Për të shkruar një numër racional m/n si thyesë dhjetore, duhet të pjesëtoni numëruesin me emëruesin. Në këtë rast, herësi shkruhet si thyesë dhjetore e fundme ose e pafundme.
Shkruaje këtë numër si thyesë dhjetore.
Zgjidhje. Ndani numëruesin e secilës thyesë në një kolonë me emëruesin e saj: A) ndani 6 me 25; b) ndani 2 me 3; V) ndani 1 me 2 dhe më pas shtoni fraksionin që rezulton në një - pjesën e plotë të këtij numri të përzier.
E pareduktueshme thyesat e zakonshme, emëruesit e të cilit nuk përmbajnë faktorë të thjeshtë përveç 2 Dhe 5 , shkruhen si thyesë dhjetore përfundimtare.
NË shembulli 1 kur A) emëruesi 25=5·5; kur V) emëruesi është 2, kështu që morëm finalen dhjetore 0.24 dhe 1.5. Kur b) emëruesi është 3, kështu që rezultati nuk mund të shkruhet si dhjetore e fundme.
A është e mundur, pa pjesëtim të gjatë, të shndërrohet në një thyesë dhjetore një thyesë e tillë e zakonshme, emëruesi i së cilës nuk përmban pjesëtues të tjerë përveç 2 dhe 5? Le ta kuptojmë! Cila thyesë quhet dhjetore dhe shkruhet pa shtyllë thyese? Përgjigje: thyesë me emërues 10; 100; 1000, etj. Dhe secili prej këtyre numrave është një produkt të barabartë numër dyshësh dhe pesëshësh. Në fakt: 10=2 ·5 ; 100=2 ·5 ·2 ·5 ; 1000=2 ·5 ·2 ·5 ·2 ·5 etj.
Rrjedhimisht, emëruesi i një fraksioni të zakonshëm të pakalueshëm do të duhet të përfaqësohet si prodhim i "dy" dhe "pesë", dhe më pas shumëzohet me 2 dhe (ose) 5 në mënyrë që "dy" dhe "pesë" të bëhen të barabarta. Atëherë emëruesi i thyesës do të jetë i barabartë me 10 ose 100 ose 1000, etj. Për të siguruar që vlera e thyesës të mos ndryshojë, ne shumëzojmë numëruesin e thyesës me të njëjtin numër me të cilin kemi shumëzuar emëruesin.
Shprehni thyesat e mëposhtme të zakonshme si dhjetore:
Zgjidhje. Secila nga këto fraksione është e pakalueshme. Le të faktorizojmë emëruesin e çdo thyese në faktorë të thjeshtë.
20=2·2·5. Përfundim: një “A” mungon.
8=2·2·2. Përfundim: mungojnë tre "A".
25=5·5. Përfundim: mungojnë dy "dy".
Komentoni. Në praktikë, ata shpesh nuk përdorin faktorizimin e emëruesit, por thjesht shtrojnë pyetjen: me sa duhet të shumëzohet emëruesi në mënyrë që rezultati të jetë një me zero (10 ose 100 ose 1000, etj.). Dhe pastaj numëruesi shumëzohet me të njëjtin numër.
Pra, në rast A)(shembulli 2) nga numri 20 mund të merrni 100 duke shumëzuar me 5, prandaj, duhet të shumëzoni numëruesin dhe emëruesin me 5.
Kur b)(shembulli 2) nga numri 8 nuk do të fitohet numri 100, por numri 1000 do të fitohet duke shumëzuar me 125. Edhe numëruesi (3) edhe emëruesi (8) i thyesës shumëzohen me 125.
Kur V)(shembulli 2) nga 25 ju merrni 100 nëse shumëzoni me 4. Kjo do të thotë që numëruesi 8 duhet të shumëzohet me 4.
Një thyesë dhjetore e pafundme në të cilën një ose më shumë shifra përsëriten pa ndryshim në të njëjtën sekuencë quhet periodike si dhjetore. Bashkësia e shifrave të përsëritura quhet perioda e kësaj thyese. Për shkurtësi, periudha e një thyese shkruhet një herë, e mbyllur në kllapa.
Kur b)(shembulli 1) ka vetëm një shifër që përsëritet dhe është e barabartë me 6. Prandaj, rezultati ynë 0.66... do të shkruhet kështu: 0,(6) . Ata lexojnë: pikë zero, gjashtë në periudhë.
Nëse ka një ose më shumë shifra që nuk përsëriten midis pikës dhjetore dhe pikës së parë, atëherë një thyesë e tillë periodike quhet thyesë periodike e përzier.
Një thyesë e përbashkët e pakalueshme, emëruesi i së cilës është së bashku me të tjerët shumëzuesi përmban shumëzues 2 ose 5 , bëhet të përziera fraksion periodik.
Shkruani numrat si thyesë dhjetore:
Çdo numër racional mund të shkruhet si një thyesë dhjetore periodike e pafundme.
Shkruani numrat si thyesë periodike të pafundme.
