llogaritjes!

Metoda më pak e zakonshme e shumëfishtë

Për shembull, për emëruesit 8 dhe 12, numri 24 është mjaft i përshtatshëm, pasi 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Ky numër është shumë më i vogël se prodhimi 8 12 = 96.

Numri më i vogël që pjesëtohet me secilin prej emërtuesve quhet i tyre (LCM).

Shënim: Shumëfishi më i vogël i përbashkët i a dhe b shënohet LCM(a; b). Për shembull, LCM(16, 24) = 48; LCM(8; 12) = 24.

Nëse arrini të gjeni një numër të tillë, shuma totale e llogaritjeve do të jetë minimale. Shikoni shembujt:

Detyrë. Gjeni kuptimin e shprehjeve:

Po kështu, 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. Faktorët 3 dhe 4 janë të dyfishtë, dhe faktori 5 është i zakonshëm. Prandaj LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.

Tani le t'i reduktojmë thyesat në emërues të përbashkët:

Vini re se sa i dobishëm ishte faktorizimi i emëruesve origjinal:

Pasi zbuluam faktorë të njëjtë, arritëm menjëherë te shumëfishi më i vogël i përbashkët, i cili, në përgjithësi, është një problem jo i parëndësishëm;
Nga zgjerimi që rezulton mund të zbuloni se cilët faktorë "mungojnë" në secilën fraksion. Për shembull, 234 · 3 = 702, prandaj, për fraksionin e parë faktori shtesë është 3.

Për të vlerësuar se sa ndryshim bën metoda e shumëfishtë më pak e zakonshme, provoni të llogaritni të njëjtët shembuj duke përdorur metodën e kryqëzuar. Sigurisht, pa një kalkulator. Mendoj se pas kësaj komentet do të jenë të panevojshme.

Mos mendoni se nuk do të ketë thyesa kaq komplekse në shembujt realë. Ata takohen gjatë gjithë kohës, dhe detyrat e mësipërme nuk janë kufiri!

Shiko gjithashtu:

Reduktimi i thyesave në një emërues të përbashkët

Një thyesë nuk do të ndryshojë nëse numëruesi dhe emëruesi i saj shumëzohen me të njëjtin numër të ndryshëm nga zero.

Kështu, nëse i zgjidhni saktë faktorët, emëruesit e thyesave do të bëhen të barabartë - ky proces quhet. Dhe numrat e kërkuar, "mbrëmje jashtë" emëruesit, thirren.

Pse duhet t'i reduktojmë thyesat në një emërues të përbashkët? Këtu janë vetëm disa arsye:

Mbledhja dhe zbritja e thyesave me emërues të ndryshëm. Nuk ka asnjë mënyrë tjetër për të kryer këtë operacion;
Krahasimi i thyesave. Ndonjëherë reduktimi në një emërues të përbashkët e thjeshton shumë këtë detyrë;
Zgjidhja e problemeve që përfshijnë thyesa dhe përqindje. Përqindjet janë në thelb shprehje të zakonshme që përmbajnë thyesa.

Shumëzim kryq

Hidhi nje sy:

Detyrë. Gjeni kuptimin e shprehjeve:

Si faktorë shtesë, merrni parasysh emëruesit e thyesave fqinje. Ne marrim:

Metoda e pjesëtuesit të përbashkët

Kjo teknikë ndihmon për të reduktuar ndjeshëm llogaritjet, por, për fat të keq, përdoret mjaft rrallë. Metoda është si më poshtë:

Përpara se të shkoni drejt përpara (d.m.th., duke përdorur metodën e kryqëzuar), hidhini një sy emëruesve. Ndoshta njëri prej tyre (ai që është më i madh) është i ndarë në tjetrin.
Numri që rezulton nga kjo pjesëtim do të jetë një faktor shtesë për thyesën me emërues më të vogël.
Në këtë rast, një fraksion me një emërues të madh nuk ka nevojë të shumëzohet me asgjë - këtu qëndrojnë kursimet. Në të njëjtën kohë, probabiliteti i gabimit zvogëlohet ndjeshëm.

