I det femte århundrede f.Kr oldgræsk filosof Zeno af Elea formulerede sine berømte aporier, hvoraf den mest berømte er "Akilles and the Tortoise" aporia. Sådan lyder det:

Lad os sige, at Achilleus løber ti gange hurtigere end skildpadden og er tusinde skridt efter den. I løbet af den tid det tager Achilleus at løbe denne distance, vil skildpadden kravle hundrede skridt i samme retning. Når Achilleus løber hundrede skridt, kravler skildpadden yderligere ti skridt, og så videre. Processen vil fortsætte i det uendelige, Achilleus vil aldrig indhente skildpadden.

Dette ræsonnement blev et logisk chok for alle efterfølgende generationer. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... Alle betragtede de Zenons aporia på en eller anden måde. Chokket var så stærkt, at " ...diskussioner fortsætter den dag i dag, det videnskabelige samfund har endnu ikke været i stand til at nå frem til en fælles mening om essensen af ​​paradokser ... var involveret i undersøgelsen af ​​spørgsmålet; matematisk analyse, mængdeteori, nye fysiske og filosofiske tilgange; ingen af ​​dem blev en almindeligt accepteret løsning på problemet..."[Wikipedia, "Zenos Aporia". Alle forstår, at de bliver narret, men ingen forstår, hvad bedraget består af.

Fra et matematisk synspunkt demonstrerede Zeno i sin aporia tydeligt overgangen fra kvantitet til . Denne overgang indebærer anvendelse i stedet for permanente. Så vidt jeg forstår, er det matematiske apparat til brug af variable måleenheder enten ikke udviklet endnu, eller også er det ikke blevet anvendt på Zenos aporia. Anvendelse af vores sædvanlige logik fører os i en fælde. På grund af tænkningens inerti anvender vi konstante tidsenheder på den gensidige værdi. Fra et fysisk synspunkt ligner det, at tiden går langsommere, indtil den stopper helt i det øjeblik, hvor Achilleus indhenter skildpadden. Hvis tiden stopper, kan Achilles ikke længere løbe fra skildpadden.

Hvis vi vender vores sædvanlige logik om, falder alt på plads. Achilleus løber med konstant hastighed. Hvert efterfølgende segment af hans vej er ti gange kortere end det foregående. Derfor er den tid, der bruges på at overvinde det, ti gange mindre end den foregående. Hvis vi anvender begrebet "uendelighed" i denne situation, så ville det være korrekt at sige "Akilles vil indhente skildpadden uendeligt hurtigt."

Hvordan undgår man denne logiske fælde? Forbliv i konstante tidsenheder og skift ikke til gensidige enheder. På Zenos sprog ser det sådan ud:

I den tid det tager Achilleus at løbe tusind skridt, vil skildpadden kravle hundrede skridt i samme retning. I løbet af det næste tidsinterval svarende til det første, vil Achilles løbe yderligere tusinde skridt, og skildpadden vil kravle hundrede skridt. Nu er Achilles otte hundrede skridt foran skildpadden.

Denne tilgang beskriver tilstrækkeligt virkeligheden uden nogen logiske paradokser. Men dette er ikke en komplet løsning på problemet. Einsteins udsagn om lyshastighedens uimodståelighed minder meget om Zenos aporia "Akilles og skildpadden". Vi skal stadig studere, gentænke og løse dette problem. Og løsningen skal ikke søges i uendeligt store tal, men i måleenheder.

En anden interessant aporia af Zeno fortæller om en flyvende pil:

En flyvende pil er ubevægelig, da den i hvert øjeblik af tid er i hvile, og da den er i hvile i hvert øjeblik af tid, er den altid i hvile.

I denne aporia overvindes det logiske paradoks meget simpelt - det er nok til at præcisere, at en flyvende pil til enhver tid hviler på forskellige punkter i rummet, hvilket i virkeligheden er bevægelse. Et andet punkt skal bemærkes her. Fra et billede af en bil på vejen er det umuligt at bestemme hverken kendsgerningen om dens bevægelse eller afstanden til den. For at afgøre, om en bil bevæger sig, skal du bruge to billeder taget fra det samme punkt på forskellige tidspunkter, men du kan ikke bestemme afstanden fra dem. For at bestemme afstanden til en bil har du brug for to fotografier taget fra forskellige punkter i rummet på et tidspunkt, men fra dem kan du ikke bestemme kendsgerningen af ​​bevægelse (selvfølgelig har du stadig brug for yderligere data til beregninger, trigonometri vil hjælpe dig ). Hvad jeg vil påpege særlig opmærksomhed, er, at to punkter i tid og to punkter i rummet er forskellige ting, der ikke må forveksles, fordi de giver forskellige muligheder for forskning.

Onsdag den 4. juli 2018

Forskellene mellem sæt og multisæt er beskrevet meget godt på Wikipedia. Lad os se.

Som du kan se, "kan der ikke være to identiske elementer i et sæt", men hvis der er identiske elementer i et sæt, kaldes et sådant sæt et "multiset." Fornuftige væsener vil aldrig forstå en sådan absurd logik. Dette er niveauet for talende papegøjer og trænede aber, som ikke har nogen intelligens fra ordet "helt". Matematikere fungerer som almindelige trænere og prædiker for os deres absurde ideer.