Thyesë periodike një thyesë dhjetore e pafundme në të cilën, duke filluar nga një pikë e caktuar, ka vetëm një grup të caktuar shifrash të përsëritur periodikisht. Për shembull, 1.3181818...; Shkurt, kjo thyesë shkruhet kështu: 1.3(18), domethënë e vendosin pikën në kllapa (dhe thonë: "18 në periudhë"). P. quhet e pastër nëse periudha fillon menjëherë pas presjes dhjetore, për shembull 2(71) = 2.7171..., dhe e përzier nëse pas presjes dhjetore ka numra që i paraprijnë periudhës, për shembull 1.3(18). Roli i thyesave dhjetore në aritmetikë është për faktin se kur numrat racionalë, domethënë thyesat e zakonshme (të thjeshta), përfaqësohen me thyesa dhjetore, gjithmonë fitohen thyesa të fundme ose periodike. Më saktë: thyesë dhjetore përfundimtare fitohet kur emëruesi i një thyese të thjeshtë të pareduktueshme nuk përmban faktorë të tjerë të thjeshtë përveç 2 dhe 5; në të gjitha rastet e tjera, rezultati është një fraksion P. dhe, për më tepër, është i pastër nëse emëruesi i një fraksioni të caktuar të pakësueshëm nuk përmban fare faktorët 2 dhe 5, dhe i përzier nëse përmban të paktën një nga këta faktorë. në emërues. Çdo P.D mund të konvertohet në thyesë e thjeshtë(domethënë është e barabartë me ndonjë numër racional). Një thyesë e pastër është e barabartë me një thyesë të thjeshtë, numëruesi i së cilës është pika, dhe emëruesi përfaqësohet me numrin 9, i shkruar aq herë sa shifra ka në periudhë; Kur konvertohet një thyesë e përzier në një thyesë të thjeshtë, numëruesi është diferenca midis numrit të përfaqësuar nga numrat që i paraprijnë periudhës së dytë dhe numrit të përfaqësuar nga numrat që i paraprijnë periudhës së parë; Për të kompozuar emëruesin, duhet të shkruani numrin 9 aq herë sa ka numra në pikë dhe të shtoni aq zero në të djathtë sa ka numra para pikës. Këto rregulla supozojnë se P. e dhënë është e saktë, domethënë nuk përmban njësi të tëra; përndryshe i kushtohet vëmendje e veçantë e gjithë pjesës. Janë të njohura edhe rregullat për përcaktimin e gjatësisë së periudhës së një thyese që i përgjigjet një thyese të caktuar të zakonshme. Për shembull, për një fraksion a/p, Ku R - numri i thjeshtë dhe 1 ≤ a ≤ p- 1, gjatësia e periudhës është një pjesëtues R - 1. Pra, për përafrimet e njohura me një numër (shih Pi)
Periudhat 22/7 dhe 355/113 janë përkatësisht të barabarta me 6 dhe 112.
Enciklopedia e Madhe Sovjetike. - M.: Enciklopedia Sovjetike. 1969-1978 .
Sinonimet:Shihni se çfarë është "Thyesa periodike" në fjalorë të tjerë:
Një thyesë dhjetore e pafundme në të cilën, duke filluar nga një vend i caktuar, një grup i caktuar shifrash (periudha) përsëritet periodikisht, për shembull. 0,373737... fraksion periodik i pastër ose 0,253737... fraksion periodik i përzier... I madh fjalor enciklopedik
Fraksioni, thyesë e pafundme Fjalori i sinonimeve ruse. Emri i thyesës periodike, numri i sinonimeve: 2 thyesë e pafundme (2) ... Fjalor sinonimik
Një thyesë dhjetore në të cilën një seri shifrash përsëriten në të njëjtin rend. Për shembull, 0.135135135... është një p.d perioda e së cilës është 135 dhe e cila është e barabartë me thyesën e thjeshtë 135/999 = 5/37. Fjalori i fjalëve të huaja të përfshira në gjuhën ruse. Pavlenkov F... Fjalori i fjalëve të huaja të gjuhës ruse
Një dhjetore është një thyesë me emërues 10n, ku n është një numër natyror. Ajo ka formë të veçantë hyrjet: një pjesë e plotë në sistemin e numrave dhjetorë, pastaj një presje dhe më pas një pjesë thyesore në sistemin e numrave dhjetorë, dhe numri i shifrave të pjesës thyesore ... Wikipedia
Thyesë dhjetore e pafundme në të cilën, duke filluar nga një pikë e caktuar, përsëritet periodikisht një grup i caktuar shifrash (periudha); për shembull, 0,373737... fraksion periodik i pastër ose 0,253737... fraksion periodik i përzier. * * * PERIODIKE…… fjalor enciklopedik
Një thyesë dhjetore e pafund në të cilën, duke filluar nga një vend i caktuar, përkufizimi përsëritet periodikisht. grup shifrash (periudha); për shembull, 0,373737... P. i pastër ose 0,253737... i përzierë P. d. Shkenca natyrore. fjalor enciklopedik
Shih pjesën... Fjalor i sinonimeve ruse dhe shprehjeve të ngjashme. nën. ed. N. Abramova, M.: Fjalorë rusë, 1999. trifle thyese, pjesë; pluhur, top, vakt, buckshot; një numër thyesor Fjalori i sinonimeve ruse... Fjalor sinonimik
dhjetor periodik- - [L.G. Sumenko. Fjalor anglisht-rusisht për teknologjinë e informacionit. M.: Ndërmarrja Shtetërore TsNIIS, 2003.] Temat Teknologjia e informacionit në përgjithësi EN qarkulluese dhjetore dhjetore periodike dhjetore periodike dhjetore dhjetore periodike dhjetore periodike ... Udhëzues teknik i përkthyesit
Nëse një numër i plotë a pjesëtohet me një numër tjetër të plotë b, d.m.th., kërkohet një numër x që plotëson kushtin bx = a, atëherë mund të lindin dy raste: ose në serinë e numrave të plotë ka një numër x që plotëson këtë kusht, ose ai rezulton,…… Fjalor Enciklopedik F.A. Brockhaus dhe I.A. Efroni
Një thyesë, emëruesi i së cilës është një fuqi numër i plotë 10. Thyesat shkruhen pa emërues, duke ndarë me presje aq shifra në numëruesin në të djathtë sa ka zero në emërues. Për shembull, në një rekord të tillë, pjesa në të majtë... ... Enciklopedia e Madhe Sovjetike
Dhjetore të pafundme
Dhjetorët pas presjes dhjetore mund të përmbajnë një numër të pafund shifrash.