Detyrë. Gjeni kuptimin e shprehjeve:

Vini re se 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Meqenëse në të dyja rastet njëri emërues ndahet pa mbetje me tjetrin, ne përdorim metodën e faktorëve të përbashkët. Ne kemi:

Vini re se thyesa e dytë nuk u shumëzua fare me asgjë. Në fakt, ne e përgjysmojmë sasinë e llogaritjes!

Metoda më pak e zakonshme e shumëfishtë

Për shembull, për emëruesit 8 dhe 12, numri 24 është mjaft i përshtatshëm, pasi 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Ky numër është shumë më i vogël se prodhimi 8 12 = 96.

Numri më i vogël që pjesëtohet me secilin prej emërtuesve quhet i tyre (LCM).

Shënim: Shumëfishi më i vogël i përbashkët i a dhe b shënohet LCM(a; b). Për shembull, LCM(16, 24) = 48; LCM(8; 12) = 24.

Nëse arrini të gjeni një numër të tillë, shuma totale e llogaritjeve do të jetë minimale. Shikoni shembujt:

Detyrë. Gjeni kuptimin e shprehjeve:

Po kështu, 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. Faktorët 3 dhe 4 janë të dyfishtë, dhe faktori 5 është i zakonshëm. Prandaj LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.

Tani le t'i reduktojmë thyesat në emërues të përbashkët:

Vini re se sa i dobishëm ishte faktorizimi i emëruesve origjinal:

Pasi zbuluam faktorë të njëjtë, arritëm menjëherë te shumëfishi më i vogël i përbashkët, i cili, në përgjithësi, është një problem jo i parëndësishëm;
Nga zgjerimi që rezulton mund të zbuloni se cilët faktorë "mungojnë" në secilën fraksion. Për shembull, 234 · 3 = 702, prandaj, për fraksionin e parë faktori shtesë është 3.

Mos mendoni se nuk do të ketë thyesa kaq komplekse në shembujt realë. Ata takohen gjatë gjithë kohës, dhe detyrat e mësipërme nuk janë kufiri!

Shiko gjithashtu:

Reduktimi i thyesave në një emërues të përbashkët

Një thyesë nuk do të ndryshojë nëse numëruesi dhe emëruesi i saj shumëzohen me të njëjtin numër të ndryshëm nga zero.

Kështu, nëse i zgjidhni saktë faktorët, emëruesit e thyesave do të bëhen të barabartë - ky proces quhet. Dhe numrat e kërkuar, "mbrëmje jashtë" emëruesit, thirren.

Pse duhet t'i reduktojmë thyesat në një emërues të përbashkët? Këtu janë vetëm disa arsye:

Mbledhja dhe zbritja e thyesave me emërues të ndryshëm. Nuk ka asnjë mënyrë tjetër për të kryer këtë operacion;
Krahasimi i thyesave. Ndonjëherë reduktimi në një emërues të përbashkët e thjeshton shumë këtë detyrë;
Zgjidhja e problemeve që përfshijnë thyesa dhe përqindje. Përqindjet janë në thelb shprehje të zakonshme që përmbajnë thyesa.

Shumëzim kryq

Detyrë. Gjeni kuptimin e shprehjeve:

Si faktorë shtesë, merrni parasysh emëruesit e thyesave fqinje. Ne marrim:

E vetmja pengesë e kësaj metode është se ju duhet të numëroni shumë, sepse emëruesit shumëzohen "deri në fund", dhe rezultati mund të jetë numra shumë të mëdhenj.

Reduktimi i thyesave në një emërues të përbashkët

Ky është çmimi që duhet paguar për besueshmërinë.

