Antiderivat af funktion. Antiderivatets hovedegenskab. Antiafledt funktion og ubestemt integral

Antiderivat.

Antiderivatet er let at forstå med et eksempel.

Lad os tage funktionen y = x 3. Som vi ved fra de foregående afsnit, er den afledte af X 3 er 3 X 2:

(X 3)" = 3X 2 .

Derfor fra funktionen y = x 3 får vi ny funktion: på = 3X 2 .
Billedligt talt funktionen på = X 3 produceret funktion på = 3X 2 og er dens "forælder". I matematik er der ikke noget ord "forælder", men der er et beslægtet begreb: antiderivativ.

Altså: funktion y = x 3 er et antiderivat af funktionen på = 3X 2 .

Definition af antiderivat:

I vores eksempel ( X 3)" = 3X 2 derfor y = x 3 – antiderivat til på = 3X 2 .

Integration.

Processen med at finde den afledede af en given funktion kaldes som bekendt differentiering. Og den omvendte operation kaldes integration.

Eksempel-forklaring:

på = 3X 2 + synd x.

Løsning:

Vi ved, at antiderivatet for 3 X 2 er X 3 .

Antiderivat for synd x er –cos x.

Vi tilføjer to antiderivater og får antiderivatet for den givne funktion:

y = x 3 + (–cos x),

y = x 3 - cos x.

Svar:
til funktion på = 3X 2 + synd x y = x 3 - cos x.

Eksempel-forklaring:

Lad os finde et antiderivat for funktionen på= 2 synd x.

Løsning:

Vi bemærker, at k = 2. Antiderivatet for synd x er –cos x.

Derfor for funktionen på= 2 synd x antiderivatet er funktionen på= –2cos x.
Koefficient 2 i funktionen y = 2 sin x svarer til koefficienten for det antiderivat, hvorfra denne funktion blev dannet.

Eksempel-forklaring:

Lad os finde et antiderivat for funktionen y= synd 2 x.

Løsning:

Det bemærker vi k= 2. Antiderivat for synd x er –cos x.

Vi anvender vores formel til at finde funktionens antiderivative y= cos 2 x:

1
y= - · (–cos 2 x),
2

for 2 x
y = – ----
2

for 2 x
Svar: for en funktion y= synd 2 x antiderivatet er funktionen y = – ----
2

(4)

Eksempel-forklaring.

Lad os tage funktionen fra det forrige eksempel: y= synd 2 x.

Til denne funktion har alle antiderivater formen:

for 2 x
y = – ---- + C.
2

Forklaring.

Lad os tage den første linje. Det lyder sådan her: hvis funktionen y = f( x) er 0, så er dens antiderivat 1. Hvorfor? Fordi den afledede af enhed er nul: 1" = 0.

De resterende linjer læses i samme rækkefølge.

Hvordan skriver man data fra en tabel? Lad os tage linje otte:

(-cos x)" = synd x

Vi skriver den anden del med afledt tegn, derefter lighedstegnet og afledt.

Vi læser: antiderivat for funktionen sin x er -cos-funktionen x.

Eller: funktion -cos x er antiderivat for funktionen sin x.

Antiderivat

Definition af en antiderivatfunktion

Fungere y=F(x) kaldes antiderivatet af funktionen y=f(x) med et givet interval X, hvis for alle X ∈X lighed gælder: F′(x) = f(x)

Kan læses på to måder:

f afledet af en funktion F
F antiderivat af en funktion f

Egenskaber ved antiderivater

Hvis F(x)- antiderivat af en funktion f(x) på et givet interval, så har funktionen f(x) uendeligt mange antiderivater, og alle disse antiderivater kan skrives på formen F(x) + C, hvor C er en vilkårlig konstant.

Geometrisk fortolkning

Grafer over alle antiderivater af en given funktion f(x) opnås fra grafen for ethvert antiderivat ved parallelle translationer langs O-aksen på.