Dhjetore të pafundme- këto janë thyesa dhjetore, të cilat përmbajnë një numër të pafund shifrash.
Një thyesë dhjetore e pafundme është pothuajse e pamundur të shkruhet plotësisht, kështu që kur i shkruani ato, ato kufizohen vetëm në një numër të caktuar të fundëm të shifrave pas pikës dhjetore, pas së cilës vendosin një elipsë, e cila tregon një sekuencë shifrash pafundësisht të vazhdueshme.
Shembulli 1
Për shembull, $0,443340831\dots ; 3.1415935432\pika; 135.126730405\pika ; 4.33333333333\pika ; 676.68349349\pika$.
Le të shohim dy dhjetoret e fundit të pafundme. Në thyesën $4.33333333333\dots$ shifra $3$ përsëritet pafundësisht, dhe në thyesën $676.68349349\pika $ grupi i shifrave $3$, $4$ dhe $9$ përsëritet nga numri i tretë dhjetor. Thyesat dhjetore të tilla të pafundme quhen periodike.
Dhjetore periodike
Dhjetore periodike(ose thyesat periodike) janë thyesa dhjetore të pafundme, në regjistrimin e të cilave një numër ose grup numrash, i quajtur perioda e thyesës, përsëritet pafundësisht nga një numër dhjetor i caktuar).
Shembulli 2
Për shembull, periudha e fraksionit periodik $4.33333333333\dots$ është shifra $3$ dhe periudha e fraksionit $676.68349349\dots$ është grupi i shifrave $349$.
Për shkurtësi në shkrimin e thyesave dhjetore periodike të pafundme, është zakon të shkruhet periudha një herë, duke e mbyllur atë në kllapa. Për shembull, fraksioni periodik $4.33333333333\dots$ është shkruar $4,(3)$, dhe fraksioni periodik $676.68349349\dots$ është shkruar $676.68(349)$.
Thyesat dhjetore periodike të pafundme fitohen duke konvertuar thyesat e zakonshme, emëruesit e të cilëve përmbajnë faktorë të thjeshtë të ndryshëm nga $2$ dhe $5$ në thyesa dhjetore.
Çdo thyesë dhjetore e fundme (dhe numër i plotë) mund të shkruhet si një thyesë periodike duke shtuar një numër të pafund shifrash $0$ djathtas.
Shembulli 3
Për shembull, dhjetori i fundëm $45.12$ mund të shkruhet si një thyesë periodike si $45.12(0)$, dhe numri i plotë $(74)$ si një dhjetor periodik i pafundëm do të ishte $74(0)$.
Në rastin e thyesave periodike që kanë një periudhë 9, përdorni një kalim në një shënim tjetër të një thyese periodike me një periudhë prej $0$. Vetëm për këtë qëllim, periudha 9 zëvendësohet me periudhën $0$ dhe vlera e shifrës së radhës më të lartë rritet me $1$.
Shembulli 4
Për shembull, thyesa periodike $7.45(9)$ mund të zëvendësohet nga fraksioni periodik $7.46(0)$ ose fraksioni dhjetor ekuivalent 7.46$.
Janë paraqitur thyesat periodike dhjetore të pafundme numrat racionalë. Me fjalë të tjera, çdo thyesë periodike mund të shndërrohet në një thyesë të përbashkët, dhe çdo thyesë e zakonshme mund të përfaqësohet si një thyesë periodike.
Shndërrimi i thyesave në dhjetore periodike të fundme dhe të pafundme
Jo vetëm thyesat e zakonshme me emërues $10, 100, \dots$ mund të shndërrohen në një thyesë dhjetore.
Në disa raste, thyesa e zakonshme origjinale mund të reduktohet lehtësisht në një emërues prej $10$, $100$, ose $1\000$, pas së cilës fraksioni që rezulton mund të përfaqësohet si një thyesë dhjetore.
Shembulli 5
Për të kthyer thyesën $\frac(3)(5)$ në një thyesë me emërues $10$, duhet të shumëzoni numëruesin dhe emëruesin e thyesës me $2$, pas së cilës marrim $\frac(6)( 10)$, që nuk është e vështirë të përkthehet në thyesën dhjetore 0,6$.
Për raste të tjera, përdoret një metodë tjetër e konvertimit të një thyese të zakonshme në një dhjetore):
numëruesi duhet të zëvendësohet me një thyesë dhjetore me çdo numër zero pas presjes dhjetore;
pjesëtojmë numëruesin e thyesës me emëruesin (pjestimi kryhet si pjesëtim i numrave natyrorë në një kolonë, kurse në herës vendoset një pikë dhjetore pas përfundimit të pjesëtimit të të gjithë pjesës së dividentit).