Metoda e pjesëtuesit të përbashkët

Kjo teknikë ndihmon për të reduktuar ndjeshëm llogaritjet, por, për fat të keq, përdoret mjaft rrallë. Metoda është si më poshtë:

Përpara se të shkoni drejt përpara (d.m.th., duke përdorur metodën e kryqëzuar), hidhini një sy emëruesve. Ndoshta njëri prej tyre (ai që është më i madh) është i ndarë në tjetrin.
Numri që rezulton nga kjo pjesëtim do të jetë një faktor shtesë për thyesën me emërues më të vogël.
Në këtë rast, një fraksion me një emërues të madh nuk ka nevojë të shumëzohet me asgjë - këtu qëndrojnë kursimet. Në të njëjtën kohë, probabiliteti i gabimit zvogëlohet ndjeshëm.

Detyrë. Gjeni kuptimin e shprehjeve:

Vini re se 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Meqenëse në të dyja rastet njëri emërues ndahet pa mbetje me tjetrin, ne përdorim metodën e faktorëve të përbashkët. Ne kemi:

Vini re se thyesa e dytë nuk u shumëzua fare me asgjë. Në fakt, ne e përgjysmojmë sasinë e llogaritjes!

Metoda më pak e zakonshme e shumëfishtë

Për shembull, për emëruesit 8 dhe 12, numri 24 është mjaft i përshtatshëm, pasi 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Ky numër është shumë më i vogël se prodhimi 8 12 = 96.

Numri më i vogël që pjesëtohet me secilin prej emërtuesve quhet i tyre (LCM).

Shënim: Shumëfishi më i vogël i përbashkët i a dhe b shënohet LCM(a; b). Për shembull, LCM(16, 24) = 48; LCM(8; 12) = 24.

Nëse arrini të gjeni një numër të tillë, shuma totale e llogaritjeve do të jetë minimale. Shikoni shembujt:

Detyrë. Gjeni kuptimin e shprehjeve:

Po kështu, 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. Faktorët 3 dhe 4 janë të dyfishtë, dhe faktori 5 është i zakonshëm. Prandaj LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.

Tani le t'i reduktojmë thyesat në emërues të përbashkët:

Vini re se sa i dobishëm ishte faktorizimi i emëruesve origjinal:

Pasi zbuluam faktorë të njëjtë, arritëm menjëherë te shumëfishi më i vogël i përbashkët, i cili, në përgjithësi, është një problem jo i parëndësishëm;
Nga zgjerimi që rezulton mund të zbuloni se cilët faktorë "mungojnë" në secilën fraksion. Për shembull, 234 · 3 = 702, prandaj, për fraksionin e parë faktori shtesë është 3.

Mos mendoni se nuk do të ketë thyesa kaq komplekse në shembujt realë. Ata takohen gjatë gjithë kohës, dhe detyrat e mësipërme nuk janë kufiri!

Kur mblidhen dhe zbriten thyesat algjebrike me emërues të ndryshëm, thyesat fillimisht çojnë në emërues i përbashkët. Kjo do të thotë se ata gjejnë një emërues që ndahet me emëruesin origjinal të çdo thyese algjebrike të përfshirë në shprehjen e dhënë.

Siç e dini, nëse numëruesi dhe emëruesi i një thyese shumëzohen (ose pjesëtohen) me të njëjtin numër përveç zeros, vlera e thyesës nuk do të ndryshojë. Kjo është vetia kryesore e një fraksioni. Prandaj, kur thyesat reduktohen në një emërues të përbashkët, ato në thelb shumëzojnë emëruesin origjinal të çdo thyese me faktorin që mungon për të marrë një emërues të përbashkët. Në këtë rast, duhet të shumëzoni numëruesin e fraksionit me këtë faktor (është i ndryshëm për secilën fraksion).

Për shembull, duke pasur parasysh shumën e mëposhtme të thyesave algjebrike:

Kërkohet thjeshtimi i shprehjes, domethënë shtimi i dy thyesave algjebrike. Për ta bërë këtë, para së gjithash, duhet të sillni termat e thyesave në një emërues të përbashkët. Hapi i parë është gjetja e një monomi që është i pjesëtueshëm me 3x dhe 2y. Në këtë rast, është e dëshirueshme që ai të jetë më i vogli, domethënë të gjendet shumëfishi më i vogël i përbashkët (LCM) për 3x dhe 2y.