Engang var ingeniørerne, der byggede broen, i en båd under broen, mens de testede broen. Hvis broen kollapsede, døde den middelmådige ingeniør under murbrokkerne af sin skabelse. Hvis broen kunne holde til belastningen, byggede den dygtige ingeniør andre broer.

Uanset hvordan matematikere gemmer sig bag sætningen "pas på mig, jeg er i huset", eller rettere: "matematik studerer abstrakte begreber", er der én navlestreng, der uløseligt forbinder dem med virkeligheden. Denne navlestreng er penge. Lad os anvende matematisk mængdeteori på matematikere selv.

Vi studerede matematik rigtig godt, og nu sidder vi ved kassen og uddeler løn. Så en matematiker kommer til os for sine penge. Vi tæller hele beløbet ud til ham og lægger det ud på vores bord i forskellige bunker, hvori vi lægger sedler af samme pålydende værdi. Så tager vi en regning fra hver bunke og giver matematikeren hans "matematiske lønsæt." Lad os forklare matematikeren, at han først vil modtage de resterende sedler, når han beviser, at en mængde uden identiske elementer ikke er lig med en mængde med identiske elementer. Det er her det sjove begynder.

Først og fremmest vil de deputeredes logik fungere: "Dette kan anvendes på andre, men ikke på mig!" Så vil de begynde at forsikre os om, at sedler af samme pålydende har forskellige seddelnumre, hvilket betyder, at de ikke kan betragtes som de samme elementer. Okay, lad os tælle lønninger i mønter – der er ingen tal på mønterne. Her vil matematikeren begynde febrilsk at huske fysik: på forskellige mønter er der forskellige mængder snavs, krystalstruktur og atomarrangement af hver mønt er unik...

Og nu har jeg det meste interessant spørgsmål: hvor er linjen, ud over hvilken elementerne i et multisæt bliver til elementer i et sæt og omvendt? Sådan en linje findes ikke - alt bestemmes af shamaner, videnskaben er ikke engang tæt på at ligge her.

Se her. Vi vælger fodboldstadioner med samme markareal. Arealerne af felterne er de samme - hvilket betyder, at vi har et multisæt. Men hvis vi ser på navnene på de samme stadioner, får vi mange, fordi navnene er forskellige. Som du kan se, er det samme sæt af elementer både et sæt og et multisæt. Hvilket er korrekt? Og her trækker matematiker-shaman-skarpisten et trumf-es frem fra ærmet og begynder at fortælle os enten om et sæt eller et multisæt. Under alle omstændigheder vil han overbevise os om, at han har ret.

For at forstå, hvordan moderne shamaner opererer med mængdeteori og binder den til virkeligheden, er det nok at besvare et spørgsmål: hvordan adskiller elementerne i et sæt sig fra elementerne i et andet sæt? Jeg vil vise dig, uden nogen "tænkelig som ikke en enkelt helhed" eller "ikke tænkelig som en enkelt helhed."

Søndag den 18. marts 2018

Summen af ​​cifrene i et tal er en dans af shamaner med en tamburin, som ikke har noget med matematik at gøre. Ja, i matematiktimerne bliver vi lært at finde summen af ​​cifrene i et tal og bruge det, men det er derfor, de er shamaner, for at lære deres efterkommere deres færdigheder og visdom, ellers vil shamaner simpelthen dø ud.

Har du brug for bevis? Åbn Wikipedia og prøv at finde siden "Sum af cifre i et tal." Hun eksisterer ikke. Der er ingen formel i matematik, der kan bruges til at finde summen af ​​cifrene i et hvilket som helst tal. Tal er jo grafiske symboler, som vi skriver tal med, og på matematikkens sprog lyder opgaven sådan her: "Find summen af ​​grafiske symboler, der repræsenterer et hvilket som helst tal." Matematikere kan ikke løse dette problem, men shamaner kan gøre det nemt.

Lad os finde ud af, hvad og hvordan vi gør for at finde summen af ​​cifrene i et givet tal. Så lad os få tallet 12345. Hvad skal der gøres for at finde summen af ​​cifrene i dette tal? Lad os se på alle trinene i rækkefølge.

1. Skriv tallet ned på et stykke papir. Hvad har vi gjort? Vi har konverteret tallet til et grafisk talsymbol. Dette er ikke en matematisk operation.

2. Vi skærer et resulterende billede i flere billeder, der indeholder individuelle numre. At klippe et billede er ikke en matematisk operation.

3. Konverter individuelle grafiske symboler til tal. Dette er ikke en matematisk operation.

4. Tilføj de resulterende tal. Nu er det her matematik.

Summen af ​​cifrene i tallet 12345 er 15. Det er de "klippe- og sykurser" fra shamaner, som matematikere bruger. Men det er ikke alt.

Ud fra et matematisk synspunkt er det lige meget i hvilket talsystem vi skriver et tal. Så i forskellige systemer I calculus vil summen af ​​cifrene med samme tal være forskellig. I matematik er talsystemet angivet som et underskrift til højre for tallet. MED et stort antal 12345 Jeg vil ikke narre mit hoved, lad os se på tallet 26 fra artiklen om. Lad os skrive dette tal i binære, oktale, decimale og hexadecimale talsystemer. Vi vil ikke se på hvert trin under et mikroskop, det har vi allerede gjort. Lad os se på resultatet.