Shembulli 6
Shndërroni thyesën $\frac(621)(4)$ në një dhjetore.
Zgjidhje.
Le të paraqesim numrin $621$ në numërues si një thyesë dhjetore. Për ta bërë këtë, shtoni një pikë dhjetore dhe, për fillim, dy zero pas saj. Pastaj, nëse është e nevojshme, mund të shtoni më shumë zero. Pra, ne morëm 621,00 dollarë.
Le ta ndajmë numrin $621.00$ me $4$ në një kolonë:
Foto 1.
Ndarja arriti në pikën dhjetore në divident, dhe pjesa e mbetur nuk ishte zero. Në këtë rast, një pikë dhjetore vendoset në herës dhe ndarja vazhdon në një kolonë, pavarësisht nga presjet:
Figura 2.
Pjesa e mbetur është zero, që do të thotë se ndarja ka përfunduar.
Përgjigju: $155,25$.
Është e mundur që kur pjesëtohet numëruesi dhe emëruesi i një thyese të zakonshme, pjesa e mbetur të mos rezultojë në $0. Në këtë rast, ndarja mund të vazhdojë pafundësisht. Duke filluar nga një moment i caktuar, mbetjet nga pjesëtimi përsëriten periodikisht, që do të thotë se përsëriten edhe numrat në herës. Nga kjo mund të konkludojmë se kjo thyesë e zakonshme do të shndërrohet në një thyesë dhjetore periodike të pafundme.
Shembulli 7
Shndërroni thyesën $\frac(19)(44)$ në një dhjetore.
Zgjidhja.)
Për të kthyer një thyesë të përbashkët në një dhjetore, kryeni pjesëtimin e gjatë:
Figura 3.
Në pjesëtim përsëriten mbetjet $8$ dhe $36$ dhe në herës përsëriten edhe numrat $1$ dhe $8$. Pra, fraksioni origjinal i zakonshëm $\frac(19)(44)$ u konvertua në një fraksion periodik $\frac(19)(44)=0.43181818\dots =0.43(18)$.
Përgjigje: $0,43(18)$.
Përfundim i përgjithshëm në lidhje me shndërrimin e thyesave të zakonshme në dhjetore:
nëse emëruesi mund të zbërthehet në faktorë të thjeshtë, ndër të cilët do të jenë të pranishëm vetëm numrat $2$ dhe $5$, atëherë një thyesë e tillë mund të shndërrohet në një thyesë dhjetore përfundimtare;
nëse, përveç numrave $2$ dhe $5$, zgjerimi i emëruesit përmban edhe numra të tjerë të thjeshtë, atëherë një thyesë e tillë shndërrohet në një thyesë periodike dhjetore të pafundme.
Se nëse e njohin teorinë e serive, atëherë pa të nuk mund të futen koncepte metamatike. Për më tepër, këta njerëz besojnë se kushdo që nuk e përdor gjerësisht është injorant. Mendimet e këtyre njerëzve le t'ia lëmë ndërgjegjes së tyre. Le të kuptojmë më mirë se çfarë është një thyesë periodike e pafundme dhe si duhet ta trajtojmë ne, të paarsimuarit që nuk njohim kufij.
Le të ndajmë 237 me 5. Jo, nuk keni nevojë të hapni Llogaritësin. Le të kujtojmë më mirë shkollën e mesme (apo edhe fillore?) dhe thjesht ta ndajmë atë në një kolonë:
Epo, ju kujtohet? Atëherë mund të filloni biznesin.
Koncepti i "fraksionit" në matematikë ka dy kuptime:
- Numër jo i plotë.
- Forma jo e plotë.
- E thjeshtë (ose vertikale) thyesa, si 1/2 ose 237/5.
- Thyesat dhjetore, të tilla si 0,5 ose 47,4.
Në matematikë, në përgjithësi, numërimi dhjetor është pranuar gjithmonë, dhe për këtë arsye thyesat dhjetore janë më të përshtatshme se ato të thjeshta, domethënë një fraksion me një emërues dhjetor (Vladimir Dal. Fjalor gjuha e madhe ruse e gjallë. "Dhjetë").Dhe nëse po, atëherë unë dua ta bëj çdo thyesë vertikale një dhjetore ("horizontale"). Dhe për ta bërë këtë ju thjesht duhet të ndani numëruesin me emëruesin. Le të marrim, për shembull, thyesën 1/3 dhe të përpiqemi të bëjmë një dhjetore prej saj.
Edhe një person krejtësisht i paarsimuar do ta vërejë: sado kohë të zgjasë, nuk do të ndahet: trenjakët do të vazhdojnë të shfaqen pafundësisht. Pra, le ta shkruajmë atë: 0.33... Ne nënkuptojmë "numrin që fitohet kur pjesëtoni 1 me 3", ose, shkurt, "një e treta". Natyrisht, një e treta është një thyesë në kuptimin e parë të fjalës, dhe "1/3" dhe "0.33..." janë thyesa në kuptimin e dytë të fjalës, d.m.th. formularët e hyrjes një numër që ndodhet në vijën numerike në një distancë të tillë nga zero, saqë nëse e lini mënjanë tre herë, ju merrni një.
