Bərabərsizliklər sistemi Tərkibində naməlum kəmiyyəti olan iki və ya daha çox bərabərsizliyin hər hansı çoxunu adlandırmaq adətdir.

Bu formula, məsələn, aşağıdakılarla aydın şəkildə təsvir edilmişdir bərabərsizliklər sistemləri:

Bərabərsizliklər sistemini həll edin - sistemin hər bir bərabərsizliyinin həyata keçirildiyi naməlum dəyişənin bütün qiymətlərini tapmaq və ya bunların mövcud olmadığını əsaslandırmaq deməkdir. .

Bu o deməkdir ki, hər bir fərd üçün sistem bərabərsizlikləri Naməlum dəyişəni hesablayırıq. Sonra, nəticədə alınan dəyərlərdən yalnız həm birinci, həm də ikinci bərabərsizliklər üçün doğru olanları seçir. Buna görə də seçilmiş dəyəri əvəz edərkən sistemin hər iki bərabərsizliyi düzgün olur.

Bir neçə bərabərsizliyin həllinə baxaq:

Bir cüt ədəd sətirini bir-birinin altına yerləşdirək; dəyəri yuxarıya qoyun x, bunun üçün ilk bərabərsizlik ( x> 1) doğru olur və aşağıda - dəyər X, ikinci bərabərsizliyin həlli olan ( X> 4).

haqqında məlumatları müqayisə edərək nömrə xətləri, hər ikisi üçün həll olduğunu unutmayın bərabərsizliklər olacaq X> 4. Cavab, X> 4.

Misal 2.

Birincinin hesablanması bərabərsizlik-3 alırıq X< -6, или x> 2, ikinci - X> -8 və ya X < 8. Затем делаем по аналогии с предыдущим примером. На верхнюю числовую прямую наносим все те значения X, birincisi həyata keçirilir bərabərsizlik sistemi, və aşağı rəqəm xəttinə qədər bütün bu dəyərlər X, bu zaman sistemin ikinci bərabərsizliyi həyata keçirilir.

Məlumatları müqayisə etsək, hər ikisini tapırıq bərabərsizliklər bütün dəyərlər üçün həyata keçiriləcək X, 2-dən 8-ə qədər yerləşdirilir. Dəyərlər dəsti X işarələmək ikiqat bərabərsizlik 2 < X< 8.

Misal 3. tapacağıq

Şagirdlərdən maksimum diqqət və əzm tələb edən mövzulardan biri də bərabərsizliklərin həllidir. Tənliklərə çox oxşar və eyni zamanda onlardan çox fərqlidir. Çünki onların həlli xüsusi yanaşma tələb edir.

Cavab tapmaq üçün lazım olacaq xüsusiyyətlər

Onların hamısı mövcud girişi ekvivalenti ilə əvəz etmək üçün istifadə olunur. Onların əksəriyyəti tənliklərdə olanlara bənzəyir. Amma fərqlər də var.

• ODZ-də müəyyən edilmiş funksiya və ya istənilən ədəd orijinal bərabərsizliyin hər iki tərəfinə əlavə edilə bilər.
• Eynilə, vurma mümkündür, ancaq müsbət bir funksiya və ya nömrə ilə.
• Bu hərəkət mənfi funksiya və ya rəqəmlə yerinə yetirilirsə, bərabərsizlik işarəsi əksi ilə əvəz edilməlidir.
• Mənfi olmayan funksiyalar müsbət gücə qaldırıla bilər.

Bəzən bərabərsizliklərin həlli kənar cavablar verən hərəkətlərlə müşayiət olunur. DL domenini və həllər dəstini müqayisə etməklə onları aradan qaldırmaq lazımdır.

Interval metodundan istifadə

Onun mahiyyəti bərabərsizliyi sağ tərəfdə sıfır olan bir tənliyə endirməkdir.

1. Dəyişənlərin icazə verilən dəyərlərinin, yəni ODZ-nin yerləşdiyi sahəni müəyyənləşdirin.
2. Sağ tərəfin sıfır olması üçün riyazi əməliyyatlardan istifadə edərək bərabərsizliyi çevirin.
3. Bərabərsizlik işarəsini “=” ilə əvəz edin və müvafiq tənliyi həll edin.
4. Rəqəmsal oxda həll zamanı əldə edilmiş bütün cavabları, həmçinin OD intervallarını qeyd edin. Ciddi bərabərsizlik halında, nöqtələr deşilmiş kimi çəkilməlidir. Bərabər bir işarə varsa, onlar rənglənməlidir.
5. ODZ nöqtələrindən alınan hər bir interval üzrə orijinal funksiyanın işarəsini və onu bölən cavabları təyin edin. Əgər nöqtədən keçərkən funksiyanın işarəsi dəyişməzsə, o zaman cavaba daxil edilir. Əks təqdirdə, istisna olunur.
6. ODZ üçün sərhəd nöqtələri əlavə olaraq yoxlanılmalıdır və yalnız bundan sonra cavaba daxil edilib-edilməməlidir.
7. Nəticə cavabı birləşdirilmiş çoxluqlar şəklində yazılmalıdır.

Bir az ikiqat bərabərsizliklər haqqında

Onlar eyni anda iki bərabərsizlik işarəsindən istifadə edirlər. Yəni bəzi funksiyalar eyni anda iki dəfə şərtlərlə məhdudlaşdırılır. Bu cür bərabərsizliklər orijinal hissələrə bölündükdə ikili sistem kimi həll edilir. Interval metodunda isə hər iki tənliyin həllindən alınan cavablar göstərilir.

Onları həll etmək üçün yuxarıda göstərilən xüsusiyyətlərdən istifadə etmək də icazəlidir. Onların köməyi ilə bərabərsizliyi sıfıra endirmək rahatdır.

Modulu olan bərabərsizliklər haqqında nə demək olar?

Bu halda bərabərsizliklərin həlli aşağıdakı xassələrdən istifadə edir və onlar “a”nın müsbət qiyməti üçün etibarlıdır.

Əgər “x” cəbri ifadə alırsa, onda aşağıdakı əvəzetmələr etibarlıdır:

• |x|< a на -a < х < a;
• |x| > a-dan x< -a или х >a.

Bərabərsizliklər ciddi deyilsə, düsturlar da düzgündür, yalnız onlarda böyük və ya kiçik işarəyə əlavə olaraq “=” görünür.

Bərabərsizliklər sistemi necə həll olunur?

Bu bilik belə bir tapşırıq verildiyi və ya ikiqat bərabərsizlik qeydinin olduğu və ya modulun qeyddə göründüyü hallarda tələb olunacaq. Belə bir vəziyyətdə həll qeyddəki bütün bərabərsizlikləri təmin edəcək dəyişənlərin dəyərləri olacaqdır. Əgər belə nömrələr yoxdursa, sistemin həlli yoxdur.

Bərabərsizliklər sisteminin həllinin həyata keçirildiyi plan:

• onların hər birini ayrıca həll etmək;
• ədəd oxundakı bütün intervalları təsvir etmək və onların kəsişmələrini müəyyən etmək;
• sistemin cavabını yazın, bu, ikinci abzasda baş verənlərin birləşməsindən ibarət olacaq.

Kəsr bərabərsizlikləri ilə nə etmək lazımdır?

Onları həll etmək bərabərsizlik əlamətinin dəyişdirilməsini tələb edə biləcəyi üçün planın bütün nöqtələrini çox diqqətlə və diqqətlə izləməlisiniz. Əks halda, əks cavab ala bilərsiniz.

Kəsrə bərabərsizliklərin həllində interval metodundan da istifadə edilir. Və fəaliyyət planı belə olacaq:

• Təsvir edilən xassələrdən istifadə edərək, kəsrə elə bir forma verin ki, işarənin sağında yalnız sıfır qalsın.
• Bərabərsizliyi “=” ilə əvəz edin və funksiyanın sıfıra bərabər olacağı nöqtələri təyin edin.
• Onları koordinat oxunda qeyd edin. Bu halda, məxrəcdə hesablamalar nəticəsində alınan rəqəmlər həmişə yumruqdan çıxarılacaqdır. Qalanların hamısı bərabərsizlik şərtinə əsaslanır.
• İşarənin sabitlik intervallarını təyin edin.
• Cavab olaraq ilkin bərabərsizlikdə işarəsi uyğun gələn intervalların birləşməsini yazın.

Bərabərsizlikdə irrasionallığın göründüyü vəziyyətlər

Başqa sözlə, qeyddə riyazi kök var. Məktəb cəbri kursunda tapşırıqların çoxu kvadrat kök üçün olduğundan, baxılacaq budur.

İrrasional bərabərsizliklərin həlli ilkin sistemə ekvivalent olan iki və ya üç sistem əldə etməkdən ibarətdir.

Orijinal bərabərsizlik	vəziyyət	ekvivalent sistem
√ n(x)< m(х)	m(x) 0-dan kiçik və ya ona bərabərdir	həllər yoxdur
	m(x) 0-dan böyük	n(x) 0-dan böyük və ya ona bərabərdir n(x)< (m(х)) 2
√ n(x) > m(x)		m(x) 0-dan böyük və ya ona bərabərdir n(x) > (m(x)) 2
		n(x) 0-dan böyük və ya ona bərabərdir m(x) 0-dan kiçik
√n(x) ≤ m(x)	m(x) 0-dan kiçik	həllər yoxdur
	m(x) 0-dan böyük və ya ona bərabərdir	n(x) 0-dan böyük və ya ona bərabərdir n(x) ≤ (m(x)) 2
√n(x) ≥ m(x)		m(x) 0-dan böyük və ya ona bərabərdir n(x) ≥ (m(x)) 2
		n(x) 0-dan böyük və ya ona bərabərdir m(x) 0-dan kiçik
√ n(x)< √ m(х)		n(x) 0-dan böyük və ya ona bərabərdir n(x) m(x)-dən kiçik
√n(x) * m(x)< 0		n(x) 0-dan böyük m(x) 0-dan kiçik
√n(x) * m(x) > 0		n(x) 0-dan böyük m(x) 0-dan böyük
√n(x) * m(x) ≤ 0		n(x) 0-dan böyük
		n(x) 0-a bərabərdir m(x) - hər hansı
√n(x) * m(x) ≥ 0		n(x) 0-dan böyük
		n(x) 0-a bərabərdir m(x) - hər hansı

Müxtəlif növ bərabərsizliklərin həlli nümunələri

Bərabərsizliklərin həlli ilə bağlı nəzəriyyəyə aydınlıq gətirmək üçün aşağıda misallar verilmişdir.

Birinci misal. 2x - 4 > 1 + x

Həll yolu: ADI-ni təyin etmək üçün sadəcə bərabərsizliyə diqqətlə baxmaq lazımdır. -dən əmələ gəlir xətti funksiyalar, buna görə də dəyişənin bütün dəyərləri üçün müəyyən edilmişdir.

İndi bərabərsizliyin hər iki tərəfindən (1 + x) çıxarmaq lazımdır. Belə çıxır: 2x - 4 - (1 + x) > 0. Mötərizələr açıldıqdan və oxşar həddlər verildikdən sonra bərabərsizlik aşağıdakı formanı alacaq: x - 5 > 0.

Onu sıfıra bərabər tutaraq, onun həllini tapmaq asandır: x = 5.

İndi 5 rəqəmi olan bu nöqtə koordinat şüasında qeyd edilməlidir. Sonra orijinal funksiyanın əlamətlərini yoxlayın. Mənfi sonsuzluqdan 5-ə qədər olan ilk intervalda 0 rəqəmini götürüb çevrilmələrdən sonra alınan bərabərsizliyə əvəz edə bilərsiniz. Hesablamalardan sonra -7 >0 çıxır. intervalın qövsünün altında mənfi işarəni imzalamalısınız.

5-dən sonsuzluğa qədər növbəti intervalda siz 6 rəqəmini seçə bilərsiniz. Onda məlum olur ki, 1 > 0. Qövsün altında “+” işarəsi var. Bu ikinci interval bərabərsizliyə cavab olacaq.

Cavab: x (5; ∞) intervalında yerləşir.

İkinci misal. İki tənlik sistemini həll etmək tələb olunur: 3x + 3 ≤ 2x + 1 və 3x - 2 ≤ 4x + 2.

Həll. Bu bərabərsizliklərin VA-sı da istənilən ədədlər bölgəsində yerləşir, çünki xətti funksiyalar verilir.

İkinci bərabərsizlik aşağıdakı tənliyin formasını alacaq: 3x - 2 - 4x - 2 = 0. Transformasiyadan sonra: -x - 4 =0. Bu, dəyişən üçün -4-ə bərabər dəyər yaradır.

Bu iki nömrəni intervalları təsvir edən oxda qeyd etmək lazımdır. Bərabərsizlik ciddi olmadığı üçün bütün nöqtələri kölgə salmaq lazımdır. Birinci interval mənfi sonsuzluqdan -4-ə qədərdir. -5 rəqəmi seçilsin. Birinci bərabərsizlik -3, ikincisi isə 1 qiymətini verəcək. Bu o deməkdir ki, bu interval cavaba daxil deyil.

İkinci interval -4 ilə -2 arasındadır. Siz -3 rəqəmini seçib onu hər iki bərabərsizliyə əvəz edə bilərsiniz. Birinci və ikincidə qiymət -1-dir. Bu o deməkdir ki, qövs altında “-”.

Son intervalda -2-dən sonsuzluğa qədər, ən çox ən yaxşı nömrə sıfırdır. Siz onu əvəz etməli və bərabərsizliklərin dəyərlərini tapmalısınız. Onlardan birincisi müsbət ədəd, ikincisi isə sıfır verir. Bu boşluq da cavabdan xaric edilməlidir.

Üç intervaldan yalnız biri bərabərsizliyin həllidir.

Cavab: x [-4-ə aiddir; -2].

Üçüncü misal. |1 - x| > 2 |x - 1|.

Həll. İlk addım funksiyaların itdiyi nöqtələri müəyyən etməkdir. Sol üçün bu rəqəm 2, sağ üçün - 1 olacaq. Onları şüa üzərində qeyd etmək və işarənin sabitlik intervallarını təyin etmək lazımdır.

Mənfi sonsuzluqdan 1-ə qədər olan birinci intervalda bərabərsizliyin sol tərəfindəki funksiya qəbul edilir müsbət dəyərlər, və sağdan - mənfi. Qövsün altında yan-yana iki “+” və “-” işarəsi yazmalısınız.

Növbəti interval 1-dən 2-ə qədərdir. Onda hər iki funksiya müsbət qiymətlər alır. Bu o deməkdir ki, qövsün altında iki müsbət cəhət var.

2-dən sonsuzluğa qədər üçüncü interval aşağıdakı nəticəni verəcəkdir: sol funksiya mənfi, sağ funksiya müsbətdir.

Yaranan əlamətləri nəzərə alaraq, bütün intervallar üçün bərabərsizlik dəyərlərini hesablamalısınız.

Birincisi aşağıdakı bərabərsizliyi yaradır: 2 - x > - 2 (x - 1). İkinci bərabərsizlikdə ikidən əvvəlki mənfi bu funksiyanın mənfi olması ilə bağlıdır.

Transformasiyadan sonra bərabərsizlik belə görünür: x > 0. Dərhal dəyişənin qiymətlərini verir. Yəni bu intervaldan yalnız 0-dan 1-ə qədər olan interval cavablandırılacaq.

İkincidə: 2 - x > 2 (x - 1). Çevrilmələr aşağıdakı bərabərsizliyi verəcək: -3x + 4 sıfırdan böyükdür. Onun sıfırı x = 4/3 olacaq. Bərabərsizlik işarəsini nəzərə alsaq, belə çıxır ki, x bu ədəddən kiçik olmalıdır. Bu o deməkdir ki, bu interval 1-dən 4/3-ə qədər olan intervala endirilir.

Sonuncu aşağıdakı bərabərsizliyi verir: - (2 - x) > 2 (x - 1). Onun çevrilməsi aşağıdakılara gətirib çıxarır: -x > 0. Yəni x sıfırdan kiçik olduqda tənlik doğrudur. Bu o deməkdir ki, tələb olunan intervalda bərabərsizlik həlləri təmin etmir.

İlk iki intervalda limit nömrəsi 1 oldu. Onu ayrıca yoxlamaq lazımdır. Yəni onu ilkin bərabərsizliklə əvəz edin. Belə çıxır: |2 - 1| > 2 |1 - 1|. Hesablama 1-in 0-dan böyük olduğunu göstərir. Bu doğru bəyanat, buna görə də biri cavaba daxil edilir.

Cavab: x (0; 4/3) intervalında yerləşir.

Bərabərsizliklər və bərabərsizliklər sistemləri orta məktəbdə cəbrin keçdiyi mövzulardan biridir. Çətinlik səviyyəsinə gəldikdə, bu, ən çətin deyil, çünki sadə qaydaları var (onlar haqqında bir az sonra). Bir qayda olaraq, məktəblilər bərabərsizlik sistemlərini asanlıqla həll etməyi öyrənirlər. Bu həm də ondan irəli gəlir ki, müəllimlər sadəcə olaraq bu mövzuda şagirdlərinə “məşq edir”. Və bunu etməyə kömək edə bilməzlər, çünki gələcəkdə digər riyazi kəmiyyətlərdən istifadə edərək öyrənilir və Vahid Dövlət İmtahanı və Vahid Dövlət İmtahanında da sınaqdan keçirilir. Məktəb dərsliklərində bərabərsizliklər və bərabərsizliklər sistemləri mövzusu çox təfərrüatlı şəkildə işıqlandırılır, ona görə də onu öyrənmək niyyətindəsinizsə, onlara müraciət etmək daha yaxşıdır. Bu məqalə yalnız daha böyük materialı ümumiləşdirir və bəzi çatışmazlıqlar ola bilər.

Bərabərsizliklər sistemi anlayışı

Elmi dilə müraciət etsək, “bərabərsizliklər sistemi” anlayışını müəyyən edə bilərik. Bu, bir neçə bərabərsizliyi təmsil edən riyazi modeldir. Bu model, əlbəttə ki, həll tələb edir və bu, tapşırıqda təklif olunan sistemin bütün bərabərsizlikləri üçün ümumi cavab olacaqdır (adətən bu, orada yazılır, məsələn: “4 x + 1 bərabərsizliklər sistemini həll edin > 2 və 30 - x > 6... "). Ancaq həllərin növlərinə və üsullarına keçməzdən əvvəl başqa bir şeyi başa düşməlisiniz.

Bərabərsizliklər sistemləri və tənliklər sistemləri

Təhsil prosesində yeni mövzuçox tez-tez anlaşılmazlıqlar yaranır. Bir tərəfdən hər şey aydındır və siz mümkün qədər tez tapşırıqların həllinə başlamaq istəyirsiniz, amma digər tərəfdən bəzi məqamlar “kölgədə” qalır və tam başa düşülmür. Həmçinin, artıq əldə edilmiş biliklərin bəzi elementləri yeniləri ilə iç-içə ola bilər. Bu “üst-üstə düşmə” nəticəsində tez-tez xətalar baş verir.

Buna görə də mövzumuzu təhlil etməyə başlamazdan əvvəl tənliklər və bərabərsizliklər və onların sistemləri arasındakı fərqləri xatırlamalıyıq. Bunun üçün bu riyazi anlayışların nəyi ifadə etdiyini bir daha izah etməliyik. Tənlik həmişə bərabərlikdir və o, həmişə nəyəsə bərabərdir (riyaziyyatda bu söz “=" işarəsi ilə işarələnir). Bərabərsizlik, bir dəyərin digərindən böyük və ya kiçik olduğu və ya onların eyni olmadığına dair bir ifadə ehtiva edən bir modeldir. Beləliklə, birinci halda bərabərlikdən, ikincidə isə adın özündən nə qədər açıq səslənsə də, ilkin məlumatların bərabərsizliyindən danışmaq yerinə düşər. Tənliklər və bərabərsizliklər sistemləri praktiki olaraq bir-birindən fərqlənmir və onların həlli üsulları eynidir. Yeganə fərq ondadır ki, birinci halda bərabərliklər, ikinci halda isə bərabərsizliklər istifadə olunur.

Bərabərsizliklərin növləri

İki növ bərabərsizlik var: ədədi və naməlum dəyişənli. Birinci növ bir-birinə bərabər olmayan təmin edilmiş kəmiyyətləri (rəqəmləri) təmsil edir, məsələn, 8 > 10. İkincisi naməlum dəyişəni ehtiva edən bərabərsizliklərdir (latın əlifbasının hərfi ilə işarələnir, əksər hallarda X). Bu dəyişəni tapmaq lazımdır. Onların sayından asılı olaraq riyazi model bir ilə bərabərsizlikləri (bir dəyişənli bərabərsizliklər sistemini təşkil edir) və ya bir neçə dəyişənli (bir neçə dəyişənli bərabərsizliklər sistemini təşkil edirlər) ayırır.

Son iki növ, tikinti dərəcəsinə və həllin mürəkkəblik səviyyəsinə görə sadə və mürəkkəb bölünür. Sadə olanlara xətti bərabərsizliklər də deyilir. Onlar da öz növbəsində sərt və qeyri-ciddi bölünürlər. Ciddi olanlar xüsusi olaraq "deyirlər" ki, bir kəmiyyət mütləq ya az, ya da çox olmalıdır, buna görə də bu, təmiz forma bərabərsizlik. Bir neçə misal göstərmək olar: 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5 və s. Qeyri-ciddi olanlara bərabərlik də daxildir. Yəni, bir qiymət digər qiymətdən böyük və ya ona bərabər ola bilər (“≥” işarəsi) və ya digər qiymətdən (“≤” işarəsi) kiçik və ya ona bərabər ola bilər. Hətta xətti bərabərsizliklərdə dəyişən nə kökdə, nə kvadratda, nə də heç bir şeyə bölünmür, buna görə də onlar “sadə” adlanır. Mürəkkəb olanlar tapmaq üçün daha çox riyaziyyat tələb edən naməlum dəyişənləri əhatə edir. Onlar tez-tez kvadratda, kubda və ya kök altında yerləşirlər, modul, loqarifmik, kəsr və s. . Ancaq bundan əvvəl onların xüsusiyyətləri haqqında bir neçə söz söyləmək lazımdır.

Bərabərsizliklərin xassələri

Bərabərsizliklərin xüsusiyyətlərinə aşağıdakılar daxildir:

1. Tərəflərin sırasını dəyişdirmək üçün əməliyyatdan istifadə edilərsə, bərabərsizlik işarəsi tərsinə çevrilir (məsələn, t 1 ≤ t 2, onda t 2 ≥ t 1).
2. Bərabərsizliyin hər iki tərəfi eyni ədədi özünə əlavə etməyə imkan verir (məsələn, t 1 ≤ t 2, onda t 1 + ədəd ≤ t 2 + ədəd).
3. Eyni istiqamətdə işarəsi olan iki və ya daha çox bərabərsizlik onların sol və sağ tərəflərini əlavə etməyə imkan verir (məsələn, əgər t 1 ≥ t 2, t 3 ≥ t 4, onda t 1 + t 3 ≥ t 2 + t 4) .
4. Bərabərsizliyin hər iki hissəsi eyni müsbət ədədə vurula və ya bölünə bilər (məsələn, t 1 ≤ t 2 və rəqəm ≤ 0 olarsa, onda · t 1 ≥ ədəd · t 2).
5. Müsbət şərtləri və eyni istiqamətdə işarəsi olan iki və ya daha çox bərabərsizlik özünü bir-birinə vurmağa imkan verir (məsələn, əgər t 1 ≤ t 2, t 3 ≤ t 4, t 1, t 2, t 3, t 4 ≥ 0 sonra t 1 · t 3 ≤ t 2 · t 4).
6. Bərabərsizliyin hər iki tərəfi eyni şeyə vurula və ya bölünə bilər mənfi rəqəm, lakin bu halda bərabərsizliyin işarəsi dəyişir (məsələn, t 1 ≤ t 2 və rəqəm ≤ 0 olarsa, onda · t 1 ≥ ədəd · t 2).
7. Bütün bərabərsizliklər keçid xassəsinə malikdir (məsələn, əgər t 1 ≤ t 2 və t 2 ≤ t 3, onda t 1 ≤ t 3).

İndi bərabərsizliklərlə bağlı nəzəriyyənin əsas prinsiplərini öyrəndikdən sonra birbaşa onların sistemlərinin həlli qaydalarının nəzərdən keçirilməsinə keçə bilərik.

Bərabərsizlik sistemlərinin həlli. Ümumi məlumat. Həll yolları

Yuxarıda qeyd edildiyi kimi, həll, verilən sistemin bütün bərabərsizlikləri üçün uyğun olan dəyişənin qiymətləridir. Bərabərsizlik sistemlərinin həlli son nəticədə bütün sistemin həllinə gətirib çıxaran və ya onun həlli olmadığını sübut edən riyazi əməliyyatların həyata keçirilməsidir. Bu halda dəyişənin boş ədədi çoxluğa aid olduğu deyilir (aşağıdakı kimi yazılır: dəyişəni bildirən hərf∈ (“aiddir” işarəsi) ø (“boş çoxluq” işarəsi), məsələn, x ∈ ø (oxu: “x” dəyişəni boş çoxluğa aiddir”). Bərabərsizliklər sistemlərinin həllinin bir neçə yolu var: qrafik, cəbri, əvəzetmə üsulu. Onların arasında onların da olduğunu qeyd etmək yerinə düşər riyazi modellər, bir neçə naməlum dəyişənə malikdir. Yalnız birinin olduğu halda, interval üsulu uyğun gəlir.

Qrafik üsul

Bir neçə naməlum kəmiyyətli (iki və yuxarıdan) bərabərsizliklər sistemini həll etməyə imkan verir. Bu üsul sayəsində xətti bərabərsizliklər sistemi kifayət qədər asan və tez həll oluna bilər, ona görə də ən çox yayılmış üsuldur. Bu onunla izah olunur ki, qrafikin çəkilməsi riyazi əməliyyatların yazılmasının həcmini azaldır. Qələmdən bir az ara vermək, hökmdarla qələm götürmək və çox iş görüləndə və bir az müxtəliflik istəyəndə onların köməyi ilə sonrakı hərəkətlərə başlamaq xüsusilə xoş olur. Lakin bu üsul bəzi insanların xoşuna gəlmir, çünki onlar tapşırıqdan qoparaq zehni fəaliyyətini rəsmə keçirməli olurlar. Ancaq bu çox təsirli bir üsuldur.

Qrafik metoddan istifadə edərək bərabərsizliklər sistemini həll etmək üçün hər bir bərabərsizliyin bütün şərtlərini onların sol tərəfinə köçürmək lazımdır. İşarələr tərsinə çevriləcək, sıfır sağda yazılmalı, sonra hər bərabərsizliyin ayrıca yazılması lazımdır. Nəticədə bərabərsizliklərdən funksiyalar alınacaq. Bundan sonra bir qələm və bir hökmdar çıxara bilərsiniz: indi əldə edilən hər bir funksiyanın qrafikini çəkmək lazımdır. Onların kəsişmə intervalında olacaq bütün ədədlər dəsti bərabərsizliklər sisteminin həlli olacaqdır.

Cəbri yol

İki naməlum dəyişəni olan bərabərsizliklər sistemini həll etməyə imkan verir. Həmçinin bərabərsizliklər eyni bərabərsizlik işarəsinə malik olmalıdır (yəni onlar ya yalnız “böyük” işarəsini, ya da “kiçik” işarəsini və s. ehtiva etməlidirlər) Məhdudiyyətlərinə baxmayaraq, bu üsul da daha mürəkkəbdir. İki mərhələdə tətbiq olunur.

Birincisi, naməlum dəyişənlərdən birindən xilas olmaq üçün hərəkətləri əhatə edir. Əvvəlcə onu seçməlisiniz, sonra bu dəyişənin qarşısında nömrələrin olub olmadığını yoxlayın. Əgər onlar yoxdursa (onda dəyişən tək hərf kimi görünəcək), onda biz heç nəyi dəyişmirik, əgər varsa (dəyişənin növü, məsələn, 5y və ya 12y olacaq), onda bunu etmək lazımdır. əmin olun ki, hər bir bərabərsizlikdə seçilmiş dəyişənin qarşısındakı ədəd eynidir. Bunun üçün bərabərsizliklərin hər bir şərtini ümumi əmsala vurmaq lazımdır, məsələn, birinci bərabərsizlikdə 3y, ikincidə 5y yazılıbsa, onda birinci bərabərsizliyin bütün şərtlərini 5-ə vurmaq lazımdır. , ikincisi isə 3. Nəticə müvafiq olaraq 15y və 15y-dir.

Həllin ikinci mərhələsi. Hər bir bərabərsizliyin sol tərəfini onların sağ tərəflərinə köçürmək, hər bir terminin işarəsini əks tərəfə dəyişdirmək və sağ tərəfə sıfır yazmaq lazımdır. Sonra əyləncəli hissə gəlir: bərabərsizlikləri əlavə edərkən seçilmiş dəyişəndən (başqa şəkildə “azalma” kimi tanınır) xilas olmaq. Bu, həll edilməli olan bir dəyişən ilə bərabərsizliklə nəticələnir. Bundan sonra, eyni şeyi, yalnız başqa bir naməlum dəyişən ilə etməlisiniz. Alınan nəticələr sistemin həlli olacaqdır.

Əvəzetmə üsulu

Yeni dəyişən təqdim etmək mümkün olarsa, bərabərsizliklər sistemini həll etməyə imkan verir. Tipik olaraq, bu üsul bərabərsizliyin bir üzvündə naməlum dəyişən dördüncü dərəcəyə qaldırıldıqda, digər termində isə kvadratlaşdırıldıqda istifadə olunur. Beləliklə, bu üsul sistemdəki bərabərsizliklərin dərəcəsini azaltmağa yönəldilmişdir. Nümunə bərabərsizliyi x 4 - x 2 - 1 ≤ 0 bu şəkildə həll edilir. Yeni dəyişən təqdim olunur, məsələn t. Onlar yazır: “Qoy t = x 2”, sonra model yeni formada yenidən yazılır. Bizim vəziyyətimizdə t 2 - t - 1 ≤0 alırıq. Bu bərabərsizliyi interval metodundan istifadə etməklə həll etmək lazımdır (bu barədə bir az sonra), sonra X dəyişəninə qayıtmaq, sonra digər bərabərsizliklə eyni şeyi etmək lazımdır. Alınan cavablar sistemin həlli olacaq.

İnterval üsulu

Bu, bərabərsizliklər sistemlərinin həllinin ən sadə yoludur və eyni zamanda universal və geniş yayılmışdır. Orta məktəblərdə və hətta ali məktəblərdə istifadə olunur. Onun mahiyyəti ondan ibarətdir ki, şagird dəftərdə çəkilmiş ədəd xəttində bərabərsizlik intervallarını axtarır (bu, qrafik deyil, sadəcə ədədlərdən ibarət adi xəttdir). Bərabərsizliklərin intervallarının kəsişdiyi yerdə sistemin həlli tapılır. Interval metodundan istifadə etmək üçün aşağıdakı addımları yerinə yetirməlisiniz:

1. Hər bərabərsizliyin bütün şərtləri işarəsi əks tərəfə dəyişməklə (sağda sıfır yazılır) sol tərəfə köçürülür.
2. Bərabərsizliklər ayrıca yazılır və onların hər birinin həlli müəyyən edilir.
3. Say xəttində bərabərsizliklərin kəsişmələri tapılır. Bu kəsişmələrdə yerləşən bütün nömrələr həll yolu olacaqdır.