Regler for beregning af antiderivater

Antiderivatet af summen er lig med summen af antiderivaterne. Hvis F(x)- antiderivat til f(x), og G(x) er et antiderivat for g(x), Det F(x) + G(x)- antiderivat til f(x) + g(x).
Konstantfaktoren kan tages ud af fortegn for den afledte. Hvis F(x)- antiderivat til f(x), Og k- konstant altså k·F(x)- antiderivat til k f(x).
Hvis F(x)- antiderivat til f(x), Og k, b- konstant, og k ≠ 0, Det 1/k F(kx + b)- antiderivat til f(kx + b).

Huske!

Enhver funktion F(x) = x 2 + C , hvor C er en vilkårlig konstant, og kun en sådan funktion er en antiderivat for funktionen f(x) = 2x.

For eksempel:
F"(x) = (x 2 + 1)" = 2x = f(x);

f(x) = 2x, fordi F"(x) = (x 2 – 1)" = 2x = f(x);

f(x) = 2x, fordi F"(x) = (x 2 –3)" = 2x = f(x);

Forholdet mellem graferne for en funktion og dens antiafledte:

Hvis grafen for en funktion f(x)>0 F(x) stiger over dette interval.
Hvis grafen for en funktion f(x)<0 på intervallet, derefter grafen for dets antiderivat F(x) falder over dette interval.
Hvis f(x)=0, derefter grafen for dets antiderivat F(x) på dette tidspunkt skifter fra stigende til faldende (eller omvendt).

For at betegne antiderivatet bruges tegnet for det ubestemte integral, det vil sige integralet uden at angive grænserne for integration.

Ubestemt integral

Definition:

Det ubestemte integral af funktionen f(x) er udtrykket F(x) + C, det vil sige mængden af alle antiderivater af en given funktion f(x). Det ubestemte integral betegnes som følger: \int f(x) dx = F(x) + C

f(x)- kaldet integrand-funktionen;
f(x) dx- kaldet integranden;
x- kaldet integrationsvariablen;
F(x)- en af antiderivaterne af funktionen f(x);
MED- vilkårlig konstant.

Egenskaber for det ubestemte integral

Den afledede af det ubestemte integral er lig med integranden: (\int f(x) dx)\prime= f(x) .
Integrandens konstante faktor kan tages ud af integraltegnet: \int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x) dx.
Integralet af summen (forskel) af funktioner er lig med summen (forskel) af integralerne af disse funktioner: \int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx.
Hvis k, b er konstanter, og k ≠ 0, så \int f(kx + b) dx = \frac(1)(k) \cdot F(kx + b) + C.