Tani le të përpiqemi të ndajmë 5 me 6:
Le ta shkruajmë përsëri: 0,833... Ne nënkuptojmë "numrin që merrni kur pjesëtoni 5 me 6", ose, shkurt, "pesë të gjashtat". Megjithatë, këtu lind konfuzioni: a do të thotë kjo 0.83333 (dhe më pas trinjakët përsëriten), apo 0.833833 (dhe më pas përsëritet 833). Prandaj, shënimi me elipsë nuk na përshtatet: nuk është e qartë se ku fillon pjesa përsëritëse (quhet "periudha"). Prandaj, do ta vendosim periudhën në kllapa, si kjo: 0,(3); 0.8 (3).
0, (3) jo e lehtë barazohet një e treta, kjo është ka një e treta, sepse ne e shpikëm posaçërisht këtë shënim për të paraqitur këtë numër si një thyesë dhjetore.
Kjo hyrje quhet thyesë periodike e pafundme, ose thjesht një fraksion periodik.
Sa herë që pjesëtojmë një numër me një tjetër, nëse nuk marrim një thyesë të fundme, marrim një thyesë periodike të pafundme, domethënë, një ditë sekuencat e numrave do të fillojnë patjetër të përsëriten. Pse është kështu, mund të kuptohet thjesht në mënyrë spekulative duke parë me kujdes algoritmin e ndarjes së kolonave:
Në vendet e shënuara me shenja, nuk mund të merrni rezultate gjatë gjithë kohës çifte të ndryshme numrat (sepse, në parim, ka një numër të kufizuar çiftesh të tilla). Dhe sapo të shfaqet një palë e tillë, e cila tashmë ekzistonte, ndryshimi do të jetë gjithashtu i njëjtë - dhe më pas i gjithë procesi do të fillojë të përsëritet. Nuk ka nevojë ta kontrolloni këtë, sepse është mjaft e qartë se nëse përsëritni të njëjtat veprime, rezultatet do të jenë të njëjta.
Tani që e kuptojmë mirë thelbi thyesë periodike, le të përpiqemi të shumëzojmë një të tretën me tre. Po, sigurisht, do të merrni një, por le ta shkruajmë këtë thyesë në formë dhjetore dhe ta shumëzojmë atë në një kolonë (paqartësia nuk lind këtu për shkak të elipsës, pasi të gjithë numrat pas presjes dhjetore janë të njëjtë):
Dhe përsëri vërejmë se nëntë, nëntë dhe nëntë do të shfaqen pas presjes dhjetore gjatë gjithë kohës. Kjo do të thotë, duke përdorur shënimin e kllapave të kundërta, marrim 0, (9). Meqenëse ne e dimë se prodhimi i një të tretës dhe tre është një, atëherë 0.(9) është një mënyrë kaq fantastike për të shkruar një. Megjithatë, është e papërshtatshme të përdoret kjo formë regjistrimi, sepse një njësi mund të shkruhet në mënyrë të përsosur pa përdorur një pikë, si kjo: 1.
Siç mund ta shihni, 0, (9) është një nga ato raste kur numri i plotë shkruhet në formë thyese, si 3/3 ose 7.0. Kjo do të thotë, 0,(9) është një thyesë vetëm në kuptimin e dytë të fjalës, por jo në të parën.
Pra, pa asnjë kufizim apo seri, ne kuptuam se çfarë është 0.(9) dhe si ta trajtojmë atë.
Por le të kujtojmë akoma se në fakt ne jemi analizë të zgjuar dhe të studiuar. Në të vërtetë, është e vështirë të mohohet se:
Por, ndoshta, askush nuk do të argumentojë me faktin se:
E gjithë kjo, natyrisht, është e vërtetë. Në të vërtetë, 0,(9) është edhe shuma e serisë së reduktuar, edhe sinusi i dyfishtë i këndit të treguar, edhe logaritmi natyror i numrit të Euler-it.
Por as njëra, as tjetra, as e treta nuk është përkufizim.
Të thuash se 0,(9) është shuma e serisë së pafundme 9/(10 n), me n të barabartë me një, është e njëjtë sikur të thuash se sinusi është shuma e serisë së pafundme të Taylor:
Kjo absolutisht e drejtë, dhe ky është fakti më i rëndësishëm për matematikën llogaritëse, por nuk është një përkufizim dhe, më e rëndësishmja, nuk e afron një person më afër të kuptuarit në thelb sinusit Thelbi i sinusit të një këndi të caktuar është se ai vetëm gjithçka raporti i këmbës përballë këndit me hipotenuzën.
Pra, një thyesë periodike është vetëm gjithçka një thyesë dhjetore që fitohet kur kur pjesëtohet me një kolonë do të përsëritet i njëjti grup numrash. Këtu nuk ka asnjë gjurmë analize.
Dhe këtu lind pyetja: nga vjen? fare morëm numrin 0,(9)? Çfarë ndajmë me çfarë me një kolonë për ta marrë atë? Në të vërtetë, nuk ka numra të tillë që kur ndahen në një kolonë, do të kishim nëntë që shfaqen pafundësisht. Por ne arritëm ta marrim këtë numër duke shumëzuar 0,(3) me 3 me një kolonë? Jo ne te vertete. Në fund të fundit, ju duhet të shumëzoni nga e djathta në të majtë në mënyrë që të merrni parasysh saktë transferimet e shifrave, dhe ne e bëmë këtë nga e majta në të djathtë, duke përfituar me dinakëri nga fakti që transferimet nuk ndodhin askund gjithsesi. Prandaj, ligjshmëria e shkrimit të 0,(9) varet nga fakti nëse e njohim ligjshmërinë e një shumëzimi të tillë me një kolonë apo jo.
