səslər) Arifmetik irəliləyiş

ədədlər ardıcıllığını adlandırın (proqresiyanın şərtləri) Hər bir sonrakı termin əvvəlkindən yeni bir terminlə fərqlənir ki, bu da adlanır.

addım və ya irəliləyiş fərqi

Beləliklə, irəliləyiş addımını və onun birinci müddətini göstərərək, düsturdan istifadə edərək onun hər hansı elementini tapa bilərsiniz

Arifmetik irəliləyişin xassələri

1) İkinci nömrədən başlayaraq arifmetik irəliləyişin hər bir üzvü, irəliləyişin əvvəlki və sonrakı üzvlərinin arifmetik ortasıdır.

Bunun əksi də doğrudur. Əgər irəliləyişin bitişik tək (cüt) hədlərinin arifmetik ortası onların arasında duran terminə bərabərdirsə, onda bu ədədlər ardıcıllığı arifmetik irəliləyişdir. Bu ifadədən istifadə edərək istənilən ardıcıllığı yoxlamaq çox asandır.

Həmçinin, arifmetik proqresiyanın xassəsinə görə yuxarıdakı düstur aşağıdakılara ümumiləşdirilə bilər

Şərtləri bərabər işarəsinin sağına yazsanız, bunu yoxlamaq asandır

Problemlərdə hesablamaları sadələşdirmək üçün praktikada tez-tez istifadə olunur.

2) Arifmetik proqresiyanın ilk n üzvünün cəmi düsturdan istifadə etməklə hesablanır

Arifmetik irəliləyişin cəminin düsturunu yaxşı xatırlayın, bu, hesablamalarda əvəzolunmazdır və çox vaxt sadə həyat vəziyyətlərində tapılır.

3) Əgər bütün cəmini deyil, ardıcıllığın onun k-ci həddi ilə başlayan hissəsini tapmaq lazımdırsa, onda aşağıdakı cəmi düsturu sizin üçün faydalı olacaq.

4) k-ci ədəddən başlayaraq arifmetik irəliləyişin n üzvünün cəmini tapmaq praktiki maraq doğurur. Bunu etmək üçün formuladan istifadə edin

Bununla nəzəri materialı yekunlaşdırır və praktikada ümumi problemlərin həllinə keçir.

Nümunə 1. 4;7;... arifmetik irəliləyişin qırxıncı həddi tapın.

Həlli:

Bizdə olan şəraitə görə

Tərəqqi addımını müəyyən edək

Məlum bir düsturdan istifadə edərək, irəliləyişin qırxıncı həddi tapırıq Misal 2. Arifmetik irəliləyiş

Nümunə 1. 4;7;... arifmetik irəliləyişin qırxıncı həddi tapın.

üçüncü və yeddinci şərtləri ilə verilir. Proqresiyanın birinci həddi ilə onluğun cəmini tapın.

Düsturlardan istifadə edərək irəliləyişin verilmiş elementlərini yazaq

İkinci tənlikdən birincini çıxarırıq, nəticədə irəliləmə addımını tapırıq

Arifmetik irəliləyişin birinci həddini tapmaq üçün tapılan dəyəri hər hansı tənlikdə əvəz edirik.

Proqresiyanın ilk on şərtinin cəmini hesablayırıq

Misal 3. Arifmetik irəliləyiş məxrəc və onun şərtlərindən biri ilə verilir. Proqresiyanın birinci üzvünü, 50-dən başlayan 50 üzvünün cəmini və ilk 100-ün cəmini tapın.

Nümunə 1. 4;7;... arifmetik irəliləyişin qırxıncı həddi tapın.

Proqresiyanın yüzüncü elementinin düsturunu yazaq

və birincisini tapın

Birinciyə əsaslanaraq, irəliləyişin 50-ci dövrünü tapırıq

Proqresiyanın hissəsinin cəminin tapılması

və ilk 100-ün cəmi

İrəliləmə məbləği 250-dir.

Misal 4.

Arifmetik irəliləyişin hədlərinin sayını tapın, əgər:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Nümunə 1. 4;7;... arifmetik irəliləyişin qırxıncı həddi tapın.

Tənlikləri birinci həd və tərəqqi addımı baxımından yazıb müəyyən edək

Cəmdəki şərtlərin sayını müəyyən etmək üçün əldə edilmiş dəyərləri cəmi düsturla əvəz edirik

Biz sadələşdirmələr aparırıq

və kvadrat tənliyi həll edin

Tapılan iki dəyərdən yalnız 8 rəqəmi problem şərtlərinə uyğun gəlir. Beləliklə, irəliləyişin ilk səkkiz şərtinin cəmi 111-dir.

Misal 5.

Tənliyi həll edin

1+3+5+...+x=307.

Həlli: Bu tənlik arifmetik irəliləyişin cəmidir. Gəlin onun birinci şərtini yazaq və irəliləyişdəki fərqi tapaq

Bəzi insanlar “tərəqqi” sözünə ehtiyatla yanaşır, ali riyaziyyatın budaqlarından çox mürəkkəb bir termindir. Bu vaxt, ən sadə arifmetik irəliləyiş taksi sayğacının işidir (onların hələ də mövcud olduğu yerdə). Bir neçə elementar anlayışı təhlil edərək arifmetik ardıcıllığın mahiyyətini (və riyaziyyatda “mahiyyəti əldə etməkdən” vacib heç nə yoxdur) başa düşmək o qədər də çətin deyil.

