Metoder til løsning af differentialligninger. Første ordens differentialligninger. Ligninger af højere orden

INDLEDNING

En differentialligning er en ligning, der forbinder værdien af en ukendt funktion på et bestemt punkt og værdien af dens afledte af forskellige ordener på samme punkt. En differentialligning indeholder i sin notation en ukendt funktion, dens afledte og uafhængige variable; dog er ikke alle ligninger, der indeholder afledte af en ukendt funktion, en differentialligning.

Rækkefølgen af en differentialligning er den største rækkefølge af de derivater, der er inkluderet i den.

Processen med at løse en differentialligning kaldes integration.

Alle differentialligninger kan opdeles i lineære og ikke-lineære.

En ikke-lineær differentialligning er en differentialligning (almindelig eller partiel differential), hvori mindst én af afledningerne af en ukendt funktion (inklusive nulteordens-afledet - selve den ukendte funktion) indgår ikke-lineært.

Nogle gange under N.D.U. forstås som den mest generelle ligning af en bestemt type. For eksempel kaldes en ikke-lineær almindelig differentialligning af 1. orden. ligning med en vilkårlig funktion, i dette tilfælde svarer en lineær ordinær differentialligning af 1. orden til specialtilfældet

N.d.u. med 1. ordens partielle afledte for en ukendt funktion z af uafhængige variable har formen:

hvor F er en vilkårlig funktion af dens argumenter;

Typer af ikke-lineære differentialligninger af 1. orden

Separerede variabelligninger

Generelt integral

Ligning i totale differentialer

Der er en funktion u(x, y), sådan at

Det generelle integral af ligningen i totale differentialer er u(x, y) = C.

Funktionen u kan repræsenteres som

Homogen ligning

hvor P(x, y), Q(x, y) er homogene funktioner af samme grad

Substitutionen y = ux, dy = xdu + udx transformerer den homogene ligning til en lineær ligning med hensyn til funktionen u:

Formens ligning

1. Hvis linjerne skærer hinanden i punktet (x0; y0), så fører udskiftningen til en homogen ligning

2. Hvis linjerne er parallelle, så fører udskiftningen til en ligning med adskillelige variable

Bernoullis ligning

Substitution reduceres til lineær

Riccati ligning

Hvis nogen af løsningerne er kendt, så reduceres ligningen til

lineær substitution.

Lagranges ligning

Ved at differentiere med hensyn til x og sætte y" = p, når vi frem til en lineær ligning for x som funktion af p:

Clairauts ligning

Et særligt tilfælde af Lagrange-ligningen.

PRAKTISK DEL.

Riccati ligninger

Løs differentialligning

y" = y + y2 + 1.

Denne ligning er den enkleste Riccati-ligning med konstante koefficienter. Variablerne x, y adskilles let her, så generel løsning ligningen er defineret som følger:

differentialligning bernoulli løsning

Løs Riccati-ligningen

Vi vil lede efter en bestemt løsning i form:

Ved at indsætte dette i ligningen finder vi:

Vi får andengradsligning for c:

Vi kan vælge en hvilken som helst værdi af c. Lad f.eks. c = 2. Nu hvor den specifikke løsning er kendt, lad os foretage erstatningen:

Lad os sætte dette ind i den originale Riccati-ligning igen:

Som du kan se, har vi opnået Bernoulli-ligningen med parameteren m = 2. Lad os lave en substitution mere:

Lad os dividere Bernoulli-ligningen med z2 (forudsat at z ? 0) og skrive den i form af variablen v:

Den sidste ligning er lineær og kan let løses ved hjælp af en integrerende faktor:

Den generelle løsning af en lineær ligning bestemmes af funktionen

Nu vender vi sekventielt tilbage til de foregående variabler. Da z = 1/v, er den generelle løsning for z skrevet som følger:

Derfor,

Du kan omdøbe konstanten: 3C = C1 og skrive svaret i skemaet

hvor er C1? vilkårligt reelt tal.