Hansı üsuldan istifadə etməliyəm?

Aydındır ki, ən asan və ən rahat görünən, lakin tapşırıqların müəyyən bir üsul tələb etdiyi hallar var. Çox vaxt deyirlər ki, ya qrafikdən, ya da interval metodundan istifadə etməklə həll etmək lazımdır. Cəbri üsul və əvəzetmə çox nadir hallarda istifadə olunur və ya ümumiyyətlə istifadə edilmir, çünki onlar olduqca mürəkkəb və çaşdırıcıdır və bundan əlavə, onlar bərabərsizlikləri deyil, tənliklər sistemlərini həll etmək üçün daha çox istifadə olunur, buna görə də qrafiklər və intervallar çəkməyə müraciət etməlisiniz. Onlar aydınlıq gətirirlər ki, bu da riyazi əməliyyatların səmərəli və sürətli yerinə yetirilməsinə kömək edə bilməz.

Əgər bir şey alınmırsa

Cəbrdə müəyyən bir mövzu öyrənilərkən təbii olaraq onun başa düşülməsində problemlər yarana bilər. Bu da normaldır, çünki beynimiz elə qurulub ki, başa düşə bilməyəcək mürəkkəb material bir anda. Tez-tez bir paraqrafı yenidən oxumaq, müəllimdən kömək almaq və ya standart tapşırıqları həll etmək üçün məşq etmək lazımdır. Bizim vəziyyətimizdə, məsələn, belə görünürlər: "3 x + 1 ≥ 0 və 2 x - 1 > 3 bərabərsizliklər sistemini həll edin." Beləliklə, şəxsi istək, kənardan kömək və təcrübə istənilən mürəkkəb mövzunu başa düşməyə kömək edir.

Həlledici?

Həll kitabı da çox uyğundur, lakin ev tapşırığını kopyalamaq üçün deyil, özünə kömək etmək üçün. Onlarda həlləri olan bərabərsizliklər sistemlərini tapa bilərsiniz, onlara baxa bilərsiniz (şablon kimi), həll müəllifinin tapşırığın öhdəsindən necə gəldiyini dəqiq anlamağa çalışın və sonra özünüz də eyni şeyi etməyə çalışın.

nəticələr

Cəbr məktəbdə ən çətin fənlərdən biridir. Yaxşı, nə edə bilərsən? Riyaziyyat həmişə belə olub: bəziləri üçün asan, bəziləri üçün isə çətindir. Amma hər halda yadda saxlamaq lazımdır ki, ümumi təhsil proqramı elə qurulub ki, istənilən şagird onun öhdəsindən gələ bilsin. Bundan əlavə, çoxlu sayda köməkçiləri nəzərə almaq lazımdır. Onlardan bəziləri yuxarıda qeyd edilmişdir.

Eramızdan əvvəl V əsrdə qədim yunan filosofu Eleyalı Zenon məşhur aporiyalarını tərtib etdi, ən məşhuru "Axilles və Tısbağa" aporiyasıdır. Bu belə səslənir:

Tutaq ki, Axilles tısbağadan on dəfə tez qaçır və ondan min addım arxadadır. Bu məsafəni qaçmaq üçün Axillesə lazım olan müddət ərzində tısbağa eyni istiqamətdə yüz addım sürünəcək. Axilles yüz addım qaçanda, tısbağa daha on addım sürünür və s. Proses sonsuza qədər davam edəcək, Axilles heç vaxt tısbağaya yetişməyəcək.

Bu mülahizə bütün sonrakı nəsillər üçün məntiqi sarsıntıya çevrildi. Aristotel, Diogen, Kant, Hegel, Hilbert... Hamısı bu və ya digər şəkildə Zenon aporiyasını hesab edirdilər. Sarsıntı o qədər güclü idi ki, " ...müzakirələr bu günə qədər davam edir, elmi ictimaiyyət hələ də paradoksların mahiyyəti ilə bağlı ortaq fikrə gələ bilməyib...məsələnin öyrənilməsinə cəlb edilib. riyazi analiz, çoxluq nəzəriyyəsi, yeni fiziki və fəlsəfi yanaşmalar; onların heç biri problemin ümumi qəbul edilmiş həllinə çevrilmədi..."[Vikipediya, "Zenonun Aporiyası". Hər kəs aldandıqlarını başa düşür, amma aldatmağın nədən ibarət olduğunu heç kim başa düşmür.

Riyazi nöqteyi-nəzərdən Zenon öz aporiyasında kəmiyyətdən -ə keçidi aydın şəkildə nümayiş etdirdi. Bu keçid daimi olanlar əvəzinə tətbiqi nəzərdə tutur. Mən başa düşdüyüm kimi, dəyişən ölçü vahidlərindən istifadə üçün riyazi aparat ya hələ hazırlanmayıb, ya da Zenon aporiyasına tətbiq edilməyib. Adi məntiqimizi tətbiq etmək bizi tələyə salır. Biz təfəkkür ətalətinə görə qarşılıqlı dəyərə sabit zaman vahidlərini tətbiq edirik. Fiziki nöqteyi-nəzərdən bu, Axillesin tısbağaya yetişdiyi anda tamamilə dayanana qədər yavaşlamağa bənzəyir. Zaman dayanarsa, Axilles daha tısbağadan üstün ola bilməz.

Adi məntiqimizi tərsinə çevirsək, hər şey öz yerinə düşür. Axilles sabit sürətlə qaçır. Onun yolunun hər bir sonrakı seqmenti əvvəlkindən on dəfə qısadır. Müvafiq olaraq, onu aradan qaldırmaq üçün sərf olunan vaxt əvvəlkindən on dəfə azdır. Bu vəziyyətdə “sonsuzluq” anlayışını tətbiq etsək, “Axilles sonsuz sürətlə tısbağaya yetişəcək” demək düzgün olardı.

Bu məntiqi tələdən necə qaçmaq olar? Sabit zaman vahidlərində qalın və qarşılıqlı vahidlərə keçməyin. Zenon dilində bu belə görünür:

Axillesin min addım qaçması lazım olan müddətdə, tısbağa da eyni istiqamətdə yüz addım sürünəcək. Birinciyə bərabər gələn növbəti vaxt intervalında Axilles daha min addım qaçacaq, tısbağa isə yüz addım sürünəcək. İndi Axilles tısbağadan səkkiz yüz addım qabaqdadır.