Tabel over antiderivater og ubestemte integraler

Fungere f(x)	Antiderivat F(x) + C	Ubestemte integraler \int f(x) dx = F(x) + C
0	C	\int 0 dx = C
f(x) = k	F(x) = kx + C	\int kdx = kx + C
f(x) = x^m, m\ikke =-1	F(x) = \frac(x^(m+1))(m+1) + C	\int x(^m)dx = \frac(x^(m+1))(m+1) + C
f(x) = \frac(1)(x)	F(x) = l n \lvert x \rvert + C	\int \frac(dx)(x) = l n \lvert x \rvert + C
f(x) = e^x	F(x) = e^x + C	\int e(^x )dx = e^x + C
f(x) = a^x	F(x) = \frac(a^x)(l na) + C	\int a(^x )dx = \frac(a^x)(l na) + C
f(x) = \sin x	F(x) = -\cos x + C	\int \sin x dx = -\cos x + C
f(x) = \cos x	F(x) =\sin x + C	\int \cos x dx = \sin x + C
f(x) = \frac(1)(\sin (^2) x)	F(x) = -\ctg x + C	\int \frac (dx)(\sin (^2) x) = -\ctg x + C
f(x) = \frac(1)(\cos (^2) x)	F(x) = \tg x + C	\int \frac(dx)(\sin (^2) x) = \tg x + C
f(x) = \sqrt(x)	F(x) =\frac(2x \sqrt(x))(3) + C
f(x) =\frac(1)( \sqrt(x))	F(x) =2\sqrt(x) + C
f(x) =\frac(1)( \sqrt(1-x^2))	F(x)=\arcsin x + C	\int \frac(dx)( \sqrt(1-x^2))=\arcsin x + C
f(x) =\frac(1)( \sqrt(1+x^2))	F(x)=\arctg x + C	\int \frac(dx)( \sqrt(1+x^2))=\arctg x + C
f(x)=\frac(1)( \sqrt(a^2-x^2))	F(x)=\arcsin\frac (x)(a)+ C	\int \frac(dx)( \sqrt(a^2-x^2)) =\arcsin \frac (x)(a)+ C
f(x)=\frac(1)( \sqrt(a^2+x^2))	F(x)=\arctg \frac (x)(a)+ C	\int \frac(dx)( \sqrt(a^2+x^2)) = \frac (1)(a) \arctg \frac (x)(a)+ C
f(x) =\frac(1)( 1+x^2)	F(x)=\arctg + C	\int \frac(dx)( 1+x^2)=\arctg + C
f(x)=\frac(1)( \sqrt(x^2-a^2)) (a \not= 0)	F(x)=\frac(1)(2a)l n \lvert \frac (x-a)(x+a) \rvert + C	\int \frac(dx)( \sqrt(x^2-a^2))=\frac(1)(2a)l n \lvert \frac (x-a)(x+a) \rvert + C
f(x)=\tg x	F(x)= - l n \lvert \cos x \rvert + C	\int \tg x dx =- l n \lvert \cos x \rvert + C
f(x)=\ctg x	F(x)= l n \lvert \sin x \rvert + C	\int \ctg x dx = l n \lvert \sin x \rvert + C
f(x)=\frac(1)(\sin x)	F(x)= l n \lvert \tg \frac(x)(2) \rvert + C	\int \frac (dx)(\sin x) = l n \lvert \tg \frac(x)(2) \rvert + C
f(x)=\frac(1)(\cos x)	F(x)= l n \lvert \tg (\frac(x)(2) +\frac(\pi)(4)) \rvert + C	\int \frac (dx)(\cos x) = l n \lvert \tg (\frac(x)(2) +\frac(\pi)(4)) \rvert + C

Newton-Leibniz formel

Lade f(x) denne funktion F dets vilkårlige antiderivat.

\int_(a)^(b) f(x) dx =F(x)|_(a)^(b)= F(b) - F(a)

Hvor F(x)- antiderivat til f(x)

Det vil sige integralet af funktionen f(x) på et interval er lig med forskellen mellem antiderivater på punkter b Og -en.

Arealet af en buet trapez

Krumt trapez er en figur afgrænset af grafen for en funktion, der er ikke-negativ og kontinuerlig på et interval f, Okseakse og rette linjer x = a Og x = b.

Arealet af en buet trapez findes ved hjælp af Newton-Leibniz formlen:

S= \int_(a)^(b) f(x) dx

At løse integraler er en nem opgave, men kun for nogle få udvalgte. Denne artikel er for dem, der ønsker at lære at forstå integraler, men ved intet eller næsten intet om dem. Integral... Hvorfor er det nødvendigt? Hvordan beregner man det? Hvad er bestemte og ubestemte integraler? Hvis den eneste brug, du kender til et integral, er at bruge en hæklenål formet som et integreret ikon for at få noget brugbart ud af svært tilgængelige steder, så velkommen! Find ud af, hvordan du løser integraler, og hvorfor du ikke kan undvære det.

Vi studerer begrebet "integral"

Integration var kendt tilbage i det gamle Egypten. Selvfølgelig ikke i sin moderne form, men alligevel. Siden da har matematikere skrevet mange bøger om dette emne. Særligt fornemt Newton Og Leibniz , men essensen af tingene har ikke ændret sig. Hvordan forstår man integraler fra bunden? Ingen måde! For at forstå dette emne har du stadig brug for en grundlæggende viden om det grundlæggende i matematisk analyse. Det er denne grundlæggende information, du finder på vores blog.

Ubestemt integral

Lad os have en funktion f(x) .

Ubestemt integralfunktion f(x) denne funktion kaldes F(x) , hvis afledede er lig med funktionen f(x) .

Med andre ord er et integral en afledt omvendt eller en antiderivat. Læs forresten om hvordan i vores artikel.