Për koeficientët dhe variablat numerikë, LCM kërkohet veçmas. LCM(3, 2) = 6 dhe LCM(x, y) = xy. Më pas, vlerat e gjetura shumëzohen: 6xy.

Tani duhet të përcaktojmë se me cilin faktor duhet të shumëzojmë 3x për të marrë 6xy:
6xy ÷ 3x = 2y

Kjo do të thotë që kur thyesën e parë algjebrike reduktohet në një emërues të përbashkët, numëruesi i saj duhet të shumëzohet me 2y (emëruesi tashmë është shumëzuar kur zvogëlohet në një emërues të përbashkët). Në të njëjtën mënyrë kërkohet shumëzuesi për numëruesin e thyesës së dytë. Do të jetë e barabartë me 3x.

Kështu marrim:

Atëherë mund të veproni si me thyesat me emërues të njëjtë: shtohen numëruesit dhe shkruhet një emërues i përbashkët:

Pas transformimeve, fitohet një shprehje e thjeshtuar, e cila është një thyesa algjebrike, që është shuma e dy origjinaleve:

Thyesat algjebrike në shprehjen origjinale mund të përmbajnë emërues që janë polinomë dhe jo monomë (si në shembullin e mësipërm). Në këtë rast, përpara se të kërkoni për një emërues të përbashkët, duhet të faktorizoni emëruesit (nëse është e mundur). Më pas, emëruesi i përbashkët mblidhet nga faktorë të ndryshëm. Nëse shumëzuesi është në disa emërues origjinal, atëherë ai merret një herë. Nëse shumëzuesi ka fuqi të ndryshme në emëruesit origjinal, atëherë ai merret me atë më të madhin. Për shembull:

Këtu polinomi a 2 – b 2 mund të paraqitet si prodhim (a – b)(a + b). Faktori 2a – 2b zgjerohet si 2(a – b). Kështu, emëruesi i përbashkët do të jetë 2(a – b)(a + b).

Për të reduktuar thyesat në emëruesin më të vogël të përbashkët, ju duhet: 1) të gjeni shumëfishin më të vogël të përbashkët të emëruesve të thyesave të dhëna, ai do të jetë emëruesi më i vogël i përbashkët. 2) gjeni një faktor shtesë për çdo thyesë, pse pjesëtoni emërues i ri në emëruesin e çdo thyese. 3) shumëzoni numëruesin dhe emëruesin e secilës thyesë me faktorin e saj shtesë.

Shembuj. Zvogëloni thyesat e mëposhtme në emëruesin e tyre më të ulët të përbashkët.

Ne gjejmë shumëfishin më të vogël të përbashkët të emëruesve: LCM(5; 4) = 20, pasi 20 është numri më i vogël që pjesëtohet me 5 dhe 4. Gjeni për thyesën e parë një faktor shtesë 4 (20 : 5=4). Për thyesën e dytë, faktori shtesë është 5 (20 : 4=5). Ne e shumëzojmë numëruesin dhe emëruesin e thyesës së parë me 4, dhe numëruesin dhe emëruesin e thyesës së dytë me 5. Këto thyesa i kemi reduktuar në emëruesin më të ulët të përbashkët ( 20 ).

Emëruesi më i ulët i përbashkët i këtyre thyesave është numri 8, pasi 8 është i pjesëtueshëm me 4 dhe me vetveten. Nuk do të ketë faktor shtesë për thyesën e parë (ose mund të themi se është i barabartë me një), për thyesën e dytë faktori shtesë është 2 (8 : 4=2). Ne e shumëzojmë numëruesin dhe emëruesin e thyesës së dytë me 2. Këto thyesa i kemi reduktuar në emëruesin më të ulët të përbashkët ( 8 ).

Këto fraksione nuk janë të pakalueshme.