Riyazi ədədlər ardıcıllığı

Ədədi ardıcıllığa adətən hər birinin öz nömrəsi olan nömrələr seriyası deyilir.

a 1 ardıcıllığın ilk üzvüdür;

və 2 ardıcıllığın ikinci şərtidir;

və 7 ardıcıllığın yeddinci üzvüdür;

n isə ardıcıllığın n-ci üzvüdür;

Bununla belə, heç bir ixtiyari rəqəmlər və rəqəmlər dəsti bizi maraqlandırmır. Diqqətimizi n-ci həddinin qiymətinin onun sıra nömrəsi ilə riyazi şəkildə aydın şəkildə ifadə oluna bilən əlaqə ilə əlaqəli olduğu ədədi ardıcıllığa yönəldəcəyik. Başqa sözlə: n-ci ədədin ədədi qiyməti n-in hansısa funksiyasıdır.

a ədədi ardıcıllığın üzvünün qiymətidir;

n onun seriya nömrəsidir;

f(n) funksiyadır, burada n ədədi ardıcıllıqdakı sıra nömrəsi arqumentdir.

Tərif

Arifmetik irəliləyiş adətən hər bir sonrakı terminin əvvəlkindən eyni sayda böyük (kiçik) olduğu ədədi ardıcıllıq adlanır. Arifmetik ardıcıllığın n-ci həddi üçün düstur aşağıdakı kimidir:

a n - arifmetik irəliləyişin cari üzvünün qiyməti;

a n+1 - növbəti ədədin düsturu;

d - fərq (müəyyən sayda).

Müəyyən etmək asandır ki, fərq müsbət olarsa (d>0), onda nəzərdən keçirilən silsilənin hər bir sonrakı üzvü əvvəlkindən böyük olacaq və belə arifmetik irəliləyiş artacaq.

Aşağıdakı qrafikdə nömrə ardıcıllığının niyə “artan” adlandırıldığını görmək asandır.

Fərqin mənfi olduğu hallarda (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Müəyyən edilmiş üzv dəyəri

Bəzən arifmetik irəliləyişin hər hansı ixtiyari a n-nin qiymətini təyin etmək lazımdır. Bu, birincidən istədiyinizə qədər arifmetik irəliləyişin bütün üzvlərinin dəyərlərini ardıcıl olaraq hesablamaqla edilə bilər. Lakin, məsələn, beş minlik və ya səkkiz milyonuncu terminin dəyərini tapmaq lazımdırsa, bu yol həmişə məqbul deyil. Ənənəvi hesablamalar çox vaxt aparacaq. Bununla belə, müəyyən arifmetik irəliləyiş müəyyən düsturlardan istifadə etməklə öyrənilə bilər. n-ci həd üçün də bir düstur var: arifmetik irəliləyişin hər hansı bir üzvünün qiyməti, irəliləyişin fərqi ilə irəliləyişin birinci həddinin cəmi kimi müəyyən edilə bilər, istədiyiniz hədd sayına vurulur, azalır. bir.

Formula irəliləyişin artması və azalması üçün universaldır.

Verilmiş bir terminin dəyərinin hesablanması nümunəsi

Arifmetik proqresiyanın n-ci üzvünün qiymətini tapmaq üçün aşağıdakı məsələni həll edək.

Şərt: parametrləri olan arifmetik irəliləyiş var:

Ardıcıllığın birinci həddi 3-dür;

Nömrə seriyasındakı fərq 1.2-dir.

Tapşırıq: 214 şərtin qiymətini tapmaq lazımdır

Həlli: verilmiş terminin dəyərini müəyyən etmək üçün düsturdan istifadə edirik:

a(n) = a1 + d(n-1)

Problem ifadəsindəki məlumatları ifadəyə əvəz edərək, əldə edirik:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Cavab: Ardıcıllığın 214-cü həddi 258,6-ya bərabərdir.

Bu hesablama metodunun üstünlükləri göz qabağındadır - bütün həll 2 sətirdən çox deyil.

Verilmiş sayda terminlərin cəmi

Çox vaxt müəyyən bir arifmetik seriyada onun bəzi seqmentlərinin qiymətlərinin cəmini müəyyən etmək lazımdır. Bunu etmək üçün hər bir terminin dəyərlərini hesablamağa və sonra onları əlavə etməyə ehtiyac yoxdur. Bu üsul, cəmi tapılmalı olan terminlərin sayı az olduqda tətbiq edilir. Digər hallarda aşağıdakı düsturdan istifadə etmək daha rahatdır.

1-dən n-ə qədər olan arifmetik irəliləyişin hədlərinin cəmi birinci və n-ci hədlərin cəminə bərabərdir, n həddinin sayına vurulur və ikiyə bölünür. Düsturda n-ci həddin qiyməti məqalənin əvvəlki abzasındakı ifadə ilə əvəz edilərsə, alırıq:

Hesablama nümunəsi

Məsələn, aşağıdakı şərtlərlə problemi həll edək:

Ardıcıllığın birinci üzvü sıfırdır;

Fərq 0,5-dir.