Der findes et antiderivat for alle kontinuerte funktioner. Også et konstant tegn tilføjes ofte til antiderivatet, da afledte funktioner, der adskiller sig med en konstant, falder sammen. Processen med at finde integralet kaldes integration.

Simpelt eksempel:

For ikke konstant at beregne antiderivater af elementære funktioner, er det praktisk at sætte dem i en tabel og bruge færdige værdier:

Bestemt integral

Når vi beskæftiger os med begrebet et integral, har vi at gøre med uendelige små størrelser. Integralet hjælper med at beregne arealet af en figur, massen af en ikke-ensartet krop, afstanden tilbagelagt under ujævn bevægelse og meget mere. Det skal huskes, at et integral er summen af et uendeligt stort antal infinitesimale led.

Forestil dig som et eksempel en graf over en funktion. Hvordan finder man arealet af en figur afgrænset af grafen for en funktion?

Brug af et integral! Lad os opdele det krumlinjede trapez, begrænset af koordinatakserne og grafen for funktionen, i infinitesimale segmenter. På denne måde vil figuren blive opdelt i tynde søjler. Summen af søjlernes areal vil være arealet af trapez. Men husk, at en sådan beregning vil give et omtrentligt resultat. Men jo mindre og smallere segmenterne er, jo mere nøjagtig bliver beregningen. Hvis vi reducerer dem i en sådan grad, at længden har en tendens til nul, vil summen af segmenternes areal tendere til arealet af figuren. Dette er et bestemt integral, som er skrevet således:

Punkt a og b kaldes integrationsgrænser.

Bari Alibasov og gruppen "Integral"

Forresten! Til vores læsere er der nu 10% rabat på

Regler for beregning af integraler for dummies

Egenskaber for det ubestemte integral

Hvordan løser man et ubestemt integral? Her vil vi se på egenskaberne for det ubestemte integral, som vil være nyttige ved løsning af eksempler.

Den afledede af integralet er lig med integranden:

Konstanten kan tages ud under integraltegnet:

Integralet af summen er lig med summen af integralerne. Dette gælder også for forskellen:

Egenskaber af et bestemt integral

Linearitet:

Integralets fortegn ændres, hvis grænserne for integrationen byttes om:

På enhver point -en, b Og Med:

Vi har allerede fundet ud af, at et bestemt integral er grænsen for en sum. Men hvordan får man en bestemt værdi, når man løser et eksempel? Til dette er der Newton-Leibniz formlen:

Eksempler på løsning af integraler

Nedenfor vil vi overveje flere eksempler på at finde ubestemte integraler. Vi inviterer dig til selv at finde ud af løsningens forviklinger, og hvis noget er uklart, stil spørgsmål i kommentarerne.

For at forstærke materialet, se en video om, hvordan integraler løses i praksis. Fortvivl ikke, hvis integralet ikke gives med det samme. Spørg, og de vil fortælle dig alt, hvad de ved om beregning af integraler. Med vores hjælp vil ethvert tredobbelt eller krumt integral over en lukket overflade være inden for din magt.

Ubestemt integral

Hovedopgaven for differentialregning var at beregne den afledede eller differentiale af en given funktion. Integralregning, som vi går videre til undersøgelsen af, løser det omvendte problem, nemlig at finde selve funktionen ud fra dens afledte eller differentiale. Det vil sige at have dF(x)= f(x)d (7.1) eller F ′(x)= f(x),

Hvor f(x)- kendt funktion, skal finde funktionen F(x).

Definition:Funktionen F(x) kaldes antiderivat funktion f(x) på segmentet, hvis ligheden gælder på alle punkter i dette segment: F′(x) = f(x) eller dF(x)= f(x)d.

F.eks, en af de antiderivative funktioner for funktionen f(x)=3x2 vilje F(x)= x 3, fordi ( x 3)′=3x 2. Men en prototype til funktionen f(x)=3x2 der vil også være funktioner og , siden .

Altså denne funktion f(x)=3x2 har et uendeligt antal primitiver, som hver kun adskiller sig med et konstant led. Lad os vise, at dette resultat også gælder i det generelle tilfælde.

Sætning To forskellige antiderivater af samme funktion defineret i et bestemt interval adskiller sig fra hinanden på dette interval med et konstant led.