Le të zvogëlojmë thyesën e parë me 4 dhe të zvogëlojmë thyesën e dytë me 2. ( shih shembuj për reduktimin e thyesave të zakonshme: Harta e faqes → 5.4.2. Shembuj të reduktimit të thyesave të zakonshme). Gjeni LOC (16 ; 20)=2 4 · 5=16· 5=80. Shumëzuesi shtesë për thyesën e parë është 5 (80 : 16=5). Faktori shtesë për thyesën e dytë është 4 (80 : 20=4). Ne e shumëzojmë numëruesin dhe emëruesin e thyesës së parë me 5, dhe numëruesin dhe emëruesin e thyesës së dytë me 4. Këto thyesa i kemi reduktuar në emëruesin më të ulët të përbashkët ( 80 ).

Ne gjejmë emëruesin më të ulët të përbashkët NCD(5 ; 6 dhe 15)=NOK(5 ; 6 dhe 15)=30. Faktori shtesë për thyesën e parë është 6 (30 : 5=6), faktori shtesë në thyesën e dytë është 5 (30 : 6=5), faktori shtesë në thyesën e tretë është 2 (30 : 15=2). Numëruesin dhe emëruesin e thyesës së parë e shumëzojmë me 6, numëruesin dhe emëruesin e thyesës së dytë me 5, numëruesin dhe emëruesin e thyesës së tretë me 2. Këto thyesa i kemi reduktuar në emëruesin më të ulët të përbashkët ( 30 ).

Faqja 1 nga 1 1

Ky artikull shpjegon si të gjeni emëruesin më të ulët të përbashkët Dhe si të reduktohen thyesat në një emërues të përbashkët. Së pari jepen përkufizimet e emëruesit të përbashkët të thyesave dhe emëruesit më të vogël të përbashkët dhe tregohet se si të gjendet emëruesi i përbashkët i thyesave. Më poshtë është një rregull për reduktimin e thyesave në një emërues të përbashkët dhe shembuj të zbatimit të këtij rregulli. Si përfundim, diskutohen shembuj të sjelljes së tre ose më shumë thyesave në një emërues të përbashkët.

Navigimi i faqes.

Çfarë quhet reduktimi i thyesave në një emërues të përbashkët?

Tani mund të themi se çfarë është të reduktosh thyesat në një emërues të përbashkët. Reduktimi i thyesave në një emërues të përbashkët- Ky është shumëzimi i numëruesve dhe emëruesve të thyesave të dhëna me faktorë të tillë shtesë, saqë rezultati është thyesa me emërues të njëjtë.

Emëruesi i përbashkët, përkufizimi, shembuj

Tani është koha për të përcaktuar emëruesin e përbashkët të thyesave.

Me fjalë të tjera, emëruesi i përbashkët i një grupi të caktuar thyesash të zakonshme është çdo numër natyror që është i pjesëtueshëm me të gjithë emëruesit e këtyre thyesave.

Nga përkufizimi i dhënë rrjedh se një grup i caktuar thyesash ka pafundësisht shumë emërues të përbashkët, pasi ekziston një numër i pafundëm shumëfishësh të përbashkët të të gjithë emëruesve të grupit origjinal të thyesave.

Përcaktimi i emëruesit të përbashkët të thyesave ju lejon të gjeni emëruesit e përbashkët të thyesave të dhëna. Le të, për shembull, duke pasur parasysh thyesat 1/4 dhe 5/6, emëruesit e tyre janë përkatësisht 4 dhe 6. Shumëfisha të përbashkët pozitivë të numrave 4 dhe 6 janë numrat 12, 24, 36, 48, ... Secili nga këta numra është emërues i përbashkët i thyesave 1/4 dhe 5/6.

Për të konsoliduar materialin, merrni parasysh zgjidhjen e shembullit të mëposhtëm.

Shembull.

A mund të reduktohen thyesat 2/3, 23/6 dhe 7/12 në një emërues të përbashkët 150?

Zgjidhje.

Për t'iu përgjigjur pyetjes, duhet të zbulojmë nëse numri 150 është një shumëfish i përbashkët i emëruesve 3, 6 dhe 12. Për ta bërë këtë, le të kontrollojmë nëse 150 është i pjesëtueshëm me secilin prej këtyre numrave (nëse është e nevojshme, shihni rregullat dhe shembujt e pjesëtimit të numrave natyrorë, si dhe rregullat dhe shembujt e pjesëtimit të numrave natyrorë me një mbetje): 150:3=50 , 150:6=25, 150: 12=12 (6 të mbetura) .