Bernoulli ligninger

Denne ligning er Bernoullis ligning med en brøkparameter m = 1/2. Det kan reduceres til en lineær differentialligning ved hjælp af substitutionen

Afledt ny funktion z(x) vil være lig

Lad os dividere den oprindelige Bernoulli-ligning med

I lighed med andre eksempler på denne webside er roden y = 0 også en triviel løsning på differentialligningen. Derfor kan vi skrive:

Ved at erstatte y med z finder vi:

Så vi har en lineær ligning for funktionen z(x). Den integrerende faktor vil her være lig med

Lad os vælge funktionen u(x) = x som den integrerende faktor. Du kan kontrollere, at efter at have ganget med u(x), vil venstre side af ligningen være den afledede af produktet z(x)u(x):

Så vil den generelle løsning af den lineære differentialligning blive bestemt af udtrykket:

Vender vi tilbage til den oprindelige funktion y(x), skriver vi løsningen i implicit form:

Så det komplette svar ser sådan ud:

Adskillelige ligninger

Find alle løsninger til en differentialligning

Lad os transformere ligningen som følger:

Det er klart, at division med ey ikke fører til tab af løsning, da ey > 0. Efter integration får vi

Dette svar kan udtrykkes eksplicit:

Det sidste udtryk antager, at konstanten C > 0 for at tilfredsstille domænet for den logaritmiske funktion.

Find en bestemt løsning på ligningen med

Lad os omskrive ligningen som følger:

Divider begge sider med 1 + eks:

Da 1 + ex > 0, mistede vi ingen løsninger under division. Lad os integrere den resulterende ligning:

Lad os nu finde konstanten C fra startbetingelsen y(0) = 0.

Derfor er det endelige svar:

Clairauts ligning

Forudsat at y" = p, kan det skrives i formen

Ved at differentiere med hensyn til variablen x finder vi:

Erstat dy med pdx:

Ved at sidestille den første faktor med nul får vi:

Lad os nu sætte dette ind i den anden ligning:

Som et resultat opnår vi en generel løsning på den givne Clairaut-ligning. Grafisk er denne løsning repræsenteret som en én-parameter familie af linjer. Ved at sidestille den anden faktor med nul finder vi en anden løsning:

Denne ligning svarer til en speciel løsning af differentialligningen og er skrevet på parametrisk form som

Ved at eliminere p fra systemet får vi følgende integralkurveligning:

Fra et geometrisk synspunkt, en parabel

er konvolutten af linjefamilien bestemt af den generelle løsning.

Find generelle og specielle løsninger til differentialligningen

Lad os introducere parameteren y" = p:

Ved at differentiere begge sider af ligningen med hensyn til variablen x får vi:

Da dy = pdx, kan vi skrive:

Betragt tilfældet dp = 0. Så p = C. Sætter vi dette ind i ligningen, finder vi den generelle løsning:

Grafisk svarer denne løsning til en én-parameter familie af lige linjer.

Det andet tilfælde er beskrevet af ligningen

Lad os finde det tilsvarende parametriske udtryk for y:

Parameteren p kan udelukkes fra formlerne for x og y. Ved at kvadrere de sidste ligninger og tilføje dem får vi:

Det resulterende udtryk er ligningen for en cirkel med radius 1 placeret ved origo. Således er entalsløsningen repræsenteret af en enhedscirkel i xy-planet, som er hylsteret af en familie af rette linjer.

LITTERATUR

1. N.S. Piskunov "Differential- og integralregning", bind to, forlag "Nauka", Moskva 1985

2. V. F. Zaitsev, A. D. Polyanin. Håndbog i almindelige differentialligninger. M.: Fizmatlit, 2001.

3. K.N. Lungu, V.P. Norin et al. "Samling af problemer i højere matematik", andet år, Moskva: Iris-press, 2007.

4. E. Kamke. Håndbog i almindelige differentialligninger. M.: Nauka, 1976.

5. Kilder til information på internettet.

Den simpleste ligning 1 er en ligning af formen Som det er kendt fra integralregningens forløb, er funktionen y findes ved integration

Definition. En ligning af formen kaldes en differentialligning med adskilte variable. Det kan skrives i formen

Vi integrerer begge sider af ligningen og opnår det såkaldte generelle integral (eller generelle løsning).

Eksempel.

Løsning. Lad os skrive ligningen i formen
Lad os integrere begge sider af ligningen:

(generelt integral af en differentialligning).

Definition. En ligning af formen kaldes en ligning med adskillelige variable, hvis funktioner kan repræsenteres som et produkt af funktioner

dvs. ligningen har formen

For at løse en sådan differentialligning skal vi reducere den til form af en differentialligning med adskilte variable, hvor vi deler ligningen i produktet
Faktisk dividere alle led i ligningen med produktet
,

– differentialligning med adskilte variable.