Som du kan se, er summen af ​​cifrene i det samme tal forskellig i forskellige talsystemer. Dette resultat har intet med matematik at gøre. Det er det samme, som hvis du bestemte arealet af et rektangel i meter og centimeter, ville du få helt andre resultater.

Nul ser ens ud i alle talsystemer og har ingen sum af cifre. Dette er endnu et argument for det faktum. Spørgsmål til matematikere: hvordan betegnes noget, der ikke er et tal, i matematik? Hvad, for matematikere eksisterer intet undtagen tal? Jeg kan tillade dette for shamaner, men ikke for videnskabsmænd. Virkeligheden handler ikke kun om tal.

Det opnåede resultat bør betragtes som bevis på, at talsystemer er måleenheder for tal. Vi kan jo ikke sammenligne tal med forskellige måleenheder. Hvis de samme handlinger med forskellige måleenheder af samme mængde fører til forskellige resultater efter at have sammenlignet dem, betyder det, at det ikke har noget at gøre med matematik.

Hvad er ægte matematik? Dette er, når resultatet af en matematisk operation ikke afhænger af størrelsen af ​​tallet, den anvendte måleenhed og af, hvem der udfører denne handling.

Skilt på døren Han åbner døren og siger:

Åh! Er det ikke dametoilettet?
- Ung kvinde! Dette er et laboratorium til undersøgelse af sjæles indefiliske hellighed under deres opstigning til himlen! Halo på toppen og pil op. Hvilket andet toilet?

Hun... Haloen på toppen og pilen ned er hankøn.

Hvis noget som dette blinker for dine øjne flere gange om dagen design kunst,

Så er det ikke overraskende, at du pludselig finder et mærkeligt ikon i din bil:

Personligt gør jeg en indsats for at se minus fire grader hos en poopende person (et billede) (en sammensætning af flere billeder: minustegn, nummer fire, gradsbetegnelse). Og jeg tror ikke, at denne pige er et fjols, der ikke kan fysik. Hun har bare en stærk stereotyp af at opfatte grafiske billeder. Og matematikere lærer os det hele tiden. Her er et eksempel.

1A er ikke "minus fire grader" eller "én a". Dette er "pooping mand" eller tallet "seksogtyve" i hexadecimal notation. De mennesker, der konstant arbejder i dette talsystem, opfatter automatisk et tal og et bogstav som ét grafisk symbol.

Et af de vigtigste kendetegn i algebra, og i al matematik, er grad. Selvfølgelig kan alle beregninger i det 21. århundrede laves på en online lommeregner, men det er bedre for hjernens udvikling at lære at gøre det selv.

I denne artikel vil vi overveje de vigtigste spørgsmål vedrørende denne definition. Vi vil nemlig forstå, hvad det er generelt, og hvad dets hovedfunktioner er, hvilke egenskaber der er i matematik.

Lad os se på eksempler på, hvordan regnestykket ser ud, og hvad de grundlæggende formler er. Lad os se på hovedtyperne af mængder, og hvordan de adskiller sig fra andre funktioner.

Lad os forstå, hvordan man løser ved hjælp af denne mængde forskellige opgaver. Vi vil med eksempler vise, hvordan man hæver til nulstyrken, irrationel, negativ osv.

Online eksponentieringsberegner

Hvad er en potens af et tal

Hvad menes med udtrykket "hæve et tal til en magt"?

Potensen n af et tal er produktet af størrelsesfaktorer n gange i træk.

Matematisk ser det sådan ud:

a n = a * a * a * …a n .

For eksempel:

• 2 3 = 2 i tredje grad. = 2 * 2 * 2 = 8;
• 4 2 = 4 for at trin. to = 4 * 4 = 16;
• 5 4 = 5 for at trin. fire = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
• 10 5 = 10 i 5 trin. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100.000;
• 10 4 = 10 i 4 trin. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10.000.

Nedenfor er en tabel med firkanter og terninger fra 1 til 10.

Tabel over grader fra 1 til 10

Nedenfor er resultaterne af at hæve naturlige tal til positive potenser - "fra 1 til 100".

Ch-lo	2. st.	3. etape
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	279
10	100	1000

Egenskaber for grader

Hvad er karakteristisk for sådan en matematisk funktion? Lad os se på de grundlæggende egenskaber.

Forskere har fastslået følgende tegn, der er karakteristiske for alle grader:

• an*am = (a) (n+m);
• a n: a m = (a) (n-m);
• (a b) m = (a) (b*m).

Lad os tjekke med eksempler:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. På den anden side er 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 =32.

Tilsvarende: 2 3: 2 2 = 8 / 4 = 2. Ellers 2 3-2 = 2 1 =2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. Hvad hvis det er anderledes? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Som du kan se, virker reglerne.

Men hvad med med addition og subtraktion? Det er enkelt. Først udføres eksponentiering og derefter addition og subtraktion.

Lad os se på eksempler:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 – 3 2 = 25 – 9 = 16. Bemærk venligst: reglen gælder ikke, hvis du trækker først: (5 – 3) 2 = 2 2 = 4.

Men i dette tilfælde skal du først beregne tilføjelsen, da der er handlinger i parentes: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

Hvordan man producerer beregninger i mere svære sager ? Rækkefølgen er den samme:

• hvis der er beslag, skal du starte med dem;
• derefter eksponentiering;
• udfør derefter operationerne multiplikation og division;
• efter addition, subtraktion.

Spise specifikke egenskaber, ikke typisk for alle grader:

1. Den n-te rod af et tal a til m-graden vil blive skrevet som: a m / n.
2. Når du hæver en brøk til en potens: både tælleren og dens nævner er underlagt denne procedure.
3. Når man bygger et værk forskellige tal til en potens, vil udtrykket svare til produktet af disse tal til den givne potens. Det vil sige: (a * b) n = a n * b n .
4. Når du hæver et tal til en negativ potens, skal du dividere 1 med et tal i samme århundrede, men med et "+"-tegn.
5. Hvis nævneren af ​​en brøk er til en negativ potens, så vil dette udtryk være lig med produktet af tælleren og nævneren til en positiv potens.
6. Ethvert tal i potensen 0 = 1 og i potensen. 1 = til dig selv.

Disse regler er vigtige i nogle tilfælde, vi vil overveje dem mere detaljeret nedenfor.

Grad med negativ eksponent

Hvad skal man gøre hvornår minus grad, dvs. når indikatoren er negativ?

Baseret på egenskab 4 og 5(se punkt ovenfor), viser det sig:

A (- n) = 1 / A n, 5 (-2) = 1 / 5 2 = 1 / 25.

Og omvendt:

1 / A (- n) = A n, 1 / 2 (-3) = 2 3 = 8.

Hvad hvis det er en brøkdel?

(A/B) (- n) = (B/A) n, (3/5) (-2) = (5/3) 2 = 25/9.

Grad med naturlig indikator

Det forstås som en grad med eksponenter lig med heltal.

Ting at huske:

A0 = 1, 10 = 1; 20 = 1; 3,15 0 = 1; (-4) 0 = 1...osv.

A1 = A, 11 = 1; 21 = 2; 3 1 = 3...osv.

Derudover, hvis (-a) 2 n +2, n=0, 1, 2... så vil resultatet være med et "+"-tegn. Hvis et negativt tal hæves til en ulige potens, så omvendt.

Generelle egenskaber og alle de specifikke funktioner beskrevet ovenfor er også karakteristiske for dem.

Brøkdel grad

Denne type kan skrives som et skema: A m / n. Læs som: den n'te rod af tallet A i potensen m.

Du kan gøre, hvad du vil med en brøkindikator: reducere den, opdele den i dele, hæve den til en anden magt osv.

Grad med irrationel eksponent

Lad α være et irrationelt tal og A ˃ 0.

For at forstå essensen af ​​en grad med en sådan indikator, Lad os se på forskellige mulige tilfælde:

• A = 1. Resultatet vil være lig med 1. Da der er et aksiom - er 1 i alle potenser lig med en;

А r 1 ˂ А α ˂ А r 2 , r 1 ˂ r 2 – rationelle tal;

• 0˂А˂1.

I dette tilfælde er det omvendt: A r 2 ˂ A α ˂ A r 1 under samme betingelser som i andet afsnit.

For eksempel er eksponenten tallet π. Det er rationelt.

r 1 - i dette tilfælde er lig med 3;

r 2 – vil være lig med 4.

Så for A = 1, 1 π = 1.

A = 2, derefter 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4, 8 ˂ 2 π ˂ 16.

A = 1/2, derefter (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3, 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

Sådanne grader er karakteriseret ved alle de matematiske operationer og specifikke egenskaber beskrevet ovenfor.

Konklusion

Lad os opsummere - hvad er disse mængder nødvendige til, hvad er fordelene ved sådanne funktioner? Selvfølgelig forenkler de først og fremmest matematikeres og programmørers liv, når de løser eksempler, da de giver dem mulighed for at minimere beregninger, forkorte algoritmer, systematisere data og meget mere.

Hvor ellers kan denne viden være nyttig? Inden for ethvert arbejdsspeciale: medicin, farmakologi, tandpleje, konstruktion, teknologi, teknik, design osv.

At hæve til en negativ magt er et af de grundlæggende elementer i matematik og støder man ofte på ved løsning af algebraiske problemer. Nedenfor er detaljerede instruktioner.

Hvordan man hæver til en negativ magt - teori

Når vi hæver et tal til en almindelig potens, multiplicerer vi dets værdi flere gange. For eksempel, 3 3 = 3×3×3 = 27. Med en negativ brøk er det modsatte sandt. Generel visning ifølge formlen vil det se sådan ud: a -n = 1/a n. For at hæve et tal til en negativ potens, skal du altså dividere et med det givne tal, men til en positiv potens.

Hvordan man hæver til en negativ styrke - eksempler på almindelige tal

Med ovenstående regel i tankerne, lad os løse et par eksempler.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Svar: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Svar -4 -2 = 1/16.

Men hvorfor er svarene i det første og andet eksempel de samme? Faktum er, at når et negativt tal hæves til en lige potens (2, 4, 6 osv.), bliver tegnet positivt. Hvis graden var lige, ville minus forblive:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Hvordan man hæver til en negativ potens - tal fra 0 til 1

Husk på, at når et tal mellem 0 og 1 hæves til en positiv potens, falder værdien, når potensen øges. Så for eksempel, 0,5 2 = 0,25. 0,25

Eksempel 3: Beregn 0,5 -2
Løsning: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
Svar: 0,5 -2 = 4

Analyse (handlingssekvens):

• Vi oversætter decimal 0,5 til brøkdel 1/2. Det er nemmere på den måde.
  Hæv 1/2 til en negativ styrke. 1/(2) -2. Divider 1 med 1/(2) 2, vi får 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4

Eksempel 4: Beregn 0,5 -3
Løsning: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

Eksempel 5: Beregn -0,5 -3
Løsning: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Svar: -0,5 -3 = -8

Baseret på det 4. og 5. eksempel kan vi drage flere konklusioner:

• For et positivt tal i intervallet fra 0 til 1 (eksempel 4), hævet til en negativ potens, er om potensen er lige eller ulige ikke vigtigt, vil værdien af ​​udtrykket være positiv. Desuden, jo større grad, jo større værdi.
• For et negativt tal i intervallet fra 0 til 1 (eksempel 5), hævet til en negativ potens, er om potensen er lige eller ulige ikke vigtigt, vil værdien af ​​udtrykket være negativ. I dette tilfælde, jo højere grad, jo lavere værdi.

Hvordan man hæver til en negativ potens - en potens i form af et brøktal

Udtryk af denne type har følgende form: a -m/n , hvor en - almindeligt nummer, m er gradens tæller, n er nævneren for graden.

Lad os se på et eksempel:
Beregn: 8 -1/3

Løsning (handlingssekvens):

• Lad os huske reglen for at hæve et tal til en negativ styrke. Vi får: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3.
• Bemærk, at nævneren har tallet 8 i en brøkpotens. Den generelle form for beregning af en brøkpotens er som følger: a m/n = n √8 m.
• Således er 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). Vi får terningroden af ​​otte, som er lig med 2. Herfra er 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
• Svar: 8 -1/3 = 2

Fra skolen kender vi alle reglen om eksponentiering: ethvert tal med eksponent N er lig med resultatet af at gange dette tal med sig selv N antal gange. Med andre ord, 7 i potens af 3 er 7 ganget med sig selv tre gange, det vil sige 343. En anden regel er, at hvis man hæver en hvilken som helst mængde til 0, får man én, og at hæve en negativ størrelse er resultatet af almindelig hævning til styrken, hvis den er lige, og samme resultat med et minustegn, hvis den er ulige.

Reglerne giver også svaret på, hvordan man hæver et tal til en negativ potens. For at gøre dette skal du bygge på sædvanlig måde den nødvendige værdi pr. modul af indikatoren, og divider derefter enheden med resultatet.

Af disse regler fremgår det, at gennemførelsen reelle problemer håndtering af store mængder vil kræve tilgængelighed tekniske midler. Manuelt kan du gange med dig selv et maksimalt antal tal op til tyve til tredive, og derefter ikke mere end tre eller fire gange. Dette er ikke for at nævne at dividere en med resultatet. Derfor, for dem, der ikke har en speciel teknisk lommeregner ved hånden, vil vi fortælle dig, hvordan du hæver et tal til en negativ potens i Excel.

Løsning af problemer i Excel

For at løse problemer, der involverer eksponentiering, giver Excel dig mulighed for at bruge en af ​​to muligheder.

Den første er brugen af ​​en formel med et standard "låg"-tegn. Indtast følgende data i regnearkets celler:

På samme måde kan du hæve den ønskede værdi til enhver potens - negativ, brøkdel. Lad os udføre følgende trin og besvare spørgsmålet om, hvordan man hæver et tal til en negativ styrke. Eksempel:

Du kan rette =B2^-C2 direkte i formlen.

Den anden mulighed er at bruge den færdige "Degree"-funktion, som tager to nødvendige argumenter- nummer og indikator. For at begynde at bruge det, skal du bare sætte lighedstegnet (=) i en hvilken som helst fri celle, der angiver begyndelsen af ​​formlen, og indtaste ovenstående ord. Det eneste, der er tilbage, er at vælge to celler, der vil deltage i operationen (eller angive specifikke tal manuelt) og trykke på Enter-tasten. Lad os se på et par enkle eksempler.

			Formel	Resultat
			GRAD(B2;C2)
			GRAD(B3;C3)	0,002915

Som du kan se, er der ikke noget kompliceret ved, hvordan man hæver et tal til en negativ potens og til en almindelig potens ved hjælp af Excel. For at løse dette problem kan du trods alt bruge både det velkendte "låg"-symbol og programmets indbyggede funktion, som er nem at huske. Dette er et klart plus!

Lad os gå videre til mere komplekse eksempler. Lad os huske reglen om, hvordan man hæver et tal til en negativ brøkpotens, og vi vil se, at dette problem er meget let at løse i Excel.

Fraktionelle indikatorer

Kort sagt er algoritmen til at beregne et tal med en brøkeksponent som følger.

1. Konverter en brøk til en rigtig eller uegen brøk.
2. Hæv vores tal til tælleren for den resulterende konverterede brøk.
3. Ud fra det tal, der er opnået i det foregående afsnit, beregnes roden med den betingelse, at rodens eksponent vil være nævneren for den brøk, der blev opnået i det første trin.

Enig i, at selv når der arbejdes med små tal og egenbrøker, kan sådanne beregninger tage meget tid. Det er godt, at Excel-regnearksprocessoren er ligeglad med, hvilket tal der hæves til hvilken effekt. Prøv at løse det på arbejdet Excel ark følgende eksempel:

Ved hjælp af ovenstående regler kan du kontrollere og sikre dig, at beregningen er udført korrekt.

I slutningen af ​​vores artikel vil vi præsentere i form af en tabel med formler og resultater flere eksempler på, hvordan man hæver et tal til en negativ potens, samt flere eksempler på drift brøktal og grader.

Eksempel tabel

Se følgende eksempler i dit Excel-regneark. For at alt fungerer korrekt, skal du bruge en blandet reference, når du kopierer formlen. Ret nummeret på den kolonne, der indeholder det tal, der hæves, og nummeret på den række, der indeholder indikatoren. Din formel skulle se sådan ud: "=$B4^C$3."

Antal/grad

Bemærk venligst, at positive tal (selv ikke-heltal) kan beregnes uden problemer for enhver eksponent. Der er ingen problemer med at hæve nogen tal til heltal. Men at hæve et negativt tal til en brøkpotens vil vise sig at være en fejl for dig, da det er umuligt at følge reglen angivet i begyndelsen af ​​vores artikel om at hæve negative tal, fordi paritet udelukkende er en karakteristik af et HELE tal.

Et tal hævet til en magt De ringer til et nummer, der ganges med sig selv flere gange.

Potens for et tal med en negativ værdi (a - n) kan bestemmes på samme måde som, hvordan styrken af ​​det samme tal med en positiv eksponent bestemmes (a n) . Det kræver dog også yderligere definition. Formlen er defineret som:

a-n = (1/a n)

Egenskaberne for negative talpotenser svarer til potenser med en positiv eksponent. Fremlagt ligning -en m/a n= en m-n kan være fair som

« Ingen steder, som i matematik, tillader klarheden og nøjagtigheden af ​​konklusionen en person at vriste sig ud af et svar ved at tale rundt om spørgsmålet».

A. D. Alexandrov

på n mere m , og med m mere n . Lad os se på et eksempel: 7 2 -7 5 =7 2-5 =7 -3 .

Først skal du bestemme det tal, der fungerer som en definition af graden. b=a(-n) . I dette eksempel -n er en eksponent b - den ønskede numeriske værdi, -en - gradens basis i form af en naturlig numerisk værdi. Bestem derefter modulet, det vil sige den absolutte værdi af et negativt tal, der fungerer som en eksponent. Beregn styrken af ​​et givet tal i forhold til et absolut tal som en indikator. Gradens værdi findes ved at dividere en med det resulterende tal.

Ris. 1

Overvej styrken af ​​et tal med en negativ brøkeksponent. Lad os forestille os, at tallet a er et hvilket som helst positivt tal, tal n Og m - naturlige tal. Ifølge definitionen -en , som hæves til magten - er lig med en divideret med det samme tal med en positiv potens (Figur 1). Når potensen af ​​et tal er en brøk, så bruges i sådanne tilfælde kun tal med positive eksponenter.

Værd at huske at nul aldrig kan være en eksponent for et tal (reglen om division med nul).

Udbredelsen af ​​et sådant koncept som et antal blev sådanne manipulationer som måleberegninger såvel som udviklingen af ​​matematik som en videnskab. Indførelsen af ​​negative værdier skyldtes udviklingen af ​​algebra, som gav generelle løsninger aritmetiske problemer, uanset deres specifikke betydning og indledende numeriske data. I Indien, tilbage i det 6.-11. århundrede, blev negative tal systematisk brugt til at løse problemer og blev fortolket på samme måde som i dag. I europæisk videnskab begyndte negative tal at blive brugt i vid udstrækning takket være R. Descartes, som gav en geometrisk fortolkning af negative tal som retninger af segmenter. Det var Descartes, der foreslog betegnelsen af ​​et tal hævet til en magt, der skulle vises som en to-etagers formel en n .

Det er indlysende, at tal med potenser kan tilføjes ligesom andre størrelser , ved at tilføje dem en efter en med deres tegn.

Så summen af ​​a 3 og b 2 er a 3 + b 2.
Summen af ​​a 3 - b n og h 5 -d 4 er a 3 - b n + h 5 - d 4.

Odds lige store grader af identiske variable kan lægges til eller trækkes fra.

Så summen af ​​2a 2 og 3a 2 er lig med 5a 2.

Det er også indlysende, at hvis du tager to felter a, eller tre felter a, eller fem felter a.

Men grader forskellige variabler Og forskellige grader identiske variabler, skal sammensættes ved at tilføje dem med deres tegn.

Så summen af ​​2 og 3 er summen af ​​2 + 3.

Det er indlysende, at kvadratet af a, og terningen af ​​a, ikke er lig med to gange kvadratet af a, men to gange terningen af ​​a.

Summen af ​​a 3 b n og 3a 5 b 6 er a 3 b n + 3a 5 b 6.

Subtraktion beføjelser udføres på samme måde som addition, bortset fra at subtrahendernes fortegn skal ændres tilsvarende.

Eller:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Multiplikation af magter

Tal med potenser kan ganges, ligesom andre størrelser, ved at skrive dem efter hinanden, med eller uden et multiplikationstegn mellem dem.

Resultatet af at gange a 3 med b 2 er således a 3 b 2 eller aaabb.

Eller:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Resultatet i det sidste eksempel kan bestilles ved at tilføje identiske variabler.
Udtrykket vil have formen: a 5 b 5 y 3.

Ved at sammenligne flere tal (variable) med potenser, kan vi se, at hvis to af dem ganges, så er resultatet et tal (variabel) med en potens lig med beløb grader af vilkår.

Så a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Her er 5 potensen af ​​resultatet af multiplikationen, lig med 2 + 3, summen af ​​potenserne af led.

Så a n.am = a m+n.

For a n tages a som en faktor lige så mange gange som potensen af ​​n;

Og en m tages som en faktor lige så mange gange som graden m er lig med;

Det er derfor, potenser med samme grundtal kan ganges ved at lægge potensernes eksponenter sammen.

Så a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Og x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Eller:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Multiplicer (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Svar: x 4 - y 4.
Multiplicer (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Denne regel gælder også for tal, hvis eksponenter er negativ.

1. Altså a -2 .a -3 = a -5 . Dette kan skrives som (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n.y-m = y-n-m.

3. a -n .a m = a m-n.

Hvis a + b ganges med a - b, bliver resultatet a 2 - b 2: dvs

Resultatet af at gange summen eller forskellen af ​​to tal er lig med summen eller forskellen af ​​deres kvadrater.

Hvis du gange summen og forskellen af ​​to tal hævet til firkant, vil resultatet være lig summen eller forskellen af ​​disse tal i fjerde grader.

Altså (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

Inddeling af grader

Tal med potenser kan divideres som andre tal ved at trække fra udbyttet eller ved at placere dem i brøkform.

Således er a 3 b 2 divideret med b 2 lig med a 3.

Eller:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

At skrive en 5 divideret med en 3 ligner $\frac(a^5)(a^3)$. Men dette er lig med en 2'er. I en række tal
a +4, a +3, a +2, a +1, a 0, a -1, a -2, a -3, a -4.
ethvert tal kan divideres med et andet, og eksponenten vil være lig med forskel indikatorer for delelige tal.

Når man dividerer grader med samme grundtal, trækkes deres eksponenter fra..

Så y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. Det vil sige $\frac(yyy)(yy) = y$.

Og a n+1:a = a n+1-1 = a n . Det vil sige $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Eller:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3

Reglen gælder også for tal med negativ værdier af grader.
Resultatet af at dividere en -5 med en -3 er en -2.
Også $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 eller $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Det er nødvendigt at mestre multiplikation og division af potenser meget godt, da sådanne operationer er meget udbredt i algebra.

Eksempler på løsning af eksempler med brøker, der indeholder tal med potenser

1. Reducer eksponenter med $\frac(5a^4)(3a^2)$ Svar: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Formindsk eksponenterne med $\frac(6x^6)(3x^5)$. Svar: $\frac(2x)(1)$ eller 2x.

3. Reducer eksponenterne a 2 /a 3 og a -3 /a -4 og bring dem til en fællesnævner.
a 2 .a -4 er a -2 den første tæller.
a 3 .a -3 er a 0 = 1, den anden tæller.
a 3 .a -4 er a -1 , den fælles tæller.
Efter forenkling: a -2 /a -1 og 1/a -1 .

4. Reducer eksponenterne 2a 4 /5a 3 og 2 /a 4 og bring dem til en fællesnævner.
Svar: 2a 3 /5a 7 og 5a 5 /5a 7 eller 2a 3 /5a 2 og 5/5a 2.

5. Gang (a 3 + b)/b 4 med (a - b)/3.

6. Gang (a 5 + 1)/x 2 med (b 2 - 1)/(x + a).

7. Gang b4/a-2 med h-3/x og a n/y-3.

8. Divider a 4 /y 3 med a 3 /y 2 . Svar: a/y.

9. Divider (h 3 - 1)/d 4 med (d n + 1)/h.

Lektion og oplæg om emnet: "Eksponent med negativ eksponent. Definition og eksempler på problemløsning"

Yderligere materialer
Kære brugere, glem ikke at efterlade dine kommentarer, anmeldelser, ønsker. Alt materiale er blevet kontrolleret af et antivirusprogram.

Pædagogiske hjælpemidler og simulatorer i Integral netbutik for 8. klasse
Manual til lærebogen Muravin G.K.   

En manual til lærebogen af ​​Alimov Sh.A.

Gradsbestemmelse med negativ eksponent
Gutter, vi er gode til at hæve tal til magten.

For eksempel: $2^4=2*2*2*2=16$  $((-3))^3=(-3)*(-3)*(-3)=27$.
Vi ved godt, at ethvert tal i nulpotensen er lig med en. $a^0=1$, $a≠0$.
Spørgsmålet opstår, hvad der sker, hvis du hæver et tal til en negativ styrke? For eksempel, hvad vil tallet $2^(-2)$ være lig med?
De første matematikere, der stillede dette spørgsmål, besluttede, at det ikke var værd at genopfinde hjulet, og det var godt, at alle graders egenskaber forblev de samme. Det vil sige, at når man multiplicerer potenser med samme grundtal, summeres eksponenterne.
Lad os overveje dette tilfælde: $2^3*2^(-3)=2^(3-3)=2^0=1$.

Vi fandt ud af, at produktet af sådanne tal skulle give en. Enheden i produktet fås ved at gange de gensidige tal, det vil sige $2^(-3)=\frac(1)(2^3)$.
Sådan ræsonnement førte til følgende definition. Definition. Hvis $n$ – naturligt tal

og $a≠0$, så gælder ligheden: $a^(-n)=\frac(1)(a^n)$.
En vigtig identitet, der ofte bruges, er: $(\frac(a)(b))^(-n)=(\frac(b)(a))^n$.

Især $(\frac(1)(a))^(-n)=a^n$.

Eksempel 1.
Beregn: $2^(-3)+(\frac(2)(5))^(-2)-8^(-1)$.

Løsning.
Lad os overveje hvert udtryk separat.
1. $2^(-3)=\frac(1)(2^3)=\frac(1)(2*2*2)=\frac(1)(8)$.
2. $(\frac(2)(5))^(-2)=(\frac(5)(2))^2=\frac(5^2)(2^2)=\frac(25) (4)$.
3. $8^(-1)=\frac(1)(8)$.
Det er tilbage at udføre additions- og subtraktionsoperationer: $\frac(1)(8)+\frac(25)(4)-\frac(1)(8)=\frac(25)(4)=6\frac( 1) (4)$.
Svar: $6\frac(1)(4)$.

Eksempel 2.
Repræsenter det givne tal som en potens af et primtal $\frac(1)(729)$.

Løsning.
Det er klart, $\frac(1)(729)=729^(-1)$.
Men 729 er ikke et primtal, der ender på 9. Det kan antages, at dette tal er en potens af tre. Del 729 konsekvent med 3.
1) $\frac(729)(3)=243$;
2) $\frac(243)(3)=81$;
3) $\frac(81)(3)=27$;
4) $\frac(27)(3)=9$;
5) $\frac(9)(3)=3$;
6) $\frac(3)(3)=1$.
Seks operationer blev udført, og det betyder: $729=3^6$.
Til vores opgave:
$729^{-1}=(3^6)^{-1}=3^{-6}$.
Svar: $3^(-6)$.

Eksempel 3. Udtryk udtrykket som en potens: $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1))$.
Løsning. Den første handling udføres altid inden for parentes, derefter multiplikation $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1))= \frac (a^6*a^(-10))((a^5)^(-1))=\frac(a^((-4)))(a^((-5)))= a^ (-4-(-5))=a^(-4+5)=a$.
Svar: $a$.

Eksempel 4. Bevis identiteten:
$(\frac(y^2 (xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)*\frac(y^2(x^(-2) )+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y)):\frac(1-x^(-1) y)(xy^(-1) +1)=\frac(x-y)(x+y)$.

Løsning.
På venstre side betragter vi hver faktor i parentes separat.
1. $\frac(y^2(xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)=\frac(y^2(\frac(x) )(y)-1)^2)(x(1+\frac(y)(x))^2) =\frac(y^2(\frac(x^2)(y^2)-2\ frac(x)(y)+1))(x(1+2\frac(y)(x)+\frac(y^2)(x^2)))=\frac(x^2-2xy+ y ^2)(x+2y+\frac(y^2)(x))=\frac(x^2-2xy+y^2)(\frac(x^2+2xy+y^2)(x) ) =\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))$.
2. $\frac(y^2(x^(-2)+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y))=\frac(y^ 2(\frac(1)(x^2)+\frac(1)(y^2)))(x(\frac(x)(y)+\frac(y)(x))) =\frac (\frac(y^2)(x^2)+1)(\frac(x^2)(y)+y)=\frac(\frac(y^2+x^2)(x^2) )((\frac(x^2+y^2)(y)))=\frac(y^2+x^2)(x^2) *\frac(y)(x^2+y^2 )=\frac(y)(x^2)$.
3. $\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))*\frac(y)(x^2)=\frac(y(x) ^2-2xy+y^2))(x(x^2+2xy+y^2))=\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2)$.
4. Lad os gå videre til den brøk, vi dividerer med.
$\frac(1-x^(-1)y)(xy^(-1)+1)=\frac(1-\frac(y)(x))(\frac(x)(y)+1 )=\frac(\frac(x-y)(x))(\frac(x+y)(y))=\frac(x-y)(x)*\frac(y)(x+y)=\frac( y(x-y))(x(x+y))$.
5. Lad os lave opdelingen.
$\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2):\frac(y(x-y))(x(x+y))=\frac(y(x-y)^2)( x(x+y)^2)*\frac(x(x+y))(y(x-y))=\frac(x-y)(x+y)$.
Vi fik den korrekte identitet, hvilket var det, vi skulle bevise.

I slutningen af ​​lektionen vil vi igen nedskrive reglerne for at arbejde med potenser, her er eksponenten et heltal.
$a^s*a^t=a^(s+t)$.
$\frac(a^s)(a^t)=a^(s-t)$.
$(a^s)^t=a^(st)$.
$(ab)^s=a^s*b^s$.
$(\frac(a)(b))^s=\frac(a^s)(b^s)$.

Problemer, der skal løses selvstændigt

1. Beregn: $3^(-2)+(\frac(3)(4))^(-3)+9^(-1)$.
2. Fremstil det givne tal som en potens af et primtal $\frac(1)(16384)$.
3. Udtryk udtrykket som en potens:
$\frac(b^(-8)*(b^3)^(-4))((b^2*b^(-7))^3)$.
4. Bevis identiteten:
$(\frac(b^(-m)-c^(-m))(b^(-m)+c^(-m))+\frac(b^(-m)+c^(-m) ))(c^(-m)-b^(-m)))=\frac(4)(b^m c^(-m)-b^(-m)c^m) $.