Bevis

Lad funktionen f(x) defineret på intervallet (a¸b) Og F 1 (x) Og F 2 (x) - antiderivater, dvs. F 1 ′(x)= f(x) og F 2 ′(x)= f(x).

Så F 1 ′(x)=F 2 ′(x)Þ F 1 ′(x) - F 2 ′(x) = (F 1 ′(x) - F 2 (x))′= 0. Þ F 1 (x) - F 2 (x) = C

Herfra, F 2 (x) = F 1 (x) + C

Hvor MED - konstant (en følge af Lagranges sætning bruges her).

Sætningen er således bevist.

Geometrisk illustration. Hvis på = F 1 (x) Og på = F 2 (x) – antiderivater med samme funktion f(x), derefter tangenten til deres grafer i punkter med en fælles abscisse X parallelt med hinanden (fig. 7.1).

I dette tilfælde, afstanden mellem disse kurver langs aksen Åh forbliver konstant F 2 (x) - F 1 (x) = C , altså disse kurver ind en vis forståelse"parallelle" med hinanden.

Følge .

Tilføjelse til nogle antiderivater F(x) til denne funktion f(x), defineret på intervallet X, alle mulige konstanter MED, får vi alle mulige antiderivater for funktionen f(x).

Altså udtrykket F(x)+C , hvor , og F(x) – en eller anden antiderivat af en funktion f(x) omfatter alle mulige antiderivater til f(x).

Eksempel 1. Tjek om funktioner er antiderivater af funktionen

Løsning:

Svar: antiderivater for en funktion der vil være funktioner Og

Definition: Hvis funktionen F(x) er en antiderivat af funktionen f(x), så kaldes mængden af alle antiderivater F(x)+ C ubestemt integral af f(x) og angiv:

∫f(х)dх.

Per definition:

f(x) - integrand funktion,

f(х)dх - integrant udtryk

Det følger heraf, at det ubestemte integral er en funktion af generel form, hvis differential er lig med integranden, og hvis afledte med hensyn til variablen X er lig med integranden på alle punkter.

Fra et geometrisk synspunkt et ubestemt integral er en familie af kurver, som hver fås ved at forskyde en af kurverne parallelt med sig selv op eller ned, det vil sige langs aksen Åh(Fig. 7.2).

Operationen med at beregne det ubestemte integral af en bestemt funktion kaldes integration denne funktion.

Bemærk, at hvis den afledede af en elementær funktion altid er en elementær funktion, så er antiafledningen af en elementær funktion muligvis ikke repræsenteret af et endeligt antal elementære funktioner.

Lad os nu overveje egenskaber ved det ubestemte integral.

Fra definition 2 følger:

1. Den afledte af det ubestemte integral er lig med integranden, det vil sige if F′(x) = f(x) , Det

2. Differentialet af det ubestemte integral er lig med integranden

. (7.4)

Fra definitionen af differential og ejendom (7.3)

3. Det ubestemte integral af differentialet for en bestemt funktion er lig med denne funktion op til et konstant led, dvs. (7.5)

Lad os overveje bevægelsen af et punkt langs en lige linje. Lad det tage tid t fra begyndelsen af bevægelsen har punktet tilbagelagt en afstand s(t). Så den øjeblikkelige hastighed v(t) lig med den afledede af funktionen s(t), altså v(t) = s"(t).

I praksis støder vi på det omvendte problem: givet et punkts bevægelseshastighed v(t) finde den vej hun gik s(t), altså find sådan en funktion s(t), hvis afledte er lig med v(t). Fungere s(t), sådan at s"(t) = v(t), kaldes antiderivatet af funktionen v(t).

For eksempel hvis v(t) = at, Hvor EN er et givet tal, så funktionen
s(t) = (at 2) / 2v(t), fordi
s"(t) = ((at 2) / 2) " = at = v(t).

Fungere F(x) kaldet antiderivatet af funktionen f(x) på et eller andet interval, hvis for alle X fra dette hul F"(x) = f(x).

For eksempel funktionen F(x) = sin x er antiderivatet af funktionen f(x) = cos x, fordi (sin x)" = cos x; fungere F(x) = x 4/4 er antiderivatet af funktionen f(x) = x 3, fordi (x 4 /4)" = x 3.