Kështu që, 150 nuk është i plotpjesëtueshëm me 12, prandaj 150 nuk është shumëfish i përbashkët i 3, 6 dhe 12. Prandaj, numri 150 nuk mund të jetë emëruesi i përbashkët i thyesave origjinale.

Përgjigje:

është e ndaluar.

Emëruesi më i ulët i përbashkët, si ta gjejmë atë?

Në bashkësinë e numrave që janë emërues të përbashkët të thyesave të dhëna, ekziston një numër natyror më i vogël, i cili quhet emëruesi më i vogël i përbashkët. Le të formulojmë përkufizimin e emëruesit më të ulët të përbashkët të këtyre thyesave.

Përkufizimi.

Emëruesi më i ulët i përbashkëtështë numri më i vogël i të gjithë emëruesve të përbashkët të këtyre thyesave.

Mbetet të merremi me pyetjen se si të gjejmë pjesëtuesin më të vogël të përbashkët.

Meqenëse është pjesëtuesi i përbashkët më pak pozitiv i një grupi të caktuar numrash, LCM e emëruesve të thyesave të dhëna përfaqëson emëruesin më të vogël të përbashkët të thyesave të dhëna.

Kështu, gjetja e emëruesit më të ulët të përbashkët të thyesave zbret në emëruesit e atyre thyesave. Le të shohim zgjidhjen e shembullit.

Shembull.

Gjeni emëruesin më të ulët të përbashkët të thyesave 3/10 dhe 277/28.

Zgjidhje.

Emëruesit e këtyre thyesave janë 10 dhe 28. Emëruesi i përbashkët më i ulët i dëshiruar gjendet si LCM e numrave 10 dhe 28. Në rastin tonë është e lehtë: pasi 10=2·5, dhe 28=2·2·7, atëherë LCM(15, 28)=2·2·5·7=140.

Përgjigje:

140 .

Si të reduktohen thyesat në një emërues të përbashkët? Rregulla, shembuj, zgjidhje

Thyesat e zakonshme zakonisht rezultojnë në një emërues të përbashkët më të ulët. Tani do të shkruajmë një rregull që shpjegon se si t'i reduktojmë thyesat në emëruesin e tyre më të ulët të përbashkët.

Rregulla për reduktimin e thyesave në emëruesin më të ulët të përbashkët përbëhet nga tre hapa:

Së pari, gjeni emëruesin më të ulët të përbashkët të thyesave.
Së dyti, një faktor shtesë llogaritet për çdo thyesë duke pjesëtuar emëruesin e përbashkët më të ulët me emëruesin e secilës thyesë.
Së treti, numëruesi dhe emëruesi i secilës thyesë shumëzohen me faktorin shtesë të saj.

Le të zbatojmë rregullin e deklaruar për të zgjidhur shembullin e mëposhtëm.

Shembull.

Zvogëloni thyesat 5/14 dhe 7/18 në emëruesin e tyre më të ulët të përbashkët.

Zgjidhje.

Le të kryejmë të gjitha hapat e algoritmit për reduktimin e thyesave në emëruesin më të ulët të përbashkët.

Së pari gjejmë emëruesin më të vogël të përbashkët, i cili është i barabartë me shumëfishin më të vogël të përbashkët të numrave 14 dhe 18. Meqenëse 14=2·7 dhe 18=2·3·3, atëherë LCM(14, 18)=2·3·3·7=126.

Tani ne llogarisim faktorë shtesë me ndihmën e të cilëve thyesat 5/14 dhe 7/18 do të reduktohen në emëruesin 126. Për thyesën 5/14 faktori shtesë është 126:14=9, kurse për thyesën 7/18 faktori shtesë është 126:18=7.

Mbetet të shumëzojmë numëruesit dhe emëruesit e thyesave 5/14 dhe 7/18 me faktorë shtesë përkatësisht 9 dhe 7. kemi dhe .