Prandaj, në përgjithësi mund të themi se shënimi 0,(9) është i pasaktë - dhe në një masë të caktuar është i drejtë. Megjithatë, duke qenë se shënimi a ,(b ) pranohet, është thjesht e shëmtuar ta braktisësh atë kur b = 9; Është më mirë të vendosni se çfarë do të thotë një hyrje e tillë. Pra, nëse në përgjithësi pranojmë shënimin 0,(9), atëherë ky shënim, natyrisht, nënkupton numrin një.
Mbetet vetëm të shtojmë se nëse do të përdorim, të themi, sistemin e numrave tresh, atëherë kur pjesëtojmë me një kolonë prej një (1 3) me tre (10 3) do të merrnim 0.1 3 (lexoni "pika zero një e treta"), dhe kur pjesëtohet një me dy do të ishte 0,(1) 3.
Pra, periodiciteti i një numri të thyesës nuk është një karakteristikë objektive e një numri të thyesës, por vetëm efekt anësor duke përdorur një ose një sistem tjetër numrash.
§ 114. Shndërrimi i një thyese të zakonshme në dhjetore.Shndërrimi i një thyese të përbashkët në një dhjetore nënkupton gjetjen e një thyese dhjetore që do të ishte e barabartë me thyesën e dhënë të përbashkët. Gjatë konvertimit të thyesave të zakonshme në dhjetore, do të hasim dy raste:
1) kur thyesat e zakonshme mund të shndërrohen në dhjetore pikërisht;
2) kur thyesat e zakonshme mund të shndërrohen vetëm në dhjetore përafërsisht. Le t'i shqyrtojmë këto raste në mënyrë sekuenciale.
1. Si të konvertohet një thyesë e zakonshme e pareduktueshme në një dhjetore, ose, me fjalë të tjera, si të zëvendësohet një thyesë e zakonshme me një dhjetore të barabartë me të?
Në rastin kur thyesat e zakonshme mund të jenë pikërisht konvertuar në dhjetore, ka dy mënyra një trajtim të tillë.
Le të kujtojmë se si të zëvendësojmë një thyesë me një tjetër që është e barabartë me të parën, ose si të kalojmë nga një thyesë në tjetrën pa ndryshuar vlerën e së parës. E bëmë këtë kur i reduktuam thyesat në një emërues të përbashkët (§86). Kur i reduktojmë thyesat në një emërues të përbashkët, veprojmë si më poshtë: gjejmë emërues i përbashkët për thyesat e dhëna, ne llogarisim një faktor shtesë për çdo thyesë dhe më pas shumëzojmë numëruesin dhe emëruesin e çdo thyese me këtë faktor.
Pasi e kemi vënë re këtë, le të marrim thyesën e pakalueshme 3/20 dhe të përpiqemi ta kthejmë atë në një dhjetore. Emëruesi i kësaj thyese është 20, por ju duhet ta çoni atë në një emërues tjetër, i cili do të përfaqësohej me një me zero. Ne do të kërkojmë emëruesin më të vogël të njës të ndjekur nga zero.
Mënyra e parë shndërrimi i një thyese në dhjetor bazohet në zbërthimin e emëruesit në faktorë të thjeshtë.
Duhet të zbuloni se me cilin numër duhet të shumëzoni 20 në mënyrë që produkti të shprehet si një i ndjekur nga zero. Për ta zbuluar, së pari duhet të mbani mend në cilët faktorë të thjeshtë zbërthehen numrat e përfaqësuar nga një dhe zero. Këto janë dekompozimet:
10 = 2 5,
100 = 2 2 5 . 5,
1 000 = 2 2 2 5 5 5,
10 000 = 2 2 2 2 5 5 5 5.
Shohim se numri i paraqitur nga një me zero zbërthehet vetëm në dyshe dhe pesëshe dhe nuk ka faktorë të tjerë në zgjerim. Për më tepër, dy dhe pesë janë përfshirë në zgjerim në të njëjtin numër. Dhe, së fundi, numri i atyre dhe faktorëve të tjerë veçmas është i barabartë me numrin e zerove pas atij në imazhin e një numri të caktuar.
Tani le të shohim se si zbërthehet 20 në faktorët kryesorë: 20 = 2 2 5. Nga kjo është e qartë se në zbërthimin e numrit 20 ka dy dyshe dhe një pesëshe. Kjo do të thotë që nëse këtyre faktorëve u shtojmë një pesë, do të marrim një numër të përfaqësuar nga një me zero. Me fjalë të tjera, në mënyrë që emëruesi të ketë një numër të përfaqësuar me një me zero në vend të 20, ju duhet të shumëzoni 20 me 5, dhe në mënyrë që vlera e thyesës të mos ndryshojë, duhet të shumëzoni numëruesin e tij me 5. , d.m.th.
Kështu, për të kthyer një thyesë të zakonshme në një dhjetore, duhet të zbërtheni emëruesin e kësaj fraksioni të zakonshëm në faktorë kryesorë dhe më pas të barazoni numrin e dysheve dhe pesësheve në të, duke futur në të (dhe, natyrisht, në numërues ) faktorët që mungojnë në numrin e kërkuar.
