Uddannelsesprojekt "ligninger i opgaver oge"

Afslut sætningerne: 1). Ligningen er... 2). Grunden til ligningen er... 3). At løse en ligning betyder...

I. Løs ligningerne mundtligt: 1). 2). 3). 4). 5). 6). 7). 8). 9). 6 x + 18=0 2 x + 5=0 5 x – 3=0 -3 x + 9=0 -5 x + 1=0 -2 x – 10=0 6 x – 7=5 x 9 x + 6 \u003d 10 x 5 x - 12 \u003d 8 x

Hvilken af følgende ligninger har ingen løsninger: a). 2 x - 14 \u003d x + 7 b). 2 x - 14 \u003d 2 (x - 7) c). x - 7 \u003d 2 x + 14 g). 2 x - 14 \u003d 2 x + 7?

Hvilken af ligningerne har uendeligt mange løsninger: a). 4 x - 12 = x - 12 b). 4 x - 12 \u003d 4 x + 12 c). 4(x - 3) = 4 x - 12 g). 4 (x - 3) \u003d x - 10?

VISNINGSLIGNINGER kx + b = 0, hvor k, b er givet tal, KALDES LINEÆRE. Algoritme til løsning af lineære ligninger: 1). åbne beslag 2). flyt termerne, der indeholder det ukendte, til venstre side, og termerne, der ikke indeholder det ukendte, til højre (tegnet for det overførte medlem er omvendt); 3). bringe lige medlemmer; 4). divider begge sider af ligningen med koefficienten for det ukendte, hvis den ikke er lig med nul.

Løs i notesbøger Gruppe I: Nr. 681 s. 63 6 (4 -x) + 3 x \u003d 3 Gruppe III: Nr. 767 s. 67 (x + 6) 2 + (x + 3) 2 \u003d 2 x 2 ligninger: II gruppe: nr. 697 s. 63 x-1 + (x + 2) \u003d -4 (-5 -x) -5

En ligning med formen ax2 + bx + c \u003d 0, hvor a ≠ 0, b, c er ethvert reelt tal, kaldes kvadrat. Ufuldstændige ligninger: ax2 + bx =0 (c=0), ax2 + c =0 (b=0).

II. Løs verbalt andengradsligninger, og angiv, om de er fuldstændige eller ufuldstændige: 1). x2 + 15 x=0 2). -x2 +2 x = 03). x2 -25=04). -х2 +9 =0 5). -x2 - 16 \u003d 0 6). x2 - 8 x + 15=0 7). x2 + 5 x + 6=0 8). x2 + x - 12 =0 9). (-x-5)(-x+ 6)=0 10). x2 -4 x +4 =0

SPØRGSMÅL: 1). Hvilken egenskab ved ligninger blev brugt til at løse ufuldstændige andengradsligninger? 2). Hvilke metoder til faktorisering af et polynomium blev brugt til at løse ufuldstændige andengradsligninger? 3). Hvad er algoritmen til at løse komplette andengradsligninger?

1). Produktet af to faktorer er lig nul, hvis en af dem er lig nul, mens den anden ikke mister sin betydning: ab = 0, hvis a = 0 eller b = 0. 2). At tage en fælles faktor og en 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b) - formlen for forskellen mellem kvadrater. 3). Den komplette andengradsligning ax2 + bx + c = o. D=b 2 – 4 ac, hvis D>0, 2 rødder; D = 0, 1 rod; D

Sætning svarer til Vietas sætning: Hvis tallene a, b, c, x 1 og x 2 er sådan, at x 1 x 2 \u003d x 1 + x 2 \u003d, og x 2 er rødderne af ligningen a x 2 + bx + c \u003d 0

LØS LIGNINGERNE: Gruppe I: Nr. 802 s. 71 x2 - 5 x- 36 = 0 Gruppe II: Nr. 810 s. 71 3 x2 - x + 21 = 5 x2 Gruppe III: x4 -5 x2 - 36 = 0

III. LØS LIGNINGERNE: Gruppe I og II: Nr. 860 Gruppe III: =0 =0 Hvad kaldes sådanne ligninger? Hvilken egenskab bruges til at løse dem?

En rationel ligning er en ligning på formen =0. En brøk er nul, hvis tælleren er nul, og nævneren ikke er nul. =0 hvis a = 0, b≠ 0.

Kort fra matematikkens historie Kvadratiske og lineære ligninger var i stand til at løse selv matematikerne i det gamle Egypten. Den persiske middelalderforsker Al-Khwarizmi (IX århundrede) introducerede først algebra som en uafhængig videnskab om generelle metoder til løsning af lineære og kvadratiske ligninger, og gav en klassificering af disse ligninger. Et nyt stort gennembrud inden for matematik er forbundet med navnet på den franske videnskabsmand Francois Vieta (XVI århundrede). Det var ham, der introducerede bogstaver i algebra. Han ejer den velkendte sætning om rødderne af en andengradsligning. Og vi skylder traditionen med at betegne ukendte mængder med de sidste bogstaver i det latinske alfabet (x, y, z) til en anden fransk matematiker - Rene Descartes (XVII).

Hjemmearbejde Arbejde med websteder: - Åben opgavebank OGE (matematik) http: //85. 142.162.126/os/xmodules/qprint/index. php? proj=DE 0 E 276 E 49 7 AB 3784 C 3 FC 4 CC 20248 DC 0; - "Jeg vil løse OGE" af D. Gushchin https: //oge. sdamgia. ru/ ; - Hjemmeside for A. Larin (mulighed 119) http://alexlarin. net/. Læremidler: - Yu. M. Kolyagin lærebog "Algebra Grade 9", M., "Enlightenment", 2014, s. 308-310; - "3000 opgaver" under. redigeret af I. V. Yashchenko, M., "Eksamen", 2017, s. 5974.

Information til forældre Systemet til forberedelse til OGE i matematik 1). Samtidig gentagelse i timerne 2). Sidste gentagelse i slutningen af året 3). Valgfag (om lørdagen) 4). Lektiesystem - arbejde med websteder DECIDE OGE, ÅBEN BANK FIPI, A. LARIN SITE. 5). Individuelle konsultationer (om mandagen)

Den fjerde opgave i algebramodulet tester viden inden for håndtering af beføjelser og radikale udtryk.

Ved udførelse af opgave nr. 4 i OGE i matematik kontrolleres ikke kun evnerne til at udføre beregninger og konvertere numeriske udtryk, men også evnen til at konvertere algebraiske udtryk. Du skal muligvis udføre operationer med grader med en heltalseksponent, med polynomier, identiske transformationer af rationelle udtryk.

I overensstemmelse med hovedeksamenens materialer kan der være opgaver, der kræver implementering af identiske transformationer af rationelle udtryk, nedbrydning af polynomier i faktorer, brug af procenter og proportioner og tegn på delelighed.

Svaret i opgave 4 er et af tallene 1; 2; 3; 4 svarende til nummeret på den foreslåede besvarelse af opgaven.

Teori til opgave nummer 4

Fra teoretisk materiale, skal vi bruge regler for håndtering af grader:

Regler for at arbejde med rodfæstede udtryk:

I mine analyserede muligheder præsenteres disse regler - i analysen af den første mulighed i den tredje opgave præsenteres reglerne for håndtering af grader, og i den anden og tredje mulighed analyseres eksempler på at arbejde med radikale udtryk.

Analyse af typiske muligheder for opgave nr. 4 OGE i matematik

Den første version af opgaven

Hvilket af følgende udtryk for værdier af n er lig med produktet af 121 11 n?

121n
11n+2
112n
11n+3

Løsning:

For at løse dette problem skal du huske følgende grad regler :

når de ganges, tilføjes eksponenterne
divisionsgrader trækkes fra
når man hæver en potens til en potens, ganges potenserne
ved udtrækning af roden deles graderne

Derudover er det for løsningen nødvendigt at repræsentere 121 som en potens af 11, nemlig dette er 11 2 .