Problem 56-dan 101-ə qədər seriyanın şərtlərinin cəminin müəyyən edilməsini tələb edir.

Həll. Proqresiyanın miqdarını təyin etmək üçün düsturdan istifadə edək:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Əvvəlcə problemimizin verilmiş şərtlərini düsturla əvəz etməklə irəliləyişin 101 şərtlərinin qiymətlərinin cəmini təyin edirik:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2,525

Aydındır ki, 56-dan 101-ə qədər irəliləyişin şərtlərinin cəmini tapmaq üçün S 101-dən S 55-i çıxarmaq lazımdır.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Beləliklə, bu nümunə üçün arifmetik irəliləyişin cəmi:

s 101 - s 55 = 2,525 - 742,5 = 1,782,5

Arifmetik proqresiyanın praktik tətbiqi nümunəsi

Məqalənin sonunda birinci abzasda verilən arifmetik ardıcıllıq nümunəsinə - taksimetrə (taksi avtomobili sayğacı) qayıdaq. Bu misalı nəzərdən keçirək.

Taksiyə minmək (buraya 3 km səyahət daxildir) 50 rubla başa gəlir. Hər bir sonrakı kilometr 22 rubl/km nisbətində ödənilir. Səyahət məsafəsi 30 km-dir. Gəzintinin qiymətini hesablayın.

1. Qiyməti eniş qiymətinə daxil olan ilk 3 km-i ataq.

30 - 3 = 27 km.

2. Sonrakı hesablama arifmetik ədədlər seriyasını təhlil etməkdən başqa bir şey deyil.

Üzv sayı - səyahət edilmiş kilometrlərin sayı (mənfi ilk üç).

Üzvün dəyəri cəmidir.

Bu problemdə ilk müddət 1 = 50 rubla bərabər olacaqdır.

Tərəqqi fərqi d = 22 r.

bizi maraqlandıran rəqəm arifmetik proqresiyanın (27+1)-ci həddinin qiymətidir - 27-ci kilometrin sonunda sayğacın göstəricisi 27,999... = 28 km-dir.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

Özbaşına uzun müddət üçün təqvim məlumatlarının hesablamaları müəyyən ədədi ardıcıllıqları təsvir edən düsturlara əsaslanır. Astronomiyada orbitin uzunluğu həndəsi cəhətdən göy cisminin ulduza olan məsafəsindən asılıdır. Bundan əlavə, müxtəlif ədəd seriyaları statistikada və riyaziyyatın digər tətbiqi sahələrində uğurla istifadə olunur.

Say ardıcıllığının başqa bir növü həndəsidir

Həndəsi irəliləyiş arifmetik irəliləyişlə müqayisədə daha çox dəyişmə sürəti ilə xarakterizə olunur. Təsadüfi deyil ki, siyasətdə, sosiologiyada, tibbdə müəyyən bir hadisənin, məsələn, xəstəliyin epidemiya zamanı yüksək yayılma sürətini göstərmək üçün prosesin həndəsi irəliləyişlə inkişaf etdiyini deyirlər.

Həndəsi ədədlər seriyasının N-ci həddi əvvəlkindən onunla fərqlənir ki, o, hansısa sabit ədədə vurulur - məxrəc, məsələn, birinci hədd 1, məxrəc müvafiq olaraq 2-yə bərabərdir, onda:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - həndəsi proqresiyanın cari müddətinin qiyməti;

b n+1 - həndəsi proqresiyanın növbəti həddinin düsturu;

q həndəsi irəliləyişin məxrəcidir (sabit ədəd).

Arifmetik irəliləyişin qrafiki düz xəttdirsə, həndəsi irəliləyiş bir qədər fərqli bir şəkil çəkir:

Arifmetikada olduğu kimi, həndəsi irəliləyişdə də ixtiyari bir müddətin qiyməti üçün bir düstur var. Həndəsi irəliləyişin hər hansı n-ci həddi birinci hədisin hasilinə və n-in gücünə bir azalmış irəliləyişin məxrəcinə bərabərdir:

Misal. Birinci həddi 3-ə, məxrəci isə 1,5-ə bərabər olan həndəsi irəliləyişimiz var. Proqresiyanın 5-ci həddini tapaq

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875

Verilmiş sayda terminlərin cəmi də xüsusi düsturla hesablanır. Həndəsi proqresiyanın ilk n hədlərinin cəmi, irəliləyişin n-ci həddi ilə onun məxrəci ilə irəliləyişin birinci həddi arasındakı fərqin bir azalmış məxrəcə bölünməsinə bərabərdir:

Əgər b n yuxarıda müzakirə olunan düsturla əvəz edilərsə, nəzərdən keçirilən ədəd seriyasının ilk n şərtlərinin cəminin qiyməti aşağıdakı formanı alacaq:

Misal. Həndəsi irəliləyiş 1-ə bərabər olan birinci həddlə başlayır. Məxrəc 3-ə qoyulur. İlk səkkiz üzvün cəmini tapaq.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

I. V. Yakovlev | Riyaziyyat materialları | MathUs.ru

Misal 2.