For at løse det er det nok at integrere term for term

Når du løser en differentialligning med separerbare variable, kan du blive guidet af følgende algoritme (regel) til adskillelse af variable.

Første skridt. Hvis en differentialligning indeholder en afledt , skal det skrives som et forhold mellem differentialer:

Andet trin. Gang ligningen med
, så grupperer vi termerne, der indeholder funktionens differentiale og den uafhængige variabels differentiale
.

Tredje trin. Udtryk opnået med
, repræsentere det som et produkt af to faktorer, som hver kun indeholder én variabel (
). Hvis ligningen efter dette bliver synlig, skal du dividere den med produktet
, får vi en differentialligning med adskilte variable.

Fjerde trin. Ved at integrere ligningen led for led får vi en generel løsning på den oprindelige ligning (eller dens generelle integral).

Overvej ligningerne

№ 2.

№ 3.

Differentialligning #1 er per definition en adskillelig differentialligning. Divider ligningen med produktet
Vi får ligningen

Integrering, får vi

eller

Den sidste relation er det generelle integral af denne differentialligning.

I differentialligning nr. 2 erstatter vi
gange med
, får vi

generel løsning af en differentialligning.

Differentialligning nr. 3 er ikke en ligning med adskillelige variable, fordi efter at have skrevet den i formen

eller
,

vi ser, at udtrykket
i form af et produkt af to faktorer (en –

kun Med y, den anden – kun med X) er umuligt at forestille sig. Bemærk, at det nogle gange er nødvendigt at udføre algebraiske transformationer for at se, at en given differentialligning er med separerbare variable.

Eksempel nr. 4. Givet en ligning, transformer ligningen ved at flytte den fælles faktor til venstre
Divider venstre og højre side af ligningen med produktet
vi får

Lad os integrere begge sider af ligningen:

hvor
er det generelle integral af denne ligning.

(EN)
Bemærk, at hvis integrationskonstanten er skrevet i formen

eller
, så kan det generelle integral af denne ligning have en anden form:

– generel integral. (b) Således kan det generelle integral af den samme differentialligning have anderledes form X. Under alle omstændigheder er det vigtigt at bevise, at det resulterende generelle integral opfylder den givne differentialligning. For at gøre dette skal du differentiere ved y begge sider af ligheden definerer det generelle integral, idet der tages hensyn til det X der er en funktion fra Med.
Efter eliminering får vi identiske differentialligninger (original). Hvis det generelle integral, (se (

EN
)), Det

Hvis det generelle integral

(type (b)), så

Vi får den samme ligning som i det foregående tilfælde (a).

Lad os nu overveje simple og vigtige klasser af førsteordens ligninger, der kan reduceres til ligninger med adskillelige variable.

Så er tiden kommet til at gå videre til et mere komplekst emne, nemlig løsningen af differentialligninger (DE, i almindeligt sprogbrug, diffurs). Men ikke alt er så skræmmende, som det ser ud ved første øjekast.

Differentialligning: hvad er det?

En differentialligning (DE) er en ligning, der sammen med selve funktionen (og dens argumenter) også indeholder dens afledte eller flere afledte.

Differentialligning: hvad skal du ellers vide? Den første (og vigtigste) ting, du skal bruge, er evnen til korrekt at bestemme typen af differentialligning. For det andet, men ikke mindre vigtigt, er evnen til at integrere og differentiere godt. Det er ingen hemmelighed, at differentialligninger kan være det

forskellige typer	. Men... først, lad os bemærke, at fjernbetjeninger kommer i forskellige rækkefølger. Differentialligningens rækkefølge er rækkefølgen af den højeste afledte, der er inkluderet i differentialligningen. Klassificeringen af styresystemer i henhold til rækkefølgen af ligningen kan ses i følgende tabel:	Ligningsrækkefølge
Type af ligning
Eksempel
…	…	…
jeg

Oftest har vi at gøre med kontrolsystemer af første og anden orden, sjældnere den tredje. I 99 % af tilfældene indeholder problemer tre typer af førsteordens differentialligninger: ligninger med adskillelige variable, homogene ligninger og lineære inhomogene ligninger. Nogle gange er der også sjældnere typer differentialligninger: ligninger i totaldifferentialer, Bernoulli-ligninger osv. Blandt andenordens differentialligninger er der ofte ligninger, der kan reduceres til førsteordens differentialligninger, lineære homogene og inhomogene ligninger med konstante koefficienter .

Differentialligning: løsning - hvad betyder det, og hvordan finder man det?

