Ekuacionet logaritmike dhe inekuacionet e provimit. Përgatitja për Provimin e Unifikuar të Shtetit. Zgjidhja e pabarazive logaritmike dhe eksponenciale duke përdorur metodën e racionalizimit

Shpesh, kur zgjidhen pabarazitë logaritmike, ka probleme me një bazë logaritme të ndryshueshme. Kështu, një pabarazi e formës

është një pabarazi standarde shkollore. Si rregull, për ta zgjidhur atë, përdoret një kalim në një grup ekuivalent sistemesh:

Disavantazhi këtë metodëështë nevoja për të zgjidhur shtatë pabarazi, pa llogaritur dy sisteme dhe një popullsi. Tashmë me këto funksione kuadratike, zgjidhja e popullatës mund të marrë shumë kohë.

Është e mundur të propozohet një mënyrë alternative, më pak kohë për të zgjidhur këtë pabarazi standarde. Për ta bërë këtë, marrim parasysh teoremën e mëposhtme.

Teorema 1. Le të ketë një funksion në rritje të vazhdueshme në një bashkësi X. Atëherë në këtë bashkësi shenja e rritjes së funksionit do të përkojë me shenjën e rritjes së argumentit, d.m.th. , Ku .

Shënim: nëse një funksion në rënie të vazhdueshme në një grup X, atëherë .

Le të kthehemi te pabarazia. Le të kalojmë në logaritmin dhjetor (mund të lëvizni në cilindo me një bazë konstante me shume se nje).

Tani mund të përdorni teoremën, duke vënë re rritjen e funksioneve në numërues dhe në emërues. Pra është e vërtetë

Si rezultat, numri i llogaritjeve që çojnë në përgjigjen është afërsisht përgjysmuar, gjë që kursen jo vetëm kohë, por gjithashtu ju lejon të bëni më pak gabime aritmetike dhe të pakujdesshme.

Shembulli 1.

Duke krahasuar me (1) gjejmë , , .

Duke kaluar te (2) do të kemi:

Shembulli 2.

Duke krahasuar me (1) gjejmë , , .

Duke kaluar te (2) do të kemi:

Shembulli 3.

Meqenëse ana e majtë e pabarazisë është një funksion në rritje si dhe , atëherë përgjigja do të jetë shumë.

Shembujt e shumtë në të cilët mund të zbatohet Tema 1 mund të zgjerohen lehtësisht duke marrë parasysh Temën 2.

Lëreni në set X përcaktohen funksionet , , , dhe në këtë bashkësi shenjat dhe përkojnë, d.m.th. , atëherë do të jetë e drejtë.

Shembulli 4.

Shembulli 5.

Me qasjen standarde, shembulli zgjidhet sipas skemës së mëposhtme: produkti është më i vogël se zero kur faktorët janë të shenjave të ndryshme. ato. merret parasysh një grup prej dy sistemesh pabarazish, në të cilat, siç tregohet në fillim, çdo pabarazi ndahet në shtatë të tjera.

Nëse marrim parasysh teoremën 2, atëherë secili nga faktorët, duke marrë parasysh (2), mund të zëvendësohet me një funksion tjetër që ka të njëjtën shenjë në këtë shembull O.D.Z.

Metoda e zëvendësimit të rritjes së një funksioni me një rritje të argumentit, duke marrë parasysh Teoremën 2, rezulton të jetë shumë e përshtatshme kur zgjidhet detyra tipike Provimi i Unifikuar i Shtetit C3.

Shembulli 6.

Shembulli 7.

. Le të shënojmë. marrim

. Vini re se zëvendësimi nënkupton: . Duke u kthyer në ekuacion, marrim .

Shembulli 8.

Në teoremat që përdorim nuk ka kufizime për klasat e funksioneve. Në këtë artikull, si shembull, teoremat u aplikuan për zgjidhjen e pabarazive logaritmike. Disa shembuj në vijim do të demonstrojnë premtimin e metodës për zgjidhjen e llojeve të tjera të pabarazive.

Një pabarazi quhet logaritmike nëse përmban një funksion logaritmik.

Metodat për zgjidhjen e pabarazive logaritmike nuk ndryshojnë nga, përveç dy gjërave.

Së pari, kur kalohet nga pabarazia logaritmike në pabarazinë e funksioneve nënlogaritmike, duhet të ndiqni shenjën e pabarazisë që rezulton. Ai i bindet rregullit të mëposhtëm.

Nëse baza e funksionit logaritmik është më e madhe se $1$, atëherë kur kalohet nga pabarazia logaritmike në inekuacionin e funksioneve nënlogaritmike, shenja e pabarazisë ruhet, por nëse është më e vogël se $1$, atëherë ajo ndryshon në të kundërtën. .

Së dyti, zgjidhja e çdo pabarazie është një interval, dhe, për rrjedhojë, në fund të zgjidhjes së pabarazisë së funksioneve nënloggaritmike, është e nevojshme të krijohet një sistem me dy pabarazi: pabarazia e parë e këtij sistemi do të jetë pabarazia e funksioneve nënloggaritmike. dhe e dyta do të jetë intervali i fushës së përcaktimit të funksioneve logaritmike të përfshira në pabarazinë logaritmike.