Arifmetik irəliləyiş xüsusi bir ardıcıllıq növüdür. Buna görə də, arifmetik (və sonra həndəsi) proqressiyanın tərifini verməzdən əvvəl, nömrə ardıcıllığının vacib anlayışını qısaca müzakirə etməliyik.

Ardıcıllıq

Ekranda müəyyən nömrələrin bir-birinin ardınca göründüyü bir cihaz təsəvvür edin. Tutaq ki, 2; 7; 13; 1; 6; 0; 3; : : : Bu ədədlər toplusu dəqiq ardıcıllığın nümunəsidir.

Tərif. Nömrə ardıcıllığı hər bir nömrəyə unikal nömrə təyin edilə bilən (yəni tək natural nömrə ilə əlaqəli) nömrələr toplusudur. n ədədi ardıcıllığın n-ci üzvü adlanır.

Beləliklə, yuxarıdakı misalda birinci rəqəm 2-dir, bu, a1 ilə işarələnə bilən ardıcıllığın birinci üzvüdür; beş rəqəmi 6 rəqəminə malikdir, a5 ilə işarələnə bilən ardıcıllığın beşinci üzvüdür. Ümumiyyətlə, n-ci dövr ardıcıllıqlar bir (və ya bn, cn və s.) ilə işarələnir.

Çox əlverişli vəziyyət, ardıcıllığın n-ci həddi hansısa düsturla təyin oluna bildiyi zamandır. Məsələn, an = 2n 3 düsturu ardıcıllığı təyin edir: 1; 1; 3; 5; 7; : : : an = (1)n düsturu ardıcıllığı təyin edir: 1; 1; 1; 1; : : :

Hər nömrə dəsti ardıcıllıq deyil. Beləliklə, seqment ardıcıllıq deyil; o, yenidən nömrələnəcək "çox" nömrələri ehtiva edir. Bütün həqiqi ədədlərin R çoxluğu da ardıcıllıq deyil. Bu faktlar riyazi analiz zamanı sübut olunur.

Arifmetik irəliləyiş: əsas təriflər

İndi biz arifmetik irəliləyiş təyin etməyə hazırıq.

Tərif. Arifmetik irəliləyiş hər bir üzvün (ikincidən başlayaraq) əvvəlki hədd və bəzi sabit ədədin (arifmetik irəliləyişin fərqi adlanır) cəminə bərabər olduğu ardıcıllıqdır.

Məsələn, ardıcıllıq 2; 5; 8; 11; : : : birinci həddi 2 və fərqi 3 olan arifmetik irəliləyişdir. Ardıcıllıq 7; 2; 3; 8; : : : birinci həd 7 və fərqi 5 olan arifmetik irəliləyişdir. Ardıcıllıq 3; 3; 3; : : : fərqi sıfıra bərabər olan arifmetik irəliləyişdir.

Ekvivalent tərif: an+1 an fərqi sabit qiymətdirsə (n-dən asılı olmayaraq) an ardıcıllığı arifmetik irəliləmə adlanır.

Arifmetik irəliləyiş, fərqi müsbət olduqda artan, mənfi olduqda isə azalan adlanır.

1 Lakin burada daha qısa tərif var: ardıcıllıq natural ədədlər çoxluğunda müəyyən edilmiş funksiyadır. Məsələn, həqiqi ədədlər ardıcıllığı f funksiyasıdır: N ! R.

Varsayılan olaraq, ardıcıllıqlar sonsuz hesab olunur, yəni sonsuz sayda ədədləri ehtiva edir. Lakin heç kim bizi sonlu ardıcıllıqları nəzərdən keçirmək üçün narahat etmir; əslində istənilən sonlu ədədlər toplusunu sonlu ardıcıllıq adlandırmaq olar. Məsələn, bitmə ardıcıllığı 1-dir; 2; 3; 4; 5 beş rəqəmdən ibarətdir.

Arifmetik irəliləyişin n-ci həddi üçün düstur

Arifmetik irəliləyişin tamamilə iki rəqəmlə təyin olunduğunu başa düşmək asandır: birinci hədd və fərq. Buna görə də sual yaranır: birinci həddi və fərqi bilməklə arifmetik irəliləyişin ixtiyari müddətini necə tapmaq olar?

Arifmetik irəliləyişin n-ci həddi üçün tələb olunan düsturu almaq çətin deyil. Qoy bir

Məsələ 1. Arifmetik irəliləyişdə 2; 5; 8; 11; : : : n-ci həd üçün düstur tapın və yüzüncü həddi hesablayın.

Həll. Formula (1) görə bizdə:

an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

Arifmetik irəliləyişin xassəsi və işarəsi

Arifmetik irəliləyişin xassəsi. Arifmetik irəliləyişdə hər hansı bir üçün

Başqa sözlə, arifmetik proqresiyanın hər bir üzvü (ikincidən başlayaraq) onun qonşu üzvlərinin arifmetik ortasıdır.

tələb olunan budur.

Daha ümumi olaraq arifmetik irəliləyiş bərabərliyi təmin edir

a n = a n k+ a n+k

istənilən n > 2 və istənilən təbii k üçün< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Belə çıxır ki, (2) düstur ardıcıllığın arifmetik irəliləyiş olması üçün təkcə zəruri deyil, həm də kafi şərt kimi çıxış edir.

Arifmetik irəliləyiş işarəsi. Əgər (2) bərabərliyi bütün n > 2 üçün uyğundursa, o zaman an ardıcıllığı arifmetik irəliləyişdir.

Sübut. (2) düsturu aşağıdakı kimi yenidən yazaq:

a na n 1= a n+1a n:

Buradan görə bilərik ki, an+1 an fərqi n-dən asılı deyil və bu, dəqiq olaraq an ardıcıllığının arifmetik irəliləyiş olduğunu bildirir.

Arifmetik irəliləyişin xassəsi və işarəsi bir ifadə şəklində tərtib edilə bilər; Rahatlıq üçün bunu üç nömrə üçün edəcəyik (bu, problemlərdə tez-tez baş verən vəziyyətdir).

Arifmetik irəliləyişin xarakteristikası. Üç ədəd a, b, c arifmetik irəliləyiş yaradır və yalnız 2b = a + c olduqda.

Məsələ 2. (MDU, İqtisadiyyat Fakültəsi, 2007) Göstərilən ardıcıllıqla üç ədəd 8x, 3x2 və 4 azalan arifmetik irəliləyiş əmələ gətirir. x tapın və bu irəliləyişin fərqini göstərin.

Həll. Arifmetik irəliləyişin xassəsinə görə biz:

2(3 x2 ) = 8x 4 , 2x2 + 8x 10 = 0 , x2 + 4x 5 = 0 , x = 1; x = 5:

Əgər x = 1 olarsa, onda biz 6 fərqlə 8, 2, 4 azalan irəliləyiş alırıq. Əgər x = 5 olarsa, onda 40, 22, 4 artan irəliləyiş alırıq; bu hal uyğun deyil.

Cavab: x = 1, fərq 6-dır.

Arifmetik irəliləyişin ilk n üzvünün cəmi

Rəvayətə görə, bir gün müəllim uşaqlara 1-dən 100-ə qədər rəqəmlərin cəmini tapmağı tapşırıb və sakitcə oturub qəzeti oxuyur. Ancaq bir neçə dəqiqə keçməmişdi ki, bir oğlan problemi həll etdiyini söylədi. Bu, sonralar tarixin ən böyük riyaziyyatçılarından biri olan 9 yaşlı Karl Fridrix Qauss idi.

Kiçik Qaussun ideyası belə idi. Qoy

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

Bu məbləği tərs ardıcıllıqla yazaq:

S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;

və bu iki düstur əlavə edin:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Mötərizədə hər bir termin 101-ə bərabərdir və buna görə də cəmi 100 belə termin var

2S = 101 100 = 10100;

Bu fikirdən cəmi düsturunu əldə etmək üçün istifadə edirik

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

Əgər n-ci həddi an = a1 + (n 1)d düsturunu ona əvəz etsək (3) düsturunun faydalı modifikasiyası əldə edilir:

Məsələ 3. 13-ə bölünən bütün müsbət üçrəqəmli ədədlərin cəmini tapın.

Həll. 13-ün qatları olan üçrəqəmli ədədlər birinci həddi 104, fərqi isə 13 olmaqla arifmetik irəliləyiş əmələ gətirir; Bu irəliləyişin n-ci həddi aşağıdakı formaya malikdir:

an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:

Gəlin bizim irəliləyişimizin neçə termindən ibarət olduğunu öyrənək. Bunun üçün bərabərsizliyi həll edək:

6 999; 91 + 13n 6 999;

n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:

Beləliklə, bizim irəliləyişimizdə 69 üzv var. Formula (4) istifadə edərək, tələb olunan məbləği tapırıq:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2

Bir çox insan arifmetik irəliləyiş haqqında eşitmişdir, lakin hər kəs bunun nə olduğu barədə yaxşı təsəvvürə malik deyil. Bu yazıda müvafiq tərif verəcəyik, həmçinin arifmetik irəliləyişin fərqini necə tapmaq məsələsini nəzərdən keçirəcəyik və bir sıra nümunələr verəcəyik.

Riyazi tərif

Deməli, əgər arifmetik və ya cəbri proqressiyadan danışırıqsa (bu anlayışlar eyni şeyi müəyyənləşdirir), onda bu o deməkdir ki, aşağıdakı qanuna cavab verən müəyyən ədəd seriyası var: sıradakı hər iki bitişik ədəd eyni qiymətlə fərqlənir. Riyazi olaraq belə yazılır:

Burada n ardıcıllıqdakı a n elementinin sayını, d sayı isə irəliləyişin fərqini bildirir (onun adı təqdim olunan düsturdan irəli gəlir).

d fərqini bilmək nə deməkdir? Qonşu nömrələrin bir-birindən nə qədər "uzaq" olduğu haqqında. Bununla belə, d haqqında bilik bütün irəliləyişi müəyyən etmək (bərpa etmək) üçün zəruri, lakin kifayət deyil. Sözügedən seriyanın tamamilə hər hansı bir elementi ola biləcək daha bir nömrəni bilməlisiniz, məsələn, 4, a10, lakin, bir qayda olaraq, birinci rəqəmdən, yəni 1-dən istifadə edirlər.

Proqressiya elementlərinin təyini üçün düsturlar

Ümumiyyətlə, yuxarıda göstərilən məlumatlar konkret problemlərin həllinə keçmək üçün artıq kifayətdir. Buna baxmayaraq, arifmetik irəliləyiş verilməzdən əvvəl və onun fərqini tapmaq lazım olacaq, biz bir neçə faydalı düstur təqdim edəcəyik və bununla da problemlərin həllinin sonrakı prosesini asanlaşdıracağıq.

Ardıcıllığın n nömrəli istənilən elementini aşağıdakı kimi tapmaq olar:

a n = a 1 + (n - 1) * d

Həqiqətən də, hər kəs bu düsturu sadə axtarışla yoxlaya bilər: n = 1-i əvəz etsəniz, birinci elementi alırsınız, n = 2-ni əvəz etsəniz, ifadə birinci ədədin və fərqin cəmini verir və s.

Bir çox məsələlərin şərtləri elə qurulmuşdur ki, nömrələri də ardıcıllıqla verilmiş məlum cüt ədədi nəzərə alaraq, bütün ədəd seriyasını yenidən qurmaq lazımdır (fərqi və birinci elementi tapın). İndi bu problemi ümumi formada həll edəcəyik.

Beləliklə, n və m ədədləri olan iki element verilsin. Yuxarıdakı düsturdan istifadə edərək iki tənlik sistemi yarada bilərsiniz:

a n = a 1 + (n - 1) * d;

a m = a 1 + (m - 1) * d

Naməlum kəmiyyətləri tapmaq üçün məlum olandan istifadə edirik sadə hiylə belə bir sistemin həlli yolları: sol və sağ tərəfləri cüt-cüt çıxarın, bərabərlik qüvvədə qalacaq. Bizdə:

a n = a 1 + (n - 1) * d;

a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)

Beləliklə, bir naməlumu (a 1) istisna etdik. İndi d-ni təyin etmək üçün son ifadəni yaza bilərik:

d = (a n - a m) / (n - m), burada n > m

Çox sadə bir düstur aldıq: məsələnin şərtlərinə uyğun olaraq d fərqini hesablamaq üçün yalnız elementlərin özləri ilə onların seriya nömrələri arasındakı fərqlərin nisbətini götürmək lazımdır. Birinə diqqət yetirmək lazımdır mühüm məqam diqqət: fərqlər "ən yüksək" və "ən aşağı" üzvlər arasında götürülür, yəni n > m ("ən yüksək" ardıcıllığın əvvəlindən daha uzaqda yerləşən deməkdir, onun mütləq dəyəri ondan böyük və ya kiçik ola bilər. "kiçik" element).

Birinci həddin qiymətini almaq üçün məsələnin həllinin əvvəlində d proqressiyası fərqinin ifadəsi hər hansı tənlikdə əvəz edilməlidir.

Kompüter texnologiyalarının inkişaf etdiyi əsrimizdə bir çox məktəblilər İnternetdə tapşırıqları həll etməyə çalışırlar, buna görə də bu tip suallar tez-tez yaranır: arifmetik irəliləyişin fərqini onlayn tapın. Belə bir sorğu üçün axtarış motoru bir sıra veb səhifələri qaytaracaq, onlara getməklə şərtdən məlum olan məlumatları daxil etməli olacaqsınız (bu, irəliləyişin iki şərti və ya müəyyən sayda onların cəmi ola bilər) ) və dərhal cavab alın. Buna baxmayaraq, problemin həllinə bu cür yanaşma tələbənin inkişafı və ona tapşırılan tapşırığın mahiyyətini dərk etməsi baxımından səmərəsizdir.

Düsturlardan istifadə etmədən həll

Verilmiş düsturlardan heç birini istifadə etmədən birinci məsələni həll edək. Silsilənin elementləri verilsin: a6 = 3, a9 = 18. Arifmetik irəliləyişin fərqini tapın.

Məlum elementlər bir cərgədə bir-birinə yaxın dayanır. Ən böyüyü almaq üçün d fərqini ən kiçiyə neçə dəfə əlavə etmək lazımdır? Üç dəfə (ilk dəfə d əlavə etdikdə 7-ci elementi alırıq, ikinci dəfə - səkkizinci, nəhayət, üçüncü dəfə - doqquzuncu). 18-i əldə etmək üçün üç dəfəyə hansı rəqəmi əlavə etmək lazımdır? Bu beş nömrədir. Həqiqətən:

Beləliklə, naməlum fərq d = ​​5.

Əlbəttə ki, həll uyğun düsturdan istifadə etməklə həyata keçirilə bilərdi, lakin bu, qəsdən edilməmişdir. Problemin həllinin ətraflı izahı aydın və aydın olmalıdır parlaq bir nümunədir Arifmetik irəliləyiş nədir?

Əvvəlki birinə bənzər bir tapşırıq

İndi oxşar problemi həll edək, lakin giriş məlumatlarını dəyişdirək. Beləliklə, a3 = 2, a9 = 19 olduğunu tapmalısınız.