Bu yanaşma heç bir məntiqi paradoks olmadan reallığı adekvat şəkildə təsvir edir. Amma bu problemin tam həlli deyil. Eynşteynin işıq sürətinin qarşısıalınmazlığı ilə bağlı ifadəsi Zenonun “Axilles və Tısbağa” aporiyasına çox bənzəyir. Biz hələ də bu problemi öyrənməli, yenidən düşünməli və həll etməliyik. Və həlli sonsuz sayda deyil, ölçü vahidlərində axtarmaq lazımdır.

Zenonun başqa bir maraqlı aporiyası uçan oxdan bəhs edir:

Uçan ox hərəkətsizdir, çünki zamanın hər anında dincəlmişdir və hər an istirahətdə olduğu üçün həmişə istirahətdədir.

Bu aporiyada məntiqi paradoks çox sadə şəkildə aradan qaldırılır - hər an uçan oxun kosmosun müxtəlif nöqtələrində sükunətdə olduğunu aydınlaşdırmaq kifayətdir ki, bu da əslində hərəkətdir. Burada başqa bir məqamı da qeyd etmək lazımdır. Yolda olan bir avtomobilin bir fotoşəkilindən onun nə hərəkət faktını, nə də ona olan məsafəni müəyyən etmək mümkün deyil. Avtomobilin hərəkət edib-etmədiyini müəyyən etmək üçün eyni nöqtədən zamanın müxtəlif nöqtələrində çəkilmiş iki fotoşəkil lazımdır, lakin siz onlardan məsafəni təyin edə bilməzsiniz. Avtomobilə olan məsafəni müəyyən etmək üçün bir anda kosmosun müxtəlif nöqtələrindən çəkilmiş iki fotoşəkil lazımdır, lakin onlardan hərəkət faktını müəyyən edə bilməzsiniz (əlbəttə ki, hesablamalar üçün hələ də əlavə məlumat lazımdır, triqonometriya sizə kömək edəcəkdir ). Nəyi qeyd etmək istəyirəm Xüsusi diqqət, zamanın iki nöqtəsi və kosmosdakı iki nöqtənin fərqli şeylər olduğunu qarışdırmaq olmaz, çünki onlar tədqiqat üçün müxtəlif imkanlar verir.

Çərşənbə, 4 iyul 2018-ci il

Set və multiset arasındakı fərqlər Vikipediyada çox yaxşı təsvir edilmişdir. Görək.

Gördüyünüz kimi, "bir çoxluqda iki eyni element ola bilməz", lakin çoxluqda eyni elementlər varsa, belə çoxluğa "çox çoxluq" deyilir. Ağıllı varlıqlar heç vaxt belə absurd məntiqi başa düşməyəcəklər. Bu, danışan tutuquşuların və öyrədilmiş meymunların səviyyəsidir, onlar "tamamilə" sözündən heç bir zəkaya sahib deyillər. Riyaziyyatçılar adi təlimçilər kimi çıxış edərək öz absurd fikirlərini bizə təbliğ edirlər.

Bir vaxtlar körpünü tikən mühəndislər körpünü sınaqdan keçirərkən körpünün altında qayıqda olublar. Körpü dağılırsa, orta səviyyəli mühəndis yaratdığının dağıntıları altında ölür. Əgər körpü yükə tab gətirə bilsəydi, istedadlı mühəndis başqa körpülər də tikdi.

Riyaziyyatçılar “mənə fikir ver, mən evdəyəm”, daha doğrusu, “riyaziyyat mücərrəd anlayışları öyrənir” ifadəsinin arxasında nə qədər gizlənsələr də, onları reallıqla ayrılmaz şəkildə birləşdirən bir göbək bağı var. Bu göbək bağı puldur. Riyazi çoxluqlar nəzəriyyəsini riyaziyyatçıların özlərinə tətbiq edək.

Biz riyaziyyatı çox yaxşı oxumuşuq və indi kassada oturub maaş veririk. Beləliklə, bir riyaziyyatçı pulu üçün bizə gəlir. Bütün məbləği ona hesablayırıq və eyni nominallı əskinasları qoyduğumuz müxtəlif yığınlarda masamıza qoyuruq. Sonra hər yığından bir veksel götürürük və riyaziyyatçıya onun “riyazi əmək haqqı dəstini” veririk. Riyaziyyatçıya başa salaq ki, o, yalnız eyni elementləri olmayan çoxluğun eyni elementli çoxluğa bərabər olmadığını sübut etdikdə qalan əskinasları alacaq. Əyləncə burada başlayır.

İlk növbədə deputatların məntiqi işləyəcək: “Bunu başqalarına şamil etmək olar, mənə yox!”. Sonra bizi əmin etməyə başlayacaqlar ki, eyni nominallı əskinasların müxtəlif əskinas nömrələri var, yəni onları eyni elementlər hesab etmək olmaz. Yaxşı, maaşları sikkələrlə hesablayaq - sikkələrdə rəqəmlər yoxdur. Burada riyaziyyatçı çılğınlıqla fizikanı xatırlamağa başlayacaq: müxtəlif sikkələr var müxtəlif miqdarlar Hər sikkənin çirki, kristal quruluşu və atom düzülüşü unikaldır...

İndi isə ən çox məndə var maraq Soruş: çoxlu çoxluğun elementlərinin çoxluğun elementlərinə və əksinə çevrildiyi xətt haradadır? Belə bir xətt yoxdur - hər şeyi şamanlar həll edir, elm burada yatmağa belə yaxın deyil.

Bura baxın. Biz seçirik futbol stadionları eyni sahə ilə. Sahələrin sahələri eynidir - bu o deməkdir ki, bizim multisetimiz var. Amma bu eyni stadionların adlarına nəzər salsaq, adları fərqli olduğu üçün çoxunu alırıq. Gördüyünüz kimi, eyni elementlər dəsti həm çoxluq, həm də multisetdir. Hansı düzgündür? Və burada riyaziyyatçı-şaman-kəskin qolundan bir kozır çıxarır və bizə ya dəst, ya da multiset haqqında danışmağa başlayır. Hər halda o, bizi haqlı olduğuna inandıracaq.

Müasir şamanların çoxluq nəzəriyyəsi ilə necə işlədiyini, onu reallığa bağladığını başa düşmək üçün bir suala cavab vermək kifayətdir: bir çoxluğun elementləri digər çoxluğun elementlərindən nə ilə fərqlənir? Mən sizə göstərəcəyəm, heç bir "tək bir bütöv olaraq düşünülə bilməz" və ya "tək bir bütöv olaraq düşünülə bilməz".

Bazar günü, 18 mart 2018-ci il

Ədədin rəqəmlərinin cəmi riyaziyyatla heç bir əlaqəsi olmayan şamanların qavalla rəqsidir. Bəli, riyaziyyat dərslərində bizə ədədin rəqəmlərinin cəmini tapıb ondan istifadə etməyi öyrədirlər, amma buna görə də onlar şamandırlar, öz nəsillərinə öz bacarıqlarını və hikmətlərini öyrətmək, əks halda şamanlar sadəcə olaraq öləcəklər.

Sizə sübut lazımdır? Vikipediyanı açın və "Rəqəmlərin cəmi" səhifəsini tapmağa çalışın. O, mövcud deyil. Riyaziyyatda hər hansı bir ədədin rəqəmlərinin cəmini tapmaq üçün istifadə edilə bilən düstur yoxdur. Axı, rəqəmlər rəqəmləri yazdığımız qrafik simvollardır və riyaziyyatın dilində tapşırıq belə səslənir: "İstənilən rəqəmi təmsil edən qrafik simvolların cəmini tapın." Riyaziyyatçılar bu problemi həll edə bilməzlər, lakin şamanlar bunu asanlıqla həll edə bilərlər.

Verilmiş ədədin rəqəmlərinin cəmini tapmaq üçün nə və necə etdiyimizi anlayaq. Beləliklə, 12345 rəqəminə sahib olaq. Bu ədədin rəqəmlərinin cəmini tapmaq üçün nə etmək lazımdır? Bütün addımları ardıcıllıqla nəzərdən keçirək.

1. Nömrəni bir kağız parçasına yazın. Biz nə etmişik? Biz rəqəmi qrafik rəqəm simvoluna çevirdik. Bu riyazi əməliyyat deyil.

2. Yaranan bir şəkli fərdi nömrələri olan bir neçə şəkilə kəsdik. Şəklin kəsilməsi riyazi əməliyyat deyil.

3. Fərdi qrafik simvolları rəqəmlərə çevirin. Bu riyazi əməliyyat deyil.

4. Yaranan rəqəmləri əlavə edin. İndi bu riyaziyyatdır.

12345 rəqəminin rəqəmlərinin cəmi 15-dir. Bunlar riyaziyyatçıların istifadə etdikləri şamanların öyrətdiyi “kəsmə və tikiş kursları”dır. Ancaq bu hamısı deyil.

Riyazi nöqteyi-nəzərdən ədədi hansı say sistemində yazmağımızın fərqi yoxdur. Beləliklə, in müxtəlif sistemlər Hesablamada eyni ədədin rəqəmlərinin cəmi fərqli olacaq. Riyaziyyatda say sistemi rəqəmin sağında alt yazı kimi göstərilir. İLƏ böyük rəqəm 12345 Başımı aldatmaq istəmirəm, haqqında məqalədən 26 nömrəsinə baxaq. Bu ədədi ikilik, səkkizlik, onluq və onaltılıq say sistemlərində yazaq. Biz hər addıma mikroskop altında baxmayacağıq; biz bunu artıq etdik. Nəticəyə baxaq.

Göründüyü kimi müxtəlif say sistemlərində eyni ədədin rəqəmlərinin cəmi fərqli olur. Bu nəticənin riyaziyyatla heç bir əlaqəsi yoxdur. Düzbucaqlının sahəsini metr və santimetrlə təyin etsəniz, tamamilə fərqli nəticələr əldə edəcəksiniz.

Sıfır bütün say sistemlərində eyni görünür və rəqəmlərin cəmi yoxdur. Bu, bunun lehinə başqa bir arqumentdir. Riyaziyyatçılar üçün sual: riyaziyyatda rəqəm olmayan bir şey necə təyin olunur? Nə, riyaziyyatçılar üçün rəqəmlərdən başqa heç nə yoxdur? Mən buna şamanlar üçün icazə verə bilərəm, amma alimlər üçün yox. Reallıq təkcə rəqəmlərdən ibarət deyil.

Alınan nəticə say sistemlərinin ədədlər üçün ölçü vahidləri olduğuna sübut kimi qəbul edilməlidir. Axı biz rəqəmləri müxtəlif ölçü vahidləri ilə müqayisə edə bilmərik. Eyni kəmiyyətin müxtəlif ölçü vahidləri ilə eyni hərəkətlər gətirib çıxarırsa fərqli nəticələr onları müqayisə etdikdən sonra bunun riyaziyyatla heç bir əlaqəsi yoxdur.

Əsl riyaziyyat nədir? Bu, riyazi əməliyyatın nəticəsinin rəqəmin ölçüsündən, istifadə olunan ölçü vahidindən və bu hərəkəti kimin yerinə yetirməsindən asılı olmadığı zamandır.

Qapıya yazın Qapını açıb deyir:

Oh! Bura qadın tualeti deyilmi?
- Gənc qadın! Bu, ruhların cənnətə yüksəlişləri zamanı onların qeyri-adi müqəddəsliyini öyrənmək üçün laboratoriyadır! Üstdə halo və yuxarı ox. Başqa hansı tualet?

Qadın... Üstündəki halo və aşağı ox kişidir.

Gündə bir neçə dəfə gözünüzün qarşısında belə bir şey yanıb-sönürsə dizayn sənəti,

Sonra birdən avtomobilinizdə qəribə bir simvol tapmağınız təəccüblü deyil:

Şəxsən mən nəcis edən insanda mənfi dörd dərəcəni görməyə çalışıram (bir şəkil) (bir neçə şəkildən ibarət kompozisiya: mənfi işarə, dörd rəqəm, dərəcə təyinatı). Və mən bu qızın fizikanı bilməyən axmaq olduğunu düşünmürəm. O, sadəcə olaraq qrafik şəkilləri qəbul etməkdə güclü stereotipə malikdir. Riyaziyyatçılar bunu bizə hər zaman öyrədirlər. Budur bir nümunə.

1A “mənfi dörd dərəcə” və ya “bir a” deyil. Bu, "pooping man" və ya onaltılıq qeyddə "iyirmi altı" rəqəmidir. Daim bu say sistemində işləyən insanlar avtomatik olaraq rəqəmi və hərfi bir qrafik simvol kimi qəbul edirlər.