Når vi løser en DE, bliver vi bedt om at finde enten en generel løsning (generel integral) eller en bestemt løsning. Generel løsning y = f(x, C) afhænger af en konstant ( MED— const), og den særlige løsning afhænger ikke af: y = f(x, C 0).

Skal færdiggøres prøvearbejde №3

Vejbeskrivelse

(emne 12-16)

Emne 12. Differentialligninger af 1. orden.

Piskunov, ch. VIII, § 1-8, fhv. 1-68

Danko, del II, kap. IV, §1

12.1 Definition af en førsteordens differentialligning.

1.Definition. Ligestilling vedrørende den uafhængige variabel X, funktion på og afledte (eller differentialer) af denne funktion kaldes en førsteordens differentialligning (DY 1) dem.

F(x,y,y")=0 eller y"=f (x,y)

Løs en førsteordens differentialligning- betyder at finde en ukendt funktion y.

2.Generel løsning af en førsteordens differentialligning kaldes en funktion y=j(x,c), Hvor C- en konstant, der, når den substitueres i en førsteordens differentialligning, gør den til en identitet. På et fly XOY generel løsning y=j(x,c) udtrykker en familie af integralkurver.

3. Enhver beslutning y= j (x,С 0) opnået fra den generelle løsning til en bestemt værdi С=С 0 ringede privat løsning første ordens differentialligning.

4. Problemet med at finde en bestemt løsning på en førsteordens differentialligning, der opfylder startbetingelsen

Eller, eller

- kaldet Cauchy-problemet

5. -DE 1 med adskillelige variable.

6. - ODE 1 – homogen differentialligning af 1. orden eller , hvor , er homogene funktioner af én dimension. Substitution anvendes

7. , hvor . DE 1, reduceret til homogen ved substitution

Hvor er linjernes skæringspunkt

Hvis , anvendes substitution

8. , hvor - kaldes en total differentialligning.

Hvor er den totale differential af funktionen

At løse denne ligning betyder at finde funktionen Og.

9. - lineær fjernbetjening 1 (LDU 1)

Hvis , så er ligningen inhomogen,

Hvis , så er ligningen homogen.

LDU 1 er integreret:

1) Bernoulli-metoden (ved anvendelse af substitutionen y = andv, Hvor u Og v- ukendte funktioner endnu)

2) Ved at bruge Lagrange-metoden, variere en vilkårlig konstant.

10. , hvor m- nummer, m¹0, m¹1- Bernoullis differentialligning, løst enten ved substitution y= uv, eller Lagrange-metoden (se afsnit 9).

12.2. Eksempler på problemløsning.

Opgave 1. Find en bestemt løsning på DE 1, der opfylder startbetingelsen.

Løsning: Dette er en ligning med adskillelige variable.

Fordi , så vil ligningen have formen:

Eller - efter at have adskilt variablerne.

Ved at integrere begge sider af den sidste ligning får vi:

Eller - generel løsning

Ved at bruge startbetingelsen finder vi . Derefter ekstraheres en bestemt opløsning fra den generelle opløsning:

Opgave 2.

Løsning: Denne ligning er homogen, da koefficienterne for dx Og dy er homogene funktioner af samme dimension (den anden) i forhold til variablerne x Og y. Anvender substitution y=xt, Hvor t- en eller anden argumentfunktion x. Hvis y=xt, derefter differentialet dy = d(xt) = tdx+ xdt, og denne ligning vil have formen:

2xxtdt+(x²t²-x²) (tdx+xdt)= 0

Reduceret med x², vil vi have:

2tdx+(t²-1) (tdx+xdt)=0

2tdx+(t²-1) tdx+x (t²-1)dt=0

t(2+t²-1) dx+x (t²-1)dt=0

t(1+t2)dx= x(1-t2)dt;.

Vi har fået en adskilt variabel ligning mhp x Og t. Ved at integrere finder vi den generelle løsning til denne ligning:

Ved at potensere finder vi , eller x(1+t²)=Ct. Af den indførte substitution følger det, at . Derfor eller x²+y²= Cy er den generelle løsning af denne ligning.

Opgave 3. Find den generelle løsning til ligningen y"-y tg x=2 xsek x.

Løsning: Denne ligning er lineær, da den indeholder den ønskede funktion y og dens afledede y" i første grad og indeholder ikke deres værker.