121 11 n = 11 2 11 n

Under hensyntagen til multiplikationsreglen tilføjer vi graderne:

11 2 11 n = 11 n+2

Derfor passer det andet svar os.

Den anden version af opgaven

Hvilket af følgende udtryk har den største værdi?

2√11
2√10

Løsning:

For at løse denne opgave skal du bringe alle udtryk til en fælles form - præsentere udtrykkene i form af radikale udtryk:

Vi flytter 3 under roden:

3√5 = √(3² 5) = √(9 5) = √45

Vi flytter 2 under roden:

2√11 = √(2² 11) = √(4 11) =√44

Vi flytter 2 under roden:

2√10 = √(2² 10) = √(4 10) =√40

Kvadrat 6,5:

6,5 = √(6,5²) = √42,25

Lad os se på alle de resulterende muligheder:

3√5 = √45
2√11 = √44
2√10 = √40
6,5 = √42,25

Derfor er det rigtige svar det første.

Den tredje version af opgaven

Hvilket af disse tal er rationelt?

√810
√8,1
√0,81
alle disse tal er irrationelle

Løsning:

For at løse dette problem skal du handle som følger:

Lad os først finde ud af graden af hvilket tal, der betragtes i dette eksempel - dette er tallet 9, da dets kvadrat er 81, og det ligner allerede udtrykkene i svarene. Overvej derefter formerne for tallet 9 - disse kan være:

Overvej hver af dem:

0,9 = √(0,9)² = √0,81

90 = √(90²) = √8100

Derfor er tallet √0,81 rationelt, mens de andre tal

selvom de ligner en 9 kvadratisk form, er de ikke rationelle.

Så det rigtige svar er det tredje.

Den fjerde mulighed

Efter anmodning fra et medlem af mit samfund Aftaget Diana, jeg giver en analyse af følgende opgave nummer 4:

Hvilket af følgende tal er værdien af udtrykket?

Løsning:

Bemærk, at der er en forskel (4 - √14) i nævneren, som vi skal af med. Hvordan gør man det?

For at gøre dette husker vi formlen for forkortet multiplikation, nemlig forskellen på kvadrater! For at anvende det korrekt i denne opgave skal du huske reglerne for håndtering af fraktioner. I dette tilfælde husker vi, at brøken ikke ændres, hvis tælleren og nævneren ganges med det samme tal eller udtryk. For forskellen på kvadrater mangler vi udtrykket (4 + √14), hvilket betyder, at vi gange tælleren og nævneren med det.

Derefter får vi i tælleren 4 + √14, og i nævneren forskellen mellem kvadrater: 4² - (√14)². Derefter beregnes nævneren let:

I alt ser vores handlinger således ud:

Femte mulighed (demoversion af OGE 2017)

Værdien af hvilket udtryk er et rationelt tal?

√6-3
√3 √5
(√5)²
(√6-3)²

Løsning:

I denne opgave tester vi evnerne til operationer med irrationelle tal.

Lad os analysere hvert svar i løsningen:

√6 i sig selv er et irrationelt tal, for at løse sådanne problemer er det nok at huske, at det er rationelt at udtrække roden fra kvadraterne af naturlige tal, for eksempel 4, 9, 16, 25...

Når man trækker fra et andet irrationelt tal end sig selv, vil det igen føre til et irrationelt tal, og i denne version opnås således et irrationelt tal.

Når vi multiplicerer rødder, kan vi udtrække roden fra produktet af radikale udtryk, det vil sige:

√3 √5 = √(3 5) = √15

Men √15 er irrationelt, så dette svar virker ikke.

Når vi kvadrerer en kvadratrod, får vi kun et radikalt udtryk (for at være mere præcis, et modulo radikalt udtryk, men i tilfælde af et tal, som i denne version, betyder det ikke noget), derfor:

Dette svar passer til os.

Dette udtryk repræsenterer en fortsættelse af afsnit 1, men hvis √6-3 er et irrationelt tal, kan det ikke konverteres til et rationelt tal ved nogen operationer, vi kender.

Toylonov Argymai og Toylonov Erkey

Matematisk uddannelse modtaget i en almen uddannelsesskole er en væsentlig komponent i almen uddannelse og den generelle kultur for en moderne person. Næsten alt, hvad der omgiver et moderne menneske, er på en eller anden måde forbundet med matematik. Og de seneste fremskridt inden for fysik, teknologi og informationsteknologi efterlader ingen tvivl om, at tingenes tilstand i fremtiden vil forblive den samme. Derfor er løsningen af mange praktiske problemer reduceret til at løse forskellige typer ligninger, der skal læres at løse.

Og siden 2013 er der gennemført certificering i matematik ved afslutningen af grundskolen i form af OGE. Ligesom Unified State Examination er OGE designet til at udføre certificering ikke kun i algebra, men også i hele matematikforløbet på hovedskolen.

Brorparten af opgaverne, på den ene eller anden måde, kommer ned til at tegne ligninger og deres løsninger. For at gå videre til studiet af dette emne var vi nødt til at besvare spørgsmålene: "Hvilke typer ligninger findes i OGE's opgaver? " og "Hvad er måderne til at løse disse ligninger?"

Der er således behov for at studere alle typer ligninger, der findes i OGE's opgaver. Alt ovenstående definerer

sigte arbejdet er at færdiggøre alle typer ligninger, der findes i OGE's opgaver, efter type og analysere de vigtigste måder at løse disse ligninger på.

For at nå dette mål har vi sat følgende opgaver:

1) Lær de grundlæggende ressourcer til forberedelse til de vigtigste statslige eksamener.

2) Udfyld alle ligninger efter type.

3) Analyser måderne at løse disse ligninger på.

4) Sammenstil en samling med alle typer ligninger og måder at løse dem på.

Studieobjekt: ligninger.

Undersøgelsens emne: ligninger i OGE's opgaver.

Hent:

Eksempel:

Kommunal budgetuddannelsesinstitution

"Chibit gymnasiet"

UDDANNELSESPROJEKT:

"LIGNINGER I OGE OPGAVER"

Toylonov Erkey

8. klasses elever

Vejleder: Toylonova Nadezhda Vladimirovna, lærer i matematik.

Tidslinje for projektimplementering:

fra 13.12.2017 til 13.02. 2018

Introduktion ………………………………………………………………..
Historisk reference …………………………………………………………
Kapitel 1 Løsning af ligninger …………………………………………………...
1.1 Løsning af lineære ligninger …………………………………………
1.2 Kvadratiske ligninger …………………………………………………………
1.2.1 Ufuldstændige andengradsligninger …………………………………	9-11
1.2.2 Komplet andengradsligninger …………………………………………	11-14
1.2.3 Særlige metoder til løsning af andengradsligninger ………………….	14-15
1.3 Rationelle ligninger ………………………………………………….	15-17
Kapitel 2 Komplekse ligninger ………………………………………………….	18-24
Konklusioner …………………………………………………………………………
Liste over brugt litteratur …………………………………
Bilag 1 "Lineære ligninger" ……………………………….	26-27
Bilag 2 "Ufuldstændige kvadratiske ligninger" …………………	28-30
Bilag 3 "Fuldstændige kvadratiske ligninger" …………………………	31-33
Bilag 4 "Rationelle ligninger" ………………………….	34-35
Bilag 5 "Komplekse ligninger" ………………………………..	36-40

INTRODUKTION

Matematisk uddannelse modtaget i en almen uddannelsesskole er en væsentlig komponent i almen uddannelse og den generelle kultur for en moderne person. Næsten alt, hvad der omgiver et moderne menneske, er på en eller anden måde forbundet med matematik. Og de seneste fremskridt inden for fysik, teknik og informationsteknologi efterlader ingen tvivl om, at tingenes tilstand i fremtiden vil forblive den samme. Derfor er løsningen af mange praktiske problemer reduceret til at løse forskellige typer ligninger, der skal læres at løse.

Der er således behov for at studere alle typer ligninger, der findes i OGE's opgaver. Alt ovenstående definererrelevansen af problemet med det udførte arbejde.

sigte arbejdet er at færdiggøre alle typer ligninger, der findes i OGE's opgaver, efter type og analysere de vigtigste måder at løse disse ligninger på.

For at nå dette mål har vi sat følgende opgaver:

1) Lær de grundlæggende ressourcer til forberedelse til de vigtigste statslige eksamener.

2) Udfyld alle ligninger efter type.

3) Analyser måderne at løse disse ligninger på.

4) Sammenstil en samling med alle typer ligninger og måder at løse dem på.

Studieobjekt: ligninger.

Undersøgelsens emne:ligninger i OGE's opgaver.

Projektets arbejdsplan:

Formulering af projektets tema.
Udvælgelse af materiale fra officielle kilder om et givent emne.
Behandling og systematisering af information.
Projektgennemførelse.
Projektdesign.
Projektbeskyttelse.

Problem : uddybe din forståelse af ligninger. Vis de vigtigste metoder til løsning af ligningerne præsenteret i OGE's opgaver i første og anden del.

Dette arbejde er et forsøg på at generalisere og systematisere det undersøgte materiale og at studere nyt. Projektet omfatter: lineære ligninger med overførsel af led fra en del af ligningen til en anden og anvendelse af ligningers egenskaber, samt problemstillinger løst af ligningen, alle typer andengradsligninger og metoder til løsning af rationelle ligninger.

Matematik... afslører orden, symmetri og sikkerhed,

og disse er de vigtigste slags skønhed.

Aristoteles.

Historisk reference

I de fjerne tider, hvor de vise mænd først begyndte at tænke på ligheder, der indeholdt ukendte mængder, var der sandsynligvis ingen mønter eller tegnebøger endnu. Men på den anden side var der dynger, samt gryder, kurve, som var perfekte til rollen som caches-butikker med et ukendt antal varer. "Vi leder efter en bunke, som sammen med to tredjedele af den, en halv og en syvendedel, er 37 ...", lærte den egyptiske skriftlærde Ahmes i det andet årtusinde f.Kr. I de gamle matematiske problemer i Mesopotamien, Indien, Kina, Grækenland udtrykte ukendte mængder antallet af påfugle i haven, antallet af tyre i flokken, helheden af ting, der blev taget i betragtning ved opdeling af ejendom. Skriftkloge, embedsmænd og præster indviet i hemmelig viden, veluddannede i tællevidenskaben, klarede sådanne opgaver ganske vellykket.

Kilder, der er kommet ned til os, indikerer, at gamle videnskabsmænd besad nogle generelle metoder til at løse problemer med ukendte mængder. Men ikke en eneste papyrus, ikke en eneste lertablet giver en beskrivelse af disse teknikker. Forfatterne forsynede kun lejlighedsvis deres numeriske beregninger med slemme kommentarer som: "Se!", "Gør det!", "Du fandt det rigtigt." I denne forstand er undtagelsen "aritmetikken" af den græske matematiker Diophantus fra Alexandria (III århundrede) - en samling af problemer til kompilering af ligninger med en systematisk præsentation af deres løsninger.

Baghdad-forskerens arbejde fra det 9. århundrede blev imidlertid den første manual til løsning af problemer, der blev almindeligt kendt. Muhammad bin Musa al-Khwarizmi. Ordet "al-jabr" fra den arabiske titel på denne afhandling - "Kitab al-jaber wal-muqabala" ("Bogen om restaurering og kontrast") - blev med tiden til ordet "algebra", der er velkendt for alle, og arbejdet fra al-Khwarizmi selv tjente som udgangspunkt i udviklingen af videnskaben om at løse ligninger.

Så hvad er en ligning?

Der er en ligning i rettigheder, en tidsligning (oversættelse af sand soltid til middelsoltid, accepteret i herberget og i videnskaben; aster) osv.

I matematik er en matematisk ligning, der indeholder en eller flere ukendte størrelser og forbliver kun gyldig for visse værdier af disse ukendte mængder.

I ligninger med én variabel er det ukendte normalt betegnet med bogstavet " X ". Værdien af "x , som opfylder disse betingelser, kaldes roden af ligningen.

Ligningerne er forskellige. arter:

ax + b = 0. - Lineær ligning.
ax 2 + bx + c = 0. - Kvadratisk ligning.
ax 4 + bx 2 + c = 0. - Biquadratisk ligning.

– Rationel ligning.

– Irrationel ligning.
Der er sådannemåder at løse ligninger på Hvordan: algebraisk, aritmetisk og geometrisk. Overvej den algebraiske måde.

løse ligningener at finde sådanne værdier af x, der, når de erstattes i det oprindelige udtryk, vil give os den korrekte lighed eller bevise, at der ikke er nogen løsninger. At løse ligninger, hvor vanskeligt det end er, er spændende. Det er trods alt virkelig overraskende, når en hel strøm af tal afhænger af ét ukendt tal.

I ligninger, for at finde det ukendte, er det nødvendigt at transformere og forenkle det oprindelige udtryk. Og så, når du ændrer udseendet, ændres essensen af udtrykket ikke. Sådanne transformationer kaldes identiske eller ækvivalente.

Kapitel 1 Ligningsløsning

1.1 Løsning af lineære ligninger.

Nu vil vi overveje løsningerne af lineære ligninger. Husk, at en ligning af formenkaldes en lineær ligning eller en ligning af første grad, da med variablen " x »den højeste grad er i den første grad.

Løsningen til den lineære ligning er meget enkel:

Eksempel 1: Løs ligning 3 x+3=5x

Den lineære ligning løses ved metoden til at overføre termer, der indeholder ukendte, til venstre side af lighedstegnet, frie koefficienter til højre side af lighedstegnet:

3 x – 5 x = – 3

2x=-3

x=1,5

Værdien af en variabel, der gør en ligning til en sand lighed kaldes roden af ligningen.

Efter kontrol får vi:

Så 1,5 er roden af ligningen.

Svar: 1.5.

Løsning af ligninger ved at overføre led fra en del af ligningen til en anden, mens ledtegnet skifter til det modsatte og gælder ejendomme ligninger - begge dele af ligningen kan ganges (divideres) med det samme ikke-nul tal eller udtryk, kan tages i betragtning ved løsning af følgende ligninger.

Eksempel 2. Løs ligningerne:

a) 6 x +1 = - 4 x; b) 8 + 7 x \u003d 9 x +4; c) 4(x − 8)=− 5.

Løsning.

a) Ved overførselsmetoden løser vi

6x + 4x = -1;

10x=─ 1;

x=─ 1:10;

x=─ 0,1.

Undersøgelse:

Svar: -0,1

b) På samme måde som i det foregående eksempel løser vi ved overførselsmetoden:

Svar: 2.

c) I denne ligning er det nødvendigt at åbne parenteserne ved at anvende den fordelende egenskab for multiplikation med hensyn til additionsoperationen.

Svar: 6,75.

1.2 Andengradsligninger

Type ligning kaldes en andengradsligning, hvor-en - seniorkoefficient, b er gennemsnitskoefficienten, c er frileddet.

Afhængig af koefficienterne a, b og c - ligningen kan være fuldstændig eller ufuldstændig, reduceret eller ikke reduceret.

1.2.1 Ufuldstændige andengradsligninger

Overvej måder at løse ufuldstændige andengradsligninger på:

1) Lad os begynde at beskæftige os med løsningen af den første type ufuldstændige andengradsligninger for c=0 . Ufuldstændige andengradsligninger af formen a x 2 + b x=0 giver dig mulighed for at løsefaktoriseringsmetode. Især parentesmetoden.

Det er klart, at vi kan, placeret på venstre side af ligningen, for hvilket det er nok at tage den fælles faktor ud af parentes x . Dette giver dig mulighed for at gå fra den oprindelige ufuldstændige andengradsligning til en ækvivalent ligning af formen: x·(a·x+b)=0.

Og denne ligning svarer til kombinationen af to ligninger x=0 eller a x+b=0 , hvoraf den sidste er lineær og har en rod x=− .

a x 2 + b x=0 har to rødder

x=0 og x=− .

2) Overvej nu, hvordan ufuldstændige andengradsligninger løses, hvor koefficienten b er nul og c≠0 , altså formens ligninger a x2 +c=0 . Vi ved, at overførslen af et led fra den ene side af ligningen til den anden med det modsatte fortegn, såvel som divideringen af begge sider af ligningen med et tal, der ikke er nul, giver en ækvivalent ligning. Derfor kan vi udføre følgende ækvivalente transformationer af den ufuldstændige andengradsligning a x 2 +c=0 :

flytte c til højre, hvilket giver ligningen a x 2 =−c ,
og del begge dele i a, vi får.

Den resulterende ligning giver os mulighed for at drage konklusioner om dens rødder.

Hvis nummer er negativ, så har ligningen ingen rødder. Dette udsagn følger af det faktum, at kvadratet af ethvert tal er et ikke-negativt tal.

Hvis er et positivt tal, så er situationen med ligningens rødder anderledes. I dette tilfælde skal du huske, at der er en rod af ligningen, det er et tal. Grunden af ligningen beregnes i henhold til skemaet:

Det er kendt, at substitution ind i ligningen i stedet for x dens rødder gør ligningen til en sand lighed.

Lad os opsummere oplysningerne i dette afsnit. Ufuldstændig andengradsligning a x2 +c=0 svarer til ligningen, hvilken

3) Løsninger af ufuldstændige andengradsligninger, hvor koefficienterne b og c er lig med nul, det vil sige fra formens ligninger a x 2 \u003d 0. Ligningen a x 2 =0 følger efter x 2 =0 , som fås fra originalen ved at dividere begge dele af den med et ikke-nul tal-en . Det er klart, roden af ligningen x2=0 er nul fordi 0 2 =0 . Denne ligning har ingen andre rødder.

Altså den ufuldstændige andengradsligning a x 2 \u003d 0 har en enkelt rod x=0.

Eksempel 3 Løs ligningerne: a) x 2 \u003d 5x, hvis ligningen har flere rødder, skal du i svaret angive den mindste af dem;

b) , hvis ligningen har flere rødder, så angiv den største af dem i svaret;

c) x 2 −9=0, hvis ligningen har flere rødder, så angiv den mindste i dit svar.

Løsning.

Vi fik en ufuldstændig andengradsligning, som der ikke er noget frit led for. Vi løser ved metoden at tage ud af beslag.

På Ligningen kan have to rødder, hvoraf den mindste er 0.

Svar: 0.

b) . På samme måde som i det foregående eksempel anvender vi bracketing-metoden

I svaret skal du angive den største af rødderne. Det er nummer 2.

Svar: 2.

V) . Denne ligning er en ufuldstændig andengradsligning, der ikke har en gennemsnitskoefficient.

Den mindste af disse rødder er tallet - 3.

Svar: -3.

1.2.2 Komplet andengradsligninger.

1. Diskriminant, den grundlæggende formel for rødderne af en andengradsligning

Der er en rodformel.

Lad os skrive ned formlen for rødderne af den kvadratiske ligning trin for trin:

1) D=b 2 −4 a c - såkaldte.

a) hvis D

b) hvis D>0, så ligningenhar ikke én rod:

c) hvis D har ikke to rødder:

Algoritme til løsning af andengradsligninger ved hjælp af rodformler

I praksis, når du løser en andengradsligning, kan du straks bruge rodformlen, som du kan beregne deres værdier med. Men det her handler mere om at finde komplekse rødder.

Men i et skolealgebrakursus taler vi normalt ikke om komplekse, men om reelle rødder af en andengradsligning. I dette tilfælde er det tilrådeligt først at finde diskriminanten, før du bruger formlerne til rødderne af andengradsligningen, sørg for, at den er ikke-negativ (ellers kan vi konkludere, at ligningen ikke har nogen reelle rødder), og derefter udregn værdierne af rødderne.

Ovenstående ræsonnement giver os mulighed for at skrivealgoritme til løsning af en andengradsligning. At løse en andengradsligning a x 2 +b x+c=0, du skal bruge:

ved diskriminantformlen D=b 2 −4 a c beregne dens værdi;
konkludere, at andengradsligningen ikke har nogen reelle rødder, hvis diskriminanten er negativ;
beregn den eneste rod af ligningen med formlen if D=0;
find to reelle rødder af en andengradsligning ved hjælp af rodformlen, hvis diskriminanten er positiv.

2. Diskriminant, den anden formel for rødderne af andengradsligningen (for en lige anden koefficient).

At løse andengradsligninger af formen, med en jævn koefficient b=2k der er en anden formel.

Lad os skrive en ny formlen for rødderne af andengradsligningen for:

1) D’=k 2 −a c - såkaldtediskriminant af en andengradsligning.

a) hvis D' har ingen rigtige rødder;

b) hvis D'>0, så ligningenhar ikke én rod:

c) hvis D' har ikke to rødder:

Eksempel 4 Løs ligningen 2x 2 −3x+1=0.. Hvis ligningen har mere end én rod, så skriv den største af rødderne ned som svar.

Løsning. I det første tilfælde har vi følgende koefficienter for andengradsligningen: a=2, b=-3 og c=1 D=b 2 −4 a c=(-3) 2 −4 2 1=9-8=1 . Siden 1>0

Vi har fik to rødder, hvoraf den største er tallet 1.

Svar: 1.

Eksempel 5 Løs ligning x 2 −21=4x.

Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den største af rødderne ned som svar.

Løsning. I analogi med det foregående eksempel flytter vi 4h til venstre for lighedstegnet og får:

I dette tilfælde har vi følgende koefficienter for andengradsligningen: a=1, k=-2 og c=-21 . Ifølge algoritmen skal du først beregne diskriminanten D'=k 2 −a c=(-2) 2 −1 (−21)=4+21=25 . Nummer 25>0 , dvs. diskriminanten er større end nul, så har andengradsligningen to reelle rødder. Lad os finde dem ved hjælp af rodformlen

Svar: 7.

1.2.3 Særlige metoder til løsning af andengradsligninger.

1) Sammenhæng mellem rødder og koefficienter for en andengradsligning. Vietas sætning.

Formlen for rødderne af en andengradsligning udtrykker rødderne af en ligning i form af dens koefficienter. Ud fra formlen for rødderne kan du få andre sammenhænge mellem rødderne og koefficienter.

Den mest berømte og anvendelige formel kaldes Vietas sætning.

Sætning: Lad - rødder af den reducerede andengradsligning. Så er produktet af rødderne lig med det frie led, og summen af rødderne er lig med den modsatte værdi af den anden koefficient:

Ved at bruge de allerede skrevne formler kan man få en række andre sammenhænge mellem andengradsligningens rødder og koefficienter. For eksempel kan du udtrykke summen af kvadraterne af rødderne af en andengradsligning i form af dens koefficienter.

Eksempel 6 a) Løs ligningen x 2

b) Løs ligningen x 2

c) Løs ligningen x 2

Løsning.

a) Løs ligningen x 2 −6x+5=0. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den mindste af rødderne ned som svar.

Vælg den mindste af rødderne

Svar: 1

b) Løs ligningen x 2 +7x+10=0. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den største af rødderne ned som svar.

Ved at anvende Vieta-sætningen skriver vi formler for rødderne

Logisk konkluderer vi det. Vælg den største af rødderne

Svar: ─2.

c) Løs ligningen x 2 ─5x─14=0. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den største af rødderne ned som svar.

Ved at anvende Vieta-sætningen skriver vi formler for rødderne

Logisk konkluderer vi det. Vælg den mindste af rødderne

Svar: ─2.

1.3 Rationelle ligninger

Hvis du får en ligning med brøkdele af formenmed en variabel i tælleren eller nævneren, så kaldes et sådant udtryk en rationel ligning. En rationel ligning er enhver ligning, der indeholder mindst ét rationelt udtryk. Rationelle ligninger løses på samme måde som alle ligninger: de samme operationer udføres på begge sider af ligningen, indtil variablen er isoleret på den ene side af ligningen. Der er dog 2 metoder til at løse rationelle ligninger.

1) Multiplikation på kryds og tværs.Om nødvendigt, omskriv ligningen givet til dig, så der på hver side er en brøk (et rationelt udtryk); kun da kan du bruge krydsmultiplikationsmetoden.

Gang tælleren for venstre brøk med nævneren til højre. Gentag dette med tælleren for den højre brøk og nævneren for den venstre.

Tværgående multiplikation er baseret på grundlæggende algebraiske principper. I rationelle udtryk og andre brøker kan du slippe af med tælleren ved at gange tællere og nævnere af de to brøker tilsvarende.
Sæt lighedstegn mellem de resulterende udtryk og forenkle dem.
Løs den resulterende ligning, det vil sige find "x". Hvis "x" er på begge sider af ligningen, skal du isolere det på den ene side af ligningen.

2) Den mindste fællesnævner (LCD) bruges til at forenkle denne ligning.Denne metode bruges, når du ikke kan skrive den givne ligning med ét rationelt udtryk på hver side af ligningen (og bruge krydsmultiplikationsmetoden). Denne metode bruges, når du får en rationel ligning med 3 eller flere brøker (i tilfælde af to brøker er krydsmultiplikation bedre).

Find den mindste fællesnævner af brøker (eller mindste fælles multiplum).NOZ er det mindste tal, der er ligeligt deleligt med hver nævner.
Multiplicer både tælleren og nævneren for hver brøk med et tal svarende til resultatet af at dividere NOZ med den tilsvarende nævner for hver brøk.
Find x. Nu hvor du har reduceret brøkerne til en fællesnævner, kan du slippe af med nævneren. For at gøre dette skal du gange hver side af ligningen med en fællesnævner. Løs derefter den resulterende ligning, det vil sige find "x". For at gøre dette skal du isolere variablen på den ene side af ligningen.

Eksempel 7 Løs ligningerne: a); b) c).

Løsning.

EN) . Vi bruger krydsmultiplikationsmetoden.

Åbn parenteserne og tilføj lignende udtryk.

fik en lineær ligning med en ukendt

Svar: ─10.

b) , i lighed med det foregående eksempel, anvender vi multiplikationsmetoden kryds for kryds.

Svar: ─1.9.

V) , bruger vi den mindste fællesnævner (LCD) metode.

I dette eksempel vil fællesnævneren være 12.

Svar: 5.

Kapitel 2 Komplekse ligninger

Ligninger, der tilhører kategorien komplekse ligninger, kan kombinere forskellige metoder og teknikker til løsning. Men på den ene eller anden måde fører alle ligninger ved hjælp af logisk ræsonnement og tilsvarende handlinger til ligninger, der tidligere blev undersøgt.

Eksempel 7 Løs ligningen( x+3)2 =(x+8)2.

Løsning. I henhold til formlerne for forkortet multiplikation åbner vi parenteserne:

Vi overfører alle udtryk ud over lighedstegnet og giver lignende,

Svar: 5.5.

Eksempel 8 Løs ligningerne: a)(− 5 x +3)(− x +6)=0, b) (x +2)(− x +6)=0.

Løsning.

a)(− 5 x +3)(− x +6)=0; Åbn parenteserne og giv lignende vilkår

opnået en komplet andengradsligning, som vi vil løse gennem den første formel for diskriminanten

ligningen har to rødder

Svar: 0,6 og 6.

b) (x +2)(− x +6)=0, til denne ligning vil vi lave logiske ræsonnementer (produktet er lig nul, når en af faktorerne er lig nul). Midler

Svar: ─2 og 6.

Eksempel 9 Løs ligningerne:, b).

Løsning. At finde den laveste fællesnævner

Vi skriver i faldende rækkefølge af variablens potenser

; opnået en komplet andengradsligning med en lige anden koefficient

Ligningen har to reelle rødder

Svar: .

b) . Begrundelsen er den samme a). Finder NOZ

Åbn parenteserne og giv lignende vilkår

vi løser den komplette andengradsligning gennem den generelle formel

Svar: .

Eksempel 10 Løs ligningerne:

Løsning.

EN) , Vi bemærker, at på venstre side er udtrykket inden for parenteserne formlen for forkortet multiplikation, mere præcist kvadratet af summen af to udtryk. Lad os forvandle det

; flyt vilkårene i denne ligning i én retning

tage den ud af parentes

Produktet er nul, når en af faktorerne er nul. Midler,

Svar: ─2, ─1 og 1.

b) Vi argumenterer på samme måde som for eksempel a)

, ved Vietas sætning

Svar:

Eksempel 11. Løs ligningerne a)

Løsning.

EN) ; [på venstre og højre side af ligningen kan vi anvende bracketing-metoden, og på venstre side vil vi tage ud, og på højre side tager vi tallet 16 ud.]

[Lad os flytte alt til den ene side og igen anvende bracketing-metoden. Vi vil tage den fælles faktor ud]

[produktet er nul, når en af faktorerne er nul.]

Svar:

b) . [Denne ligning ligner ligning a). Derfor er grupperingsmetoden i dette tilfælde anvendelig]

Svar:

Eksempel 12. Løs ligningen=0.

Løsning.

0 [biquadratisk ligning. Løsning ved ændring af variabel metode].

0; [Ved at anvende Vieta-sætningen får vi rødderne]

. [tilbage til tidligere variabler]

Svar:

Eksempel 13 Løs ligningen

Løsning. [biquadratisk ligning, slip med den lige grad ved at anvende modulo-tegn.]

[vi har to andengradsligninger, som vi løser gennem grundformlen for andengradsligningens rødder]

der er ingen rigtige rødder ligningen har to rødder

Svar:

Eksempel 14 Løs ligningen

Løsning.

ODZ:

[vi overfører alle led i ligningen til venstre side og bringer lignende led]

[vi fik den reducerede andengradsligning, som let løses af Vieta-sætningen]

Tallet - 1 opfylder ikke ODZ for den givne ligning, derfor kan det ikke være roden til denne ligning. Så roden er kun tallet 7.

Svar: 7.

Eksempel 15 Løs ligningen

Løsning.

Summen af kvadraterne af to udtryk kan kun være lig nul, hvis udtrykkene er lig nul på samme tid. Nemlig

[Løs hver ligning separat]

Ifølge Vietas sætning

Sammenfaldet af rødderne lig med -5 vil være roden til ligningen.

Svar: - 5.

KONKLUSION

Sammenfattende resultaterne af det udførte arbejde kan vi konkludere, at ligninger spiller en stor rolle i udviklingen af matematik. Vi systematiserede den erhvervede viden, opsummerede det dækkede materiale. Denne viden kan forberede os til de kommende eksamener.

Vores arbejde gør det muligt at se anderledes på de problemer, som matematikken stiller os foran os.

i slutningen af projektet systematiserede og generaliserede vi de tidligere undersøgte metoder til løsning af ligninger;
stiftet bekendtskab med nye måder at løse ligninger på og egenskaber ved ligninger;

betragtet alle typer ligninger, der er i OGE's opgaver både i første del og i anden del.
Oprettet en metodisk samling "Ligninger i OGE's opgaver".

Vi mener, at vi har nået det opstillede mål - at overveje alle typer ligninger i opgaverne til hovedstatsprøven i matematik.

Liste over brugt litteratur:

1. B.V. Gnedenko "Matematik i den moderne verden". Moskva "Oplysning" 1980

2. Ya.I. Perelman "Underholdende algebra". Moskva "Science" 1978

6. http://tutorial.math.lamar.edu

7. http://www.regentsprep.org

8. http://www.fipi.ru

Bilag 1

Lineære ligninger

1. Find roden af ligningen

2. Find roden af ligningen

3. Find roden af ligningen

Bilag 2

Ufuldstændige andengradsligninger

1. Løs ligningen x 2 =5x. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den mindste af rødderne ned som svar.

2. Løs ligningen 2x 2 = 8x. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den mindste af rødderne ned som svar.

3. Løs ligningen 3x 2 =9x. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den mindste af rødderne ned som svar.

4. Løs ligningen 4x 2 =20x. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den mindste af rødderne ned som svar.

5. Løs ligningen 5x 2 =35x. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den mindste af rødderne ned som svar.

6. Løs ligningen 6x 2 =36x. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den mindste af rødderne ned som svar.

7. Løs ligningen 7x 2 =42x. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den mindste af rødderne ned som svar.

8. Løs ligningen 8x 2 =72x. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den mindste af rødderne ned som svar.

9. Løs ligningen 9x 2 =54x. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den mindste af rødderne ned som svar.

10. Løs ligningen 10x2 = 80x. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den mindste af rødderne ned som svar.

11. Løs ligningen 5x2 −10x=0. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den største af rødderne ned som svar.

12. Løs ligningen 3x2 −9x=0. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den største af rødderne ned som svar.

13. Løs ligningen 4x2 −16x=0. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den største af rødderne ned som svar.

14. Løs ligningen 5x2 +15x=0. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den mindste af rødderne ned som svar.

15. Løs ligningen 3x2 +18x=0. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den mindste af rødderne ned som svar.

16. Løs ligningen 6x2 +24x=0. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den mindste af rødderne ned som svar.

17. Løs ligningen 4x2 −20x=0. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den største af rødderne ned som svar.

18. Løs ligningen 5x2 +20x=0. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den mindste af rødderne ned som svar.

19. Løs ligningen 7x2 −14x=0. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den største af rødderne ned som svar.

20. Løs ligningen 3x2 +12x=0. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den mindste af rødderne ned som svar.

21. Løs ligningen x2 −9=0. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den mindste af rødderne ned som svar.

22. Løs ligningen x2 −121=0. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den mindste af rødderne ned som svar.

23. Løs ligningen x2 −16=0. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den mindste af rødderne ned som svar.

24. Løs ligningen x2 −25=0. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den mindste af rødderne ned som svar.

25. Løs ligning x2 −49=0. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den mindste af rødderne ned som svar.

26. Løs ligningen x2 −81=0. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den mindste af rødderne ned som svar.

27. Løs ligningen x2 −4=0. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den mindste af rødderne ned som svar.

28. Løs ligning x2 −64=0. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den mindste af rødderne ned som svar.

29. Løs ligningen x2 −36=0. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den mindste af rødderne ned som svar.

30. Løs ligning x2 −144=0. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den mindste af rødderne ned som svar.

31. Løs ligningen x2 −9=0. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den største af rødderne ned som svar.

32. Løs ligningen x2 −121=0. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den største af rødderne ned som svar.

33. Løs ligningen x2 −16=0. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den største af rødderne ned som svar.

34. Løs ligningen x2 −25=0. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den største af rødderne ned som svar.

35. Løs ligning x2 −49=0. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den største af rødderne ned som svar.

36. Løs ligning x2 −81=0. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den største af rødderne ned som svar.

37. Løs ligningen x2 −4=0. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den største af rødderne ned som svar.

38. Løs ligningen x2 −64=0. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den største af rødderne ned som svar.

39. Løs ligningen x2 −36=0. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den største af rødderne ned som svar.

40. Løs ligning x2 −144=0. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den største af rødderne ned som svar.

Bilag 3

Fuldfør andengradsligninger

1. Løs ligningen x2 +3x=10. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den største af rødderne ned som svar.

2. Løs ligning x2 +7x=18. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den største af rødderne ned som svar.

3. Løs ligning x2 +2x=15. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den mindste af rødderne ned som svar.

4. Løs ligning x2 −6x=16. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den mindste af rødderne ned som svar.

5. Løs ligning x2 −3x=18. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den største af rødderne ned som svar.

6. Løs ligning x2 −18=7x. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den største af rødderne ned som svar.

7. Løs ligning x2 +4x=21. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den mindste af rødderne ned som svar.

8. Løs ligning x2 −21=4x. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den største af rødderne ned som svar.

9. Løs ligning x2 −15=2x. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den mindste af rødderne ned som svar.

10. Løs ligning x2 −5x=14. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den største af rødderne ned som svar.

11. Løs ligning x2 +6=5x. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den mindste af rødderne ned som svar.

12. Løs ligning x2 +4=5x. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den største af rødderne ned som svar.

13. Løs ligning x2 −x=12. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den største af rødderne ned som svar.

14. Løs ligning x2 +4x=5. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den mindste af rødderne ned som svar.

15. Løs ligning x2 −7x=8. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den største af rødderne ned som svar.

16. Løs ligning x2 +7=8x. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den mindste af rødderne ned som svar.

17. Løs ligning x2 +18=9x. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den mindste af rødderne ned som svar.

18. Løs ligning x2 +10=7x. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den største af rødderne ned som svar.

19. Løs ligningen x2 −20=x. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den største af rødderne ned som svar.

20. Løs ligningen x2 −35=2x. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den mindste af rødderne ned som svar.

21. Løs ligningen 2x2 −3x+1=0. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den mindste af rødderne ned som svar.

22. Løs ligningen 5x2 +4x−1=0. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den største af rødderne ned som svar.

23. Løs ligningen 2x2 +5x−7=0. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den mindste af rødderne ned som svar.

24. Løs ligningen 5x2 −12x+7=0. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den største af rødderne ned som svar.

25. Løs ligningen 5x2 −9x+4=0. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den mindste af rødderne ned som svar.

26. Løs ligningen 8x2 −12x+4=0. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den mindste af rødderne ned som svar.

27. Løs ligningen 8x2 −10x+2=0. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den mindste af rødderne ned som svar.

28. Løs ligningen 6x2 −9x+3=0. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den mindste af rødderne ned som svar.

29. Løs ligningen 5x2 +9x+4=0. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den største af rødderne ned som svar.

30. Løs ligningen 5x2 +8x+3=0. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den største af rødderne ned som svar.

31. Løs ligningen x2 −6x+5=0. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den mindste af rødderne ned som svar.

32. Løs ligningen x2 −7x+10=0. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den mindste af rødderne ned som svar.

33. Løs ligningen x2 −9x+18=0. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den mindste af rødderne ned som svar.

34. Løs ligningen x2 −10x+24=0. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den mindste af rødderne ned som svar.

35. Løs ligning x2 −11x+30=0. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den mindste af rødderne ned som svar.

36. Løs ligning x2 −8x+12=0. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den største af rødderne ned som svar.

37. Løs ligningen x2 −10x+21=0. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den største af rødderne ned som svar.

38. Løs ligningen x2 −9x+8=0. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den største af rødderne ned som svar.

39. Løs ligningen x2 −11x+18=0. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den største af rødderne ned som svar.

40. Løs ligning x2 −12x+20=0. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den største af rødderne ned som svar.

Bilag 4

Rationelle ligninger.

1. Find roden af ligningen

2. Find roden af ligningen

3. Find roden af ligningen

4. Find roden af ligningen

5. Find roden af ligningen

6. Find roden af ligningen.

7. Find roden af ligningen

8. Find roden af ligningen

9. Find roden af ligningen.

10. Find roden af ligningen

11. Find roden af ligningen.

12. Find roden af ligningen

13. Find roden af ligningen

14. Find roden af ligningen

15. Find roden af ligningen

16. Find roden af ligningen

17. Find roden af ligningen

18. Find roden til ligningen

19. Find roden til ligningen

20. Find roden til ligningen

21. Find roden af ligningen

22. Find roden af ligningen

23. Find roden af ligningen

Bilag 5

Komplekse ligninger.

1. Find roden af ligningen (x+3)2 =(x+8)2 .

2. Find roden af ligningen (x−5)2 =(x+10)2 .

3. Find roden af ligningen (x+9)2 =(x+6)2 .

4. Find roden af ligningen (x+10)2 =(x−9)2 .

5. Find roden af ligningen (x−5)2 =(x−8)2 .

6. Find roden af ligningen.

7. Find roden af ligningen.

8. Find roden af ligningen.

9. Find roden af ligningen.

10. Find roden af ligningen.

11. Løs ligningen (x+2)(− x+6)=0. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den mindste af rødderne ned som svar.

12. Løs ligningen (x+3)(− x−2)=0. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den mindste af rødderne ned som svar.

13. Løs ligningen (x−11)(− x+9)=0. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den mindste af rødderne ned som svar.

14. Løs ligningen (x−1)(− x−4)=0. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den mindste af rødderne ned som svar.

15. Løs ligningen (x−2)(− x−1)=0. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den mindste af rødderne ned som svar.

16. Løs ligningen (x+20)(− x+10)=0. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den største af rødderne ned som svar.

17. Løs ligningen (x−2)(− x−3)=0. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den største af rødderne ned som svar.

18. Løs ligningen (x−7)(− x+2)=0. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den største af rødderne ned som svar.

19. Løs ligningen (x−5)(− x−10)=0. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den største af rødderne ned som svar.

20. Løs ligningen (x+10)(− x−8)=0. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den største af rødderne ned som svar.

21. Løs ligningen (− 5x+3)(− x+6)=0. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den mindste af rødderne ned som svar.

22. Løs ligningen (− 2x+1)(− 2x−7)=0. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den mindste af rødderne ned som svar.

23. Løs ligningen (− x−4)(3x+3)=0. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den største af rødderne ned som svar.

24. Løs ligningen (x−6)(4x−6)=0. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den mindste af rødderne ned som svar.

25. Løs ligningen (− 5x−3)(2x−1)=0. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den mindste af rødderne ned som svar.

26. Løs ligningen (x−2)(− 2x−3)=0. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den mindste af rødderne ned som svar.

27. Løs ligningen (5x+2)(− x−4)=0. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den største af rødderne ned som svar.

28. Løs ligningen (x−6)(− 5x−9)=0. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den mindste af rødderne ned som svar.

29. Løs ligningen (6x−3)(− x+3)=0. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den største af rødderne ned som svar.

30. Løs ligningen (5x−2)(− x+3)=0. Hvis ligningen har mere end én rod, skal du skrive den mindste af rødderne ned som svar.

31. Løs ligningen

32. Løs ligningen

33. Løs ligningen

34. Løs ligningen

35. Løs ligningen

36. Løs ligningen

37. Løs ligningen

38. Løs ligningen

39. Løs ligningen

40 Løs ligningen

41. Løs ligningen x(x2 +2x+1)=2(x+1).

42. Løs ligningen (x−1)(x2 +4x+4)=4(x+2).

43. Løs ligningen x(x2 +6x+9)=4(x+3).

44. Løs ligningen (x−1)(x2 +8x+16)=6(x+4).

45. Løs ligningen x(x2 +2x+1)=6(x+1).

46. Løs ligningen (x−1)(x2 +6x+9)=5(x+3).

47. Løs ligningen (x−2)(x2 +8x+16)=7(x+4).

48. Løs ligningen x(x2 +4x+4)=3(x+2).

49. Løs ligningen (x−2)(x2 +2x+1)=4(x+1).

50. Løs ligningen (x−2)(x2 +6x+9)=6(x+3).

51. Løs ligningen (x+2)4 −4(x+2)2 −5=0.

52. Løs ligningen (x+1)4 +(x+1)2 −6=0.

53. Løs ligningen (x+3)4 +2(x+3)2 −8=0.

54. Løs ligningen (x−1)4 −2(x−1)2 −3=0.

55. Løs ligningen (x−2)4 −(x−2)2 −6=0.

56. Løs ligning (x−3)4 −3(x−3)2 −10=0.

57. Løs ligningen (x+4)4 −6(x+4)2 −7=0.
58. Løs ligningen (x−4)4 −4(x−4)2 −21=0.

59. Løs ligningen (x+2)4 +(x+2)2 −12=0.

60. Løs ligningen (x−2)4 +3(x−2)2 −10=0.

61. Løs ligning x3 +3x2 =16x+48.

62. Løs ligning x3 +4x2 =4x+16.

63. Løs ligning x3 +6x2 =4x+24.

64. Løs ligning x3 +6x2 =9x+54.

65. Løs ligning x3 +3x2 =4x+12.

66. Løs ligning x3 +2x2 =9x+18.

67. Løs ligning x3 +7x2 =4x+28.

68. Løs ligning x3 +4x2 =9x+36.

69. Løs ligning x3 +5x2 =4x+20.

70. Løs ligning x3 +5x2 =9x+45.

71. Løs ligning x3 +3x2 −x−3=0.

72. Løs ligning x3 +4x2 −4x−16=0.

73. Løs ligning x3 +5x2 −x−5=0.

74. Løs ligning x3 +2x2 −x−2=0.

75. Løs ligning x3 +3x2 −4x−12=0.

76. Løs ligning x3 +2x2 −9x−18=0.

77. Løs ligning x3 +4x2 −x−4=0.

78. Løs ligning x3 +4x2 −9x−36=0.

79. Løs ligning x3 +5x2 −4x−20=0.
80. Løs ligning x3 +5x2 −9x−45=0.

81. Løs ligning x4 =(x−20)2 .

82. Løs ligning x4 =(2x−15)2 .

83. Løs ligning x4 =(3x−10)2 .

84. Løs ligning x4 =(4x−5)2 .

85. Løs ligning x4 =(x−12)2 .

86. Løs ligning x4 =(2x−8)2 .

87. Løs ligning x4 =(3x−4)2 .

88. Løs ligning x4 =(x−6)2 .

89. Løs ligning x4 =(2x−3)2 .

90. Løs ligning x4 =(x−2)2 .

91. Løs ligningen

92. Løs ligningen

93. Løs ligningen

94. Løs ligningen

95. Løs ligningen

96. Løs ligningen

97. Løs ligningen

98. Løs ligningen

99. Løs ligningen

100. Løs ligningen

101. Løs ligningen.

102. Løs ligningen

103. Løs ligningen

104. Løs ligningen

105. Løs ligningen

106. Løs ligningen

107. Løs ligningen

108. Løs ligningen

109. Løs ligningen

110. Løs ligningen

! Fra teori til praksis;

! Fra simpelt til komplekst

MAOU "Platoshinskaya gymnasiet",

matematiklærer, Melekhina G.V.

Generelt billede af den lineære ligning: økse + b = 0 ,

Hvor -en Og b– tal (koefficienter).

Hvis a = 0 Og b = 0, At 0x+ 0 = 0 - uendeligt mange rødder;
Hvis a = 0 Og b ≠ 0, At 0x+ b = 0- ingen løsninger
Hvis a ≠ 0 Og b = 0 , At økse + 0 = 0 – én rod, x = 0;
Hvis a ≠ 0 Og b ≠ 0 , At økse + b = 0 - en rod

! Hvis X er i første potens og ikke er indeholdt i nævneren, så er dette en lineær ligning

! Hvad hvis den lineære ligning er kompliceret :

! Vilkår med X til venstre, uden X til højre.

! Disse ligninger er også lineær .

! Hovedegenskaben ved proportion (på tværs).

! Åbn parenteser, med X til venstre, uden X til højre.

hvis koefficienten a = 1, så kaldes ligningen givet :

hvis koefficienten b = 0 eller (og) c = 0, så kaldes ligningen ufuldstændig :

! Grundlæggende formler

! Flere formler

Biquadratisk ligning kaldes en formligning økse 4 +bx 2 + c = 0 .

Den biquadratiske ligning reduceres til andengradsligning ved substitution altså

Vi får en andengradsligning:

Lad os finde rødderne og vende tilbage til erstatningen:

Eksempel 1:

Løs ligning x 4 + 5x 2 – 36 = 0.

Løsning:

Substitution: x 2 = t.

t 2 + 5t - 36 = 0. Rødderne af ligningen t 1 = -9 og t 2 = 4.

x 2 \u003d -9 eller x 2 \u003d 4.

Svar: Der er ingen rødder i den første ligning, fra den anden: x \u003d ± 2.

Eksempel 2:

løse ligningen (2x - 1) 4 - 25 (2x - 1) 2 + 144 = 0.

Løsning:

Substitution: (2x - 1) 2 = t.

t 2 - 25t + 144 = 0. Rødderne af ligningen t 1 = 9 og t 2 = 16.

(2x - 1) 2 = 9 eller (2x - 1) 2 = 16.

2x - 1 = ±3 eller 2x - 1 = ±4.

Fra den første ligning er der to rødder: x \u003d 2 og x \u003d -1, fra den anden er der også to rødder: x \u003d 2,5 og x \u003d -1,5.

Svar: -1,5; -1; 2; 2.5.

1) x 4 - 9 x 2 = 0; 2) 4 x 4 - x 2 \u003d 0;

1) x 4 + x 2 - 2 = 0;

2) x 4 - 3 x 2 - 4 = 0; 3) 9 x 4 + 8 x 2 - 1 = 0; 4) 20 x 4 - x 2 - 1 = 0.

Løs ligninger ved at udtrække fra venstre side fuld firkant :

1) x 4 - 20 x 2 + 64 = 0; 2) x 4 - 13 x 2 + 36 = 0; 3) x 4 - 4 x 2 + 1 = 0; 4) x 4 + 2 x 2 +1 = 0.

! Husk kvadratet af summen og kvadratet af forskellen

rationelt udtryk er et algebraisk udtryk, der består af tal og en variabel x ved hjælp af operationerne addition, subtraktion, multiplikation, division og eksponentiering med en naturlig eksponent.

Hvis r(x) er et rationelt udtryk, så ligningen r(x)=0 kaldet en rationel ligning.

Algoritme til løsning af en rationel ligning:

1. Overfør alle led i ligningen til én del.

2. Konverter denne del af ligningen til form af en algebraisk brøk p(x)/q(x)

3. løse ligningen p(x)=0

4. For hver rod af ligningen p(x)=0 kontrollere, om den opfylder betingelsen q(x)≠0 eller ikke. Hvis ja, så er dette roden til den givne ligning; hvis ikke, er det en uvedkommende rod og bør ikke inkluderes i svaret.

! Husk løsningen af den rationelle brøkligning:

! For at løse ligninger er det nyttigt at huske formlerne for forkortet multiplikation:

Hvis ligningen indeholder en variabel under kvadratrodstegnet, kaldes ligningen irrationel .

Metode til at kvadrere begge sider af en ligning- den vigtigste metode til løsning af irrationelle ligninger.

Efter at have løst den resulterende rationelle ligning, er det nødvendigt at foretage en check , sigte eventuelle uvedkommende rødder ud.

Svar: 5; 4

Et andet eksempel:

Undersøgelse:

Udtrykket giver ikke mening.

Svar: der er ingen løsninger.

LØSNING AF LIGNINGER

forberedelse til OGE

9. klasse

udarbejdet af en matematiklærer på GBOU skole nr. 14 i Nevsky-distriktet i Skt. Petersborg Putrova Marina Nikolaevna

Færdiggør sætningen:

1). Ligningen er...

2). Grunden til ligningen er...

3). At løse en ligning betyder...

I. Løs ligningerne mundtligt:

1). 6x + 18=0
2). 2x + 5=0
3). 5x - 3=0
4). -3x + 9=0
5). -5x + 1=0
6). -2x - 10=0
7). 6x - 7=5x
8). 9x + 6=10x
9). 5x - 12=8x

Hvilken af følgende ligninger har ingen løsninger:

EN). 2x - 14 = x + 7

b). 2x - 14 = 2(x - 7)

V). x - 7 \u003d 2x + 14

G). 2x-14 = 2x + 7?

Hvilken ligning har uendeligt mange løsninger?

EN). 4x - 12 = x - 12

b). 4x - 12 = 4x + 12

V). 4(x - 3) = 4x - 12

G). 4 (x - 3) \u003d x - 10?

UDSIGTENS LIGNINGER

kx + b = 0

KALDET LINEÆR.

Algoritme til løsning af lineære ligninger :

1). flyt termerne, der indeholder det ukendte, til venstre side, og termerne, der ikke indeholder det ukendte, til højre (tegnet for det overførte medlem er omvendt);

2). bringe lige medlemmer;

3) Divider begge sider af ligningen med koefficienten for det ukendte, hvis den ikke er lig med nul.

Løs ligninger i notesbøger :

II gruppe: nr. 697 s.63

x-1 +(x+2) = -4(-5-x)-5

Jeg grupperer:

№ 681 s.63

6(4x)+3x=3

III gruppe: nr. 767 s. 67

(x + 6) 2 + (x + 3) 2 = 2 x 2

Type ligning

ah 2 + bx + c \u003d 0,

hvor a≠0, b, c – ethvert reelt tal kaldes kvadrat.

Ufuldstændige ligninger:

ah 2 + bх =0 (c=0),

ah 2 + c=0 (b=0).

II. Løs mundtligt andengradsligninger, og angiv, om de er fuldstændige eller ufuldstændige:

1). 5x 2 + 15x=0

2). -X 2 +2x = 0

3). x 2 -25=0

4). -X 2 +9 =0

5). -X 2 - 16 =0

6). x 2 - 8x + 15=0

7 ) . x 2 + 5x + 6=0

8). x 2 + x - 12 = 0

9).(-x-5)(-x+6)=0

SPØRGSMÅL:

1). Hvilken egenskab ved ligninger blev brugt til at løse ufuldstændige andengradsligninger?

2). Hvilke metoder til faktorisering af et polynomium blev brugt til at løse ufuldstændige andengradsligninger?

3). Hvad er algoritmen til at løse komplette andengradsligninger ?

0,2 rødder; D = 0, 1 rod; D X 1,2 = "bredde = 640"

1). Produktet af to faktorer er lig med nul, hvis en af dem er lig med nul, mens den anden ikke mister sin betydning: ab = 0 , hvis a = 0 eller b = 0 .

2). At tage ud af den fælles faktor og

-en 2 -b 2 =(a - b)(a + b) - formlen for forskellen mellem kvadrater.

3). Fuld andengradsligning ah 2 + bx + c = o.

D=b 2 – 4ac hvis D0, 2 rødder;

D = 0, 1 rod;

x 1,2 =

LØS LIGNINGER :

Gruppe I: nr. 802 s. 71 x 2 - 5x- 36 = 0

II gruppe: nr. 810 s. 71 3x 2 - x + 21=5x 2

III gruppe: x 4 -5x 2 - 36 =0

III. LØS LIGNINGER :

I og II gruppe: nr. 860 = 0

III gruppe: =0

Hvad kaldes sådanne ligninger? Hvilken egenskab bruges til at løse dem?

En rationel ligning er en formligning

En brøk er nul, hvis tælleren er nul, og nævneren ikke er nul. =0 hvis a = 0, b≠0.

Kort historie om matematik

Matematikerne i det gamle Egypten vidste, hvordan man løser kvadratiske og lineære ligninger.

Den persiske middelalderforsker Al-Khwarizmi (IX århundrede) introducerede først algebra som en uafhængig videnskab om generelle metoder til løsning af lineære og kvadratiske ligninger, og gav en klassificering af disse ligninger.

Et nyt stort gennembrud inden for matematik er forbundet med navnet på den franske videnskabsmand Francois Vieta (XVI århundrede). Det var ham, der introducerede bogstaver i algebra. Han ejer den velkendte sætning om rødderne af en andengradsligning.

Og vi skylder traditionen med at betegne ukendte mængder med de sidste bogstaver i det latinske alfabet (x, y, z) til en anden fransk matematiker - Rene Descartes (XVII).