Lad os overveje problemet.

Opgave.

Bevis at funktionerne x 3 /3, x 3 /3 + 1, x 3 /3 – 4 er antiderivater af samme funktion f(x) = x 2.

Løsning.

1) Lad os betegne F 1 (x) = x 3 /3, derefter F" 1 (x) = 3 ∙ (x 2 /3) = x 2 = f (x).

2) F 2 (x) = x 3 /3 + 1, F" 2 (x) = (x 3 /3 + 1)" = (x 3 /3)" + (1)" = x 2 = f( x).

3) F 3 (x) = x 3 /3 – 4, F" 3 (x) = (x 3 /3 – 4)" = x 2 = f (x).

Generelt er enhver funktion x 3 /3 + C, hvor C er en konstant, en antiderivat af funktionen x 2. Dette følger af, at den afledede af konstanten er nul. Dette eksempel viser, at for en given funktion er dets antiderivat bestemt tvetydigt.

Lad F 1 (x) og F 2 (x) være to antiderivater med samme funktion f(x).

Så F 1 "(x) = f(x) og F" 2 (x) = f(x).

Afledten af deres forskel g(x) = F 1 (x) – F 2 (x) er lig med nul, da g"(x) = F" 1 (x) – F" 2 (x) = f(x) ) – f (x) = 0.

Hvis g"(x) = 0 på et bestemt interval, så er tangenten til grafen for funktionen y = g(x) i hvert punkt i dette interval parallel med Ox-aksen. Derfor er grafen for funktionen y = g(x) er en ret linje parallel med Ox-aksen, dvs. g(x) = C, hvor C er en eller anden konstant. – F 2 (x) det følger, at F 1 (x) = F 2 (x) + S.

Så hvis funktionen F(x) er en antiafledning af funktionen f(x) på et bestemt interval, så skrives alle antiafledede funktioner f(x) på formen F(x) + C, hvor C er en vilkårlig konstant .

Lad os betragte graferne for alle antiderivater af en given funktion f(x). Hvis F(x) er en af antiderivaterne af funktionen f(x), så fås enhver antiderivat af denne funktion ved at tilføje en konstant til F(x): F(x) + C. Grafer for funktioner y = F( x) + C fås fra grafen y = F(x) ved forskydning langs Oy-aksen. Ved at vælge C kan du sikre dig, at grafen for antiderivatet går gennem et givet punkt.

Lad os være opmærksomme på reglerne for at finde antiderivater.

Husk, at operationen med at finde den afledede for en given funktion kaldes differentiering. Den omvendte operation med at finde antiderivatet for en given funktion kaldes integration(fra det latinske ord "gendan").

Tabel over antiderivater for nogle funktioner kan den kompileres ved hjælp af en tabel med afledte værdier. For eksempel at vide det (cos x)" = -sin x, vi får (-cos x)" = sin x, hvoraf det følger, at alle antiderivater fungerer synd x er skrevet i formen -cos x + C, Hvor MED– konstant.

Lad os se på nogle af betydningerne af antiderivater.

1) Fungere: x p, p ≠ -1. Antiderivat: (x p+1) / (p+1) + C.

2) Fungere: 1/x, x > 0. Antiderivat: ln x + C.

3) Fungere: x p, p ≠ -1. Antiderivat: (x p+1) / (p+1) + C.

4) Fungere: e x. Antiderivat: e x + C.

5) Fungere: synd x. Antiderivat: -cos x + C.

6) Fungere: (kx + b) p, р ≠ -1, k ≠ 0. Antiderivat: (((kx + b) p+1) / k(p+1)) + C.

7) Fungere: 1/(kx + b), k ≠ 0. Antiderivat: (1/k) ln (kx + b)+ C.

8) Fungere: e kx + b, k ≠ 0. Antiderivat: (1/k) e kx + b + C.

9) Fungere: sin (kx + b), k ≠ 0. Antiderivat: (-1/k) cos (kx + b).

10) Fungere: cos (kx + b), k ≠ 0. Antiderivat: (1/k) sin (kx + b).