Anvender substitution y=uv, Hvor u Og v-nogle ukendte argumentfunktioner x. Hvis y=uv, Det y"= (uv)"= u"v+uv" og denne ligning vil have formen: u"v+uv"-uvtg x= 2x sek x,

v(u"-utg x)+ uv"= 2xsek x. (1)

Siden den nødvendige funktion y præsenteres som et produkt af to andre ukendte funktioner, så kan en af dem vælges vilkårligt. Lad os vælge en funktion u så udtrykket i parentes på venstre side af ulighed (1) bliver nul, det vil sige vi vælger funktionen u så der er ligestilling

u"-utg x= 0 (2)

Med dette valg af funktion u antager ligning (1) formen

uv"= 2x sek x. (3)

Ligning (2) er en adskillelig ligning med hensyn til u og x. Lad os løse denne ligning:

ln u= -ln cos x, eller

(For at lighed (2) kan finde sted, er det nok at finde én bestemt løsning, der opfylder denne ligning. Derfor finder vi for nemheds skyld, når vi integrerer denne ligning, den særlige løsning, der svarer til værdien af den vilkårlige konstant C = 0 .) Substituere i (3) det fundne udtryk for u, vi får:

secxv"= 2xsecx; v"= 2x; dv= 2xdx. Integrering, får vi v=x²+C. Så y=sekx(x²+C) er den generelle løsning af denne ligning.

12.3.Spørgsmål til selvkontrol.

1. Hvilken ligning kaldes differential?

2. Hvordan bestemmes rækkefølgen af en ligning? Eksempler.

3. Hvad vil det sige at bestemme?

4. Hvilken funktion kaldes en løsning?

5. Hvilken løsning kaldes generel, partikulær?

6. Hvordan finder man en bestemt løsning baseret på de oprindelige betingelser? Skriv en plan over operationer, der udføres, når du løser et eksempel y"- 2x= 0 ved startbetingelser y(-2)= 4.

7. Formuler geometrisk betydning generelle og særlige løsninger.

Differentialligning er et forhold, der ligner F(x 1 ,x 2 ,x 3 ,..,y,y′,y′′,...y (n)) = 0, og som relaterer de uafhængige variable x 1, x 2, x 3,... funktion y af disse uafhængige variable og deres afledte op til jeg- orden. Desuden funktionen F er defineret og differentieret et tilstrækkeligt antal gange i en vis række ændringer i dens argumenter.

Almindelige differentialligninger er differentialligninger, der kun indeholder én uafhængig variabel.

Partielle differentialligninger- det er differentialligninger, der indeholder 2 eller flere uafhængige variable.

En 1. ordens differentialligning i det generelle tilfælde indeholder:

1) uafhængig variabel X;

2) afhængig variabel y(fungere);

3) den første afledede af funktionen: y’ .

I nogle første ordens ligninger kan der være nej X eller/og y, men dette er ikke væsentligt - det er vigtigt, at differentialligningerne har 1. afledet y’ , og der var ingen højere ordens derivater - y’’ , y’’’ og så videre.

Differentialligning- en ligning, der forbinder værdien af den afledede af en funktion med selve funktionen, værdierne af den uafhængige variabel og tal (parametre). Rækkefølgen af de derivater, der indgår i ligningen, kan være forskellig (formelt er den ikke begrænset). Afledninger, funktioner, uafhængige variable og parametre kan indgå i ligningen i forskellige kombinationer, eller alle undtagen i det mindste 1. afledede kan være fuldstændig fraværende. Ikke enhver ligning, der indeholder afledte af en ukendt funktion, viser sig at være en differentialligning. F.eks, er ikke en differentialligning.

En differentialligning af orden højere end 1. kan omdannes til et system af 1. ordens ligninger, hvor antallet af ligninger er lig med rækkefølgen af den oprindelige ligning.

Klassifikation af differentialligninger.

Differentialligningens rækkefølge er rækkefølgen af den højeste afledte, der er inkluderet i den.

Grad af differentialligning er den eksponent, som den højeste ordens afledte er hævet til.

F.eks, 1. ordens 2. grads ligning:

F.eks, 4. ordens ligning af 1. grad:

Nogle gange skrives differentialligninger som (det inkluderer differentialer):

(x 2 - 3 xy 2 ) dx + (xy 2 - 3 x 2 y) dy = 0;

I dette tilfælde variablerne x Og y må anses for ligeværdige. Om nødvendigt kan en sådan ligning reduceres til en form, der eksplicit indeholder den afledte y". Divider med dx: