Bərabərsizliklər sistemi nümunələri. Bərabərsizliklər sistemləri

Həmçinin bax: Xətti proqramlaşdırma məsələsinin qrafik şəkildə həlli, Xətti proqramlaşdırma məsələlərinin kanonik forması

Belə bir problem üçün məhdudiyyətlər sistemi iki dəyişəndəki bərabərsizliklərdən ibarətdir:
məqsəd funksiyası isə formaya malikdir F = C 1 x + C 2 y hansını maksimuma çatdırmaq lazımdır.

Gəlin suala cavab verək: hansı cüt nömrələr ( x; y) bərabərsizliklər sisteminin həlləri, yəni bərabərsizliklərin hər birini eyni vaxtda ödəyirmi? Başqa sözlə, sistemi qrafik şəkildə həll etmək nə deməkdir?
Əvvəlcə iki naməlumlu bir xətti bərabərsizliyin həllinin nə olduğunu başa düşməlisiniz.
İki naməlum olan xətti bərabərsizliyin həlli bərabərsizliyin mövcud olduğu bütün naməlum qiymət cütlərini təyin etmək deməkdir.
Məsələn, bərabərsizlik 3 x – 5y≥ 42 cütləri təmin edir ( x , y): (100, 2); (3, –10) və s. Tapşırıq bütün belə cütləri tapmaqdır.
İki bərabərsizliyi nəzərdən keçirək: balta + tərəfindən≤ c, balta + tərəfindən≥ c. Düz balta + tərəfindən = c müstəvini iki yarım müstəviyə bölür ki, onlardan birinin nöqtələrinin koordinatları bərabərsizliyi təmin etsin. balta + tərəfindən >c, və digər bərabərsizlik balta + +tərəfindən <c.
Həqiqətən, gəlin koordinatı olan bir nöqtəni götürək x = x 0 ; sonra xətt üzərində uzanan və absisi olan nöqtə x 0, ordinata malikdir

Qoy əminlik üçün a< 0, b>0, c>0. Absis ilə bütün nöqtələr x 0 yuxarıda uzanır P(məsələn, nöqtə M), var y M>y 0 və nöqtənin altındakı bütün nöqtələr P, absis ilə x 0, var y N<y 0 . ildən x 0 ixtiyari bir nöqtədir, o zaman xəttin bir tərəfində həmişə nöqtələr olacaqdır balta+ tərəfindən > c, yarım müstəvi təşkil edir və digər tərəfdən - bunun üçün nöqtələr balta + tərəfindən< c.

Şəkil 1

Yarım müstəvidə bərabərsizlik işarəsi ədədlərdən asılıdır a, b , c.
Bu, sistemlərin qrafik həllinin aşağıdakı metoduna gətirib çıxarır xətti bərabərsizliklər iki dəyişəndən. Sistemi həll etmək üçün sizə lazımdır:

Hər bərabərsizlik üçün bu bərabərsizliyə uyğun tənliyi yazın.
Tənliklərlə müəyyən edilmiş funksiyaların qrafikləri olan düz xətlər qurun.
Hər bir xətt üçün bərabərsizliklə verilən yarım müstəvini təyin edin. Bunu etmək üçün xətt üzərində olmayan ixtiyari bir nöqtə götürün və onun koordinatlarını bərabərsizliyə əvəz edin. bərabərsizlik doğrudursa, seçilmiş nöqtəni ehtiva edən yarımmüstəvi orijinal bərabərsizliyin həllidir. Əgər bərabərsizlik yanlışdırsa, onda xəttin digər tərəfindəki yarım müstəvi bu bərabərsizliyin həlli çoxluğudur.
Bərabərsizliklər sistemini həll etmək üçün sistemin hər bir bərabərsizliyinin həlli olan bütün yarım müstəvilərin kəsişmə sahəsini tapmaq lazımdır.

Bu sahə boş ola bilər, onda bərabərsizliklər sisteminin həlli yoxdur və uyğunsuzdur. Əks halda sistemin ardıcıl olduğu deyilir.
Sonlu sayda və ya sonsuz sayda həll yolu ola bilər. Sahə qapalı çoxbucaqlı və ya sərhədsiz ola bilər.

Gəlin üç müvafiq nümunəyə baxaq.

Nümunə 1. Sistemi qrafik şəkildə həll edin:
x + y – 1 ≤ 0;
–2x - 2y + 5 ≤ 0.

bərabərsizliklərə uyğun olan x+y–1=0 və –2x–2y+5=0 tənliklərini nəzərdən keçirin;
Bu tənliklərin verdiyi düz xətləri quraq.

Şəkil 2

Bərabərsizliklərlə təyin olunan yarımmüstəviləri təyin edək. İxtiyari bir nöqtə götürək, qoy (0; 0). Gəlin nəzərdən keçirək x+ y– 1 0, (0; 0) nöqtəsini əvəz edin: 0 + 0 – 1 ≤ 0. Bu o deməkdir ki, (0; 0) nöqtəsinin yerləşdiyi yarımmüstəvidə, x + y – 1 ≤ 0, yəni. xəttin altında yerləşən yarımmüstəvi birinci bərabərsizliyin həllidir. Bu nöqtəni (0; 0) ikinci ilə əvəz edərək, alırıq: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, yəni. (0; 0) nöqtəsinin yerləşdiyi yarımmüstəvidə, –2 x – 2y+ 5≥ 0 və bizdən harada –2 soruşdular x – 2y+ 5 ≤ 0, buna görə də, digər yarımmüstəvidə - düz xəttin üstündəki birində.
Bu iki yarım müstəvinin kəsişməsini tapaq. Xətlər paraleldir, ona görə də müstəvilər heç bir yerdə kəsişmir, bu o deməkdir ki, bu bərabərsizliklər sisteminin həlli yoxdur və uyğunsuzdur.

Misal 2. Bərabərsizliklər sisteminin qrafik həllərini tapın:

Şəkil 3
1. Bərabərsizliklərə uyğun tənlikləri yazaq və düz xətlər quraq.
x + 2y– 2 = 0

x	2	0
y	0	1

y – x – 1 = 0

x	0	2
y	1	3

y + 2 = 0;
y = –2.
2. (0; 0) nöqtəsini seçərək yarımmüstəvilərdə bərabərsizliklərin əlamətlərini təyin edirik:
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0, yəni. x + 2y– düz xəttin altındakı yarımmüstəvidə 2 ≤ 0;
0 – 0 – 1 ≤ 0, yəni. y –x– düz xəttin altındakı yarımmüstəvidə 1 ≤ 0;
0 + 2 =2 ≥ 0, yəni. y Düz xəttin üstündəki yarım müstəvidə + 2 ≥ 0.
3. Bu üç yarımmüstəvilərin kəsişməsi üçbucaq olan bir sahə olacaqdır. Bölgənin təpələrini müvafiq xətlərin kəsişmə nöqtələri kimi tapmaq çətin deyil

Beləliklə, A(–3; –2), IN(0; 1), İLƏ(6; –2).

Sistemin nəticədə həll sahəsinin məhdud olmadığı başqa bir nümunəyə baxaq.

Bu məqalə bərabərsizliklər sistemləri haqqında ilkin məlumat verir. Burada bərabərsizliklər sisteminin tərifi və bərabərsizliklər sisteminin həllinin tərifi verilmişdir. Məktəbdə cəbr dərslərində ən çox işləməli olan əsas sistem növləri də sadalanır və nümunələr verilir.

Səhifə naviqasiyası.

Bərabərsizliklər sistemi nədir?

Bərabərsizlik sistemlərini, tənliklər sisteminin tərifini təqdim etdiyimiz kimi, yəni qeyd növünə və ona daxil edilmiş mənaya görə təyin etmək rahatdır.

Tərif.

Bərabərsizliklər sistemi solda əyri mötərizə ilə birləşdirilən və bir-birinin altında yazılmış müəyyən sayda bərabərsizlikləri təmsil edən və sistemin hər bir bərabərsizliyinin eyni vaxtda həlli olan bütün həllər çoxluğunu ifadə edən qeyddir.

Gəlin bərabərsizliklər sisteminə misal verək. İki ixtiyari olanı götürək, məsələn, 2 x−3>0 və 5−x≥4 x−11, birini digərinin altına yazın.
2 x−3>0 ,
5−x≥4 x−11
və sistem işarəsi ilə birləşin - buruq mötərizə, nəticədə aşağıdakı formada bərabərsizliklər sistemi əldə edirik:

Məktəb dərsliklərində bərabərsizliklər sistemləri haqqında da oxşar fikir verilir. Onların təriflərinin daha dar verildiyini qeyd etmək lazımdır: bir dəyişənli bərabərsizliklər üçün və ya iki dəyişən ilə.

Bərabərsizlik sistemlərinin əsas növləri

Aydındır ki, sonsuz sayda müxtəlif bərabərsizliklər sistemi yaratmaq mümkündür. Bu müxtəliflikdə itməmək üçün onları özlərinə məxsus qruplarda nəzərdən keçirmək məsləhətdir fərqləndirici xüsusiyyətlər. Bütün bərabərsizliklər sistemlərini aşağıdakı meyarlara görə qruplara bölmək olar:

sistemdəki bərabərsizliklərin sayına görə;
qeyddə iştirak edən dəyişənlərin sayına görə;
bərabərsizliklərin növünə görə.

Qeydə daxil edilən bərabərsizliklərin sayına əsasən iki, üç, dörd və s. sistemlər fərqləndirilir. bərabərsizliklər Əvvəlki paraqrafda iki bərabərsizlik sistemi olan bir sistem nümunəsi verdik. Dörd bərabərsizlik sisteminin başqa bir nümunəsini göstərək .

Ayrı-ayrılıqda deyəcəyik ki, bu halda təkcə bərabərsizlik sistemindən danışmağın mənası yoxdur, mahiyyət etibarı ilə biz sistemdən deyil, bərabərsizliyin özündən danışırıq;

Dəyişənlərin sayına baxsanız, onda bir, iki, üç və s olan bərabərsizliklər sistemləri var. dəyişənlər (yaxud da dedikləri kimi naməlumlar). Yuxarıda iki paraqrafda yazılmış sonuncu bərabərsizlik sisteminə baxın. Bu, üç dəyişəni x, y və z olan bir sistemdir. Nəzərə alın ki, onun ilk iki bərabərsizliyi hər üç dəyişəni deyil, onlardan yalnız birini ehtiva edir. Bu sistemin kontekstində onlar müvafiq olaraq x+0·y+0·z≥−2 və 0·x+y+0·z≤5 formalı üç dəyişəni olan bərabərsizliklər kimi başa düşülməlidir. Qeyd edək ki, məktəb bir dəyişənli bərabərsizliklərə diqqət yetirir.

Qeyd sistemlərində hansı növ bərabərsizliklərin iştirak etdiyini müzakirə etmək qalır. Məktəbdə onlar əsasən bir və ya iki dəyişəni olan iki bərabərsizlik (daha az - üç, hətta daha az - dörd və ya daha çox) sistemini nəzərdən keçirirlər və bərabərsizliklərin özləri də adətən olur. bütün bərabərsizliklər birinci və ya ikinci dərəcə (daha az tez-tez - daha yüksək dərəcələr və ya fraksiya baxımından rasional). Ancaq Vahid Dövlət İmtahanına hazırlıq materiallarınızda irrasional, loqarifmik, eksponensial və digər bərabərsizlikləri ehtiva edən bərabərsizlik sistemləri ilə rastlaşsanız, təəccüblənməyin. Nümunə olaraq bərabərsizliklər sistemini veririk , ondan götürülüb.

Bərabərsizliklər sisteminin həlli nədir?

Bərabərsizlik sistemləri ilə əlaqəli başqa bir tərifi - bərabərsizliklər sisteminin həllinin tərifini təqdim edək:

Tərif.

Bir dəyişənli bərabərsizliklər sisteminin həlli sistemin hər bir bərabərsizliyini doğruya çevirən dəyişənin elə qiyməti adlanır, başqa sözlə, sistemin hər bir bərabərsizliyinin həllidir.

Bir misalla izah edək. Bir dəyişənli iki bərabərsizlik sistemi götürək. Gəlin x dəyişəninin qiymətini 8-ə bərabər götürək, bu, bizim bərabərsizliklər sistemimizin tərifinə görə həllidir, çünki onun sistemin bərabərsizliklərinə əvəz edilməsi iki düzgün ədədi bərabərsizlik 8>7 və 2−3·8≤0 verir. Əksinə, birlik sistemin həlli deyil, çünki onu x dəyişəni ilə əvəz etdikdə birinci bərabərsizlik 1>7 səhv ədədi bərabərsizliyə çevriləcək.

Eynilə, iki, üç və olan bərabərsizliklər sisteminə həllin tərifini təqdim etmək olar böyük rəqəm dəyişənlər:

Tərif.

İki, üç və s olan bərabərsizliklər sisteminin həlli. dəyişənlər cüt, üç və s. eyni zamanda sistemin hər bərabərsizliyinə həll olan, yəni sistemin hər bir bərabərsizliyini düzgün ədədi bərabərsizliyə çevirən bu dəyişənlərin qiymətləri.

Məsələn, x=1, y=2 və ya başqa qeyddə (1, 2) bir cüt qiymət iki dəyişəni olan bərabərsizliklər sisteminin həllidir, çünki 1+2<7 и 1−2<0 - верные числовые неравенства. А пара (3,5, 3) не является решением этой системы, так как второе неравенство при этих значениях переменных дает неверное числовое неравенство 3,5−3<0 .

Bərabərsizlik sistemlərinin həlli olmaya bilər, məhdud sayda həlli ola bilər və ya sonsuz sayda həlli ola bilər. İnsanlar tez-tez bərabərsizliklər sisteminin həlli yolları haqqında danışırlar. Bir sistemin həlli yoxdursa, onun həllərinin boş dəsti var. Sonlu sayda həll olduqda, həllər çoxluğu məhdud sayda elementləri ehtiva edir və sonsuz sayda həll olduqda, həllər çoxluğu sonsuz sayda elementdən ibarətdir.

Bəzi mənbələr, məsələn, Mordkoviçin dərsliklərində olduğu kimi, bərabərsizliklər sisteminin xüsusi və ümumi həllinin təriflərini təqdim edir. Altında bərabərsizliklər sisteminin özəl həlli onun tək bir qərarını başa düş. Öz növbəsində bərabərsizliklər sisteminin ümumi həlli- bütün bunlar onun şəxsi qərarlarıdır. Bununla belə, bu terminlər yalnız hansı həll yolu haqqında danışdığımızı xüsusi vurğulamaq lazım olduqda məna kəsb edir, lakin adətən bu, kontekstdən aydın olur, buna görə də daha tez-tez sadəcə “bərabərsizliklər sisteminin həlli” deyirlər.

Bu məqalədə təqdim olunan bərabərsizliklər sisteminin təriflərindən və onun həllərindən belə nəticə çıxır ki, bərabərsizliklər sisteminin həlli bu sistemin bütün bərabərsizliklərinin həlli dəstlərinin kəsişməsidir.

İstinadlar.

Cəbr: dərslik 8-ci sinif üçün. ümumi təhsil qurumlar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tərəfindən redaktə edilmişdir S. A. Telyakovski. - 16-cı nəşr. - M.: Təhsil, 2008. - 271 s. : xəstə. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Cəbr: 9-cu sinif: təhsil. ümumi təhsil üçün qurumlar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tərəfindən redaktə edilmişdir S. A. Telyakovski. - 16-cı nəşr. - M.: Təhsil, 2009. - 271 s. : xəstə. - ISBN 978-5-09-021134-5.
Mordkoviç A.G. Cəbr. 9-cu sinif. 2 saatda 1-ci hissə. Ümumi təhsil müəssisələrinin tələbələri üçün dərslik / A. G. Mordkoviç, P. V. Semenov. - 13-cü nəşr, silinib. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 s.: xəstə. ISBN 978-5-346-01752-3.
Mordkoviç A.G. Cəbr və riyazi analizin başlanğıcları. 11-ci sinif. 2 saatda 1-ci hissə. Ümumi təhsil müəssisələrinin tələbələri üçün dərslik (profil səviyyəsi) / A. G. Mordkoviç, P. V. Semenov. - 2-ci nəşr, silinib. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 s.: xəstə. ISBN 978-5-346-01027-2.
Vahid Dövlət İmtahanı-2013. Riyaziyyat: standart imtahan variantları: 30 variant / red. A. L. Semenova, I. V. Yaşçenko. – M.: “Milli Maarif” nəşriyyatı, 2012. – 192 s. – (USE-2013. FIPI - məktəb).

Bu yazıda abunəçilərimin başqa bir sualına cavab verirəm. Suallar müxtəlif yollarla gəlir. Onların heç də hamısı düzgün tərtib olunmayıb. Bəziləri isə elə tərtib olunub ki, müəllifin nə soruşmaq istədiyi dərhal anlaşılmır. Buna görə də, göndərilən çoxsaylı suallar arasından həqiqətən maraqlı olanları, belə “mirvariləri” seçməliyəm ki, cavab vermək təkcə həyəcanverici deyil, həm də digər oxucularım üçün faydalıdır. Və bu gün bu suallardan birinə cavab verirəm. Bərabərsizliklər sisteminin həllər toplusunu necə təsvir etmək olar?

Bu, həqiqətən yaxşı sualdır. Çünki riyaziyyatda məsələlərin qrafik həlli üsulu çox güclü üsuldur. İnsan elə qurulub ki, müxtəlif vizual materialların köməyi ilə məlumatı qavramaq onun üçün daha rahat olsun. Buna görə də, bu metodu mənimsəsəniz, inanın ki, həm Vahid Dövlət İmtahanından, xüsusən ikinci hissədən, digər imtahanlardan tapşırıqları həll edərkən, həm də optimallaşdırma məsələlərini həll edərkən və s. .

Beləliklə, budur. Bu suala necə cavab verə bilərik? Sadə başlayaq. Qoy bərabərsizliklər sistemi yalnız bir dəyişəndən ibarət olsun.

Nümunə 1. Bərabərsizliklər sisteminin həllər çoxluğunu çəkin:

Başlıq="QuickLaTeX.com tərəfindən göstərilmişdir">!}

Gəlin bu sistemi sadələşdirək. Bunun üçün birinci bərabərsizliyin hər iki tərəfinə 7 əlavə edin və bərabərsizliyin işarəsini dəyişmədən hər iki tərəfi 2-yə bölün, çünki 2 müsbət ədəddir. İkinci bərabərsizliyin hər iki tərəfinə 4 əlavə edirik, nəticədə aşağıdakı bərabərsizliklər sistemini əldə edirik:

Başlıq="QuickLaTeX.com tərəfindən göstərilmişdir">!}

Adətən belə bir problem bir ölçülü adlanır. Niyə? Bəli, çünki onun bir çox həllini təsvir etmək üçün kifayət qədər birbaşadır. Dəqiq desək, rəqəm xətti. Bu say xəttində 6 və 8 nöqtələrini qeyd edək. Aydındır ki, 8-ci nöqtə 6-cı nöqtədən daha sağda olacaq, çünki say xəttində daha böyük ədədlər kiçiklərin sağındadır. Bundan əlavə, 8-ci bənd kölgələnəcək, çünki birinci bərabərsizliyin qeydinə görə, onun həllinə daxil edilmişdir. Əksinə, 6-cı bənd kölgəsiz olacaq, çünki o, ikinci bərabərsizliyin həllinə daxil deyil:

İndi sistemin birinci bərabərsizliyinin tələb etdiyi kimi 8-dən az və ya ona bərabər olan dəyərlərin üstündə oxla, aşağıda isə 6-dan böyük olan dəyərləri qeyd edək. sistemin ikinci bərabərsizliyi:

Bərabərsizliklər sisteminin həllərinin say xəttinin harada yerləşdiyi sualına cavab vermək qalır. Birdəfəlik xatırlayın. Sistemin simvolu - buruq mötərizə - riyaziyyatda "Mən" bağlayıcısını əvəz edir. Yəni, düsturların dilini insan dilinə tərcümə edərək deyə bilərik ki, bizdən 6-dan böyük və 8-dən kiçik və ya bərabər olan dəyərləri göstərməyimiz tələb olunur. Yəni tələb olunan interval qeyd olunanların kəsişməsində yerləşir. intervallar:

Beləliklə, biz bərabərsizliklər sisteminin yalnız bir dəyişəni ehtiva etdiyi halda, say xəttində bərabərsizliklər sisteminin həllər çoxluğunu təsvir etdik. Bu kölgəli interval, sistemdə yazılmış bütün bərabərsizliklərin təmin edildiyi bütün dəyərləri ehtiva edir.

İndi daha mürəkkəb bir işə baxaq. Qoy sistemimizdə iki dəyişənli bərabərsizliklər və . Bu halda, belə bir sistemin həllərini təsvir etmək üçün yalnız düz xəttdən istifadə etmək mümkün olmayacaqdır. Biz bir ölçülü dünyadan kənara çıxır və ona başqa bir ölçü əlavə edirik. Burada bizə bütöv bir təyyarə lazımdır. Konkret bir nümunədən istifadə edərək vəziyyətə baxaq.

Beləliklə, müstəvidə düzbucaqlı koordinat sistemində iki dəyişənli verilmiş bərabərsizliklər sisteminin həllər çoxluğunu necə təsvir edə bilərik? Ən sadə şeydən başlayaq. Gəlin özümüzə sual edək ki, bu müstəvinin hansı bölgəsi bərabərsizliklə müəyyən edilir. Tənlik oxa perpendikulyar olan düz xətti təyin edir ÖKÜZ(0;0) nöqtəsi vasitəsilə. Yəni əslində bu düz xətt oxu ilə üst-üstə düşür OY. Yaxşı, biz 0-dan böyük və ya bərabər olan dəyərlərlə maraqlandığımız üçün düz xəttin sağında yerləşən bütün yarım müstəvi uyğun gəlir:

Üstəlik, oxda yerləşən bütün nöqtələr OY, bizim üçün də uyğundur, çünki bərabərsizlik ciddi deyil.

Üçüncü bərabərsizliyin koordinat müstəvisində hansı sahəni təyin etdiyini başa düşmək üçün funksiyanın qrafikini çəkmək lazımdır. Bu, başlanğıcdan və məsələn, (1;1) nöqtəsindən keçən düz xəttdir. Yəni, əslində, birinci koordinat rübünü təşkil edən bucağın bissektrisasını ehtiva edən düz xəttdir.

İndi sistemdəki üçüncü bərabərsizliyə baxaq və düşünək. Hansı sahəni tapmalıyıq? Baxaq: . Böyük və ya bərabər işarəsi. Yəni vəziyyət əvvəlki nümunədəki kimidir. Yalnız burada "daha çox" "daha çox sağa" deyil, "daha yüksək" deməkdir. Çünki OY- bu bizim şaquli oxumuzdur. Yəni, üçüncü bərabərsizliklə müstəvidə müəyyən edilən sahə xəttin üstündə və ya onun üzərində yerləşən nöqtələr çoxluğudur:

Birinci bərabərsizliklə sistem bir az daha az rahatdır. Amma biz üçüncü bərabərsizliyin müəyyən etdiyi sahəni müəyyən edə bildikdən sonra, məncə, artıq necə hərəkət edəcəyimiz bəlli oldu.

Bu bərabərsizliyi elə təqdim etmək lazımdır ki, yalnız solda dəyişən, sağda isə yalnız dəyişən olsun. Bunun üçün bərabərsizliyin işarəsini dəyişmədən bərabərsizliyin hər iki tərəfindən çıxın və hər iki tərəfi 2-yə bölün, çünki 2 müsbət ədəddir. Nəticədə aşağıdakı bərabərsizliyi əldə edirik:

Yalnız oxu kəsən koordinat müstəvisində düz xətt çəkmək qalır OY A(0;4) nöqtəsində və nöqtəsində düz xətt. Sonuncunu xətlərin tənliklərinin sağ tərəflərini bərabərləşdirməklə və tənliyi əldə etməklə öyrəndim. Bu tənlikdən kəsişmə nöqtəsinin koordinatı tapılır və koordinat, məncə, təxmin etdiniz, koordinata bərabərdir. Hələ də təxmin etməyənlər üçün bunun səbəbi bizdə kəsişən xətlərdən birinin tənliyinin olmasıdır: .

Bu düz xətti çəkən kimi dərhal istədiyimiz sahəni qeyd edə bilərik. Burada bərabərsizlik işarəsi “kiçik və ya bərabərdir”. Bu o deməkdir ki, istədiyiniz sahə aşağıda və ya birbaşa təsvir olunan düz xətt üzərində yerləşir:

Yaxşı, son sual. Sistemin hər üç bərabərsizliyini təmin edən istənilən bölgə haradadır? Aydındır ki, hər üç qeyd olunan ərazinin kəsişməsində yerləşir. Yenidən keçid! Unutmayın: riyaziyyatda sistem işarəsi kəsişmə deməkdir. Budur, bu sahə:

Yaxşı, son nümunə. Daha ümumi. İndi fərz edək ki, sistemdə nə bir dəyişən var, nə də iki, ancaq üç dəyişən!

Üç dəyişən olduğundan, belə bir bərabərsizliklər sisteminin həllər toplusunu təsvir etmək üçün əvvəlki nümunədə işlədiyimiz iki ölçüyə əlavə olaraq üçüncü ölçüyə ehtiyacımız olacaq. Yəni, təyyarədən kosmosa qalxırıq və üç ölçülü məkan koordinat sistemini təsvir edirik: X, Y Və Z. Hansı uzunluğa, enə və hündürlüyə uyğundur.

Bu koordinat sistemində tənliklə müəyyən edilmiş səthi təsvir etməklə başlayaq. Formada, bir müstəvidəki bir dairənin tənliyinə çox bənzəyir, dəyişən ilə yalnız bir daha çox termin əlavə olunur. Bunun radiusu 4 olan (1;3;2) nöqtəsində mərkəzi olan kürənin tənliyi olduğunu təxmin etmək asandır. Yəni radiusun özü 2-dir.

Sonra bir sual. Bəs bərabərsizliyin özü nəyi təyin edir? Bu sualdan çaşqın olanlar üçün aşağıdakı kimi əsaslandırmağı təklif edirəm. Düsturların dilini insan dilinə çevirərək deyə bilərik ki, radiusları 2-dən kiçik və ya ona bərabər olan (1;3;2) nöqtəsində mərkəzi olan bütün sferaları göstərmək tələb olunur. bu kürələr təsvir olunan sferanın içərisində yerləşəcək! Yəni əslində bu bərabərsizlik təsvir olunan sferanın bütün daxili bölgəsini müəyyən edir. İstəyirsinizsə, təsvir olunan kürə ilə məhdudlaşan bir top müəyyən edilir:

x+y+z=4 tənliyi ilə təyin olunan səth (0;0;4), (0;4;0) və (4;0;0) nöqtələrində koordinat oxlarını kəsən müstəvidir. Yaxşı, aydındır ki, bərabərlik işarəsinin sağındakı rəqəm nə qədər böyükdürsə, bu müstəvinin koordinat oxları ilə kəsişmə nöqtələri koordinat mərkəzindən bir o qədər uzaqda yerləşəcəkdir. Yəni, ikinci bərabərsizlik verilmiş müstəvidən “yuxarıda” yerləşən yarım fəzanı təyin edir. Adi "daha yüksək" terminindən istifadə edərək, oxlar boyunca koordinat dəyərlərini artırmaq istiqamətində daha da nəzərdə tuturam.

Bu müstəvi təsvir olunan kürə ilə kəsişir. Bu vəziyyətdə kəsişmə hissəsi bir dairədir. Hətta bu dairənin mərkəzinin koordinat sisteminin mərkəzindən hansı məsafədə yerləşdiyini hesablaya bilərsiniz. Yeri gəlmişkən, kim bunu necə edəcəyini təxmin edirsə, öz həll yollarınızı və cavablarınızı şərhlərdə yazın. Beləliklə, ilkin bərabərsizliklər sistemi koordinatların artması istiqamətində bu müstəvidən daha uzaqda yerləşən, lakin təsvir olunan sferada qapalı olan fəza bölgəsini təyin edir:

Bərabərsizliklər sisteminin neçə həlli təsvir edilmişdir. Sistemdə 3-dən çox dəyişən varsa (məsələn, 4), artıq həllər toplusunu aydın şəkildə təsvir etmək mümkün olmayacaq. Çünki bunun üçün 4 ölçülü koordinat sistemi lazımdır. Ancaq normal bir insan 4 qarşılıqlı perpendikulyar koordinat oxunun necə yerləşə biləcəyini təsəvvür edə bilmir. Baxmayaraq ki, bunu edə biləcəyini iddia edən bir dostum var və asanlıqla. Bilmirəm düz deyir, bəlkə də düz deyir. Ancaq yenə də normal insan təxəyyülü bunu etməyə imkan vermir.

Ümid edirəm bugünkü dərsi faydalı tapdınız. Onu nə qədər yaxşı başa düşdüyünü yoxlamaq üçün aşağıdakı ev tapşırığını yerinə yetirin.

Bərabərsizliklər sisteminin həllər toplusunu çəkin:

ql-right-eqno"> title=" QuickLaTeX.com tərəfindən göstərilmişdir">!}

Material Sergey Valerieviç tərəfindən hazırlanmışdır

Bu dərsdə biz bərabərsizliklər sistemlərini öyrənməyə başlayacağıq. Əvvəlcə xətti bərabərsizliklər sistemlərini nəzərdən keçirəcəyik. Dərsin əvvəlində bərabərsizlik sistemlərinin harada və niyə yarandığını nəzərdən keçirəcəyik. Sonra, bir sistemi həll etməyin nə demək olduğunu öyrənəcəyik və çoxluqların birləşməsini və kəsişməsini xatırlayacağıq. Sonda xətti bərabərsizliklər sistemlərinin konkret nümunələrini həll edəcəyik.

Mövzu: Pəhrizbərabərsizliklər və onların sistemləri

Dərs:Əsasanlayışlar, xətti bərabərsizliklər sistemlərinin həlli

İndiyə qədər fərdi bərabərsizlikləri həll etdik və bunlara interval metodunu tətbiq etdik; xətti bərabərsizliklər, həm kvadrat, həm də rasional. İndi bərabərsizliklər sistemlərinin həllinə keçək - əvvəlcə xətti sistemlər. Gəlin bərabərsizliklər sistemlərini nəzərdən keçirmək ehtiyacının haradan qaynaqlandığı bir nümunəyə baxaq.

Funksiya sahəsini tapın

Hər iki kvadrat kök mövcud olduqda funksiya mövcuddur, yəni.

Belə bir sistemi necə həll etmək olar? Həm birinci, həm də ikinci bərabərsizliyi təmin edən bütün x-ləri tapmaq lazımdır.

Birinci və ikinci bərabərsizliklərin həllər çoxluğunu öküz oxunda təsvir edək.

İki şüanın kəsişmə intervalı bizim həllimizdir.

Bərabərsizliklər sisteminin həllini təsvir edən bu üsul bəzən dam üsulu adlanır.

Sistemin həlli iki çoxluğun kəsişməsidir.

Bunu qrafik olaraq təsvir edək. Bizim kəsişən ixtiyari təbiətli A çoxluğu və ixtiyari təbiətli B çoxluğu var.

Tərif: İki A və B çoxluğunun kəsişməsi həm A, həm də B-yə daxil olan bütün elementlərdən ibarət üçüncü çoxluqdur.

Bərabərsizliklərin xətti sistemlərinin həllinin xüsusi nümunələrindən istifadə edərək, sistemə daxil olan fərdi bərabərsizliklərin həllər dəstlərinin kəsişmələrini necə tapmağı nəzərdən keçirək.

Bərabərsizliklər sistemini həll edin:

Cavab: (7; 10).

4. Sistemi həll edin

Sistemin ikinci bərabərsizliyi haradan yarana bilər? Məsələn, bərabərsizlikdən

Hər bir bərabərsizliyin həllini qrafik olaraq təyin edək və onların kəsişmə intervalını tapaq.

Beləliklə, əgər bərabərsizliklərdən birinin x-in istənilən qiymətini ödədiyi bir sistem varsa, o zaman onu aradan qaldırmaq olar.

Cavab: sistem ziddiyyətlidir.

İstənilən xətti bərabərsizliklər sisteminin həllinin azaldıla biləcəyi tipik dəstək problemlərini araşdırdıq.

Aşağıdakı sistemi nəzərdən keçirin.

Bəzən xətti sistem ikiqat bərabərsizliklə verilir.

Biz xətti bərabərsizliklər sistemlərinə baxdıq, onların haradan gəldiyini başa düşdük, bütün xətti sistemlərin endirilə biləcəyi standart sistemlərə baxdıq və bəzilərini həll etdik.

1. Mordkoviç A.G. və başqaları cəbr 9-cu sinif: Dərslik. Ümumi təhsil üçün Qurumlar.- 4-cü nəşr. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 s.: ill.

2. Mordkoviç A.G. və başqaları cəbr 9-cu sinif: Ümumi təhsil müəssisələrinin şagirdləri üçün problem kitabı / A. G. Mordkoviç, T. N. Mişustina və s. - 4-cü nəşr. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 s.: ill.

3. Makarychev Yu. Cəbr. 9-cu sinif: təhsil. ümumi təhsil tələbələri üçün. qurumlar / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. - 7-ci nəşr, rev. və əlavə - M.: Mnemosyne, 2008.

4. Alimov Ş.A., Kolyagin Yu.M., Sidorov Yu.V. Cəbr. 9-cu sinif. 16-cı nəşr. - M., 2011. - 287 s.

5. Mordkoviç A. G. Cəbr. 9-cu sinif. 2 saatda 1-ci hissə. Ümumi təhsil müəssisələrinin tələbələri üçün dərslik / A. G. Mordkoviç, P. V. Semenov. - 12-ci nəşr, silinib. - M.: 2010. - 224 s.: xəstə.

6. Cəbr. 9-cu sinif. 2 hissədə 2-ci hissə. Ümumi təhsil müəssisələrinin tələbələri üçün problem kitabı / A. G. Mordkoviç, L. A. Aleksandrova, T. N. Mişustina və başqaları; Ed. A. G. Mordkoviç. - 12-ci nəşr, rev. - M.: 2010.-223 s.: xəstə.

1. Təbiət Elmləri Portalı ().

2. 10-11-ci siniflərin informatika, riyaziyyat, rus dili fənləri üzrə qəbul imtahanlarına hazırlanması üçün elektron tədris-metodiki kompleks ().

4. “Tədris Texnologiyası” Təhsil Mərkəzi ().

5. Riyaziyyat üzrə College.ru bölməsi ().

1. Mordkoviç A.G. və başqaları cəbr 9-cu sinif: Ümumi təhsil müəssisələrinin şagirdləri üçün problem kitabı / A. G. Mordkoviç, T. N. Mişustina və s. - 4-cü nəşr. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 s.: ill. № 53; 54; 56; 57.

Hər kəs strukturunda tənliklərlə oxşar və fərqli xüsusiyyətlərə malik olan bərabərsizlikləri necə həll edəcəyini bilmir. Tənlik iki hissədən ibarət bir məşqdir, onların arasında bərabərlik işarəsi var və bərabərsizliyin hissələri arasında "çox" və ya "kiçik" işarəsi ola bilər. Beləliklə, müəyyən bərabərsizliyin həllini tapmazdan əvvəl başa düşməliyik ki, hər iki tərəfi hər hansı bir ifadə ilə çoxaltmaq lazımdırsa, ədədin işarəsini (müsbət və ya mənfi) nəzərə almağa dəyər. Bərabərsizliyi həll etmək üçün kvadratlaşdırma tələb olunarsa, eyni fakt nəzərə alınmalıdır, çünki kvadratlaşdırma vurma yolu ilə həyata keçirilir.

Bərabərsizliklər sistemini necə həll etmək olar

Bərabərsizliklər sistemlərini həll etmək adi bərabərsizliklərdən qat-qat çətindir. Konkret misallardan istifadə edərək 9-cu sinifdə bərabərsizliklərin necə həll olunacağına baxaq. Başa düşmək lazımdır ki, kvadrat bərabərsizlikləri (sistemləri) və ya hər hansı digər bərabərsizlik sistemini həll etməzdən əvvəl hər bir bərabərsizliyi ayrıca həll etmək, sonra onları müqayisə etmək lazımdır. Bərabərsizlik sisteminin həlli ya müsbət, ya da mənfi cavab olacaq (sistemin həlli var və ya həlli yoxdur).

Tapşırıq bir sıra bərabərsizlikləri həll etməkdir:

Hər bərabərsizliyi ayrıca həll edək

Bir sıra həlləri təsvir etdiyimiz bir sıra xətti qururuq

Çoxluq həllər çoxluqlarının birliyi olduğundan, say xəttindəki bu çoxluğun altı ən azı bir sətirlə çəkilməlidir.

Modulla bərabərsizliklərin həlli

Bu nümunə modul ilə bərabərsizliklərin necə həll olunacağını göstərəcəkdir. Beləliklə, bir tərifimiz var:

Bərabərsizliyi həll etməliyik:

Belə bərabərsizliyi həll etməzdən əvvəl moduldan (işarədən) xilas olmaq lazımdır.

Tərif məlumatlarına əsaslanaraq yazaq:

İndi sistemlərin hər birini ayrıca həll etməlisiniz.

Həll dəstlərini təsvir etdiyimiz bir ədəd xətti quraq.

Nəticədə, bir çox həlləri birləşdirən kolleksiyamız var.

Kvadrat bərabərsizliklərin həlli

Say xəttindən istifadə edərək kvadrat bərabərsizliklərin həlli nümunəsinə baxaq. Bizdə bərabərsizlik var:

Kvadrat üçhəmin qrafikinin parabola olduğunu bilirik. Parabolanın budaqlarının a>0 olduqda yuxarıya doğru yönəldiyini də bilirik.

x 2 -3x-4< 0

Vyeta teoremindən istifadə edərək x 1 = - 1 köklərini tapırıq; x 2 = 4

Parabolanı, daha doğrusu, onun eskizini çəkək.

Beləliklə, kvadrat üçbucağın qiymətlərinin – 1-dən 4-ə qədər olan intervalda 0-dan az olacağını öyrəndik.

Bir çox insanın g(x) kimi ikiqat bərabərsizlikləri həll edərkən sualları olur.< f(x) < q(x). Перед тем, как решать двойные неравенства, необходимо их раскладывать на простые, и каждое простое неравенство решать по отдельности. Например, разложив наш пример, получим в результате систему неравенств g(x) < f(x) и f(x) < q(x), которую следует и решать.

Əslində, bərabərsizliklərin həlli üçün bir neçə üsul var, buna görə də mürəkkəb bərabərsizlikləri həll etmək üçün qrafik metoddan istifadə edə bilərsiniz.

Kəsrə bərabərsizliklərin həlli

Fraksiyalı bərabərsizliklər daha diqqətli yanaşma tələb edir. Bu onunla bağlıdır ki, bəzi kəsr bərabərsizliklərinin həlli prosesində işarə dəyişə bilər. Kəsrə bərabərsizlikləri həll etməzdən əvvəl onları həll etmək üçün interval üsulundan istifadə olunduğunu bilmək lazımdır. Kəsr bərabərsizliyi elə təqdim edilməlidir ki, işarənin bir tərəfi kəsr rasional ifadəyə, digər tərəfi isə “- 0” olsun. Bərabərsizliyi bu şəkildə çevirərək, nəticədə f(x)/g(x) > ( alırıq.

İnterval üsulu ilə bərabərsizliklərin həlli

İnterval texnikası tam induksiya üsuluna əsaslanır, yəni bərabərsizliyin həllini tapmaq üçün bütün mümkün variantlardan keçmək lazımdır. Bu həll üsulu 8-ci sinif şagirdləri üçün lazım olmaya bilər, çünki onlar sadə tapşırıqlar olan 8-ci sinif bərabərsizliklərinin həllini bilməlidirlər. Ancaq köhnə siniflər üçün bu üsul əvəzolunmazdır, çünki fraksiya bərabərsizliklərini həll etməyə kömək edir. Bu texnikadan istifadə edərək bərabərsizliklərin həlli, 0-a çevrildiyi dəyərlər arasında işarəni qorumaq kimi davamlı bir funksiyanın belə bir xüsusiyyətinə əsaslanır.

Çoxhədlinin qrafikini quraq. Bu, 0 qiymətini 3 dəfə alan fasiləsiz funksiyadır, yəni polinomun kökləri olan x 1, x 2 və x 3 nöqtələrində f(x) 0-a bərabər olacaqdır. Bu nöqtələr arasındakı intervallarda funksiyanın işarəsi saxlanılır.

f(x)>0 bərabərsizliyini həll etmək üçün funksiyanın işarəsi lazım olduğundan qrafiki tərk edərək koordinat xəttinə keçirik.

x(x 1 ; x 2) və x(x 3 ;) üçün f(x)>0

f(x)x(- ; x 1) və x-də (x 2 ; x 3)

Qrafikdə f(x)f(x)>0 bərabərsizliklərinin həlli aydın şəkildə göstərilir (birinci bərabərsizliyin həlli mavi, ikincinin həlli isə qırmızı rəngdədir). Bir intervalda funksiyanın işarəsini təyin etmək üçün nöqtələrdən birində funksiyanın işarəsini bilmək kifayətdir. Bu texnika sol tərəfin faktorlara bölündüyü bərabərsizlikləri tez həll etməyə imkan verir, çünki belə bərabərsizliklərdə kökləri tapmaq olduqca asandır.