Əlbəttə ki, yenidən "baş-üstə" həll üsuluna müraciət edə bilərsiniz. Ancaq bir-birindən nisbətən uzaq olan seriyanın elementləri verildiyi üçün bu üsul tamamilə rahat olmayacaq. Ancaq ortaya çıxan düsturdan istifadə bizi tez bir zamanda cavaba aparacaq:

d = (a 9 - a 3) / (9 - 3) = (19 - 2) / (6) = 17 / 6 ≈ 2.83

Burada son rəqəmi yuvarlaqlaşdırdıq. Bu yuvarlaqlaşdırmanın nə dərəcədə xətaya səbəb olduğunu nəticəni yoxlamaqla qiymətləndirmək olar:

a 9 = a 3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 = 18,98

Bu nəticə şərtdə verilən dəyərdən cəmi 0,1% fərqlənir. Buna görə də, yüzdə biri qədər istifadə olunan yuvarlaqlaşdırma uğurlu seçim hesab edilə bilər.

Termin formulunun tətbiqi ilə bağlı problemlər

Naməlum d-ni təyin etmək üçün məsələnin klassik nümunəsini nəzərdən keçirək: a1 = 12, a5 = 40 olarsa, arifmetik irəliləyişin fərqini tapın.

Naməlum cəbri ardıcıllığın iki ədədi verildikdə və onlardan biri a 1 elementi olduqda, o zaman çox düşünmək lazım deyil, dərhal a n termini üçün düstur tətbiq etməlisiniz. Bu vəziyyətdə bizdə:

a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

Bölmə zamanı dəqiq rəqəm aldıq, buna görə də əvvəlki paraqrafda edildiyi kimi hesablanmış nəticənin düzgünlüyünü yoxlamağın mənası yoxdur.

Başqa bir oxşar məsələni həll edək: a1 = 16, a8 = 37 olarsa, arifmetik irəliləyişin fərqini tapmalıyıq.

Əvvəlki birinə bənzər bir yanaşma istifadə edirik və əldə edirik:

a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

Arifmetik irəliləyiş haqqında başqa nə bilməlisiniz?

Naməlum fərqin və ya ayrı-ayrı elementlərin tapılması məsələlərinə əlavə olaraq, çox vaxt ardıcıllığın ilk üzvlərinin cəminə aid məsələləri həll etmək lazımdır. Bu vəzifələrin nəzərdən keçirilməsi məqalənin əhatə dairəsi xaricindədir, lakin təqdim etdiyimiz məlumatların tamlığı üçün ümumi formula bir sıradakı n ədədin cəmi üçün:

∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2

Məsələn, ardıcıllıq \(2\); \(5\); \(8\); \(11\); \(14\)... arifmetik irəliləyişdir, çünki hər bir sonrakı element əvvəlkindən üç ilə fərqlənir (əvvəlki elementdən üç əlavə etməklə əldə etmək olar):

Bu irəliləyişdə \(d\) fərqi müsbətdir (\(3\)-ə bərabərdir) və buna görə də hər növbəti termin əvvəlkindən böyükdür. Belə irəliləyişlər deyilir artır.

Bununla belə, \(d\) də ola bilər mənfi rəqəm. Məsələn, arifmetik irəliləyişdə \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... irəliləmə fərqi \(d\) mənfi altıya bərabərdir.

Və bu halda, hər bir növbəti element əvvəlkindən daha kiçik olacaq. Bu irəliləyişlər adlanır azalan.

Arifmetik irəliləmə qeydi

Tərəqqi kiçik Latın hərfi ilə göstərilir.

Proqressiya əmələ gətirən ədədlər adlanır üzvləri(və ya elementlər).

Onlar arifmetik irəliləyişlə eyni hərflə, lakin ardıcıllıqla elementin sayına bərabər ədədi indekslə işarələnirlər.

Məsələn, arifmetik irəliləmə \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) elementlərindən ibarətdir \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) və s.

Başqa sözlə, irəliləmə üçün \(a_n = \sol\(2; 5; 8; 11; 14…\sağ\)\)

Arifmetik irəliləyiş məsələlərinin həlli

Prinsipcə, yuxarıda təqdim olunan məlumat demək olar ki, hər hansı arifmetik irəliləyiş problemini həll etmək üçün kifayətdir (OGE-də təklif olunanlar da daxil olmaqla).

Nümunə (OGE). Arifmetik irəliləyiş \(b_1=7; d=4\) şərtləri ilə müəyyən edilir. \(b_5\) tapın.
Nümunə 1. 4;7;... arifmetik irəliləyişin qırxıncı həddi tapın.

Cavab: \(b_5=23\)

Nümunə (OGE). Arifmetik proqresiyanın ilk üç üzvü verilmişdir: \(62; 49; 36...\) Bu irəliləyişin birinci mənfi üzvünün qiymətini tapın.
Nümunə 1. 4;7;... arifmetik irəliləyişin qırxıncı həddi tapın.

Cavab: \(-3\)

Nümunə (OGE). Arifmetik proqresiyanın bir neçə ardıcıl elementi verilmişdir: \(…5; x; 10; 12.5...\) \(x\) hərfi ilə təyin olunan elementin qiymətini tapın.
Nümunə 1. 4;7;... arifmetik irəliləyişin qırxıncı həddi tapın.

Cavab: \(7,5\).

Nümunə (OGE). Arifmetik irəliləyiş aşağıdakı şərtlərlə müəyyən edilir: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Bu irəliləyişin ilk altı üzvünün cəmini tapın.
Nümunə 1. 4;7;... arifmetik irəliləyişin qırxıncı həddi tapın.

Cavab: \(S_6=9\).

Nümunə (OGE). Arifmetik irəliləyişdə \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Bu irəliləyişin fərqini tapın.
Nümunə 1. 4;7;... arifmetik irəliləyişin qırxıncı həddi tapın.

Cavab: \(d=7\).

Arifmetik irəliləyiş üçün vacib düsturlar

Gördüyünüz kimi, arifmetik irəliləyişlə bağlı bir çox problemi sadəcə əsas şeyi başa düşməklə həll etmək olar - arifmetik irəliləyiş ədədlər zənciridir və bu zəncirdəki hər bir sonrakı element əvvəlki birinə eyni ədədi əlavə etməklə əldə edilir. irəliləmə fərqi).

Ancaq bəzən "baş-başa" qərar vermək çox əlverişsiz olan vəziyyətlər var. Məsələn, təsəvvür edin ki, ilk misalda biz beşinci elementi \(b_5\) deyil, üç yüz səksən altıncı \(b_(386)\) tapmalıyıq. Dörd \(385\) dəfə əlavə etməliyik? Və ya təsəvvür edin ki, sondan əvvəlki nümunədə ilk yetmiş üç elementin cəmini tapmaq lazımdır. Saymaqdan yorulacaqsan...

Buna görə də, belə hallarda onlar hər şeyi "baş-başa" həll etmirlər, arifmetik irəliləyiş üçün əldə edilən xüsusi düsturlardan istifadə edirlər. Əsas olanlar isə irəliləyişin n-ci həddi üçün düstur və \(n\) birinci hədlərin cəminin düsturudur.

\(n\)-ci həddinin düsturu: \(a_n=a_1+(n-1)d\), burada \(a_1\) irəliləyişin birinci üzvüdür;
\(n\) – tələb olunan elementin sayı;
\(a_n\) – \(n\) rəqəmi ilə irəliləyişin müddəti.

Bu düstur bizə irəliləyişin yalnız birincisini və fərqini bilməklə hətta üç yüz və ya milyonuncu elementi də tez tapmağa imkan verir.

Misal. Arifmetik irəliləyiş şərtlərlə müəyyən edilir: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). \(b_(246)\) tapın.
Nümunə 1. 4;7;... arifmetik irəliləyişin qırxıncı həddi tapın.

Cavab: \(b_(246)=1850\).

İlk n şərtin cəmi üçün düstur: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), burada

\(a_n\) – son cəmlənmiş termin;

Nümunə (OGE). Arifmetik irəliləyiş \(a_n=3.4n-0.6\) şərtləri ilə müəyyən edilir. Bu irəliləyişin ilk \(25\) şərtlərinin cəmini tapın.
Nümunə 1. 4;7;... arifmetik irəliləyişin qırxıncı həddi tapın.

Cavab: \(S_(25)=1090\).

Birinci şərtlərin \(n\) cəmi üçün başqa düstur əldə edə bilərsiniz: sadəcə \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) əvəzinə \(a_n\) düsturu ilə əvəz edin \(a_n=a_1+(n-1)d\). Biz əldə edirik:

İlk n şərtin cəmi üçün düstur: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), burada

\(S_n\) – \(n\) birinci elementlərin tələb olunan cəmi;
\(a_1\) – ilk cəmlənmiş şərt;
\(d\) – irəliləyiş fərqi;
\(n\) – cəmdəki elementlərin sayı.

Misal. Arifmetik irəliləyişin ilk \(33\)-ex hədlərinin cəmini tapın: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Nümunə 1. 4;7;... arifmetik irəliləyişin qırxıncı həddi tapın.

Cavab: \(S_(33)=-231\).

Daha mürəkkəb arifmetik irəliləyiş məsələləri

İndi sizdə hər şey var zəruri məlumatlar demək olar ki, hər hansı arifmetik irəliləyiş problemini həll etmək üçün. Gəlin mövzunu təkcə düsturları tətbiq etmək deyil, həm də bir az düşünmək lazım olan problemləri nəzərdən keçirərək bitirək (riyaziyyatda bu faydalı ola bilər ☺)

Nümunə (OGE). Proqresiyanın bütün mənfi şərtlərinin cəmini tapın: \(-19.3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Nümunə 1. 4;7;... arifmetik irəliləyişin qırxıncı həddi tapın.

Cavab: \(S_(65)=-630,5\).

Nümunə (OGE). Arifmetik irəliləmə şərtlərlə müəyyən edilir: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). \(26\)-ci elementdən \(42\) elementi daxil olmaqla cəmini tapın.
Nümunə 1. 4;7;... arifmetik irəliləyişin qırxıncı həddi tapın.

Cavab: \(S=1683\).

Arifmetik irəliləyiş üçün praktiki faydalılığı az olduğuna görə bu məqalədə nəzərdən keçirmədiyimiz daha bir neçə düstur var. Bununla belə, onları asanlıqla tapa bilərsiniz.