Le ta zbatojmë këtë përfundim për disa thyesa.
Shndërroni 3/50 në një dhjetore. Emëruesi i kësaj thyese zgjerohet si më poshtë:
Kjo do të thotë se i mungon një deuç. Le ta shtojmë:
Shndërroni 7/40 në një dhjetore.
Emëruesi i kësaj thyese zbërthehet si më poshtë: 40 = 2 2 2 5, pra i mungojnë dy pesëshe. Le t'i prezantojmë në numërues dhe emërues si faktorë:
Nga sa u tha, nuk është e vështirë të konkludohet se cilat thyesa të zakonshme shndërrohen saktësisht në dhjetore. Është mjaft e qartë se një fraksion i zakonshëm i pakalueshëm, emëruesi i së cilës nuk përmban asnjë faktor tjetër të thjeshtë përveç 2 dhe 5, shndërrohet saktësisht në një dhjetore. Një thyesë dhjetore, e cila përftohet duke përmbysur një thyesë të zakonshme, do të ketë aq numra dhjetore sa numri i herëve që emëruesi i thyesës së zakonshme pas reduktimit të tij përfshin faktorin numerik mbizotërues 2 ose 5.
Nëse marrim thyesën 9/40, atëherë, së pari, ajo do të kthehet në dhjetore, sepse emëruesi i saj përfshin faktorët 2 2 2 5, dhe së dyti, thyesa dhjetore që rezulton do të ketë 3 shifra dhjetore, sepse faktori numerik dominues 2. hyn në zgjerim tre herë. Me të vërtetë:
Mënyra e dytë(duke pjesëtuar numëruesin me emëruesin).
Supozoni se doni të konvertoni 3/4 në një thyesë dhjetore. Ne e dimë se 3/4 është herësi i 3 i pjesëtuar me 4. Këtë herës mund ta gjejmë duke pjesëtuar 3 me 4. Le të bëjmë këtë:
Kështu, 3/4 = 0,75.
Një shembull tjetër: shndërroni 5/8 në një thyesë dhjetore.
Pra, 5/8 = 0,625.
Pra, për të kthyer një thyesë në një dhjetore, ju vetëm duhet të ndani numëruesin e thyesës me emëruesin e saj.
2. Le të shqyrtojmë tani të dytën nga rastet e treguara në fillim të paragrafit, d.m.th., rastin kur një thyesë e zakonshme nuk mund të shndërrohet në një dhjetore të saktë.
Një thyesë e zakonshme e pakalueshme, emëruesi i së cilës përmban ndonjë faktor të thjeshtë përveç 2 dhe 5, nuk mund të shndërrohet saktësisht në një dhjetore. Në fakt, për shembull, thyesa 8/15 nuk mund të shndërrohet në dhjetore, pasi emëruesi i saj 15 zbërthehet në dy faktorë: 3 dhe 5.
Ne nuk mund ta eliminojmë trefishin nga emëruesi dhe nuk mund të zgjedhim një numër të plotë të tillë që, pasi të shumëzojmë emëruesin e dhënë me të, produkti të shprehet si një i ndjekur nga zero.
Në raste të tilla, ne mund të flasim vetëm për përafrim thyesat e zakonshme në dhjetore.
Si është bërë? Kjo bëhet duke pjesëtuar numëruesin e një thyese të përbashkët me emëruesin, pra në këtë rast përdoret metoda e dytë e shndërrimit të një thyese të përbashkët në një dhjetore. Kjo do të thotë se kjo metodë përdoret si për trajtimin e saktë ashtu edhe për përafërt.
Nëse një thyesë konvertohet saktësisht në një dhjetore, atëherë pjesëtimi prodhon një thyesë dhjetore përfundimtare.
Nëse një thyesë e zakonshme nuk shndërrohet në një dhjetore të saktë, atëherë pjesëtimi prodhon një thyesë dhjetore të pafundme.
Meqenëse nuk mund të kryejmë një proces ndarjeje të pafund, duhet ta ndalojmë ndarjen në një numër dhjetor, domethënë të bëjmë një pjesëtim të përafërt. Ne, për shembull, mund të ndalojmë pjesëtimin në numrin e parë dhjetor, domethënë të kufizohemi në të dhjetat; nëse është e nevojshme, mund të ndalemi në numrin e dytë dhjetor, duke marrë të qindtat etj. Në këto raste themi se po rrumbullakojmë një thyesë dhjetore të pafundme. Rrumbullakimi bëhet me saktësinë e nevojshme për zgjidhjen e këtij problemi.
§ 115. Koncepti i thyesës periodike.
Një thyesë dhjetore e përhershme në të cilën një ose më shumë shifra përsëriten pa ndryshim në të njëjtën sekuencë quhet thyesë dhjetore periodike. Për shembull:
0,33333333...; 1,12121212...; 3,234234234...
Quhet një grup numrash që përsëriten periudhë këtë fraksion. Periudha e të parës nga thyesat e shkruara më sipër është 3, periudha e thyesës së dytë është 12, periudha e thyesës së tretë është 234. Kjo do të thotë se periudha mund të përbëhet nga disa shifra - një, dy, tre, etj. Grupi i parë i shifrave të përsëritura quhet perioda e parë, e dyta tërësia - periudha e dytë, etj., d.m.th.
Fraksionet periodike mund të jenë të pastra ose të përziera. Një thyesë periodike quhet e pastër nëse periudha e saj fillon menjëherë pas presjes dhjetore. Kjo do të thotë se thyesat periodike të shkruara më sipër do të jenë të pastra. Përkundrazi, një thyesë periodike quhet e përzier nëse ka një ose më shumë shifra që nuk përsëriten midis pikës dhjetore dhe pikës së parë, për shembull:
2,5333333...; 4,1232323232...; 0,2345345345345... 160
Për të shkurtuar shkronjën, numrat e pikës mund t'i shkruani një herë në kllapa dhe të mos vendosni elipsa pas kllapave, pra në vend të 0,33... mund të shkruani 0,(3); në vend të 2.515151... mund të shkruani 2,(51); në vend të 0.2333... mund të shkruani 0.2(3); në vend të 0.8333... mund të shkruani 0.8(3).
Thyesat periodike lexohen kështu:
0,(3) - 0 numra të plotë, 3 në periudhë.
7,2(3) - 7 numra të plotë, 2 para periudhës, 3 në periudhë.
5.00(17) - 5 numra të plotë, dy zero para periudhës, 17 në periudhë.
Si lindin thyesat periodike? Ne kemi parë tashmë se kur konvertojmë thyesat në dhjetore, mund të ketë dy raste.
Së pari, emëruesi i një thyese të zakonshme të pakësueshme nuk përmban asnjë faktor tjetër përveç 2 dhe 5; në këtë rast, thyesa e zakonshme bëhet dhjetore përfundimtare.
Së dyti, emëruesi i një fraksioni të zakonshëm të pareduktueshëm përmban çdo faktor kryesor të ndryshëm nga 2 dhe 5; në këtë rast thyesa e zakonshme nuk kthehet në dhjetore përfundimtare. Në këtë rast të fundit, përpjekja për të kthyer një thyesë në një dhjetore duke pjesëtuar numëruesin me emëruesin rezulton në një thyesë të pafundme që do të jetë gjithmonë periodike.
Për ta parë këtë, le të shohim një shembull. Le të përpiqemi të kthejmë thyesën 18/7 në një dhjetore.
Ne, natyrisht, e dimë paraprakisht se një thyesë me një emërues të tillë nuk mund të shndërrohet në një dhjetore përfundimtare, dhe ne po flasim vetëm për një konvertim të përafërt. Ndajeni numëruesin 18 me emëruesin 7.
Ne morëm tetë vende dhjetore në herës. Nuk ka nevojë të vazhdohet më tej ndarja, sepse gjithsesi nuk do të përfundojë. Por nga kjo shihet qartë se pjesëtimi mund të vazhdohet pafundësisht dhe kështu të fitohen numra të rinj në herës. Këta numra të rinj do të dalin sepse do të kemi gjithmonë mbetje; por asnjë mbetje nuk mund të jetë më e madhe se pjesëtuesi, që për ne është 7.
Le të shohim se çfarë bilancesh kishim: 4; 5; 1; 3; 2; b, d.m.th., këta ishin numra më të vegjël se 7. Natyrisht, nuk mund të jenë më shumë se gjashtë, dhe me vazhdimin e mëtejshëm të pjesëtimit do të duhet të përsëriten dhe pas tyre do të përsëriten shifrat e herësit. Shembulli i mësipërm konfirmon këtë ide: vendet dhjetore në herës janë në këtë rend: 571428, dhe pas kësaj u shfaqën përsëri numrat 57 Kjo do të thotë se periudha e parë ka përfunduar dhe e dyta fillon.
Kështu, një thyesë dhjetore e pafundme e përftuar duke përmbysur një thyesë të zakonshme do të jetë gjithmonë periodike.
Nëse gjatë zgjidhjes së një problemi haset një thyesë periodike, atëherë ajo merret me saktësinë që kërkojnë kushtet e problemës (në të dhjetën, në të qindtën, në të mijtën etj.).
§ 116. Veprimet e përbashkëta me thyesa të zakonshme dhe dhjetore.
Kur vendoset detyra të ndryshme Do të hasim raste kur problemi përfshin si thyesat e zakonshme ashtu edhe ato dhjetore.
Në këto raste, ju mund të shkoni në mënyra të ndryshme.
1. Shndërroni të gjitha thyesat në dhjetore. Kjo është e përshtatshme sepse llogaritjet me thyesat dhjetore janë më të lehta se sa me thyesat e zakonshme. Për shembull,
Le t'i kthejmë thyesat 3/4 dhe 1 1/5 në dhjetore:
2. Shndërroni të gjitha thyesat në thyesa të zakonshme. Kjo më së shpeshti bëhet në rastet kur ka thyesa të zakonshme që nuk kthehen në dhjetore përfundimtare.
Për shembull, 
Le të konvertojmë thyesat dhjetore në thyesa të zakonshme:
3. Llogaritjet kryhen pa konvertuar disa fraksione në të tjera.
Kjo është veçanërisht e dobishme kur shembulli përfshin vetëm shumëzim dhe pjesëtim. Për shembull,
Le ta rishkruajmë shembullin si ky:
4. Në disa raste shndërroni të gjitha thyesat në dhjetore(edhe ato që kthehen në periodike) dhe gjejnë një rezultat të përafërt. Për shembull,
Le ta kthejmë 2/3 në një thyesë dhjetore, duke u kufizuar në të mijtët.
